6º grado de primaria - Geometría 1

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO 6to Grado de Primaria

HISTORIA DEL CURSO

Las pirámides de Egipto son sin duda las más grandiosas obras arquitectónicas de toda la historia de la humanidad. Construídas hace más de 4000 mil años, sirvieron como tumba a los faraones egipcios.

Su impresionante tamaño y su geometrica belleza hacen sentirnos insignificantes. Ante ellas y especialmente la de Keops, se tiene la impresión de hallarse en presencia de un monumento que guarda en sus entrañas, secretos de trascendentales muy estrechamente relacionados con su estructura.

En Geometría estudiaremos figuras, como las que nos rodean: la pizarra tiene forma de rectángulo, el reloj tiene forma de círculo, etc.

B ase

C arasla te ra les

altu raaris tasla te ra les

basevértices

Geometría


TEMA: CONCEPTOS BÁSICOS

1. El PUNTO

Algunos ejemplos que nos podrían dar una idea de punto son: la huella que deja en el papel un lápiz bien afilado, la marca que deja una aguja sobre una cartulina, una estrella en el firmamento, etc.

Un punto geométrico es imaginado tan pequeño que carece de dimensión.

Los puntos se nombran con letras mayúsculas y se representan por un trazo, un circulito o una curva.

Ejemplos:

Punto A Punto Bx

2. LA LÍNEA RECTA

Podemos definirla como un conjunto de puntos dispuesto de tal modo que siguen una misma dirección:

- Un rayo de luz.- El filo de una regla.- El borde de una mesa.

Postulados:

1. La línea recta posee dos sentidos.2. La linea recta se extiende indefinidamente en ambos sentidos.3. Dos puntos determinan una recta.4. Por un punto pasan infinidad de rectas.

Representación:

A B

AB : S e lee “Recta A B”

Geometría

P: Se lee “p lano P”

A

BC

Frontera

Sem irrecta Sem irrecta

Notación :

Sem irrecta AB

Sem irrecta AC

AB

AC

O bs: Las sem irrectas AB ó A C no consideran a l punto “A”


3. SEMIRRECTA

El punto A divide a la recta en dos partes. Cada parte recibe el nombre de Semirrecta.

El punto A se llama frontera y no pertenece a ninguna de las dos semirrectas.

4. EL RAYO

Es la unión de la semirrecta con su punto frontera.

C A A B

Rayo AC: AC AB Rayo ABObs.: Al punto “A” se le llama origen

5. EL PLANO

Podríamos definir al plano como el conjunto parcial de infinitos puntos. Algunos objetos que nos dan idea del plano son:La superficie de una mesa, el piso, la cara de un espejo, etc.

Su representación usualmente es un paralelogramo.

El p lano PP

Geometría


Punto sobre una recta o un planoCuando un punto se encuentra sobre una recta o sobre un plano se dice que el punto pertenece ( ) a la recta o al plano.

ALa notaciónse lee: “e l punto Apertenece a la recta L”.

A L

A L

L

La notación se lee: “e l punto Bpertenece a l p lano P ”

L P

B

B L

Recta contenida en el planoUna recta se encuentra contenida (o pertenece) a un plano, cuando sus puntos se encuentran sobre el plano.

L

L

La notación se lee: “la recta Lse encuentra contenida en el plano P”.

L P

Intersección de dos rectasDos rectas se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto común.

L L1

A

L L = { A }1

La notación se lee: la recta L se in terseca con la rectaL en e l punto A.

L L = { A }1

Intersección de una recta y un planoUna recta y un plano se intersecan (se cortan) cuando tienen un punto en común.

A

L P = { A }

La notación se lee: la recta L se in terseca con e l plano Pen el punto A .

