ANALISIS DE REDES CERRADAS

En orden cronológico se presentarán los siguientes métodos de análisis y diseño de

redes cerradas, sin que se trate de una lista exhaustiva.

Método de Hardy-Cross con corrección de caudales en los circuitos

Método de Hardy-Cross con corrección de alturas piezométricas en los nodos

Método de Newton-Raphson

Método de la teoría lineal

Método del gradiente hidráulico

Con base en métodos reportados por la literatura técnica y la facilidad de uso, la

historia de los métodos de análisis de redes de distribución de agua potable ha sido

dividida en tres períodos:

El primero, aproximadamente desde 1850 hasta 1930.

El segundo, caracterizado por el uso de ecuaciones de resistencia fluida y de

modelos análogos eléctricos se extiende de 1930 a 1960.

El tercero, caracterizado por formulaciones matriciales del problema de las

redes de distribución con el fin de hacer un uso intensivo de computadores

digitales, va de 1960 hasta nuestros días.

Período Año Inventor(es)/autor(es) Método / aplicaciones

Período I 1845

1892

1905 Darcy y Weisbach

Freeman

Hazen y Williams

Fórmula para la pérdida de altura en un flujo a través

de una tubería simple.

Solución gráfica.

Fórmula para la pérdida de altura en el flujo a través

de una tubería simple y un método de tubería

equivalente.

Período II 1934

1936

1956

1957

Camp y Hazen

Cross

MCLLROY

HOAG y Weinberg

Análisis de una red eléctrica.

Técnica de relajación.

Análisis del fluido Mcllroy.

Adaptación del método de Hardy Cross para

computadores digitales.

Período III 1963

1968

1970

1977

1972

1980

1987

1994

Martin y Peters

Shamir y Howard

EPP y Fowler

Jeppson

Wood y Charles

Wood

Todini y Pilati

Rossman

Método del nodo simultáneo.

Expansión del método del nodo simultáneo.

Método del circuito simultáneo.

Programa comercial para el análisis de redes con base

en el método del circuito simultáneo.

Teoría lineal.

- KYPIPE, Programa comercial para el análisis de

redes.

Método del gradiente.

- EPANET Programa comercial para el análisis de

redes.

Principios fundamentales de análisis de redes cerradas

Si se considera la red cerrada que aparece en la figura 7.1 y se tiene en cuenta

que QD1´ QD2´ QD3´ QD4´ …………………………QDNU son los caudales consumidos en

cada uno de los nodos, algunos de los cuales podrían tener un valor nulo en un

momento dado, y que Qe1´ Qe2´ Qe3´ ……………………Qem son los caudales que

alimentan la red de distribución, se puede establecer la siguiente ecuación de

conservación de la masa:

donde Nu es el número de uniones (nodos) existentes en la red.

Figura 7.1 Red cerrada. Caudales consumidos

en los nodos y caudales de alimentación a la

red.

)1.7(

11

Nu

ii

D

m

QQe

La Ecuación 7.1 es una ecuación de conservación de la masa para la red como

un todo. Sin embargo, para cada uno de los nodos de la red se puede

establecer una ecuación similar, debido a que localmente también se debe

cumplir el hecho de que la masa se conserve. Dicha ecuación es:

donde NTi es el número de tubos que llegan al nodo i, y Q representa el caudal

que pasa por la tubería Qij hacia el nodo i desde el nodo j. La convención

adoptada por la práctica de la ingeniería hidráulica es que puede ser

positivo (va hacia el nodo i) o negativo (sale de dicho nodo).

Para cada uno de los caudales Qij de la Ecuación 7.2 se puede plantear la

siguiente ecuación de conservación de la energía entre los nodos i y j,

incluyendo las pérdidas por fricción y las pérdidas menores, en términos de las

alturas piezométricas en dichos nodos:

)2.7(0

1

iNT

j

DiijQQ

En donde se ha utilizado la ecuación de Darcy-Weisbach para el cálculo de las

pérdidas por fricción.

Si se despeja Qij de esta última ecuación se obtiene la siguiente expresión, la

cual relaciona el caudal que pasa por la tubería ij con las alturas piezométricas

en los nodos i y j.

Si se reemplaza este último resultado en la Ecuación 7.2, se obtiene:

donde NTi representa el número de tuberías que llegan a la unión (nodo) i. A

fin de tener en cuenta en forma automática el signo del caudal ij, la Ecuación

7.3 se puede cambiar por la siguiente expresión:

Este tipo de ecuaciones para el diseño y análisis de redes cerradas de

tuberías se conocen como ecuación de altura piezométrica.

En caso contrario se puede suponer alguna de las alturas piezométricas, ya que

los valores absolutos de éstas no afectan la distribución de caudales y además

debe tenerse en cuenta que las ecuaciones de altura piezométrica son

ecuaciones no lineales.

