9 Poligonoak, perimetroak eta azalerak -...

MATEMATIKA 1. DBH 133

Hasi baino lehen

1.Lerro poligonalak…………………………… 136. orr.

Definizioa eta sailkapena. Poligonoa

2.Triangeluak…………………………………… 136. orr.

Elementuak eta sailkapena

Triangeluak eraikitzen Zuzen eta puntu esanguratsuak

3.Laukiak……………………………………………… 141. orr.

Elementuak eta sailkapena Paralelogramoak

4.Poligono erregularrak ………………… 143. orr.

Definizioa

Simetria-ardatzak

5.Perimetroak eta azalerak…………… 145. orr.

Definizioa. Azalerak neutzen Azalera-unitateak

5.Poligonoen azalerak……………………… 147. orr.

Laukien azalerak Triangeluen azalerak Poligono erregularren azalerak

Poligono irregularren azalerak

Praktikatzeko ariketak Gehiago jakiteko

Laburpena

Autoebaluazioa

Tutoreari bidaltzeko jarduerak

Helburuak Hamabostaldi honetan, hau ikasiko

duzu:

Poligonoen elementuak

zeintzuk diren esaten,

bereizten eta irudikatzen.

Triangeluak irudikatzen.

Zeintzuk diren triangeluetako

zuzen eta puntu

esanguratsuak.

Lauki motak bereizten eta

irudikatzen.

Beste poligono batzuk

identifikatzen.

Poligonoen perimetroak

kalkulatzen.

Poligonoen azalerak

kalkulatzen.

Poligonoen azaleren kalkulua

aplikatzen eguneroko bizitzako

egoeretan.

Poligonoak, perimetroak eta azalerak 9

134 MATEMATIKA 1. DBH


Hasi baino lehen

Bost piezako Tangram-a

Moztu goiko irudiak, eta ebazpenari begiratu

gabe, saiatu lauki bat eraikitzen pieza guztiekin.

Ondoren, saiatu beste irudi batzuk sortzen.

Aztertu

Beste zein tangram oinarritzen da lauki baten

banaketan? Zenbat pieza ditu?

Poligonoak, perimetroak eta azalerak


1. Lerro poligonalak

Definizioa eta sailkapena. Poligonoak

Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu

batzuen multzoa (segmentu baten amaiera izango da

hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan

daitezke.

Ahurrak edo ganbilak izan daitezke poligonoak.

Ganbila: 180º baino txikiagoak dira bere barne-

angelu guztiak.

Ahurra: 180º baino handiagoa(k) d(ir)a barne-

angeluetako bat(zuk).

Unitate honetan, ikusiko dugu erregularrak edo

irregularrak izan daitezkeela poligonoak. Alde

kopuruaren arabera ere sailka daitezke.

2. Triangeluak


Hiru aldeko poligonoa da triangelua. Triangeluaren

elementu garrantzitsuak hauek dira: aldeak, oinarria,

altuera, erpinak eta angeluak.

Angeluen arabera sailka daitezke triangeluak:

Zorrotza: hiru angeluak zorrotzak dira.

Zuzena: angelu zuzen bat eta bi zorrotz.

Kamutsa: angelu kamuts bat eta bi zorrotz.

Aldeen arabera ere sailka daitezke triangeluak:

Aldekidea: hiru aldeak berdinak dira.

Isoszelea: bi alde berdinak dira.

Eskalenoa: hiru aldeak desberdinak dira.

Lerro poligonal irekia

Poligono ganbila Poligono ahurra

Triangelua aldeak erpinak

angeluak oinarria altuera

Triangelu zorrotza

Triangelu zuzena

Triangelu kamutsa

Triangelu aldekidea

Triangelu isoszelea

Triangelu eskalenoa


Lerro poligonal itxi batek osatzen

duen barrutia da poligonoa.

Hiru aldeko poligonoa da triangelua.

