9 RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

7/11/2019 9 RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

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RESPUESTA SÍSMICAA SISTEMAS NO LINEALES

9.1 INTRODUCCION.

Se ha visto que para un sistema linealmente elástico la cortante basal pico inducida por el movimiento del sueloes: V b=(A/g)·w donde w es el peso del sistema, A, es la aceleración espectral correspondiente a un periodo devibración natural y un amortiguamiento determinado. Sin embargo la mayoría de los edificios son diseñados paracortantes basales menores que la cortante basal asociada con un temblor fuerte que puede ocurrir en el sitio. Apartir de la Figura 9.1, donde el coeficiente de cortante basal, A/g, es graficada para el espectro de diseñocorrespondiente a la aceleración pico del suelo de 0.4g, además es comparado con el coeficiente de cortante basalespecificado en el Código Uniforme de la Edificación de 1997 (UBC 97). Se observa una gran disparidad, queimplica que los edificios diseñados a partir de las fuerzas propuestas por el código se deformarán más allá dellímite elástico cuando estén sujetos a movimientos del suelo representados por el espectro de diseño para 0.4g.

Figura 9.1 Comparación entre coeficientes de cortante basal a partir del espectro de diseño y UBC

De este modo no es de sorprenderse que los edificios sufran daños durante un movimiento intenso del suelo. Elreto para el ingeniero es de diseñar las estructura de tal forma que el daño sea controlado dentro un rangoaceptable; obviamente el diseño fracasará si el sismo causa daños severos los cuales no pueden ser reparados, o sise produce el colapso de la estructura.

De este modo la importancia central en ingeniería sísmica es comprender la respuesta de las estructurasdeformadas dentro el rango inelástico durante un movimiento intenso del suelo. Este capítulo trata sobre esteimportante punto. Se hace una introducción al sistema elastoplástico y se describen los parámetroscorrespondientes a dicho sistema, se presenta la ecuación de movimiento y se identifican varios parámetros quedescriben el sistema y la excitación. Entonces se comparan la respuesta de sistemas elásticos e inelásticos con elobjeto de comprender como la fluencia influye en la respuesta estructural.

1

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

2 30.0

C o e f i c i e n t e d e C o r t a n t e B a s a l

Espectro de Diseño Elástico

ügo = 0.4·g

Código Uniforme de la Edificación

R = 4 a 12

Periodo natural de vibración T n , [s]



9.2 RELACIÓN FUERZA-DEFORMACIÓN

Los resultados experimentales indican que el comportamiento cíclico de la relación fuerza-deformación de unaestructura depende principalmente del material y del sistema estructural.

9.2.1 Idealización elastoplástica

Figura 9.2 Curva fuerza deformación durante la carga inicial: real e idealización elastoplástica.

Considerar la relación fuerza-deformación para una estructura durante su carga inicial mostrada en la Figura 9.2.Resulta conveniente idealizar esta curva por una relación fuerza-deformación elastoplástica debido a que estaaproximación permite desarrollar el espectro de respuesta en forma similar a un sistema linealmente elástico. Laaproximación elastoplástica a la curva real de fuerza-deformación esta representada en la Figura 9.2, de tal formaque las áreas bajo las dos curvas son las mismas para un valor de desplazamiento máximo, um. En el procesoinicial de carga este sistema idealizado es linealmente elástico con una rigidez k mientras la fuerza no exceda f y.La fluencia comienza cuando la fuerza alcanza el valor de f y, esfuerzo de fluencia. La deformación en la cual lafluencia comienza es u y, deformación de fluencia. En la fluencia la fuerza es constante (la rigidez es cero).En la Figura 9.3 se muestra un típico ciclo de carga, descarga y recarga para un sistema elastoplástico, en el cualse observa claramente que cuando el sistema alcanza el estado elastoplástico existen deformaciones permanentesque se incrementan en cada ciclo.

Real

Idealizado

u y

f y

f s

um

u



Figura 9.3 Relación fuerza-deformación elastoplástica.