L P = { A }

Geometría


EJERCICIOS PARA CLASE

1. El trazo mostrado. ¿Es una línea recta? ¿Por qué?

Nombra todas las rectas de la figura:

AB

CD

Hay 4 rectas:

2. ____________________

3. ____________________

4. ____________________

5. ____________________

Q R

SP

Hay 5 rectas:

6. ____________________

7. ____________________

8. ____________________

9. ____________________

10.____________________

Observa los planos. Luego indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

P

NM

A

B

R Q

11. A RQ __________ ( )

12. R RQ __________ ( )

13. F RQ __________ ( )

14. M N P __________ ( )

15. M R P __________ ( )

16. Q RQ __________ ( )

Geometría


Q

GF

H

E

I J

17. H Q R __________ ( )

18. G F Q __________ ( )

19. IJ P __________ ( )

20. EF P __________ ( )

21. G F P __________ ( )

22. F G F __________ ( )

Coloca el nombre de cada elemento geométrico:

Q

AF

H

E

CD

B

Gx

H

Plano: _____________________

Recta: _____________________

Semirrecta: _________________

Rayo: _____________________

Puntos: ____________________

Geometría


EJERCICIOS PARA LA CASA

Nombra las rectas de la figura.

Q

RS

P

1. ________________________

2. ________________________

3. ________________________

A

BC

4. ________________________

5. ________________________

6. ________________________

7. ________________________

8. ________________________

9. ________________________

Observa los planos. Luego indica si las afirmaciones son verdaderas o falsas.

T

B

A P

C D

10. CD P ( )

11. AB T ( )

12. P T ( )

13. B AB ( )

14. C CD ( )

15. CD T ( )

Coloca el nombre de los siguientes elementos geométricos.

VG

R

F

E

S

M

Q

16. M RS ( )

17. FC V ( )

18. RS V ( )

19. M PQ ( )

20. FG V ( )

Geometría


Coloca el nombre de los siguientes elementos geométricos.

T

QV

B

R

A

Recta : ___________________

Rayo : ____________________

Semirrecta : ________________

Punto : ____________________

Plano : ____________________

Geometría


SEGMENTOS

Un segmento de rectas es una porción de línea recta comprendida entre dos puntos.

Un segmento se denota por dos letras mayúsculas que corresponden a sus extremos, más una rayita superior.

Un segmento se diferencia de la recta, el rayo y la semirrecta, por tener longitud, es decir, se puede medir.

A B

Segmento AB: AB

A B

5 c m

L a m e d i d a d e l s e g m e n t o A Bs e d e n o t a p o r :A B = 5 c m o m ( A B ) = 5 c m

MEDIDA DE SEGMENTO

Para medir un segmento utilizamos una regla graduada en centimetros.

Ejemplo:

1 2 3 4 5 PQ = 5 cmm (P Q ) = 5 cm

Si podemos medir los segmentos, entonces podemos compararlo.

Ejemplos.

A

B

C

DAB = 5 cmCD = 4 cm

AB < CD

AB es m enor CD

Geometría


OPERACIONES CON SEGMENTOS

Las operaciones se realizan con los números que indican las longitudes.

a) ADICIÓN

A B

C D

E F

m (A B) = 5cmm (CD ) = 3cmm (E F) = 1cm

AB + CD + EF = _________ +

________ + ________ = ________ cm

5 cm

3 cm

1 cm

b) SUSTRACCIÓN

P Q

R S

m (P Q ) = 9cmm (RS ) = 5cm

PQ - RS = ___________ - ___________ =

___________ cm

9 cm

5 cm

c) PRODUCTO

M

3 cm

M N M NNMNM

m (M N) = 3 cm

4 x M N = ________ . ( ________ )

__________ cm3 cm 3 cm 3 cm 3 cm

NM M N NM M N

M

d) DIVISIÓN

S T

S TM (S T) = 18 cm

ST : 3 = _________ : _________ =

__________ cm

11

6 cm

18 cm

Geometría


EJERCICIOS PARA LA CLASE

A. Teniendo en cuenta la siguiente figura. Realizar las siguientes operaciones.

3cm 2cm 4cm

A M N B

1. + –

2. 2 + 3

3. x x

4.