MATEMATIKA 1.DBH 137

ARIKETA ebatziak

1. Adierazi beheko poligonoak ahurrak ala ganbilak diren:

a) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.

b) Ahurra: 180º baino handiagoa da F angelua.

c) Ahurra: 180º baino handiagoak dira A eta D angeluak.

d) Ganbila: 180º baino txikiagoak dira barne-angelu guztiak.

2. Sailkatu beheko irudiak angeluen eta aldeen arabera:

a) Isoszelea eta zuzena. d) Isoszelea eta zorrotza.

b) Eskalenoa eta kamutsa. e) Aldekidea eta zorrotza.

c) Eskalenoa eta zorrotza. f) Eskalenoa eta zuzena.

3. Bete beheko taula: gelaxketan BAI edo EZ idatzi beharko duzu triangelu bat

zutabean eta errenkadan adierazten den motakoa izatea posible denaren arabera:

Aldekidea Isoszelea Eskalenoa

Zorrotza

Zuzena

Kamutsa

Aldekidea Isoszelea Eskalenoa

Zorrotza BAI BAI BAI

Zuzena EZ BAI BAI

Kamutsa EZ BAI BAI



Triangeluak eraikitzen

Triangelu bat irudikatzeko, honako kasu hauetako

bat izan beharko dugu:

Hiru aldeak ezagutzea.

Segmentuetako bat hartuko dugu gure

triangeluaren oinarri.

Arku bat marraztuko dugu: zentroa oinarriaren

muturretako batean izango du, eta erradioa beste

aldeetako baten luzera izango da.

Beste arku bat marraztuko dugu: zentroa

oinarriaren beste muturra izango da, eta erradioa

hirugarren aldearn luzera.

Marraztutako arkuen ebaki puntua da

triangeluaren hirugarren erpina.

Oharra: triangelua eraiki ahal izateko, a aldearen luzera baino handiagoa izan behar du b eta c aldeen luzeren baturak.

Bi alde eta bien arteko angelua

ezagutzea.

Segmentuetako bat hartuko dugu gure

triangeluaren oinarri.

Alde honen muturretako batean, irudikatuko dugu

ezaguna den angelua.

Zuzen bat marraztuko dugu: erreferentzia

moduan hartutako erpinetik igaroko da, eta

aurreko pausoan iruditutako angeluaren aldea

izango da. Zuzen horren gainean, puntu bat

markatuko dugu: bigarren aldearen luzera izango

da marraztutako angeluaren erpinetik puntu

horretara egongo den distantzia.

Segmentu batekin lotuko ditugu triangelua izten

lagunduko diguten erpin biak.

Bi angelu eta batera duten aldea

ezagutzea.

Ezagutzen dugun aldea izango da triangeluaren

oinarria. Eman diguten angeluetako bat

marraztuko dugu oinarriaren mutur batean. Zuzen

bat marraztuko dugu: erreferentzia moduan hartu

dugun erpinetik igaroko da, eta aurreko pausoan

neurtutako angeluaren aldea zuzen horren

gainean egongo da. Oinarriaren beste muturrean

irudikatuko dugu bigarren angelua, eta zuzen bat

marratuko dugu oinarriarekin angelu hori osatzen

duena. Zuzenki bi horien ebakipuntua izango da

triangeluaren hirugarren erpina.



Erdibitzaileak eta zirkuntzentroa

Erdikariak eta intzentroa

Erdibidekoak eta barizentroa

Altuerak eta ortozentroa

Zuzen eta puntu esanguratsuak

Lau zuzen mota definitzen dira triangelu batean; zuzen esanguratsuak esaten zaie:

Erdibitzailea: aldearen erdiko puntutik igarotzen

den zuzen perpendikularra.

Erdikaria: angelua beste bi angelu berdinetan

banatzen duen zuzena.

Erdibidekoa: erpin batetik aurkako aldearen

erdiko puntura doan zuzena.

Altuera: erpin batetik aurkako aldera

perpendikularrean doan zuzena.

Mota bakoitzeko hiru zuzen daude triangelu batean.

