86715875 Diseno de Redes Cerradas

7/27/2019 86715875 Diseno de Redes Cerradas

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Sistemas de Redes Cerradas

INTRODUCCIN

Las redes de distribucin de agua potable de una ciudad usualmente estn compuestas de dos partes: la primera de ellas es una red matriz que esta encargada de conducir el agua desde la planta de tratamiento hasta los diferentes tanques de almacenamiento y compensacinlocalizados aguas arriba de los diferentes sectores de abastecimiento. La segunda parte estaconformada por las redes de distribucin secundaria o menores a travs de las cuales el agua

potable se mueve desde los tanques de almacenamiento hasta la acometida del usuario final.

En general, las redes matrices son redes abiertas mientras que las redes secundarias son redescerradas en el sentido de que estn conformadas por circuitos. Sin embargo, puede haber casos en que las redes matrices contengan circuitos y que parcialmente las redes dedistribucin sean abiertas. Pero la tradicin de la ingeniera hidrulica y sanitaria ha sidoconformar las redes menores siguiendo el trazado de las manzanas de las ciudades,constituyendo as redes con circuitos y aumentando la confiabilidad del suministro ya que elagua puede llegar a un sitio por diferentes caminos.

La necesidad de tener esa confiabilidad implico que las redes de distribucin se desarrollarancon ciertas caractersticas topolgicas que hicieron necesario el desarrollo de mtodosespeciales de clculo, diferentes a los utilizados para otros tipos de sistemas de tuberas.

DEFINICIN:

Mecnica De Fluidos II Pgina 1


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Las redes cerradas son conductos ramificados que forman anillos o circuitos, se alimentandesde uno o varios suministros y conducen el agua entre ellos o desde ellos, y los nudos yextremos finales por ms de un recorrido posible.

Las redes cerradas son tuberas principales que se comunican unas con otras, formandocircuitos cerrados que forman mallas y se caracterizan por el hecho de que la alimentacin delas tuberas puede efectuarse por sus dos extremos indistintamente, segn se comporten lastuberas adyacentes, de manera que el sentido de la corriente no es siempre forzosamente elmismo.

En puntos determinados de la red pueden ocurrir descargas o salidas de agua, adems de las posibles ramificaciones. Esos puntos se denominan nudos de consumo. Pero tambin es un

nudo el punto donde cambian las caractersticas del conducto, como su dimetro o surugosidad, as no haya consumo o ramificacin.

En la prctica, la mayora de los sistemas de tuberas estn constituidos por muchas tuberasconectadas de forma compleja con muchos puntos con caudales entrantes y salientes. Talsistema de tuberas se conoce como red de tuberas y realmente es un complejo conjunto de


Tanque

Nudo1

Nudo2

Nudo3

Planta de una red

cerrada

Nudo5

T r a m

T r a m

T r a m o 4

T r a

Tramo 5

Tr a Extremo1

T r a

m o 7

T r a

8

T r a m o 9

Extremo2

Extremo3

Nudo4

Extremo final:tanque,

descarga a laatmsfera oinicio de otro

conducto.

Circuito I

Circuito II

Tramo10

T r a m o 1 0


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tuberas en paralelo. El anlisis numrico de las redes de tuberas es extremadamentecomplejo, pero pueden obtenerse soluciones al utilizar el mtodo de Hardy Cross, llamado asen honor de la persona que desarroll el mtodo.

Desde el punto de vista de la utilidad funcional, la red de distribucin est constituida por unagran variedad de elementos, pero las tuberas son el componente principal; desde el punto devista funcional, la tubera es el elemento de la red que permite el transporte del agua y loscomponentes restantes actan nicamente como auxiliares de esta funcin (regulacin,control, medida, etc.).

Atendiendo a su aspecto topolgico, una red de distribucin est constituida por nodos, lneasy circuitos: los nodos se identifican con puntos determinados de la red que tienen un inters

concreto por sus caractersticas, tambin pueden tratarse de puntos de consumo, puntos deentrada o salida de algn subsistema simplemente puntos de conexin de tuberas u otroselementos, o de cualquier otro elemento que implique transferencia de gasto, bien sea conaporte de energa como en el caso de las bombas o con disipacin de la misma por ejemplouna vlvula, de ah que cuando un nodo recibe un aporte externo de gasto se denomina nodofuente; inversamente, cuando un nodo aporta gasto hacia el exterior se denomina nodo deconsumo.

Una lnea es un segmento de la red que transporta un gasto constante y no tieneramificaciones, mientras que una tubera es una porcin de la lnea que posee unascaractersticas fsicas constantes, como dimetro interno y rugosidad y un circuito consiste enla representacin de un conjunto de tuberas en serie o en paralelo mediante una nica tuberacuyas caractersticas sean equivalentes a las del conjunto.

