A Calcular Se Ha Dicho

A.N.E.P – C.E.I.P.

Inspección Departamental

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A.N.E.P

CONSEJO DE EDUCACIÓN INICIAL Y PRIMARIA

INSPECCIÓN DEPARTAMENTAL MONTEVIDEO ESTE

MATEMÁTICA

CÁLCULO



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¡A CALCULAR SE HA DICHO!

Es el propósito del Cuerpo Inspectivo de Jurisdicci ón Este, compartir con el colectivo docente un pequeño banco de recursos que opere como guía e impulsor de otras muchas y ricas propuestas que desde las au las, ya se vienen implementando.

“Uno de los grandes objetivos de la enseñanza elemental de las matemáticas es el de

enseñar a resolver problemas: Y cuando hablamos del cálculo estamos ante una de las

grandes herramientas que nos ofrecen las matemáticas precisamente para eso, resolver

problemas. Es fundamental tener esto presente siempre, ya que es fácil y frecuente

preocuparse de manera prioritaria por el adiestramiento del niño en el uso de

determinados algoritmos de cálculo, y poner bastante menos atención en que el niño

sepa identificar dónde y por qué tiene que hacer us o de esas técnicas, lo que

produce un aprendizaje vacío de significado y de dudosa utilidad. (…) Cuando hablamos

de la enseñanza del cálculo, lo que intentamos es proveer al individuo de los

conocimientos necesarios para que pueda decidir y ejecutar de forma autónoma el tipo

de técnica que mejor se adapte a la situación particular que le exige la realización de un

cálculo.”(Ma. del Carmen Chamorro)

Desde la nueva propuesta programática se brinda al cálculo pensado un lugar destacado.

“El cálculo pensado requiere diferentes estrategias basadas en las propiedades de la

numeración y de las operaciones, lo cual lleva a analizar las relaciones involucradas y

darles sentido. El trabajo con cálculo pensado se apoya en el hecho de que existen

diferentes maneras de calcular y así cada situación determinará la forma de hacerlo.”



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NUMERACION

Proporcionalidad

El contenido Proporcionalidad aparece en el Programa Escolar, de 1º a 6º año, en

distintos niveles de profundización conceptual.

Aspectos a considerar para su abordaje:

Cuando una razón se iguala a otra, se dice que existe proporcionalidad. Es decir, para

tener una relación proporcional, necesitamos tener dos razones que sean equivalentes.

Existen dos tipos de proporcionalidad: directa e inversa. Ambas sirven para resolver

problemas donde se conoce una razón y un dato de la segunda.

La proporcionalidad es una relación entre magnitudes medibles. Es uno de los escasos

conceptos matemáticos ampliamente difundido en la población. Esto se debe a que es en

buena medida intuitiva y de uso muy común. La proporcionalidad directa es un caso parti-

cular de las variaciones lineales. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse

para expresar la relación entre cantidades. ¹

Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la

otra en la misma proporción.

¿Cómo podemos enseñar de manera práctica esto en la escuela?

Un buen disparador para este tema puede ser la preparación de una receta. Les llevamos

a los niños una receta para hacer con motivo del festejo de alguna fecha en particular.

Por ejemplo: Vamos a preparar una torta para el día de la madre.

¿Esta receta rinde para cuántas porciones o personas? Pero si para ese día vienen X per-

sonas me dará esa torta?

¿Qué cantidad voy a necesitar de cada ingrediente?

Así vamos relacionando y vamos viendo que a medida que va creciendo una magnitud

también lo hace la otra, en una relación de equivalencia.

Ahora otro caso de proporcionalidad es cuando dos magnitudes son inversamente pro-

porcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción.



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¿Cómo podemos enseñar de manera práctica esto en la escuela ?

Por ejemplo – Utilizando el tema del viaje de fin de año, planteamos el siguiente proble-

ma:

Un grupo de alumnos para su viaje de estudios contrata un ómnibus a precio fijo. Inicial-

mente iban al viaje 40 alumnos siendo el precio por persona de 9 dólares. Si finalmente

hacen el viaje 30 alumnos ¿Cuánto tiene que pagar cada uno?