9.2.2 Sistema lineal correspondiente

Figura 9.4 Sistema elastoplástico y su sistema lineal correspondiente

Se desea evaluar la deformación pico de un sistema elastoplástico debido a un movimiento sísmico del suelo ycomparar esta deformación con la deformación pico causada por la misma excitación en el sistema lineal

correspondiente. Este sistema elástico esta definido de tal forma que tiene la misma rigidez del sistemaelastoplástico durante su fase de carga inicial; ver Figura 9.4. Ambos sistemas tienen la misma masa yamortiguamiento. De este modo el periodo natural de vibración del sistema lineal correspondiente y del sistemaelastoplástico bajo oscilaciones pequeñas (u u y) es el mismo.

11

1

u y um

f y

u

f s

-f y

k k

k

f s

f 0

u y

f y

u0 um

u

Sistema Lineal Correspondiente

Sistema Elastoplástico



9.3 ESFUERZO DE FLUENCIA NORMALIZADO, FACTOR DE REDUCCIÓNDE FLUENCIA Y FACTOR DE DUCTILIDAD.

El esfuerzo de fluencia normalizado y f , de un sistema elastoplástico esta definido como:

00 u

u

f

f f

y y y (9.1)

donde f 0 y u0 son valores pico de fuerza resistente y deformación en el sistema lineal correspondiente, inducidospor un sismo. Se puede interpretar f 0 como la fuerza requerida para que la estructura permanezca con su límitelinealmente elástico durante un movimiento del suelo. Si el esfuerzo normalizado del sistema es menor que uno,el sistema se deformará mas allá de su límite linealmente elástico, por ejemplo si f y = 0.5 implica que el esfuerzode fluencia del sistema es la mitad de la fuerza requerida para que el sistema permanezca elástico durante elmovimiento del suelo. El esfuerzo normalizado del sistema que no se deforma más allá de su límite linealmenteelástico es igual a la unidad, porque dicho sistema se puede interpretar como un sistema elastoplástico con f y= f 0.

Alternativamente f y puede relacionarse con f 0 a través de el factor de reducción de fluencia definido por:

y y y

u

u

f

f R

00 (9.2)

obviamente R y es el reciproco de y f ; R y es igual a la unidad para sistemas lineales y es mayor que uno para

sistemas que se deforman en el rango inelástico.

El pico o máximo absoluto de deformación del sistema elastoplástico debido al movimiento del suelo es denotadopor um. Es significativo normalizar um relacionado con la deformación de fluencia del sistema de la siguientemanera:

y

m

u

u(9.3)

esta relación adimensional es llamada factor de ductilidad. Para sistemas que se deforman en el rango inelástico,por definición, um excede a u y y el factor de ductilidad es mayor que la unidad. Para el sistema linealcorrespondiente el factor de ductilidad es uno si este sistema es interpretado como un sistema elastoplástico con f y=f 0. y sus relaciones pueden expresarse como:

y

ym

R f

u

u

0

(9.4)

9.4 ECUACIÓN DE MOVIMIENTO Y PARÁMETROS DE CONTROL

La ecuación que gobierna el sistema inelástico es:

)(),( t gs umuu f ucum (9.5)



Figura 9.5 Relación fuerza-deformación en forma normalizada

donde la fuerza resistente ),( uu f s para un sistema elastoplástico es mostrado en la Figura 9.3. La ecuación 9.5 es

resuelta por un procedimiento numérico1. Para identificar los parámetros del sistema que tienen influencia en larespuesta de deformación, la ecuación anterior es dividida por m para obtener:

)(2

),(2 t gs ynn uuu f uuu (9.6)

donde:

m

k n

nm

c

2

y

ss

f

uu f uu f

),(),(

(9.7)

La cantidad n es la frecuencia natural del sistema inelástico vibrando dentro el rango linealmente elástico(u u y); ésta también es la frecuencia natural del sistema lineal correspondiente. Similarmente, es la razón deamortiguamiento del sistema basado en el amortiguamiento crítico 2·m· n del sistema inelástico vibrando en surango linealmente elástico; es también la razón de amortiguamiento del sistema lineal correspondiente. La

función ),( uu f s describe la relación fuerza-deformación en forma parcialmente adimensional como se muestra

en la Figura 9.5(a). La ecuación 9.6 indica que para üg(t), u(t) depende de tres parámetros del sistema: n , y u y.