5. 2 – 2

6. El triple del más pequeño menos la mitad del más grande es igual a: _________

7. Mide cada segmento con una regla graduada en milimetros y anota:

AC E

D

B

m( ) = mm

m( ) = mm

m( ) = mm

m( ) = mm

P

Q

R

ST

m( ) = mm

m( ) = mm

m( ) = mm

m( ) = mm

m( ) = mm

8. Usa una regla graduada para comparar cada par de segmentos y escribe los símbolos >; < ó (semejante) según corresponda.

A

B

C

D

Geometría


E H

I

F G

………………….

………………….

………………….

………………….

………………….

………………….

………………….

B. La figura muestra a tres puntos colineales A, B y C.

A

B

C

Hallar:

9. =

10. + =

11. – =

12. x =

13. x =

14. x ( – ) =

15. 3 + 5 =

16.

17. 2 – 2 + 2 x =

Geometría



A. Dada la siguiente figura.

A

B

D C

AB = 6cm B D = 3cm

B C = 4 cm A D = 5cm

A C = 8 cm DC = 3 cm

Hallar:

1. AC - 2(BD) =

2. AB + BC - A C =

3. AC + A B - B C - B D =

4. AB + B C + A C2 2 2=

5. =

6. =

7. =

B. Dado la siguiente figura:

PR

Q

T

S

= 12cm

= 8cm

= 5cm

Hallar:

8. =

9. =

10. =

11. =

12. =

13. =

14. =

15.Pienso:

=

a) 40 b) 400c) 4 d) 4000e) N.A.

Geometría


PROBLEMAS DE REFORZAMIENTO DE SEGMENTOS

01. En la figura = 3 cm; = 4 cm y = 7 cm. Hallar .

B CA DSol.

02. En la figura: C es punto medio de ; = 5 cm y = 3 cm. Calcular .

Sol.

03. En el gráfico es congruente con ; según se muestra; determine el valor de X.

B CA

10 cm x + 7

Sol.

04. Calcula x en la figura. Si x = 35

N PL

3 x

M

7

Sol.

05. En la figura encontrar x; si AD = 56

C DA

x 2x

B

4x

Sol.

Geometría


06. Calcula x en la figura; Si

C DA

2 x

B

5

Sol.

07. Encuentra X en la figura; siendo Q punto medo del segmento .

Q MT

3x + 1 x + 7

Sol.

08. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A, B y C de modo que y BC respectivamente.

Sol.

09. Sobre una recta se toman los puntos consecutivos A; B; C y D de modo que = 3x; = 7 y = 5x; = 47.

Sol.

10. Sobre una recta se forman los puntos consecutivos A, B, C y D, de modo que = = 3 , = 35. Halla .

Sol.

Geometría


ÁNGULOS

Observa como en cada momento las manecillas del reloj forman un ángulo.

DEFINICIÓNÁngulo es la unión de dos rayos que tienen un origen común.

ELEMENTOS- Lados: Son los rayos y - Vértice: Es el origen común “B”

Notación:En general los ángulos se designan con tres letras mayúsculas; la letra central

corresponde al vértice.Algunas veces, cuando no hay lugar a confusión un ángulo se nombra con la letra

del vértice.

∢ABC,

El símbolo ∢ se lee “ángulo”

MEDIDA DE UN ÁNGULO

Los ángulos se miden en grados sexagesimales.Para encontrar la medida de un ángulo se utiliza un instrumento llamado transportador.

Cuando no se conoce la medida, se representa mediante una letra griega en la abertura.

BISECTRIZ DE UN ÁNGULOEs el rayo que partiendo del vértice, divide al ángulo en dos ángulos congruentes.

divide al ∢A0B en dos ángulos.

y que son congruentes por tener la misma medida “” luego.

es bisectriz de ∢A0B

Geometría


PROBLEMAS PARA LA CLASE

1. En la figura, hallar “”

Rpta.

2. Hallar “x”

Rpta.

3. Se tiene los ángulos consecutivos , y

, m∢A0C = 60º y

m∢BOD = 40º, m∢ = 80º.

Hallar m∢ .

Rpta.

4. En la figura, hallar “”

Rpta.

