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Análisis Dinámico
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EL MODELO DE SAMUELSON A) BREVE RESEÑA HISTÓRICA
Este modelo de interacción entre el multiplicador y el acelerador
se debe a Samuelson, siendo la primera versión del mismo
publicada en 1939. Samuelson, economista americano, obtuvo el
Premio Nobel de Economía en 1970, por el trabajo científico a
través del cual ha desarrollado la teoría económica estática y
dinámica y contribuido activamente a elevar el nivel del análisis
en la ciencia económica.
El objetivo de Samuelson era dar una explicación de los ciclos
económicos propios de los sistemas capitalistas. Con este trabajo pretende integrar la
teoría Keynesiana combinándola con las teorías prekeynesianas del ciclo de negocios.
De esta forma, empleando el multiplicador keynesiano y el principio de aceleración,
construyó un modelo macroeconómico que explica endógenamente los ciclos
económicos sin acudir a factores exógenos . Con esta finalidad, Samuelson introduce un
modelo sencillo que intenta describir el funcionamiento de una economía cerrada a
partir de cuatro variables:
Yt = Renta Nacional
It = Inversión Privada Agregada
Ct = Consumo Privado Agregado
Gt = Gasto Público
B) HIPÓTESIS:
1. Función de consumo lineal: El único determinante del consumo en un período
es la renta en el período inmediatamente anterior, siendo esta relación lineal.
2. Función de Inversión basada en la hipótesis del acelerador: La inversión de
cada período depende linealmente de la diferencia entre las rentas obtenidas en los
períodos inmediatamente anteriores.
3. Condición de equilibrio macroeconómico: La producción nacional debe
coincidir con la demanda nacional para cada período de tiempo.
4. Gasto público es una constante: El gasto público es una constante, no varía
con el tiempo
Análisis Dinámico
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C) FORMULACIÓN MATEMÁTICA:
Función de consumo lineal:
Ct= c Yt-1 0 < c <1
Función de inversión basada en la hipótesis del acelerador:
It = v (Yt-1 – Yt-2) v > 0
Condición de equilibrio macroeconómico:
Yt = Ct + It + Gt
Gasto público constante:
Gt = g
D) RESOLUCIÓN Y ANÁLISIS DEL MODELO:
A través, de la combinación de las ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente
ecuación lineal, de coeficientes constantes, completa y de orden 2:
Yt - (c+v) Yt-1 + v Yt-2 = G La podemos resolver de varias formas:
- Tratarla como una SEDF
- Resolverla como una EDF sujeta a una serie de condiciones iniciales.
En este caso, hemos optado por resolverla como una EDF: CondicionesdeSamuelson C@tD = cy@t−1D; 0< c< 1 I@tD = vHy@t−1D −y@t−2DL; v> 0 y@tD = C@tD+I@tD +G@tD G@tD = g Resolución: 1 ªforma: utilizando RSolve << DiscreteMath RSolve RSolve@y@t+2D −Hc+vL y@t+1D +v y@tD g,y@tD,tD êêFullSimplify
Análisis Dinámico
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::y@tD →
ik2−1−t i
k"
− 4 v + Hc + vL2 ikg ik
− 21+t +ikc + v −
"−4 v + Hc + vL2 y
{t
+
ikc + v +
"−4 v + Hc + vL2 y
{ty{
+
H−1 + cL ikikc + v −
"− 4 v + Hc + vL2 y
{t
+
ikc + v +
"−4 v + Hc + vL2 y
{ty{C@2Dy
{+
ikc + v −
"−4 v + Hc + vL2 y
{tHg H−2 + c + vL + H− 1 + cL
H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLL −ikc + v +
"− 4 v + Hc + vL2 y
{t
Hg H−2 + c + vL + H− 1 + cL H− 2 C@1D + Hc + vL C@2DLLy{y{ì
ikH−1 + cL "
− 4 v + Hc + vL2 y{>>
y@t_D = Hy@tD ê.%L@@1DD 1
H−1 + cL è−4 v + Hc + vL2
ik2−1−t i
k"
−4 v + Hc + vL2 ikg ik
−21+t +ikc + v −
"−4 v + Hc + vL2 y
{t
+
ikc + v +
"−4 v + Hc + vL2 y
{ty{
+ H−1 + cL
ikikc + v −
"−4 v + Hc + vL2 y
{t
+ikc + v +
"−4 v + Hc + vL2 y
{ty{
C@2Dy{
+ikc + v −
"−4 v + Hc + vL2 y
{t
Hg H−2 + c + vL + H−1 + cL H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLL −
ikc + v +
"−4 v + Hc + vL2 y
{t
Hg H−2 + c + vL + H−1 + cL H−2 C@1D + Hc + vL C@2DLLy{y{
Solucióngeneral CollectAy@tD, 9Jc+v−
è−4v+Hc+vL2Nt,
Jc+v+è
−4v+ Hc+vL2Nt=E
Análisis Dinámico
4
−g
−1+ c+
1
H−1+cL è−4v+ Hc+ vL2 ik2−1−t
ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{t ik2g−cg− gv+ g" −4v+ Hc+ vL2 −
2C@1D+ 2cC@1D + cC@2D −c2 C@2D + vC@2D− cvC@2D −
"−4v+ Hc+vL2 C@2D + c" −4v+ Hc+ vL2 C@2Dy
{y{
+
1
H−1+cL è−4v+ Hc+vL2 ik2−1−ti