La ecuación 9.6 es reescrita en términos de (t) u(t) /u y para identificar la influencia que tiene el factor deductilidad ; de la ecuación 9.3 sustituyendo u(t)=u y· (t), )()( t yt uu y )()( t yt uu en la ecuación 9.6 y

dividiendo por u y se tiene:

y

t g

nsnna

u f

)(22),(2

(9.8)

donde a y=f y /m puede ser interpretada como la aceleración de la masa para producir la fuerza de fluencia y

),( s f es mostrada en la Figura 9.5(b). La relación de aceleraciones üg(t) /a y es la razón entre la aceleración del

suelo y la medida del esfuerzo de fluencia de la estructura.

1 Anil K. Chopra, pp 249 [ref. 12]

1

1

1

(a) (b)

f s

u y

u

f s



Para üg(t) dada, el factor de ductilidad depende de tres parámetros del sistema: n , y y f

9.5 EFECTOS DE FLUENCIA

Para entender como la respuesta de un sistema SDF es afectada por la acción inelástica o la fluencia acontinuación se compara la respuesta de un sistema elastoplástico con su sistema lineal correspondiente a travésde las Figuras 9.6 y 9.7.

Figura 9.6 Respuesta de un sistema lineal con T n=0.5 [s] y =0 para el movimiento del suelo de El Centro

A diferencia de un sistema estático, el sistema inelástico después de que empieza afluir no oscila alrededor de suposición inicial de equilibrio. La fluencia provoca que el sistema se desplace de su posición inicial de equilibrio yhace que éste oscile alrededor de una nueva posición de equilibrio hasta que éste sea afectado por otro ciclo defluencia. Por lo tanto una vez que el movimiento del suelo se ha detenido, el sistema entra en reposo en unaposición diferente de la inicial (existe deformación permanente). De este modo una estructura que ha sufridofluencia significativa durante un sismo puede no permanecer recta después de éste.

A continuación se examina como la respuesta de un sistema elastoplástico es afectado por su esfuerzo defluencia. Considerar cuatro sistemas SDF todos con las mismas propiedades en el rango linealmente elástico:T n=0.5 [s] y =5% pero estas difieren en sus esfuerzos de fluencia: f y = 1,0.5,0.25 y 0.125. f y = 1 implica unsistema linealmente elástico; y éste es el sistema lineal correspondiente para los tres sistemas elastoplásticos. Larepuesta de deformación de éstos cuatro sistemas para el movimiento de El Centro es presentada en la Figura 9.8.

Como se puede ver intuitivamente, se espera que sistemas de bajo esfuerzo de fluencia, fluyen másfrecuentemente y por intervalos de tiempo mayores. Con mayor fluencia, la deformación permanente, u p, de laestructura tiende a incrementarse. Para valores de T n y dados, la deformación pico, um, de los tres sistemaselastoplásticos es menor que la deformación pico, u0, del sistema lineal correspondiente.

El factor de ductilidad para un sistema elastoplástico puede ser calculado usando la ecuación 9.4. Por ejemplo ladeformación pico de un sistema elastoplástico con f y = 0.25 y del sistema lineal correspondiente son: um=1.75[in.] y u0=2.25 [in.] respectivamente. Sustituyendo los anteriores valores en la ecuación 9.4 da el factor deductilidad =(1.75/2.25)·(1/0.25)=3.11. Ésta es la demanda de ductilidad impuesta en el sistema elastoplásticopor el movimiento del suelo. Esto representa un requisito importante en el diseño del sistema en el sentido de que

0

4

-4 D e f o r m a c i ó n u

f s / w =

- ü ' / g

0

-2

2

u0=3.34 in

f 0 / w=1.37

10 20 300

Tiempo, [s]



la capacidad de ductilidad (habilidad de deformarse más allá del límite elástico) debe exceder a la demanda deductilidad.

A continuación se examina como el periodo natural de vibración T n tiene influencia en: (1) La demanda deductilidad en un sistema elastoplástico; (2) Los valores relativos de la deformación pico um y u0 del sistemaelastoplástico y del sistema lineal correspondiente, respectivamente; (3) Los valores relativos del esfuerzo defluencia f y del sistema elastoplástico y la fuerza pico f 0 impuesta en el sistema elástico.