Zuzenkion ebaki puntuei puntu esanguratsuak

deritze:

Zirkuntzentroa: hiru erdibitzaileen ebaki puntua.

Intzentroa: hiru erdikarien ebaki puntua.

Barizentroa: hiru erdibidekoen ebaki puntua.

Ortozentroa: hiru altueren ebaki puntua.


Zein da triangelu baten barne-angeluen batura? Irudian ikus dezakezunez:

A + B + C = 180º

A B


ARIKETA ebatziak

4. Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:

Altuerak eta ortozentroa Erdikariak eta intzentroa Erdibidekoak eta

barizentroa Erdibitzaileak, zirkuntzentroa

5. Esan zeintzuk diren irudietako zuzen eta puntu esanguratsuak:

Erdikariak eta intzentroa Altuerak eta ortozentroa Erdibitzaileak, zirkuntzentroa

Erdibidekoak eta barizentroa

6. Irudikatu 6, 7 eta 8 zentimetroko aldeak dituen triangelua. Aldeei erreparatuz,

nolakoa da triangelua? Eta angeluei erreparatuz? Marraztu zuzen eta puntu

esanguratsu guztiak. Non daude kokatuta puntu esanguratsuak?

Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zorrotza da angelu guztiak

zorrotzak baitira. Barnean daude puntu esanguratsu guztiak.




Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Zuzena da angelu zuzen

bat baitauka. Zirkuntzentroak bat egiten du hipotenusaren erdiko puntuarekin.

Angelu zuzenaren erpinean dago ortozentroa. Barnean daude barizentroa eta

intzentroa.




Triangelua eskalenoa da hiru aldeak desberdinak baitira. Kamutsa da angelu

kamuts bat baitu. Kanpoan daude zirkuntzentroa eta ortozentroa. Barnean daude

barizentroa eta intzentroa.




Aldekidea eta zorrotza da triangelua: angelu guztiak dira 60º-koak. Bat egiten dute

zuzen esanguratsuek; baita puntuek ere.



Laukiak Diagonalak

aldeak erpinak angeluak

Trapezoidea Trapezioa

Paralelogramoak

Karratua Laukizuzena

Erronboa Erronboidea

3. Laukiak


Laukia lau aldeko poligonoa da. Laukiaren elementu

garrantzitsuak: aldeak, erpinak, angeluak eta diagonalak.

Zenbat alde paralelo dituzten, honela sailkatzen dirá

laukiak:

Trapezoideak: aldeak ez dira paraleloak.

Trapezioak: bi alde paraleloak dira.

Paralelogramoak: binaka paraleloak dira aldeak.

Paralelogramoak

Aurreko atalean esan den bezala, paralelogramoa da aurkako aldeak beti paraleloak dituen laukia.

Bere angeluen eta aldeen arabera sailka daitezke paralelogramoak:

Karratuak: berdinak dira lau aldeak; baita

angeluak ere.

Laukizuzenak: aldeak binaka desberdinak dira;

eta berdinak lau angeluak (zuzenak).

Erronboak: angeluak binaka desberdinak dira; eta

berdinak lau aldeak.

Erronboideak: angeluak eta aldeak binaka

desberdinak dira.

Laukia lau aldeko poligonoa da.


Aurkako aldeak paraleloak dituen

laukia da paralelogramoa.

Zein da lauki baten barne-angeluen batura?

Diagonalak bi triangelutan

banatzen du laukia; laukiaren

barne-angeluen batura:

180º+180º=360º


ARIKETA ebatziak

10. Sailkatu beheko laukiak:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

a) Trapezioa b) Laukizuzena c) Erronboidea

d) Erronboa e) Trapezoidea f) Trapezioa

g) Erronboidea h) Erronboa i) Laukizuzena

j) Karratua k) Trapezioa l) Trapezoidea



aldeak erpinak

Zentroa eta apotema Zentroa eta erradioa

diagonala Barne-angelua

Pentagonoa Hexagonoa

Heptagonoa Oktogonoa

Eneagonoa Dekagonoa

Endekagonoa Dodekagonoa

4. Poligono erregularrak

Elementuak.