kc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2 y
{t
ik
−2g+ cg+gv+ g" −4v+Hc+ vL2 + 2C@1D −
2cC@1D− cC@2D + c2C@2D − vC@2D + cvC@2D−
"−4v+ Hc+vL2 C@2D + c" −4v+ Hc+ vL2 C@2Dy
{y{
De este resultado podemos deducir que el primer término de toda la solución se
corresponde con la solución particular
2 ªforma: GC =GH+PC ?Solve Solve@eqns, varsD attempts to solve an equation
or set of equations for the variables vars.Solve@eqns, vars, elimsD attempts to solve theequations for vars, eliminating the variables elims.
Solve@r^2− Hc+vL r+v 0,rD ::r→
12ikc+v−
" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>,
:r→12ikc+v+
" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>>
Solucióngeneraldelahomogénea: GH@t_D = C1J1
2Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2 NN^t +
C2J 12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2 NN^t
2−tC1i
kc+ v−
" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t
+
2−tC2ikc+ v+
" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t
Soluciónparticular : Hlasraícessondistintasde1L PC@t_D = A A ?SolveAlways SolveAlways@eqns, varsD gives thevalues of parameters that make the equationseqns valid for all values of the variables vars.
Análisis Dinámico
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SolveAlways@PC@t+2D − Hc+vL PC@t+1D +v PC@tD g,tD 88g→ −AH−1+ cL<< A= gêH1−cL g1− c PC@tD g1− c Solucióngeneraldelacompleta GC@t_D = GH@tD+PC@tD g
1− c+ 2−t C1i
kc+ v−
" c2− 4v+ 2cv+ v2 y{t
+
2−tC2ikc+ v+
" c2 −4v+ 2cv+ v2y{t
E) ESTABILIDAD Y CONVERGENCIA DEL MODELO
Convergencia << DiscreteMath RSolve RSolve@8y@t+2D − Hc+vL y@t+1D +v y@tD g,y@0D == Y0,y@1D Y1<,y@tD,tD êê FullSimplify
::y@tD →ik2−1−ti
k"
−4v+Hc+ vL2
ikgik
−21+t +ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+vL2 y
{ty{
+
H−1+ cL ikikc+v−
"−4v+Hc+ vL2 y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{ty{Y0y{
+
ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −
ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy
{y{ì
ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y
{>>
y@t_D = Hy@tD ê.%L@@1DD
Análisis Dinámico
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ik2−1−ti
k"
−4v+Hc+ vL2
ikgik
−21+t +ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+vL2 y
{ty{
+
H−1+ cL ikikc+v−
"−4v+Hc+ vL2 y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{ty{Y0y{
+
ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −
ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy
{y{ì
ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y
{ y@t_D =
J2−1−t
Jè −4v+Hc+vL2
JgJ−21+t +Jc+v−è
−4v+ Hc+vL2Nt+Jc+v+è
−4v+ Hc+vL2 NtN +
H−1+cL JJc+v−è
−4v+Hc+vL2 Nt+ Jc+v+è
−4v+ Hc+vL2NtN Y0N +
Jc+v−è
−4v+ Hc+vL2Nt HgH−2+c+vL+ H−1+cL HHc+vL Y0−2 Y1LL −
Jc+v+è
−4v+ Hc+vL2Nt HgH−2+c+vL+ H−1+cL HHc+vL Y0−2 Y1LLNN í
JH−1+cLè −4v+Hc+vL2N
ik2−1−ti
k"
−4v+Hc+ vL2
ikgik
−21+t +ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+vL2 y
{ty{
+
H−1+ cL ikikc+v−
"−4v+Hc+ vL2 y
{t
+ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{ty{Y0y{
+
ikc+ v−
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LL −
ikc+ v+
"−4v+ Hc+ vL2y
{tHgH−2+ c+ vL+ H−1+ cL HHc+ vL Y0− 2Y1LLy
{y{ì
ikH−1+ cL " −4v+ Hc+ vL2y
{
Primer caso: Raíces reales distintas con solución divergente Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces 8v, c< = 82,c< 82, c< SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ 2I−1−
è2M=, 9c → 2I−1+è2M==
Análisis Dinámico
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N@%D 88c→ −4.82843<, 8c → 0.828427<< Para su representación: 8v,c,g, Y0, Y1< =82,0.9, 4,10,20< 82, 0.9, 4, 10, 20<
09r1 =
12Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2N, r2 =
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2N=
81.12984, 1.77016< y@tD −15.61742−1−t H4.72.25969t− 4.73.54031t+
0.640312H−1.H2.25969t +3.54031tL +4H−21+t+ 2.25969t +3.54031tLLL m = Table@8t,y@tD<, 8t,0,10<D 880, 10.<, 81, 20.<, 82, 42.<, 83, 85.8<, 84, 168.82<, 85, 321.978<,86, 600.096<, 87, 1100.32<, 88, 1994.74<, 89, 3588.11<, 810, 6420.04<< ListPlot@m, PlotJoined→ TrueD
2 4 6 8 10
1000
2000
3000
4000
5000
6000
Graphics
Como podemos observar en la gráfica según los valores asignados el modelo
sigue un comportamiento divergente.
