239

7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU SOLUCIÓN

7 ECUACIONES DIFERENCIALES DE LOS CIRCUITOS Y SU SOLUCIÓN........................................................................................239

7.1 INTRODUCCIÓN. ...............................................................240 7.1.1 SOLUCIÓN NATURAL Ó DE ESTADO TRANSITORIO: .........................................................................243 7.1.2 SOLUCIÓN FORZADA:...............................................244

7.2 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA RESPUESTA NATURAL Y DE LA RESPUESTA FORZADA..........................244 7.3 RESPUESTA NATURAL Y FORZADA DE CIRCUITOS SENCILLOS. ..................................................................................248 7.4 NECESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTICO PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE LOS CIRCUITOS ............276 7.5 EJEMPLOS...........................................................................277

7.5.1 EJEMPLO 1 ...................................................................277 7.5.2 EJEMPLO 2. ..................................................................282

240

7.1 INTRODUCCIÓN.

Figura 7.1.1.Ecuaciones diferenciales de los

circuitos y su solución.

Con ayuda del circuito de la figura 7.1.1, repasaremos brevemente como planteamos las ecuaciones de los circuitos. Primero que todo dividimos los elementos en dos categorías: los activos, ó fuentes, en los cuales se conoce el voltaje, la corriente, ó ambas cantidades; y los pasivos, ó impedancias y fuentes controladas, en los que se establecen ecuaciones entre los voltajes y las corrientes. En las fuentes (las no controladas) la característica esencial es que no se plantean ecuaciones propiamente dichas (a lo más, se establece una “asignación” del tipo Va = 10 voltios, por ejemplo). Para el circuito de la figura 7.1.1, tendremos:

bb

aa

VV

VV

==

Asignaciones de las fuentes

Entendiendo por Va y Vb voltajes conocidos, no incógnitas a determinar. En las impedancias, en cambio, se plantean las ecuaciones en el mismo circuito.

241

V Z i

V Z i

V Z i

V Z i

V Z i

1 1 1

2 2 2

3 3 3

4 4 4

5 5 5

=====

.

Ecuaciones en las impedancias

Ahora se plantean las ecuaciones de Kirchhoff: Nodo N i i i

Nodo N i i i1 1 2 3

2 2 3 1

→ = +→ + =

Son redundantes, como debemos saber

=−−−→=−−−→

0

0

4232

5311

b

a

VVVVMMalla

VVVVMMallaNo son redundantes, son

independientes Reemplazando las ecuaciones de “rama” y la de nodo en las de malla obtenemos:

( )( )

=−−−−=−−−−

0

0

2422213

1521311

b

a

ViZiZiiZ

iZiiZiZV

Figura 7.1.2.Ecuaciones diferenciales de los

circuitos y su solución. Estas mismas ecuaciones se pueden obtener directamente (ver figura 7.1.2), utilizando la técnica ó método de las “corrientes de malla” (ver apéndice A). Recuérdese entonces que este método consiste en escoger unas variables, “las

242

corrientes de malla”, que cumplen automáticamente las ecuaciones de nodo de Kirchhoff, y plantear solo las ecuaciones de malla pero con los voltajes de rama reemplazados por las ecuaciones que los relacionan con las corrientes. Así mismo, existe el método de los “voltajes de nodo” (ver apéndice A) que utiliza como variables los voltajes en los nodos, que cumplen automáticamente las ecuaciones de malla. Solo se requiere, entonces, plantear las ecuaciones de nodo pero con las corrientes reemplazadas por las ecuaciones que las relacionan con los voltajes de nodo. Volviendo a las dos últimas ecuaciones, vemos que podemos despejar una de las corrientes, digamos i2:

( )( )[ ]

V Z Z Z i Z i

iZ

Z Z Z i V

a

a

= + + −

= + + −

1 3 5 1 3 2

23

1 3 5 1

1

Y reemplazarla en la otra ecuación:

( )

( ) 0

0

13

53142313

242313

=−

−

++++−∴

=−++−

ba

b

VViZ

ZZZZZZiZ

ViZZZiZ

( )( ) ( )

( )( )[ ] ( )

∴ −+ + + +

= −+ +

∴ − + + + + = − + +

ZZ Z Z Z Z Z

Zi V

Z Z Z V

Z

Z Z Z Z Z Z Z i Z V Z Z Z V

ba

b a

33 2 4 1 3 5

31

3 2 4

3

32

3 2 4 1 3 5 1 3 3 2 4

Ahora, recordemos que es una Z de las que aparecen en la ecuación anterior. Estas Zs son operadores lineales integro diferenciales de la forma:

Z Lddt C

dt RK KK

t

K= + +

1

0

Aunque podrían tener formas algo más complejas, para los fines que perseguimos aquí, bastará con la forma anterior, pero ¿cómo “opera” este operador?

243

Para verlo operar, apliquémoslo a una corriente, digamos: i = 5t²

23

2

0

53

510

51

tRt

CtLiZ

tRdtCdt

dLiZ

KK

KK

K

t

KKK

++=∴

++=

Al reemplazar estos operadores en la ecuación que obtuvimos del circuito, nos resulta una ecuación con integrales y diferenciales. Sin embargo, para resolver estas ecuaciones lo usual es reducirlas por diferenciaciones sucesivas a ecuaciones sólo diferenciales. El resultado final es una ecuación diferencial de la forma:

addt

i addt

i addt

a i h tn

n

n n

n

n+ + + + =−

−

−1

1

1 1 0... ( )

Donde las ak vienen de las Rs, las Ls y las Cs del circuito, y la h (t) es la parte correspondiente a las fuentes del circuito (Va y Vb en el ejemplo). Ecuaciones de este tipo se llaman “ecuaciones diferenciales de orden n”. La solución de cualquiera de estas ecuaciones consta de dos partes:

7.1.1 SOLUCIÓN NATURAL Ó DE ESTADO TRANSITORIO:

Es la corriente expresada como función del tiempo que satisface la ecuación:

addt

i addt

i addt

a in

n

n n

n

n+ + + + =−

−

−1

1

1 1 0 0...

