8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substitución · Matemáticas de 2º de bachillerato...

Matemáticas de 2º de bachillerato página 41 Integral indefinida

8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substituciónHagamos algunos ejercicios de resolución de integrales utilizando el método de

substitución o cambio de variable.

Ejercicio 64.-

Resolver la integral Ix

xdx=

−∫

252

Solución:Resolvemos por substitución.

Hacemos t xdt x dx

= −=

2 52

Substituyendo: { {Ix

xdx

dtt

L t C L x Cinmediata deshaciendo

el cambio

=−

= = + = − +∫∫2

552

2

Ejercicio 65.-

Resolver la integral Ix dx

x=

+∫ 2 3


Hacemos t x

dt x dx y despejando x dx dt

= +

= =

2

2

3

2

Substituyendo: { {Ix dx

x tL t C L x C

dtdtt

inmediata deshaciendoel cambio

=+

= = = + = + +∫∫∫ 22 1

212

12

23

3

Ejercicio 66.-Dada la función f (x) = cos 7x , se pide:a) Halla el conjunto de sus primitivas.b) Halla la primitiva de f (x) cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).

Solución:a) Buscamos I x dx= ∫ cos7

Por el método de substitución, hacemos: t x

dt dx dx dt

=

= → =

7

7 17

Substituyendo:

{I x dx t dt t dt sen t C sen x Cdeshaciendoel cambio

= = ⋅ = = + = +∫∫ ∫cos cos cos7 717

17

17

17

Por tanto: F x sen x C( ) = +1

7 7←

b) De la infinitas primitivas de f (x) buscamos aquella cuya gráfica pasa por el punto P(0,1).

Conjunto de las funciones primitivas dela función f (x) = cos 7x


F x sen x C( ) = +17 7

F x sen x( ) = +17 7 1

Ejercicio 67.-Resolver la integral , siendo a,b0úI sen ax b dx= +∫ ( )


Hacemos t ax b

dt a dx despejando dx dta

= +

= → =

Substituyendo:

{ ( ) {I sen ax b dx sen t dt sen t dt t Cax ba

Ca ainmediata

adeshaciendoel cambio

= + = ⋅ = = − + = −+

+∫∫∫ ( ) coscos( )1 1 1

Ejercicio 68.-Resolver la integral I dxx= − −∫ 4

53 2

2cosSolución:

Por cambio de variable, hacemos: t

dt dx dx dt

x=

= → =

− −

− −

3 223

22

3Substituyendo:

I dx t dt t dt

sen t C sen C

x

x

= = ⋅ = ⋅ =

= + = +

− − − −

− − − −

∫∫ ∫45

3 22

45

23

23

45

815

815

3 22

cos cos cos

Ejercicio 69.-Resolver la integral I x sen x dx= ∫ 2

Solución:

Por cambio de variable, hacemos: t u x x

dt u x dx x dx x dx dt

= =

= ′ = → =

( )

( )

2

122

Substituyendo:

( )I x sen x dx sen t dt sen t dt t C x C= = = = − + = − +∫∫ ∫2 12

12

12

12

2cos cos

Se debe verificar que F (0) = 1, es decir, sen

C0

7 1+ =Por tanto: 0 + C = 1 ; C = 1

es la función buscada


I x x dx t t dt C t C t Cx

x Cdt t t= + = = = + = + = + =

++ +∫ ∫ ∫1 4

1 412

1 428

18

18

224

312

221

2

32

32

Ejercicio 70.-

Resolver la integral Ix x

x xdx=

−

−∫

3 6

3

2

3 2

Solución:

Por cambio de variable, hacemos: ( )t u x x x

dt u x dx x x dx

= = −

= ′ = −

( )

( )

3 2

2

3

3 6Substituyendo:

Ix x

x x dxdx

dtt

dt

tt dt

tC

tC t C x x C=

−

−= = = =

− ++ = + = + = − +∫∫ ∫ ∫ −

− +3 6

3 12 2 3

2

3 2

1

12

12

3 21

2

12

12

12

Ejercicio 71.-Resolver la integral I x dx= −∫ 5 7

Solución:

Por cambio de variable, hacemos: t x

dt dx dx dt

= −

= → =

5 7

5 5Substituyendo:

I x dx t dt t dtt

C

tC t C t C t t C x x C

= − = = = + =

= + = + = + = + = − − +

∫∫ ∫+

+5 7

15

15

215

215

215

215

5 7 5 7

15

15

1

1

32

3 3

12

12

12

32

( )

Ejercicio 72.-Dada la función , se pide:f x x x( ) = +1 4 2

a) Determina el conjunto de sus primitivas.b) Encuentra aquella primitiva cuya gráfica pasa por el punto P(0,1)

Solución:a) Debemos resolver la integral I f x dx x x dx= = +∫ ∫( ) 1 4 2

Por el método de substitución o cambio de variable: t x

dt x dx x dx dt

= +

= → =

1 4

8

2

8Substituyendo en la integral:

( )

F xx x

C( ) =+ +

+1 4 1 4

12

2 2 Para cada valor de C 0ú tenemosuna función F(x) primitiva de f (x).