Resultado: 12 dólares.

El uso de tablas y gráficas es excelente para ordenar, comparar y comprender mejor

estas relaciones de proporcionalidad.

Algunas propuestas:

1.- COMPLETAR EL CUADRO

SOBRES 10 100 FIGURITAS 30 75 450

2-Marcela compró 5 lapiceras a $50.¡cuánto dinero debe reunir si ella quiere comprar 15 lapiceras? 3-El peso de tres paquetes de fideos es 2,25 kg, mientras que 5 paquetes de los mismos fideos pesan 3,75kg. ¿Cuál es el peso de dos paquetes de fideos igual que los anteriores?

3-Relación entre los factores:

Sabiendo que: que 26x25 = 650 calcular: 52x25; 650/26 ; 26x75 ; 650 /50 ;13x25;

650/5; 52x75



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Numeración

Valor absoluto y posicional

¿Cuánto le falta a 3/5 para llegar a 2?

¿Entre qué enteros está 13/5?

Estas dos preguntas involucran los siguientes contenidos:

composición y descomposición de la unidad.

representación gráfica de fracciones

representación de fracciones como punto de una recta numérica.

concepto de densidad.

Fracciones

Problema:

En la panadería de mi barrio envasan el pan de la siguiente manera:

Pan flauta en bolsas de 1Kg

Pan porteño en bolsas de ½ Kg

Pan tortuga en bolsas de ¼ Kg.

Elsa lleva pan de los tres tipos. Si compra 4 kg de pan, ¿cuántas bolsas de cada tipo de

pan puede llevar?

Piensa dos posibilidades diferentes.

Significado de las fracciones.

1-Como parte de un todo.

Con magnitudes continuas.

¿Qué fracción de la unidad representa la ficha A?



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Con magnitudes discretas.

Pinta de color azul los 2/5 de estas bolitas.

¿Qué fracción representa los días de la semana que concurrimos a la Escuela?

2- De parte a parte:

En la siguiente figura A representa un cuarto y B un octavo ¿B qué fracción representa de

A? ¿Cuántas B necesito para formar A?

3- De la parte al todo

¿Cuánto le falta a 2/5 para obtener un entero?¿cuánto le falta a dos quintos para obtener 2 unidades?

Ya he colocado 132 libros en la biblioteca. Ellos son ¾ del total de libros a colocar.¿ Cuántos libros tendrá en total la biblioteca?



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4-Como operador

De una docena de bombones 2/3 son de dulce de leche, ¿cuántos son de dulce de leche?

Laura tiene 300 figuritas. Regala 3/5 a Juan y 1/6 a Felipe ¿Cuántas regaló a Juan? ¿Y a Felipe?.

5-Como cociente

--Si quiero repartir 2 alfajores entre tres amigos ¿ cómo puedo hacer para que todos coman lo mismo?.

6-Como comparación

Con magnitudes continuas:

Sebastián y Marisa pintan hojas de garbanzo. Sebastián ha pintado 2/3 de la suya y Marisa 4/5 de la suya. ¿Quién ha pintado más?

Con magnitudes discretas:

Luis le regala a su mamá 2/6 de una docena de flores, Pedro a la suya ¾ de otra docena. ¿Quién le regala más flores?.

7_ Como razón:

Con magnitudes continuas:

Achicar un plano, empleando 5 cm cada 7 cm.

Con magnitudes discretas.

Armar un collar colocando 3 cuentas rojas cada 4 verdes.

8_ Como proporcionalidad

La siguiente receta es para 6 personas, pero como vienen invitados seremos 9 .

¿Qué cantidad de ingredientes necesito?



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9-Como probabilidad.

Al tirar un dado, ¿cuál es la probabilidad de que saque un 3?

Razones

¿Cuántos colores de remera y de pantalón se necesitan para formar 12 equipos de fútbol diferentes?

Ejemplo con:

Una remera roja Un pantalón negro 2 EQUIPOS Un pantalón blanco

Fracciones equivalentes.

LAS APARIENCIAS ENGAÑAN.