5. En la figura mostrada, hallar “”

Rpta.

6. En la figura mostrada: = 3x – 10º

= 2x + 5º

Hallar el complemento de “”

Rpta.

Geometría


7. En la figura mostrada es bisectriz del ángulo A0B

es bisectriz del ángulo B0C

m∢A0C = 72º. Hallar m∢x0y

Rpta.

8. En la figura, hallar el valor de “”

= x + 5º

= x + 20º

= 4x + 10º

= 100º - x

Rpta.

9. En la figura, m∢A0D = 90º.Hallar el valor de “x”

Rpta.

10. Hallar el suplemento del complemento de 20º

Rpta.

11. Hallar el complemento de un ángulo que mide el doble de 16º.

Rpta.

12. Hallar el suplemento de la mitad de un ángulo que mide 66º.

Rpta.

13. El suplemento de es igual a 4; hallar “”

Rpta.

14. El complemento de “” más el suplemento de “” es igual a 170º.Hallar “”

Rpta.

15. Si el suplemento de “x” es igual a “2x”Hallar “x”

Rpta.

Geometría


Geometría



Nombra de dos formas distintas cada uno de los diez ángulos que hay en la figura:

AB

C

D

E

O

1. AOB ó BOA

2. _____________________

3. _____________________

5. _____________________

6. _____________________

7. _____________________

8. _____________________

9. _____________________

10. ____________________

Observa éstos ángulos y completa la tabla.

A

CB

M

NL

P

Q R

D F

E

NOMBRE DEL ÁNGULO

VÉRTICE LADOS

ABC B BA y BC

Geometría


Completa la tabla.

A

C

D

E

BO

ÁNGULO MEDIDA ÁNGULO MEDIDA

AOB EOB

ADC AOD

COD COE

DOE DOB

COB AOE

Mide los segmentos ángulos y halla:

AB

CD

m A + m B + m C + m D = ?

Construya los siguientes ángulos.

a. POQ = 60º

b. MON = 120º

c. AOB = 90º

d. POR = 45º

e. RST = 180º

f. COD = 200º

g. FOG = 10º

Geometría


CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

I. De acuerdo con su medida.

a) Angulo Nulo.Mide 0º, es decir, sus dos lados coinciden.

B C

A

m ABC = 0º

b) Ángulo agudoEs el ángulo que mide 90º

P

QO

El POQ es agudo

c) Ángulo rectoEs el ángulo que mide 90º

A

B C

m ABC = 90º

d) Ángulo obtusoEs el ángulo cuya medida es mayor que 90º (pero menor que 180º)

A

B CEl ABC es obtuso

Geometría


e) Ángulo LlanoEs el ángulo que mide 180º, sus lados se encuentran extendidos en direcciones opuestas.

A O B

180º

m AOB = 180º

Propiedad del ángulo llano:Si un ángulo llano se divide en varios ángulos consecutivos, todos ellos sumarán 180º.

A D

B C= 180++

f) Ángulo de una vueltaEs el ángulo cuya medida es 360º.

= 360º

Propiedad del ángulo de una vuelta:Los ángulos consecutivos que completan una vuelta suman 360º.

