A Matemátic nã à sà cálcul e mal vã as reformas curriculares que a vêe

como simples disciplina de serviç Joã Pedrn Fonte, Faculdade de C16ncias da Universidade de Lisboa

No momento em que se anuncia uma reforma global dos planos de estudo e dos programas das diferentes dis- ciplinas, à posto em cheque, de forma talvez subreptí cia mas nem por isso menos grave, o papel da Matemátic como disciplina cumcular.

A Matemátic sempre foi uma disciplina rodeada de polémic e de um sentimento de insatisfaçà relativa- mente aos resultados do seu ensino. Sempre houve pro- testos acerca das dificuldades evidenciadas pela maioria dos alunos ao aplicarem os seus conhecimentos As mais simples situaçõ da vida prátic e a propósit das defi- ciência na prepar- dos que entram na Universidade.

Sã bem conhecidas as mais recentes tendência de orientaçà curricular para esta disciplina. Nos anos cin- quenta, vigorava a pedagogia da mecanizaçã Por memorizaçà e repetiçà exaustiva procurava-se que os alunos dominassem o cálcul aritmético o calculo algé brico, a resoluçà de exercício geométrico do tipo mostre que.. .È Foi o períod áure dos c6lebres livros de exercício de Palma Fernandes.

Nos anos sessenta, tivemos uma à © p c de profunda e generosa renovaçã baseada nos livros piloto de Josà Sebastiã e Silva. Procurava-se conciliar uma visã moderna da Matemátic com uma perspectiva cultural e um justo relevo dado aplicaç'e desta disciplina. Mas a únic coisa que acabou por ficar dessa ép de reforma foi uma extrema preocupaçà com o rigor da linguagem e a pureza dos conceitos.

Nos anos setenta, vivemos um períod triunfalista e arrogante em que se fizeram programas extremamente formais e exigentes, desligados das necessidades das outras disciplinas e desinteressantes para a maioria dos alunos. A insistênci em aspectos pseudo-logicistas, tanto em exercício de cáicul proposicional, como na abor- dagem de certos conceitos e demonstraç'es atingiu nal- guns casos os limites do absurdo.

Aparentemente, parece que vamos comqar a pagar a factura dos devaneios formalistas dos œltimo anos. Fecha-se o ciclo, regressando a um desiinspirado e redu- tor princípi de que o que interessa à o cálculo

Neste artigo pretende-se mostrar que esta orientaçà nã pode deixar de conduzir a uma degradaçà ainda maior do ensino desta disciplina.

A Matemátic e o Cáicul

Na proposta de renov- curricular submetida A apre- ciaçà públic pela Comissã da Reforma do Sistema

Educativo o reforç do cáicul e a operacionalizaçà dos conceitos surgem como ideias-chave relativamente h dis- cip!ina de Matemática

E indiscutíve que o cálcul tem alguma coisa a ver com a Matemática Mas para a maioria das pessoas, e aparentemente para os responsávei da Comissã da Reforma, a Matemátic 6 essencialmente cálculo Os matemático seriam pessoas que passam a vida a fazer contas.

Esta ideia à profundamente errada. O cálcul corres- ponde apenas a uma das facetas da Matemática que està longe de ber a mais rica e importante. Cálcul à tudo aquilo que se pode facilmente programar num compu- tador. A sua execuçà nã requer inteligênci especial. O que jà à mais difíci à decidir, perante um problema, que dados utilizar, que cálculo efectuar, como avaliar os resultados e como conjugd-10s com os conhecimen- tos jà estabelecidos acerca dum dado assunto.

Para muitas profissõe tradicionais, e atà hà relativa- mente pouco tempo, o cálcul aritmétic era um instru- mento de trabalho fundamental. No entanto, em todos os ramos de actividade, exceptuando os casos mais sim- ples e triviais, todas as necessidades de cálcul aritmé tico sã hoje virtualmente satisfeitas recorrendo aos instrumentos que a tencologia pô ao nosso dispor, nomeadamente as calculadoras e os computadores.