La maestra Luisa les trajo a un grupo de niños 180 figuritas del mundial.

Una niña dijo: - Sólo me corresponden 2/3 de las figuritas.

El niño Jorge dijo: - Yo tengo 4/6, les gané porque voy a tener más.

La niña Blanca dijo entonces muy enojada: -Se equivocan, yo gané, me quedo con 6/9

que es mucho màs!!!

¿Es verdad lo que dicen?

¿quién se quedó con más figuritas?

OPERACIONES

Combinatoria.

En una fiesta se encuentran 6 amigos.

Cada uno se abraza con los demás.

¿Cuántos abrazos podremos ver?



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Tres compañeros de clase se quieren sacar fotos.

Cuántas deberán tomarse si quieren aparecer todos en todas las ubicaciones.

ESTRCUTURAS ADITIVAS Y MULTIPLICATIVAS

Conceptualizaciones desde la Didáctica:

Teoría de los Campos Conceptuales. Vergnaud

Tal como se viene sosteniendo desde las más diversas corrientes de pensamiento, los conceptos no se encuentran aislados unos de otros. Lo novedoso del planteo de Vergnaud al definir los campos conceptuales, es que organiza los conceptos según su operatividad, relacionando las situaciones, los conceptos y los teoremas en acción.

Un campo conceptual sería pues "un conjunto de situaciones, lo que permite generar clasificaciones que se basan en el análisis de de tareas cognitivas y de los procedimientos que pueden ponerse en juego en cada una de ellas".

Al analizar la enseñanza de las operaciones aritméticas Vergnaud define dos campos conceptuales, el de las estructuras aditivas y el de las estructuras multiplicativas.

Cada uno de estos campos está constituido por el conjunto de situaciones - en el sentido de tareas - que demandan una adición, una sustracción o una combinación de tales operaciones, en el primer caso; y una multiplicación, una división o una combinación de tales operaciones, en el segundo.

Aplicando la Teoría de los Campos Conceptuales a la enseñanza de las Operaciones Aritméticas

Conocer la definición y las propiedades de las operaciones aritméticas, cómo resolverlas, relacionando correctamente los elementos iniciales con el resultado; es muy necesario mas no suficiente.

Como se ha visto, la conceptualización de las operaciones aritméticas tiene mucho que ver con el sentido de que cobran en cada situación. Siendo este el núcleo duro de la propuesta.

En este marco es necesario tener en cuenta a la hora de planificar la intervención docente la necesidad de presentar secuenciadamente diversas situaciones que involucren los distintos sentidos de las operaciones.

Se propone organizar el campo conceptual en dos estructuras que ya fueron mencionadas: el campo de las estructuras aditivas y el de las estructuras multiplicativas. Tal como sugiere Peltier "Desde un punto de vista práctico, es muy compleja la tarea delegada al maestro, que consiste en seleccionar o construir clases de problemas que permitan a los alumnos construir un concepto tal como el de una operación aritmética (…)



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el parámetro fundamental es la estructura del problema. El análisis de esta estructura, la identificación de la subcategoría dentro de la estructura dada, que es función del elemento que se busca, permite ubicar con precisión los conocimientos en juego, entrever a priori los procedimientos y, en consecuencia, preparar las ayudas que puedan ser necesarias." (el subrayado no es del original).

A continuación se enumeran las diferentes categorías de cada estructura. En el trabajo de Pena (2002) se desarrollan y ejemplifican de manera más exhaustiva.

Estructuras aditivas

Según el tipo de relación entre los elementos se pueden reconocer diferentes tipos de problemas aditivos.

Vergnaud propone la siguiente clasificación, que como se dijo, no se profundizará en ella por lo basta, se deja al lector la tarea:

* Composición de dos medidas: son problemas de reunión o fraccionamiento de colecciones o magnitudes medibles.

* Relación de transformación de estados: se puede identificar un estado inicial y una transformación (positiva o negativa) que opera sobre este estado para llegar a un estado final.