= 360º++ +

Geometría


EJERCICIOS PARA LA

1. Usando el transportador clasifica cada ángulo según su medida.

B

A DO

C

m AOB = ___________________ el AOB es _______________

m BOC = ___________________ el BOC es _______________

m COD = ___________________ el COD es _______________

m BOD = ___________________ el BOD es _______________

m AOC = ___________________ el AOC es _______________

m AOD = ___________________ el AOD es _______________

2. Aplica la propiedad del ángulo llano y del ángulo de una vuelta y completa lo que falta.

AO

__________________ = 180

__________________ = 180

__________________ = 180

__________________ = 180

__________________ = 180

+ + + + + = _________________

Geometría


3. Aplica la propiedad del ángulo llano y halla el valor de “x”.

O

x60º

x50º75º

x

4 7 º

4. Aplica la propiedad del ángulo de una vuelta y halla el valor de “x”

x

1 5 0 º

x2x

4x5x

120º x

2x

Geometría


TAREA DOMICILIARIA

I. Con tu transportador, dibuja ángulos de las siguientes medidas:

1. 10º2. 50º3. 100º4. 160º5. 120º6. 30º

II. Con tu compás, traza la bisectriz de los siguientes ángulos:

7. 80º8. 100º9. 90º10. 180º

III. Usando el transportador, clasifica cada ángulo según su medida.

O DA

B

C

E

11. m AOE = _________________ el AOE es _____________

12. m BOD = _________________ el BOD es _____________

13. m EOC = _________________ el EOC es _____________

14. m AOC = _________________ el AOC es _____________

15. m ADA = _________________ el ADA es _____________

IV. Aplicando las propiedades del ángulo llano y del ángulo de una vuelta halla el valor de “x”.

16.

x2 x

a) 10º b) 20º c) 30º d) 40º e) 50º17.

Geometría


3xx80º

a) 5º b) 15º c) 20ºd) 25º e) 47º

18.

x47º

a) 23º b) 43º c) 53ºd) 33º e) 47º

19.

30º

25º

a) 25º b) 30º c) 35ºd) 40º e) 55º

20.

x

x

a) 45º b) 90º c) 50º

d) 60º e) 80º

21.

100º120º

160ºx

a) 60º b) 80º c) 100ºd) 120º e) 40º

22.

95º

45º

60º

x

a) 160º b) 140º c) 120ºd) 100º e) 150º

23.

3x

x

2x

a) 10º b) 250 c) 30ºd) 450 e) 60º

Geometría


24.

Hallar: +

a) 100º b) 90º c) 160ºd) 180º e) N.A.

25.

W

Hallar: W +

a) 100º b) 90º c) 40ºd) 45º e) 60º

Geometría


TRIGONOMETRÌA: EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Concepto:

Esto es el triángulo rectángulo: llamado así porque uno de sus ángulos es de 90º a ello le decimos ángulo recto y por ello es llamado triángulo rectángulo.

Veamos sus partes:

catetohipotenusa

cateto

Teorema de Pitágoras: Nos indica la relación de sus lados.

Cateto2 + cateto2 = hipotenusa2 Se lee: la suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa al cuadrado.

Geometría

B

O A

hipotenusacateto

cateto


EJEMPLOS PARA LA CLASE

1. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

2. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo miden 10 y 30, ¿Cuánto mide el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?

3. Si utilizamos el método de Thales para medir la altura de una pirámide: el lado de la base mide 20m y la sombra alcanza a 80m. ¿Cuánto mide la altura?

4. Con el mismo método anterior, si se sabe que la altura es 100 m y el lado de la base mide 30 m, ¿a cuántos metros alcanza la sombra?

5. Los egipcios utilizaban una cuerda de doce nudos para formar triángulos de lados 3, 4 y 5. ¿De cuántos nudos debería ser la cuerda para formar triángulos de 5, 12 y 13 lados?

6. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 8 y 15, ¿cuánto mide la hipotenusa?

Geometría


7. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 y 40, ¿Cuánto mide la hipotenusa?

8. Las áreas de los cuadrados dibujados sobre los catetos son 20 y 44. ¿Cuánto mide la hipotenusa?


10. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo miden 25 y 25, ¿cuánto mide el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa?

11. Si utilizamos el método de Tales para medir la altura de una, pirámide: el lado de la base mide 50 m y la sombra alcanza a 180 m. ¿Cuánto mide la altura?

12. Con el mismo método anterior, si se sabe que la altura es 120 m y el lado de la base mide 36 m, ¿a cuánto alcanza la sombra?

