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TC

ES

021M

T22

-A15

V1

Clase

Generalidades y ángulos en la circunferencia

Aprendizajes esperados

• Identificar los elementos de una circunferencia y un círculo.

• Calcular áreas y perímetros del círculo, del sector circular y delsegmento circular.

• Identificar y clasificar ángulos en la circunferencia, aplicando suspropiedades y teoremas.

• Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en lacircunferencia.

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

2. Área y perímetro

3. Propiedades de ángulos

1.1 Definición

•O

Circunferencia

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

Línea curva, cerrada y plana,cuyos puntos equidistan(igual distancia) de un puntofijo llamado centro.

Región del plano limitadapor una circunferencia

Circunferencia

Círculo

1.2 Radio (r) y diámetro (d)

O: centro de la circunferencia

OB: radio = r

Segmento que une el centro de lacircunferencia con cualquier punto de ella.

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

A Br

r

d

O•

r

d

AB: diámetro = d = 2r

El diámetro divide a la circunferencia en 2 semicircunferencias, es decir,Arco AB = Arco BA

Es la línea recta que pasa por el centro y une dos puntos opuestos de lacircunferencia.

1.3 Cuerda y secante

Segmento que une dos puntos distintos de lacircunferencia.

AB: Cuerda

A

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

B

AB: Secante

El diámetro es la cuerda que pasa por elcentro de la circunferencia y tiene lamayor longitud.

Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.

1.4 Tangente

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es llamado“punto de tangencia” o “punto tangencial”.

O: centro de la circunferencia

A: Punto de tangencia

OA ┴ L

OA: radio

LA

r

O

L: Tangente

1.5 Arco de circunferencia

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

Corresponde a una parte de la circunferencia. Su lectura es en sentidoanti-horario (contrario a los punteros del reloj).

B • AB : arco de circunferencia

A•

Los puntos A y B de la circunferencia, determinan el arco AB.

1.6 Sector y segmento circular

1. Elementos de la circunferencia y del círculo

Es una fracción del área del círculodeterminada por dos radios y un arco.

O: centro de la circunferencia

r : radio

AB : arco de circunferencia

Sector circularA

B•

•

•O r

r

a

determinada por dos radios y un arco.

O : centro de la circunferencia

AB : cuerda

A

B•

•

•O r

r

Segmento circular

AB : arco de circunferencia

Es una fracción del área del círculo,determinada por una cuerda y un arco.

circularA•

2.1 Área del círculo

2. Área y perímetro

Área círculo = p ∙ r2

Si r es el radio, entonces:

Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.Ejemplo: Determinar el área del círculo cuyo diámetro mide 20 cm.

Si el diámetro mide 20 cm, entonces el radio mide 10 cm.Luego, el área del círculo es:

A = p ∙ 102 A = 100p cm2

2.2 Perímetro de la circunferencia

2. Áreas y perímetros

Perímetro = 2 p ∙r Perímetro = p ∙ d

Si r es el radio y d el diámetro, entonces:

Ejemplo:

ó

Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio Ejemplo: Determinar el perímetro de una circunferencia cuyo radio mide 15 cm.

P = 2 p ∙15 P = 30 p cm.

Ejemplo

Determinar el área y perímetro de la zona achurada de la figura.O: centro de la circunferencia.

B•

O3

60º

60 ∙ p ∙ 32

360Asector =

1 ∙ p ∙ 9Asector =

A

6Asector =

3 p2

Asector =2p ∙ 3 ∙ 60

360Psector = + 2 ∙ 3

pPsector = + 6

3. Ángulos en la circunferencia

3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

A. Ángulo del centro:Tiene el vértice en el centro de la circunferencia y mide lo mismo que elarco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 45º, entonces a = 45ºSi el arco AB = 45º, entonces a = 45º

O: centro de la circunferencia

A

B•

•

•O

45°

45ºa

3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

B. Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia y mide la mitad del arco que subtiende.

Ejemplo:

Si el arco AB = 50º, entonces a = 25º

3. Ángulos en la circunferencia

a

A

B•

•50°

•

25°

Ejemplo

En la figura, si el ángulo del centro AOB mide 70°, entonces el ánguloinscrito ACB mide 35°.

•O

35º

70º

C

AB

70º

O: centro de la circunferencia

3.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito

Corolario:“Si un ángulo inscrito y un ángulo del centrosubtienden el mismo arco, entonces el ángulodel centro es el doble del ángulo inscrito”.

Además, se cumple que:

B•

•

•O

a

2a

3. Ángulos en la circunferencia

O: centro de la circunferencia

Además, se cumple que:

a = g + d A•

2a

•O

a

2a

g

d

3.2 Igualdad de ángulos inscritos

Si dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, entonces miden lo mismo.

ab

g

3. Ángulos en la circunferencia

a = b = g

3.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia

Todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo conhipotenusa igual al diámetro.

.

3. Ángulos en la circunferencia

O: centro de la circunferencia

180°

O.

92º110º

3.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestosson suplementarios.

Ejemplo:

ab

3. Ángulos en la circunferencia

70º 88º

a + δ = 180°

g + β = 180°

g d

Teorema del ángulo exterior

Si a es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:

A

aD

3. Ángulos en la circunferencia

AB

Teorema del ángulo interior

Si a es ángulo interior de la circunferencia, entonces:

B

C

2a =

AB – CD

aD

C

2a =

AB + CD

Ángulo semi-inscrito es aquel que tiene el vértice en la circunferencia, y sus lados son una cuerda y una tangente a la circunferencia.La medida del ángulo semi-inscrito es igual al ángulo inscrito cuyo arco sostiene.

EJEMPLO:

ÁNGULO SEMI-INSCRITO