Poligono erregularraren elementu esagurantsuak:

Aldea: lerro poligonal itxiaren segmentuetako

bakoitza.

Erpina: ondoz ondoko bi aldek batera duten

puntuetako bakoitza.

Zentroa: erpin guztietatik distantzia berdinera

dagoen puntua.

Apotema: alde batekiko segmentu

perpendikularra: poligonoaren zentroan dago

muturretako bat; bestea, aldean bertan.

Erradioa: segmentu bat da, mutur bat zentroan

duena, eta bestea poligonoaren erpin batean.

Diagonalak: segmentu bat da, muturrak ondoz

ondokoak ez diren erpinetan dituena.

Barne-angelua: ondoz ondoko bi aldek osatzen

duten angelua (180º baino txikiagoa).

Alde kopuruaren arabera, izen bat du poligono

bakoitzak:

Hiru aldekoa: triangelu aldekidea.

Lau aldekoa: laukia.

Bost aldekoa: pentagonoa.

Sei aldekoa: hexagonoa.

Zazpi aldekoa: heptagonoa.

Zortzi aldekoa: oktogonoa.

Bederatzi aldekoa: eneagonoa.

Hamar aldekoa: dekagonoa.

Hamaika aldekoa: endekagonoa.

Hamabi aldekoa: dodekagonoa.

Hamairu edo alde gehiagokoa: ez zaio izen

berezirik ematen; 13, 14... aldeko poligono

erregularra esaten zaio.

Poligono erregularra da luzera

berdineko aldeak eta angelu berdinak

dituen poligonoa.


ARIKETA ebatziak

11. Kalkulatu angelu zentrala, barne-angelua eta kanpo-angelua pentagono

erregular batean, eta hexagono erregular batean:

Angelu zentrala: 360:5=72º

Barne-angelua: 180-72=108º

Kanpo-angelua: 180-108=72º

Angelu zentrala: 360:6=60º

Barne-angelua: 180-60=120º

Kanpo-angelua: 180-120=60º

12. Irudikatu triangelu aldekidearen, laukiaren, heptagono erregularraren eta

oktogono erregularraren simetria ardatzak:

Simetria-ardatzak

Badira lerro batzuk irudi bat erdibitu egiten dutenak;

irudia lerro horietatik tolestutakoan, aldeetako bat

beste batean gainjartzen da (biek bat egiten dute):

simetria-ardatza dute izena lerro horiek.

Poligonoek alde kopuru bikoitia edo bakoitia izan

dezakete. Ohartu zaitez zer antzekotasun eta

desberdintasun dituzten poligonoek simetria ardatzari dagokiolarik.

Alde kopuru bakoitia duen poligono erregularraren

erpin bakoitzetik eta horien aurkako aldearen erdiko puntutik igarotzen da simetria ardatza.

Bi motatako simetria ardatzak ditu alde kopuru

bikoitiko poligono erregular batek: aurkako erpinak

lotzen ditu batek; eta besteak aurkako alde biren erdiko puntuak lotzen ditu.

Pentagonoaren simetria ardatza

Hexagonoaren simetria ardatza



Poligono baten perimetroa

Azalera-unitatea

Unitate handiagoetara aldaketa

Unitate txikiagoetara aldaketa

5. Perimetroak eta azalerak

Definizioa. Azalerak neurtzen.

Irudi lau baten perimetroa da aldeen luzeren batura.

Irudiak betetzen duen azalera neurtzea da

irudiak betetzen duen eremuaren luze-zabala

kalkulatzea.

Zeharka kalkulatzen dira azalerak. Hau da, hainbat

formula matematiko erabiltzen dira, ezin baititugu

neurtu luzerekin egiten den moduan (besterik gabe

"irakur" dezakegu erregelarekin segmentu baten luzera).

