9-TRABAJO Y ENERGIA.ppt

**Autor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-2012Autor: Segundo Lizardo Gallardo Zamora Trujillo-2013

TRABAJO Y ENERGIATRABAJO. Es el agente transformador de energa y existe mientras dura el proceso de transformacin.

Ejemplos:

Los frenos en la Fig.1 hacen trabajo al detener un vehculo en movimiento mediante la fuerza de friccin en las zapa-tas o pastillas del vehculo transformando energa cinti-ca en energa calorfica.Los msculos de las piernas en la Fig.2 hacen trabajo cuando subimos o bajamos por la escalera de un edificio, transformando energa org-nica en energa potencial gra-vitatoria de nuestro cuerpo.*Segundo L. Gallardo Z.*

Segundo L. Gallardo Z.

TRABAJO Y ENERGIAEn mecnica, el trabajo relaciona la fuerza y el desplazamiento que le produce a una partcula o cuerpo.

En la Fig.3, esta relacin se define mediante el producto escalar de la fuerza por el desplazamientoTRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA CONSTANTE*Segundo L. Gallardo Z.*


El trabajo realizado por esta fuerza esW = F X cos = (F cos ) XDonde: F cos = Fx es la componente de la fuerza paralela al desplazamiento. Por lo tanto:Segn esta relacin, la componente (F sen = Fy), perpendicular al desplazamiento, no realiza trabajo.TRABAJO Y ENERGIATRABAJO REALIZADO POR UNA FUERZA VARIABLE*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEl trabajo total que realizar la fuerza para desplazar la partcula desde el punto A hasta el punto B de la trayectoria esEjemplo 1. Calcular el trabajo que realiza la fuerza F al deformar una longitud X el resorte de la Fig.6 que obedece la Ley de Hooke.Esta ley establece que la relacin entre la fuerza F aplicada a un resorte y la deformacin X producida es una caracte-rstica propia del resorte denominada constante elstica.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAPor lo tanto, la fuerza deformadora se puede escribir en la forma:Las unidades de la constante elstica son: [N/m], [din/cm], [pd/pie], [kgf/m] y [lbf/pie].Segn la Ec.(6), la fuerza es una variable que depende de la lon-gitud que se deforme el resorte. Donde = 0, porque F y dX estn en la misma direccin.Por lo tanto, el trabajo que se realiza en la deformacin de un resorte entre dos posiciones es*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIASi x1 = 0, entonces x2 = x, con lo que tendremos solamente:

Unidades de TrabajoEn el Sistema SI : [N.m]= Joule = [J ]En el Sistema CGS : [din.cm]= ergio = [erg]En el Sistema ingls : [pd.pie] = poundl-pieEn el sistema MKS gravitatorio: [kgf.m] = kilogrmetro = [kgm] En el sistema ingls gravitatorio: [lbf. pie]*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAENERGA CINTICA. Es la energa que tiene la masa de un cuerpo debido a su movimiento.La expresin matemtica que define la energa cintica se obtiene considerando, en la Fig.7, una fuerza constante neta F, aplicada a un cuerpo de masa m para cambiar su velocidad desde v1 hasta v2, a lo largo de un desplazamiento X.El trabajo realizado por esta fuerza esW = F XQue segn la segunda ley de NewtonF = m a *Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEntonces el trabajo realizado esEn esta ecuacin, cada trmino del segundo miembro es una cantidad escalar que se denomina Energa Cintica del cuerpoLa unidades de la energa cintica son las mismas que las del trabajo.Por lo tanto, segn la Ec.(10), la Ec.(7) podemos escribirla en la forma:donde Ek1 es la energa cintica inicial y Ek2 es la energa cintica final del cuerpo. *Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEsta ecuacin que relaciona el trabajo y la variacin de la energa cintica de un cuerpo en movimiento se denomina Teorema del Trabajo-EnergaEste teorema es tambin vlido para una fuerza variable, porque no interesa la trayectoria seguida por el cuerpo, el trabajo depende solamente de la velocidad inicial y velocidad final del cuerpo. Si el trabajo es positivo el cuerpo gana energa cintica y si es negativo pierde energa cintica.POTENCIA. Es la rapidez con que se realiza trabajo o transforma energa. Esta rapidez significa una cantidad de trabajo hecho en la unidad de tiempo.POTENCIA MEDIA. Es el trabajo W realizado sobre un en un tiempo t.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAPOTENCIA INSTANTNEA. Es la potencia en un cierto instante. Se define como el valor lmite de la potencia instantnea cuando el tiempo t tiende a cero