* Relación de comparación aditiva: dos estados relativos a dos magnitudes o localizables se comparan de manera aditiva, donde una de las magnitudes desempeña el papel de referente de la otra

* Las composiciones de transformaciones: dos transformaciones o más se aplican sucesivamente a estados desconocidos. Que no aparece en el currículo escolar, al igual que las siguientes:

* Las composiciones de relaciones

* Las composiciones de transformaciones

Estructuras multiplicativas

En este campo se distinguen:

* La comparación múltiple de magnitudes: una única magnitud y dos estados relativos a esa magnitud son objeto de la comparación multiplicativa: uno representa el papel de referente del otro.

* La proporcionalidad simple: pueden representarse mediante tablas numéricas y están asociadas a una función lineal o a una regla de tres.

* La proporcionalidad simple compuesta: intervienen tres magnitudes, se definen dos relaciones de proporcionalidad simple y la situación conduce a componer estas dos relaciones de proporcionalidad.



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* La proporcionalidad doble o múltiple:intervienen dos dominios de magnitudes o más que son independientes, y tales que una relación asocia a una pareja de medidas de cada magnitud una tercera magnitud, llamada magnitud producto.

Tener en cuenta que las operaciones deben entenders e como una de las posibles formas de calcular

El cálculo es una de las opciones que surgen luego del análisis de un problema, existiendo diversas alternativas; siendo el cálculo una relación entre cantidades según propiedades y relaciones numéricas. Aquí es donde el dominio de las estructuras aditivas y multiplicativas, es decir, del campo conceptual, permitirá optar por la o las operaciones aritméticas adecuadas.

Se pueden distinguir diversas formas de cálculo. Una clasificación utilizada habitualmente reconoce: cálculo mental, cálculo escrito y cálculo instrumental. El cálculo escrito suele identificarse con las técnicas operatorias escritas, que se desarrollan mediante algoritmos y durante mucho tiempo ha sido el centro de la enseñanza escolar.

Interesa destacar la importancia de trabajar con los distintos tipos de cálculo ya que esto posibilita reconocer que el sujeto desarrolla diferentes estrategias personales, y que esas estrategias permiten construir el sentido de las operaciones y sirven de plataforma para el desarrollo de las técnicas.

El cálculo mental es el camino en la búsqueda de respuestas ante un problema y que no utiliza las técnicas operatorias (entendidas como algoritmos). Puede utilizar soportes escritos o concretos. Se asocia a la expresión de cálculo reflexivo o razonado en tanto pone énfasis en el método y no tanto en la eficiencia y velocidad del mismo.

Respecto al cálculo instrumental, teniendo en cuenta el cada vez mayor acceso a los medios tecnológicos, como computadoras, calculadoras, etc. es relevante la incorporación a la propuesta didáctica de estos instrumentos.

¿Cuál es el lugar de los algoritmos?

Comencemos con la definición del concepto: se trata de un método que se realiza paso a paso para solucionar un problema, de manera precisa (debe describir los datos de entrada, el orden de realización de cada paso y la salida o resultado), definida (cada vez que se aplique se debe obtener el mismo resultado) y finita (debe terminar en algún momento).

La enseñanza y utilización de algoritmos es relevante, tal como señala Calvo (2004) en cuanto: es una demanda social, siendo un resultado esperado y un bien cultural; son útiles como estrategia que ahorra tiempo y esfuerzo; pueden reforzar la comprensión del sistema numérico y de las propias operaciones, sobre todo si se hacen explícitas tales relaciones y propiedades; permiten desarrollar estrategias de estimación, cálculo mental y verificación.



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Los algoritmos desde la óptica analizada deben entenderse como herramientas que deben mecanizarse luego de haber construido el sentido de su uso. Ahora bien, en la escuela el tiempo que se debe dedicar a este tema es importante, ya que está en construcción, ese proceso debe ser monitoreado por los docentes.

Lo que está en discusión no es la presencia de los algoritmos aritméticos en la escuela sino la forma de enfocarlos, sobre lo que se ha intentado

La necesidad de establecer acuerdos institucionales

Tal es la complejidad en el abordaje de este tema y la diversidad de estrategias, factibles de ser desarrolladas, que se hace imprescindible el establecimiento de acuerdos institucionales que den continuidad y coherencia al proceso de aprendizaje de los sujetos. Buscando que la historia de aprendizaje sea tenida en cuenta.