Azalera-unitateak

Metro bateko aldea duen karratuaren azalera da

azalerak neurtzeko unitatea. Metro koadro du izena unitate horrek eta ikurra: m2.

Ezkerreko irudian ikusi nola lortzen den metro

koadroaren lehenengo azpimultiploa. Azalera-

unitateak ehunaka aldatzen direla ikusiko duzu.

Unitate batetik ondoz-ondoan duen goiko

unitatera pasatzeko, 100ekin zatitu behar da.

Unitate batetik ondoz-ondoan duen beheko

unitatera pasatzeko, 100ekin biderkatu behar

da.

Area da lursailen azalerak neurtzeko erabiltzen den

azalera-unitatea: dekametro karratua da, edo ehun

metro koadro.

Perimetroa da poligonoaren aldeen

luzeren batura. Azalera ezin da modu

zuzenean kalkulatu, zeharkako formuletara jo beharko dugu.

Metro koadroa (m2) da azalera-unitatea.



ARIKETA ebatziak

13. Kalkulatu beheko poligono erregularren perimetroa. Adierazi perimetroa

dekametrotan, metrotan, dezimetrotan, zentimetrotan eta milimetrotan:

aldea: 5 cm. aldea: 8 m. aldea: 2 dm. aldea: 4 mm.

a) Pentagonoaren perimetroa: 0.025 dam = 0.25 m = 2.5 dm = 25 cm = 250 mm

b) Hexagonoaren perimetroa: 4.8 dam = 48 m = 480 dm = 4800 cm = 48000 mm

c) Oktogonoaren perimetroa: 0.16 dam = 1.6 m = 16 dm = 160 cm = 1600 mm

d) Dekagonoaren perimetroa: 0.004 dam = 0.04 m = 0.4 dm = 4 cm = 40 mm

14. Zenbat cm2 dira 40 m2?

m2–tik cm2–ra pasatzeko, bi posizio jaitsi behar ditugu: bi aldiz bider 100 egin

behar dugu; hau da, bider 10000 egin behar dugu.

40 m2 = 40 · 100 · 100 = 40 · 10000 = 400000 cm2.

15. Zenbat m2 dira 500 mm2?

mm2-tik m2–ra pasatzeko, hiru posizio igo behar ditugu: hiru aldiz zati 100 egin

behar dugu; hau da, zati 1000000:

500 mm2 = 500 : 100 : 100 : 100 = 500 : 1000000 = 0.0005 m2.

16. Zenbat dm2 dira 7 km2?

km2-tik dm2-ra pasatzeko, lau posizio jaitsi behar ditugu: lau aldiz bider 100 egin

behar dugu. Hau da, bider 100000000:

7 km2 = 7 · 100000000 = 700000000 dm2.

17. Zenbat hm2 dira 24 dam2?

dam2-tik hm2–ra pasatzeko, posizio bat igo behar dugu: zati 100 egin behar dugu.

24 dam2 = 24 : 100 = 0.24 hm2.

18. Zenbat mm2 dira 0.125 hm2?

hm2-tik mm2–ra pasatzeko bost posizio jaitsi behar ditugu: bost aldiz bider 100

egin behar dugu. Hau da, bider 10000000000.

0.125 hm2 = 0.125 · 10000000000 = 1250000000 mm2.



A = 7 x 4 = 28 cm2

A = 5 x 5 = 25 cm2

A = 6 x 4 = 24 cm2

26 x 4A = =12 cm

2

2(7 + 4) x 3A = =16,5 cm

2

6. Poligonoen azalerak

Laukien azalerak

Oso erraza da laukizuzenaren, karratuaren eta

erronboidearen azalera kalkulatzea.

Laukizuzenaren azalera. Oinarria eta altuera

biderkatuz lortzen da: A = oinarria x altuera.

Karratuaren azalera. A = aldea x aldea = aldea2.

Erronboidearen azalera. Laukizuzenaren

azaleran oinarritzen da: erronboidearen oinarria bider

altuera (ez da beste aldearekin biderkatu behar).

