65399880 Soluciones Mates 3 Eso
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Página 38 PRACTICA Fracciones y decimales 1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes: b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones. a) = ; = ; = = b) 2 Simplifica: a) b) c) d) e) a) = b) = c) = d) = e) = 3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figuras y ordénalas. 1 2 2 000 4 000 2 7 60 210 3 5 75 125 1 4 18 72 5 7 30 42 2 000 4 000 60 210 75 125 18 72 30 42 2 6 5 15 1 3 15 21 5 7 2 3 10 15 15 21 2 6 2 3 5 15 1 3 5 7 10 15 Pág. 1 1 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD Unidad 1. Los números y sus utilidades 1 10 — 15 2 — 3 1 — 3 5 — 15 2 — 6 15 — 21 5 — 7
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Página 38
PRACTICA
Fracc iones y dec imales
1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:
b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones.
a) = ; = ; = =
b)
2 Simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = b) = c) =
d) = e) =
3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordénalas.
12
2 0004 000
27
60210
35
75125
14
1872
57
3042
2 0004 000
60210
75125
1872
3042
26
515
13
1521
57
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
10—152—3
1—35—152—6
15—215—7
= =
< < <
4 Escribe una fracción equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador.
m.c.m. (5, 6) = 30 = ; =
5 Transforma en decimal estas fracciones:
Efectuamos la división en cada caso:
= 0,)6; = 0,4; = 0,32; = 0,375; = 1,1875; = 0,
)142857;
= 0,)8; = 1,
)6
6 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimalesperiódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división).
Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exac-tos cuando en el denominador solo estén como factores primos el 2 y el 5. Enotro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto:
– Decimales exactos → , , , , .
– Decimales periódicos → , , .
7 Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras:
a) = 0,32 b) = 0,18 c) = 0,681725
950
825
49
76
13
135
2310
58
34
25
49
135
2310
76
58
34
25
13
53
89
17
1916
38
825
410
23
53
89
17
1916
38
825
410
23
3530
76
1230
25
58
12
38
14
58
38
28
14
48
12
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) c)b)
8 Expresa en forma de fracción:
a) 25,8 b) 4,)25 c) 4,25 d) 3,04
)7 e) 0,
)152
a) 25,8 = =
b) 100N = 425,2525…
–N = 4,2525…
99N = 421 → N =
c) 4,25 = =
d)1 000N = 3 047,777…
–100N = 304,777…
900N = 2 743 → N =
e) 1 000N = 152,152152…
–N = 0,152152…
999N = 152 → N =
9 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:
a) 0,6 y 0,8 b) 0,7 y 0,8 c) 0,9 y 1
d)0,99 y 1 e) 2,43 y 2,44 f) 2,436 y 2,437
Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Porejemplo, podemos poner:
a) 0,61; 0,62; 0,63 b) 0,71; 0,72; 0,73
c) 0,91; 0,92; 0,93 d) 0,991; 0,992; 0,993
e) 2,431; 2,432; 2,433 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363
10 Ordena las fracciones , y .
1-a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:
= 0,65 = 0,56 = 0,70
Por tanto: < <
2-a forma: Reducimos a común denominador:
= ; = ; = Por tanto: < < 710
1320
1425
70100
710
56100
1425
65100
1320
710
1320
1425
710
1425
1320
710
1425
1320
152999
2 743900
174
425100
42199
1295
25810
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
11 Ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4)7; 2,
)4 ; 2,
)47
2,)4 < 2,47 < 2,
)47 < 2,4
)7
12 ¿Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones?
0,25 3,)58 0,00
)1 3,030030003…
Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible.
• 0,25 = =
• 100N = 358,5858…
–N = 3,5858…
99N = 355 → N =
• 1 000N = 1,111…
–100N = 0,111…
900N = 1 → N =
• 3,030030003… no se puede expresar como fracción; no es un número deci-mal exacto ni periódico. Es un número irracional.
Cálcu lo menta l
13 Calcula mentalmente:
a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4) c) 7 – (2 – 4)
d) –7 + 2 – 4 e) 11 + 3 · 5 – 2 f) (7 + 3) · 5 – 2
g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)
a) 7 – 2 + 4 = 9 b) 7 – (2 + 4) = 1 c) 7 – (2 – 4) = 9
d) –7 + 2 – 4 = –9 e) 11 + 3 · 5 – 2 = 24 f ) (7 + 3) · 5 – 2 = 48
g) 11 + 3 · (5 – 2) = 20 h) (7 + 3) · (5 – 2) = 30
14 Calcula mentalmente:
a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.
b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.
c) Los cubos de los números del 1 al 5.
d) Las potencias de base 2 hasta 210.
1900
35599
14
25100
2,472,47 = 2,4777…2,
)4 = 2,4444…
2,)47 = 2,4747…
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente.
c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente.
d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.
15 Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción:
= 0,5; = 0,75; = 0,25; = 0,2; = 0,4; = 0,6
16 Calcula mentalmente:
a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23
a) (–2)5 = –32 b) (–2)8 = 256 c) (–1)10 = 1 d) (–1)23 = –1
Página 39
17 Calcula mentalmente:
a) 20 · (–350) b) c) 2 · 75 · (–2)
d) 1 640 · 4 e) 2 486 · 50 f) 120 · 25
a) 20 · (–350) = –7 000 b) = 150 c) 2 · 75 · (–2) = –300
d)1 640 · 4 = 6 560 e) 2 486 · 50 = 124 300 f ) 120 · 25 = 3 000
18 Calcula mentalmente:
a) de 60 b) de 100 c) de 500
d) La mitad de .
e) La tercera parte de .
f) La mitad de la quinta parte de –6.
a) 40 b) 75 c) 3 d) e) f )
19 Calcula mentalmente:
a) Los tres cuartos de un número valen 12. ¿Cuál es el número?
b) Los dos tercios de un número valen 20. ¿De qué número se trata?
c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?
–35
47
13
127
23
3500
34
23
50 · 6020
50 · 6020
35
25
15
14
34
12
35
25
15
14
34
12
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) de x = 12 → x = 16
b) de x = 20 → x = 30
c) de x = 15 → x = 25
20 Calcula y simplifica:
a) · b) 6 · c) 5 :
d) · e) : f) : 4
a) · = b) 6 · = = c) 5 : =
d) · = e) : = = 4 f ) : 4 = =
21 Calcula mentalmente:
a) + b) 1 + c) 2 –
d) – e) 1 + f) –
a) + = b) 1 + = c) 2 – =
d) – = e) 1 + = f ) – =
Operaciones con números racionales
22 Calcula:
a) – + b) + +
c) – d) – –
a) – + = – + =
b) + + = + + =
c) – = – =
d) – – = – – = = 740
21120
14120
9120
44120
760
340
1130
190
290
390
145
130
6136
2736
436
3036
34
19
56
1130
630
1030
1530
15
13
12
760
340
1130
145
130
34
19
56
15
13
12
16
13
12
43
13
14
14
12
74
14
32
12
34
14
12
13
12
13
14
12
14
12
14
12
114
228
27
246
23
83
415
45
13
203
34
92
184
34
25
23
35
27
23
83
45
13
34
34
23
35
35
23
34
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
23 Calcula:
a) 3 – ( + ) b) (2 – ) + (5 – )c) – 2 + d) 5 – ( – 2)a) 3 – ( + ) = – – = – – =
b) (2 – ) + (5 – ) = + = + =
c) – 2 + = – + =
d)5 – ( – 2) = 5 – ( ) = 5 + =
24 Calcula:
a) de 224 b) de 120
a) de 224 = = 5 · 7 = 35
b) de 120 = = 17 · 15 = 255
25 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: = 1 +
a) b) – c) d) – e)
a) = 1 + b) – = –2 – c) = 6 +
d) – = –3 – e) = 2 +
26 El valor medio entre el 0 y el 1 es . Calcula el valor medio comprendido
entre cada pareja de números:
a) y 2 b) y c) –1 y 35
34
23
12
12
310
2310
25
175
37
457
13
73
23
53
2310
175
457
73
53
12
32
17 · 1208
178
5 · 22432
532
178
532
203
53
–53
13
–16
26
126
96
13
32
176
96
86
32
43
72
23
136
46
16
186
23
16
31
23
16
13
13
32
72
23
23
16
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = =
b) = =
c) = =
27 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).
28 Reduce a una sola fracción las expresiones:
a) – · –
b) ( – + 2) – ( – + 1)c) (1 + ) – ( + ) · ( – )d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ]a) – · – = – – = – – =
b) ( – + 2) – ( – + 1) = ( – + ) – ( – + ) =
= – = = 1
c) (1 + ) – ( + ) · ( – ) = – · = – = – =
d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ] =
= ( + ) – [ – + + – ] =
= – = – = = –13
–515
1915
1415
7660
1415
960
4060
3060
4560
6060
515
915
320
23
12
34
13
35
5948
548
6448
548
43
112
54
43
14
13
12
34
13
2020
2720
4720
2020
820
1520
4020
520
1220
25
34
14
35
1332
232
132
1632
116
132
12
116
18
14
12
320
23
12
34
13
35
14
13
12
34
13
25
34
14
35
116
18
14
12
–15
–2—5
2
3–1 + —5
2
1724
17—12
2
2 3— + —3 4
2
54
5—2
2
1— + 22
2
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Página 40
29 Reduce:
a) · ( – ) – · ( – ) b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – )a) · ( – ) – · ( – ) = · – · = · – · =
= – =
b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – ) = 5 : – 3 : = – = – =
30 Reduce a una fracción:
a) b) c)
a) = = 3 b) = = =
c) = = = 7
31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:
a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + )c) – · [1 – – ( – 1) · ( – 3)]d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1)a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) = · – ( ) = + = = –2
b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + ) = 2 : – 3 : = 3 – 2 = 132
46
12
12
16
–126
16
–136
–16
135
–56
12
13
25
16
13
23
19
23
13
1720
35
38
12
12
16
12
13
25
16
–7—20–1—20
5 12— – —20 2014 15— – —20 20
1 3— – —4 57 3— – —10 4
27
414
4—314—3
53 – —353 + —3
3—21—2
11 + —211 – —2
1 3— – —4 57 3— – —10 4
53 – —353 + —3
11 + —211 – —2
–263
363
103
121
103
14
32
14
12
24
112
112
212
12
16
14
23
36
16
14
23
13
56
16
12
34
23
14
12
24
13
56
16
12
34
23
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) · [1 – – ( – 1 ) · ( – 3)] = · [ – ( ) · ( ) =
= · [ – ] = · [ – ] = 0
d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1) = [ + 13 · ] : ( ) = : =
= 2 : = = –3
32 Calcula las siguientes potencias:
a) (–2)4 b) (–2)3 c) –22
d) –2–3 e) (–2)–2 f) (–2)–3
a) (–2)4 = 16 b) (–2)3 = –8 c) –22 = –4
d)–2–3 = –1/8 e) (–2)–2 = = f ) (–2)–3 = =
33 ¿A qué número entero es igual cada una de estas potencias?
a) 1–37 b) (–1)–7 c) ( )–2
d) (– )–4e) (– )–4
f) ( )0
a) 1–37 = 1 b) (–1)–7 = –1 c) ( )–2= 22 = 4
d) (– )–4= (–2)4 = 16 e) (– )–4
= (–3)4 = 81 f ) ( )0= 1
34 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 3:
a) 128 b) 729 c) d) – e)
a) 128 = 27 b) 729 = 36 c) = = 2–6
d)– = – = –3–3 e) = 3–1
35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 b) mil millones c) 0,00001d) una milésima e) 0,000000001 f) una millonésima
a) 106 b) 109 c) 10–5 d) 10–3 e) 10–9 f ) 10–6
13
133
127
126
164
13
127
164
45
13
12
12
45
13
12
12
–18
1(–2)3
14
1(–2)2
6–2
–23
–23
189
–23
19
59
13
23
19
23
25
25
–38
820
25
–38
–83
–320
25
–38
13
1720
35
–38
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
36 Expresa como potencia única:
a) ( )2: ( )–1
b) ( )3: ( )5
c)
d) (22 · 2–3)–4 e) f)
a) ( )2: ( )–1
= ( )1= b) ( )3
: ( )5= ( )–2
= 22 = 4
c) = 3–4 = = d) (22 · 2–3)–4 = (2–1)–4 = 24 = 16
e) = = = 2–6 =
f ) = = 2–4 · 34 = = ( )4=
37 Reduce:
a) b) ( )2: ( )3
c) ( )2· ( )4
d) e) ( )3: ( )2
f) [( )3]2
a) = = –1
b) ( )2: ( )3
= ( )–1=
c) ( )2· ( )4
= · = =
d) = = =
e) ( )3: ( )2
= : =
f ) [( )3]2= ( )6
= =
38 Simplifica:
a) b) 2–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 3223 · (–3)2 · 42
63 · 92
164
126
12
12
1627
116
127
14
13
281
234
3 · 32 · 24
23 · 33 · 343 · (–3)2 · 42
63 · 92
94
32
2234
2422
32–32
23
52
25
25
25
–32
32–32
(–3)2
12
14
13
3 · (–3)2 · 42
63 · 92
–32
23
25
25
–32
(–3)2
8116
32
34
242–5 · 24 · 32
23 · 3–22–5 · 42 · 32
23 · 9–1
164
126
24 · 2–4
2624 · 4–2
82
181
134
35 · 3–7
32
12
12
12
25
25
25
25
2–5 · 42 · 32
23 · 9–124 · 4–2
82
35 · 3–7
3212
12
25
25
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = = =
b) = = =
39 Calcula:
a) [( – 1)3]2b) [( – )–1]–5
c) ( – )–2· ( – )–1
a) [( – 1)3]2= (– )6
= =
b) [( – )–1]–5= (– )5
= (– )5=
c) ( – )–2· ( – )–1
= ( )–2· ( )–1
= ( )2· ( ) = · = –4
40 Calcula pasando a fracción:
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 b) 3,0
)7 – 1,6
)7 c) 0,
)7 + 1,
)23 d) 0,3
)6 – 1,
)2
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 = + + = = 1
b) 3,0)7 – 1,6
)7 = – = = = 1,4
c) 0,)7 – 1,
)23 = + = + = = 2,
)01
d)0,3)6 – 1,
)2 = – = – = = –0,8
)5
41 Calcula:
a) – (0,75 + 0,)6) + b) ( + 0,1
)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – )
a) – (0,75 + 0,)6) + = – ( + ) + = – ( + ) + =
= – + = = 1
b) ( + 0,1)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – ) =
= ( + ) · (– ) – ( + – ) = – – ( + ) =
= – – ( + ) = – – · = – – = – – = –173
133
43
6515
43
815
658
43
315
515
658
43
15
13
658
43
13
15
23
658
43
16
56
13
658
43
56
1212
1312
1712
1612
1312
812
912
1612
1312
23
34
43
1312
43
13
658
43
56
1312
43
–7790
11090
3390
119
3390
19999
12299
7799
12299
79
75
12690
15190
27790
99
29
39
49
–94
169
–94
43
–49
34
79
13
34
32
–132
12
36
23
16
164
126
12
12
79
13
34
32
23
16
12
4243
22
352–4 · 24 · 3 · 3–2
2–5 · 23 · 32 · 322–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 32
16243
24
3523 · 32 · 24
23 · 33 · 3423 · (–3)2 · 42
63 · 92
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Raíces
42 Calcula cuando sea posible:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = 2 b) = = –2 c) = = 5
d) no existe e) = = f ) = –1
Página 41
43 Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:
a) b) c)
d) e) f)
a) = 8 → racional b) = = 4 → racional
c) = → irracional d) = 10 → racional
e) → irracional f ) = → racional
Calcu ladora
44 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cua-drado para que se verifique la igualdad:
a) 4 �� 5 + 85 �� = 1 �� 13; b) 34 �� × �� 6 = 8 970; c) 425 + 23 × �� = 5 �� 6
a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 × 26 = 8 970 c) 425 + 23 × 7 = 586
45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estasigualdades sean verdaderas:
a) 12 �� 34 �� 9 = 318 b) (25 �� 16) �� 45 �� 5 = 400
a) 12 + 34 × 9 = 318 b) (25 – 16) × 45 – 5 = 400
46 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible.
Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que busca-mos, y nos quedan dos opciones:
El producto mayor es 54 · 63.
53 · 64 = 3 39254 · 63 = 3 402
12
√1/43√100
√1005√265√64
3√263√64√64
√1/43√100√100
5√643√64√64
5√–152
4√54/244√625/16√–8
4√544√6253√(–2)33√–8
6√266√64
5√–14√625/16√–8
4√6253√–8
6√64
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
47 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que in-dica la flecha:
a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53 b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45
c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19 d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40
a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53 b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45
c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19 d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40
48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos números?
a) 180 b) 108 c) 1 080 d) 104 050
a) 180 = 5 36 b) 108 = 3 36
c) 1 080 = 135 8 d) 104 050 = 25 4 162
49 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación ha-rías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?
• Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:
56 327 – 300 = 56 027
• Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:
56 327 + 2 000 = 58 327
50 ¿Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?
¿Qué aparecerá en pantalla si introduces 80 ?
Si introducimos 80 aparecerá . (Se multiplica 0,5 × 80).
51 ¿Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia?
2
4 096
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0.5 200
?
? ?
? ?
0.5 200
52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia:
396 2 530 …
Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y páratecuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la división.
El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla .
Razona el porqué del proceso anterior.
Al introducir la secuencia:
396
2 530
obtenemos 1442443
6 veces
Por tanto, el cociente de la división 2 530 : 396 es 6 y el resto 154.
Cuando introducimos 396
2 530 … , vamos restando 396 (en pri-mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos .
Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 – 6 · 396, y hemos obtenido154; es decir, 2 530 = 6 · 396 + 154.
53 Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero.
a) 9 6 7
b)8 7 9
c) 8 5
d)19 14 5 2 7
a) 8 b) 2 c) 26 d) 0,5
54 Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado.
a) b) 18 – (2 · 16,5 – 30)
c) d) ( ) · 25
a) 30 7 18
4
6
Por tanto: = 22,8
b) 18 3.5 .5
2 16.5 30
Por tanto: 18 – (2 · 16,5 – 30) = –33,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
344 – 5 · 43
35 – 14325 – 4,52
4 · 2,5 – 5
3,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
Pág. 15
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) 25 4.5
4 2.5 5
Por tanto: = 0,95
d) 344 5 4
3
3
5 143
25
Por tanto: ( ) · 25 = 6
Página 42
PIENSA Y RESUELVE
55 EJERCICIO RESUELTO
De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte,quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?
Resolución
→ Sacamos la mitad.
→ Dividimos la otra mitad en 5 partes.
→ Sacamos de la mitad, que es , y nos quedan ,
que son 3 litros.
La capacidad es de = 7,5 litros.
Comprueba la solución.
Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros:
• Sacamos la mitad → 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos → 3,75 litros quedan.
• Después la quinta parte → 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos → 3 litros quedan.
En efecto, quedan 3 litros.
56 En un depósito lleno de agua había 3 000 litros. Un día se gastó 1/6 del de-pósito, y otro, 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?
de 3 000 = = 500 litros se gastaron primero.
1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total.
3 000 – 1 750 = 1 250 litros quedan.
1 250 litros de 3 000 que había representan la fracción:
= del depósito quedan.512
1 2503 000
3 0006
16
304
410
110
15
344 – 5 · 43
35 – 143
25 – 4,52
4 · 2,5 – 5
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
1—2
1—2
De otra forma:
= del depósito se gastan en segundo lugar.
+ = del depósito se gastan en total.
Por tanto, quedan del depósito.
57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parquepúblico. ¿Cuál era su superficie?
• Se venden → queda
• Después, de = se venden. En total se han vendido:
+ = + = → Queda , que son 3 200 m2
Por tanto, la superficie era de: 3 200 · 9 = 28 800 m2.
58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un díacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fru-ta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
La fracción del total correspondiente a las naranjas es:
de = · = , que son 89 €.
Por tanto, el total es: = 284,8 €
59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del ca-pital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unosbeneficios de 150 000 €. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
• Al primero le corresponderá de 150 000 = 50 000 €.
• Al segundo, de 150 000 = 60 000 €.
• Y, al tercero, el resto: 150 000 – (50 000 + 60 000) = 40 000 €
25
13
89 · 165
516
56
38
56
38
19
89
29
69
29
23
29
13
23
13
23
512
712
512
16
512
1 2503 000
Pág. 17
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote ante-rior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después decuatro botes?
• Después de 1 bote alcanza de la altura inicial.
• Después de 2 botes alcanza de = ( )2de la altura inicial.
• Después de 3 botes alcanza de ( )2= ( )3
de la altura inicial.
• Después de 4 botes alcanza de ( )3= ( )4
= de la altura inicial.
61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdién-dose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?
• Al deshuesarlas se reduce el peso → quedan de 10 kg = 8 kg.
• Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azúcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se
pierde en la cocción del peso → se obtienen:
de 16 = 12 kg de mermelada
62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas arazón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 delcampo, sale por 140 000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?
del total = 140 000 € → Total = 240 000 €
A 50 €/m2 → 240 000 : 50 = 4 800 m2 tiene el campo en total.
4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.