La existencia de rupturas en las propuestas didácticas desconoce la integralidad de los sujetos que transitan por la institución. El proceso largo y complejo de construcción del sentido de las operaciones aritméticas debe estar acompañado por propuestas coherentes. (Por ejemplo, si un docente trabaja en profundidad la naturaleza de la potencia de diez en nuestro sistema de numeración, y usa luego ese conocimiento en relación a las operaciones genera ciertos esquemas de pensamiento. Es necesario que al año siguiente se reconozca su existencia y se potencie el aprendizaje a partir de los mismos

Algunas propuestas

Estructura multiplicativa

1- ¿Cuánto dinero se reúne?

28 personas --------- $2,50 cada una.

2-TENGO SUFICIENTE CANTIDAD DE HUEVOS?

Una mamá le dijo a su hijo:

Debo hacer 36 roscas y cada una lleva 5 huevos. Si no me alcanzan tendrán que ir al mercado.

Pero mami, ¡Ya empieza el partido! Dijo el niño.

En la cocina hay 15 envases con 12 huevos cada uno, ¿será necesario ir hasta el mercado a comprar más?



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3- ¿COMEMOS?

Una bolsa de bizcochos pesa 2700 g; si contiene 45 bizcochos ¿cuánto pesa cada una?

EN UN CUMPLEAÑOS

Para un cumpleaños en el que se reunirán 28 amigos, Anita trajo 48 empanadas, Alicia 75 y Andrea 56.

Los niños piensas repartirlas entre todos por igual y las que queden se las dan a los dueños de casa.

¿Cuántas podrá comer cada uno?

¿Cuántas recibirán los dueños de casa?

Estructuras aditivas: sustracción

Primera parte:

Se divide la clase en grupos de 3 alumnos. Dos grupos de niños reciben billetes y monedas.(10 billetes de $10, 10 de $5 y 10 monedas de $1)

Se propone a todos los grupos que resuelvan este problema:

Juan tiene $45 y compra un pantalón y una remera. G asta $28. ¿Cuánto dinero le queda?

Los niños que no recibieron billetes, deben resolverlo haciendo cálculos.

Segunda parte:

Una vez que los niños identificaron que se trata de una resta y resuelven el problema del modo que puedan, se propone un intercambio que garantice que todos los alumnos arriben a que le quedan $17 a Juan. Se trata de fomentar la producción de explicaciones tanto en el terreno del cálculo como en el uso de billetes. Posteriormente el docente propone escribir el cálculo de la siguiente manera:

45

28



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Y pregunta cómo se podrá hacer la cuenta, así escrita, de manera que el resultado sea 17.

Antes de probar con sus alumnos esta actividad, intente analizar los siguientes aspectos:

• ¿qué supone que harán sus alumnos para resolver el problema, tanto los que trabajan con cálculos como los que trabajan con billetes?

• ¿qué pistas les daría a aquellos alumnos que no pueden encontrar el resultado? • ¿en qué medida recurrir al dibujo o al uso de billetes puede colaborar con la tarea? • ¿Cómo organizaría el intercambio de manera tal que se produzcan explicaciones

de por qué se llegó a 17? • ¿qué explicaciones supone desplegarían sus alumnos para que, al resolver la

cuenta parada, el resultado sea 17?

RECITAL

A un recital asistieron 10480 personas, si 7309 de ellas son mujeres ¿cuántos varones asistieron?

Cálculo pensado: multiplicación por 10,100 y 1000.

COMPITIENDO CON LA CALCULADORA.

Si logro hacer esos cálculos mentalmente antes de que los resuelvas con la calculadora me gano un premio.

¿Qué te parece el desafío?

¿Lo aceptarías? Explica tu respuesta.