A = oinarria x altuera.

Erronboaren azalera. Erronbotik abiatuz,

laukizuzen bat lor daiteke ezkerreko irudian ikus

dezakezun bezala. Diagonal handia da oinarria, eta

diagonal txikiaren erdia laukizuzenaren altuera:

Trapezioaren azalera. Ezkerreko irudian ikus

daitekeen bezala, trapezioa aldrebes ipiniz gero,

erronboide bat lor daiteke. Erronboide horren azalera

da trapezioaren azaleraren bikoitza. Erronboidearen

oinarria da trapezioaren oinarrien batura, eta

erronboidearen altuera da trapezioaren altuera.

Funtsezkoa da laukizuzen baten

azalera kalkulatzen jakitea beste

irudi lau batzuen azaleren kalkulua

ulertzeko.



Triangeluen azalerak

Edozein triangeluren azalera nola kalkulatzen den

ulertzeko, irudian ikus dezakezunez, triangelua

aldebrez ipiniz gero, erronboide bat lortzen da.

Triangeluaren azaleraren bikoitza izango da

erronboidearen azalera. Oinarri eta altuera bera

dituzte erronboideak eta triangeluak.

Poligono erregularren azalerak

Edozein poligono erregularren azalera kalkulatzeko,

triangelutan banatzen da poligonoa: erpinak

zentroarekin lotuz lortuko ditugu. Poligonoaren

apotema da triangeluen altuera. Triangelu baten

azalera kalkulatzen da, eta gero triangeluen kopuruagatik biderkatu.

Poligono irregularren azalera

Zeharkako metodoak erabiliko ditugu edozein

poligono irregularren azalera kalkulatzeko. Hiru dira

metodoak: triangulazioa, bilbe kuadrikulatua eta poligonoa lauki ezagunetan banatzea.

27 x 6A = = 21cm

2

Poligono irregularraren triangulazioa


Oinarria bider altuera zati bi da

triangeluaren azalera.

Perimetroa bider apotema zati bi da

poligono erregular baten azalera.


ARIKETA ebatziak

19. Kalkulatu paralelogramo hauen azalera:

2

A =24 16

A =384 cm

2

2

A =11

A =121 cm

2

A =30 18

A =540 cm

2

24 16

2A =

A =192 cm

20. Kalkulatu lauki hauen azalera:

2

(35+7) 21

2A =

A = 441 cm

2

(12+8) 12

2A =

A =120 cm

21. Kalkulatu triangelu hauen azalera:

2

12 7

2A =

A = 42 cm

2

4 9

2A =

A =18 cm

22. Kalkulatu polígono irregular hauen azalera:

2

5 8 5.5

2A =

A =110 cm

2

6 10 8.66

2A =

A =259.8 cm

23. Kalkulatu polígono hauen azalera:

2

1

2

2

2

8×2= 8

2

8×6= 24

2

A = cm

A = cm

A =8+24=32 cm

2

2

2

(5+2) 4

2

A =5 3=15 cm

A = 14 cm

A =15+14=29 cm


Praktikatzeko

1. Markoan jarri nahi dugu 103 cm-ko

oinarria eta 63 cm-ko altuerako

koadro bat. Zer luzera izango du

erabili nahi dugun moldurak? 7,2 €/m

da molduraren prezioa. Kalkulatu

markoaren prezioa.

2. Pentagono irregular baten formako

parke bat dago hiri batean. Aldeen

neurriak: 45, 39, 29, 17 eta 39

metro. Zer luzera du parkea

inguratzen duen hesiak?

3. Erromerietarako karpa bat jarri dute

herrian: 11 aldeko polígono irregular

baten forma du. Bonbillez osatutako

girlanda bat jarri dute bere inguruan.

Girlandaren luzera: 68 m. Zer luzera

du karparen alde batek?

4. Lauza karratuak jarri nahi dira eraikin

bateko barne-patioan. Lausaren

aldearen luzera: 30 cm. Laukizuzena

da patioa. Patioaren neurriak: 10 m

bider 1 m. Zenbat lauza behar dira?