Ecuación que se obtiene igualando a cero la parte izquierda de la ecuación original, o, lo que es lo mismo, igualando a cero todas las fuentes del circuito. Llamemos esta solución i tnatural ( ).

244

7.1.2 SOLUCIÓN FORZADA: Es una solución de la ecuación original:

addt

i addt

i addt

a i h tn

n

n n

n

n+ + + + =−

−

−1

1

1 1 0... ( )

El nombre de “forzada” es muy apropiado, pues esta solución tiene que acomodarse a la forma de las excitaciones ó fuentes del circuito, representadas por h (t). Llamaremos esta solución i tforzada ( ). La solución completa de la ecuación (y por lo tanto del circuito), será:

i t( ) .= i tnatural ( ).+ i tforzada ( ). A medida que resolvamos circuitos la naturaleza física de estas respuestas se irá volviendo transparente. Pero no sobran algunas explicaciones preliminares.

7.2 INTERPRETACIÓN FÍSICA DE LA RESPUESTA NATURAL Y DE LA RESPUESTA FORZADA.

El sentido cabal y completo del significado de la respuesta natural y forzada lo adquiriremos a medida que resolvamos circuitos críticamente; pero podemos adelantar algunas ideas generales al respecto. Consideremos un resorte (Figura 7.2.1) unido a una pared rígida y situado sobre una superficie lisa. Si se comprime ese resorte, dándole energía, y se libera después, vibrará “libremente”, tratando de disipar su energía almacenada, y no dejará de vibrar hasta que consiga disiparla por completo. Este funcionamiento “libre” es lo que llamaremos “respuesta natural” del resorte. En cambio, tomando el extremo suelto del resorte con la mano, podemos obligarlo a moverse forzadamente en el tiempo, con movimientos distintos a sus vibraciones naturales (ver figura 7.2.2), por ejemplo, trazando dientes de

245

sierra en el tiempo. Este comportamiento será la respuesta “forzada” del resorte al estímulo externo.

Figura 7.2.1.Interpretación física de la respuesta

natural.

Figura 7.2.2.Interpretación física de la respuesta

forzada. Por lo anterior, vemos que la respuesta natural es la respuesta del sistema a energías almacenadas en sus elementos, las cuales tratan de disiparse, si pueden, ó repartirse entre los elementos, si pueden, para aumentar la entropía (el desorden) en el sistema. La respuesta forzada, como su nombre, excelentemente escogido, lo pregona, es la respuesta del sistema forzada, obligada, por un agente externo. Esta respuesta forzada puede contener, aparentemente, discontinuidades en la función o en sus derivadas, como la citada función dientes de sierra, lo que nunca le ocurre a la respuesta natural de ningún sistema. Las respuestas naturales siempre son continuas y con

246

derivadas continuas. Algunos sistemas electrónicos aparentemente generan funciones con cambios bruscos, como funciones triangulares por ejemplo, que tendrían discontinuidades en sus derivadas; pero una observación con algo mas de detalle, como se lograría usando un osciloscopio de mayor base de tiempo, rápidamente nos convence que esos cambios bruscos desaparecen, pues solo parecían como tales por ocurrir en tiempos pequeñísimos. Ahora, nosotros usamos unas fuentes de voltaje (en los condensadores) y unas fuentes de corriente (en las inductancias) para simular las energías almacenadas. Para ser rigurosos y consecuentes, debemos aceptar que estas fuentes son las que producen el comportamiento natural, pues representan las energías almacenadas. Por otra parte, un impulso, aunque sea una fuente aplicada, y sólo exista en un tiempo despreciable, es capaz de almacenar energía en los elementos capaces de almacenarla (usualmente inductancias y condensadores), y esa energía almacenada luego propicia el comportamiento natural. Por eso resulta que la respuesta a un impulso siempre contiene la respuesta natural. Para el caso del resorte un impulso sería algo así como un “papirotazo”, un golpe súbito, que lo comprimiera y luego lo soltara para que vibrara libremente. Las ecuaciones de los circuitos, entonces, toman la escritura más general:

Ecuación diferencial = Σ (fuentes internas)+ Σ (fuentes de energía interna)+ Σ (impulsos).

Y la respuesta natural puede obtenerse indistintamente de la ecuación diferencial igualada a cero, de la ecuación diferencial igualada a las fuentes que representan la energía almacenada, o de la ecuación diferencial igualada a un impulso luego de restar de la solución la respuesta impulsiva. Estas posibilidades oscurecen un poco la interpretación sencilla y lógica que emana de las consideraciones físicas, de modo que la interpretación física debe primar sobre la matemática o meramente convencional. El proceso de solución implica los siguientes pasos:

247

1. Encontrar la solución de: Ecuación diferencial = 0

Lo cual nos da la “solución natural” (en matemáticas se llama “función complementaria“, ó también “homogénea”). Esta solución resulta en términos de unos parámetros, cuyos valores se deben determinar después. Esta ecuación no debe tener limitaciones en t = 0 (saltos como la función paso, etc); esto porque la ecuación está simplemente igualada a cero. Esta solución natural también puede obtenerse de:

Ecuación diferencial = Σ (fuentes de energía interna),

o de la ecuación: Ecuación diferencial = Σ(impulsos)

La única diferencia es que la respuesta del último caso también contiene respuestas impulsivas que no hacen parte de la respuesta natural. 2. Encontrar una solución de :

Ecuación diferencial = Σ(fuentes externas) + + Σ(impulsos) Esta solución “particular”, si tendrá los saltos bruscos en t = 0 y los impulsos a que den lugar esos saltos bruscos. 3. Por último, se sustituye la solución natural y la solución

particular ( )S S Stotal natural particular= + en la ecuación original y

se encuentran los parámetros desconocidos de la solución natural.

Apliquemos este método a algunos casos sencillos.

248

7.3 RESPUESTA NATURAL Y FORZADA DE CIRCUITOS SENCILLOS. a. Condensador cargado, “descargándose” a través de

una resistencia.