( )F C C C( )0

1 4 0 1 4 0

121

121 1

112

1112

2 2

=+ ⋅ + ⋅

+ = + = ⇒ = − =

b) Buscamos aquella primitiva que pasa por el punto P(0,1):La función F(x) buscada debe verificar que F (0) = 1, es decir:

Por tanto:

es la función primitiva de f (x) cuya gráficapasa por el punto P(0,1).

Ejercicio 73.-

Resolver la integral I x e dxx= −∫ 2 23

Solución:

Por cambio de variable, hacemos: t x

dt x dx x dx dt

= −

= → =

3

2 23

2

3

Substituyendo en la integral:

{ {I x e dx e e dt e Ce

Cx t dt t

inmediata

t

deshaciendoel cambio

x= = = = + = +−

−

∫ ∫ ∫2 23

13

13

23

3

3

Ejercicio 74.-

Resolver la integral Ix dx

e x= ∫

35 2

Solución:Expresamos la integral de otra forma: I x e dxx= −∫ 3 5 2


dt x dx x dx dt

= −

= − → = −

5

10

2


I x e dx e e dt e C e Cx t dt t t x= = = − = − + = − +−−

−∫∫ ∫3 3510

310

310

310

52 2

Ejercicio 75.-Resolver la integral I sen x

dxx

= ⋅∫ 12

Solución:

Hacemos el siguiente cambio de variable: t

dt dx dtx

xdxx

=

= → = −

−

1

12 2

( )F x

x x( ) =

+ ++

1 4 1 4

121112

2 2



I sen dx sen t dt sen t dt t C t C Cx x x= ⋅ = ⋅ − = − = − − + = + = +∫ ∫ ∫1 1 12 ( ) ( cos ) cos cos

Ejercicio 76.-

Resolver la integral ( )

Ix

xdx=

+ +∫

2

1 2

2

3 2

Solución:


dt x dx x dx dtdespejando

= +

= → =

3

2 2 13

2

3


( ) ( )I

x

xdx

dt

t tdt arc tg t C arc tg x C=

+ +=

+=

+= + = + +∫ ∫ ∫

2

1 22

11

12

2

3 2

13

223 2

23

23

3

Ejercicio 77.-

Resolver la integral ( )Idx

x sen L xL= ∫ 2 4

es logaritmo neperiano

Solución:

Por el método de cambio de variable: t L x

dt dx dxx x

=

= =

4

414

1


{Idx

x sen L x sen tdt t C L x C

deshaciendo el cambio= = = − + = − +∫∫ 2 24

14 cotg cotg

Ejercicio 78.-Resolver la integral ( )I x a dx siendo a y ax= ∈ >∫

2

0RSolución:

Por el método de cambio de variable: t x

dt x dx x dxdespejando dt

=

= → =

2

22


I x a dx a dt a dtaLa

Ca

LaC

aLa

Cx t tt x x

= = = = + = + = +∫∫ ∫2

2 2

12

12

12 22


Ejercicio 79.-Resolver la integral ( )I e e dxx x= −∫ 6

3

Solución:

Por el método de cambio de variable: t e

dt e dx

x

x

= −

=

6


( ) {( )

I e e dx t dt Ce

Cx x t

deshaciendo el cambio

x

= − = = + =−

+∫∫ 66

43

4

44

Ejercicio 80.-Hallar el conjunto de las funciones primitivas de la función g x sen x x dx( ) = ⋅ cos4

Posteriormente hallar aquella cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas.Solución:

Se trata de resolver la integral I sen x x dx= ⋅∫ cos4

Hacemos el siguiente cambio de variable: t xdt sen x dx sen x dx dt

== − ⇒ = −

cos

Substituimos en la integral:

I sen x x dx x sen x dx t dt t dt C Ct x= ⋅ = ⋅ = − = − = − + = +∫ ∫ ∫∫cos cos -cos5

4 4 4 455 5

( )Por tanto:

es el conjunto de las funciones primitivas de g(x)

Busquemos aquella cuya gráfica pasa por el origen de coordenadas:Para x debe ser G

C C Cx

= =

− + = − + = =

⇒

0 0 0

0 05 51

515

( )

; ;cos5

Ejercicio 81.-Resolver la integral I dxx

x=

+∫ 21 4

Solución:

Por el método de cambio de variable: t xdt x dx

==

2


( )

Ix

dxx

dxdt

tarc tg t C arc tg x C=

+=

+=

+= + = +∫∫ ∫

11 4

1

1 12 2 22

G xx

C( ) = − +cos

5

5

G xx

( ) = − +cos

5

5 15


Ejercicio 82.-

Resolver la integral Iee

dxx

x=+

∫1 2

Solución:

Por el método de cambio de variable: t e

dt e dx

x

x

=

=


( )

Iee

dxe

edx

dtt

arc tg t C arc tg e Cx

x

x

xx=

+=

+=

+= + = +∫ ∫ ∫

1 1 12 2 2

Ejercicio 83.-Halla el conjunto de las primitivas de y encuentra aquella cuya gráficaf x x( ) = +

13 2

pasa por el origen de coordenadas.