O cálcul com fracçõ à muito pouco utilizado nos problemas da vida corrente, servindo essencialmente de suporte hs técnica algébricas O cálcul algébric rela- tivo ?i simplificaçà de polin6mios e ?i resoluçà de equa- coes, a diferenciaçà de funçõ e a determinaçà de integrais indefinidos, sã técnica respeitáveis justa- mente consideradas fundamentais em diversas área de aplicaçà ao níve universitário No entanto, jà estã no mercado calculadoras que efectuam simplificaçà algé brica e diferenciaçà de funçõe Existem programas de computador que efectuam os mais diiceis integrais inde- finidos. I? cada vez mais penoso convencer os estudan- tes de que vale a pena memorizar técnica para resolver exercício que eles sabem poder ser resolvidos com toda a facilidade recorrendo aos instrumentos electr-nicos de cálculo

O argumento caricato relativo As calculadoras à o de que os alunos tê de saber fazer cáiculo i mã para estarem prevenidos no momento em que se acabarem as pilhas. E evidente que os seus defensores raramente levam a sua fœri antitecnol6gica ao extremo de se recu- sar a usar o telefone (e se algué ouve a conversa?), de nã pensar em ter um frigorífic (podia faltar a luz,

e là se estragava a comida), nem em comprar um auto- m6vel (e as greves das bombas da gasolina!). A l6gica parece ser a de que a tecnologia à boa quando propor- ciona comodidades mas à mà quando à posta ao alcance dos alunos.

O argumento econ6mico nã tem també qualquer margem de aceitaçã Dado o seu preço muito inferior ao dos livros, e dado o seu largo campo de aplicaçã a calculadora à um objecto que se pode pressupor ao alcance de qualquer aluno. Ou, alternativamente, que se pode estabelecer serem as p16prias escolas a possuir, de forma a cobrir todas as necessidades do ensino.

O únic argumento séri com que se pode tentar jus- tificar a importãnci ainda dada ao cálculo à o de que ele seria um pré-requisit para as restantes aprendiza- gens em Matemática Este argumento à globalmente questionado pelos resultados da investigaçà feita a pro- p6sito da introduçà massiva das calculadoras no ensino. Aliás à precisamente com base nos resultados dessa investigaçã neste momento em quantidade e qualidade jà muito consideráve para ser ignorada, que sã justifi- cadas as posiçõ pública francamente favorávei 2i uti- lizaçà das calculadoras tomadas pelas Associaçõ de Professores de Matemátic de diversos países como a Grã-Bretanh e os Estados Unidos.

Nã faltam as anedotas acerca dos estudantes, nomea- damente do ensino superior, que utilizam desastrada- mente a máquin de calcular, seja para determinar 'd3' ou 0,512. Essas hist6rias nã provam absolutamente nada acerca dos pretendidos malefício das máquina - ape- nas demonstram que os alunos tê de ser urgentemente ensinados a usá-la crític e conscenciosamente.

A sobrecarga do ensino tradicional nos algoritmos pouco contribui para o densenvolvimento do esp'rito cri- tico e a compreensã profunda dos conceitos. E preci- samente no tempo que se pode ganhar diminuindo a prátic dos algoritmos tradicionais que se poderã &- luar actividades orientadas para criar maior desenvol- tura na resoluçà de problemas concretos, desenvolver o sentido do númer e melhorar a capacidade de esti- maçà e de avaliaçà de resultados.

Ningué prop'e que se eliminem todas as técnica de cálcul dos programas, sejam elas as aritméticas as algébricas ou as da anális infinitesiamal. O que està em causa, e que nã se pode de forma alguma aceitar como apropriado, à que se queira fazer do cálcul o eixo fundamental da orientaçà cumcular.