Figura 7.3.1. Condensador cargado

descargándose a través de una resistencia. En la figura 7.3.1 describimos como hacemos evolucionar el circuito, no sólo para representar la energía almacenada (fuente Eo), sino para interpretar el cierre del interruptor como la función paso. La ecuación de malla del último circuito es:

E u t RiC

idto

t

− = + 10

1( )

Diferenciando respecto a t para lograr una ecuación sólo diferencial:

E u t Rdidt

iCo o ( ) = +

La solución natural de este circuito correspondería a la ecuación:

0 = +Rdidt

iC

Ensayando una solución exponencial, pues vimos en el capítulo precedente que esta función no cambia “de forma” al ser diferenciada, y reemplazándola en la ecuación diferencial:

249

( )i I e

Rddt

I eI e

C

R I eI e

C

ot

ot o

t

ot o

t

=

= +

∴ = +

α

αα

αα

α

0

0

Cancelando términos comunes:

01

1

= +

∴ = −

RC

RC

α

α

De modo que la solución natural tendrá la forma general:

i I eo

t

R C=−

Donde Io es un parámetro que debemos encontrar después. Ahora debemos resolver la ecuación:

E u t Rdidt

iCo o ( ) = +

La única diferencia con el caso anterior, es que debemos obtener un impulso; pero el impulso lo obtenemos derivando la función paso. Ensayemos esta solución :

C

eItueItu

dtd

RtuE

eItui

RC

t

fRC

t

foo

RC

t

f

−

−−

−

−

−

+

=∴

=

)()()(

)(

11

1

C

eItue

RCItRueItuR

RC

t

fRC

t

fRC

t

fo

−

−−

−

−

+

−+

=

)(1)()( 1

1

+−+

=∴

−

−−

1)(

)()( 1

RR

C

eItueItuRtuE

RC

t

fRC

t

fooo

250

∴ =

−

E u t R u t I eo o o f

t

RC( ) ( )

Pero, recuérdese que un impulso sólo “dura” de t = 0- a t = 0+,

o sea que e et

RC RC

−

= =0

1, durante la vida del impulso.

∴ =IERf

o

La solución completa de este circuito sería:

i I e u tER

eo

t

RC ot

RC= +−

−

−

1( )

Vamos a reemplazarla en la ecuación diferencial:

E u t Rddt

I u tER

eC

I u tER

eo o oo

t

RCo

ot

RC( ) ( ) ( )= +

+ +

−

−

−

−

1 1

1

E u t R u tER

e R I u tER RC

e

CI u t

ER

e

o o oo

tRC

oo

tRC

oo

tRC

( ) ( ) ( )

( )

= +

+ +

−

+

+

−

−

−

−

−

01

1

1

1

∴ =

− + +

−

+

−− −

−

− −

E u t R u tER

eRI e

RCI e

C

u tERC

eERC

e

o o oo

tRC o

tRC

o

tRC

ot

RC ot

RC

( ) ( )

( )1

Evidentemente la solución cumple la ecuación diferencial, y aún no hemos calculado el parámetro Io. Ahora, la solución también debe cumplir la ecuación integro diferencial, veámoslo:

dteRE

tueIC

eRE

tueIRtuEt

RCt

oRCt

oRC

toRC

t

oo

++

+=

−

−

−−

−

−

−0

111 )(1

)()(

251

∴ = +

+

−

+−

− −

−−

−

−

E u t R I u tER

eC

I e

RC

u tER

e

RC

o oo

tRC o

tRC

ot

RC

t

1 1

1

0

11 1

( ) ( )( )

( )E u t RI u t E e

RCC

I e I e u tER

e u tER

e

o o o

tRC

o

tRC

oRC o

tRC o RC

− −

−

−

−

−

−

= +

+

−

− + −

1 1

0

1 1

0

( ) ( )

( ) ( )

( )∴ = + − −

+ +

∴ = → =

− − −

−

−E u t RI u t E RI u t E e RI u t E

RI I

o o o o o

tRC

o o

o o

1 1 1 1

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

Entonces este circuito ¿no tiene respuesta natural, pues Io = 0 es cero?; lo que ocurre es que la respuesta natural es la correspondiente a la fuente interna, a la fuente que representa la energía almacenada, tal como habíamos anunciado.

¿Pero que diferencia existe entre I e y u tER

eo

tRC o

tRC

−

−

−

1( ) ?

Esa diferencia, crucial, la ilustramos en la figura 7.3.2. La primera función puede existir para t< 0, en cambio la segunda función es cero para t< 0. Por otro lado, obsérvese que para calcular los parámetros de las soluciones es necesario utilizar las ecuaciones más “primitivas” del circuito, las que no han sido diferenciadas con respecto al tiempo.

252

Figura 7.3.2. Diferencia entre las funciones

exponenciales. b. Condensador descargado excitado con fuente cosenoidal. La ecuación para el circuito final de la figura 7.3.3 es:

u t E wt RiC

idtt

− = + 10

1( ) cos( )

Figura 7.3.3. Condensador descargado y fuente

cosenoidal.

Diferenciando de nuevo, para obtener una ecuación diferencial:

u t E w u t Ew wt Rdidt

iCo( ) cos( ) ( ) sen( )× − = +−0 1

253

Aplicamos la propiedad del impulso que evalúa las funciones a las que multiplica en su punto de ocurrencia. Conocemos la solución libre ó natural por el caso anterior:

i u t I en o

tRC= −

−

1( ) En cuanto a la solución forzada debe ser de tipo senoidal pues este el tipo de la fuente:

i u t I wtf f= +−1( ) cos( )α La solución completa : i i in f= + , sustituida en la ecuación diferencial nos da :

+++

++=−

−

−

−

−−

)cos()(1

)cos()()()()0cos()(

1

11

α

α

wtIeItuC

wtIeItudtd

RwtEwsentuEtu

fRC

t

o

fRC

t

oo

u t E u t Ew wt R u t I e I wt

R u tI e

RCI w wt

Cu t I e I wt

o o o

t

RCf

o

t

RC

f

o

tRC

f

( ) cos( ) ( ) sen( ) ( ) cos( )

( ) sen( )