Segundo caso: Raíces reales distintas, con solución convergente. c < 1/v Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces Clear@c,vD SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ −2èv − v=, 9c → 2èv − v== v= 1êc−1 0.282051 SolveAc== 2èv −v,cE ::c→
12ik1−
"−11+ 8è2
y{>, :c→
12ik1+
"−11+ 8è2
y{>>
N@%D 88c→ 0.219952<, 8c→ 0.780048<<
Análisis Dinámico
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Para su representación 8v,c,g, Y0, Y1< =80.28,0.78, 4,30,29< 80.28, 0.78, 4, 30, 29< 9r1 =
12Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2N, r2 =
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2N=
80.5, 0.56< y@tD −75.75762−1−t
H2.0041.t− 2.0041.12t+ 0.06H−6.6H1.t + 1.12tL + 4H1.t+ 1.12t− 21+tLLL m = Table@8t,y@tD<, 8t,0,15<D 880, 30.<, 81, 29.<, 82, 26.34<, 83, 23.8004<, 84, 21.8532<, 85, 20.5003<,86, 19.6114<, 87, 19.048<, 88, 18.6997<, 89, 18.4882<, 810, 18.3616<,811, 18.2866<, 812, 18.2426<, 813, 18.2169<, 814, 18.202<, 815, 18.1933<< ListPlot@m, PlotRange→ 810,34<, PlotJoined→ TrueD
2 4 6 8 10 12 14
15
20
25
30
Graphics A= gêH1−cL 18.1818
A través de la gráfica se observa que converge hacia la solución particular,
18,1818 de acuerdo con los valores asignados.
Tercer caso: Raíces complejas
Paradeterminarlosvaloressegúnlasraíces
Clear@v,cD c= 0.78 0.78 SolveAv2−4v+2cv+v2 0, vE 88v→ 0.<, 8v→ 1.22<<
Análisis Dinámico
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9v= 0.2, c=4v−2v2
2v=
80.2, 1.8< Clear@v,cD Solve@4 v−2v^2 2,vD 88v→ 1<, 8v→ 1<< c2−4v+2cv+v2 0.4 SolveAc2−4v+2cv+v2 0, cE 99c→ −2èv − v=, 9c → 2èv − v== 9v= 0.09,c= 2èv −v= 80.09, 0.51<
Para su representación 8v, c,g, Y0, Y1< = 80.7, 0.2, 4,8,6<
9r1 =12Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2N, r2 =
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2N=
y@tDm = Table@8t,y@tD<, 8t,0, 20<DListPlot@m,PlotJoined→ True,PlotRange→ 83,8<D 80.7, 0.2, 4, 8, 6< 80.45− 0.705337 , 0.45+ 0.705337 < H0.+ 0.886102 L 2−1−t H−0.56H0.9− 1.41067 Lt+ 0.56H0.9+ 1.41067 Lt+
H0.+ 1.41067 L H−6.4HH0.9−1.41067 Lt + H0.9+ 1.41067 LtL +
4HH0.9− 1.41067 Lt+ H0.9+ 1.41067 Lt− 21+tLLL 880, 8.+0. <, 81, 6.+0. <, 82, 3.8+0. <,83, 3.22+0. <, 84, 4.238+0. <, 85, 5.5602+0. <,86, 6.03758+0. <, 87, 5.54168+0. <, 88, 4.76121+0. <,89, 4.40591+0. <, 810, 4.63247+0. <, 811, 5.08509+0. <,812, 5.33385+0. <, 813, 5.2409+0. <, 814, 4.98312+0. <,815, 4.81617+0. <, 816, 4.84637+0. <, 817, 4.99042+0. <,818, 5.09891+0. <, 819, 5.09573+0. <, 820, 5.01692+0. <<
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5 10 15 20
4
5
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7
8
Graphics A= gêH1−cL 5. Limit@y@tD,t→ ∞D 5.+ 0. Observando la gráfica se puede determinar que sigue un moviendo oscilatorio
amortiguado, aproximándose a la solución particular, 5. Por lo tanto, converge a la
solución particular.