5. Apurtu egin da itsasontzi baten bela,

eta beste bat ipini behar dugu. 21 €/

m2 kobratzen dizkigute bela

berriagatik. Belaren altuera 8 m-koa

bada, eta altuera 4 m-koa; zenbat

ordaindu beharko dugu?

6. Ohial-biribilki baten zabalera 2 m-koa

da; eta 1050 zapi karratu egiteko

erabili da. Zapien aldea: 20 cm. Ez da

ohialik falta izan, ezta sobratu ere;

beraz, zer luzer zuen biribilkiko

ohialak?

7. Erronbo formako kometa bat egin

dugu. 393 eta 205 cm-koak dira

erronboaren diagonalak. Plastikozko

lamina laukizuzen bat erabili da

kometa egiteko. Laukizuzenaren

luzera eta zabalera eta kometarenak

berdinak dira. Kalkulatu kometaren

azalera; bainta laminarena ere.

8. Hondartzarako eguzkitakoak egiten

ditu enpresa batek. Poligono

erregularretan moztutako ohiala

erabiltzen du horretarako. 173 cm-

koa da eguzkitakoaren aldea, eta

266,21 cm-koa bere apotema. Zer

luzerako ohiala beharko dugu 10

aldeko 36 eguzkitako egiteko?

9. Irudiko mosaikoan, koro poligonalak

osatzen dituzte hexagonoen inguruko

karratuek eta triangeluek.

Hexagonoaren aldea eta

dodekagonoarena berdinak dira, eta

30 cm-ko luzera dute. Hexagonoaren

apotema 25,98 cm-koa da eta

dodekagonoarena 55,98 cm-koa.

Kalkulatu koro poligonalen azalera.

10. Oinarri hexagonalekoa da aintzinako

fortifikazio baten dorrea. 166,27 m2-

koa da dorrearen oinarriaren azalera,

eta 8 m-koa paretaren zabalera. Zer

luzera du dorrearen apotemak?

11. a) Zenbat dam2 dira 97 hm2?

b) Zenbat dm2 dira 172 dam2?

c) Zenbat cm2 dira 0.5 km2?

d) Zenbat dm2 dira 2 km2?

e) Zenbat mm2 dira 256 m2?

12. a) Zenbat m2 dira 250000 mm2?

b) Zenbat dam2 dira 6 m2?

c) Zenbat hm2 dira 1423 mm2?

d) Zenbat km2 dira 8000 dm2?

e) Zenbat m2 dira 1500000 cm2?



Gehiago jakiteko

Euler-en zuzena

Edozein triangeluren lau puntu esanguratsuak marraztutakoan hau ikusiko dugu:

zirkuntzentroa, barizentroa eta ortozentroa lerrokatuta daude. Euler-en zuzena

esaten zaio puntu horietatik igarotzen den zuzenari.

Euler-en zuzena triangelu zorrotz batean

Euler-en zuzena triangelu zuzen batean.

Euler-en zuzena triangelu kamuts batean.

Triangelu isoszele batean, lau puntuak lerrokatuta daude.Euler-en zuzenean dago intzentroa.

Triangelu aldekide batean, bat egiten dute lau puntuek. Ez dago Euler-en zuzenik.

Planoa betetzen

Zer poligonok planoa guztiz betetzen duten -espazio hutsik utzi gabe eta bata bestearen

gainean jarri gabe- jakitea oso interesgarria da bai artean, bai ehun-diseinuan, baita

matematikan ere. Horietako batzuekin probatu ahalko duzu hurrengo eszenan. Zeintzuk

erabil ditzakegu planoa guztiz betetzeko?

Triangelu aldekideekin bete dezakegu planoa.

Karratuekin bete dezakegu planoa.

Pentagono erregularrekin ezin dugu planoa bete.

Hexagono erregularrekin planoa bete dezakegu.

