Geometría

Página 1

SEMANA 7

PROPORCIONALIDAD Y

SEMEJANZA

1. En la figura calcule z,

si:1 2 3

xx.y x y , L //L //L

y

A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

E) 8

RESOLUCIÓN

1) Dato: x

x.y x yy

Resolviendo:

1x

2 , y =-1... (I)

2) Teorema de Thales

6x z 1

y 5 z 1

... (II)

3) (I)en (II)

6 1/2 z 1

1 5 z 1

4 z 1

3 z 1

4z 4 3z 3

z = 7

RPTA.: D

2. En la figura, calcule BF si:

AE 3

EC 2 , CD=6

A) 6 2 B) 7 2 C) 8 2

D) 9 2 E) 12 2

RESOLUCIÓN 1) Corolario de Thales:

AE BD

EC CD ... (I)

2) Reemplazando los datos en (I):

3 BDBD 9

2 6 ..... (II)

3) BDF (notable)

BF BD 2 ... (III)

4) (II) en (III)

BF 9 2

RPTA.: D

3. En la figura, calcule AB, si: BD=4 y DC = 5

A) 6

B) 8

C) 9

D) 12

E) 15

1L

2L

3L

z-1

z+1

6x

y+5

B

A

CD

45º 45ºF

CAE

B

D

Geometría

Página 2

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 4, DC = 5 2) Teorema de bisectriz

x 4 5y x

y 5 4 ... (I)

3) Teorema de Pitágoras en ABC

2 2 2y x 9 ... (II)

4) (I) en (II)

2

25x x 81

4

9 2x

8116

2x 144

x 12

RPTA.: D

4. En la figura, calcule CF, si: AD=3

y DC=2.

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN

1) Dato: AD = 3, DC = 3 y DC = 2

2) Teorema de bisectriz

c 3

a 2 ... (interna) (I)

c 5 x

a x

...(externa) (II)

3) Igualando

3 5 x

2 x

..División armónica

3x 10 2x

x 10

RPTA.: D

5. En la figura, calcule CF, si: el triángulo ABC es equilátero,

BD=3, AD=5, BE=4.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15

RESOLUCIÓN

B

45º45º45º

A D C F

B

ED

CA F

B

A

CD

yx

4 59

B

45º45º45º

A D C F

45º

C

3 2 x

( 5+x )

a

B

ED

CA F

43

4

x8

5

(8+x)

Geometría

Página 3

1) Dato: BD = 3, AD = 5

AB = 8

2) Dato: ABC es equilátero

AB = AC = BC = 8

3) Dato: BE = 4 EC = 4

4) Teorema de Menelao

5 4 x 3 4 8 x

5x 24 3x

x 12

RPTA.: D

6. En un cuadrilátero convexo ABCD,

el ángulo externo D mide la mitad del ángulo interior B y la diagonal BD biseca al ángulo ABC. Calcule

BD, si AB = 25 y BC = 16.

A) 12 B) 15 C) 18 D) 20 E) 36

RESOLUCIÓN

1) Dato: mABC

mCDF2

2) Si: mCDF

mABC 2

3) BD es bisectriz

mABD mCBD

4) ABD

mBDF mA mABD

mBDC mCDF mA mABD

mBDC mA

5) ABD BDC

2x 400

x = 20

RPTA.: D

7. Calcule AF en la figura, Si: BD = 5 y DF= 4.

A) 5 B) 5,5 C) 6 D) 6,5 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 5, DF = 4

2) Ángulo inscrito

mCFmCBF mCAF

2

3) ABC ADF (caso AAA)

2x 36

x = 6

RPTA.: C

B

CA

F

D

x

x16

25

x

25

16

C

B

AD

x

x4

9

B

CA

F

D

2x

5

4

Geometría

Página 4

8. En un triángulo ABC la base AC mide 30 cm. y la altura BH mide

15 cm. Calcule la longitud del lado del cuadrado inscrito en dicho

triángulo y que tiene un lado

contenido en AC

A) 15 cm. B) 12 cm.

C) 10 cm. D) 8 cm. E) 13 cm.