( ) cos( )

0

1

1

1

1

− = + +

+−

− +

+ + +

−

−

−

−

−

−

α

α

α

Igualando por separado las funciones impulso y las funciones paso:

254

( )

+

+

++−−

=−∴

+=∴

+×+=

−

−−

−−

)cos()(

)()()()(

cos

)0cos()()(

1

11

0

α

α

αα

wtC

Itu

CeI

wtwsenRIC

eItuwtEsentu

RIRIE

wIeItRuEtu

f

RCt

of

RCt

o

fo

fooo

∴ − = − + − +

∴ = + − +

Ew wt wI R wtwC

wt

E wt I R wtwC

wt

f

f

sen( ) sen( ) cos( )

sen( ) sen( ) cos( )

α α

α α

1

1

Debemos volver el lado derecho una función senoidal única; para hacerlo procedemos así:

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )αθαα

αθαθαα

αααα

++=+

++=+

++

++=+

senbabsena

sensenbabsena

senba

b

ba

ababsena

22

22

2222

22

)cos(

coscos)cos(

)(cos)cos(

Figura 7.3.4. Conversión a una única función senoidal.

255

Definiendo el ánguloθ, mediante el triángulo de la figura 7.3.4.

[ ]

)(1

)cos()()()cos(1

)(

1

1

1cos

22

22

22

22

θα

αθαθ

θ

θ

−+

+=

+−+

+=

+

=

+

=

wtsenwC

RI

wtsenwtsenwC

RIwtEsen

wCR

wCsen

wCR

R

f

f

Para que sean iguales los términos de la izquierda y de la derecha:

RwC

wCR

EI f

==

=−

+

=

−

1

tan

0,1

1

22

θα

θα

De la parte impulsiva de la ecuación:

E RI RIo f= + cosα

256

( )[ ]11)(

1

1

1

11

2222

22

22

2

22

22

22

+=

+

=∴

+

−

+=

+−=

+

×

+

+=

RwCR

E

wCRwCR

EI

wCR

RwC

R

RE

wCR

ERRE

I

wCR

R

wCR

ERRIE

o

o

o

La respuesta total será entonces:

( )[ ] )()cos(11

122

2 tuwt

wCR

Ee

RwCR

Ei RC

t

−

−

+

+

++

= θ

Cuya gráfica incluimos en la figura 7.3.5.

Figura 7.3.5. Gráfica de una senoidal

amortiguada. c. Inductancia con corriente inicial.

257

Sea In la corriente en t = 0, y no reemplacemos esta corriente por una fuente de corriente, sino que solucionemos el circuito directamente:

Ri Ldidt

+ = 0

Figura 7.3.6.Respuesta natural y forzada de los

circuitos sencillos. Evidentemente, sólo existe la solución natural, pues no hay fuente aplicada de ningún tipo. La solución será de la forma:

i I eo

tRL=

−

Como se comprueba reemplazándola en la ecuación diferencial:

RI e LIRL

eo

tRL

o

tRL

− −+ −

= 0

Ahora el valor de Io, lo encontramos de la condición i = Ia en t = 0.

i I I e It a o

tRL

t o=

−

== = =

0 0

Figura 7.3.7. Descarga de una bobina con

corriente inicial.

258

La solución natural de este circuito tendrá la forma final mostrada en la figura 7.3.7. Obsérvese que la función de la figura 7.3.7 no está recortada en t = 0. Teóricamente la corriente siempre ha existido y está en continuo decrecimiento. Pero veamos una situación diferente, pero con similitudes respecto a la anterior (ver figura 7.3.8). Se trata de una inductancia en corto por la que circula Ia; al abrir repentinamente el interruptor, la corriente Ia es forzada a pasar por la resistencia. Ahora si representaremos la corriente por una fuente de corriente escalón. Aplicando el teorema de Thévenin a la fuente en paralelo con la inductancia obtenemos el circuito de la figura 7.3.8.a, cuya ecuación es:

Ri Ldidt

LI u ta o+ = ( )

Figura 7.3.8. Descarga de una inductancia a

través de una resistencia.

259

Figura 7.3.8.a Equivalente Thevenin de la

inductancia y la fuente escalón.

Igualando la ecuación diferencial homogénea a cero, obtenemos:

i I eo

tRL=

−

Y resolviendo la ecuación igualada a la excitación, obtenemos la solución forzada:

i I e u tf

tRL=

−

−1( ) La solución completa será:

i I eo

tRL= +

−I e u tf

tRL

−

−1( ) Reemplazando en la ecuación completa

RI eo

tRL

−+ RI e u t LI

RL

e LIRL

e u tf

tRL

o

tRL

f

tRL

−

−

− −

−+ −

+ −

+1 1( ) ( )

LI e u t LI u tf

tRL

o a o

−=( ) ( )

De la solución anterior tenemos If = Ia, pero Io sigue siendo desconocida. Para hallar Io debemos aplicar el criterio i = 0 para t = 0-, pues antes de abrir el interruptor ninguna corriente circulaba por la resistencia.

i I et o

tRL

t=

−

=− −= = +0 0

0 I e u ta

tRL

t

−

− = −1 0( )

∴ = + →∴ =0 0 0I Io o La única solución que queda es la “forzada”:

260

i I e u ta

tRL=

−

−1( ) Nótese que esta solución “forzada” es la misma solución natural para t>0. Para acabar con un rigorismo inútil, de aquí en adelante será válido llamar “solución natural” a cualquier solución que tenga la “forma” de la solución natural, y la solución “forzada” a la solución que tenga la forma de la fuente ó excitación. Por último veamos como representamos la corriente en el interruptor cuando este se abrió (Figura 7.3.8.b)

Figura 7.3.8.b Respuesta natural y forzada de los

circuitos sencillos. La representación matemática de i sería: ( ) aa ItuIi 1−−= y el circuito se podría representar por el mostrado en la figura 7.3.8.c.

Figura 7.3.8.c Otra forma de representar la

descarga de la inductancia.