470 X 1000=

1036 X 100

78 X 10

426 X 100

15 X 1000

56504 X 10

73 X 100

4720 X 10



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• Significados de la adición y sustracción

ADICION

• Reunir: tengo 4 figuritas del álbum del Mundial de Uruguay y 3 de Brasil, ¿cuántas tengo en total?

• Agregar: María tiene 50 $ , ganó 20 ¿cuántos tiene ahora?

SUSTRACCION

• Quitar: Tenía 6 figuritas, regalé 4 ¿cuántas tengo? • Comparar: Juan tiene $ 258 y Luís $ 123¿Cuánto dinero más tiene Juan? • Igualar: Juan tiene $ 258 y Luís $ 123, ¿ cuánto tiene que juntar Luís para tener la misma cantidad que Juan? • Separar: Avanzamos 36 km por un camino y luego debimos retroceder 9 , ¿ a cuántos km de donde salimos estaba el lugar que buscábamos .? • Significados de la multiplicación y división.

MULTIPLICACION.

• Escalar o repetir: Tengo 7 caramelos y Manuel tiene el triple que yo, ¿Cuántos tiene? • Proporcionalidad: Gonzalo compró 6 autitos a $ 24, ¿cuánto costarán 3 autitos? • Combinaciones: ¿Cuántos partidos pueden jugar 12 equipos de fútbol si todos juega contra todos una vez?

DIVISION:

• Agrupar o partir: Los alumnos de una escuela viajan en micros de 24 asientos. Si son 293 en total, ¿cuántos micros de necesitan para que viajen todos?

• Repartir: A la clase de Ed Física van 29 niños , el profesor les pide que formen grupos de 5 niños, ¿ cuántos grupos se forman?

• Se quieren repartir 42 alfajores en 6 cajas. En todas se colocará la misma cantidad de alfajores ¿cuántos alfajores en cada caja?



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La combinación de operaciones, uso de propiedades y de signos.

I.- UN PASEO DESDE MONTEVIDEO A MALDONADO.

Estaban ansiosos por llegar y preguntaban continuamente al chofer cuánto faltaba.

Entonces la maestra les dijo que si prestaban atención, los carteles indicadores de la

carretera les podrían dar los datos necesarios para saberlo.

En el km 63 vieron este cartel indicador:

Piriápolis 35 Km

Maldonado 71 Km

La Paloma 177 Km

Santiago enseguida dijo a Manuel su compañero de asiento:

“cuando lleguemos al km 67 habremos recorrido la mitad del camino”.

Manuel le preguntó: “Cómo lo calculaste?”

Qué le respondió?

A.- 63 + (71- 63)

2

B.- 63 + 71

2



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¿Por qué?

Operaciones y Numeración:

II.- CARRERA DE POSTAS .

En las competencias interescolares una de las pruebas, la Carrera de Postas, consiste en

correr 1km con cuatro corredores.

Este año algunas escuelas propondrán que se varíen las distancias a recorrer por cada

competidor.

Cumpliendo con los requisitos que se mencionan debajo, piensa cuáles podrían ser las

distancias para cada corredor y verifica mediante el planteo de una operación, que

cubran exactamente la distancia de 1km.

1.- Cada competidor correrá igual cantidad de metros.

2.- El competidor No 1 correrá más que los otros tres que cubrirán igual distancia cada

uno.

3.- Cada competidor correrá mayor distancia que el anterior.

4.- Los participantes número 2 y 3 correrán entre los dos mayor distancia que los No 1 y

4.

5.- Los corredores 1 y 4 correrán cada uno el doble que los No 2 y 3 juntos.

6.- El corredor No 4 correrá la tercera parte que cada uno de los restantes.

Cálculo de promedio.

III.- LA MERIENDA:

Un alumno lleva dinero a la escuela para comprar la merienda, no lleva

todos los días la misma cantidad. Esta semana en promedio llevó U$ 12.

¿Cuánto puede haber llevado cada día? Piensa por lo menos 3 opciones.

Integrantes del equipo responsable: Mtra/Inspectora Departamental, Luisa Ayerza. Inspectores de Zona: Raquel Barthes, Mary Uviedo, J acqueline Judykt, Graciela Caballero. Montevideo, julio de 2010.

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