63 Compro a plazos un equipo de música que vale 500 €. Hago un pago de 60 €,después los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que aún debo.a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?b) ¿Qué parte de la deuda he pagado?c) ¿Cuánto me queda por pagar?
a) 1er pago → 60 € → me quedan por pagar: 500 – 60 = 440 €
2-o pago → de 440 = 293,33 € → me quedan por pagar:
440 – 293,33 = 146,67 €
23
712
34
14
45
15
16625
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3er pago → de 146,67 = 29,33 € → me quedan por pagar:
146,67 – 29,33 = 117,34 €
La 1-a vez he devuelto 60 €, la 2-a vez 293,33 €, y la 3-a vez, 29,33 €.
b) 1er pago → = del total → me faltan .
2-o pago → de = → en total llevo pagado + = .
Me faltan .
3er pago → de = → en total he pagado + = .
La parte de deuda que he pagado son del total.
c) Me quedan por pagar del total, que son 117,34 €.
64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B.
a) ¿Qué distancia hay entre esas ciudades?
b) Si salió de A a las 10 h, ¿a qué hora llegará a B?
a) En 1,5 horas recorre 24 · 1,5 = 36 km.
Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que:
de x = 36 → x = 60 km hay entre A y B
b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas
Por tanto, si salió de A a las 10 h, llegará a B a las doce y media, es decir, alas 12 h 30 min.
65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué lon-gitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despuésde lavada, 10,5 m2 de tela?
La superficie de tela, después de lavada, es:
0,9x · 0,84 = 10,5 m2
35
88375
287375
287375
22375
5375
22375
2275
15
2275
5375
4475
325
4475
2225
23
2225
325
60500
15
Pág. 19
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0,90 mDespués
de lavar
1415— de 0,90 = 0,84 m
910— de x = 0,9 x
x
10,5 m2
Hallamos la anchura inicial, x:
0,756x = 10,5 → x = � 13,89 m
66 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una revi-sión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos ope-raciones?
m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000
Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.
67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué ca-pacidad tendrá cada garrafa?
M.C.D. (420, 225) = 15
Cada garrafa ha de tener 15 litros.
68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lomás grandes posible y no se quiere cortar ninguna?
M.C.D. (330, 390) = 30
Las baldosas han de ser de 30 cm × 30 cm.
Página 43
REFLEXIONA SOBRE LA TEOR ÍA
69 Representa cada número en su lugar:
a) 3,045 b) 3,45 c) 3,00045 d) 3,0045
70 Demuestra que 3,6)9 y 3,7 se expresan mediante la misma fracción.
Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números:
N = 3,6)9 → 100N = 369,999…
–10N = 36,999…
90N = 333 → N = = 3710
33390
10,50,756
Pág. 20
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3,4 3,53,45
3,04 3,05
3,004 3,005
3,0004 3,0005
3,045
3,0045
3,00045
3,6)9 =
3,7 = Se expresan mediante la misma fracción.
71 Demuestra que 0,)3 + 0,
)6 = 1. Busca otros dos decimales periódicos cuya su-
ma sea un decimal exacto.
• Expresamos 0,)3 y 0,
)6 en forma de fracción:
10N = 3,333… 10M = 6,666…
–N = 0,333… –M = 0,666…
9N = 3 → N = = 9M = 6 → M = =
Por tanto: 0,)3 + 0,
)6 = + = = 1
• Otro ejemplo sería: 0,)45 + 0,
)54. Veámoslo:
100N = 45,4545…
–N = 0,4545…
99N = 45 → N = =
100M = 54,5454…
–M = 0,5454…
99M = 54 → M = =
Por tanto: 0,)45 + 0,
)54 = + = = 1
Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves.
72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnúmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:
3 < 8 –5 < 9 –8 < –1
¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo?
Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un númeropositivo, por ejemplo:
3 < 8 →· 2
6 < 16
–5 < 9 →· 3–15 < 27 Siguen siendo ciertas.
–8 < –1 →·1/2
–4 < – 12
1111
611
511
611
5499
511
4599
33
23
13
23
69
13
39
3710
3710
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Porejemplo:
3 < 8 →· (–1)
–3 > –8
–5 < 9 →· (–2)10 > –18 Cambia la desigualdad.
–8 < –1 →· (–1/2)
4 >
73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:
a) ¿Qué condición debe cumplir n para que n/11 sea periódico?
b) ¿Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número?
a) n no debe ser múltiplo de 11.
b) El máximo número de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividirentre 11, si la división no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.
74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:
y y y
> ; < ; <
75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión:
+ + + …
b) Escribe el resultado en forma de fracción.
a) + + + … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,)3
b) 0,)3 =
76 Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Quépuede ocurrir cuando dividimos por 3?
¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 3, 31 3, 32 3?
La parte decimal del cociente a : 3 es
¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?
13
31 000
3100
310
31 000
3100
310
bc
ba
ac
ab
bc
ac
bc
ba
ac
ab
bc
ac
12
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
• = 0,)3 = 0,
)6 = 1
= 1,)3 = 1,
)6 = 2
= 2,)3 = 2,
)6 = 3
• 30 3 = 10 → Exacto (pues 30 es múltiplo de 3)
31 3 → Periódico de periodo 3 ( = 10 + = 10,)3)
32 3 → Periódico de periodo 6 ( = 10 + = 10,)6)
• (a + 1) : 3 será una división exacta.
La parte decimal de (a + 2) : 3 será periódica de periodo 3.
77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales ma-yores y menores que 0,5. ¿Qué característica deben tener las fracciones quedan decimales mayores que 0,5? ¿Y las que dan decimales menores que 0,5?
Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darándecimales mayores que 0,5.
Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, da-rán decimales menores que 0,5.
PROFUNDIZA
78 Divide por 7 los números del 1 al 10 y anota los resultados.
¿Cuántos decimales distintos pueden salir?
¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7?
¿Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7?
¿Cuál será el número a si a : 7 = 10,285714?
= 0,)142857 = 0,
)285714 = 0,
)428571
= 0,)571428 = 0,
)714285 = 0,
)857142
= 1 = 1,)142857 = 1,
)285714 = 1,
)42857110
797
87
77
67
57
47
37
27
17
23
323
13
313
93
83
73
63
53
43
33
23
13
Pág. 23
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Hay tres posibilidades:
– Decimal periódico de periodo 3.
– Decimal periódico de periodo 6.
– Decimal exacto.
Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la división no esexacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
= 3 + = 3,)857142
= 6 + = 6,)428571
= 10,)285714 = 10 + 0,
)285714 = 10 + = → a = 72
79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Después de dividir por 17 los números 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya elperiodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Compruébalo usando lacalculadora hasta donde te sea necesario.
a) ¿Podrías escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifrasdecimales?
b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veintecifras decimales.
= 0,0588235294117647 = 0,1176470588235294
= 0,1764705882352941 = 0,2352941176470588
= 0,2941176470588235
a) = 2 + = 2,1176470588235294
Con veinte cifras decimales sería: 2,11764705882352941176
b) = 9,325581395348837209302
Con veinte cifras decimales sería: 9,32558139534883720930
80 Investiga en qué cifra termina el número 355. Observa antes en qué cifra ter-minan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber laúltima cifra de cualquier potencia de base 3.
¿En qué número termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7?
Potencias de 3
31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81
35 = 243 36 = 729 37 = 2 187 38 = 6 561
40143
217
3617
517
417
317
217
117
727
27
a7
37
457
67
277
Pág. 24
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es:
0 → la potencia acaba en 1
1 → la potencia acaba en 3
2 → la potencia acaba en 9
3 → la potencia acaba en 7
Como 55 44 → el resto es 3, entonces 355 acaba en 7.
15 13
3(Potencias de 2
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256
…
Como 100 44 → Resto = 0 → 2100 acaba en 6
20 25
0(Potencias de 3
Por lo dicho anteriormente, 3100 acaba en 1.
Potencias de 4
4100 acaba en 6.
Potencias de 7
71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401
75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 823 543 78 = 5 764 801
…
7100 acaba en 1
Exponente impar → acaba en 4Exponente par → acaba en 6
42 = 1644 = 256
41 = 443 = 64
Pág. 25
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Página 38
PRACTICA
Fracc iones y dec imales
1 a) Agrupa, entre las siguientes fracciones, las que sean equivalentes:
b)Representa sobre rectángulos cada una de esas fracciones.
a) = ; = ; = =
b)
2 Simplifica:
a) b) c) d) e)
a) = b) = c) =
d) = e) =
3 Escribe la fracción que representa la parte coloreada en cada una de estas figurasy ordénalas.
12
2 0004 000
27
60210
35
75125
14
1872
57
3042
2 0004 000
60210
75125
1872
3042
26
515
13
1521
57
23
1015
1521
26
23
515
13
57
1015
Pág. 1
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
10—152—3
1—35—152—6
15—215—7
= =
< < <
4 Escribe una fracción equivalente a 2/5 y otra equivalente a 7/6, pero quetengan el mismo denominador.
m.c.m. (5, 6) = 30 = ; =
5 Transforma en decimal estas fracciones:
Efectuamos la división en cada caso:
= 0,)6; = 0,4; = 0,32; = 0,375; = 1,1875; = 0,
)142857;
= 0,)8; = 1,
)6
6 Clasifica los siguientes números racionales en decimales exactos y decimalesperiódicos. (Intenta dar la respuesta antes de efectuar la división).
Todas las fracciones propuestas son irreducibles. Darán lugar a decimales exac-tos cuando en el denominador solo estén como factores primos el 2 y el 5. Enotro caso, darán lugar a decimales periódicos. Por tanto:
– Decimales exactos → , , , , .
– Decimales periódicos → , , .
7 Expresa en forma de fracción y mediante un decimal la parte coloreada deestas figuras:
a) = 0,32 b) = 0,18 c) = 0,681725
950
825
49
76
13
135
2310
58
34
25
49
135
2310
76
58
34
25
13
53
89
17
1916
38
825
410
23
53
89
17
1916
38
825
410
23
3530
76
1230
25
58
12
38
14
58
38
28
14
48
12
Pág. 2
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) c)b)
8 Expresa en forma de fracción:
a) 25,8 b) 4,)25 c) 4,25 d) 3,04
)7 e) 0,
)152
a) 25,8 = =
b) 100N = 425,2525…
–N = 4,2525…
99N = 421 → N =
c) 4,25 = =
d)1 000N = 3 047,777…
–100N = 304,777…
900N = 2 743 → N =
e) 1 000N = 152,152152…
–N = 0,152152…
999N = 152 → N =
9 Escribe tres números que estén comprendidos entre cada par de decimales:
a) 0,6 y 0,8 b) 0,7 y 0,8 c) 0,9 y 1
d)0,99 y 1 e) 2,43 y 2,44 f) 2,436 y 2,437
Hay infinitos números comprendidos entre cada par de decimales. Porejemplo, podemos poner:
a) 0,61; 0,62; 0,63 b) 0,71; 0,72; 0,73
c) 0,91; 0,92; 0,93 d) 0,991; 0,992; 0,993
e) 2,431; 2,432; 2,433 f ) 2,4361; 2,4362; 2,4363
10 Ordena las fracciones , y .
1-a forma: Expresamos las fracciones en forma decimal:
= 0,65 = 0,56 = 0,70
Por tanto: < <
2-a forma: Reducimos a común denominador:
= ; = ; = Por tanto: < < 710
1320
1425
70100
710
56100
1425
65100
1320
710
1320
1425
710
1425
1320
710
1425
1320
152999
2 743900
174
425100
42199
1295
25810
Pág. 3
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
11 Ordena de menor a mayor estos números: 2,47; 2,4)7; 2,
)4 ; 2,
)47
2,)4 < 2,47 < 2,
)47 < 2,4
)7
12 ¿Cuáles de estos números pueden expresarse como fracciones?
0,25 3,)58 0,00
)1 3,030030003…
Escribe la fracción que representa a cada uno en los casos que sea posible.
• 0,25 = =
• 100N = 358,5858…
–N = 3,5858…
99N = 355 → N =
• 1 000N = 1,111…
–100N = 0,111…
900N = 1 → N =
• 3,030030003… no se puede expresar como fracción; no es un número deci-mal exacto ni periódico. Es un número irracional.
Cálcu lo menta l
13 Calcula mentalmente:
a) 7 – 2 + 4 b) 7 – (2 + 4) c) 7 – (2 – 4)
d) –7 + 2 – 4 e) 11 + 3 · 5 – 2 f) (7 + 3) · 5 – 2
g) 11 + 3 · (5 – 2) h) (7 + 3) · (5 – 2)
a) 7 – 2 + 4 = 9 b) 7 – (2 + 4) = 1 c) 7 – (2 – 4) = 9
d) –7 + 2 – 4 = –9 e) 11 + 3 · 5 – 2 = 24 f ) (7 + 3) · 5 – 2 = 48
g) 11 + 3 · (5 – 2) = 20 h) (7 + 3) · (5 – 2) = 30
14 Calcula mentalmente:
a) La cuarta parte de 100, 200, 600 y 1 000.
b) Los cuadrados de los números del 1 al 12.
c) Los cubos de los números del 1 al 5.
d) Las potencias de base 2 hasta 210.
1900
35599
14
25100
2,472,47 = 2,4777…2,
)4 = 2,4444…
2,)47 = 2,4747…
Pág. 4
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) 25, 50, 150 y 250, respectivamente.
b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121 y 144, respectivamente.
c) 1, 8, 27, 64 y 125, respectivamente.
d)2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512 y 1 024, respectivamente.
15 Calcula mentalmente el número decimal equivalente a cada fracción:
= 0,5; = 0,75; = 0,25; = 0,2; = 0,4; = 0,6
16 Calcula mentalmente:
a) (–2)5 b) (–2)8 c) (–1)10 d) (–1)23
a) (–2)5 = –32 b) (–2)8 = 256 c) (–1)10 = 1 d) (–1)23 = –1
Página 39
17 Calcula mentalmente:
a) 20 · (–350) b) c) 2 · 75 · (–2)
d) 1 640 · 4 e) 2 486 · 50 f) 120 · 25
a) 20 · (–350) = –7 000 b) = 150 c) 2 · 75 · (–2) = –300
d)1 640 · 4 = 6 560 e) 2 486 · 50 = 124 300 f ) 120 · 25 = 3 000
18 Calcula mentalmente:
a) de 60 b) de 100 c) de 500
d) La mitad de .
e) La tercera parte de .
f) La mitad de la quinta parte de –6.
a) 40 b) 75 c) 3 d) e) f )
19 Calcula mentalmente:
a) Los tres cuartos de un número valen 12. ¿Cuál es el número?
b) Los dos tercios de un número valen 20. ¿De qué número se trata?
c) Los 3/5 de una cantidad son 15. ¿Cuál es esa cantidad?
–35
47
13
127
23
3500
34
23
50 · 6020
50 · 6020
35
25
15
14
34
12
35
25
15
14
34
12
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) de x = 12 → x = 16
b) de x = 20 → x = 30
c) de x = 15 → x = 25
20 Calcula y simplifica:
a) · b) 6 · c) 5 :
d) · e) : f) : 4
a) · = b) 6 · = = c) 5 : =
d) · = e) : = = 4 f ) : 4 = =
21 Calcula mentalmente:
a) + b) 1 + c) 2 –
d) – e) 1 + f) –
a) + = b) 1 + = c) 2 – =
d) – = e) 1 + = f ) – =
Operaciones con números racionales
22 Calcula:
a) – + b) + +
c) – d) – –
a) – + = – + =
b) + + = + + =
c) – = – =
d) – – = – – = = 740
21120
14120
9120
44120
760
340
1130
190
290
390
145
130
6136
2736
436
3036
34
19
56
1130
630
1030
1530
15
13
12
760
340
1130
145
130
34
19
56
15
13
12
16
13
12
43
13
14
14
12
74
14
32
12
34
14
12
13
12
13
14
12
14
12
14
12
114
228
27
246
23
83
415
45
13
203
34
92
184
34
25
23
35
27
23
83
45
13
34
34
23
35
35
23
34
Pág. 6
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
23 Calcula:
a) 3 – ( + ) b) (2 – ) + (5 – )c) – 2 + d) 5 – ( – 2)a) 3 – ( + ) = – – = – – =
b) (2 – ) + (5 – ) = + = + =
c) – 2 + = – + =
d)5 – ( – 2) = 5 – ( ) = 5 + =
24 Calcula:
a) de 224 b) de 120
a) de 224 = = 5 · 7 = 35
b) de 120 = = 17 · 15 = 255
25 Separa en cada fracción la parte entera, como en el ejemplo: = 1 +
a) b) – c) d) – e)
a) = 1 + b) – = –2 – c) = 6 +
d) – = –3 – e) = 2 +
26 El valor medio entre el 0 y el 1 es . Calcula el valor medio comprendido
entre cada pareja de números:
a) y 2 b) y c) –1 y 35
34
23
12
12
310
2310
25
175
37
457
13
73
23
53
2310
175
457
73
53
12
32
17 · 1208
178
5 · 22432
532
178
532
203
53
–53
13
–16
26
126
96
13
32
176
96
86
32
43
72
23
136
46
16
186
23
16
31
23
16
13
13
32
72
23
23
16
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = =
b) = =
c) = =
27 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).
28 Reduce a una sola fracción las expresiones:
a) – · –
b) ( – + 2) – ( – + 1)c) (1 + ) – ( + ) · ( – )d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ]a) – · – = – – = – – =
b) ( – + 2) – ( – + 1) = ( – + ) – ( – + ) =
= – = = 1
c) (1 + ) – ( + ) · ( – ) = – · = – = – =
d) ( + ) – [1 – ( – ) + – ] =
= ( + ) – [ – + + – ] =
= – = – = = –13
–515
1915
1415
7660
1415
960
4060
3060
4560
6060
515
915
320
23
12
34
13
35
5948
548
6448
548
43
112
54
43
14
13
12
34
13
2020
2720
4720
2020
820
1520
4020
520
1220
25
34
14
35
1332
232
132
1632
116
132
12
116
18
14
12
320
23
12
34
13
35
14
13
12
34
13
25
34
14
35
116
18
14
12
–15
–2—5
2
3–1 + —5
2
1724
17—12
2
2 3— + —3 4
2
54
5—2
2
1— + 22
2
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Página 40
29 Reduce:
a) · ( – ) – · ( – ) b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – )a) · ( – ) – · ( – ) = · – · = · – · =
= – =
b) 5 : ( + 1) – 3 : ( – ) = 5 : – 3 : = – = – =
30 Reduce a una fracción:
a) b) c)
a) = = 3 b) = = =
c) = = = 7
31 Comprueba que el resultado de estas operaciones es un número entero:
a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + )c) – · [1 – – ( – 1) · ( – 3)]d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1)a) ( – 1) · (3 – ) – ( – ) = · – ( ) = + = = –2
b) 2 : ( + ) – 3 : (1 + ) = 2 : – 3 : = 3 – 2 = 132
46
12
12
16
–126
16
–136
–16
135
–56
12
13
25
16
13
23
19
23
13
1720
35
38
12
12
16
12
13
25
16
–7—20–1—20
5 12— – —20 2014 15— – —20 20
1 3— – —4 57 3— – —10 4
27
414
4—314—3
53 – —353 + —3
3—21—2
11 + —211 – —2
1 3— – —4 57 3— – —10 4
53 – —353 + —3
11 + —211 – —2
–263
363
103
121
103
14
32
14
12
24
112
112
212
12
16
14
23
36
16
14
23
13
56
16
12
34
23
14
12
24
13
56
16
12
34
23
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) · [1 – – ( – 1 ) · ( – 3)] = · [ – ( ) · ( ) =
= · [ – ] = · [ – ] = 0
d) [( – ) + 13 ( – 1)2] : ( – 1) = [ + 13 · ] : ( ) = : =
= 2 : = = –3
32 Calcula las siguientes potencias:
a) (–2)4 b) (–2)3 c) –22
d) –2–3 e) (–2)–2 f) (–2)–3
a) (–2)4 = 16 b) (–2)3 = –8 c) –22 = –4
d)–2–3 = –1/8 e) (–2)–2 = = f ) (–2)–3 = =
33 ¿A qué número entero es igual cada una de estas potencias?