RESOLUCIÓN

1) Dato: BH= 15, AC =30 2) ABC DBE

15 15 x

30 x

1 15 x

2 x

x = 30 -2x

3x = 30

x = 10

RPTA.: C

9. En la figura, MN es paralela a

BC , AB = 18 cm, AC = 27 cm y

BC = 36 cm. Calcule AM para que el perímetro del triángulo AMN sea

igual al perímetro del trapecio MNCB.

A) 14,5 cm.

B) 16,2 cm.

C) 12,5 cm.

D) 18,2 cm.

E) 19,2 cm.

RESOLUCIÓN

1) Dato: AB =18 BM = 18 – x

AC =27 NC = 27 – y

BC =36, MN// AC

2) Dato: Perímetro (AMN) = Perímetro (MNCB)

x y z 18 x z 27 y 36

2x 2y 81 ... (I)

3) Corolario de Thales

x y

18 27

x y

2 3

2y 3x ... (II)

4) (II) en (I) 2x 3x 81

x 16,2

RPTA.: B

A

M N

B C

B

E

A G CF

Dx

x x

30

15

15-x

36

z

yx

A

M N

18-x

B C

27-y

Geometría

Página 5

10. En la figura, calcule EC, si: BD = 12 y DE = 15

A) 20

B) 22

C) 24

D) 25

E) 27

RESOLUCIÓN

1) Dato: BD = 2 , DE = 15 2) Construir el ABF ABD

BF = BD = 12 AF = AD = a

3) Teorema de bisectriz en

ADC

a 15

c x ... (I)

4) Teorema de bisectriz en FAC

a 24

c 15 x

... (II)

5) Igualando (I) y (II)

15 24

x 15 x

x 25

RPTA.: D

11. En la figura, calcule AB, si ABCD es cuadrado, BF = 3 y FE = 2.

A) 10

B) 12

C) 13

D) 15

E) 18

RESOLUCIÓN

1) Dato: BF = 3, FE = 2 2) Dato: ABCD es cuadrado

360ºmAB mAD mCD 90º

4

3) Ángulo Inscrito:

90º

m BPA 45º2

90º

m APD 45º2

90º

m DPC 45º2

4) BPC : División Armónica

3 5 x

2 x

x 10 ... (I)

B D CE

A

C

P

EFB

DA

B D CE

A

F

a

x

c

151212

24 (15+x)

C

P

EFB

DA

3 2 x

90º

90º

45º45º

45º

90º

Geometría

Página 6

5) Nos piden AB

= 3 + 2 + x....... (II)

6)(I) en (II)

= 3 +2 + 10

15

RPTA.: D

12. En un triángulo rectángulo ABC

recto en B, AB=6, BC=8, se trazan: la mediana BM y la

bisectriz interior AD D BC que

se intersectan en P. La

prolongación de CP intersecta a

AB en E; calcule AE.

A) 3 B) 4 C) 11

4

D) 15

4 E)

17

4

RESOLUCIÓN

1) Dato: AB = 6, BC = 8

2) ABC (37º y 53º) AC = 10

3) Teorema de bisectriz en ABC

6 BD

10 8 BD

BD 3

DC 5

4) Dato: BM es mediana

AM = MC =5 5) Teorema de Ceva

x 5 3 6 x 5 5

3x 30 5x

8x 30

15

x4

RPTA.: D

13. En la figura, calcule CF. Si: AE= 4 y EC= 2

A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 16

RESOLUCIÓN

1) Dato: AE = 4 , EC = 2

2) Teorema de Ceva ab (2) = dc (4) … (I)

3) Teorema de Menelao

ab x= dc (6+x)… (II)

4) Dividiendo(I) y (II)

2 4

x 6 x

... Div. Armónica

4x 12 2x

x= 6

RPTA.: A

EA

B

CF

M

5

5

P

A

E

B D C

x

6-x

3 58

EA

d

CF

B

b

a

c

4 2 x

(6+x)