Cuarto caso: Raíces reales múltiples
8v, c,g, Y0, Y1< = 80.09,0.51, 4,10,9<
9r1 =12Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2N, r2 =
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2N=
80.09, 0.51, 4, 10, 9< 80.3, 0.3< Obtengamoslasolución Solve@r^2−Hc+vL r+v 0,rD 88r→ 0.3<, 8r→ 0.3<< Solucióngeneraldelahomogénea: GH@t_D = C1J1
2Hc+vLN^t +C2tJ1
2Hc+vLN^t
0.3tC1+ 0.3tC2t Soluciónparticular : PC@t_D = gêH1−cL 8.16327 Solucióngeneraldelacompleta GC@t_D = GH@tD+PC@tD 8.16327+ 0.3t C1+ 0.3t C2t Solve@8GC@0D Y0, GC@1D Y1<, 8C1, C2<D 88C1→ 1.83673, C2→ 0.952381<< 88C1= 1.8367346938775508 , C2= 0.952380952380952 << 881.83673, 0.952381<< GC@tD 8.16327+ 1.836730.3t+ 0.9523810.3t t
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m = Table@8t,GC@tD<, 8t, 0,20<DListPlot@m, PlotJoined→ True,PlotRange→ 87,12<D 880, 10.<, 81, 9.<, 82, 8.5<, 83, 8.29<, 84, 8.209<, 85, 8.1793<,86, 8.16877<, 87, 8.16513<, 88, 8.16389<, 89, 8.16347<, 810, 8.16333<,811, 8.16329<, 812, 8.16327<, 813, 8.16327<, 814, 8.16327<, 815, 8.16327<,816, 8.16327<, 817, 8.16327<, 818, 8.16327<, 819, 8.16327<, 820, 8.16327<<
5 10 15 20
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Graphics Limit@GC@tD,t→ ∞D 8.16327 A= gêH1−cL 8.16327 Observando la gráfica se puede ver que es convergente y que converge a
8,16327.
Estabilidad
Para determinar la estabilidad hemos resuelto la EDF como un sistema:
Estabilidady puntodeequilibrio Solve@8y z,z Hc+vL z−vy +g<, 8y, z<D ::y→ −
g−1+ c
, z→ −g
−1+ c>>
Puntodeequilibrio y=
g1−c
Autovalores A= J 0 1
−v Hc+vL N 880, 1<, 8−v, c+v<< Eigenvalues@AD : 12ikc+v−
" c2− 4v+ 2cv+v2 y{,
12ikc+v+
" c2− 4v+ 2cv+v2 y{>
Análisis Dinámico
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Primer caso: Raíces reales distintas con solución divergente 8v,c< = 82, 0.9< 82, 0.9< 912Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2 N,
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2 N=
81.12984, 1.77016< Como ambas raíces son superiores a la unidad se puede afirmar que no existe
estabilidad.
Segundo caso: Raíces reales, distintas con solución convergente. c <1/v.
8v,c< = 80.28,0.78< 80.28, 0.78< 912Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2 N,
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2 N=
80.5, 0.56< Observando el valor de las raíces podemos concluir que es estable debido a que
ambas son inferiores a la unidad
Tercer caso: Raíces complejas.
9v= 0.09,c= 2èv −v= 80.09, 0.51< 912Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2 N,
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2 N=
80.3, 0.3< Al igual que en caso anterior las raíces son inferiores a la unidad y, por lo tanto,
sigue un comportamiento estable.
Cuarto caso: Raíces reales múltiples
8v, c< = 80.09,0.51< 80.09, 0.51< 912Jc+v−
èc2−4v+2cv+v2 N,
12Jc+v+
èc2−4v+2cv+v2 N=
80.3, 0.3< De nuevo, las raíces toman un valor inferior a uno, siguiendo un
comportamiento estable.
Análisis Dinámico
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F) CONCLUSIONES POSIBLES ECONÓMICAS
Primer caso
Cuando trabajamos con raíces reales mayores que uno y distintas entre sí, la
renta sufre un crecimiento explosivo a medida que avanzamos en el tiempo (Yt → ∞,
t → ∞).