Solución:

Debemos resolver la integral I dxx= +∫ 13 2

Hacemos el cambio de variable: t x

dt dx dx dtdespejando

= +

= → =

3 2

3 13


I dx dt L t C L x C Lx t= = = + = + ++ ∫∫ 13 2

13

1 13

13 3 2 : logaritmo neperiano

Por tanto:

Para cada valor de C 0ú tenemos una primitiva de f (x)

Buscamos aquella función F(x) tal que F(0) = 0

F L C Buscamos C

C LL

( )0 0 3 0 2 0

2

13

13

23

= ⇒ ⋅ + + =

= − = −

es la función primitiva de cuya gráficaf x x( ) = +1

3 2pasa por el origen de coordenadas.

Ejercicio 84.-Resolver I tg x dx= ∫ 2

Solución:

F x L x C( ) = + +13 3 2

F x L xL

( ) = + −13

233 2


Expresamos el integrando de otro modo: I dxsen x

x= ∫22cos

Por el método de substitución :t x

dt sen x dx sen x dxdespejando dt

=

= − → = −

cos2

2 2 2 2Substituyendo en la integral:

I tg x dx dx dt dt L t C L x Csen x

x t t= = = = − = − + = − +∫∫ ∫ ∫−2 222

1 12

12

1 12

12cos cos

Ejercicio 85.-Resolver I x dx= −∫ 3

Solución:

Por el método de cambio de variable, hacemos: t xdt dx

= −=

3

Sustituyendo en la integral:

I x dx t dt t dtt

Ct

Ct

Cx

C= − = = =+

+ = + = + =−

+∫ ∫∫+

31

23

2 33

12

12

321

12

32

3 3( )

Ejercicio 86.-

Resolver la integral Idx

x arc sen x=

− ⋅∫

1 2

Solución:

Hacemos el cambio :

t u x arc sen x

dt u x dxx

dx

= =

= ′ =−

( )

( )1

1 2

Substituyendo en la integral tenemos:

Idx

x arc sen x tdt L t C L arc sen x C=

− ⋅= = + = +∫ ∫

1

12

Ejercicio 87.-Resolver la integral I sen x x dx= ⋅∫ 3 3cos

Solución:La fórmula fundamental de la trigonometría dice: sen x x2 2 1+ =cos

Despejando: sen x x sen x x2 2 21 1= − = −cos cos;

Substituyendo en la integral: ( )I sen x x dx x x dx= ⋅ = −∫ ∫3 3 2 3 31cos cos cos

Resolvemos por cambio de variable.


Hacemos el cambio: t x

dt sen x dx dx dtsen x

dtt

=

= − → = =

− −

−

cos

1 2


( ) ( ) }

( ) ( ) ( )

{

I sen x x dx x x dx t tt

dt

t t dt t t dt t t dt t dt t dt C

x xC

simplificando

t t


= ⋅ = − = −−

−=

= − − = − − = − − = − + = − + + =

= − + +

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫∫∫

3 3 2 3 3 2 3 32

2 2 3 2 3 3 5 3 54 6

3 6

1 11

1

1 1

4 6

4 6

cos cos

cos cos

cos

Ejercicio 88.-

Resolver la integral ( ) ( )Ix

x L xdx=

− ⋅ −∫

2

3 32 2

Solución:

Por cambio de variable, hacemos: ( )t L x

dtx

xdx

= −

=−

2

2

3

23


( ) ( ) ( ) ( )Ix

x L xdx

L x

xx

dxt

dt L t C L L x C=− ⋅ −

=−

⋅−

= = + = − +∫ ∫ ∫2

3 3

1

3

23

132 2 2 2

2

Ejercicio 89.-


sen xdx=

−+∫

51

cos

Solución:

Por el método de substitución: Hacemos el cambio t sen xDiferenciando dt x dx

= +=

1: cos


{Ix

sen xdx

tdt

tdt

tdt t C sen x C

multiplico por=

−+

=−

= − = − ⋅ = − + = − + +∫ ∫ ∫ ∫5

15

51

5 21

210 10 1

22

cos

Ejercicio 90.-Resolver la integral I x sen x dx= ⋅∫ cos2 3 3

Solución:

Por cambio de variable : Hacemos t xDiferenciando dt sen x dx

== −

cos33 3:



I x sen x dx t dt t dt C Cx

Ct t= ⋅ = = = + = − + = − +∫ ∫∫ − − −coscos2 2 1

31

32 1

3 3 9

33 3

39

3 3

Ejercicio 91.-

Resolver la integral Ix k

dx con k=+

∈∫1

2 2 R

Solución:

Por el método de substitución : Hacemosel cambio t

Diferenciando dt dx dx k dt

xk

kdespejando

=

= → =

: 1


( )Idx

x kk dt

k t kk

k tdt

k tdt

karc tg t C

karc tg

xk

C=+

=+

=+

=+

= + = +∫ ∫∫ ∫2 2 2 2 2 2 2 21

1 11

1 1

Ejercicio 92.-


dx=+

∫3

42

Solución:

Expresamos la integral de la forma Ix

dxx

dx=+

=+

∫ ∫3

43

22 2 2

Por el método de cambio de variable:t x t

dt dx dx dt

x= → =

= → =

212

2


( )Ix

dxdt

tdt

t

dtt

arc tg t C arc tgx

C=+

=+

=+

=+

= + = +∫∫ ∫ ∫3

23

22 2

32

4 1

32 1

32

32 22 2 2 2 2 2 2

Ejercicio 93.-

Resolver la integral Ik x

dx siendo k=−

∈∫1

2 2R

Solución:

Por cambio de variable. Hacemos: t x k t

dt dx dx k dt

xk

despejando

kdespejando

= → =

= → =

1


( )I

dx

k x

k dt

k k t

k dt

k t

k dt

k t

dt

tarc sen t C arc sen Cx

k=−

=−

=−

=/

/ −=

−= + = +∫∫∫ ∫ ∫2 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1


Ejercicio 94.-

Resolver la integral Idx

x=

−∫

7

9 2

Solución:

Expresamos el integrando de otra forma: Idx

x

dx

x=

−=

−∫∫

7

97

32 2 2

Hacemos el siguiente cambio de variable: t x t

dt dx dx dt

x= → =

= → =

313

3


( )I

dx

x

dt

t

dt

t

dt

t

dt

t

arc sen t C arc sen Cx

=−

=−

=−

=−

=−

=

= + = +

∫ ∫ ∫∫ ∫73

73

3 37

3

3 17

3

3 17

1

7 7

2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

Ejercicio 95.-Resolver la integral I dxLx

x= ∫Solución:

Realizamos el siguiente cambio de variable: t Lx

dt dxx

=

=

1


{( )

I dx Lx dx t dt CL x

CLx Lx

CLxx x

t

deshaciendo el cambio= = ⋅ = = + = + =

⋅+∫∫ ∫1

2

22

2 2

Ejercicio 96.-

Resolver la integral Iarc tg x

xdx=

+∫

1 2

Solución:

Por el método de substitución: t u x arc tg x

dt u x dxx

dx

= =

= ′ =+

( )

( )1

1 2

Substituyendo en la integral :

( )I

arc tg xx

dx arc tg xx

dx t dtt

Carc tg x

C=+

= ⋅+

= = + = +∫∫∫1

11 2 22 2

2 2

Ejercicio 97.-Resolver la integral I tg x dx= ∫ 3


Solución:

Hacemos el cambio: ( )t tg x

dt dxx

dxsen x x

xdx tg x dx

sen xx

=

=

= =

+= +

′

cos cos cos1

12

2 2

22cos

Manipulando el integrando a nuestra conveniencia y substituyendo:

( ) ( )[ ]

( )I tg x dx tg x tg x dx tg x tg x dx tg x tg x tg x dx

tg x tg x dx tg x dx I I

= = ⋅ = ⋅ + − = ⋅ + − =

= ⋅ + − = −

∫∫∫∫

∫∫

3 2 2 2

21 2

1 1 1

1

Resolvemos la integral ( )I tg x tg x dx12 1= ⋅ +∫

( )I tg x tg x dx t dt C Ct tg x1

22 2 112 2

= ⋅ + = = + = +∫∫Resolvemos la integral I tg x dx2 = ∫

I tg x dx ver ejercicio en pagina L x C2 145 24= = = − +∫ ( & ) cosPor tanto:

I tg x dx I I L x C Ctg x

= = − = + + ∈∫ 31 2 2

2

cos R

Ejercicio 98.-

Resolver la integral Nota : Hacer el cambio de variable x = sen tIx

xdx=

−∫

2

21Solución:

En este caso el enunciado nos ayuda recomendándonos el cambio a efectuar. Por tanto:x sen t t arc sen x

dx t dt dtx

dx

= → =

= → =−

cos

1

1 2


{

{ {

Ix

xdx

sen t

sen tt dt

sen tt dt sen t dt

C C C

como sen t t

ver ejercicio

t sen t t sen t t


arc sen x x x

=−

=−

= = =

= − + = − + = + +

∫ ∫ ∫ ∫− =

⋅ −

2

2

2

21

22

602

24 2

24 2

2 14

1 1 2

2

coscos

cos

costcos

Ejercicio 99.-

Resolver la integral Nota : Hacer el cambio de variable x = cos tIx

xdx=

−∫

1 2

2

Solución:

Realizamos el cambio aconsejado: x t t arc x

dx sen t dt dtx

dx

= → =

= − → =−

−

cos cos1

1 2



{Ix

xdx

tt

sen t dtsen t

tdt

sen tt

dt tg t dt I

al ser t sen t

=−

=−

− = − =

= − = − = −

∫∫ ∫

∫ ∫

− =

1 12

2

2

21

2

2

22

1

2

coscos cos

cos

cos

( )