Figura 9.7 Respuesta de un sistema elastoplástico con T n=0.5 [s] y =0, y f y = 0.125 para el movimiento del suelo de El Centro (a)Deformación; (b) Fuerza resistente y aceleración; (c) Intervalos de tiempo de fluencia; (d) Relación fuerza-deformación

La Figura 9.9 es una grafica de um como una función de T n para cuatro valores de f y = 1,0.5,0.25 y 0.125; u0 es elmismo que um para f y = 1. En la Figura 9.10 esta graficado el factor de ductilidad versus T n para los mismoscuatro valores de f y; =1 si f y = 1. El histograma de respuesta presentado en la Figura 9.8 provee valores parau0=2.25 [in.] y um=1.62, 1.75 y 2.07 [in.] para f y = 0.5,0.25 y 0.125 respectivamente. Dos de estos cuatro datosson identificados en la Figura 9.9. La demanda de ductilidad para los tres sistemas elastoplásticos es 1.44, 3.11

5

Tiempo, [s]

0

-0.3

f s / w

0

0.3

0 1 2-1-2

10

a

b

c

d e

f

g

a

b c

d e f

g

a

b c

d

e f

g

a

b c

e

d

f

g

+ Fluencia

- Fluencia

f y / w=0.17

- f y / w=-0.17

Deformación, u, [in]

( a )

( b )

( c )

( d )

um=1.71 in

0

2

-2

u ,

[ i n ]

f s / w

= - ü ' / g

0

-0.3

0.3



y 7.36 respectivamente. Estos tres datos se identifican en la Figura 9.10, en estas graficas también se identificanlos valores de los periodos T a, T b, T c, T d , T e y T f , que definen la regiones espectrales.

Figura 9.8 Respuesta de deformación y fluencia de cuatro sistemas para el movimiento del suelo de El Centro; T n=0.5 [s] y =5%, y125.0,25.0,5.0,1 f y

Las Figuras 9.9 y 9.10 demuestran que para una excitación dada la demanda de ductilidad y la relación entreum yu0 dependen de T n y de f y. Para sistemas de periodos grandes (T n>T f ) en la región sensitiva de desplazamientodel espectro, la deformación um de un sistema elastoplástico es independiente de f y y es igual a u0. Cuando elsistema es muy flexible (la masa permanece fija) la masa es estacionaria mientras el suelo se mueve; la masaexperimenta una deformación pico igual al desplazamiento pico del suelo independiente de f y. De este modoum u0 ug0 y la ecuación 9.4 da y f / 1 o = R y. Esto implica que para un dado el esfuerzo de fluencia de

diseño para un sistema elastoplástico con T n>T f es 1/ veces el esfuerzo requerido para que el sistemapermanezca elástico.



Para sistemas en la región sensitiva de aceleración, lo cual implica sistemas de periodos muy pequeños, lademanda de ductilidad puede ser muy grande. Entonces los sistemas con periodos extremadamente pequeños(T n>T a) deben ser diseñados para un esfuerzo de fluencia f y igual a f 0 requerida para que el sistema permanezcaen el rango elástico, de otra forma la deformación inelástica y la demanda de ductilidad pueden ser excesivas.

Figura 9.9 Deformación pico de sistemas elastoplásticos y sistema lineal correspondiente debido al movimiento de El Centro; T n esta

0.1 1 10 500.050.02 0.5 5

Periodo natural de vibración T n, s

0.01

0.05

1

0.005

0.001

0.1

0.5

2 2

1

0.05

0.001

0.01

0.005

0.1

0.5

Regiones Espectrales

Aceleración Velocidad Desplazamiento

Sensitiva Sensitiva Sensitiva

T a = 0 . 0

3 5

T b = 0 . 1

2 5

T d = 3

T f = 1 5

T c = 0 . 5

T e = 1

0

uo /ugo f y=1 f y=0.5

f y=0.25

f y=0.125um /ug0

u 0 / u g 0

o u m / u

g 0

_

_

_

_

2.25/8.4=0.27

1.62/8.4=0.19

0.1 1 10

1

2

5

10

20

50

100

0.2 20 500.050.02 20.5 5

D e m a n d a d e d u c t i l i d

a d ,

Periodo natural de vibración Tn, [s]

T b

f y = 1

f y = 0.5

f y = 0.25

f y = 0.125

T a

T c

T d

T e

T f

Aceleración Velocidad Desplazamiento

Sensitiva Sensitiva Sensitiva

Regiones Espectrales

7.36

3.11

1.44

_

_

_

_



variando; =5% y 125.0,25.0,5.0,1 f yy ug0=8.4 in. Para un ug0=8.4 in.