261

Pero ahora apliquemos Thévenin en a y b (Figura 7.3.8.d):

Figura 7.3.8.d Equivalente Thevenin de la

inductancia y la nueva fuente.

Obtenemos los mismos resultados que “inyectando” una corriente de función paso en el interruptor como hicimos en el ejemplo. Entonces para representar una corriente en un interruptor que se abre hay dos métodos: 1) Inyectar una corriente en sentido opuesto igual a que circulaba mediante la función paso, y 2) utilizar una función “paso” a cero ( ( )tu 11 −− ). La gráfica para la corriente en la resistencia es la siguiente (Figura 7.3.9).

Figura 7.3.9 Respuesta natural y forzada de los

circuitos sencillos. d. Circuito con resistencia, inductancia y capacidad en serie y

con energías almacenadas.

262

Figura 7.3.10 Respuesta natural y forzada de los

circuitos sencillos. La ecuación para el circuito mostrado en la figura 7.3.10 será:

V V V

Cidt L

didt

iR

C L R

t

+ + =

∴ + + =−∞

0

10

Como se trata de una ecuación integro diferencial, la diferenciamos de nuevo respecto a t.

∴ + + =1

02

2Ci L

d idt

Rdidt

Es la primera vez que encontramos, en estos ejemplos, una segunda derivada, lo cual nos dice que se trata de una ecuación de “segundo orden”. La forma más general de solución para este tipo de ecuación es:

i I e I e I teS t S t S t= + +1 2 31 2 3

Reemplazando la solución en la ecuación diferencial, obtenemos:

( )

( )

IC

eIC

eIC

te Lddt

I e I e I te

Rddt

I e I e I te

S t S t S t S t S t S t

S t S t S t

1 2 32

2 1 2 3

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 2 3 0

+ + + + + +

+ + =

( )( ) 03321

3321321

3332211

3332211321

=++++

++++++∴

tStStStS

tStStStStStStS

teISeIeSIeSIR

teISeIeSIeSIdtd

LteCI

eCI

eCI

263

( )( ) 03321

33321321

3332211

32

3332

332

222

11321

=++++

++++++++

tStStStS

tStStStStStStStS

teISeIeSIeSIR

teISeISeSIeSIeSILetCI

eCI

eCI

( ) 02 333332

333

222

222

112

111

33

21

=++

++

+

+++

++∴

RISLIeSRISLICI

te

SRISLICI

eSRISLICI

e

tStS

tStS

Para que se cumpla la ecuación anterior para todo valor de t, se debe cumplir:

1. IC

LS RS1 12

1

10+ +

=

2. 01

22

22 =

++ RSLSC

I

3. IC

LS RS3 32

3

10+ +

=

4. ( )I LS R3 32 0+ =

La primera solución es trivial:

I I I1 2 3 0= = = Que significa únicamente que el circuito no tiene ninguna excitación, ni energía almacenada, y por lo tanto, ni corrientes ni voltajes en sus elementos. De 3. y 4. Comprobamos que si I3 ≠ 0, S3 no puede ser igual a cero, pues de 3 obtendríamos:

IC

I I R

C

3 3 3

10 0 0

10

× + × + × =

∴ =

Y de 4 tendríamos:

264

I LR

3 2 0 00

× × × =∴ =

Resultado que descartamos, pues estamos asumiendo una resistencia y una capacidad finitas, diferentes de cero. Entonces, si I3 ≠ 0, esto implica S3 ≠ 0, y tendríamos de 4. :

SRL3 2

= −

Y reemplazando en 3. :

12 2

0

14 2

0

12 4 4

2

2

2

2

2 2 2

CL

RL

RRL

CR L

LR

L

CR

LR

LR

L

+ −

+ −

=

∴ + − =

∴ = − =

Por lo tanto, sólo para esta combinación de los valores de C, R, y L, resulta que existe el término I eS t

33 . Ahora, como 1, 2, y

3 son ecuaciones idénticas, resulta que para esta combinación de valores se cumple que S S S S1 2 3= = = , y la solución queda:

( ) ( )i I I e I te I I t eSt St St= + + = +1 2 3 4 3 Llamando I I I1 2 4+ = La tercera posibilidad se tiene con I3 = 0. Sólo nos quedan las ecuaciones 1 y 2, que son, evidentemente, la misma ecuación cuadrática:

SRL

SCL

2 10+ + =

Cuyas raíces son:

265

SRL

RL CL1

2

22 41

= − + −

SRL

RL CL2

2

22 41

= − − −

El análisis de estas raíces nos arroja tres posibilidades: a. R

L CL

2

241

0− = , que corresponde al caso ya estudiado,

cuando existe el término I eS t3

3 . En este caso :

S SRL1 2 2

= = − , y decimos que se trata de raíces reales

iguales. b. 0

14 2

2

>−CLL

R ; S1 y S2 son dos raíces reales distintas.

c.

01

4 2

2

<−CLL

R ; en este caso S1 y S2 son raíces complejas

distintas. Mejor, se trata de raíces conjugadas. d. R = 0; a veces se incluye este caso, aunque no pertenece

al circuito R-L-C. Las raíces son :

SCL

jCL1

1 1= + − = +

SCL

jCL2

1 1= − − = −

Resultando raíces imaginarias conjugadas. En la lista siguiente damos una reseña de las cuatro posibilidades, mostrando sus respectivas gráficas. Tabla de respuestas para el circuito R-L-C.

266

a. 0

14 2

2

>−CLL

R

i I e I eS t S t= +1 21 2

SRL

RL CL1

2

22 41

= − + −

SRL

RL CL2

2

22 41

= − − −

Figura 7.3.11 Respuesta sobre amortiguada.

Se trata del caso “sobre amortiguado”. b.

( )RL CL

S S S SRL

i I I t eSt

2

2

1 2 3

4 34

10

2

− =

= = = = −

= + ⋅

267

Figura 7.3.12 Respuesta críticamente amortiguada.

Caso llamado “críticamente amortiguado” c.

01

4 2

2

<−CLL

R

i I e I eS t S t= +1 21 2

SRL

jRL CL1

2

22 41

= − + −

SRL

jRL CL2

2

22 41

= − − −

Figura 7.3.13 Respuesta sub amortiguada.