Beste poligono erregularrekin ezin da planoa bete, baina poligono desberdinak erabiliz gero bai. Adibidez, karratuekin eta oktogonoekin.



Gogora ezazu

garrantzitsuena

Lerro poligonoala da lotuta dauden segmentu batzuen multzoa (segmentu baten

amaiera izango da hurrengoaren hasiera). Irekiak edo itxiak izan daitezke.

Lerro poligonal itxi baten barne-azalera da poligonoa. Ahurra edo ganbila izan

daiteke, eta erregularra edo irregularra.

Triangeluen sailkapena: zorrotza, zuzena eta kamutsa, bere angeluen arabera;

eta aldekidea, isoszelea eta eskalenoa, bere aldeen arabera.

Laukizuzenen sailkapena: paralelogramoak, trapezioak eta trapezoideak,

aldeen paralelotasunaren arabera.

Paralelogramoen sailkapena: karratuak, laukizuzenak, erronboak eta

erronboideak.

Azalera-unitatea: metro kuadroa(m2). Azalera-unitateak ehunaka aldatzen dira.

Nekazaritzarako-unitateak deritzen unitateak erabiltzen dira lursailak neurtzeko:

area (a), hektarea (Ha) eta zentiarea (ca). Aurreko hiru unitate horiek beste

hauei dagozkie hurrenez hurren: dam2, Hm2 eta m2.

Formula desberdinak erabilitz kalkulatzen dira triangelu, lauki eta poligono

erregularren azalerak.

Poligono irregularren kasuan, azalerak kalkulatzeko, teknika hauek erabiltzen dira:

triangelaketa, koadrikulatzea eta deskonposaketa.

Poligonoak, perimetroak eta azalerak perímetros y áreas


Autoebaluazioa

1. Aldeen arabera sailkatu ezkerreko triangelua

2. Puntu batean ebakitzen dira triangelu baten altuerak. Zer

izen du puntu horrek?

3. Sailkatu ezkerreko laukia.

4. Kalkulatu ezkerreko poligonoaren perimetroa.

5. Kalkulatu ezkerreko triangeluaren azalera. Datuak: oinarria 4

cm-koa da, alde berdinak 6,3 cm-koak eta altuera 6 cm-koa.

6. Kalkulatu ezkerreko laukiaren azalera.

7. Kalkulatu ezkerreko pentagonoaren azalera. Datuak: aldea 8 cm-koa da, eta apotema 8,30 cm-koa.

8. 9 m-ko oinarria eta 27 m2 -ko azalera ditu ezkerreko

publizitate-panelak. Zer altuera du?

9. Hexagono erregular bat da ezkerreko bonboi-kaxaren tapa. 314,86 cm2 -koa da bere azalera, eta 11 cm-koa bere aldea.

Kalkulatu taparen apotema.

10. Kalkulatu dekagono erregularraren barne-angelua.



Praktikatzeko ariketen erantzunak

1. 23,90 euro

2. 169 metro

3. 6,18 metro

4. 1333 lauza

5. 336 euro

6. 21 metro

7. 4,03 metro, 8,06 metro

8. 23,03 metro koadro

9. 7738,2 zentimetro koadro

10. 6,93 metro

11. a) 9700 dam2

b) 1720000 dm2

c) 5000000000 cm2

d) 200000000 dm2

e) 256000000 mm2

12. a) 0,25 m2

b) 0,06 dam2

c) 0.0000001423 hm2

d) 0,0008 km2

e) 150 m2

Bidali jarduerak tutoreari

Poligonoak, perimetroak eta azalerak perímetros y áreas

AUTOEBALUAZIOAREN erantzunak

1. Isoszelea

2. Barizentroa

3. Trapezioa

4. 44,32 cm2

5. 12 cm2

6. 180 cm2

7. 232,4 cm2

8. 3 metro

9. 4,77 cm

10. 144º

9 Poligonoak, perimetroak eta azalerak -...

Documents

Transcript of 9 Poligonoak, perimetroak eta azalerak -...