EL MTODO DE HARDY CROSS



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El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento dedos principios o leyes:

Ley de continuidad de masa en los nudos; Ley de conservacin de la energa en los circuitos.

El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de carga o de"prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen & Williams o, bien, la ecuacin de Darcy& Weisbach.

La ecuacin de Hazen & Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de dimetromayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las prdidas de carga en los

tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante par el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hacems simple el clculo de las "prdidas" de energa.

La ecuacin de Darcy & Weisbach, de naturaleza racional y de uso universal, casi nunca seha empleado acoplada al mtodo de Hardy Cross, porque involucra el coeficiente de friccin,f, el cual es funcin de la rugosidad, k, de la superficie interna del conducto, y el nmero deReynolds, R, de flujo, el que, a su vez depende de la temperatura y viscosidad del agua, y delcaudal del flujo en las tuberas.

Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicinde los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los

nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular, Q, en cada iteracin sedeben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica elclculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual

sera inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora sencilla. Msan, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.

Lo anterior se constitua, hasta hoy, en algo prohibitivo u obstaculizado, no obstante ser lamanera lgica y racional de calcular las redes de tuberas.



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Hoy, esto ser no slo posible y fcil de ejecutar con la ayuda del programa en lenguajeBASIC que aqu se presenta, sino tambin permitir hacer modificaciones en los dimetrosde las tuberas y en los caudales concentrados en los nudos, y re calcular la redcompletamente cuantas veces sea conveniente.

FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSS

El mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:

LEY DE CONTINUIDAD DE MASA EN LOS NUDOS:

"La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

(1)

Donde,

Qij : Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.

qi : Caudal concentrado en el nudo i

m : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.

LEY DE CONSERVACIN DE LA ENERGA EN LOS CIRCUITOS:



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"La suma algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un anillocerrado debe ser igual a cero".

(2)

Donde,

hf ij: Prdida de carga por friccin en el tramo Tij.

n : Nmero de tramos del circuito i

3.2.1 ECUACIONES BSICAS

La ecuacin de Hazen & Williams originalmente expresa:

(3)

Donde,

V : Velocidad del flujo, m/s.

C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.

D : Dimetro de la tubera, m.

Sf : Prdida unitaria de carga (m/m).



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(4)

Por continuidad,

Luego,

(5)

De la cual resulta:

(6)

Donde,

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

L : Longitud del tramo de tubera, m.

hf : Prdida de carga, m.

La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obtenindose la siguiente ecuacin.

(7)

Haciendo



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(8)

Resulta:

(9)

La ecuacin de Darcy & Weisbach expresa, en trminos de velocidad del flujo, la siguiente:

(10)

donde f es el coeficiente de friccin, de Darcy

Y en trminos del caudal, expresa:

(11)

Haciendo;

(12)

Resulta:



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(13)

En general, la ecuacin de prdidas de carga por friccin expresa:

(14)

Donde,

r : Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuacin empleada para elclculo.

n : Exponente del caudal, que depende la ecuacin de resistencia empleada.

n : 1.851, segn la ecuacin de Hazen & Williams.

n : 2.0 segn la ecuacin de Darcy & Weisbach.

El Mtodo de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteracin tras iteracin, los caudales en lostramos, con la siguiente ecuacin general:

(15)

El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin deColebrook & White, que expresa lo siguiente:



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(16)

Donde:

k : El coeficiente de rugosidad de la tubera, mm.

D : Dimetro de la tubera, mm.

R : El nmero de Reynolds del flujo, adimensional.

Ntese que la relacin k/D, en la ecuacin (16) debe ser adimensional.

A su vez, el nmero de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuacin:

(17)

Donde,

v : Velocidad del flujo, m/s.

: Densidad del fluido (agua), kg/m3.

: Viscosidad dinmica del fluido, kg/m.s.

: Viscosidad cinemtica del fluido, m2/s.

D : Dimetro del conducto, m.

Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.

La ecuacin (16) es una ecuacin implcita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese



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que, para acelerar el clculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0,calculado con la siguiente frmula:

(18)

APLICACIN DEL MTODO DE CROSS

Se asigna a cada lado de la malla una caudal inicial, siempre considerando que en el nudodonde ingresa caudal exterior, la sumatoria de los caudales debe ser cero. Se asigna sentidos

de circulacin del caudal a cada tramo de cada malla cerrada.Para la cuantificacin de la prdida de carga de cada tramo, se fija un sentido positivo paracada malla, puede adoptarse el sentido horario como positivo. Lo que implica que las prdidas de carga que tengan sentido horario son positivas, mientras las que sean antihorariassern negativas.