Caso “sub amortiguado”. d. R = 0

i I e I eS t S t= +1 21 2

SCL

jCL1

1 1= + − = +

SCL

jCL2

1 1= − − = −

268

Figura 7.3.14 Respuesta oscilatoria.

Caso “oscilatorio”. El papel de la resistencia es decisivo en el tipo de respuesta del circuito. El primer caso, el “sobreamortiguado”, corresponde a un valor de resistencia muy grande. Las energías almacenadas en las inductancias y en la capacidad se disipan rápidamente en la resistencia, de modo que la corriente disminuye a un ritmo elevado. En el segundo caso, el “críticamente amortiguado”, ya la resistencia es menor, y la disipación de energía en ella también lo es; el circuito una sola vez alcanza a hacer la “oscilación”, que consiste en que la energía queda momentáneamente almacenada en la capacidad solamente, y la corriente pasa por el valor de cero, luego la energía almacenada vuelve a hacer circular la corriente en sentido contrario al que tenía inicialmente. En el tercer caso, el “subamortiguado”, ya la resistencia y la disipación en ella son tan pequeñas que la energía alcanza un régimen oscilatorio entre la inductancia y la capacidad de modo que la energía que aún queda en el circuito queda almacenada en la L o la C momentáneamente y la corriente pasa por el valor cero. La energía almacenada vuelve a hacer circular la i en sentido contrario. En cada oscilación se disipa energía. En el caso final, el “oscilatorio”, como no existe resistencia, tampoco se presenta disipación, y la energía total del circuito no mengua, manteniéndose constante, pero oscilando entre la inductancia y la capacidad. Para lograr en la práctica circuitos osciladores, (un R = 0, solo se consigue en la “superconductividad”), se añade un elemento activo que actúe como un resistencia negativa.

269

Ahora si la resistencia total resulta negativa, el circuito ganará energía en cada oscilación y las corrientes y los voltajes serán mayores cada vez, pero no estudiaremos estos comportamientos por ahora. En la solución del circuito R-L-C en serie, nos queda pendiente el cálculo de los coeficientes I1, I2, I3, I4. Para este cálculo, debemos conocer el valor de la corriente ó de sus derivadas (ó integrales) en cualquier, ó cualesquiera, valor, ó valores, de t. Pero el caso más común, y el más importante también, es aquel en el cual se conoce el valor de la corriente y de su primera derivada en t = 0. Veamos ese cálculo de coeficientes, llamando:

i I ydidt

at o t= =

= =0 0

a. i I e I eS t S t= +1 2

1 2 i I e I e I I I

didt

I S I S a

I S S I I a

I S S a S I

Ia S IS S

e Ia S IS S

t o

t

o

o

o o

=

=

= + = + =

= + =

∴ + − =∴ − = −

∴ =−

−=

−−

0 10

20

1 2

0 1 1 2 2

1 1 2 1

1 1 2 2

12

1 22

1

2 1

( )( )

( ) ( )

Como:

SRL

RL CL1

2

22 41

= − + −

SRL

RL CL2

2

22 41

= − − −

Resulta:

S S S SRL LC1 2 2 1

2

224

1− = − − = −( )

270

Y la respuesta queda:

( )[ ]iRL LC

a S I e a S I eoS t

oS t=

−− − −

1

24

12

2

2 11 2( )

b. ( )i I I t eSt= +4 3

( )

i I I

didt

S I I t e I e

SI I a

I I e I a SI

t o

tSt St

t

o o

=

= =

= =

= + +

= + =∴ = = −

0 4

0 4 3 3 0

4 3

4 3

Como:

SRL

= −2

Tendremos:

( )[ ][ ]

i I a SI e

i I St at e

i IRtL

at e

o oSt

oSt

o

RtL

= + +

= − +

= +

+

−

( )1

12

2

c. i I e I eS t S t= +1 2

1 2 Se trata del mismo caso de a., de modo que la respuesta debe ser:

( )[ ]iRL LC

a S I e a S I eoS t

oS t=

−− − −

1

24

12

2

2 11 2( )

271

Pero como,

01

4 2

2

CLL

R − ,

y el radical queda imaginario, se suele escribir:

SRL

jRL CL

jw1

2

22 41

= − + − = − +α

SRL

jRL CL

jw2

2

22 41

= − − − = − −α

Con estos reemplazos la solución queda:

[ ] ( ) [ ] ( )( ) ( )( )

ijw

a jw I e a jw I e

ie

jwa I e e jwI e e

ojw t

ojw t

t

ojwt jwt

ojwt jwt

= + + − + −

∴ = + − + +

− + − −

−− −−

12

2

( ) ( ) ( )α α

α

α α

α

Pero:

e e j wtjwt jwt− =− 2 sen( )

[ ]

+

+=∴

++=∴

=+

−

−

−

)cos()(

)cos(2)(2)(2

)cos(2

wtIwtsenw

Iaei

wtjwIwtjsenIajw

ei

wtee

oot

oo

t

jwtjwt

α

α

α

α

d. i I e I eS t S t= +1 2

1 2 Es el mismo caso anterior, pero con = 0:

∴ =+ ×

+

∴ = +

− ×i ea I

wwt I wt

iaw

wt I wt

t oo

o

0 0sen( ) cos( )

sen( ) cos( )

272

Para terminar el análisis del circuito R-L-C, veamos como quedan las respuestas y sus gráficos cuando Io = 0. Es decir, cuando la corriente en el instante t = 0 es cero por cualquier razón.

a. [ ]iRL LC

ae aeS t S t=−

−1

24

12

2

1 2

Pero:

SRL

jRL CL

jw1

2

22 41

= − + − = − +α

SRL

jRL CL

jw2

2

22 41

= − − − = − −α

[ ]twtw eewa

i )()(

2−−+− −=∴ αα

Figura 7.3.15 Caso sobre amortiguado con

corriente inicial cero.

Ahora, como α > ω, el gráfico de la respuesta sería el de la figura 7.3.15.