Segundo caso
En el caso de raíces reales menores que uno y distintas entre sí, a medida que
transcurre el tiempo la renta nacional se acerca al valor −
Y , que en este caso es de 18,18.
Tercer caso
Como trabajamos con raíces complejas de modulo menor que uno, en las que se
cumple la condición (c+v)^2 – 4v < 0, entonces los ciclos serán amortiguados, es decir,
se van a aproximar a −
Y , 5, a medida que transcurre el tiempo.
Cuarto caso
Si trabajamos con raíces reales múltiples se estabiliza la renta cuando alcanza el
valor 8,16327, esto sucede a partir del período 12.
G) VARIANTES DEL MODELO:
1. Variantes de modelos de otros autores:
Modelo: Acelerador lineal de Hicks
En 1950 Hicks considera una extensión del modelo acelerador-multiplicador de
Samuelson suponiendo que la inversión It tiene dos componentes, una autónoma, I’t y
otra inducida I’’t . La diferencia básica del modelo de Hicks con el modelo de
Samuelson es que aperece una componente autónoma de la inversión que crece con el
tiempo a una tasa constante g.
CondicionesdeHicks
Yt =Ct +It
Ct = myt−1
It =It'+It''
It' =i H1+gLt
It '' = k HYt−1 − Yt−2L
Análisis Dinámico
14
A través, de la combinación de las ecuaciones anteriores se obtiene la siguiente
ecuación en diferencias, no homogénea y de segundo orden:
yt − Hm+kL yt−1 + kyt−2 = I0 H1+gL^t Resolución: SolveAr2−Hm+kLr+k 0,rE ::r→
12ikk+m−
"−4k+k2 +2km+ m2 y
{>,
:r→12ikk+m+
"−4k+k2 +2km+ m2 y
{>>
GH@t_D = C1J1
2Jk+m −
è−4k+k2 +2k m + m2 NN^t +
C2 J12Jk+m +
è−4k+k2 +2km + m2 NN^t
2−tC1i
kk+ m−
"−4k+ k2+ 2km+m2 y
{t
+
2−tC2ikk+ m+
"−4k+ k2+ 2km+m2 y
{t
PC@t_D = A H1+gLt AH1+ gLt PC@t+2D − Hm +kLPC@t+1D + kPC@tD êê Simplify AH1+ gLt H1+ g2 −m− gH−2+k+ mLL SolveAAH1+gLt I1+g2 −m −gH−2+k+ mLM iH1+gLt, AE ::A→
i1+ 2g+g2 − gk− m− gm
>>
9A= i1+g2−m−gH−2+k+mL=
: i1+g2−m−gH−2+k+mL
>
PC[t] H1+gLti
1+g2−m−gH−2+k+mL GC[t_]=GH[t]+PC[t]
H1+gLti1+g2−m−gH−2+k+mL
+2−tC1ikjjk+m−"###################################−4k+k2+2km+m2y
{zzt+2−tC2i
kjjk+m+"###################################−4k+k2+2km+m2y
{zzt
Modelo de expectativas y ciclos de existencia en el proceso de producción
debido a Metzler:
Metzler fue pionero en el estudio de las consecuencias que se tenían en el
proceso productivo ante los esfuerzos de los empresarios por mantener sus niveles de
existencias. El modelo de expectativas y ciclos de existencia en el proceso de
producción se basa en los siguientes supuestos:
a) El producto total, Y[t], en un período se corresponde con la suma de los
bienes de consumo que normalmente se espera vender, U[t], los bienes de consumo
destinados a mantener las existencias al nivel deseado, S[t] y los bienes de inversión que
Análisis Dinámico
15
es, V[t], producidos en el mismo, siendo el volumen de estos últimos una constante
exógena, V[0].
b) La producción de bienes de consumo destinados a la venta depende de la
demanda que tengan éstos y esta a su vez, depende proporcionalmente de la producción
total en el período anterior.
c) Los productores desean mantener unas existencias proporcionales a la
variación observada en las ventas de bienes de consumo.