Por otro lado, a partir de los circuitos de tubos que conforman la red, los cuales

pueden ser adyacente o superpuestos, se pueden plantear las siguientes

ecuaciones de conservación de la energía, una para cada uno de los circuitos

que conforman la red de distribución:

1. Ecuación de continuidad en las uniones que conforman el circuito:

2. Ecuación de conservación de la energía alrededor del circuito:

Donde NTi, es el número de tubos del circuito I, luego, si se utiliza la ecuación de

Darcy Weisbach en esta ultima ecuación en conjunto con la expresión de las

pérdidas menores como función de altura de velocidad, se obtiene la siguiente

expresión:

Las ecuaciones de tipo 7.7 se conocen como ecuaciones de caudal de la red.

Las ecuaciones de tipo 7.7 se conocen como ecuaciones de caudal de la red. En

total se tienen NC ecuaciones de caudal, donde NC es el número de circuitos

que conforman la red. Nuevamente se puede observar que son ecuaciones no

lineales.

Lo anterior implica que para el cálculo de una red cerrada se tiene un número

total de ecuaciones igual a:

Una vez más debe establecerse una convención de signos para las ecuaciones

de caudal 7.7. Los caudales en el circuito se consideran positivos si giran

en el sentido de las agujas del reloj y negativos si lo hacen en sentido

contrario. Para asegurar una correcta asignación del signo, estas

ecuaciones se pueden transformar como se indica a continuación:

Los métodos de análisis de redes que se describen en este capítulo están

diseñados para llevar a cabo esos cálculos de caudales en cada tubería

piezométrica en cada nodo, esto implica que se deben conocer todas las demás

variables relacionadas con las tuberías (diámetricos, rugosidades, coeficientes de

pérdidas menores, accesorios especiales y bombas) y con los nodos (caudales de

consumo, altura topográfica, tanques, diseño y no un diseño en sí

MÉTODO DE HARDY-CROSS CON CORRECCIÓN DE CAUDALES

Este método para resolver las Ecuaciones 7,4 y 7.7 fue desarrollado en 1936

por el ingeniero norteamericano Hardy Cross, quien era profesor de ingeniería

estructural en la Universidad de Illinois, Estados Unidos.

2

El método en su forma original fue desarrollado para el cálculo de estructuras

aporticadas de concreto y acero, mediante un método matemático para llevar a

cabo análisis de distribución de momentos para estructuras estáticamente

determinadas. Sin embargo, Cross lo extendió rápidamente al caso de redes

cerradas de distribución de agua potable, y publicó un artículo en el cual

describía la aplicación de su método (ver Cross, 1936). Como ecuación de

resistencia fluida utilizó la ecuación de Hazen Williams, establecida en 1906

y popularizada en la década de 1930. Para esta época el material

predominante en las redes de distribución de agua potable era el hierro

fundido.

Si se define una altura piezométrica que incluya la altura piezométrica perdida

por fricción y la altura piezométrica perdida por accesorios, en la siguiente

forma:

la anterior ecuación se convierte en:

Ahora, utilizando la Ecuación 7.8 se tiene que:

Esta última ecuación también puede escribirse en la siguiente forma:

Método de Hardy Cross con corrección de caudales:

pasos que se debe seguir en el análisis.

El análisis de una red de distribución de agua según el método de Hardy-Cross

con corrección de caudales en los circuitos propone los siguientes pasos:

1. Se define claramente la geometría de la red, identificando en forma

coherente los nodos y los circuitos.

2. Si existe más de un nodo con altura piezométrica constante (tanque en la red

o embalse), es necesario conectarlos en pares por medio de tuberías

hipotéticas que pueden representarse mediante líneas punteadas. En estas

tuberías hipotéticas se deben suponer diámetros, longitudes y rugosidades

absolutas, de tal manera que se pueda calcular el caudal correspondiente a

las diferencias de nivel entre los diferentes pares de embalses o tanques. En

las correcciones de caudales no deben incluirse los tubos hipotéticos,

lo cual sí debe hacerse en el cálculo de las pérdidas de altura

piezométrica (por fricción y por accesorios).

3. Se suponen todos los diámetros de la tubería que conforman la red. Tal

paso convierte este método en un proceso de comprobación de diseño.

4. Se supone que la red está compuesta por circuitos cerrados en

cualquier orden. Con el fin de acelerar la convergencia se puede suponer

que los tubos de diámetros grandes forman circuitos independientes. Se

deben utilizar tantos circuitos como sea necesario para asegurar que todos

los tubos queden incluidos en por lo menos un circuito.