a) 1–37 b) (–1)–7 c) ( )–2
d) (– )–4e) (– )–4
f) ( )0
a) 1–37 = 1 b) (–1)–7 = –1 c) ( )–2= 22 = 4
d) (– )–4= (–2)4 = 16 e) (– )–4
= (–3)4 = 81 f ) ( )0= 1
34 Escribe en forma de potencia de base 2 ó 3:
a) 128 b) 729 c) d) – e)
a) 128 = 27 b) 729 = 36 c) = = 2–6
d)– = – = –3–3 e) = 3–1
35 Expresa con potencias de base 10:a) 1 000 000 b) mil millones c) 0,00001d) una milésima e) 0,000000001 f) una millonésima
a) 106 b) 109 c) 10–5 d) 10–3 e) 10–9 f ) 10–6
13
133
127
126
164
13
127
164
45
13
12
12
45
13
12
12
–18
1(–2)3
14
1(–2)2
6–2
–23
–23
189
–23
19
59
13
23
19
23
25
25
–38
820
25
–38
–83
–320
25
–38
13
1720
35
–38
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
36 Expresa como potencia única:
a) ( )2: ( )–1
b) ( )3: ( )5
c)
d) (22 · 2–3)–4 e) f)
a) ( )2: ( )–1
= ( )1= b) ( )3
: ( )5= ( )–2
= 22 = 4
c) = 3–4 = = d) (22 · 2–3)–4 = (2–1)–4 = 24 = 16
e) = = = 2–6 =
f ) = = 2–4 · 34 = = ( )4=
37 Reduce:
a) b) ( )2: ( )3
c) ( )2· ( )4
d) e) ( )3: ( )2
f) [( )3]2
a) = = –1
b) ( )2: ( )3
= ( )–1=
c) ( )2· ( )4
= · = =
d) = = =
e) ( )3: ( )2
= : =
f ) [( )3]2= ( )6
= =
38 Simplifica:
a) b) 2–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 3223 · (–3)2 · 42
63 · 92
164
126
12
12
1627
116
127
14
13
281
234
3 · 32 · 24
23 · 33 · 343 · (–3)2 · 42
63 · 92
94
32
2234
2422
32–32
23
52
25
25
25
–32
32–32
(–3)2
12
14
13
3 · (–3)2 · 42
63 · 92
–32
23
25
25
–32
(–3)2
8116
32
34
242–5 · 24 · 32
23 · 3–22–5 · 42 · 32
23 · 9–1
164
126
24 · 2–4
2624 · 4–2
82
181
134
35 · 3–7
32
12
12
12
25
25
25
25
2–5 · 42 · 32
23 · 9–124 · 4–2
82
35 · 3–7
3212
12
25
25
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
a) = = =
b) = = =
39 Calcula:
a) [( – 1)3]2b) [( – )–1]–5
c) ( – )–2· ( – )–1
a) [( – 1)3]2= (– )6
= =
b) [( – )–1]–5= (– )5
= (– )5=
c) ( – )–2· ( – )–1
= ( )–2· ( )–1
= ( )2· ( ) = · = –4
40 Calcula pasando a fracción:
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 b) 3,0
)7 – 1,6
)7 c) 0,
)7 + 1,
)23 d) 0,3
)6 – 1,
)2
a) 0,)4 + 0,
)3 + 0,
)2 = + + = = 1
b) 3,0)7 – 1,6
)7 = – = = = 1,4
c) 0,)7 – 1,
)23 = + = + = = 2,
)01
d)0,3)6 – 1,
)2 = – = – = = –0,8
)5
41 Calcula:
a) – (0,75 + 0,)6) + b) ( + 0,1
)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – )
a) – (0,75 + 0,)6) + = – ( + ) + = – ( + ) + =
= – + = = 1
b) ( + 0,1)6) (– ) – (0,
)6 + 0,2 – ) =
= ( + ) · (– ) – ( + – ) = – – ( + ) =
= – – ( + ) = – – · = – – = – – = –173
133
43
6515
43
815
658
43
315
515
658
43
15
13
658
43
13
15
23
658
43
16
56
13
658
43
56
1212
1312
1712
1612
1312
812
912
1612
1312
23
34
43
1312
43
13
658
43
56
1312
43
–7790
11090
3390
119
3390
19999
12299
7799
12299
79
75
12690
15190
27790
99
29
39
49
–94
169
–94
43
–49
34
79
13
34
32
–132
12
36
23
16
164
126
12
12
79
13
34
32
23
16
12
4243
22
352–4 · 24 · 3 · 3–2
2–5 · 23 · 32 · 322–4 · 42 · 3 · 9–1
2–5 · 8 · 9 · 32
16243
24
3523 · 32 · 24
23 · 33 · 3423 · (–3)2 · 42
63 · 92
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Raíces
42 Calcula cuando sea posible:
a) b) c)
d) e) f)
a) = = 2 b) = = –2 c) = = 5
d) no existe e) = = f ) = –1
Página 41
43 Indica cuáles de las siguientes raíces son racionales y cuáles irracionales:
a) b) c)
d) e) f)
a) = 8 → racional b) = = 4 → racional
c) = → irracional d) = 10 → racional
e) → irracional f ) = → racional
Calcu ladora
44 Con ayuda de la calculadora, busca el dígito que hay que poner en cada cua-drado para que se verifique la igualdad:
a) 4 �� 5 + 85 �� = 1 �� 13; b) 34 �� × �� 6 = 8 970; c) 425 + 23 × �� = 5 �� 6
a) 455 + 858 = 1 313 b) 345 × 26 = 8 970 c) 425 + 23 × 7 = 586
45 Sustituye los cuadrados por el signo de la operación adecuada para que estasigualdades sean verdaderas:
a) 12 �� 34 �� 9 = 318 b) (25 �� 16) �� 45 �� 5 = 400
a) 12 + 34 × 9 = 318 b) (25 – 16) × 45 – 5 = 400
46 Con los dígitos 3, 4, 5 y 6, forma dos números de dos cifras de modo que almultiplicarlos obtengas el mayor producto posible.
Tomamos los dos dígitos mayores como decenas de los dos números que busca-mos, y nos quedan dos opciones:
El producto mayor es 54 · 63.
53 · 64 = 3 39254 · 63 = 3 402
12
√1/43√100
√1005√265√64
3√263√64√64
√1/43√100√100
5√643√64√64
5√–152
4√54/244√625/16√–8
4√544√6253√(–2)33√–8
6√266√64
5√–14√625/16√–8
4√6253√–8
6√64
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
47 Pon los paréntesis necesarios para que cada expresión dé el resultado que in-dica la flecha:
a) 6 + 3 · 5 + 8 → 53 b) 6 + 3 · 5 + 8 → 45
c) 7 + 3 · 5 – 1 → 19 d) 7 + 3 · 5 – 1 → 40
a) (6 + 3) · 5 + 8 = 53 b) 6 + 3 · (5 + 8) = 45
c) 7 + 3 · (5 – 1) = 19 d) (7 + 3) · (5 – 1) = 40
48 Si en tu calculadora no funcionase la tecla del 0, ¿cómo podrías conseguirque apareciese en la pantalla cada uno de estos números?
a) 180 b) 108 c) 1 080 d) 104 050
a) 180 = 5 36 b) 108 = 3 36
c) 1 080 = 135 8 d) 104 050 = 25 4 162
49 Si en la pantalla de tu calculadora está el número 56 327, ¿qué operación ha-rías para transformar el 3 en un 0? ¿Y para que en lugar del 6 hubiera un 8?
• Para transformar el 3 en un cero, basta con restar 300:
56 327 – 300 = 56 027
• Para transformar el 6 en un 8, basta con sumar 2 000:
56 327 + 2 000 = 58 327
50 ¿Qué pantallas irás obteniendo al introducir la siguiente secuencia de teclas?
¿Qué aparecerá en pantalla si introduces 80 ?
Si introducimos 80 aparecerá . (Se multiplica 0,5 × 80).
51 ¿Qué resultado crees que obtendrás con la siguiente secuencia?
2
4 096
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0.5 200
?
? ?
? ?
0.5 200
52 Para dividir 2 530 : 396 (halla cociente y resto), efectúa la siguiente secuencia:
396 2 530 …
Ve observando los números que van apareciendo en la pantalla y páratecuando el resultado sea menor que 396. Ese es el resto de la división.
El cociente es el número de veces que has pulsado la tecla .
Razona el porqué del proceso anterior.
Al introducir la secuencia:
396
2 530
obtenemos 1442443
6 veces
Por tanto, el cociente de la división 2 530 : 396 es 6 y el resto 154.
Cuando introducimos 396
2 530 … , vamos restando 396 (en pri-mer lugar de 2 530) cada vez que pulsamos .
Si lo pulsamos 6 veces, hemos efectuado: 2 530 – 6 · 396, y hemos obtenido154; es decir, 2 530 = 6 · 396 + 154.
53 Predice y comprueba con la máquina la pantalla resultante de las siguientesentradas, partiendo en cada caso de la pantalla y la memoria a cero.
a) 9 6 7
b)8 7 9
c) 8 5
d)19 14 5 2 7
a) 8 b) 2 c) 26 d) 0,5
54 Utiliza los paréntesis necesarios para efectuar las siguientes operaciones conla calculadora. Estima previamente el resultado.
a) b) 18 – (2 · 16,5 – 30)
c) d) ( ) · 25
a) 30 7 18
4
6
Por tanto: = 22,8
b) 18 3.5 .5
2 16.5 30
Por tanto: 18 – (2 · 16,5 – 30) = –33,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
344 – 5 · 43
35 – 14325 – 4,52
4 · 2,5 – 5
3,50,5
30 · 7 + 1842 – 6
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
c) 25 4.5
4 2.5 5
Por tanto: = 0,95
d) 344 5 4
3
3
5 143
25
Por tanto: ( ) · 25 = 6
Página 42
PIENSA Y RESUELVE
55 EJERCICIO RESUELTO
De un bidón de aceite se saca primero la mitad y después la quinta parte,quedando aún 3 litros. ¿Cuál es la capacidad del bidón?
Resolución
→ Sacamos la mitad.
→ Dividimos la otra mitad en 5 partes.
→ Sacamos de la mitad, que es , y nos quedan ,
que son 3 litros.
La capacidad es de = 7,5 litros.
Comprueba la solución.
Comprobamos que la capacidad es de 7,5 litros:
• Sacamos la mitad → 7,5 : 2 = 3,75 litros sacamos → 3,75 litros quedan.
• Después la quinta parte → 3,75 : 5 = 0,75 litros sacamos → 3 litros quedan.
En efecto, quedan 3 litros.
56 En un depósito lleno de agua había 3 000 litros. Un día se gastó 1/6 del de-pósito, y otro, 1 250 litros. ¿Qué fracción queda?
de 3 000 = = 500 litros se gastaron primero.
1 250 + 500 = 1 750 litros se han gastado en total.
3 000 – 1 750 = 1 250 litros quedan.
1 250 litros de 3 000 que había representan la fracción:
= del depósito quedan.512
1 2503 000
3 0006
16
304
410
110
15
344 – 5 · 43
35 – 143
25 – 4,52
4 · 2,5 – 5
Pág. 16
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
1—2
1—2
De otra forma:
= del depósito se gastan en segundo lugar.
+ = del depósito se gastan en total.
Por tanto, quedan del depósito.
57 De un solar se vendieron los 2/3 de su superficie, y después, los 2/3 de lo quequedaba. El Ayuntamiento expropió los 3 200 m2 restantes para un parquepúblico. ¿Cuál era su superficie?
• Se venden → queda
• Después, de = se venden. En total se han vendido:
+ = + = → Queda , que son 3 200 m2
Por tanto, la superficie era de: 3 200 · 9 = 28 800 m2.
58 En un puesto de frutas y verduras, los 5/6 del importe de las ventas de un díacorresponden al apartado de frutas. Del dinero recaudado en la venta de fru-ta, los 3/8 corresponden a las naranjas. Si la venta de naranjas asciende a89 €, ¿qué caja ha hecho el establecimiento?
La fracción del total correspondiente a las naranjas es:
de = · = , que son 89 €.
Por tanto, el total es: = 284,8 €
59 Tres socios invierten sus ahorros en un negocio. El primero aporta 1/3 del ca-pital, el segundo 2/5 y el tercero el resto. Al cabo de tres meses, reparten unosbeneficios de 150 000 €. ¿Cuánto corresponde a cada uno?
• Al primero le corresponderá de 150 000 = 50 000 €.
• Al segundo, de 150 000 = 60 000 €.
• Y, al tercero, el resto: 150 000 – (50 000 + 60 000) = 40 000 €
25
13
89 · 165
516
56
38
56
38
19
89
29
69
29
23
29
13
23
13
23
512
712
512
16
512
1 2503 000
Pág. 17
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
60 Una pelota pierde en cada bote 2/5 de la altura a la que llegó en el bote ante-rior. ¿Qué fracción de la altura inicial, desde la que cayó, alcanza después decuatro botes?
• Después de 1 bote alcanza de la altura inicial.
• Después de 2 botes alcanza de = ( )2de la altura inicial.
• Después de 3 botes alcanza de ( )2= ( )3
de la altura inicial.
• Después de 4 botes alcanza de ( )3= ( )4
= de la altura inicial.
61 Se adquieren 10 kg de ciruelas para hacer mermelada. Al deshuesarlas, se reduceen 1/5 su peso. Lo que queda se cuece con una cantidad igual de azúcar, perdién-dose en la cocción 1/4 de su peso. ¿Cuántos kilos de mermelada se obtienen?
• Al deshuesarlas se reduce el peso → quedan de 10 kg = 8 kg.
• Se cuecen los 8 kg de ciruelas con 8 kg de azúcar; es decir, 16 kg de mezcla. Se
pierde en la cocción del peso → se obtienen:
de 16 = 12 kg de mermelada
62 Un campo rectangular de 120 m de largo se pone a la venta en dos parcelas arazón de 50 € el metro cuadrado. La primera parcela, que supone los 7/12 delcampo, sale por 140 000 €. ¿Cuánto mide la anchura del campo?
del total = 140 000 € → Total = 240 000 €
A 50 €/m2 → 240 000 : 50 = 4 800 m2 tiene el campo en total.
4 800 : 120 = 40 m mide la anchura del campo.
63 Compro a plazos un equipo de música que vale 500 €. Hago un pago de 60 €,después los 2/3 de lo que me queda por pagar, y luego 1/5 de lo que aún debo.a) ¿Cuánto he devuelto cada vez?b) ¿Qué parte de la deuda he pagado?c) ¿Cuánto me queda por pagar?
a) 1er pago → 60 € → me quedan por pagar: 500 – 60 = 440 €
2-o pago → de 440 = 293,33 € → me quedan por pagar:
440 – 293,33 = 146,67 €
23
712
34
14
45
15
16625
25
25
25
25
25
25
25
25
25
25
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3er pago → de 146,67 = 29,33 € → me quedan por pagar:
146,67 – 29,33 = 117,34 €
La 1-a vez he devuelto 60 €, la 2-a vez 293,33 €, y la 3-a vez, 29,33 €.
b) 1er pago → = del total → me faltan .
2-o pago → de = → en total llevo pagado + = .
Me faltan .
3er pago → de = → en total he pagado + = .
La parte de deuda que he pagado son del total.
c) Me quedan por pagar del total, que son 117,34 €.
64 Un ciclista, yendo a una velocidad de 24 km/h, tarda 1 h 30 min en recorrerlos 3/5 de la distancia entre dos ciudades, A y B.
a) ¿Qué distancia hay entre esas ciudades?
b) Si salió de A a las 10 h, ¿a qué hora llegará a B?
a) En 1,5 horas recorre 24 · 1,5 = 36 km.
Si llamamos x a la distancia entre A y B, tenemos que:
de x = 36 → x = 60 km hay entre A y B
b) A 24 km/h tarda en recorrer 60 km: 60 : 24 = 2,5 horas
Por tanto, si salió de A a las 10 h, llegará a B a las doce y media, es decir, alas 12 h 30 min.
65 Al lavar una tela, su longitud se reduce en 1/10 y su anchura, 1/15. ¿Qué lon-gitud debe comprarse de una pieza de 0,90 m de ancho para tener, despuésde lavada, 10,5 m2 de tela?
La superficie de tela, después de lavada, es:
0,9x · 0,84 = 10,5 m2
35
88375
287375
287375
22375
5375
22375
2275
15
2275
5375
4475
325
4475
2225
23
2225
325
60500
15
Pág. 19
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
0,90 mDespués
de lavar
1415— de 0,90 = 0,84 m
910— de x = 0,9 x
x
10,5 m2
Hallamos la anchura inicial, x:
0,756x = 10,5 → x = � 13,89 m
66 Un taxista cambia el aceite de un vehículo cada 3 500 km y le hace una revi-sión general cada 8 000 km. ¿Cada cuántos kilómetros coinciden las dos ope-raciones?
m.c.m. (3 500, 8 000) = 56 000
Entonces cada 56 000 km coinciden las dos operaciones.
67 En una cooperativa tienen 420 litros de un tipo de aceite y 225 litros de otro.Quieren envasarlo con el menor número posible de garrafas iguales. ¿Qué ca-pacidad tendrá cada garrafa?
M.C.D. (420, 225) = 15
Cada garrafa ha de tener 15 litros.
68 Se desea cubrir con baldosas cuadradas una habitación de 330 cm de anchopor 390 cm de largo. ¿Qué tamaño deben tener las baldosas si deben ser lomás grandes posible y no se quiere cortar ninguna?
M.C.D. (330, 390) = 30
Las baldosas han de ser de 30 cm × 30 cm.
Página 43
REFLEXIONA SOBRE LA TEOR ÍA
69 Representa cada número en su lugar:
a) 3,045 b) 3,45 c) 3,00045 d) 3,0045
70 Demuestra que 3,6)9 y 3,7 se expresan mediante la misma fracción.
Expresamos en forma de fracción cada uno de los dos números:
N = 3,6)9 → 100N = 369,999…
–10N = 36,999…
90N = 333 → N = = 3710
33390
10,50,756
Pág. 20
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
3,4 3,53,45
3,04 3,05
3,004 3,005
3,0004 3,0005
3,045
3,0045
3,00045
3,6)9 =
3,7 = Se expresan mediante la misma fracción.
71 Demuestra que 0,)3 + 0,
)6 = 1. Busca otros dos decimales periódicos cuya su-
ma sea un decimal exacto.
• Expresamos 0,)3 y 0,
)6 en forma de fracción:
10N = 3,333… 10M = 6,666…
–N = 0,333… –M = 0,666…
9N = 3 → N = = 9M = 6 → M = =
Por tanto: 0,)3 + 0,
)6 = + = = 1
• Otro ejemplo sería: 0,)45 + 0,
)54. Veámoslo:
100N = 45,4545…
–N = 0,4545…
99N = 45 → N = =
100M = 54,5454…
–M = 0,5454…
99M = 54 → M = =
Por tanto: 0,)45 + 0,
)54 = + = = 1
Esto ocurre siempre que la suma de los periodos está formada solo por nueves.
72 Comprueba que si multiplicas los dos miembros de una desigualdad por unnúmero positivo, esta sigue siendo verdadera. Hazlo con estas desigualdades:
3 < 8 –5 < 9 –8 < –1
¿Ocurre lo mismo si multiplicas los dos miembros por un número negativo?
Si multiplicamos cada una de las desigualdades propuestas por un númeropositivo, por ejemplo:
3 < 8 →· 2
6 < 16
–5 < 9 →· 3–15 < 27 Siguen siendo ciertas.
–8 < –1 →·1/2
–4 < – 12
1111
611
511
611
5499
511
4599
33
23
13
23
69
13
39
3710
3710
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Pero si multiplicamos por un número negativo, cambia la desigualdad. Porejemplo:
3 < 8 →· (–1)
–3 > –8
–5 < 9 →· (–2)10 > –18 Cambia la desigualdad.
–8 < –1 →· (–1/2)
4 >
73 Pon ejemplos, reflexiona, responde y opina:
a) ¿Qué condición debe cumplir n para que n/11 sea periódico?
b) ¿Cuál es el máximo número de cifras del periodo de ese número?
a) n no debe ser múltiplo de 11.
b) El máximo número de cifras del periodo es 10, ya que los restos al dividirentre 11, si la división no es exacta, pueden variar entre 1 y 10.
74 Sabiendo que a > b > c > 0, compara los siguientes pares de fracciones:
y y y
> ; < ; <
75 a) Calcula en forma decimal el valor de la siguiente expresión:
+ + + …
b) Escribe el resultado en forma de fracción.
a) + + + … = 0,3 + 0,03 + 0,003 + … = 0,)3
b) 0,)3 =
76 Divide por 3 varios números menores que 10 y observa los resultados. ¿Quépuede ocurrir cuando dividimos por 3?
¿Puedes predecir las cifras decimales de los cocientes 30 3, 31 3, 32 3?
La parte decimal del cociente a : 3 es
¿Cuál será la parte decimal de (a + 1) : 3 y de (a + 2) : 3?
13
31 000
3100
310
31 000
3100
310
bc
ba
ac
ab
bc
ac
bc
ba
ac
ab
bc
ac
12
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
• = 0,)3 = 0,
)6 = 1
= 1,)3 = 1,
)6 = 2
= 2,)3 = 2,
)6 = 3
• 30 3 = 10 → Exacto (pues 30 es múltiplo de 3)
31 3 → Periódico de periodo 3 ( = 10 + = 10,)3)
32 3 → Periódico de periodo 6 ( = 10 + = 10,)6)
• (a + 1) : 3 será una división exacta.
La parte decimal de (a + 2) : 3 será periódica de periodo 3.
77 Si divides 1 entre 2, da 0,5. Utiliza tu calculadora para obtener decimales ma-yores y menores que 0,5. ¿Qué característica deben tener las fracciones quedan decimales mayores que 0,5? ¿Y las que dan decimales menores que 0,5?
Las fracciones cuyo numerador sea mayor que la mitad del denominador darándecimales mayores que 0,5.
Las fracciones cuyo numerador sea menor que la mitad del denominador, da-rán decimales menores que 0,5.
PROFUNDIZA
78 Divide por 7 los números del 1 al 10 y anota los resultados.
¿Cuántos decimales distintos pueden salir?
¿Tiene eso que ver con el hecho de que estemos dividiendo entre 7?
¿Puedes predecir el resultado de 27 : 7 y de 45 : 7?