273

b. i ate aeR

Lt t=

=

− −2 α

Figura 7.3.16 Caso amortiguado crítico con

corriente inicial cero.

c. iae

wwt

t

=−α

sen( )

Figura 7.3.17 Caso subamortiguado con corriente

inicial cero.

d. iaw

wt= sen( )

274

Figura 7.3.18 Caso oscilatorio con corriente inicial cero.

Una vez obtenidas las gráficas de los diferentes tipos de respuesta, es bueno hacer una síntesis de la terminología y los conceptos vistos, así como conocer otros términos empleados en materias como Control referentes a estos tipos de respuestas. Para ello nos imaginamos un circuito R-L-C cualquiera alimentado con una función paso y consideramos la “respuesta” del circuito a esa excitación como, por ejemplo, el voltaje en el condensador (Figura 7.3.19).

275

Figura 7.3.19 Términos importantes referentes a las respuestas natural y forzada de los circuitos

sencillos.

En la misma figura hemos incluido las gráficas de varias posibles respuestas donde se han señalado características importantes. : La constante de tiempo (léase tao). Es el inverso del coeficiente de amortiguación (e-t = e-t/). Si en el tiempo inicial de una exponencial trazamos una tangente al exponencial, esta tangente cruzará el valor hacia el cual tiende la exponencial (ó la unidad menos la exponencial) precisamente en el tiempo después del tiempo de inicialización. En el tiempo el valor de la exponencial será.

actualvalordele

eee t

t

%303678.011 ≅==== −

−

=

−ττ

ττ

Este parámetro se usa para medir la “velocidad” de respuesta de un circuito o de un sistema. : Sobre impulso (léase si) . Es el valor máximo que alcanza la respuesta sobre el valor final de la misma. Puede ser una medida del “poder de destrucción” del transitorio de un sistema. En efecto, si se espera a que un motor alcance determinada velocidad, puede resultar sumamente peligroso

276

que, antes de estabilizarse, el motor alcance una sobre velocidad muy alta. T: Periodo. Es el tiempo que dura una de las oscilaciones “naturales” del sistema. Se relaciona con la frecuencia “natural” así:

ωπ21 ==

fT

Envolventes: Son las curvas que unen los puntos máximos entre si y los puntos mínimos entre si de una oscilación atenuada. Estas curvas corresponden a exponenciales decrecientes para las cuales también vale el concepto de constante de tiempo.

7.4 NECESIDAD DE UN MÉTODO SISTEMÁTICO PARA RESOLVER LAS ECUACIONES DE LOS CIRCUITOS

Si recapacitamos un poco sobre la forma como solucionamos las ecuaciones diferenciales del numeral anterior, debemos aceptar que esa forma fue muy casuística. Es decir, a cada ecuación le asignamos un tipo de respuesta como si la sacáramos de una especie de recetario. Para solucionar otros circuitos más complejos, este método, caso por caso, resulta casi impracticable. Es mucho mejor usar un método que se pueda aplicar siempre, cuyos pasos estén bien determinados, que dé simultáneamente la solución natural y la forzada, y que maneje en forma clara las llamadas condiciones iniciales, que sirven para calcular los parámetros de la solución. Este método es el de la “Transformada de Laplace”, que estudiaremos en el próximo capítulo. Además de las ventajas anotadas arriba, el método de la transformada de Laplace permite resolver las ecuaciones diferenciales simultáneas, que describen circuitos más complejos que los vistos en este capítulo, con mucha facilidad, pues posibilita un trabajo algebraico previo que simplifica y ordena esas ecuaciones.

277

Pero siempre que las matemáticas nos ofrecen un método que simplifica el trabajo analítico, nos piden un sacrificio a cambio y nos ponen algunas restricciones. Esto mismo ocurre con la transformada de Laplace; sólo que los sacrificios y restricciones son mínimas en su caso como veremos al estudiarlos.

7.5 EJEMPLOS

7.5.1 EJEMPLO 1 El interruptor S, de la figura 7.5.1.1, se cierra en t =0, hallar ix.

Figura 7.5.1.1 Ejemplo 1.

Consideremos -∞ < t < 0 el intervalo hasta justo antes de cerrar S. En ese intervalo de tiempo el circuito queda:

Figura 7.5.1.2 Circuito del ejemplo 1 para t < 0.

Con:

278

)(

t

c

t

c

c

c

c

cc

cc

cc

BeV

teconstambienBBeV

teconsunaAAtVLn

dtV

dV

Vdt

dVdt

CdVie

Vi

32

32

10

tan10

tan32

10

32

10

310

21

310

−

−

+=

=−

+−

−=−

−=

=−

=

Solución que se cumple para todo valor de t en el intervalo. En el tiempo inicial, t = 0, para la figura 7.5.1.2 ó t = -∞ para la figura 7.5.1.1, el condensador está descargado, es decir, Vc

= 0. Entonces: 0 100 10

10

0= += += −

Be

B

B

En el tiempo final, t = -∞, para la figura 7.5.1.2 (estado estable) ó t = 0 - : para la figura 7.5.1.1, el condensador se

ha cargado a un voltaje )(

23

10∞−

+= BeVo , que en el límite da Vo = 10 voltios. Esto nos indica que después de mucho tiempo, el condensador se cargó al valor de la fuente, en ese momento la corriente por la resistencia es:

iV

yo=

−=

103

0

Esto nos permite concluir algo muy importante, el condensador descargado se podrá considerar en adelante

279

como un corto en el instante inicial y como un circuito abierto en el momento de su estado estable (ó en su t =∞). El circuito para t > 0, justo después de cerrar S, queda como el circuito de la figura 7.5.1.3.

Figura 7.5.1.3 Circuito del ejemplo 1 para t > 0.