5. Se supone el caudal a partir de cualquiera de las tuberías de la red.

Luego se procede alrededor del circuito que contiene esta tubería para

calcular los caudales en las demás tuberías que conforman el circuito

teniendo en cuenta los caudales que salen de las uniones (caudales

negativos) y los que entran a ellas (caudales positivos). Si los flujos

hacia o desde otro circuito son desconocidos, se deben suponer los

caudales correspondientes. Esto significa que se deben hacer tantas

suposiciones de caudales como circuitos existan en la red que se está

analizando. Cuanto mejores sean estas suposiciones más rápidamente

convergerá el método. La experiencia ayuda mucho en este aspecto.

6. Se calcula la pérdida de altura piezométrica en cada tubería de la

red utilizando la siguiente ecuación (de Darcy-Weisbach). si bien

podría emplearse cualquier ecuación de resistencia fluida, como la de

Hazen-Williams.

El factor de fricción f se calcula utilizando la ecuación de Colebrook-White

presentada en el Capítulo 1:

fd

sk

fe

51.2

7.3log2

1

10

Junto con el Diagrama de Flujo 2.

7. Se calcula la pérdida neta de altura piezométrica alrededor del circuito,

es decir, se suman las pérdidas altura piezométrica y se restan las

“adiciones” de altura piezométrica siempre medidas en el sentido del avance

de las agujas del reloj. Si la pérdida neta de altura piezométrica no es

cero, se procede a corregir los caudales de cada una de las tuberías del

circuito mediante la Ecuación 7.10:

9. Los pasos 5 a 8 se repiten para todos los circuitos teniendo en cuenta

los caudales corregidos en los circuitos calculados previamente.

10.Los pasos 5 a 9 se repiten hasta que el balance de alturas

piezométricas alrededor de todos los circuitos (ecuación de

conservación de la energía) llegue a valores razonablemente cercanos

a cero. Este criterio de convergencia es fijado por el diseñador de acuerdo

con las características de la red que esté analizando.

EJEMPLO N° 01

La red mostrada en la siguiente figura tiene una válvula en la tubería 2-3, a cual

se encuentra parcialmente cerrada y produce una pérdida menor local de 10.0

v232 / 2g, la presión en el punto 1 es 100 mca. Analizar los causales y presiones

en la red. Los diámetros (en milímetros) y las longitudes (en metros) para cada

una de las tuberías son los indicados. Los caudales están dados en l/s

(v=1.141x10-6 m2/s), suponer que las perdidas menores son despreciables, salvo

en la tuberia 2-3

Ejemplo del método de Hardy - Cross con corrección de caudales

SOLUCIÓN

La primera suposición de caudales en las tuberías puede ser:

Estos datos se pueden representar en forma gráfica, tal como se muestra en la

Figura, en donde queda claro el por qué de los signos de los caudales de la

tabla anterior:

Primera suposición de caudales en las tuberías

Mediante las Ecuaciones 7.11 y Colebrook-White, se calculan las siguientes tablas, en las cuales se ha supuesto que la viscosidad cinemática del agua n es 1.14x10-

6 m2/s.

Primer ciclo

Mediante la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

Al utilizar la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

Segundo ciclo

Mediante la ecuación 7,10 se calcula la corrección de caudal:

La Ecuación 7.10 lleva al cálculo de la corrección de caudal:

Tercer ciclo

Al utilizar la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

Mediante la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal

Cuarto ciclo

La Ecuación 7.10, lleva al cálculo de la corrección de caudal:

Al utiliza la Ecuación 7.10 se calcula la corrección de caudal:

Resultados de caudales en las tuberías

Como las sumatorias de las perdidas por fricción y las perdidas

menores son pequeñas en ambos circuitos, el proceso debe parar.

Esto significa que se esta cumpliendo la ecuación de conservación de la

energía en cada circuito. En el momento de parar el proceso las

correcciones de caudales (ΔQ) resultantes eran muy pequeñas. Los

resultados que se obtuvieron son:

Estas alturas piezométricas de presión pueden variar su valor, dependiendo de la

dirección en que se calculen. Tal variación se debe a que en el momento de

parar el proceso iterativo no se tiene que precisión absoluta en los caudales.

Sin embargo, las diferencias son pequeñas. Este hecho es válido para los

ejemplos de todo este capítulo

COMENTARIO

Como se había anteriormente, el método de Hardy-Cross

utilizado en este ejemplo requirió una suposición inicial de

caudales con el fin de iniciar el proceso de cálculo. Al ser una

red tan pequeña las suposiciones de caudal son fáciles y

rápidas de hacer, con lo cual no se pierde mucho tiempo en

la preparación de los datos. Una vez se tienen estas

suposiciones, el proceso necesitó únicamente cuatro

iteraciones para converger.