A Matem4tica e a Resoluçà de Problemas

A Matemática como todas as ciências està em cons- tante evoluçã Problemas deixados em aberto por uma geraçà s'o resolvidos uma ou duas geraç'e mais h frente. Novas c o n c ~ à µ e fornecem novas maneiras de encarar problemas e resultados antigos, levando 2i refor- mutaçà de teorias, notaç&s e hábito de trabalho.

A forç vital que faz a Matemátic avança à a for- mulqã e resoluçà de problemas. Os resultados sã

depois generalizados, relacionados, e estruturados em teorias coerentes. Todos os processos essenciais da Mate- mátic - descoberta de regularidades, formulaçà de conjecturas, demonstraçã matematizaçà de situaçõ da vida real, axiomatizaçà das teorias, refinamento dos conceitos - sã atravessados por esta actividade da reso- luçà de problemas.

Em muitos problemas a parte mais difíci està na res- pectiva formulaçã O que queremos verdadeiramente saber? De que dados dispomos? Que tipo de abordagem podemos utilizar? Sã deste tipo a maioria das situaç'e da vida real que os alunos vã encontrar pela vida fora. A escola, e, em particular a Matemática podem dar um contributo para os tomar mais desembaraçado e bem sucedidos na arte de reconhecer, formular e resolver pro- blemas.

importante que se distinga um problema de um exercício Enquanto que num exercíci se aplica sim- plesmente um algoritmo ou um teorema conhecido, num problema tal nã acontece. E preciso conceber toda uma estratégi para a sua resoluçã 6 necessári usar uma certa criatividade em analisar, sintetizar, avaliar dados, relaçõ e situaçõe

Um problema, para ser um efectivo desafio, tem de despertar a curiosidade da pessoa a quem à proposto. Mas uma mesma questão dependendo dos conhecimcn- tos e da experiencia de cada pessoa, pode ser para uns um intricado problema e para outros apenas um elemen- tar exercício

Em resumo, a resoluçà de problemas à indiscutivel- mente uma componente essencial da actividade matemá tica, e deve ser considerada como uma componente essencial no ensino desta disciplina dando um contributo fundamental para a formaçà integral do indivíduo

Devem ser por isso recusadas as visõe estritamente utüitarista que reduzem a Matemátic ao simples papel duma disciplina de serviço limitando-se a fornecer téc nicas para serem utilizadas pelas outras disciplinas cur- riculares. Sem negar que a Matemátic pode e deve dar um apoio importante is outras área e em projectos inter- disciplinares - e a pr6pria Matemátic tem muito a ganhar duma estreita relaçà com a realidade concreta - deve no entanto sublinhar-se que a sua v@o essen- cial à contribuir para o desenvolvimento das formas mais elaboradas de raciocínio do poder de análise do espí rito critico, da capacidade de avaliaçã da criatividade, da confianç nas suas pr6prias capacidades. Deve ser esse, e nã o simples reforç do cálculo o verdadeiro eixo d o s programas de Matemática

Talvez um çbac to basicsn ?i portuguesa seja inevitá vel e merecido. A Matemátic aparece hoje mais como um mal necessári do que como uma disciplina capaz de dar uma contribuiçà positiva para a educaçà dos jovens. Os tristes resultados alcançado em termos de

(continua na pág 26)

Educagã e Matemitica N? 4 Phg. 6 Outubro 1987

sugestã de novas prática curriculares, uma anális do trabalho de alunos volta de aplicaçõ da Matemátic focou uma tendênci pedagógic de grande actualidade. Por último a conferênci de encerramento foi dedicada especificamente aos problemas da renovaçà cumcular no Ensino da Matemática

A componente social do Encontro

També a parte social do Encontro nã deixou os seus crédito por mão alheias, tendo sido possíve ofe- recer a todos os interessados visitas guiadas a diversos pontos da regiã de Bragança um almoç de confrater- nizaçã uma medalha comemorativa do Prohat-87 e duas sess'es culturais. O apoio de diversas entidades - designadamente Escola Superior de Educaçã Governo Civil e câmar Municipal de Braganç - conribuiu para o êxit desta componente social do Encontro. TamMm a Fundaçà Gulbenkian colaborou, concedendo um sub- sídio

Foi ainda possíve proporcionar a todos os participan- tes a visita h exposiçà itinerante francesa *Horizontes Matemátiws que permaneceu na ESE de Braganç durante os vário dias do Encontro.