Geometría


TAREA PARA LA CASA

I. Responde las siguientes preguntas


a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13


a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 27


a) 20 b) 21 c) 22 d) 19 e) 18


a) 64 b) 68 c) 70 d) 69 e) 65

5. ¿Cuántos nudos debe tener la cuerda que nos permita trazar un triángulo rectángulo de catetos 9 y 40?

a) 41 b) 80 c) 82 d) 90 e) 91


a) 56 b) 58 c) 50 d) 57 e) 60


a) 20 b) 23 c) 21 d) 25 e) 24

Geometría



a) 70 b) 80 c) 60 d) 68 e) 54


a) 50 b) 100 c) 120 d) 110 e) 105


a) 30 b) 40 c) 50 d) 57 e) 60

11. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo son 30 y 34, ¿cuánto mide la hipotenusa?

a) 64 b) 8 c) 16 d) 12 e) 13

12. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 25 y 56, ¿cuánto mide la hipotenusa?

a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11

13. Si las áreas de los cuadrados construídos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 40 y 60, ¿Cuánto mide la hipotenusa?

a) 10 b) 8 c) 9 d) 12 e) 11

14. Si las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos de un triángulo rectángulo son 10 y 26, ¿cuánto mide la hipotenusa?

a) 6 b) 8 c) 9 d) 7 e) 10

15. Método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: si la sombra alcanza 110m y el lado de la base mide 50m, ¿cuánto mide la altura?

a) 135 m b) 150m c) 125m d) 115m e) 135m

Geometría


TRABAJANDO CON MI EQUIPO

1. Los egipcios utilizaban una cuerda de doce nudos para formar triángulos de lados 3, 4 y 5. ¿De cuántos nudos debería ser la cuerda para formar triángulos de 8, 15 y 17 de lados?



4. Las áreas de los cuadrados dibujados sobre los catetos son 30 y 51. ¿Cuánto mide la hipotenusa?

TE DESAFÍO


2. ¿Cuántos nudos debe tener una cuerda que nos permita formar un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 15 y 112?

3. De acuerdo al método de Tales para medir la altura de la Gran Pirámide: Si Tales hubiera esperado a que la sombra de la barra sea de doble longitud que ésta, la base hubierda medido 40m y la sombra de la pirámide hubiera alcanzado 240m, ¿cuál hubiera sido la altura de la pirámide?

Geometría


2DA TRIMESTREANGULOS FORMADOS POR 2 PARALELAS Y UNA

SECANTE

12

34

56

78

L2

L1L1 L2

L3 : Recta S ecante

Notamos los siguientes ángulos:

1. Ángulos alternos interiores. A uno y otro lado de la secante y entre las paralelas son pares de ángulos de igual medida.

Estos son: 3 y 5; 4 y 6

2. Ángulos alternos externos. A uno y otro lado de la secante y fuera de las palabras tienen igual medida.

Estos son:1 y 7; 2 y 8

3. Ángulos correspondientes. A un solo lado de la secante, uno fuera y otro entre las paralelas. Tienen igual medida.

Estos son:1 y 5; 2 y 6; 3 y 7; 4 y 8

4. Ángulos conjugados internos. A un solo lado de la secante y entre las paralelas son suplementarios.


5. Ángulos conjugados externos. A un solo lado de la secante y fuera de las paralelas son suplementarios.


Geometría


EJERCICIOS PROPUESTOS

1. En cada caso, traza por el punto P una paralela a la recta . (utiliza tus escuadras).

a)P

R

b)

PR

c) d)

R

P

P

R

2. En cada caso, traza por el punto P una perpendicular a la recta P.

a)P

R

b)

P

R

c) d)R

P

P

R

Geometría

50º

x

140º

x

110º

x + 30º

100º

x + 65º


3. En cada uno de los siguientes gráficos encuentra el valor del ángulo “x”.

a)

b)

c)

d)

Geometría

75º

x + 43º

6x

3x

159º

x + 13º

158º

x + 53º


e)

f)

g)

h)

Geometría


i)

28º

x + 37º

j)

x + 9º

142º

k)

70º

x - 21º

l)

x

3x

Geometría


m)

x + 12º

108º

n)

32º

x

o)

121º

x

p)

48º

x

Geometría

6º grado de primaria - Geometría 1

Education

Transcript of 6º grado de primaria - Geometría 1