¿Cuál será el número a si a : 7 = 10,285714?
= 0,)142857 = 0,
)285714 = 0,
)428571
= 0,)571428 = 0,
)714285 = 0,
)857142
= 1 = 1,)142857 = 1,
)285714 = 1,
)42857110
797
87
77
67
57
47
37
27
17
23
323
13
313
93
83
73
63
53
43
33
23
13
Pág. 23
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Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Hay tres posibilidades:
– Decimal periódico de periodo 3.
– Decimal periódico de periodo 6.
– Decimal exacto.
Pueden salir 6 decimales distintos. (Pues al dividir entre 7, si la división no esexacta, podemos obtener 6 restos distintos: 1, 2, 3, 4, 5, 6).
= 3 + = 3,)857142
= 6 + = 6,)428571
= 10,)285714 = 10 + 0,
)285714 = 10 + = → a = 72
79 Investiga. Alicia ha tratado de investigar el periodo obtenido al dividir por17. Después de dividir por 17 los números 1, 2, 3, 4 y 5, cree que tiene ya elperiodo completo, que supone que tiene 16 cifras. Compruébalo usando lacalculadora hasta donde te sea necesario.
a) ¿Podrías escribir el resultado de dividir 36 entre 17 con veinte cifrasdecimales?
b) De la misma manera, halla el resultado de dividir 401 entre 43 con veintecifras decimales.
= 0,0588235294117647 = 0,1176470588235294
= 0,1764705882352941 = 0,2352941176470588
= 0,2941176470588235
a) = 2 + = 2,1176470588235294
Con veinte cifras decimales sería: 2,11764705882352941176
b) = 9,325581395348837209302
Con veinte cifras decimales sería: 9,32558139534883720930
80 Investiga en qué cifra termina el número 355. Observa antes en qué cifra ter-minan las sucesivas potencias de 3 y busca una regla que te permita saber laúltima cifra de cualquier potencia de base 3.
¿En qué número termina la potencia de exponente 100 y bases 2, 3, 4 y 7?
Potencias de 3
31 = 3 32 = 9 33 = 27 34 = 81
35 = 243 36 = 729 37 = 2 187 38 = 6 561
40143
217
3617
517
417
317
217
117
727
27
a7
37
457
67
277
Pág. 24
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Si dividimos el exponente entre 4 y el resto es:
0 → la potencia acaba en 1
1 → la potencia acaba en 3
2 → la potencia acaba en 9
3 → la potencia acaba en 7
Como 55 44 → el resto es 3, entonces 355 acaba en 7.
15 13
3(Potencias de 2
21 = 2 22 = 4 23 = 8 24 = 16
25 = 32 26 = 64 27 = 128 28 = 256
…
Como 100 44 → Resto = 0 → 2100 acaba en 6
20 25
0(Potencias de 3
Por lo dicho anteriormente, 3100 acaba en 1.
Potencias de 4
4100 acaba en 6.
Potencias de 7
71 = 7 72 = 49 73 = 343 74 = 2 401
75 = 16 807 76 = 117 649 77 = 823 543 78 = 5 764 801
…
7100 acaba en 1
Exponente impar → acaba en 4Exponente par → acaba en 6
42 = 1644 = 256
41 = 443 = 64
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 1. Los números y sus utilidades
1
Página 60
PRACTICA
1 Calcula mentalmente:
a) 25% de 400 b) 125% de 400 c) 25% de 80
d) 125% de 80 e) 75% de 400 f) 175% de 600
g) 20% de 2 000 h) 120% de 2 000
a) 100 b) 500 c) 20 d) 100 e) 300 f ) 1 050 g) 400 h) 2 400
2 Halla:
a) 30% de 1 670 b) 12% de 3 075 c) 43% de 4 600
d) 16% de 25 e) 115% de 1 640 f) 165% de 7 800
g) 0,3% de 5 000 h) 1,2% de 2 000
a) 30% de 1 670 = 1 670 · 0,3 = 501
b) 12% de 3 075 = 3 075 · 0,12 = 369
c) 43% de 4 600 = 4 600 · 0,43 = 1 978
d) 16% de 25 = 25 · 0,16 = 4
e) 115% de 1 640 = 1 640 · 1,15 = 1 886
f ) 165% de 7 800 = 7 800 · 1,65 = 12 870
g) 0,3% de 5 000 = 5 000 · 0,003 = 15
h) 1,2% de 2 000 = 2 000 · 0,012 = 24
3 Completa la tabla que hace corresponder cada porcentaje con un número de-cimal:
4 Completa la tabla como en el ejemplo:
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
30% 61% 120% 180% 240%
0,30 0,03 1,80 2,70
30% 61% 3% 120% 180% 240% 270%
0,30 0,61 0,03 1,20 1,80 2,40 2,70
400 640 850 1 280
15% 35% 12%
60 136 87 64
TOTAL
%PARTE
400 640 850 725 1 280
15% 35% 16% 12% 5%
60 224 136 87 64
TOTAL
%PARTE
5 Calcula x en cada proporción:
a) = b) =
c) = d) =
a) = → x = = 660
b) = → x = = 24
c) = → x = = 54
d) = → x = = 13
6 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes A y B son directamenteproporcionales.
7 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes M y N son inversamenteproporcionales.
PIENSA Y RESUELVE
Proporc iona l idad d i rec ta e inversa
8 El dueño de un papelería ha abonado una factura de 670 € por un pedido de25 cajas de folios. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 17cajas? ¿Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de938 €?
Directamente proporcionales:938 · 25
y = ———– = 35 cajas recibirá en el tercer pedido670
670 € → 25 cajas938 → y
Directamente proporcionales:17 · 670
x = ———– = 455,6 € costarán 17 cajas25
25 cajas → 670 €17 cajas → x
17 · 143187
143187
x17
12 · 6314
1463
12x
45 · 72135
x45
72135
30 · 44020
400x
2030
143187
x17
1463
12x
x45
72135
440x
2030
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
1 5 10 15 45 83
24AB
1 5 10 15 45 83
2,4 12 24 36 108 199,2AB
1 2 3 4 6 9
18MN
1 2 3 4 6 9
72 36 24 18 12 8MN
Otra forma:
670 : 25 = 26,8 € cuesta 1 caja.
26,8 · 17 = 455,6 € costarán 17 cajas.
938 : 26,8 = 35 cajas recibirá en el tercer pedido.
9 Cinco carpinteros necesita 21 días para entarimar un suelo. ¿Cuántos carpin-teros serán necesarios si se desea hacer el trabajo en 15 días?
Otra forma:
21 · 5 = 105 carpinteros serían necesarios para tardar 1 día.
105 : 15 = 7 carpinteros serían necesarios para tardar 15 días.
10 Los vecinos de una urbanización abonan 390 € mensuales por las 130 farolasque alumbran sus calles. ¿Cuántas farolas han de suprimir si desean reducir lafactura mensual a 240 €?
130 – 80 = 50 farolas han de suprimir.
Otra forma:
390 : 130 = 3 € pagan por cada farola.
240 : 3 = 80 farolas quedarán.
130 – 80 = 50 farolas han de suprimir.
11 Un campamento de refugiados que alberga a 4 600 personas tiene víveres pa-ra 24 semanas. ¿En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 nue-vos refugiados?
4 600 + 200 = 4 800 refugiados habrá con los nuevos.
Se reducirá en 1 semana.
Otra forma:
4 600 · 24 = 110 400 semanas durarían los víveres para 1 persona.
110 400 : 4 800 = 23 semanas durarán los víveres para 4 800 refugiados.
24 – 23 = 1 semana se reducirá el tiempo.
Inversamente proporcionales:4 600 · 24
x = ———––– = 23 semanas durarán4 800
los viveres
4 600 personas → 24 semanas4 800 personas → x
Directamente proporcionales:240 · 130
x = ———–– = 80 farolas quedarán390
390 € → 130 farolas240 € → x
Inversamente proporcionales:21 · 5
x = ——— = 7 carpinteros15
21 días → 5 carpinteros15 días → x
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
12 Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que están coloca-dos a intervalos de 1,20 m. ¿Cuántos postes se necesitarán para la nueva vallaen la que los postes se colocarán a intervalos de 1,30 m?
Otra forma:
1,20 · 650 = 780 postes necesitaríamos con 1 m de distancia entre ellos.
780 : 1,30 = 600 postes se necesitarán con 1,30 m de distancia entre ellos.
13 Un manantial tarda cinco horas y veinte minutos en llenar un pilón de 7 800litros. ¿Cuántos litros aporta el manantial a la semana?
5 h 20 min = 320 minutos; 1 semana = 7 · 24 · 60 = 10 080 minutos.
Otra forma:
7 800 : 320 = 24,375 litros aporta en 1 minuto.
10 080 · 24,375 = 245 700 litros aporta en una semana.
14 Un peregrino del Camino de Santiago ha invertido 5 días y 2 horas en cubriruna distancia de 128 kilómetros. Sabiendo que en cada jornada camina du-rante seis horas, ¿qué distancia recorre al día?
5 días · 6 horas/día = 30 horas
30 horas + 2 horas = 32 horas ha tardado en recorrer 128 km.
128 : 32 = 4 km recorre en 1 hora.
4 · 6 = 24 km recorre al día.
Otra forma:
15 Una locomotora, a 85 km/h, tarda tres horas y dieciocho minutos en realizarel viaje de ida entre dos ciudades. ¿Cuánto tardará en el viaje de vuelta si au-menta su velocidad a 110 km/h?
3 horas 18 minutos = 198 minutos
Inversamente proporcionales:85 · 198
x = ———– = 153 min = 2 horas 33 min110
85 km/h → 198 min110 km/h → x
Directamente proporcionales:6 · 128
x = ——— = 24 km recorre al día.32
32 horas → 128 km6 horas → x
Directamente proporcionales:10 080 · 7 800
x = ———––––– = 245 700 litros en una320
semana
320 min → 7 800 litros10 080 min → x
Inversamente proporcionales:1,20 · 650
x = ———––– = 600 postes1,30
1,20 m → 650 postes1,30 m → x
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
Otra forma:
3 horas 18 min = 3,3 horas
85 km/h · 3,3 h = 280,5 km recorre en total.
280,5 : 110 = 2,55 horas tarda en la vuelta = 2 horas 33 minutos.
Proporc iona l idad
16 Cuatro mineros abren una galería de 15 metros de longitud en 9 días. ¿Cuán-tos metros de galería abrirán 6 mineros en 15 días?
Abrirán 37,5 metros
Otra forma:
15 : 4 = 3,75 m abrirá 1 minero en 9 días.
3,75 : 9 = m abrirá 1 minero en 1 día.
· 6 = 2,5 m abrirán 6 mineros en 1 día.
2,5 · 15 = 37,5 m abrirán 6 mineros en 15 días.
Página 61
17 Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 12 días para levan-tar un muro. ¿Cuántos obreros necitamos para construir ese muro en 9 días,trabajando jornadas de 10 horas?
512
512
Pág. 5
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
→→
4 9 15
1 1 =
6 15 · 6 · 15 = 37,5512
512
154 · 9
Nº– DE MINEROS Nº– DE DÍAS LONGITUD (m)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROP. DIRECTA
→→
6 12 5
1 1 5 · 6 · 12 = 360
10 9 = 436010 · 9
Nº– DE HORAS DIARIAS Nº– DE DÍAS Nº– DE OBREROS
PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROP. INVERSA
Habrían sido necesarios 4 obreros.
Otra forma:
5 · 12 = 60 días tardaría 1 obrero trabajando 6 horas diarias.
60 · 6 = 360 horas tardaría 1 obrero en hacer todo el trabajo.
360 : 10 = 36 días tardaría 1 obrero trabajando 10 horas diarias.
36 : 9 = 4 obreros serían necesarios para acabar enn 9 días a 10 horas diarias.
18 En una cadena de montaje, 17 operarios, trabajando 8 horas al día, ensam-blan 850 aparatos de radio a la semana. ¿Cuántas horas diarias deben trabajarla próxima semana, para atender un pedido de 1 000 aparatos, teniendo encuenta que se añadirá un refuerzo de tres trabajadores?
Deberán trabajar 8 horas diarias.
Otra forma:
8 · 17 = 136 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 850 aparatos.
136 : 850 = 0,16 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 1 aparato.
0,16 · 1 000 = 160 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 1 000 aparatos.
160 : 20 = 8 horas diarias deben trabajar 20 operarios para ensamblar 1 000aparatos.
19 En un campo de 200 m de largo y 80 m de anchura, se ha recogido una cosechade 4 800 kg de trigo. ¿Qué cosecha podemos esperar de otro campo que mide190 m de largo y 90 m de ancho?
Pág. 6
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
→→
17 850 8
1 1 = 0,16
20 1 000 = 80,16 · 1 00020
8 · 17850
Nº– DE OPERARIOS Nº– DE APARATOS Nº– DE HORAS DIARIAS
PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROP. DIRECTA
→→
200 80 4 800
1 1 = 0,3
190 90 0,3 · 190 · 90 = 5 130
4 800200 · 80
LONGITUD (m) ANCHURA (m) COSECHA (kg)
PROPORCIONALIDAD DIRECTA
PROP. DIRECTA
Se puede esperar una cosecha de 5 130 kg de trigo.
Otra forma:
4 800 : 200 = 24 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 80 m de ancho.
24 : 80 = 0,3 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 1 m de ancho.
0,3 · 190 = 57 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 1 m de ancho.
57 · 90 = 5 130 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 90 m de ancho.
Repar tos proporc iona les
20 Dos albañiles cobran 340 € por un trabajo realizado conjuntamente. Si elprimero trabajó tres jornadas y media y el segundo cinco jornadas, ¿cuántocobrará cada uno?
340 € : 8,5 jornadas = 40 € cobrará por 1 jornada.
1er– albañil → 3,5 jornadas → 3,5 · 40 = 140 € cobrará
2º– albañil → 5 jornadas → 5 · 40 = 200 € cobrará
21 Tres hermanos se reparten una herencia de 2 820 € de forma que por cadacinco euros que reciba el mayor, el mediano recibirá cuatro, y el pequeño,tres. ¿Qué cantidad se lleva cada uno?
Mayor → 5x → 5 · 235 = 1 175 € se llevará.
Mediano → 4x → 4 · 235 = 940 € se llevará.
Pequeño → 3x → 3 · 235 = 705 € se llevará.
Total = 12x = 2 820 € → x = 2 820 : 12 = 235
22 Se han abonado 6 888 € por la limpieza de un bosque realizada por dos bri-gadas de trabajadores. La primera brigada está formada por 12 operarios y hatrabajado durante 8 días. La segunda brigada tiene 15 hombres y ha trabaja-do 10 días. ¿Cuánto corresponde a cada brigada?
1ª– brigada → 12 · 8 = 96 días deben pagar a la 1ª– brigada.
2ª– brigada → 15 · 10 = 150 días deben pagar a la 2ª– brigada.
Suma = 246 días
= 2 688 € deben pagar a la 1ª– brigada.
= 4 200 € deben pagar a la 2ª– brigada.
23 Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de 12 900 €. ¿Qué par-te corresponde a cada uno si el primero aportó inicialmente 18 000 €, el se-gundo, 15 000 €, y el tercero, 10 000 €?
6 888 · 150246
6 888 · 96246
Pág. 7
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
12 900 : 43 000 = 0,3 € corresponden por cada euro invertido.
1er– socio → 18 000 € → 0,3 · 18 000 = 5 400 € le corresponden.
2º– socio → 15 000 € → 0,3 · 15 000 = 4 500 € le corresponden.
3er– socio → 10 000 € → 0,3 · 10 000 = 3 000 € le corresponden.
Suma = 43 000 € aportan entre los tres.
Mezc las
24 En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 € elhectólitro, con 10 hl de vino de calidad inferior a 220 €/hl. ¿A cómo sale ellitro del vino resultante?
Precio de la mezcla = = = 250 € cuesta 1 hl de mezcla.
→ 250 : 100 = 2,5 € cuesta 1 l de mezcla.
25 Se han vertido 3 litros de agua, a 15 °C, en una olla que contenía 6 litros deagua a 60 °C. ¿A qué temperatura está ahora el agua de la olla?
Temperatura mezcla = = 45 °C
26 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de 1 kg y 64% de pureza. ¿Cuál es la pureza del lingote resultan-te?
Proporción de oro en la mezcla = = 0,76 → 76% de pureza.
Es decir, hay un 76% de oro en el lingote resultante.
3,044
4059
4 00016
Coste totalCantidad total
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
6 300 € 6 · 300 = 1 800
10 220 € 10 · 220 = 2 200
16 4 000
CANTIDAD (hl ) PRECIO (hl ) COSTE €
ALTA CALIDAD
BAJA CALIDAD
MEZCLA
3 15 3 · 15 = 45
6 60 6 · 60 = 360
9 405
CANTIDAD (l ) TEMPERATURA (°C)
1ª– CANTIDAD
2ª– CANTIDAD
3ª– CANTIDAD
3 80% 3 · 0,8 = 2,4
1 64% 1 · 0,64 = 0,64
4 3,04
CANTIDAD (kg) PUREZA (%) CANTIDAD DE ORO (kg)
1er– LINGOTE
2º– LINGOTE
MEZCLA
27 Se funden 3 kg de oro puro con 7 kg de oro de 20 quilates. ¿Cuál es la ley dellingote resultante?
☛ El oro puro tiene una ley de 24 quilates que significa una pureza del 100%. Unaley de 20 quilates significa que de 24 partes del peso del lingote, 20 son de oro.
Proporción de oro en la mezcla = = � 0,88 (88% de oro).
Para hallar a cuántos quilates corresponde hacemos:
= → x = = 21,2 quilates
Móvi les
28 Dos ciudades A y B distan 350 km. De A sale hacia B un coche a 110km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión a 90 km/h. Calcula eltiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que recorre cada uno.
Se aproximan a una velocidad de: 110 + 90 = 200 km/h
• Tiempo que tardan en encontrarse:
t = = = 1,75 horas = 1 hora 45 minutos
• Distancia que recorre cada uno:
110 · 1,75 = 192,5 km recorre el que sale de A.
350 – 192,5 = 157,5 km recorre el que sale de B.
29 Un autobús sale de A a 105 km/h. Simultáneamente sale de B un coche a120 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que re-corre cada uno hasta que se cruzan.
Se aproximan a una velocidad de: 105 + 120 = 225 km/h
350200
dv
53 · 2460
x24
5360
5360
53/610
Pág. 9
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
3 1 3 · 1 = 3
7 = · 7 =
10 3 + = 536
356
356
56
56
2024
CANTIDAD (kg) PROPORCIÓN DE ORO CANTIDAD DE ORO (kg)
1er– LINGOTE
2º– LINGOTE
MEZCLA
A B350 km
110 km/h 90 km/h
A B300 km
105 km/h 120 km/h
• Tiempo que tardan en encontrarse:
t = = = 1,3)
horas = 1 h 20 min
• Distancia que recorre cada uno:
Autobús: d = t · v = 1,3)
· 105 = 140 km
Coche: d = t · v = 1,3)
· 120 = 160 km
30 Un camión sale de cierta población a una velocidad de 90 km/h. Cinco mi-nutos más tarde sale en su persecución una moto a 120 km/h. ¿Cuánto tiem-po tarda la moto en alcanzar al camión?
Al cabo de los 5 minutos, el camión ha recorrido:
= 7,5 km le lleva de ventaja.
Se aproximan a una velocidad de: 120 – 90 = 30 km/h
• Tiempo que tarda en alcanzarlo:
t = = = 0,25 horas = 15 minutos
Porcenta jes
31 El 64% de los 875 alumnos y alumnas de un colegio están matriculadosen Educación Secundaria. ¿Cuántos de ellos no son de Secundaria?
64% de 875 = 0,64 · 875 = 560 son de Secundaria.
875 – 560 = 315 no son de Secundaria.
Otra forma:
64% son de secundaria → 100% – 64% = 36% no son de Secundaria.
36% de 875 = 0,36 · 875 = 315 no son de Secundaria.
32 Un pantano contenía en enero un millón de metros cúbicos de agua y estaballeno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% de la capacidad, y en agosto,al 30%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua contenía en abril? ¿Y en agosto?
Abril: 1 000 000 · 0,8 = 800 000 m3 de agua
Agosto: 1 000 000 · 0,3 = 300 000 m3 de agua
7,530
dv
5 · 9060
300225
dv
Pág. 10
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
A B7,5 km
120 km/h 90 km/h
Página 62
33 El precio de un artículo sin IVA es de 725 €. Si he pagado 841 €, ¿qué por-centaje de IVA me han cargado?
725 · x = 841 → x = = 1,16
El porcentaje de IVA es del 16%.
34 Se han pagado 45 € por una entrada para un partido adquirida en la reventa.Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original, ¿cuánto costaba laentrada en taquilla?
x · 1,8 = 45 → x = = 25 €
35 Un litro de gasolina costaba en enero 0,88 €, pero ha sufrido dos subidas enlos últimos meses, la primera de un 5% y la segunda, un 4%. ¿Cuánto cuestaahora un litro de combustible?
Primera subida: 0,88 · 1,05 = 0,924 €
Segunda subida: 0,924 · 1,04 = 0,96096 ≈ 0,96 €
Un litro de combustible cuesta unos 0,96 €.