Um balanqo muito encorajador

Durante trê dias e meio, em Bragança os principais problemas e desafios que o ensino e a aprendizagem da Matemátic hoje nos colocam foram descritos, analisa-

dos, discutidos, vividos, por um grupo muito numeroso de professores que os sentem e que estã empenhados em procurar colectivamente responder-lhes de uma forma adequada. Nã menos significativo e importante te14 sido o ambiente geral de amizade e confratemiza- çã as çsess'e culturais e recreativas esponiâneas forma disso um excelente exemplo. Este ambiente de amizade à uma faceta ligada 2s característica da APM desde o iníci da Associaçà e nã à possíve dissociá -lado êxit dos seus principais encontros.

E evidente que o Encontro teve falhas de car4cter organizativo, algumas delas resultantes de um númer de participantes muito superior previsõe mais opti- mistas. Mas, no conjunto, parece ser opiniã unânim que se tratou de uma magnífic demonstraçà da vitali- dade e das potencialidades da nossa Associaçà e, de um modo mais geral, de um movimento de (muitos) pro- fessores de Matemátic que tê consciênci de que à necessári um maior esforç de estudo, reflex'o colec- tiva e troca de expriência para defrontar, com os olhos postos no futuro, a situaçh de crise que a Matedtica escolar atravessa.

Sem dúvida todos os nossos colegas que se empe- nharam na organizaçà dos múltiplo aspectos do Profmat-87 merecem os nossos parabén e o nosso agra- decimento. O núcle de Braganç tem a' obviamente um lugar de destaque. Mas, agora, hà muito trabalho a fazer ao longo do ano. E, tendo passado Bragança-87 h4 que comeqar a olhar para Faro-88! No próxim número iEducaçà e Matemática nã deixarà de referir-se ao Profmat-88.

Cristina Loureiro e Paulo Abranies

A Matemátic nã à sà cáicul imnrinuacão

aproveitamento, atitudes, a concepçõ dos alunos, ou seja, o insucesso generalizado, sã cada vez mais acei- tes com perigosa naturalidade. Tudo parece contribuir para legitimar a ideia que se estar4 em vias de instalar nos responsávei - j à que nada mais podemos conse- guir, ao menos que os alunos sejam capazes de calculcar.

A renovaçà curricular de que Sebastiã e Silva foi protagonista em Portugal integrava-se num movimento mais geral que na maioria dos paíse foi conhecido pela designaçà de Matemátic Moderna. Este movimento, de inspiraçà bourbakista, insistindo nos aspectos alg6- briws e formais da MatemAtica, desligando-a por com- pleto da realidade, nã melhorou a situaçà em termos de aproveitamento dos estudantes e acabou por condu- zir a grandes controvérsia na opiniã pública Perante o desencanto dos seus promotores, seguiu-se uma reac- çà profundamente conservadora - conhecida por exem-

plo nos Estados Unidos por ~back to basics~ - cuja linha de forç essencial consistia precisamente no reforç do cálculo

A ironia à que sob a capa da recusa aos modismos, expressa alto e bom som no documento da Comissã da Reforma do Sistema Educativo, se opta por uma orien- taçà que traduz um dos mais pobres, mais conserva- dores e mais desastrosos modismos, que tiveram a sua époc noutros paíse hà mais de 15 anos. Ou talvez se venha a verificar nã passar tudo afinal de um pequeno equívoco fruto provavelmente de uma desatençà momentânea Nesse caso, a displicênci actual talvez ainda se venha a converter num salutar movimento de atençà por parte das autoridades educativas para com os problemas colocados por uma verdadeira Educaçà Matemitica.

Educaçà e MatemAtica N. 4 Pág 26 Outubro 1987