Hemos llamado I tg t dt12= ∫

Resolvemos la integral I1 :

( ) ( )I tg t dt tg t dt tg t dt dt I I12 2 2

2 21 1 1 1= = + − = + − = −∫∫∫ ∫Hemos llamado ( )I tg t dt y I dt dt2

231 1= + = =∫∫ ∫

Resolvemos la integral I2 :

( ) ( ) {I tg t dt dt dt dt tg t Csen tt

t sen tt t

inmediata2

2 11 12

2

2 2

2 2= + = + = = = ++∫∫∫ ∫coscos

cos cos

Resolvemos la integral I3 :I dt t C3 = = +∫

Como I1 = I2 & I3 :I tg t t C con C1 = − + ∈ R

Como la integral buscada es I = & I1 tenemos que I tg t t C= − − +Deshaciendo el cambio de variable:

Ejercicio 100.-Comprobar el resultado obtenido en el ejercicio anterior.

Solución:Si llamamos al conjunto de la funcionesF x tg arc x arc x C( ) ( )= − + +cos cos

primitivas de la función , se debe verificar que f x xx

( ) = −1 2

2 F x f x′ =( ) ( )

Comprobemos:

( ){

{( )

( )( )

( ) { {

F xarc x

arc x x x x x x x

x

x x

x x

x x

x x

x x

xx

f x

ver nota

x

racionalizando simplificando comprobado

′ = −′

+−

−+ = − −

−=

−−

−=

=−

−=

− −

−=

− −

−=

−=

−−( )

( )

( )¡ !

cos

cos cos2 2

11

2 2 2 2 2

2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2

2

2

1

10

1

1

1

1

1

1

1

1

1 1

1

1 1

1

1

2

NOTA:Es evidente que cos (arc cos x) = x, es decir, “el coseno del arco cuyo coseno es x es igual

a x”. No obstante, en la figura 9 explicamos esta evidencia.

Ix

xdx tg arc x arc x C=

−= − + +∫

1 2

2 ( )cos cos



Solución:

Por el método de substitución, hacemos: x sen t t arc sen x

dx t dt dt dxx

= → =

= → =

−cos 1

1 2


{ {

{

I x dx sen t dt t dt C

C C C

sen t t ver ejercicio n

t sen t

t sen t t arc sen x sen arc sen x arc sen x

ver nota

arc sen x sen x x

= − = − ⋅ = = + + =

= + + = + + = + +

∫∫ ∫− =

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ −

1 12 2

1

2

592

24

22

4 2 2 21

2

2

2

cost coscos

cos cos

º

( ) ( )

NOTA:

En la figura 10 explicamos las igualdades siguientes: sen arc sen x x

arc sen x x

( )

( )

=

= −

cos 1 2

En la figura 9 hemos dibujado el círculotrigonométrico y tenemos:

AB arco de circunferenciaangulo central correspondiente a ese arco

AB OQ x

AB arco cuyo es x esdecir AB arc x

AB arc x x

Por arc x x

∩

∩

∩ ∩

∩

==

= = =

= =

= =

=

α

α

&

, ,

( cos )

, ( cos )

cos cos

coseno cos

cos cos

tanto cos2 2

En la figura 10 hemos dibujado el círculotrigonométrico y tenemos:

{

AB arco de circunferenciaangulo central correspondiente a ese arco

AB BQ x

AB arco cuyo es x esdecir AB arc x

AB arc sen x x

AB arc sen x OQ BQ x

Por arc sen x x

Pitagoras

∩

∩

∩ ∩

∩

∩

==

= = =

= =

= =

= = = − = −

= −

α

α

&

, ,

( )

( )

: cos( )

&

sen sen

seno sen

sen sen

cos cos

tanto

1 1

1

2 2

2


Ejercicio 102.-


xdx=

−∫

1 2

Solución:

Por el método de cambio de variable, hacemos : t x

dt xdx x dxdespejando dt

= −

= − → =

−

1

2

2


Ix

xdx

dtt t

dt t C x C=−

=−

= − = − + = − − +∫∫ ∫1 2

12

12

2

Ejercicio 103.-

Resolver la integral NOTA: hacer el cambio x = 2 sen tIdx

x x=

−∫ 2 24

Solución:

Realizamos el cambio aconsejado: x sen t sen t t arc sen

dx t dt

x x= → = → =

=

2

22 2

cosSubstituyendo en la integral:

( ){ { ( )

( ){

Idx

x x

t dt

sen t sen t

t dt

sen t sen t

t dt

sen t sen t

t dtsen t t

dtsen t

t Ct

C

arc senC

xx

C

sen t t ver pagina

x

ver NOTA

=−

=⋅ −

=⋅ −

=⋅ −

=

=⋅

= = − + = − + =

= − + = −−

+

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫− =

2 2 2 2 2 2 2 2

12 2

15

22

4

2

4 4 4 2 4 1 2 2 1

414

14 4

44

2

cos cos cos

coscos &cos

cotgcotg

cotg

4

NOTA:

Explicamos la última igualdad de la integral anterior para hallar ( )cotg arc sen x2