Usando la definicin de trabajo: dW = F dX se tieneDonde es el ngulo que forma la fuerza con la velocidad*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAUnidades de Potencia.Unidades Prcticas*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA ENERGA POTENCIAL GRAVITATORIA. Es la energa que tiene un cuerpo por su posicin dentro de un campo gravitatorio.Esta energa depende del trabajo que se realice contra la fuerza gravitatoria para ubicar una masa dentro del campo gravitatorio. Por lo tanto, usando la Fig.8, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria (peso) cuando se desplaza el cuerpo desde la posicin inicial y1 hasta la posicin final y2 es:Para pequeos desplazamientos cercanos a la superficie terrestre, el mdulo de la fuerza que se aplica para mover un cuerpo es igual al peso del cuerpo, F = m g.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA Reordenando se obtiene Esta ecuacin nos demuestra que el trabajo realizado contra la fuerza gravitatoria no depende de la trayectoria que siga el cuerpo al cambiar de posicin. El trabajo depende solamente de la posicin inicial (y1) y de la posicin final (y2). La fuerza que realiza este tipo de trabajo se denomina fuerza conservativa.Cada sumando del segundo miembro la Ec.(13) se denomina energa potencial gravitatoria.Segn la Ec.(13, el trabajo realizado por una fuerza conservativa como la gravitatoria sirve solamente para variar la energa poten-cial gravitatoria del cuerpo, desde un valor inicial Ep1 = m g y1, hasta un valor final Ep2 = m g y2 *Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEl trabajo realizado se puede expresar entonces comoEn esta ecuacin el signo negativo es esencial. Porque, cuando el cuerpo sube, y aumenta, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es negativo y la energa potencial aumenta. Si el cuerpo baja, y disminuye, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es positivo y la energa potencial disminuye. W12 = Ep1 Ep2 = (Ep2 Ep1) Ep = Ep2 Ep1Donde la variacin de energa potencial es:Es decir que, la energa potencial gravitatoria es una propiedad compartida del sistema cuerpo-Tierra, dependiente de la posicin relativa entre ellos.La unidades de la energa potencial gravitatoria son las mismas que las del trabajo.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA ENERGA POTENCIAL ELSTICA. Es la energa que tienen los cuerpos elsticos deformados. ENERGA POTENCIAL ELSTICA. Es la energa que tienen los cuerpos elsticos deformados. Este tipo de energa se halla presente en cuerpos tales como: resortes, ligas, muelles, lminas flexibles y otros.Para el resorte de la Fig.9 de constante elstica k, la energa potencial elstica es igual al trabajo realizado en la deformacin.Este tipo de energa se halla presente en cuerpos tales como: resortes, ligas, muelles, lminas flexibles y otros cuerpos que al ser deformados recuperan su forma segn la ley de Hooke.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEntonces la energa potencial elstica, debido a la deformacin X del resorte, es W12 = Ep2 Ep1 = k (X22 X12)Si la deformacin del resorte, de la Fig. 10, es entre una posicin inicial X1 hasta la posicin final X2, el trabajo realizado sirve para variar su energa potencial elstica.