36 El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces eneste año. La primera un 15% y la segunda un 8%. Pero en el último trimes-tre ha bajado un 6%. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año?
1 + 0,15 = 1,15 ← primera subida
1 + 0,08 = 1,08 ← segunda subida
1 – 0,06 = 0,94 ← bajada
1,15 · 1,08 · 0,94 = 1,16748
Ha habido un subida del 16,748%.
37 De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el 15% afri-canos, el 25% americanos y el resto europeos. ¿Cuánto europeos viajan en elavión?
30% + 15% + 25% = 70% no son europeos.
100% – 70% = 30% son europeos.
30% de 240 = 0,30 · 240 = 72 viajeros son europeos.
38 Un cine tiene 520 butacas ocupadas, lo que supone el 65% del total. ¿Cuál esla capacidad del cine?
65% de x = 520 → x = 520 : 0,65 = 800 butacas hay en total.
451,8
841725
Pág. 11
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
39 Los resultados en tiros de tres puntos obtenidos por tres jugadores de balon-cesto han sido:
¿Cuántos intentos ha hecho cada uno?
Jugador A → 48,3% de x = 15 → x = 15 : 0,483 � 31 intentos
Jugador B → 45,5% de y = 20 → y = 20 : 0,455 � 44 intentos
Jugador C → 35% de z = 14 → z = 14 : 0,35 = 40 intentos
40 Calcula el coste final detodos estos artículos, te-niendo en cuenta la rebajaque se anuncia.
Rebaja del 15% → Pagamos 100% – 15% = 85%
Los precios ya rebajados serán:
• Pantalón → 85% de 54 = 0,85 · 54 = 45,9 €
• Chaqueta → 85% de 108 = 0,85 · 108 = 91,8 €
• Guantes → 85% de 22,4 = 0,85 · 22,4 = 19,04 €
• Calcetines → 85% de 4,28 = 0,85 · 4,28 = 3,638 � 3,64 €
• Zapatos → 85% de 62 = 0,85 · 62 = 52,7 €
41 He pagado 16,28 € por una camisa que estaba rebajada un 12%. ¿Cuántocostaba la camisa sin rebaja?
Rebaja del 12% → He pagado 100% – 12% = 88%
88% de x = 16,28 → x = 16,28 : 0,88 = 18,5 € costaba sin rebaja.
42 Un panadero vende el pan de un kilo a 2,10 € y la barra de cuarto de kilo a0,4 €.
Si ha decidido subir sus productos en 12%, ¿cuáles serán los nuevos precios?
Subida del 12% → Pagamos 100% + 12% = 112%
• Pan de 1 kg → 112% de 2,10 = 1,12 · 2,10 = 2,352 � 2,35 €
• Barra de kg → 112% de 0,4 = 1,12 · 0,4 = 0,448 � 0,45 €14
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
REBAJAS 15%
JUGADOR A B CTIROS CONSEGUIDOS
%
15 20 14
48,3 45,5 35
43 A María, en su factura del agua, le aplican un recargo del 10% sobre el costetotal por exceso de consumo, un descuento del 15%, también sobre el total,por ser empleada de la compañia suministradora, y a la cantidad resultante sele aplica un 16% de IVA. ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente si, según elcontador, la cuota era de 120 €?
120 € · 1,10 · 0,85 · 1,16 = 130,152 € ≈ 130,15 € tendrá que pagar.
In terés s imple
44 Calcular el beneficio obtenido de un capital de 5 000 € colocado al 2,5%anual durante 7 meses.
5 000 · 0,025 = 125 € de beneficio por un año.
� 72,92 € de beneficio por 7 meses.
45 Un agricultor compra una finca de 24 ha a 1,2 € el metro cuadrado, acor-dando saldar su deuda tres años más tarde con un interés del 3% anual. ¿Quécantidad deberá abonar al cabo de tres años?
24 ha = 24 hm2 = 240 000 m2
240 000 · 1,2 = 288 000 € costaba la finca.
288 000 · 0,03 = 8 640 € de interés anual ha de pagar.
8 640 · 3 = 25 920 € de interés debe pagar por los 3 años.
288 000 + 25 920 = 313 920 € deberá abonar al cabo de los 3 años.
46 ¿Qué beneficio obtiene un prestamista que cede un capital de 2 500 €, al12% anual, durante 45 días?
2 500 · 0,12 = 300 € de beneficio obtendría por 1 año.
= 36,99 € de beneficio obtiene por 45 días.
47 Un banco cobra un interés del 19% anual por los descubiertos en las cuentas.¿Qué coste tiene para un cliente haber dejado su cuenta con un déficit de75 € durante 15 días?
75 · 0,19 = 14,25 € le cobrarían por un año.
� 0,59 € le cuesta por 15 días.
48 ¿Qué renta mensual obtiene un inversionista que coloca un capital de18 500 €, al 6,25%, durante 30 días?
18 500 · 0,0625 = 1 156,25 € obtendría de beneficio por 1 año.
1 156,25 : 12 � 96,35 € obtiene de beneficio por un mes.
14,25 · 15365
300 · 45365
125 · 712
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
In terés compues to
49 ¿En cuánto se convertirá un capital de 80 000 €, colocado al 4% anual, si semantiene en el banco durante tres años sin retirar los intereses?
80 000 · 1,043 = 89 989,12 €
Página 63
50 Calcula el beneficio conseguido por un capital de 2 000 € colocados durante2 años al 5% de interés compuesto anual.
2 000 · 1,052 = 2 205 € habrá al cabo de dos años.
2 205 – 2 000 = 205 € de beneficio.
51 Se colocan en el banco 3 400 €, al 25% de interés compuesto anual, duran-te 3 años. ¿Qué cantidad se retirará al final del período?
3 400 · 1,0253 � 3 661,43 €
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
52 Justifica por qué al repartir una cantidad en partes proporcionales a 2, 3 y 5,se obtiene el mismo resultado que si se reparte en partes proporcionales a 4,6 y 10.
2 + 3 + 5 = 10. El reparto es , , de la cantidad.
4 + 6 + 10 = 20. El reparto es , , de la cantidad.
Y es: = , = , = .
53 Dos coches salen a la misma hora de dos poblaciones A y B, uno al en-cuentro del otro.
¿Cuál debe ser la razón de sus velocidades para que se encuentren en el puntomedio, M? ¿Y para que se encuentren en el punto K? ¿Y para que se encuen-tren en el punto H?
Para que se encuentren en M, sus velocidades han de ser iguales (distancias re-corridas iguales).
Para que se encuentren en K, (la distancia que recorre el que sale de A es
de la distancia que recorre el que sale de B) la velocidad de B ha de ser 4 ve-
ces la de A; o la de A, de la de B.14
14
1020
510
620
310
420
210
1020
620
420
510
310
210
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
A K M H B
Para que se encuentren en H, la razón de sus velocidades será:
= o =
54 Se quiere repartir una cantidad C en partes proporcionales a m, n y p. Es-cribe las fórmulas que expresan las partes Pm, Pn y Pp, en que quedará di-vidida dicha cantidad.
Pm = ; Pn = ; Pp =
55 Una cantidad C se ha repartido en partes proporcionales a tres números, a,b y c. Las partes obtenidas han sido C/2, C/3 y C/6. ¿Cuáles son los nú-meros a, b y c?
1ª– parte → = → a = 3
2ª– parte → = → b = 2
3ª– parte → → c = 1
56 Una cantidad, A, rebajada un 15%, se ha convertido en otra cantidad B deforma que A · k = B ¿Cuál es el valor de k ?
k = 0,85
57 Una cantidad, M, aumentada en un 5% se ha convertido en otra cantidad H,de forma que M · k = H. ¿Cuál es el valor de k?
k = 1,05
58 ¿Qué porcentaje es?
a) El 50% del 50% b) El 10% del 10% c) El 20% del 25%
d) El 80% del 20% e) El 20% del 120% f) El 50% del 200%
a) 50% del 50% → 0,5 · 0,5 = 0,25 → 25%
b) 10% del 10% → 0,1 · 0,1 = 0,01 → 1%
c) 20% del 25% → 0,2 · 0,25 = 0,05 → 5%
d) 80% del 20% → 0,8 · 0,2 = 0,16 → 16%
e) 20% del 120% → 0,2 · 1,2 = 0,24 → 24%
f) 50% del 200% → 0,5 · 2 = 1 → 100%
C6
2C6
C3
3C6
C2
C · pm + n + p
C · nm + n + p
C · mm + n + p
19
vB
vA
91
vA
vB
Pág. 15
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
59 ¿Cuál es el beneficio, I, obtenido al colocar en el banco un capital, C, du-rante 5 meses, con un interés del 4% anual?
I = = 0,0167C → El 1,67% de C
60 ¿Cuál es el beneficio obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante85 días, con un interés del 4% anual?
I = = 0,009315C → El 0,93% de C
PROFUNDIZA
61 Cinco camiones, haciendo 6 viajes al día, consiguen evacuar 600 m3 de tierraen 4 días. ¿Cuántos días tardarán 7 camiones en mover 3 500 m3 de tierra sidesescombran en un vertedero más próximo, lo que permite a cada camiónrealizar 10 viajes al día?
Tardarán 10 días
Otra forma:
5 · 6 = 30 viajes para 600 m3 un camión en 4 días.
30 · 4 = 120 viajes para 600 m3 un camión en 1 día.
600 : 120 = 5 m3 en un viaje en camión.
5 · 7 = 35 m3 en un viaje 7 camiones.
35 · 10 = 350 m3 en 10 viajes 7 camiones.
3 500 : 350 = 10 días tardarán 7 camiones, con 10 viajes al día, en desescombrar3 500 m3 de tierra.
C · 0,04 · 85365
C · 0,04 · 512
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
5 6 600 4
1 1 1 = 0,2
7 10 3 500 = 100,2 · 3 5007 · 10
4 · 5 · 6600
Nº– DE CAMIONES Nº– DE VIAJES AL DÍA m3 DE TIERRA Nº– DE DÍAS
PROPORCIONALIDAD INVERSA
PROP. INVERSA
PROP. DIRECTA
↓
→
→
62 Un albañil tarda 6 horas en enfoscar un muro. Un segundo albañil es capazde realizar ese mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarían en hacer-lo trabajando juntos?
1er– albañil → Tarda 6 horas → Hace en 1 hora.
2º– albañil → Tarda 4 horas → Hace en 1 hora.
Entre los dos hacen en 1 hora:
+ = + = del total
Por tanto, trabajando juntos tardarán:
hora = 2 horas 24 minutos
63 Un coche realiza el viaje desde la ciudad A hasta la ciudad B en 5 horas, yun camión realiza el recorrido contrario, de B a A en 7 horas. Si ambosparten simultáneamente, ¿cuánto tardarán en cruzarse?
Coche → Tarda 5 horas → del camino en 1 hora.
Camión → Tarda 7 horas → del camino en 1 hora.
Entre los dos recorren en 1 hora:
+ = + = del camino
Por tanto, tardarán en encontrarse:
horas = 2 horas 55 minutos
64 Una piscina tiene un grifo que la llena en 9 horas y un desagüe que la vacíaen 12 horas. ¿Cuánto tardaría en llenarse si por un descuido nos dejáramosabierto el desagüe?
Grifo → La llena en 9 horas → Llena de piscina en 1 hora.
Desagüe → La vacía en 12 horas → Vacía de piscina en 1 hora.
Si abrimos el grifo y el desagüe, en 1 hora se llena:
– = – = de piscina.
Por tanto, tardaría 36 horas en llenarse.
136
336
436
112
19
112
19
3512
1235
535
735
17
15
17
15
125
512
312
212
14
16
14
16
Pág. 17
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
65 Se depositan en un banco 72 000 € a un 8% anual y el banco descuenta un15% de los beneficios como retención fiscal.
a) ¿Cuál será el porcentaje neto de rendimiento de ese capital?
b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, ¿cuál será el benefi-cio obtenido al cabo de dos años?
a) 0,08 · 0,85 = 0,068 → 6,8% anual
b) 6,8 : 4 = 1,7% trimestral
72 000 · 1,0178 = 82 394,85 € tendremos al cabo de los dos años.
82 394,85 – 72 000 = 10 394,85 € de beneficio.
66 Calcula cuántos litros de una disolución de ácido sulfúrico al 80% hay queañadir a 5 litros de una disolución de ese mismo ácido, al 15%, para subir laconcentración al 20%.
0,2 (x + 5) = 0,8x + 0,75 → 0,2x + 1 = 0,8x + 0,75
0,25 = 0,6x → x = � 0,417 litros0,250,6
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Unidad 2. Problemas de proporcionalidad
2
x 80% 0,8x5 15% 0,15 · 5 = 0,75
x + 5 20% 0,2(x + 5) = 0,8x + 0,75
CANTIDAD (l ) % CANTIDAD DE ÁCIDO SULFÚRICO (l )
1ª– DISOLUCIÓN
2ª– DISOLUCIÓN
MEZCLA
Página 97
PRACTICA
Traducc ión a lenguaje a lgebra ico
1 Asocia a cada uno de los siguientes enunciados una de las expresiones alge-braicas:
a) A un número se le quita 7. 0,2x
b)El doble de un número más su cuadrado. 2x + 1
c) Un múltiplo de 3 menos 1. 2x + x2
d)El 20% de un número. 1,1x
e) Cuatro veces un número menos sus dos tercios. 4x –
f) El precio de un pantalón aumentado en un 10%. 3x – 1
g) Un número impar. x – 7
a) x – 7 b) 2x + x2 c) 3x – 1 d) 0,2x
e) 4x – f ) 1,1x g) 2x + 1
2 Llama x al ancho de lapizarra y expresa su alturaen cada caso:
a) La altura es la mitaddel ancho.
b)La altura es 20 cm me-nos que el ancho.
c) La altura es los tres cuartos del ancho.
d)La altura es un 20% menor de su ancho.
a) b) x – 20 c) d) 0,8x
3 Expresa con un monomio:
a) El perímetro de esta figura.
b)El área de la misma.
c) El volumen del cubo que se puede formar conesos seis cuadrados.
a) 14x b) 6x2 c) x3
3x4
x2
2x3
2x3
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
x
x
4 Traduce al lenguaje algebraico, empleando una sola incógnita:
a) Los tres quintos de un número menos 1.
b)La suma de tres números consecutivos.
c) Un múltiplo de 3 más su doble.
d)La suma de un número y su cuadrado.
e) El producto de un número por su siguiente.
a) x – 1
b) x + (x + 1) + (x + 2) = 3x + 3
c) 3x + 2 · (3x) = 3x + 6x = 9x
d) x + x2
e) x (x + 1) = x2 + x
5 (ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO).
6 Traduce al lenguaje algebraico, utilizando dos incógnitas:
a) Un número más la mitad de otro.
b)El cuadrado de la suma de dos números.
c) La diferencia de los cuadrados de dos números.
d)El doble del producto de dos números.
e) La semisuma de dos números.
a) x + b) (x + y)2 c) x2 – y2 d) 2xy e)
Operac iones con po l inomios
7 Indica el grado de cada uno de los siguientes monomios y di cuáles son seme-jantes:
a) –7x2 b) x c) ( x)2d) –6x
e) 7x3 f) x2 g) x · 4x2
a) grado 2 b) grado 1 c) grado 2 d) grado 1
e) grado 3 f ) grado 2 g) grado 3
Son semejantes: a) c) y f )b) y d)e) y g)
23
53
12
53
x + y2
y2
35
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
Página 98
8 Efectúa:
a) 5x2 – 3x2 – x2 b) –2x + 7x – 10x c) –x3 – 2x3 + 3x3
d) x – – x e) 3x – x – f) x2 – x2 +
a) 5x2 – 3x2 – x2 = x2
b) –2x + 7x – 10x = –5x
c) –x3 – 2x3 + 3x3 = 0
d)x – – x = (1 – – )x = x
e) 3x – x – = (3 – – )x = x
f ) x2 – x2 + = ( – 1 + )x2 = x2
9 Simplifica estas expresiones:
a) 2x3 – 5x + 3 – 1 – 2x3 + x2 b) (2x2 + 5x – 7) – (x2 – 6x + 1)
c) 3x – (2x + 8) – (x2 – 3x) d) 7 – 2(x2 + 3) + x (x – 3)
a) 2x3 – 5x + 3 – 1 – 2x3 + x2 = x2 – 5x + 2
b) (2x2 + 5x – 7) – (x2 – 6x + 1) = 2x2 + 5x – 7 – x2 + 6x – 1 = x2 + 11x – 8
c) 3x – (2x + 8) – (x2 – 3x) = 3x – 2x – 8 – x2 + 3x = –x2 + 4x – 8
d)7 – 2(x2 + 3) + x (x – 3) = 7 – 2x2 – 6 + x2 – 3x = –x2 – 3x + 1
10 Efectúa y reduce:
a) 3x2 · 5x + 2x (–3x2) b) x2 (– x3)c) – x2 d) –
a) 3x2 · 5x + 2x (–3x2) = 15x3 – 6x3 = 9x3
b) x2 (– x3) = – x5
c) – x2 = – = ( – ) x3 = – x3
d) – = 2x2 – x2 = x2x4
x26x3
3x
13
23
13
2x3
3x3
32x3
x3
3
25
23
35
x4
x26x3
3x2x3
x3
3
23
35
76
12
53
x2
253
2110
12
25
x2
25
415
13
25
13
2x5
x2
253
x2
25
13
2x5
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
11 Opera y simplifica:
a) (2x)3 – (3x)2x – 5x2(–3x + 1) b) ( x) (–4x) – (4x2 – 5)
c) (2x2 – x + 3)(x – 3) d) (–x2 + 3x – 5)(2x – 1)
a) (2x)3 – (3x)2x – 5x2 (–3x + 1) = 8x3 – 9x3 + 15x3 – 5x2 = 14x3 – 5x2
b) ( x) (–4x) – (4x2 – 5) = –5x2 – 2x2 + = –7x2 +
c) (2x2 – x + 3) (x – 3) = 2x3 – x2 + 3x – 6x2 + 3x – 9 = 2x3 – 7x2 + 6x – 9
d) (–x2 + 3x – 5) (2x – 1) = –2x3 + x2 + 6x2 – 3x – 10x + 5 =
= –2x3 + 7x2 – 13x + 5
12 Considera estos polinomios: A = x4 – 3x2 + 5x – 1; B = 2x2 – 6x + 3; C = 2x4 + x3 – x – 4. Calcula: A + B, A + C, A + B + C, A – B, C – B.