Figura 9.10 Demanda de ductilidad para sistema elastoplásticos debido al movimiento de El Centro; T n esta variando; =5% y125.0,25.0,5.0,1 f y

9.6 ESPECTRO DE RESPUESTA PARA DEFORMACIÓN DE FLUENCIA YESFUERZO DE FLUENCIA

Para propósitos de diseño se desea determinar el esfuerzo de fluencia f y (o deformación de fluencia u y) delsistema, necesario para limitar la demanda de ductilidad, impuesta por el movimiento del suelo, a un valorespecifico.

9.6.1 Definiciones

El espectro de respuesta es trazado par las cantidades:

y y u D yn y uV yn y u A 2 (9.9)

notar que D y es la deformación de fluencia u y del sistema elastoplástico, no es igual a la deformación pico. Lagrafica de D y versus T n para valores fijos de ductilidad es llamada espectro de respuesta de fluencia-

deformación. Análogamente al capítulo anterior similares graficas de A y y V y son llamadas espectro de respuestade seudoaceleración y espectro de respuesta de seudovelocidad respectivamente.

Las cantidades de D y, V y, y A y pueden ser presentadas en una grafica tetralogarítmica en la misma forma que paraun sistema lineal. Esto es posible por que estas cantidades están relacionadas a través de:

yn y

n

y

DV

A

(9.10)

el esfuerzo de fluencia de un sistema elastoplástico es:

wg

A f

y

y (9.11)

donde w es el peso del sistema.

9.6.2 Esfuerzo de fluencia para una ductilidad especifica

El esfuerzo de fluencia f y de un sistema elastoplástico para un factor de ductilidad específico se puede obtenerutilizando f y y la ecuación 9.1. Para tener mayor precisión en este calculo, f y es obtenido a partir de unprocedimiento iterativo. A partir de pares de datos disponibles ( f y, ) se asume una relación lineal entre log( f y )y log ( ), y a través de una interpolación se obtiene f y correspondiente a un especifico. Se calcula el histogramade respuesta del sistema con este f y para determinar el factor de ductilidad. Si este factor es suficientementecercano, con un error del 1 %, al especificado; el valor de f y se considera satisfactorio, de otra forma esmodificado hasta que lo sea.



9.6.3 Construcción del espectro de respuesta con ductilidad constante

A continuación se presenta en una serie de pasos el procedimiento para construir el espectro de respuesta para unsistema elastoplástico correspondiente a niveles de ductilidad específicos:

1. Definir numéricamente el movimiento del suelo .üg(t)

2. Seleccionar una razón de amortiguamiento para la cual el espectro será trazado

3. Seleccionar un valor para T n 4. Determinar la respuesta u(t) del sistema lineal con los valores de T n y seleccionados. A partir de u(t)

determinar la deformación pico u0 y la fuerza pico f 0=k·u0. Estos resultados se muestran para T n=0.5 enla Figura 9.8(a)

5. Determinar la respuesta u(t) de un sistema elastoplástico con los mismos valores de T n y y la fuerza defluencia f y = f y · f 0, con un valor de f y < 1 seleccionado. A partir de u(t) determinar la deformación picoum y el factor de ductilidad asociado a partir de la ecuación 9.4. Repetir dicho análisis para valores de f y suficientes para desarrollar una serie de puntos ( f y, ) que cubran el rango de ductilidad de interés. Estosresultados se muestran para f y = 0.5, 0.25 y 0.125

6. a. Para una seleccionada determinar f y a partir de los resultados del paso 5 usando el procedimientode interpolación descrito en la sección 9.6.2. Si más de un valor de f y corresponde a un valor particularde se elegirá el mayor.

b. Determinar la correspondiente ordenada espectral para el valor de f y calculado en el paso 6(a). Laecuación 9.1 da u y a partir del cual D y , V y y A y pueden ser calculados utilizando la ecuación 9.9. Estosdatos proveen un punto en el espectro de respuesta graficado en las Figuras 9.11 y 9.12