Geometría

Página 7

14. En un triángulo rectángulo ABC recto en B cuyo circunradio mide

R, el inradio mide r, R=5r, siendo

“I” el incentro, se traza BI cuya

prolongación intersecta a AC en

D. Calcule BI

ID

A) 1,2 B) 1,5 C) 1,6

D) 1,8 E) 2,1

RESOLUCIÓN

1) Dato: R=5r … (I) 2) Teorema del Incentro

BI AB BC

ID AC

… (II)

3) Teorema de Poncelet AB+BC=AC+2r = 12r (III)

(III) en (II)

BI 6

1,2ID 5

RPTA.: A

15. Calcule x en la figura.

A) 5 B) 2 C) 3

D) 2 E) 1

RESOLUCIÓN

Por semejanza

x AEAEF ADC

3 AD ..(I)

x EDFED BAD

6 AD ..(II)

(I) y (II)

x x AE ED

3 6 AD

1 1x 1

3 6

2 1x 1

6

6x

3

x= 2

RPTA.: B

16. En un cuadrilátero ABCD

circunscrito a una circunferencia, los lados AD y BC son tangentes a

la circunferencia en M y N

respectivamente, MN intersecta a

AC en P, si PC = 10, NC = 8

y AM = 4; calcule AP. A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 8 x

3

6

AD

B

45º

R

C

2RR

or

I

45º

x3

6C

DEA

F

B

Geometría

Página 8

D

M

Ax

C

E

B N 8

8

10

P

4

RESOLUCIÓN

1) Dato:PC = 10, AM = 4, NC = 8

2) Trazar CE// AD ángulos

alternos internos m MEC

3) Ángulo Seminscrito

mMNmAMN mBNM

2

4) NCE es isósceles

NC EC 8

5) APM EPC

Caso AAA

8x = 40

x = 5

RPTA.: C

17. En un triángulo ABC se inscribe un

rombo BFDE, F en AB, D en AC y

E en BC . Calcule la longitud del

lado de dicho rombo, si: AB = 6 y

BC = 12

A) 3 B) 4 C) 8 D) 9 E) 10

RESOLUCIÓN

1) Dato: AB= 6, BC=12

2) Dato BFDE es rombo BF = FD = DE = BE = x

FD//BC

DE// AB

3) AFD DEC

Caso AAA

2x 6 x 12 x

2x 272 18x x

18x = 72

x = 4

RPTA.: B

18. Las medidas de los lados de un triángulo son tres números pares

consecutivos además el mayor interno mide el doble de la medida

del menor ángulo interno. Calcule la medida del menor lado.

A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8

x10

4 8

x x

x x

12

6

A D

x

B

E

x

C

6-x

12-xx

x

6 F

12

Geometría

Página 9

RESOLUCIÓN

1) Prolongar CA hasta E tal que

AE = AB = x

2) BE = BC = x + 4 3) ABC BAE

2 2x 8x 16 2x 2x

20 x 6x 16

x 8 x 2 0

x - 8 = 0

x = 8

RPTA.: E

19. En la figura, calcule ET, si: DP=3 y PE = 2, D, E y F son puntos de tangencia.

A) 5 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12

RESOLUCIÓN 1) Propiedad A, F, C y T es una

cuaterna armónica. 2) B-AFCT es un haz armónico

DP DT

PE ET … (I)

3) Dato DP= 3; PE =2,

ET =x… (II)

4) (II) en (I) 3 5 x

2 x

x= 10

RPTA.: D

20. En un triángulo rectángulo ABC recto en B, la prolongación de la

altura BH intersecta a la bisectriz exterior del ángulo C en el punto

P. Calcule BP, Si: AB = 4, BC = 3 y AC = 5

A) 3 B) 4 C) 5

D) 6 E) 8

RESOLUCIÓN

1) Las prolongaciones de AB y

PC se intersectan enT.

2) m BPC m BTC 90º

3) PBT es isósceles

BP BT x 4) ATC BCP Caso AAA

5x= 12+3x 2x=12

x= 6

RPTA.: D

B

D

EP

F C TA

x x

x x

4

2 1 4

90

x x

5 3

4

T

x

P

B

A

4

C

3

90

H

x

5

90

x+4

x+2AE

x+4

B

x

2

Cx

(2x+2)