A = x4 – 3x2 + 5x – 1 A = x4 – 3x2 + 5x – 1
+ B = 2x2 – 6x + 3 + C = 2x4 + x3 – x – 4
A + B = x4 – x2 – x + 2 A + C = 3x4 + x3 – 3x2 + 4x – 5
A + B = x4 – x2 – x + 2 A = x4 – 3x2 + 5x – 1
+ C = 2x4 + x3 – x – 4 – B = – 2x2 + 6x – 3
A + B + C = 3x4 + x3 – x2 – 2x – 2 A – B = x4 – 5x2 + 11x – 4
C = 2x4 + x3 – x – 4
– B = – 2x2 + 6x – 3
C – B = 2x4 + x3 – 2x2 + 5x – 7
13 Multiplica:
a) (x2 – 5x – 1) · (x – 2)
b) (3x3 – 5x2 + 6) · (2x + 1)
c) (2x2 + x – 3) · (x2 – 2)
a) (x2 – 5x – 1) · (x – 2) = x3 – 7x2 + 9x + 2
x2 – 5x – 1
x – 2
–2x2 + 10x + 2
x3 – 5x2 – x
x3 – 7x2 + 9x + 2
52
52
12
34
53
12
34
53
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
b) (3x3 – 5x2 + 6) · (2x + 1) = 6x4 – 7x3 – 5x2 + 12x + 6
3x3 – 5x2 + 6
2x + 1
3x3 – 5x2 + 6
6x4 – 10x3 + 12x
6x4 – 7x3 – 5x2 + 12x + 6
c) (2x2 + x – 3) · (x2 – 2) = 2x4 + x3 – 7x2 – 2x + 6
2x2 + x – 3
x2 – 2
– 4x2 – 2x + 6
2x4 + x3 – 3x2
2x4 + x3 – 7x2 – 2x + 6
14 Desarrolla los siguientes cuadrados:
a) (x + 7)2 b) (x – 11)2 c) (2x + 1)2
d) (3x – 4)2 e) ( x – 5)2f) ( + 4x)2
a) (x + 7)2 = x2 + 14x + 49 b) (x – 11)2 = x2 – 22x + 121
c) (2x + 1)2 = 4x2 – 4x + 1 d) (3x – 4)2 = 9x2 – 24x + 16
e) ( x – 5)2= x2 – 4x + 25 f ) ( + 4x)2
= + x + 16x2
15 Extrae factor común:
a) 5x + 10x2
b) –x2 + x – 3x3
c) 3x2 – 6x + 9x2
d) 2x3 – x2 + 2x
e) a (x – 1) + b (x – 1) + c (x – 1)
f) x2(x – 1) + x2(x – 2) + x2(x – 3)
g) 2x ( y – 1) + x ( y – 1) – x ( y – 1)
a) 5x + 10x2 = 5x (1 – 2x)
b) –x2 + x – 3x3 = x (–x + 1 – 3x2)
c) 3x2 – 6x + 9x2 = 12x2 – 6x = 6x (2x – 1)
43
165
425
25
425
25
25
25
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
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d)2x3 – x2 + 2x = 2x (x2 – x + 1)e) a (x – 1) + b (x – 1) + c (x – 1) = (x – 1) (a + b + c)
f ) x2(x – 1) + x2(x – 2) + x2(x – 3) = x2(x – 1 + x – 2 + x – 3) = x2(3x – 6)
g) 2x (y – 1) + x (y – 1) – x (y – 1) = 2x (y – 1)
16 Desarrolla los siguientes productos notables:
a) (x – 3y)2 b) ( – )2c) (3x + 2x2)2
d) (x – )2e) ( + x2)2
f) ( x – y)2
a) (x – 3y)2 = x2 – 6xy + 9y2 b) ( – )2= – +
c) (3x + 2x2)2 = 9x2 + 12x3 + 4x4 d) (x – )2= x2 – 1 +
e) ( + x2)2= + 5x3 + x4 f ) ( x – y)2
= x2 – xy + y2
17 Multiplica:
a) (x + 7)(x – 7) b) (1 + x) (1 – x) c) (3 – 4x) (3 + 4x)
d) (2x – 1)(2x + 1) e) ( – 2x2) ( + 2x2) f) (1 – ) (1 + )a) (x + 7) (x – 7) = x2 – 49 b) (1 + x) (1 – x) = 1 – x2
c) (3 – 4x) (3 + 4x) = 9 – 16x2 d) (2x – 1) (2x + 1) = 4x2 – 1
e) ( – 2x2) ( + 2x2) = – 4x4 f ) (1 – ) (1 + ) = 1 –
18 Transforma en diferencia de cuadrados:
a) (3x + ) (3x – ) b) (x2 + 1)(x2 – 1)
c) ( + y) ( – y) d) (x2 – x) (x2 + x)
a) (3x + ) (3x – ) = 9x2 – b) (x2 + 1) (x2 – 1) = x4 – 1
c) ( + y) ( – y) = – y2 d) (x2 – x) (x2 + x) = x4 – x2x2
4x2
x2
14
12
12
x2
x2
12
12
1x2
1x
1x
19
13
13
1x
1x
13
13
116
34
94
14
32
25x2
45x2
14x2
12x
y2
4xy3
x2
9y2
x3
14
32
5x2
12x
y2
x3
23
43
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Unidad 4. El lenguaje algebraico
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19 Reduce la siguiente expresión: (x – 1) – (x + 1) +
• Quitamos paréntesis: – +
• Reducimos a común denominador:
• Efectuamos las operaciones indicadas: =
20 Reduce las siguientes expresiones:
a) – 2(2 – 3x) + 2(–x + 3)
b) – –
c) – –
a) – 2(2 – 3x) + 2(–x + 3) = – 4 + 6x – 2x + 6 =
= + 4x + 2 = =
=
b) – – = – – =
= = =
= =
c) – – = – – =
= =
21 Reduce las siguientes expresiones:
a) (x + 1) (x – 1) – 3 (x + 2) – x (x + 2)
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – x (x + 3)
c) – – 1 + x4
5 – x5
5 + x4
47x + 25984
42x + 294 – 84 + 12x – 7x + 4984
7x – 49 84
84 – 12x84
42x + 29484
x – 712
7 – x7
x + 72
–2x + 76
2(–2x + 7)12
–4x + 1412
9x + 9 – 12x + 8 – x – 312
x + 312
12x – 812
9x + 912
x + 312
3x – 23
3x + 34
11x + 132
3x + 9 + 8x + 42
3x + 92
3x + 92
3(x + 3)2
x – 712
7 – x7
x + 72
x + 312
3x – 23
3x + 34
3(x + 3)2
8x – 1330
18x – 18 – 10x – 10 + 1530
6(3x – 3) – 10(x + 1) + 1530
12
x + 13
3x – 35
12
13
35
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d) (x + 3) – (x + 1) + (x + 3)
e) (x – ) (x + ) – (x2 + 1)
f) (x + 1)2 – (x – 2)(x – 3) – x
g) + –
h) ( – 2)2– +
i) + [ – ( + ) – ]a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) – x (x + 2) = x2 – 1 – 3x – 6 – x2 – 2x = –5x – 7
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 – x(x + 3) = 4x2 + 12x + 9 – (4x2 – 12x + 9) – x2 – 3x =
= 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 12x – 9 – x2 – 3x =
= –x2 + 21x
c) – – = – – =
= = =
d) (x + 3) – (x + 1) + (x + 3) = – + =
= – + =
= – + =
= =
e) (x – ) (x + ) – (x2 + 1) = x2 – – x2 – = x2 –
f ) (x + 1)2 – (x – 2)(x – 3) – x = x2 + 2x + 1 – (x2 – 5x + 6) – x =
= x2 + 2x + 1 – x2 + 5x – 6 – x = x – 5234
54
54
54
49
23
13
13
19
13
13
13
11x + 4512
8x + 24 – 6x – 6 + 9x + 2712
9x + 2712
6x + 612
8x + 2412
3x + 94
x + 12
2x + 63
3(x + 3)4
(x + 1)2
2(x + 3)3
34
12
23
x5
4x20
25 + 5x – 20 + 4x – 5 – 5x20
5 + 5x20
20 – 4x20
25 + 5x20
1 + x4
5 – x5
5 + x4
52
16
x4
x2
32
58
x – 14
x + 18
x2
32
(3x – 2)2
8x (x – 2)
4x (x – 3)
2
54
13
13
13
34
12
23
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g) + – = + – =
= + – =
= =
=
h) ( – 2)2– + = ( – 2x + 4) – + =
= – 3x + 6 – + =
= – + – + =
= =
=
i) + [ – ( + ) – ] = + [ – – – ] =
= + – – – = + – – – =
Fracc iones a lgebra icas
22 Suma estas fracciones algebraicas: +
• El denominador común será x (x + 3)
• + = = = =
23 Reduce a denominador común, suma y simplifica si es posible:
a) + b) + –
c) – d) –
e) + f) 2x +
g) – x h) + 5x + 1
1 – xx
2xx + 1
3x – 1
x – 1x2
3 – xx
52(x – 1)
xx + 1
3x2
52x
53x
12x
3x
2x2
1x
7x + 6x2 + 3x
2x + 6 + 5xx (x + 3)
2(x + 3) + 5xx (x + 3)
2(x + 3) + 5xx (x + 3)
5x + 3
2x
5x + 3
2x
3x – 278
308
28
3x8
6x8
58
154
14
3x8
3x4
58
52
16
x4
x2
32
58
52
16
x4
x2
32
58
3x2 – 23x + 458
3x2 – 24x + 48 – x – 1 + 2x – 28
2x – 28
x + 18
488
24x8
3x2
8
x – 14
x + 18
3x2
8
x – 14
x + 18
x2
432
x – 14
x + 18
x2
32
–3x2 – 4x – 48
4x2 – 12x + 2x2 – 4x – 9x2 + 12x – 48
9x2 – 12x + 48
2x2 – 4x8
4x2 – 12x8
9x2 – 12x + 48
x2 – 2x4
x2 – 3x2
(3x – 2)2
8x (x – 2)
4x (x – 3)
2
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a) + = + =
b) + – = + – =
c) – = – =
d) – = – = = x2 – 1
e) + = + = =
f ) 2x + = + = + =
g) – x = – = – = =
h) + = + = =
24 Simplifica las siguientes fracciones algebraicas:
a) b) c)
d) e) f)
a) = b) =
c) = = x – 3 d) = =
e) = f ) = =
PIENSA Y RESUELVE
25 Expresa como cuadrado de una suma o de una diferencia:
a) x2 + 4x + 4 b) x2 – 10x + 25
c) x2 + 9 + 6x d) x2 + 49 – 14x
e) 4x2 + 4x + 1 f) 4x2 + 9 – 12x
g) 9x2 – 12x + 4 h) x4 + 4x2 + 4
x + 2x
x (x + 2)x2
x2 + 2xx2
1x + 2
x + 2(x + 2)2
x – 12
x (x – 1)2x
x2 – x2x
x (x – 3)x
x2 – 3xx
x3
x (x + 1)3(x + 1)
x3
5x2
15x
x2 + 2xx2
x + 2(x + 2)2
x2 – x2x
x2 – 3xx
x (x + 1)3(x + 1)
5x2
15x
–x2 + 5x + 1x2 + x
1 – x2 + 5xx (x + 1)
5xx (x + 1)
(1 – x) (x + 1)x (x + 1)
5x + 1
1 – xx
–x2 + xx + 1
2x – x2 – xx + 1
x2 + xx + 1
2xx + 1
x (x + 1)x + 1
2xx + 1
2xx + 1
2x2 – 2x + 3x – 1
3x – 1
2x2 – 2xx – 1
3x – 1
2x (x – 1)x – 1
3x – 1
–x2 + 4x – 1x2
3x – x2 + x – 1x2
x – 1x2
3x – x2
x2x – 1
x23 – x
x
4x2 – 7x – 52
5(x + 1)2
2x (x – 1)2
52(x – 1)
xx + 1
5x – 62x2
62x2
5x2x2
3x2
52x
116x
106x
36x
186x
53x
12x
3x
x + 2x2
2x2
xx2
2x2
1x
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a) x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 b) x2 – 10x + 25 = (x – 5)2
c) x2 + 9 + 6x = (x + 3)2 d) x2 + 49 – 14x = (x – 7)2
e) 4x2 + 4x + 1 = (2x + 1)2 f ) 4x2 + 9 – 12x = (2x – 3)2
g) 9x2 – 12x + 4 = (3x – 2)2 h) x4 + 4x2 + 4 = (x2 + 2)2
26 Expresa como producto de una suma por una diferencia:
a) 9x2 – 25 b) 1 – x2 c) 4x2 – 9
d) 16x2 – 1 e) x4 – 16 f) 49 – 4x2
a) 9x2 – 25 = (3x + 5)(3x – 5) b) 1 – x2 = (1 + x) (1 – x)
c) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) 16x2 – 1 = (4x + 1)(4x – 1)
e) x4 – 16 = (x2 + 4)(x2 – 4) f ) 49 – 4x2 = (7 + 2x) (7 – 2x)
Página 100
27 Transforma en producto esta expresión: x3 + 2x2 + x.
• Sacamos factor común: x (x2 + 2x + 1)
• El polinomio x2 + 2x + 1 es el cuadrado de una suma.
Por tanto, x3 + 2x2 + x = x (x2 + 2x + 1) = x (x + 1)2
28 Transforma en producto:
a) x3 + 6x2 + 9x b) x4 – 16x2
c) 4x3 + 4x2 + x d) x (x – 1) + x (x + 2)
e) x3 – x f) 3x4 – 24x3 + 48x2
a) x3 + 6x2 + 9x = x (x2 + 6x + 9) = x (x + 3)2
b) x4 – 16x2 = x2(x2 – 16) = x2(x + 4)(x – 4)
c) 4x3 + 4x2 + x = x (4x2 + 4x +1) = x (2x + 1)2
d)x (x – 1) + x (x + 2) = x (x – 1 + x + 2) = x (2x + 1)
e) x3 – x = x (x2 – 1) = x (x + 1)(x – 1)
f ) 3x4 – 24x3 + 48x2 = 3x2(x2 – 8x + 16) = 3x2(x – 4)2
29 Descompón en producto de dos factores:
a) x2 – 9 b) 1 – a2
c) 4x2 – 9 d) x2 –
a) x2 – 9 = (x + 3)(x – 3) b) 1 – a2 = (1 + a) (1 – a)
c) 4x2 – 9 = (2x + 3)(2x – 3) d) x2 – = (x + ) (x – )45
45
1625
1625
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
30 Simplifica:
a) b) c)
d) e) f)
a) = =
b) = =
c) = = x – 2
d) = =
e) = =
f ) = =
31 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en esta figura.
Es un triángulo de base x y de altura x.
Su área es =
Podemos resolverlo de otra forma:
Dividimos el cuadrado en cuatro partes iguales.El área del triángulo es la mitad de la del cuadrado:
32 Expresa con un monomio el área de la parte coloreada en estas figuras:
a) b) c)
a) x2 b) c) x238
x2
259
x2
2
x2
2x · x
2
x – 1x + 1
(x – 1)2
(x + 1)(x – 1)x2 – 2x + 1
x2 – 1
xx + 3
x (x – 3)(x + 3)(x – 3)
x2 – 3xx2 – 9
1x + 5
x – 5(x + 5)(x – 5)
x – 5x2 – 25
(x + 2)(x – 2)x + 2
x2 – 4x + 2
x + 2x + 3
2x (x + 2)2x (x + 3)
2x2 + 4x2x2 + 6x
32
3(x – 2)2(x – 2)
3x – 62x – 4
x2 – 2x + 1x2 – 1
x2 – 3xx2 – 9
x – 5x2 – 25
x2 – 4x + 2
2x2 + 4x2x2 + 6x
3x – 62x – 4
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
x
x
x
x
x
x
x
x
33 Escribe el área y el perímetro de estas figuras utilizando la x y los númerosque aparezcan en ellas:
a) b)
a) Perímetro = 5 + x + (5 – x) + 2 + x + (2 + x) = 2x + 14
Área = 5x + 2x = 7x
b) Perímetro = 7 + x + 7 + x + 3 + 3x + 3 + x = 6x + 20
Área = 7x + 3 · 3x = 7x + 9x = 16x
34 Comprueba que el área de este trapecio es A = 2xy.
• Sabemos que el área del trapecio es:
A = · h
En esta fórmula, sustituye B por 3x, b por x, h por y, y simplifica paraobtener la expresión dada.
A = · y = · y = 2xy
Página 101
35 En el trapecio del problema anterior, expresa la diagonal mayor del trapecioutilizando x e y.
La diagonal, d, es la hipotenusa de untriángulo rectángulo de catetos 3x e y.Por tanto, aplicando el teorema de Pitágo-ras, tenemos que:
d = = √9x2 + y2√(3x)2 + y2
4x2
3x + x2
B + b2
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
x
2
5
x
x
3
7
x
y
3x
x
y
3x
d
36 Calcula el área y la diagonal mayor del trapecio anterior en estos casos:
a) x = 5, y = 3 b) x = 2,5; y = 4,2
a) Área = 2xy = 2 · 5 · 3 = 30
Diagonal mayor = = = = � 15,30
b) Área = 2xy = 2 · 2,5 · 4,2 = 21
Diagonal mayor = = = =
= � 8,60
37 Expresa cada enunciado con una identidad y pon ejemplos para comprobarlas:
a) La raíz cuadrada del producto de dos números es igual al producto de lasraíces cuadradas de los factores.
b) El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia con esamisma base, que tiene como exponente la diferencia de los exponentes deldividendo y del divisor.
c) La suma de dos números por su diferencia es igual a la diferencia de loscuadrados de los números.
a) = ·
Por ejemplo: x = 4, y = 25 →
b) = xm – n
Por ejemplo: m = 5, n = 3, x = 2 →
c) (x + y) (x – y) = x2 – y2
Por ejemplo: x = 3, y = 1 →
38 Halla, en cada caso, cuál es el polinomio Q(x) que hay que sumar aP (x) = 5x2 – 3x + 2 para obtener como resultado R(x):
a) R(x) = 5x – 1 b) R(x) = –4x2
c) R(x) = 10 d) R(x) = x3 – 2x2
P(x) + Q(x) = R(x) → Q(x) = R(x) – P(x)
a) Q(x) = (5x – 1) – (5x2 – 3x + 2) = 5x – 1 – 5x2 + 3x – 2 = –5x2 + 8x – 3
b) Q(x) = –4x2 – (5x2 – 3x + 2) = –4x2 – 5x2 + 3x – 2 = –9x2 + 3x – 2
(x + y)(x – y) = (3 + 1)(3 – 1) = 4 · 2 = 8x2 – y2 = 32 – 12 = 9 – 1 = 8
25 32–– = –– = 423 825 – 3 = 22 = 4
xm
xn
√—x · y = √
—4 · 25 = √
—100 = 10
√–x · √
–y = √
–4 · √
––25 = 2 · 5 = 10
√y√x√x · y
√73,89
√56,25 + 17,64√9 · 6,25 + 17,64√9x2 + y2
√234√225 + 9√9 · 25 + 9√9x2 + y2
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
c) Q(x) = 10 – (5x2 – 3x + 2) = 10 – 5x2 + 3x – 2 = –5x2 + 3x + 8
d) Q(x) = (x3 – 2x2) – (5x2 – 3x + 2) = x3 – 2x2 – 5x2 + 3x – 2 = x3 – 7x2 + 3x – 2
PROFUNDIZA
39 ¿Cuánto debe valer x paraque al sustituirla en cadauna de las casillas sea este uncuadrado mágico?
☛ La suma de las filas, de las columnas y de las diagonales debe ser la misma.
Las filas suman
Y han de valer todas lo mismo.
Por eso, debemos tener x = 3.
Comprobando con las filas, con las columnas y con las diagonales, vemos quese cumple que su suma es siempre 15.
40 Expresa el área de estas figuras mediante un polinomio:
a)
b)
1ª-) 5x2ª-) 3x + 63ª-) 6x – 3
Pág. 15
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
x – 1 3x – 2 4 – (1 – x)
3x 10 – (x + 2) x – 2
x + 1 2x – 3 3x – 1
x
x
x
x
2x
10
3
a)
El área del triángulo es:
El área del cuadrado es: x2
Luego el área total es: A = + x2
b)
El área de I es: · x =
El área de II es: 10x
Por tanto, el área total será: A = + 10x = =
41 Expresa el área total y el volumen de estos cuerpos geométricos mediante unpolinomio:
a) Área = 2 · x2 + 4 · x (x + 3) = 2x2 + 4x2 + 12x = 6x2 + 12x
Volumen = x ·x · (x + 3) = x2(x + 3) = x3 + 3x2
b) Área = 2 · 2x · (x – 1) + 2 · 3x · (x – 1) + 2 · 2x · 3x =
= 4x (x – 1) + 6x (x – 1) + 12x2 = 4x2 – 4x + 6x2 – 6x + 12x2 =
= 22x2 – 10x
Volumen = 2x · (x – 1) · 3x = 6x2(x – 1) = 6x3 – 6x2
x2 + 30x2
10x + x2 + 202
10x + x2
2
10x + x2
210 + x
2
3x2
x · 32
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 4. El lenguaje algebraico
4
x
x
3
x
x
x
2x
10
II
I
2x
3x
x – 1
x
x
x + 3
Página 114
PRACTICA
1 Comprueba cuál de los números 1, 2 ó 4 es la solución de las siguientes ecua-ciones:
a) (x – 1) – (x + 1) + = (x – 1) +
b) + = 3
c) (1 – x)3 – 4x = –9
d) 21– x =
a) x = 1:
x = 1 no es solución.
x = 2:
x = 2 no es solución.
x = 4:
x = 4 sí es solución.
b) x = 1:
+ = + = ≠ 3 → x = 1 no es solución.
x = 2:
+ = + = 2 + 1 = 3 → x = 2 sí es solución.
x = 4:
+ = + = ≠ 3 → x = 4 no es solución.4615
46
125
44 + 2
3 · 44 + 1
44
63
42 + 2
3 · 22 + 1
176
43
32
41 + 2
3 · 11 + 1
3 1 1 9 5 1 19—(4 – 1) – —(4 + 1) + — = — – — + — = —5 3 2 5 3 2 301 2 1 2 19—(4 – 1) + — = — + — = —6 15 2 15 30
3 1 1 3 1 1—(2 – 1) – —(2 + 1) + — = — – 1 + — = —5 3 2 5 2 101 2 1 2 3—(2 – 1) + — = — + — = —6 15 6 15 10
3 1 1 –2 1 1—(1 – 1) – —(1 + 1) + — = — + — = – —5 3 2 3 2 61 2 2—(1 – 1) + — = —6 15 15
18
4x + 2
3xx + 1
215
16
12
13
35
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
c) x = 1:
(1 – 1)3 – 4 · 1 = –4 ≠ –9 → x = 1 no es solución.
x = 2:
(1 – 2)3 – 4 · 2 = –1 – 8 = –9 → x = 2 sí es solución.
x = 4:
(1 – 4)3 – 4 · 4 = –27 – 16 = –43 ≠ –9 → x = 4 no es solución.
d) x = 1:
21 – 1 = 20 = 1 ≠ → x = 1 no es solución.
x = 2:
21 – 2 = 2–1 = ≠ → x = 2 no es solución.
x = 4:
21 – 4 = 2–3 = → x = 4 sí es solución.
2 Resuelve mentalmente la siguiente ecuación y explica el proceso seguido:
– 11 = 7
• tiene que ser igual a 18 (ya que 18 – 11 = 7).