L Supongamos una arco de circunferencia AB sen AB x∩ ∩

=tal que 2

L Entonces, AB arc sen x∩

= 2

L El coseno de ( )AB sera AB sen ABxx x x

∩ ∩ ∩−= − = − = − = =

−& cos 1 1 1

42

22

24

44

22 2

L Por tanto: ( )cotg cotgcos

senarc sen AB

AB

AB

xx

xx

x2

42

2

22

4= = = =

−∩∩

∩

−

L En definitiva: Ix

xC con C= −

−+ ∈

44

2R


Ejercicio 104.-Considera la función integrada en el ejercicio anterior.f x

x x( ) =

−

1

42 2

Determina la primitiva que tiene la propiedad de que el punto P(0,1) está en su gráficaSolución:

En el ejercicio anterior obteníamos el conjunto de las primitivas de f (x), es decir:

F xx

xC conjunto de las primitivas de f x

x x( ) ( )= −

−+ =

−

44

1

4

2

2 2

Buscamos aquella que verifica que F (0) = 1:

{F C pero observese queno es igualdadnumerica

( ) , &

&

04 04 0

14 04 0

20

2 2= −

−⋅

+ =−⋅

= ∉ R

Es decir: “Por el punto P(0,1) no pasa ninguna gráfica de las primitivas de f (x) “

Ejercicio 105.-Hallar el conjunto de las funciones primitivas de h x x( ) = + −9 2

Solución:

Se trata de resolver la integral I x dx= −∫ 9 2

Por el método de cambio de variable: x sen t t arc sen

dx t dt

es decir x= → =

=

3

33

cosSubstituyendo en la integral:

( ){

( ) ( ) ( )[ ] {

I h x dx x dx sen t t dt sen t t dt

sen t t dt t t dt t dt C

t sen t t arc sen sen arc sen arc sen C

arc sen C

t sen t

x x x

ver nota

x x x

= = − = − = − =

= ⋅ − = ⋅ = = +

=

= + ⋅ = + ⋅ + =

= + +

∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫+

−

( ) 9 9 9 3 3 9 1

3 3 1 9 9 9

2 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

60

2 24

94

94 3 3 3

94 3 3

93

2

cos cos

cos cos cos cos

cos cos

ver ejercicio

= + − +92 3

12

29arc sen x x K siendo k unax constante.

Ejercicio 106.-Resolver la integral I x x dx= −∫ 2 42

NOTA:Por el mismo razonamiento hecho en lanota del ejercicio 102 , página 54, tenemos:

( )( ) ( )

sen arc sen

arc sen

x x

x x x

3 3

3 32 9

312

=

= − = −cos

El conjunto de las funciones primitivasde la función h(x) viene dado por:

H x arc sen x x K Kx( ) = + − + ∈92 3

12

29 R


Solución:

Modificamos la integral: ( )I x x dx x x dx x x dx= − = − = −∫∫ ∫2 4 2 2 22 1 2 1 2

Por el método de cambio de variable: t x

dt x dx x dx dtdespejando

= −

= − → = −

1 2

4

2

14


( )I x x dx x x dx t dt t dt t dt

tC

tC

xC

= − = − = = − = − =

= − + = − + = −−

+

∫∫ ∫ ∫ ∫−2 4 2 14

14

14

32

3 3 3

2 1 2

14 6

1 2

6

12

32

Ejercicio 107.-Resolver la integral I dx

e x=+∫ 1

Solución:Modificamos el integrando dividiendo numerador y denominador entre ex:

Idx

edx

ee

dxx

dxe

ee

eee e

x

xx

x

x

x

x

x x

=+

= =+

=++

−

−∫∫ ∫ ∫1 11

1

1

Efectuamos el cambio de variable: t e

dt e dx e dx dt

x

x despejando x

= +

= − → = −

−

−

1


Ie

edx

dtt t

dt L t C L e C L Cx

xx

e x=+

=−

= − = − + = − + + = − + +−

−−∫ ∫∫

11

1 1 1

Como ex es positivo para cualquier valor de x, entonces también lo es y, por supuesto, se1e x

verifica que , por lo que podemos poner que 1 01+ >e x 1 11 1+ = + ∀ ∈

e ex x x R

Entonces, la integral queda:

( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )I dx L C L C L e Le C

Le L e C x Le L e C x L e C x L e C

e ee

ex x

x x x x x

x x

x

x= = − + + = − + = − + − + =

= − + + = − + + = ⋅ − + + = − + +

++

∫ 11

1 11 1

1 1 1 1 1En definitiva:

( )I x L e Cdxe

xx= = − + +

+∫ 11


Ejercicio 108.-

Resolver la integral , siendo a 0ú.Ia x

dx=+

∫1

2 2

Solución:

( ) ( )I

a xdx

adx

adx

xa

xa

=+

=+

=+

= ∗∫ ∫ ∫1 1

1

1 1

12 2 2 2 22

2

( )

Realizamos el siguiente cambio de variable:t

dt dx dx a dt

xa

adespejando

=

= → =

1

(*) Substituimos en la integral:

( )∗ =+

=+

=+

= + = +∫ ∫ ∫Ia t

a dta

a tdt

a tdt

aarc tg t C

aarc tg

xa

C1 1

11

11 1

11 1

2 2 2 2 2

Ejercicio 109.-

Resolver la integral siendo a,b 0úIa b x

dx=+

∫1

2 2 2

Solución:Operamos en el integrando:

( )Ia b x

dxa

dxa

dxb x

ab xa

=+

=+

=+

= ∗∫∫ ∫1 1

1

1 1

12 2 2 2 2 22 2

2

( )


dt dx dx dt

bxaba

despejando ab

=

= → =


Ia t

ab

dta

a b tdt

a barc tg t C

a barc tg

bxa

C=+

=⋅ +

=⋅

+ =⋅

+∫ ∫1 1

11

11 1

2 2 2 2

Ejercicio 110.-


dx=+

∫3

2 5 2

Solución:Operamos en el integrando:

( )Ix

dx dx dxx x

=+

=+

=+

= ∗∫ ∫ ∫3

2 53

1

2 1

32

1

12 5

252

22 ( )


dt dx dx dt

x

despejando

=

= → =

5252

25



It

dtt

dt arc tg t C arc tgx

C=+

=+

= + = +∫ ∫32

11

25

3 22 5

11

3 2 52 5 5

2 1010

522 2

Simplificando:

Ejercicio 111.-

Resolver la integral Ixx

dx=+

∫2

3 4 4

Solución:Operamos en la función integrando:

( )Ixx

dxx

dxx

dxx x

=+

=+

=+

= ∗∫ ∫ ∫2

3 42

3 1

23

14 4

32

3

24 2( )

Por el método de substitución, hacemos: t

dt dx x dx dt

x

x despejando

=

= → =

23

43

34

2

(*) Substituyendo en la integral:

It

dtt

dt arc tg t C arc tgx

C=+ +

=⋅ +

= + = +∫ ∫23

1 34

2 33 4

11

36

36

232 2

2

Ejercicio 112.-

Resolver la integral Ix x

dx=−∫

11

Solución:

Realizamos el siguiente cambio de variable: t x

dtx

dx

= −

=−

11

2 1

Operando en dicho cambio: t x x t

x dt dx t dt dx

2 21 1

2 1 2

= − = +

− = =

;

;Substituyendo en la integral:

( )Ix x

dxt

t tdt

tdt

tdt arc tg t C arc tg x C=

−=

+=

+=

+= + = − +∫∫∫∫

11

2

12

11

21

12 2 12 2 2

Ix

dx arc tgx

C=+

= +∫3

2 5105

522


Ejercicio 113.-


dx=−

∫2

3 25 2


( )

( ) ( )

Ix

dxx

dx dx dx

dx dx

x x

x x

=−

=−

=−

=−

=

=⋅

−=

−= ∗

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫

2

3 25

23

1

5

23

1

5 1

23

1

5 1

23 5

1

1

215

1

1

2 2 2 25 5

52

52

2

2

2

2

( )

Por el método de cambio de variable, hacemos: t

dt dx dx dt

x

despejando

=

= → =

515 5

(*) Substituyendo en la integral:

It

dtt

dt arc sen t C arc senx

C=−

=⋅

−= + = +∫ ∫

215

1

15

2 515

1

1

23

23 52 2

Ejercicio 114.-


dx=−

−∫

2

8 2

Solución:Operando en el integrando:

( ) ( ) ( )

Ix

dxx

dx dx dx

dx dx dx

x x

x x x

=−

−= −

−= −

−

= −

⋅ −

=

=−

−

=−

−

=−

−

= ∗

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

2

82

1

82

1

8 1

21

8 1

28

1

1

22 2

1

1

12

1

1

2 2 2 2

8 8

2

8

2

8

2

8

2

2

2

( )

Efectuamos el siguiente cambio de variable:t

dt dx dx dt

x

despejando

=

= → =

818

8

(*) Substituyendo en la integral y racionalizando:

It

dtt

dt arc sen t C arc senx

C=−

−= −

⋅

−= − + = − +∫ ∫

22

1

18

2 82

1

1

162

282 2

Ejercicio 115.-


dx=−

∫4

2 5 2



( )

Ix

dx dx dx dxx x x

=−

=−

=

⋅ −

=

−

= ∗∫∫ ∫ ∫4

2 54

1

2 14

1

2 1

42

1

12 5

252

2 52

22( )

Efectuamos el siguiente cambio de variable: t

dt dx dx dt

x

despejando

=

= → =

5252

25


I

tdt

tdt arc sen t C arc sen x C

arc sen x C arc sen x C

=−

=⋅⋅ −

= + = + =

=⋅

+ = +

∫ ∫42

1

1

25

4 22 5

1

1

45

4 55

52

4 55

5 22

4 55

102

2 2

Ejercicio 116.-

Resolver la integral I dxx

=−∫ 2

3 2 2


( )