Se calcula a cada tramo de la malla con el signo que resulte despus de haber adoptado la convencin, es necesario recordar que esta expresin es la prdida de carga decada tramo.

Luego se calcula , y mediante la aplicacin de la Ecuacin N 42-4 s e obtieneel valor de DQo. El que permite corregir el valor inicial del caudal adoptado. Se realizan lassucesivas iteraciones hasta que el valor de DQo se hace cero, y se llega al valor final delcaudal por tramo.

Se verifica que Veamos a continuacin las tablas de valores que resultanaconsejables realizar para la aplicacin del mtodo de iteraciones sucesivas.Para cada tramo de cada malla se debe construir la variacin de rj.Q02 y de rj.Q0, en funcinde Q0.



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Para ello resulta prctico la siguiente tabla o planilla de clculo:

Determinada la funcin de Q, realizamos el primer tanteo para cada malla.

MALLA N1 (Primer Tanteo)



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El clculo termina cuando Qo=0. En ese momento los valores dados en el ltimo tanteosern los de circulacin en cada nudo.La otra verificacin es la cota piezomtrica en cada punto. Para lo cual se partir de una C.P.conocida y como se tendrn los valores de J.L en cada ramal, se obtendrn por diferencia losvalores de cota piezomtrica en cada nudo.

EJEMPLO DE APLICACIN:Problema N01:Determinar los caudales en cada uno de los tramos para Q= 400 l/seg

Q= 400 l/seg = 0.4 m 3/seg

V= 2 m/seg

PVC = 140 (CH)

Tramo 2 3 = 400m Tramo 3 4 = 500m

Tramo 4 5 = 400m

Tramo 2 6 = 600m

Tramo 7 5 = 600m



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Tramo 2 5 = 500m

Tramo 6 7 = 500m

Formulas:

Circ.

Tramo

Dij(m)

Long.

Qij Aij Hij Aij xQijn-1

Qij

I

2-3

3-4

4-5

2-5

0.31

0.31

0.31

0.21

400

500

400

500

-0.15

-0.15

-0.15

+0.07

135.56

169.45

135.56

1127.22

-4.05

-5.07

-4.05

+8.23

-4.94

27.03

33.78

23.03

117.58

205.42

0.01

0.01

0.01

0.01

0.02

-0.14

-0.14

-0.14

0.10

II

2-6

6-7

7-5

2-5

0.34

0.34

0.34

0.21

600

500

600

500

0.18

0.18

0.18

-0.07

129.73

108.11

129.73

1127.22

+5.43

+4.53

+5.44

-8.23

+7.17

30.20

25.17

30.20

117.58

203.15

-0.02

-0.02

-0.02

-0.02

-0.01

0.16

0.16

0.16

-0.10



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PROBLEMA N 2:

C TRAMO

Dimetro

Dij (m)

Long.

Lij(m)

Qij

(m 3/s) Aij

Hij

Aij xQijn

AijxQijn-1

Qij

I

2-3

3-4

4-10

2-10

0.31

0.31

0.22

0.21

400

500

400

500

-0.15

-0.15

-0.075

0.07

135.56

169.45

719.11

1127.22

-4.05

-5.07

-5.97

8.23

27.03

33.78

79.54

117.58

0.014

0.014

0.014

0.014

-0.007

0.02

-0.136

-0.136

-0.063

0.104



16/16


II

2-9

9-8

8-10

2-10

0.34

0.34

0.24

0.21

600

500

600

500

0.18

0.18

0.09

-0.07

129.73

108.11

703.26

117.22

5.44

4.53

8.17

-8.23

30.20

25.17

90.83

117.58

-0.02

-0.02

-0.02

-0.02

0.006

-0.014

0.16

0.160.0.07

6

-0.104

III

4-10

4-5

10-6

5-6

0.22

0.22

0.39

0.22

400

500

500

400

0.075

-0.075

0.235

-0.075

719.11

898.89

55.45

719.11

5.97

-7.46

3.81

-5.96

79.54

99.43

16.19

79.54

0.007

0.007

0.007

0.007

-0.014

0.006

0.068

-0.068

0.248

-0.068

IV

8-10

10-6

8-7

7-6

0.24

0.39

0.24

0.24

600

500

500

600

-0.09

-0.235

0.09

0.09

703.26

55.45

588.64

706.36

-8.17

-3.81

6.84

8.21

90.83

16.19

76.02

91.23

-0.006

-0.006

-0.006

-0.006

0.02

-0.007

-0.076

-0.248

0.084

0.084


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