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIACONSERVACIN DE LA ENERGA MECNICA PARA FUERZAS CONSERVATIVAS.Un sistema de fuerzas conservativas es aquel en el cual la energa mecnica total del sistema (cuerpo o partculas) se mantiene constante.La energa mecnica total E de un sistema conservativo se define como la suma de su energa cintica Ek y su energa potencial Ep .Donde Ep(r) indica que la energa potencial es funcin de la posicin.Para un sistema conservativo, la conservacin de la energa mecnica significa tambin que la energa mecnica total en el estado inicial E1 es igual a la energa mecnica total en el estado final E2E1 = E2*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAUsando la definicin de la energa mecnica total en cada estado se tiene:Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2Segn esta expresin, el principio de conservacin de la energa mecnica total tambin significa que la variacin de tal energa en un sistema de fuerzas conservativas es nulo.(Ek2 Ek1) + (Ep2 Ep1) = 0Que reordenando podemos escribirla como la suma de la variacin de la energa cintica y la variacin de la energa potencial.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEL TEOREMA TRABAJO- ENERGA PARA FUERZAS NO CONSERVATIVAS Un sistema no conservativo es aquel en el cual la energa mecnica total no es constante.En sistemas no conservativos, el trabajo que realiza la fuerza neta estar dado por la suma del trabajo Wc, realizado por las fuerzas conservativas y el trabajo Wnc, realizado por las fuerzas no conservativas.Segn el Teorema Trabajo- Energa, el trabajo realizado por la fuerza neta es igual a la variacin de la energa cinticaWc + Wnc = EkWnc = Ek WcPor lo general, en sistemas fsicos reales, existen fuerzas no conservativas, tales como la friccin.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAPero segn la Ec. (15) el trabajo realizado por una fuerza conserva-tiva sirve para variar la energa potencial, Wc = Ep, entonces(Ek2 + Ep2) (Ek1 + Ep1) = WncCon esta relacin se demuestra que el trabajo que realizan las fuerzas no conservativas sirven para cambiar la energa mecnica total del sistema.Usando las definiciones de cada tipo de energa podemos expresar esta ecuacin en la formaEsta ecuacin representa la forma que adopta el Teorema Trabajo-Energa para un sistema de fuerzas no conservativas.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEjemplo 1. En la Fig.11, un hombre empuja un cuerpo mediante una fuerza de F = 180 [N] aplicada segn un ngulo de = 44 sobre la horizontal. Cuando se ha detenido el trabajo realizado es de 580 [J]. Qu distancia se ha desplazado el cuerpo?W = F x cos X = . [m]580 = 180 (X) cos 44*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEjemplo 2. En la Fig.12, una masa de 7 [kg] se levanta verticalmente hasta una altura de 6 [m] usando una cuerda ligera en la que se aplica una tensin de 95 [N]. Encontrar: a) el trabajo efectuado por la fuerza de tensin, b) el trabajo efectuado por la gravedad, c) la rapidez final de la masa, si sta parte del reposo y d) la potencia media desarrollada si el proceso de levantar la masa dura 2 minutos.Datosm = 7 [kg], y = 6 [m], T = 95 [N], v1 = 0, t = 2 minutos = 120 [s].Solucina) El trabajo realizado por la tensin esWT = T y cos 0 = 95(6)(1) WT = . [J]b) El trabo de realizado por la gravedad es debido al peso del cuerpoWG = mg y cos 180 = 7(9,81)(6)( 1) WG = [J]*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA c) Segn el Teorema Trabajo-Energa, el trabajo neto es igual a la variacin de energa cintica