Ix

dxx

dx dx dxx x

=−

=−

=

⋅ −

=

−

= ∗∫ ∫ ∫ ∫2

3 22

1

3 12

1

3 1

23

1

12 2

32 2

3

2 23

2( )

Por cambio de variable: t

dt dx dx dt

x

despejando

=

= → =

2323

32


It

dtt

dt arc sen t C arc sen x C

arc sen x C arc sen x C

=−

=⋅⋅ −

= + = + =

=⋅

+ = +

∫ ∫=

23

1

1

32

2 33 2

1

1

32

3 22

62

2

1

2124 34

Ejercicio 117.-


xdx=

−∫

5

4 3

2

2

Solución: Es recomendable ver previamente el ejercicio 98 en página 52.Operamos en la función integrando:


( )

Ix

xdx

xdx

xdx

xdx

x x x=

−=

−=

⋅ −

=

−

= ∗∫∫ ∫ ∫5

4 35

4 15

4 1

52

1

2

2

2

34

2

32

2

2

32

22( )

Por cambio de variable: sen t x sen t sen t x

t dt dx dx t dt

es decir x es decir

despejando

= → = → =

= → =

32

2 34

43

2 2

32

23

2

cos cos


Isen t

sen tt dt

sen t tt

dt sen t dt I=−

=⋅ ⋅

⋅ ⋅⋅

= = ∗ ∗∫ ∫ ∫52 1

23

5 4 22 3 3

203 3

20 39

43

2

2

22

1 coscos

cos( )

Resolvemos la integral I sen t dt12= ∫

Recordemos la expresión del “seno del ángulo mitad ”: sen A A2

12=

− cos

En el caso en que el ángulo sea t, tendremos: sen t de donde sen tt t

= =− −1 2

22 1 2

2cos cos

,

Por tanto:

I sen t dt dt t dt dt t dt

t C C C

t

sen t t sen t t t sen t t1

2 1 22

12

12

12

12

12

22 1 2

24 1 2 2 1

1 2 2= = = − = − =

= − + = − + = − +

−

⋅ ⋅

∫∫∫ ∫ ∫cos

cos cos( )cos cos

Deshaciendo el cambio y considerando que , tenemos:sen t x t arc senx

= ⇒ =32

32

I arc sen C arc sen C

arc senx x

C

xx x

x x x

x

112

32

32

34

112

32

34

34 1

12

32

2

1

1

21

3 4 38

2

2

= −⋅ −

+ = − ⋅ − + =

= −⋅ −

+

(**) Volviendo a la integral I :

I I arc sen

x x xC

arc senx x x

C

= = ⋅ − ⋅⋅ −

+ =

= −−

+

20 39

20 39

12

32

20 39

3 4 34

10 39

32

5 4 33

1

2

2

En definitiva:


Ix

xdx arc sen

x x xC=

−= −

−+∫

5

4 3

10 39

32

5 4 33

2

2

2


Solución: Operamos en el integrando:

( ) ( )I x dx dx dx dx Ix x x= − = − = ⋅ − = − = ∗ ∗∫∫ ∫ ∫4 4 1 4 1 2 1 224 4 2

21

2 2

( )

Resolvamos la integral (conviene ver el ejercicio 101 en página 54)( )I dxx1 2

21= −∫

Efectuamos el siguiente cambio de variable: x es decir x

es decir

sen t t arc sen

dx t dt dx t dt

2 212 2

= → =

= → =

cos cosSubstituyendo en la integral I1 :

( )I dx sen t t dt t t dt t dt Ix1 2

2 2 221 1 2 2 2 2= − = − ⋅ = ⋅ = =∫ ∫ ∫ ∫cos cos cos cos

Hemos llamado I t dt22= ∫ cos

Por tanto: I I I I= = ⋅ =2 2 2 41 2 2

Resolvamos la integral I t dt22= ∫ cos

Recordemos algunas igualdades trigonométricas que aplicaremos en este caso:

Aplicando la fórmula anterior a la integral I2 :

( )I t dt dt t dt dt t dt

t C C C C

t

sen t t sen t t sen t t t sen t t2

2 1 2 12

12

12

12

12

22 2

24 2

24 2 2

1 2 2= = = + = + =

= + ⋅ + = + + = + + = + +

∫ ∫ ∫ ∫∫+

⋅ ⋅

cos cos coscos2

cos cos

Deshaciendo el cambio de variable:

( )I

arc senC arc sen

xC

arc sen C arc senx x

C

x x xx

x

xx x

x

22 2 2

2

2

44

2

42

2

2

2

1

212 4

12 4

12

48

2

2

= +⋅ −

+ = + + =

= + + = +−

+

−

−

En definitiva:

Si A es un angulo y su mitad se verifica

Para el caso en que t sera t

A A A

A t

& , :

, &

2 21

2

21 2

2

cos

cos

cos

cos

=

= =

+

+

I I arc senx x

Cx= = +−

+4 2422 2

2

8.3.Ejercicios de integrales resueltos por substitución · Matemáticas de 2º de bachillerato...

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