7. Repetir los pasos del 3 al 6 para un rango de valores de T n validos para el valor de seleccionado en elpaso 6(a)

8. Repetir los pasos del 3 al 7 para varios valores de

En las Figuras 9.11 y 9.12 se presenta el espectro de respuesta construido por este procedimiento para un sistemaelastoplástico con =5% para el movimiento del suelo de El Centro para =1,1.5,2,4 y 8.

f y / w = A

y / g

0 0.5 1 1.5 2 32.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

= 1

Periodo natural de vibración Tn, [s]



Figura 9.11 Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: =1, 1.5, 2, 4 y 8; =5%

Figura 9.12 Espectro de respuesta para un sistema elastoplástico para el movimiento de El Centro: =1, 1.5, 2, 4 y 8; =5%

9.7 ESFUERZO DE DISEÑO Y DEFORMACIÓN A PARTIR DEL ESPECTRODE RESPUESTA

Considerar un sistema SDF a ser diseñado para una ductilidad, , admisible, basado en una deformaciónadmisible y en una capacidad de ductilidad que se pueden alcanzar para los materiales y materiales de diseñoseleccionados.

Se desea determinar el esfuerzo de fluencia de diseño y la deformación de diseño para el sistema sujeto a unaexcitación dada. El valor A y / g se lee del espectro de respuesta para el valor admisible de y los valores conocidosde T n y . La ecuación 9.11 proporciona el esfuerzo de fluencia, f y, necesario para limitar la demanda deductilidad a la ductilidad admisible. La deformación pico es:

ym uu (9.12)

donde: u y=f y /k=A y /( n)2

El factor de ductilidad y la deformación pico um representan los requisitos de diseño asociados con la fuerza dediseño f y. De este modo el ingeniero deberá diseñar y detallar la estructura de acuerdo a la capacidad de ductilidady la capacidad de deformación que ésta posee.

A y · g u y , i

n

1

0. 0 1

2

Periodo natural de vibración T n, [s]

2

0.2

0.050.02

1

0.50 . 0

1

0.20.1 10.5

0 . 1

1 0

5

10

V ,

[ i n / s ]

20

50

1

0. 1

50

0. 0 0 1

105 20

1 0

1 0 0



9.8 ESFUERZO DE FLUENCIA DE DISEÑO

El esfuerzo de fluencia de diseño f y que permite a un sistema SDF tener una deformación en el rango inelásticoes menor que el esfuerzo requerido por la estructura para permanecer en el rango elástico. El esfuerzo de fluenciade diseño se reduce con el incremento del factor de ductilidad, esta aseveración es mostrada con mayor claridaden la Figura 9.13, que no es otra cosa que las Figuras 9.11 y 9.12 graficadas en forma diferente.

La implicación practica de estas observaciones es que la estructura puede ser diseñada para ser sismorresistentehaciéndola fuerte o dúctil; o diseñándola económicamente combinando ambas propiedades. Considerar de nuevoun sistema SDF con T n=0.5 [s] y =5% a ser diseñado para el movimiento de El Centro. Si este sistema esdiseñado para una fuerza f 0=0.919·w o mayor, permanecerá dentro el rango linealmente elástico durante estaexcitación; de este modo no necesita ser dúctil. Por otro lado si ésta puede desarrollar un factor de ductilidad de8, solo necesita ser diseñada para 12% de la fuerza f 0 requerida para un comportamiento elástico.Alternativamente puede ser diseñada para una fuerza igual al 37% de f 0 y una capacidad de ductilidad de 2. Paraalgunos tipos de materiales y miembros estructurales la ductilidad es difícil de alcanzar; para otras el proveerlesductilidad es mucho más fácil que proveerles resistencia lateral y el diseño práctico refleja esto.

Figura 9.13 Esfuerzo normalizado y f de un sistema elastoplástico como función de T n

La resistencia normalizada para un factor de ductilidad especifico depende de la relación del amortiguamiento ,

pero esta dependencia no es fuerte; es usualmente ignorada en aplicaciones de diseño.

0.1 1 100.2 20 500.050.02 20.5 5

Periodo natural de vibración T n, [s]

T a

0.1

0.2

0.5

10

5

2

11

0.05

T b

T c

T d

T e

T f

f y

= 1

= 1.5

= 2

= 4

= 8

R y

_

9 RESPUESTA SÍSMICA A SISTEMAS NO LINEALES

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