• (x + 1)2 tiene que ser igual a 36 (porque = 18).• Las soluciones son:
x + 1 puede ser igual a 6 → x = 5
x + 1 puede ser igual a –6 → x = –7
3 Resuelve mentalmente y explica el proceso seguido:
a) = 1 b) 7 – = 2
c) + + = 3 d) (x – 1)3 = 8
e) (x – 2)2 = 81 f) = 40
g) 3x –5 = 9 h) 5x –5 + 5 = 30
i) = 5 j) = 3√2x – 1√x + 13
x4 – 12
1x
1x
1x
x + 43
3x – 54
362
(x + 1)2
2
(x + 1)2
2
18
18
12
18
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
a) = 1 → 3x – 5 = 4 → 3x = 9 → x = 3
b) 7 – = 2 → = 5 → x + 4 = 15 → x = 11
c) + + = 3 → = 3 → x = 1
d) (x – 1)3 = 8 → x – 1 = 2 → x = 3
e) (x – 2)2 = 81
f ) = 40 → x4 – 1 = 80 → x4 = 81
g) 3x – 5 = 9 → x – 5 = 2 → x = 7
h) 5x – 5 + 5 = 30 → 5x – 5 = 25 → x – 5 = 2 → x = 7
i) = 5 → x + 13 = 25 → x = 12
j) = 3 → 2x – 1 = 9 → 2x = 10 → x = 5
4 Resuelve la ecuación 3x (2x – 5)(x + 4) = 0.
• Para que un producto sea 0, es necesario que alguno de los factores sea 0.
• Las soluciones son:
3x = 0 → x = 0
2x – 5 = 0 → x =
x + 4 = 0 → x = –4
5 Resuelve, como en el ejercicio anterior, las siguientes ecuaciones:
a) (x – 5)(x + 2) = 0 b) x(3x – 4) = 0 c) 3(x – 1)2 = 0 d) = 0
a) (x – 5)(x + 2) = 0
b) x (3x – 4) = 0
c) 3(x – 1)2 = 0 → (x – 1)2 = 0 → x – 1 = 0 → x = 1
d) = 0 → (2x – 1)2 = 0 → 2x – 1 = 0 → 2x = 1 → x = 12
(2x – 1)2
3
x = 03x – 4 = 0 → 3x = 4 → x = 4/3
x – 5 = 0 → x = 5x + 2 = 0 → x = –2
(2x – 1)2
3
52
√2x – 1
√x + 13
x = 3x = –3
x4 – 12
x – 2 = 9 → x = 11x – 2 = –9 → x = –7
3x
1x
1x
1x
x + 43
x + 43
3x – 54
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
6 Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba la solución:
a) 12x – 8 = 34 + 5x
b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)
c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x
d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)
a) 12x – 8 = 34 + 5x → 12x – 5x = 34 + 8
7x = 42 → x = = 6 → x = 6
Comprobación:
Coinciden → x = 6 es solución.
b) 4(2 – x) – (4 – x) = 7(2x + 3)
8 – 4x – 4 + x = 14x + 21 → –4x + x – 14x = 21 – 8 + 4
–17x = 17 → x = –1
Comprobación:
c) 2[x + 3(x + 1)] = 5x → 2[x + 3x + 3] = 5x
2[4x + 3] = 5x → 8x + 6 = 5x → 8x – 5x = –6
3x = –6 → x = –2
Comprobación:
Coinciden → x = –2 es solución.
d) 5(x – 2) – 2(x – 5) = 2x – (12 + 3x)
5x – 10 – 2x + 10 = 2x – 12 – 3x
5x – 2x – 2x + 3x = –12 + 10 – 10
4x = –12 → x = –3
Comprobación:
Coinciden → x = –3 es solución.
5(–3 – 2) – 2 (–3 – 5) = 5 (–5) – 2 (–8) = –25 + 16 = –9
2(–3) – (12 + 3(–3)) = –6 – (12 – 9) = –6 – 3 = –9
2[–2 + 3(–2 + 1)] = 2[–2 + 3(–1)] = 2[–2 – 3] = 2 · [–5] = –10
5 · (–2) = –10
Coinciden → x = –1es solución.
4(2 – (–1)) – (4 – (–1)) = 4 · 3 – 5 = 12 – 5 = 77(2 · (–1) + 3) = 7(–2 + 3) = 7 · 1 = 7
12 · 6 – 8 = 72 – 8 = 6434 + 5 · 6 = 34 + 30 = 64
427
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
7 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + x = x – → + = x –
+ = – → 3 + 2x = 6x – 1
2x – 6x = –1 – 3 → –4x = –4 → x = 1
b) = → =
9x – 9 = 4x + 16 → 9x – 4x = 16 + 9
5x = 25 → x = 5
c) – 2(2 – 3x) = 8x – 1 – 2(x + 3)
– 4 + 6x = 8x – 1 – 2x – 6
3x + 9 – 8 + 12x = 16x – 2 – 4x – 12
3x + 12x – 16x + 4x = –2 – 12 – 9 + 8
3x = –15 → x = –5
d) – = +
– = +
9x + 9 – 12x + 8 = 2 + x + 3
9x – 12x – x = 2 + 3 – 9 – 8
–4x = –12 → x = 3
e) – = + 7
– = +
6x + 42 – 14 + 2x = x – 7 + 84
6x + 2x – x = –7 + 84 – 42 + 14
7x = 49 → x = 7
8412
x – 712
14 – 2x12
6x + 4212
x – 712
7 – x6
x + 72
x + 312
212
12x – 812
9x + 912
x + 312
16
3x – 23
3x + 34
3x + 92
3(x + 3)2
4x + 1612
9x – 912
x + 43
3x – 34
16
6x6
2x6
36
16
x3
12
16
13
12
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
f ) – = – 1
– = –
25 + 5x – 20 + 4x = 5 + 5x – 20
5x + 4x – 5x = 5 – 20 – 25 + 20
4x = –20 → x = –5
Página 115
8 Resuelve estas ecuaciones:
a) (x + 3) – (x + 1) = 1 – (x + 3)
b) – 2(x – ) + 4x = 2x – (4x – 3)
c) + [ x – ( x + ) – ] = (x – ) – x
a) (x + 3) – (x + 1) = 1 – (x + 3)
– = 1 –
– = 1 –
– = –
8x + 24 – 6x – 6 = 12 – 9x – 27
8x – 6x + 9x = 12 – 27 – 24 + 6
11x = –33 → x = –3
b) – 2 (x – ) + 4x = 2x – (4x – 3)
– 2x + + 4x = 2x – + 1
2 + 2x = + 1 → 6 + 6x = 2x + 3
6x – 2x = 3 – 6 → 4x = –3 → x = –34
2x3
4x3
32
12
13
34
12
9x + 2712
1212
6x + 612
8x + 2412
3x + 94
(x + 1)2
2x + 63
3(x + 3)4
(x + 1)2
2(x + 3)3
34
12
23
13
34
52
16
14
12
32
58
13
34
12
34
12
23
2020
5 + 5x20
20 – 4x20
25 + 5x20
1 + x4
5 – x5
5 + x4
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
c) + [ x – ( x + ) – ] = (x – ) – x
+ [ – – – ] = – – x
+ [ – – – ] = – – x
+ [ ] = – – x
+ = – – x
+ = – –
15 + 9x – 96 = 18x – 6 – 24x
9x – 18x + 24x = –6 – 15 + 96
15x = 75 → x = 5
9 Comprueba que las siguientes ecuaciones son de primer grado y halla su so-lución:
a) (x + 1) (x – 1) – 3(x + 2) = x (x + 2) + 4
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 + 1)
c) (x – ) (x + ) – x (x + ) = (x – 2)
d) (x + 1)2 – (x + 2) (x – 3) + x – x =
a) (x + 1)(x – 1) – 3(x + 2) = x (x + 2) + 4
x2 – 1 – 3x – 6 = x2 + 2x + 4
–3x – 2x = 4 + 1 + 6
–5x = 11 → x = → x = –
b) (2x + 3)2 – (2x – 3)2 = x (x + 3) – (x2 + 1)
4x2 + 12x + 9 – (4x2 – 12x + 9) = x2 + 3x – x2 – 1
4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 12x – 9 = 3x – 1
24x = 3x – 1 → 24x – 3x = –1 → 21x = –1 → x = –121
115
11–5
254
92
54
13
16
13
13
24x24
624
18x24
9x – 9624
1524
14
3x4
9x – 9624
58
14
3x4
3x – 3212
32
58
14
3x4
3012
212
3x12
6x12
32
58
14
3x4
52
16
x4
x2
32
58
13
34
52
16
14
12
32
58
Pág. 7
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
c) (x – ) (x + ) – x (x + ) = (x – 2)
x2 – – x2 – = –
– – = – → – = –
–3x – 6x = 2 – 12 → –9x = –10 → x =
d) (x + 1)2 – (x + 2)(x – 3) + x – x =
x2 + 2x + 1 – (x2 – x – 6) + – =
x2 + 2x + 1 – x2 + x + 6 + – =
3x + 7 + – =
+ + – =
12x + 28 + 5x – 18x = 25
12x + 5x – 18x = 25 – 28
–x = –3 → x = 3
10 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado, sin utilizar la fórmula deresolución:
a) 7x2 – 21x = 0 b) x + 2x2 = 0
c) 2x2 – 7x = 0 d) x2 + 4x = 0
e) x = 4x2 f) 8x2 – 18 = 0
g) 4x2 – 1 = 0 h) 3x2 – 6 = 0
i) 100x2 – 16 = 0 j) 2x2 + 50 = 0
a) 7x2 – 21x = 0 → 7x (x – 3) = 0 →
b) x + 2x2 = 0 → x (1 + 2x) →x = 0
11 + 2x = 0 → 2x = –1 → x = – ––
2
7x = 0 → x = 0x – 3 = 0 → x = 3
25
254
18x4
5x4
284
12x4
254
9x2
5x4
254
9x2
5x4
254
9x2
5x4
254
92
54
109
1218
218
6x18
–3x18
23
19
x3
x6
23
x3
x6
19
13
16
13
13
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
c) 2x2 – 7x = 0 → x (2x – 7) = 0 →
d) x2 + 4x = 0 → x ( x + 4) = 0 →
e) x = 4x2 → 4x2 – x = 0 → x (4x – 1) = 0 →
→
f ) 8x2 – 18 = 0 → 8x2 = 18 → x2 = = → x = ± =
g) 4x2 – 1 = 0 → 4x2 = 1 → x2 = → x = ± =
h) 3x2 – 6 = 0 → 3x2 = 6 → x2 = 2 → x = ± =
i) 100x2 – 16 = 0 → 100x2 = 16 → x2 = →
→ x = ± =
j) 2x2 + 50 = 0 → 2x2 = –50 → x2 = –25 → x = ±
No tiene solución.
11 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) x2 – 9x + 14 = 0 b) 4x2 – 4x + 1 = 0
c) x2 – 6x + 10 = 0 d) 1 – x (x – 3) = 4x – 1
e) (x + 1)2 – 3x = 3
√–25
–4 –2x = — = —
10 54 2
x = — = —10 5
√ 16100
16100
x = –√—2
x = √—2
√2
–1x = —
21
x = —2
√ 1 4
14
–3x = —
23
x = —2
√ 9 4
94
188
x = 01
4x – 1 = 0 → 4x = 1 → x = ––4
x = 02x–– + 4 = 0 → 2x = –20 → x = –105
25
25
x = 07
2x – 7 = 0 → 2x = 7 → x = ––2
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
f) (2x – 3)(2x + 3) – x (x – 1) = 5
g) (2x + 1)2 = 1 + (x + 1)(x – 1)
h) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x
i) + = – 1
j) ( – 2)2– = –
a) x2 – 9x + 14 = 0
x = = = =
b) 4x2 – 4x + 1 = 0
x = = = =
c) x2 – 6x + 10 = 0
x = = . No tiene solución
d) 1 – x (x – 3) = 4x – 1
1 – x2 + 3x = 4x – 1 → 0 = x2 + x – 2
x = = = =
e) (x + 1)2 – 3x = 3
x2 + 2x + 1 – 3x = 3 → x2 – x – 2 = 0
x = = = =
f ) (2x – 3)(2x + 3) – x (x – 1) = 5
4x2 – 9 – x2 + x = 5 → 3x2 + x – 14 = 0
x = = = =
g) (2x + 1)2 = 1 + (x + 1)(x – 1)
4x2 + 4x + 1 = 1 + x2 – 1 → 3x2 + 4x + 1 = 0
x = = = = –2 –1
x = –– = ––6 3
x = –1
–4 ± 26
–4 ± √46
–4 ± √16 – 126
x = 2–14 –7
x = ––– = ––6 3
–1 ± 136
– 1 ± √1696
–1 ± √1 + 1686
x = 2x = –1
1 ± 32
1 ± √92
1 ± √1 + 82
x = 1x = –2
–1 ± 32
– 1 ± √92
–1 ± √1 + 82
6 ± √–42
6 ± √36 – 402
12
48
4 ± 08
4 ± √16 – 168
x = 2x = 7
9 ± 52
9 ± √252
9 ± √81 – 562
x – 14
18
x + 18
x2
32
(3x – 2)2
8x (x – 2)
4x (x – 3)
2
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
h) (x + 4)2 – (2x – 1)2 = 8x
x2 + 8x + 16 – (4x2 – 4x + 1) = 8x
x2 + 8x + 16 – 4x2 + 4x – 1 = 8x
0 = 3x2 – 4x – 15
x = = = =
i) + = – 1
+ = – 1
+ = –
4x2 – 12x + 2x2 – 4x = 9x2 – 12x + 4 – 8
0 = 3x2 + 4x – 4
x = = = =
j) ( – 2)2– = –
( – 2x + 4) – = –
– 3x + 6 – = –
– + – = –
3x2 – 24x + 48 – x – 1 = 1 – 2x + 2
3x2 – 23x + 44 = 0
x = = = =
12 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 0,4x – 3,2 = 1,65x + 0,8
b) =
c) 5(x – 2)2 – 500 = 0
x – 2,40,5
1,2x – 4,50,2
x = 422 11
x = –– = ––6 3
23 ± 16
23 ± √16
23 ± √529 – 5286
2x – 28
18
x + 18
488
24x8
3x2
8
x – 14
18
x + 18
3x2
8
x – 14
18
x + 18
x2
432
x – 14
18
x + 18
x2
32
4 2x = –– = ––
6 3x = –2
–4 ± 86
–4 ± √646
–4 ± √16 + 486
88
9x2 – 12x + 48
2x2 – 4x8
4x2 – 12x8
9x2 – 12x + 48
x2 – 2x4
x2 – 3x2
(3x – 2)2
8x (x – 2)
4x (x – 3)
2
x = 3–10 –5
x = ––– = ––6 3
4 ± 146
4 ± √1966
4 ± √16 – 1806
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
d) – = –
e) (x – 4,2) (x – 0,5) = 0
f) x2 – 3,2x = 0
g) = 16
h) 3x2 – 0,75 = 0
i) 0,2x2 + 1,6x – 4 = 0
j) x2 – + = 0
a) 0,4x – 3,2 = 1,65x + 0,8
0,4x – 1,65x = 0,8 + 3,2
–1,25x = 4 → x = = –3,2 → x = –3,2
b) = → 0,5(1,2x – 4,5) = 0,2(x – 2,4)
0,6x – 2,25 = 0,2x – 0,48
0,6x – 0,2x = 2,25 – 0,48
0,4x = 1,77 → x = = 4,425 → x = 4,425
c) 5(x – 2)2 – 500 = 0
5(x – 2)2 = 500 → (x – 2)2 = → (x – 2)2 = 100 →
→
d) – = –
– = –
– = –
3x + 12 – 4x – 4 = 3x – 6 – 11 – 9x
3x – 4x – 3x + 9x = –6 – 11 – 12 + 4
5x = –25 → x = –5
11 + 9x18
3x – 618
4x + 418
3x + 1218
11 + 9x18
x – 26
2x + 29
x + 46
11 + 9x18
x – 26
2(x + 1)9
x + 46
x – 2 = 10 → x = 12x – 2 = –10 → x = –8
5005
1,770,4
x – 2,40,5
1,2x – 4,50,2
4–1,25
112
x2
23
(3x – 2)2
4
11 + 9x18
x – 26
2(x + 1)9
x + 46
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
e) (x – 4,2)(x – 0,5) = 0 →
f ) x2 – 3,2x = 0 → x (x – 3,2) = 0 →
g) = 16 → (3x – 2)2 = 64 →
→
h) 3x2 – 0,75 = 0 → 3x2 = 0,75 → x2 = = 0,25
x = ± =
i) 0,2x2 + 1,6x – 4 = 0
x = = = =
j) x2 – + = 0 → 8x2 – 6x + 1 = 0
x = = = =
13 Busca, por tanteo, una solución exacta de las siguientes ecuaciones:
a) 2x –1 = 16 b) 3x +2 =
c) (x – 1)4 = 625 d) = 9
a) 2x – 1 = 16 → x – 1 = 4 → x = 5
b) 3x + 2 = → x + 2 = –2 → x = –4
c) (x – 1)4 = 625 →
d) = 9 → x + 5 = 81 → x = 76√x + 5
x – 1 = 5 → x = 6x – 1 = –5 → x = –4
19
√x + 5
19
8 1x = — = —
16 24 1
x = — = —16 4
6 ± 216
6 ± √416
6 ± √36 – 3216
112
x2
23
x = 2x = –10
–1,6 ± 2,40,4
–1,6 ± √5,760,4
–1,6 ± √2,56 + 3,20,4
x = 0,5x = –0,5
√0,25
0,753
103x – 2 = 8 → 3x = 10 → x = ––
33x – 2 = –8 → 3x = –6 → x = –2
(3x – 2)2
4
x = 0x – 3,2 = 0 → x = 3,2
x – 4,2 = 0 → x = 4,2x – 0,5 = 0 → x = 0,5
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
14 Busca, por tanteo, una solución aproximada de las siguientes ecuaciones:
a) x3 = 232 b) x + = 7 c) 2x = 276
d) x4 – 3x = 5 e) 5x = 0,32 f) x0,75 = 17
a) x3 = 232
La solución está entre 6 y 7.
La solución está entre 6,1 y 6,2.
Tomamos como solución x � 6,15.
b) x + = 7
La solución está entre 4 y 5.
La solución está entre 4,8 y 4,9.
4,81 + = 7,003. Tomamos como solución x � 4,81.
c) 2x = 276
La solución está entre 8 y 9.
La solución está entre 8,1 y 8,2.
28,11 = 276,282. Tomamos como solución x � 8,11.
d) x4 – 3x = 5
La solución está entre 1 y 2.
La solución está entre 1,7 y 1,8.
1,794 – 3 · 1,79 = 4,896. Tomamos como solución x � 1,80.
e) 5x = 0,32
La solución está entre –1 y 0.
La solución está entre –0,8 y –0,7.
5–0,71 = 0,319. Tomamos como solución x � –0,71.
5–0,8 = 0,276
5–0,7 = 0,324
50 = 1
5–1 = 0,2
1,74 – 3 · 1,7 = 3,252
1,84 – 3 · 1,8 = 5,098
14 – 3 · 1 = –2
24 – 3 · 2 = 10
28,1 = 274,374
28,2 = 294,067
28 = 256
29 = 512
√4,81
4,8 + √—4,8 = 6,991
4,9 + √—4,9 = 7,114
4 + √—4 = 6
5 + √—5 = 7,23
√x
6,143 = 231,475
6,153 = 232,608
6,13 = 226,981
6,23 = 238,328
63 = 216
73 = 343
√x
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
f ) x0,75 = 17
La solución está entre 43 y 44.
La solución está entre 43,7 y 43,8.
Tomamos como solución x � 43,71.
PIENSA Y RESUELVE
15 Calcula un número cuya mitad es 20 unidades menor que su triple.
El número: x
Su mitad:
Su triple: 3x
+ 20 = 3x → x + 40 = 6x → 40 = 6x – x → 40 = 5x
x = = 8 → x = 8
Solución: El número es el 18.
Página 116
16 Si a un número le restas 12, se reduce a su tercera parte. ¿Cuál es ese número?
Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:
x – 12 = → 3x – 36 = x → 3x – x = 36 → 2x = 36
x = = 18 → x = 18
Solución: El número es el 18.
17 Calcula tres números sabiendo que:
— El primero es 20 unidades menor que el segundo.
— El tercero es igual a la suma de los dos primeros.
— Entre los tres suman 120.
→(x – 20) + x + (2x – 20) = 1204x – 40 = 1204x = 120 + 40 → 4x = 160
Primero → x – 20Segundo → xTercero → x + x – 20 = 2x – 20
362
x3
405
x2
x2
43,710,75 = 16,999
43,720,75 = 17,002
43,70,75 = 16,997
43,80,75 = 17,026
430,75 = 16,792
440,75 = 17,084
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
Si sumamos 20 a su mitad,obtenemos su triple:
+ 20 = 3x → x = …x2
x = = 40 → x = 40 →
Solución: El primer número es 20, el segundo 40 y el tercero 60.
18 La suma de tres númerosnaturales consecutivos esigual al cuádruple del me-nor. ¿De qué números setrata?
Llamamos x al menor de los tres números. El siguiente es x + 1 y el siguientex + 2. Tenemos que:
x + (x + 1) + (x + 2) = 4x → 3x + 3 = 4x → 3 = 4x – 3x → x = 3
Solución: Los números son 3, 4 y 5.
19 Si al cuadrado de un número le quitas su doble, obtienes su quíntuplo.¿Cuál es ese número?
Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:
x2 – 2x = 5x → x2 – 7x = 0 → x (x – 7) = 0 →
Solución: Hay dos soluciones: x1 = 0 y x2 = 7.