CondicionesdeMetzleraL Yt = Ut+St+ V0bL Ut = bYt−1
cL St =H1+kL@b HYt−1− Yt−2LD Hdondek = aceleradordeexistencias > 0LdL V0 =v
Ecuacuóngeneraldeorden3:yt+2− H2+kL byt+1 + H1+kL byt = V0
Resolución SolveAr2−H2+kL br+ H1+kL b 0,rE ::r→
12ikbH2+kL −
èb "−4+4b− 4k+ 4bk+ bk2 y
{>,
:r→12ikbH2+kL +
èb "−4+4b− 4k+ 4bk+ bk2 y
{>>
GH@t_D = C1J1
2JbH2+kL −
èb2 H2+kL2−4bH1+kLtNN^t +
C2J12JbH2+kL +
èb2 H2+kL2−4bH1+kLtNN^t
2−tC1i
kbH2+ kL−
" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t
+
2−tC2ikbH2+ kL+
" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t
PC@t_D = A A SolveAlways@PC@t+2D − H2+kL bPC@t+1D + H1+kL b PC@tD v,tD 88v→ A− Ab<< Solve@v== A−Ab,AD
::A→ −
v−1+ b
>>
Análisis Dinámico
16
A= −v
−1+ b
−
v−1+ b
PC@tD −
v−1+ b
GC@t_D = GH@tD+PC@tD 2−tC1i
kbH2+ kL−
" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t
+
2−tC2ikbH2+ kL+
" b2 H2+kL2 − 4bH1+ kL ty{t
−v
−1+ b
2. Variantes de creación propia:
Consumo en función de la renta disponible del año anterior
Seguimos manteniendo el gasto público constante y comportamiento de la
inversión se mantiene igual al del modelo original. Sin embargo, el consumo ya no es
directamente proporcional a la renta del año anterior, sino que está en función de la
renta disponible del año anterior.
1LCt =cydisp Ht−1LYdispHtL =yt−kyt+ pIt =vHyt−1−yt−2Lyt =Ct+It+Gt Gt =g << DiscreteMath RSolve 1 forma RSolve@y@t+2D − Hc+v+ckL y@t+1D+v y@tD g+cp,y@tD, tD
A través de RSolve la solución es muy compleja y no nos permite diferenciar las
distintas soluciones.
2 Forma: Solve@r^2− Hc+v+ckL r+v 0,rD
Análisis Dinámico
17
::r→12ikc+ck−
" H−c−ck− vL2− 4v + vy{>,
:r→12ikc+ck+
" H−c−ck− vL2− 4v + vy{>>
GH@t_D = C1 J1
2Jc+ck−
èH−c−ck−vL2−4v +vNN^t+
C2J12Jc+ck+
èH−c−ck−vL2−4v +vNN^t
2−tC1ikc+ ck−
" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t
+
2−tC2ikc+ ck+
" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t
PC@t_D = A A SolveAlways@PC@t+2D −Hc+v+ckL PC@t+1D+v PC@tD g+cp,tD 88g→ A− Ac− Ack−cp<< A= Hg+cpLêH1−c−ckL g+ cp1− c−ck PC@tD g+ cp1− c−ck GC@t_D = GH@tD+PC@tD g+ cp
1− c−ck+ 2−tC1i
kc+ ck−
" H−c− ck−vL2 −4v + vy{t
+
2−tC2ikc+ ck+
" H−c− ck− vL2 −4v + vy{t
Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con
solución divergente)
2 4 6 8 10
2500
5000
7500
10000
12500
15000
A través de la gráfica se puede observar como el modelo en función de la renta
disponible crece a un ritmo más acelerado respecto al modelo original.
Análisis Dinámico
18
Abrir la economía
El modelo de Samuelson trata de describir el comportamiento de una economía
cerrada, por ello, a través de esta variable pretendemos abrir la economía,
introduciendo las exportaciones y las importaciones, con el fin de acercarnos más a la
realidad. Sin embargo, el comportamiento de la balanza de pagos no sigue una
evolución que se pueda visualizar fácilmente a través de una ecuación y por este motivo
hemos tenido que optar por inventar las ecuaciones de la balanza comercial, bct, que
representan las importaciones, m, y las exportaciones, x.
2L abrimoslaeconomíaIt =vHyt−1−yt−2L Ct =cyt−1 yt =Ct+It+Gt +bct bct = Xt− Mt Xt =x Yt−1 ;x→ propensión marginalaexportar Mt = m HYt− Yt−1L; m → propensiónmarginalaimportar Gt =g Laecuaciónaresolverquedaría: H1+ mL Yt−Hc+v+x+ mL Yt−1+vYt−2 = g << DiscreteMath RSolve 1 ªforma:
RSolve@H1+ mL y@t+2D −Hc+v+k+ mL y@t+1D +v y@tD g,y@tD, tD
Al igual que en la variante anterior la resolución mediante RSolve es muy
compleja, por lo que optamos por utilizar la ecuación característica.