En este circuito se plantean las ecuaciones de malla para i1 e ix, quedando:

102

22

022

3

21

,1

21

1011

3

1

1

1

1

=

++−

=−

+

==

++−

−=−

+

x

x

ox

ox

iD

iD

iD

iD

CperoViCD

iCD

ViCD

iCD

(7.5.1.1)

Derivando las ecuaciones integro diferenciales de la ecuación 7.5.1.1, tenemos:

3 2 2 011

didt

i ix+ − = (7.5.1.2)

− + + =2 2 2 01ididt

ixx (7.5.1.3)

De la ecuación 7.5.1.3, obtengo: ididt

ixx1 = +

Que reemplazada en la ecuación 7.5.1.2 nos da:

280

Y resulta:053

02223

2

2

=+

=−++

+

dtdi

dtid

iidtdi

idtdi

dtd

xx

xxx

xx

Ecuación diferencial lineal de segundo orden de la forma:

D D i o D D ix x2 5

30

53

0+

= +

= , cuya solución es:

i t A Bex

t( ) = +

−53

A, B son constantes que se hallan con las condiciones ix (0) y i´x (0). La condición inicial para ix, justo después de cerrar S, o sea la corriente ix (0+); i´x(0+) sería la primera derivada de ix en 0+. En t = 0+ el condensador de la figura 7.5.1.3 se reemplazó por una fuente Vo, que indica la carga de C en serie con un condensador descargado, que en el circuito de t = 0+ se ve como un corto. El circuito de la figura 7.5.1.4, representa la situación en t = 0+.

Figura 7.5.1.4 Circuito del ejemplo 1 en t = 0+. .

De la figura 7.5.1.4, Vc (0+) = Vc = 10 voltios y la corriente

iV

xo( )0

25+ = = Amperios.

281

¿Cómo hallamos iddt

ix xt

′ =+

=

( )00

?

iV

xc=

2, derivando i

Vx

c′ =′2

,, pero en un condensador

V tC

i iC

iC

i tc c x c c′ = ′ =

=( ) ( )

1 12

1 12

, como se cumple en

cualquier t, se cumple en t = 0+.

iC

ix c′ =+ +( ) ( )01

20 , pero i i iy c x( ) ( ) ( )0 0 0 0+ + += + =

segundoAmperios

i

AmperiosC

i

ii

x

x

xc

5

)5(21

)0(

).0()0(

−=′

−=′

−=

+

++

Con la solución:

i t A Bex

t( ) = +

−53

Obtenemos derivándola:

2,335

5)0(

5

5)0(35

)( 35

==

−=−=′

−=+==

−=′

+

+

−

AB

Bi

BA

BAi

Beti

x

x

t

x

Solución: i t e u tx

t( ) ( )= +

−

−2 353

1 Amperios.

282

Para incluir el efecto del interruptor S, veamos la figura 7.5.1.5. Nótese que ix en t = ∞ tiende a 2 Amperios, como se puede ver en el límite de la solución anterior, ó en el circuito para t =∞, que es el que se muestra en la figura 7.5.1.6.

Figura 7.5.1.5 Ejemplo 1.

Figura 7.5.1.6 Circuito del ejemplo 1 en t =∞ .

i Ax ( )∞ =+

= =10

3 2105

2

Obsérvese en la figura 7.5.1.6 que el condensador en t = ∞ se comporta como un circuito abierto.

7.5.2 EJEMPLO 2. En la figura 7.5.2.1, el interruptor S se abre en t = 0, hallar Vx.

283

Figura 7.5.2.1 Ejemplo 2.

Este circuito, que es el dual del ejemplo anterior, se deja al lector para que lo resuelva, y consiga una conclusión para el comportamiento de la inductancia descargada en un instante inicial, y su comportamiento en el estado estable ó estado final (t = ∞). 7.5.3. EJEMPLO 3 En la figura 7.5.3.1, R = 1Ω, C = 2f, L = 3h, S se cierra en t = 0+. Hallar: i (0+), i (∞), i´ (∞), i´´ (∞) y la expresión para i (t).

Figura 7.5.3.1 Ejemplo 3.

El circuito muestra cargado al elemento C con 5 voltios y al elemento L descargado, en consecuencia, el circuito para t > 0 queda como el circuito de la figura 7.5.3.2.

284

Figura 7.5.3.2 Ejemplo 3. El circuito para t = 0+ justo después de cerrar S, se representa en la figura 7.5.3.3.

Figura 7.5.3.3 Ejemplo 3.

V V v ic L( ) , ( ) , ( )0 5 0 10 5 0 0+ + += = − =

Nótese, en este ejemplo, que aunque i (0+) = 0, su primera derivada no lo es, veamos:

sA

ohv

i

hv

VL

i

tentVL

tidtdi

LtV

L

LL

35

35

)0(

35

)0(1

)0(

0)(1

)(,)(

=′

==′

==′=

+

++

+

La segunda derivada en t = 0+, i´´ (0+) = ?

Usamos la ecuación en la malla iR Ldidt C

idtt

+ + = −1

10 50

.

Derivando:

Rdidt

Ld idt C

i+ + =2

2

10 , en t = 0+.

Ri LiC

i′ + ′ ′ + =+ + +( ) ( ) ( )0 01

0 0 , despejando: i′ ′ = −+( )059

285

Y el circuito para t =∞, se muestra en la figura 7.5.3.4.

Figura 7.5.3.4 Ejemplo 3.

i(∞) = 0, VL(∞) = 0 y Vc(∞) = ?

1010 0 0

10

= ∞ + ∞ + ∞= + ∞ +

→ ∞ =

i R V V

VV v

C L

C

C

( ) ( ) ( )( )

( )

Para encontrar la expresión i (t), basta con solucionar la ecuación diferencial:

Rdidt

Ld idt C

i

RL CL

+ + =

− = −

2

2

2

2

10

41 1

3616

0

Se trata del caso subamortiguado, cuya solución es:

i I e I eS t S t= +1 21 2

Se necesitan las condiciones:

i I

i a

o( )

( )

0 0

053

+

+

= =

′ = =

Entonces, según lo visto para el caso Io = 0

286

)(65

510

)(

651

4

61

2,

35

)(

16

2

2

tutseneti

LCLR

w

LR

aconwtsenw

aei

t

t

−

−

−

=

=−=

==== αα

¿Y cómo es la gráfica? Ejercicios propuestos: Ver apéndices B.