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Problemas de Optimización Problemas de Optimización

Formas EstándarFormas Estándar

(*) Basado en Boyd y Vandenberghe. Convex Optimizationhttp://www.stanford.edu/~boyd/cvxbook/

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NotaciónNotación

Dado el problema de optimización

se llaman:● x la variable a optimizar

● f0() la función objetivo

● fi(x)0 las restricciones de desigualdad

● hi(x)=0 las restricciones de igualdad

Si m=p=0 se dice que el problema no tiene restricciones

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DominioDominio

Los puntos para los cuales están definidas la función objetivo y las restricciones

un punto x∈D es factible si satisface todas las restricciones y el problema es factible si existe al menos un punto factible.

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Valor óptimoValor óptimo

Se define p* el valor óptimo del problema de optimización como

Con los casos especiales● p*= si el problema no es factible∞

● p si el problema no está acotado*=-∞

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Puntos óptimosPuntos óptimos

x* es una solución óptima si es factible y f(x*)=p*.

El conjunto óptimo Xopt es el conjunto de todas las soluciones óptimas.

También se denominan puntos óptimos globales.

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Óptimos localesÓptimos locales

Un punto x es óptimo local si ● es factible

● f0(x) es mínima con respecto a una esfera de radio R>0.

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RestriccionesRestricciones

Sea x un punto factible

● Si fi(x)=0 se dice que la restriccion fi(x)0 está activa.

● Si fi(x)<0, la restricción fi(x)0 está inactiva.

● Si el eliminar una restricción no altera el conjunto factible, se dice que la restricción es redudante.

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Problema de factibilidadProblema de factibilidad

Es el problema de determinar si existen puntos factibles, es decir las restricciones son consistentes

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Forma estándarForma estándar

Un problema expresado en la forma

se dice que está en forma estándar.● Minimizar función objetivo.● Restricciones de desigualdad de la forma

fi(x)0.

● Restricciones de igualdad en la forma hi(x)=0.

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Transformación a la forma estándarTransformación a la forma estándar

Es usualmente muy sencillo llevar un problema a la forma estándar:● Restricciones no iguales a zero

● Desigualdades 'mayor que'

● Variable sin restricciones

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Problemas de maximizaciónProblemas de maximización

El problema

es equivalente al problema de minimizar la función -f0 sujeta a las mismas restricciones.

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Slack VariablesSlack Variables

Observando que la condición fi(x)≤0 equivale a que existe una variable si tal que

se puede transformar el problema estándar en

el siguiente problema equivalente

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Eliminando restricciones de Eliminando restricciones de igualdadigualdad

● Supongase que existe una función :ℝk→ℝn y

un parámetro z∈ℝk tal que hi(x)=0, i=1..p siempre que x=(z).

● Entonces el problema estándar se puede transformar en el siguiente problema equivalente

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Eliminando restricciones lineales Eliminando restricciones lineales de igualdad (I)de igualdad (I)

Si las funciones hi(x) son lineales, entonces resulta sencillo eliminarlas. Estas restricciones tienen la forma Ax=b y hay dos posibilidades:● Ax=b es inconsistente: No hay solución posible,

el problema no es factible.

● Ax=b admite solución. Sea x0 una solución. Sea

F∈ℝnxk una matrix tal que Fz+x0 es una solución de Ax=b (en particular es deseable que k=n-rango(A)).

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Eliminando restricciones lineales Eliminando restricciones lineales de igualdad (II)de igualdad (II)

Entonces sustibuyendo x=Fz+x0 en la forma estandar se obtiene:

donde la nueva variable z tiene rango(A) menos variables, y las soluciones z* se corresponden con las soluciones del problema original.

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Forma equivalente Forma equivalente en términos del epigrafoen términos del epigrafo

● Dos problemas de optimización son equivalentes si la solución de uno se corresponde con la solución del otro y viceversa.

● El problema de minimización estándar es equivalente al siguiente problema