Trabajo neto = W = WT + WG = Ek570 412,02 = (7) v22 0WT + WG = m v22 m v12Usando los valores obtenidos en (a), (b) y datos del problema se tiene:V2 = [m/s]d) La potencia media desarrollada es el trabajo neto entre el tiempoPm = [w] *Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEjemplo 3. En la Fig.13, se tiene un bloque de masa m en reposo en la parte superior del plano inclinado y que al dejarlo libre se desliza hacia abajo una distancia de 6 [m]. Considerando que no hay friccin entre el boque y el plano, aplicar el Teorema Trabajo-Energa para calcular: a) la velocidad del bloque al llegar al final del plano y b) el tiempo que demora el bloque en recorrer el plano.y1a) Como no hay friccin se tiene un sistema de fuerzas conserva-tivas y entonces, segn el teore-ma Trabajo-Energa, la energa inicial es igual a la energa final. Solucin: En primer lugar, dibujamos las coordenadas de posicin, las velocidades y fuer-zas que actan sobre el sistemaE1 = E2*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA Definiendo las energas en cada posicin se tiene:m (0) + mgy1 = m v22 + mgy2 m v22 = mgy1 mgy2m v12 + mgy1 = m v22 + mgy2 Como en la posicin inicial v1 = 0, entonces h = [m]Esta velocidad es la misma que hubiese adquirido el bloque si hubiera cado verticalmente desde la posicin inicial y1 hasta la posicin final y2*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA b) Una forma de calcular el tiempo que demora el bloque en recorrer el plano inclinado, es mediante la ecuacin cinemticaOtra forma. El tiempo tambin podemos calcularlo usando la ecuacin cinemtica:r = v1 t + a t2. Como v1 = 0, entonces r = a t2*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA Para calcular la aceleracin, aplicamos la 2da. Ley de Newton a la fuerza paralela al plano inclinado. Fp = mg sen = m aUsando valores obtenemosPor lo tanto, el tiempo es:Tambin se puede usar la ecuacin cinemticav2 = v1 + a tQueda como tarea para el estudiante hacer uso de esta ecuacin para calcular el tiempo*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA Ejemplo 4. En el sistema de la Fig.14, el bloque de masa m es dejado libre en la parte superior de un plano inclinado spero, el cual se mueve hacia abajo una distancia de 6 [m]. Aplicar el Teorema Trabajo-Energa para calcular: a) la velocidad del bloque al llegar al final del plano y b) el tiempo que demora en recorrer el plano. Considere que el coeficiente de friccin entre el bloque y el plano es 0.15. a) Como existe friccin, se tie-ne un sistema de fuerzas no conservativo y la relacin Trabajo-Energa a aplicar es:Ek + Ep = WncSolucin. En primer lugar, dibu-jamos las coordenadas de posi-cin, velocidades y fuerzas que actan sobre el sistema*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEn este caso consideramos que la friccin (f = N) es constante a lo largo de todo el plano inclinado. Definiendo las variaciones de energa en la ecuacin propuesta se tiene(Ek2 Ek1 ) + (Ep2 Ep1 ) = Wnc ( m v22 m v12 ) + (mgy2 mgy1) = WncWnc = f r cos 180 = f rDonde la fuerza de friccin esf = N = mg cos 35*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAFactorizando m y usando (y2 y1) = (y1 y2) = r sen 35 y v1 = 0, se tiene:Simplificando la masa y reordenando obtenemosv22 2g r sen 35 = 2g r cos 35b) Para calcular el tiempo que demora el bloque en recorrer la distancia r sobre el plano inclinado usamos la misma ecuacin cinemtica del problema anterior m (v22 0 ) m g r sen 35 = m g( cos 35) rEl uso de otras frmulas cinemticas lo dejamos como tarea al estudiante.*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIAEjemplo 5. Mediante un bloque de masa 2,8 [kg] en A, se comprime en 15 [cm] un resorte de constante elstica k = 600 [N/m], como se indica en la figura. Al dejar libre el bloque se desliza hasta C sobre una superficie horizontal sin friccin. para luego ascender desde C hasta D sobre una superficie oblicua spera. Si el coeficiente de friccin entre el bloque y la superficie oblicua es k = 0,20, calcular la altura y hasta la cual asciende el bloque. Suponer que la accin del resorte sobre el bloque termina cuando ste recupera su longitud normal en B.Datos: m = 2,8 [kg], x = 0,15 [m], k = 600 [N/m], k = 0,20CD30Solucin: Trayecto A-B-C*Segundo L. Gallardo Z.*Figura 15