2 ªforma:GC =GH+PC Solve@H1+ mLr^2 − Hc+v+k+mLr+v 0,rD
::r→c+ k+m+ v−
èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v2H1+mL
>,
:r→c+ k+m+ v+
èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v2H1+mL
>>
GH@t_D = C1i
kc+k+m +v−
èH−c−k− m−vL2 −4H1+ mLv2H1+mL
y
{^t+
C2i
kc+k+m +v+
èH−c−k− m−vL2 −4H1+ mLv2H1+mL
y
{^t
Análisis Dinámico
19
2−tC1i
k
c+ k+ m+ v−èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v
1+ m
y
{
t
+
2−tC2i
k
c+ k+ m+ v+èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v
1+ m
y
{
t
PC@t_D = A A SolveAlways@H1+ mLPC@t+2D −Hc+v+k+ mLPC@t+1D +vPC@tD g,tD 88g→ −AH−1+ c+ kL<< A= −gêH−1+c+kL −
g−1+ c+ k
PC@tD −
g−1+ c+ k
GC@t_D = GH@tD+PC@tD
−g
−1+ c+ k+ 2−t C1
i
k
c+ k+m+ v−èH−c− k− m− vL2 −4H1+ mL v
1+m
y
{
t
+
2−tC2i
k
c+ k+ m+ v+èH−c−k− m− vL2− 4H1+mL v
1+ m
y
{
t
Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con
solución divergente)
2 4 6 8 10
2000
4000
6000
8000
A través de la gráfica se observa un crecimiento más pronunciado de la renta
debido al efecto de las exportaciones. Mediante la solución particular podemos intuir
este hecho puesto que el efecto de la propensión marginal a exportar hace aumentar el
crecimiento (g/1-c-k > g/1-c).
Análisis Dinámico
20
El gasto depende de la renta de este año y del ahorro del año anterior
La inversión y el consumo se mantienen igual que en el modelo original. La
variación realizada sobre el modelo consiste en hacer depender el gasto de la renta de
este año y del ahorro del anterior, que a su vez, es función de la renta del año anterior y
del gasto autónomo que hemos considerado constante.
3LIt =vHyt−1−yt−2L Ct =cyt−1 Gt = Yt+ Yt−1−g; Gt = Yt +St−1
St−1 = Yt−1−g Yt =Ct+It+GtLaecuaciónaresolverquedaría:
−Hc+v+1L Yt−1 +vYt−2 =g 1ªForma: << DiscreteMath RSolve RSolve@−Hc+v+1L Y@t+1D +v Y@tD g, Y@tD,tD
::Y@tD →gI−1+I v
1+c+vMtM + H1+cL I v
1+c+vMtC@1D
1+c>>
Y@t_D = HY@tD ê.%L@@1DD gI−1+I v
1+c+vMtM + H1+cL I v
1+c+vMtC@1D
1+c Expand@Y@tDD
−g
1+c+gI v
1+c+vMt
1+ c+I v1+c+v
Mt C@1D
1+ c+cI v
1+c+vMtC@1D
1+ c CollectAY@tD, J v
1+c+vNtE
−g
1+c+I v1+c+v
MtHg+ C@1D +cC@1DL
1+ c Solve@−Hc+v+1Lr +v 0,rD ::r→
v1+ c+v
>>
GH@t_D = C1J v1+c+v
N^t
C1J v1+ c+v
Nt
PC@t_D = A A SolveAlways@−Hc+v+1LPC@t+1D +vPC@tD g,tD 88g→ −AH1+ cL<< A= −gêH1+cL −
g1+c
Análisis Dinámico
21
PC@tD −
g1+c
GC@t_D = GH@tD+PC@tD −
g1+c
+ C1J v1+ c+ v
Nt
Comparación con el modelo original (primer caso, raíces reales distintas con
solución divergente)
1 2 3 4 5
10
20
30
40
50
Mediante el análisis de la gráfica se puede observar como esta variante le resta el
sentido económico al modelo, puesto que, su influencia daría lugar a que la economía
entrase en crisis. Este hecho ya se puede prever al observar la solución particular que
siempre es negativa.
Construcción de un modelo no lineal
1. Variante:
Para construir un modelo no lineal hemos variado la inversión y el consumo con
respecto al modelo original, manteniendo constante el gasto. Debido a las limitaciones
que el Mathemática presenta para resolver un modelo no lineal, hemos tenido que ser
menos estrictos en el sentido económico de las variantes a introducir. Esta variante, en
concreto, sólo puede ser resuelta por la versión 5 del programa Mathemática.