TRABAJO Y ENERGIA Al dejar libre el bloque en el punto A de la Fig.16, el resorte recupe-ra su forma y lo dispara hacia la izquierda. Por lo tanto, usando la definicin de la energa mecnica en el trayecto A-C se tiene: m vA2 + m g yA + k x2 = m vC2 + m g yCvA= 0yA = yB = yC = 0Superficie sin friccinTomando el eje X como sistema de referencia su altura inicial del bloque respecto a este eje es cero (y =0) y como el bloque parte del reposo (vA = 0), entonces:Despejando obtenemosvC2 = k x2 / mEkA + EpA = EkC + EpC m (0) + m g (0) + k x2 = m vC2 + m g (0)Ahora, definimos la energa cintica y la energa potencial en cada punto.*Segundo L. Gallardo Z.*CD30Figura 16


TRABAJO Y ENERGIA Usando valores se tiene: vC2 = 600(0,15)2 / 2.8 vC2 = [m2/s2 ] Ek + Ep = Wnc (EkD EkC) + (EpD EpC) = f r( m vD2 m vC2) + (m g yD m g yC) = f rDonde: f = m g cos30, r = y /sen30, vD = 0 (el bloque se detiene en D), yC = 0 Como existe friccin en el trayecto C-D, de la Fig.17, aplicamos el Teorema Trabajo-Energa a un sistema NO conservativo.Trayecto C-D E = Wnc (EkD EkC) + (EpD EpC) = f r cos 180Remplazando estos valores se tiene:[ m (0) m vc2 ] + [(m g y m g (0) ] = m g cos 30(y /sen30) *Segundo L. Gallardo Z.*Figura 17


TRABAJO Y ENERGIASimplificando la masa y reordenando obtenemos:Usando vC = 2.2 [m/s] obtenido previamente y dems valoresy = . m Despejando y , la altura del punto D, hasta donde asciende el bloque g y / tan30 = vc2 + g y *Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA Cuando una masa de 5 [kg] se cuelga verticalmente de un resorte ligero que obedece la ley de Hooke, ste se estira 2,8 [cm]. a) Si quitamos la masa y ahora le colgamos una masa de 2,4 [kg], en cunto se alargar el resorte? b) Qu trabajo debe realizar un agente externo para estirar el mismo resorte en 4,5 [cm} a partir de su posicin no deformada?Un bloque de masa 0,7 [kg] se desliza 6,5 [m] hacia abajo sobre una rampa sin friccin inclinada en 30 respecto a la horizontal. Luego sigue movindose sobre una superficie horizontal spera cuyo coeficiente de friccin es k = 0,5. a) Cul es la rapidez del bloque al final de la rampa? b)Cul es la rapidez del bloque luego de recorrer 1,0 [m] sobre la superficie horizontal y c) Cul es la distancia que recorre sobre la superficie horizontal antes de detenerse?TE 01*Segundo L. Gallardo Z.*


TRABAJO Y ENERGIA En el sistema de la Fig.18, usar el principio de conser-vacin de la energa y hallar la velocidad de cada masa despus que B haya cado una distancia vertical de 5 [cm], partiendo del reposo. Considere que la polea es ligera y no tiene friccin. Cul sera su velocidad si todo el sistema estuviera sobre la plataforma de un ascensor que asciende a razn de 2,0 [m/s]?*Segundo L. Gallardo Z.*En el sistema de la Fig.19, el bloque de masa m es dejado libre en la parte superior de un plano inclinado spero, el cual se mueve hacia abajo una distancia de 6 [m]. Aplicar el Teorema Trabajo-Energa para calcular: a) la velocidad del bloque al llegar al final del plano y b) el tiempo que demora en recorrer el plano. Considere que el coeficiente de friccin entre el bloque y el plano es 0.15. Un nio se desliza hacia abajo por un tobogn sin friccin, como se muestra en la Fig.20. Hallar en trminos de R y H, la altura y en la cual perder contacto con la seccin curva de radio R.Figura 18Figura 19


TRABAJO Y ENERGIA*Segundo L. Gallardo Z.*Un bloque de 4,5 [kg] es dejado libre a una altura y1 = 75 [cm] sobre un plano inclinado en 40 como se muestra en la Fig.21. Al alcanzar la parte ms baja del plano, el bloque se desliza sobre una superficie horizontal. Si el coeficiente de friccin entre ambas superficies y el bloque es k = 0,20, cun lejos se deslizar el bloque sobre la superficie horizontal antes de llegar al reposo?En la Fig.22, el coeficiente de friccin entre el objeto de 3,0 [kg] y la superficie es 0,40. Si las masas originalmente estn en reposo, cul es la rapidez de la masa de 5,0 [kg] cuando haya cado una distancia vertical de 1,5 [cm]?F I NFigura 20


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