It =HvYt−1− Yt−2 GtL
Yt−2 Yt =Ct+It+Gt Ct =c
Yt−1
Yt−2 Gt = g Laecuaciónaresolverquedaría: Yt =c
Yt−1
Yt−2+HvYt−1− Yt−2 GtL
Yt−2+Gt
Análisis Dinámico
22
Esdecir, Yt Yt−2 = Hc +vL Yt−1 Cambiodevariableperiodomásbajot Yt+2 Yt = Hc +vL Yt+1
Clear@Y, v,c,gD << DiscreteMath RSolve 8v= 0.2,c= 0.05, Y0= 100, Y1 =150< 80.2, 0.05, 100, 150< RSolve[{Y[t + 2] Y[t]==(c+v) Y[t+1] ,Y[0]==Y0,Y[1]==Y1}, Y[t], t]
99Y@tD → 0.25 [email protected][email protected]== Y@t_D = HY@tD ê.%L@@1DD 0.25 [email protected][email protected]
Y@0D 100. g1= Table@8t, Y@tD<, 8t, 0,10<D 880, 100.<, 81, 150.<, 82, 0.375<, 83, 0.000625<,84, 0.000416667<, 85, 0.166667<, 86, 100.<, 87, 150.<,88, 0.375<, 89, 0.000625<, 810, 0.000416667<< ListPlot@g1,PlotJoined→ True, PlotRange→ 80,200<,PlotStyle→ 8CMYKColor@0, 1,0,0D<D
2 4 6 8 10
25
50
75
100
125
150
175
200
ListPlot@g1,PlotJoined→ True, PlotRange→ 80, 4<,PlotStyle→ 8CMYKColor@0,1,0, 0D<D
Análisis Dinámico
23
2 4 6 8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Graphics
Para poder entender el sentido económico de esta variante hemos creído
conveniente representarla. A través de la primera gráfica, vemos que sigue un
comportamiento cíclico, cada seis períodos la renta oscila entre unos límites, llega a un
máximo de 150 y a un mínimo que se aproxima al cero, 0,0004.
La segunda gráfica se ha realizado para comprobar que aunque se aproxima a
cero, la renta no llega nunca a ser nula o negativa.
Este comportamiento no tiene sentido económico porque no se corresponde con
la realidad y se debe a que la solución de la variante está planteada con funciones
trigonométricas en tiempo discreto.
2. Variante:
Al igual que en la variante anterior hemos variado la inversión y el consumo con
respecto al modelo original, manteniendo constante el gasto. Con esta variante
conseguimos darle sentido económico a la variante anterior, pero no nos ha sido posible
resolverlo a través programa Mathemática por lo que hemos recurrido al Excel para su
resolución.
It =v Hyt−1 Hyt−1êyt−2LL − g Yt =Ct+It+Gt Ct =c
Yt−1
Yt−2 Gt = g Laecuaciónaresolverquedaría: yt yt+2 = yt+1 Hvyt+1+cL
Análisis Dinámico
24
Despejando yt+2 = Hyt+1 Hvyt+1+cLLêyt
Resolución con el Excel:
Hemos querido darle dos valores al acelerador, v, para ver el efecto que produce
sobre la renta:
Caso A: Acelerador es igual a la unidad.
t Y[t] 0,00 5,00 1,00 5,50 2,00 6,38 3,00 7,75 4,00 9,78 5,00 12,71 6,00 16,92 7,00 22,92 8,00 31,45 9,00 43,57 10,00 60,78
A través de la gráfica se observa que la renta sigue un crecimiento explosivo.
c 0,30 v 1,00
y[0] 5,00 y[1] 5,50
Y[t]
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
50,00
60,00
70,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Y[t]
Análisis Dinámico
25
Caso B: Acelerador es inferior a la unidad
t Y[t] 0,00 5,00 1,00 5,50 2,00 3,36 3,00 1,21 4,00 0,32 5,00 0,12 6,00 0,14 7,00 0,41 8,00 1,50 9,00 3,83 10,00 5,65
Y[t]
0,00
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Y[t]
Este caso puede corresponder a una economía en fase de nacimiento, ello explica
esa caída tan fuerte de la renta en los períodos iniciales y su posterior recuperación en
los períodos siguientes, una vez logrado el asentamiento de la misma.
c 0,30 v 0,50
y[0] 5,00 y[1] 5,50
Análisis Dinámico
26
H) BIBLIOGRAFÍA:
C. González y J.A. Barrios, “Análisis Discreto en Economía y Empresa”, Ed.
AC, Madrid.
G. C. Gandolfo, “Métodos y Modelos Matemáticos de la Dinámica Económica”,
Ed. Tecnos, Madrid, 1976.
Blanchard, O.: “Macroeconomía”, Ed. Prentice Hall, 2ª Edición, 2000.
F.F. Rodríguez, Mª D. García: “Métodos Matemáticos en Economía Dinámica”
Volumen 1, Ed. Colección de Textos Universitarios