20 La suma de un número par, el que le sigue y el anterior es 282. Halla esos nú-meros.
El número par es 2x, el que le sigue es 2x + 1 y el anterior es 2x – 1. Tene-mos que:
2x + (2x + 1) + (2x – 1) = 282 → 6x = 282 → x = = 47 →
→ x = 47 → 2x = 94
Solución: El número par es el 94, el que le sigue, el 95; y el anterior el 93.
21 Por un videojuego, un cómic y un helado, Andrés ha pagado 14,30 €. El vi-deojuego es cinco veces más caro que el cómic, y este cuesta el doble que elhelado. ¿Cuál era el precio de cada artículo?
→ x = 1,1
Solución: El videojuego costaba 11 €, el cómic 2,2 € y el helado 1,1 €.
2x = 2,210x = 11
10x + 2x + x = 14,313x = 14,3
14,3x = ––= 1,1 →
13
Precio videojuego → 5 · 2x = 10x
Precio cómic → 2x
Precio helado → x
2826
x = 0x – 7 = 0 → x = 7
x – 20 = 40 – 20 = 202x – 20 = 80 – 20 = 60
1604
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
22 Me faltan 1,8 € para comprar mi revista de informática preferida. Si tuvierael doble de lo que tengo ahora, me sobrarían 2 €. ¿Cuánto tengo? ¿Cuántocuesta la revista?
Llamamos x al dinero que tengo (la revista cuesta x + 1,80).
Tenemos que: x + 1,80 = 2x – 2
1,80 + 2 = 2x – x → x = 3,80 → x + 1,80 = 5,60
Solución: Tengo 3,80 €. La revista cuesta 5,60 €.
23 Con 12 € que tengo, podría irdos días a la piscina, un día al ci-ne y aún me sobrarían 4,5 €. Laentrada de la piscina cuesta 1,5 €
menos que la del cine. ¿Cuánto cuesta la entrada del cine?
Tenemos que:
2(x – 1,50) + x + 4,50 = 12
2x – 3 + x + 4,50 = 12 → 2x + x = 12 + 3 – 4,50
3x = 10,5 → x = = 3,5 → x = 3,5 → x – 1,5 = 2
Solución: La entrada del cine cuesta 3,5 €. (La de la piscina, 2 €).
24 María tiene 5 años más que su hermano Luis, y su padre tiene 41 años. Den-tro de 6 años, entre los dos hermanos igualarán la edad del padre. ¿Qué edadtiene cada uno?
La suma de las edades de los dos hermanos debe ser igual a 47.
x + 6 + x + 11 = 47 → 2x = 47 – 6 – 11 → 2x = 30 → x = 15 → x + 5 = 20
Solución: Luis tiene 15 años, María tiene 20 y su padre 41.
25 Antonio tiene 15 años, su hermano Roberto, 13, y su padre, 43. ¿Cuántosaños han de transcurrir para que entre los dos hijos igualen la edad del padre?
Llamamos x a los años que han de transcurrir.
10,53
Precio entrada de cine → xPrecio entrada piscina → x – 1,50
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
LUIS x x + 6MARÍA x + 5 x + 11PADRE 41 47
EDAD DE… HOY DENTRO DE 6 AÑOS
AHORA DENTRO DE X AÑOS
ANTONIO 15 15 +xROBERTO 13 13 + xPADRE 43 43 + x
(15 + x) + (13 + x) = 43 + x → 2x + 28 = 43 + x → 2x – x = 43 – 28
x = 15
Solución: Han de transcurrir 15 años.
26 La suma de las edades de los cuatro miembros de una familia es 104 años. Elpadre tiene 6 años más que la madre, que tuvo a los dos hijos gemelos a los 27años. ¿Qué edad tiene cada uno?
Edad de cada hijo → x (son dos hijos)
Edad de la madre → x + 27
Edad del padre → x + 27 + 6 = x + 33
Tenemos que:
2x + (x + 27) + (x + 33) = 104 → 4x + 60 = 104
4x = 104 – 60 → 4x = 44 → x = = 11 → x = 11
Solución: La madre tiene 38 años, el padre 44 y cada uno de los hijos tiene11 años.
27 Un depósito está lleno el domingo. El lunes se vacían sus 2/3 partes, el mar-tes se gastan 2/5 de lo que quedaba, y el miércoles, 300 litros. Si aún quedó1/10, ¿cuál es su capacidad?
x – 300 = x → 2x – 3 000 = x → x = 3 000 litros
Solución: La capacidad del depósito es de 3 000 litros.
28 En el mes de agosto, cierto embalse estaba a los 3/5 de su capacidad. En sep-tiembre, no llovió y se gastó 1/5 del agua que tenía. En octubre se recupera-ron 700 000 m3, quedando lleno en sus tres cuartas partes. ¿Cuál es su capa-cidad?
110
15
x + 27 = 38x + 33 = 44
444
Pág. 18
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
x x x – x = x
x ( x) = x x – x = x = x
x 300 litros x – 30015
15
15
315
215
13
215
13
25
13
13
23
23
HABÍA SE GASTA QUEDA
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
x ( x) = x x – x = x
x 700 000 m3 x + 700 0001225
1225
1225
325
35
325
35
15
35
HABÍA SE GASTÓ O RECUPERÓ QUEDA
SEPTIEMBRE
OCTUBRE
x + 700 000 = x → 48x + 70 000 000 = 75x → 27x = 70 000 000
x ≈ 2 592 593 m3
Solución: La capacidad del depósito es de, aproximadamente, 2 592 593 m3.
29 Dos albañiles que trabajan asociados reciben 1 400 € como pago de ciertotrabajo. ¿Cuánto debe cobrar cada uno si el primero trabajó las dos quintaspartes que el otro?
• Primero → Le corresponden x €
• Segundo → Le corresponden x €
Suma = x + x = 1 400 €
x + x = 1 400 → 5x + 2x = 7 000 → 7x = 7 000 → x = 1 000 →
→ x · 1 000 = 400
Solución: Al primero le corresponden 1 000 €, y al segundo, 400 €.
30 Roberto y Andrés compran una camisa cada uno, ambas del mismo precio.Roberto consigue una rebaja del 12%, mientras que Andrés solo consigue el8%. Así, uno paga 1,4 € más que el otro. ¿Cuánto costaba cada camisa?
Llamamos x al precio inicial de la camisa.
Tenemos que: 0,88x + 1,4 = 0,92x
1,4 = 0,92x – 0,88x → 1,4 = 0,04x → x = = 35
Solución: La camisa costaba 35 €.
Página 117
31 Si un número aumenta en un 10%, resulta 42 unidades mayor que si dismi-nuye en un 5%. ¿Cuál es ese número?
Llamamos x al número que buscamos. Tenemos que:
1,1x = 0,95x + 42 → 1,1x – 0,95x = 42 → 0,15x = 42
x = = 280 → x = 280
Solución: El número es el 280.
420,15
1,40,04
• Roberto paga 0,88x• Andrés paga 0,92x
25
25
25
25
34
1225
Pág. 19
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
32 Calcula el capital que, colocado al 8% durante dos años, se convierte en2 900 € (los intereses se suman al capital al final de cada año).
Llamamos C al capital. Tenemos que:
1,082 · C = 2 900 → 1,1664 · C = 2 900
C = = 2 486,28 €.
Solución: El capital es de 2 486,28 €.
33 ¿Durante cuántos años se ha de colocar un capital de 2 380 €, con un interésanual del 3%, para conseguir un beneficio de 357 €?
• Al cabo de un año produce un interés de 2 380 · 0,03 = 71,4 €.
• Al cabo de t años produce un interés de (71,4t) €.
Tenemos que hallar t para que: 71,4t = 357
t = = 5 → t = 5 años.
Solución: Durante 5 años.
34 Un inversor pacta la compra deun terreno, valorado en 24 000€, mediante dos pagos: el pri-mero, de 12 000 €, a la firmade las escrituras, y el segundo,de 12 300 €, seis meses más tarde. ¿Con qué interés se penaliza la demora?
Pago inicialmente 12 000 €. Por tanto, la deuda que me quede por pagar es de24 000 – 12 000 = 12 000 €.
Llamando x al interés con que se le penaliza por pagar 6 meses más tarde, te-nemos:
12 000 + · 12 000 = 12 300 → · 12 000 = 300 →
→ x = · 100 = 2,5
El interés con que se me penaliza es del 2,5 % en 6 meses → 5 % anual.
35 Un inversor que dispone de 28 000 €, coloca parte de su capital en un bancoal 8%, y el resto, en otro banco, al 6%. Si la primera parte le produce anual-mente 210 € más que la segunda, ¿cuánto colocó en cada banco?
1er– banco → Coloca x € → interés = 0,08x
2º- banco → Coloca (28 000 – x) € → interés = 0,06(28 000 – x)
Tenemos que: 0,08x = 0,06(28 000 – x) + 210
30012 000
x100
x100
35771,4
2 9001,1664
Pág. 20
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
0,08x = 1 680 – 0,06x + 210
0,14x = 1 890 → x = = 13 500 → 28 000 – x = 14 500
Solución: Colocó 13 500 € en el primer banco y 14 500 € en el segundo.
36 Se ha vertido un bidón de aceite de orujo, de 1,6 €/litro, en una tinaja quecontenía 400 litros de aceite de oliva de 3,2 €/litro. Sabiendo que el litro dela mezcla cuesta 2,60 €/litro, ¿cuántos litros había en el bidón?
2,6(400 + x) = 1,6x + 1 280
2,6x – 1,6x = 1 280 – 1 040 → x = 240 litros
Solución: Había 240 litros de aceite de orujo en el bidón.
37 ¿Cuántos litros de agua del grifo, a 15 °C, hay que añadir a una olla que conte-nía 6 litros de agua a 60 °C, para que la mezcla quede a 45 °C?
Llamamos x a los litros que hay que añadir. Tenemos que:
= 45
15x + 360 = 45(x + 6) → 15x + 360 = 45x + 270
360 – 270 = 45x – 15x → 90 = 30x → x = = 3 litros
Solución: Hay que añadir 3 litros.
38 Mezclando 15 kg de arrozde 1 €/kg con 25 kg dearroz de otra clase, se ob-tiene una mezcla que sale a1,30 €/kg. ¿Cuál será elprecio de la segunda clase de arroz?
40 · 1,3 = 15 + 25x → 52 = 15 + 25x → 52 – 15 = 25x
37 = 25x → x = = 1,48 €/kg.
Solución: El precio de la segunda clase de arroz es de 1,48 €/kg.
3725
9030
15x + 60 · 6x + 6
1 8900,14
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
x 1,6 € 1,6x400 3,2 € 400 · 3,2 = 1 280
400 + x 2,6 € 2,6(400 + x) = 1,6x + 1 280
CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE (€)
ORUJO
OLIVA
MEZCLA
15 1 € 15 · 1 = 15
25 x 25x40 1,3 € 40 · 1,3 = 15 + 25x
CANTIDAD (kg) PRECIO/kg COSTE TOTAL (€)
1ª- CLASE
2ª- CLASE
MEZCLA
15 kg1 €/kg
1,30 €/kg25 kg
€/kg
39 Se han mezclado 30 litros de aceite barato con 25 litros de aceite caro, resul-tando la mezcla a 3,20 €/l. Calcula el precio del litro de cada clase, sabiendoque el de más calidad es el doble de caro que el otro.
55 · 3,20 = 30x + 50x → 176 = 80x → x = = 2,2 €/l.
→ 2x = 2 · 2,2 = 4,4 €/l.
Solución: El aceite barato cuesta 2,2 €/l y el caro 4,4 €/l.
40 Un ciclista que va a 18 km/h tarda 45 minutos en alcanzar a otro, que le llevauna ventaja de 6 km. ¿Qué velocidad lleva el que iba delante?
Llamamos x a la velocidad del que va delante.
Se aproximan a una velocidad de:
(18 – x) km/h.
Tiempo que tarda en alcanzarlo (45 min = hora):t = → = → 3(18 – x) = 24
18 – x = → 18 – x = 8 → 18 – 8 = x → x = 10 km/h
Solución: El que iba delante lleva una velocidad de 10 km/h.
41 Un ciclista sale a la carretera a una velocidad de 15 km/h. ¿Qué velocidad de-berá llevar otro ciclista que sale media hora después si pretende alcanzar alprimero en hora y media?
Llamamos x a la velocidad del otro ciclista.
El que va a 15 km/h recorre en media hora
15 : 2 = 7,5 km.
Se aproximan a una velocidad de: (x – 15) km/h.
Tiempo que tarda en alcanzarlo (1,5 horas):
t = → 1,5 = → 1,5(x – 15) = 7,57,5x – 15
dv
243
618 – x
34
dv
34
17680
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
30 x 30x25 2x 25 · 2x = 50x55 3,20 € 55 · 3,20 = 30x + 50x
CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL (€)
BARATO
CARO
MEZCLA
6 km
18 km/h x km/h
7,5 km
x km/h 15 km/h
1,5x – 22,5 = 7,5 → 1,5x = 7,5 + 22,5 → 1,5x = 30
x = = 20 → x = 20 km/h
Solución: Deberá llevar una velocidad de 20 km/h.
42 Un coche sale de una ciudad A, hacia otra B distante 315 km, a una velocidadde 105 km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión que tarda encruzarse con el coche una hora y cuarenta y cinco minutos. ¿Cuál era la velo-cidad del camión?
Llamamos x a la velocidad del camión.
Se aproximan a una velocidad de:
(x + 105) km/h.
Tiempo que tardan en cruzarse (1 h 45 min = 1 h + h = h):t = → = → 7(x + 105) = 1 260
7x + 735 = 1 260 → 7x = 1 260 – 735 → 7x = 525
x = = 75 → x = 75 km/h.
Solución: La velocidad del camión era de 75 km/h.
43 El producto de un número natural por su siguiente es 31 unidades mayorque el quíntuplo de la suma de ambos.
¿Cuál es ese número?
Llamamos x al número que buscamos, el siguiente es x + 1.
Tenemos que: x (x + 1) = 5(x + x + 1) + 31
x2 + x = 5(2x + 1) + 31 → x2 + x = 10x + 5 + 31
x2 – 9x – 36 = 0
x = = = =
(x = –3 no es válida, pues x es un número natural).
Solución: El número es el 12.
x = 12x = –3 (no vale)
9 ± 152
9 ± √2252
9 ± √81 + 1442
5257
315x + 105
74
dv
74
34
301,5
Pág. 23
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
315 kmA B
105 km/h x km/h
44 Varios amigos y amigas se reparten un premio y les toca 15 € a cada uno. Sihubieran sido cuatro amigos y amigas más, hubieran tocado a 3 € menos.¿Cuántos eran para repartir?
Llamamos x al número de amigos que son.
• x amigos a 15 € cada uno → Premio = 15x
• Si hubieran sido (x + 4) amigos y amigas hubieran tocado a 15 – 3 = 12 €cada uno → Premio = 12(x + 4)
• Por tanto: 15x = 12(x + 4) → 15x = 12x + 48
15x – 12x = 48 → 3x = 48 → x = = 16 amigos
Solución: Eran 16 amigos.
45 Una peña deportiva contrató un autobús para seguir a su equipo. Si el auto-bús se hubiera llenado, cada uno habría pagado 8,50 €; pero quedaron 3 pla-zas vacías, y el viaje costó 9 €. ¿Cuántas plazas tenía el autobús?
Llamamos x al número de plazas del autobús.
→
→ 8,5x = 9(x – 3) → 8,5x = 9x – 27 → 27 = 9x – 8,5x
27 = 0,5x → x = = 54 plazas
Solución: El autobús tenía 54 plazas.
46 Calcula las dimensiones de un rectángulo en el que la base mide 2 cm menosque la altura y la diagonal mide 10 cm.
Llamamos x a la longitud de la altura, la basemedirá (x – 2) cm.
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
102 = x2 + (x – 2)2
100 = x2 + x2 – 4x + 4 →
→ 0 = 2x2 – 4x – 96 →
→ x2 – 2x – 48 = 0 →
→ x = = = =
Solución: La base mide 6 cm y la altura 8 cm.
x = 8 → x – 2 = 6x = –6 (no vale)
2 ± 142
2 ± √1962
2 ± √4 + 1922
270,5
Si viajan x personas, cada una paga 8,5 € → Precio total = 8,5xSi viajan (x – 3) personas, cada una paga 9 € → Precio total = 9(x – 3)
483
Pág. 24
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
BASE = x – 2
ALTURA = x
10 c
m
Página 117
47 En las dos orillas de un río haydos palmeras. La más alta mide30 codos; la otra, 20 codos, y ladistancia entre ambas es de 50 co-dos. En la copa de cada palmerahay un pájaro. Al descubrir losdos pájaros un pez en la superficiedel río, se lanzan rápidamente, alcanzando al pez al mismo tiempo.
¿A qué distancia del tronco de la palmera más alta apareció el pez?
Llamamos x a la distancia que busca-mos (distancia del tronco de la palmeramás alta a donde apareció el pez).
Aplicamos el teorema de Pitágoras a los dos triángulos:
100x = 400 + 2 500 – 900 → 100x = 2 000 → x = = 20 → x = 20
Solución: La distancia buscada es de 20 codos.
48 Al aumentar en 5 m el lado de un cuadrado, su superficie aumenta en 75 m2.Calcula el lado del cuadrado.
75 – 25 = 10l → 50 = 10l →
→ l = = 5 m
Solución: El lado del cuadrado mide 5 m.
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
49 Comprueba que entre las siguientes “ecuaciones” de primer grado, unas tie-nen infinitas soluciones (0x = 0) y otras no tienen solución (0x = b).
a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x
b) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2)
5010
l2 + 75 = (l + 5)2
l2 + 75 = l2 + 10l + 25
A = l2
A + 75 = (l + 5)2
2 000100
302 + x2 = 202 + (50 – x)2 → 900 + x2 = 400 + (50 – x)2
900 + x2 = 400 + 2 500 + x2 – 100x
d2 = 302 + x2
d2 = 202 + (50 – x)2
Pág. 25
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
50 – x
30 codos20 codos
x
d d
A + 75
Al + 5
l
c) x + = 2x +
d) x – 1 + = x
a) 3(3 + 2x) – (1 – x) = 2(4 + 3x) + x
9 + 6x – 1 + x = 8 + 6x + x
6x + x – 6x – x = 8 – 9 + 1 → 0x = 0. Tiene infinitas soluciones
b) 3(x – 2) + 5(x + 1) = 2(2x + 7) + 4(x + 2)
3x – 6 + 5x + 5 = 4x + 14 + 4x + 8
3x + 5x – 4x – 4x = 14 + 8 + 6 – 5
0x = 23 → No tiene solución
c) x + = 2x +
+ = +
4x + 2x – 7 = 8x + 2 – 2x → 4x + 2x – 8x + 2x = 2 + 7
0x = 9 → No tiene solución
d) x – 1 + = x
3x – 3 + 3 – x = 2x → 3x – x – 2x = 0
0x = 0. Tiene infinitas soluciones
50 Inventa una ecuación de segundo grado cuyas soluciones sean x = 2 y x = –1.
• Si queremos que las soluciones sean x = 2 y x = –1, haremos:
(x – 2) (x + 1) = 0 → x2 – x – 2 = 0
51 Inventa una ecuación de segundo grado que tenga:
a) Dos soluciones, x = –3 y x = .
b) Una solución, x = 5.c) Ninguna solución.d) Dos soluciones, x = 0 y x = 3.
Por ejemplo:
a) (x + 3)(x – ) = 0 → x2 + x – = 0 → 2x2 + 5x – 3 = 0
b) (x – 5)2 = 0 → x2 – 10x + 25 = 0
c) x2 + 1 = 0
d) x (x – 3) = 0 → x2 – 3x = 0
32
52
12
12
23
3 – x3
2 – 2x4
8x4
2x – 74
4x4
1 – x2
2x – 74
23
3 – x3
1 – x2
2x – 74
Pág. 26
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
52 En la ecuación x2 – 6x + a = 0:
a) ¿Qué valores ha de tomar a para que las dos soluciones sean iguales?
b) ¿Y para que sean distintas?
c) ¿Y para que no tenga solución?
Las soluciones de la ecuación x2 – 6x + a = 0 son:
x = . El discriminante es 36 – 4a.
a) Para que las dos soluciones sean iguales, ha de ser:
36 – 4a = 0 → 36 = 4a → a = = 9 → a = 9
b) Para que las dos soluciones sean distintas, ha de ser:
36 – 4a > 0 → 36 > 4a → a < 9
c) Para que no tenga solución, ha de ser:
36 – 4a < 0 → 36 < 4a → a > 9
PROFUNDIZA
53 Resuelve la ecuación – = .
Multiplicamos los dos miembros por 10x (x + 3).
10(x + 3) – 10x = 3x (x + 3) →
→ 3x2 + 9x – 30 = 0 → x2 + 3x – 10 = 0
x2 + 3x – 10 = 0 → x = = =
Comprobamos las soluciones:
x = 2 → – = – = → x = 2 es solución
x = –5 → – = – – = – + = → x = –5 es solución
54 Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) + 3 = b) + x = 1
c) + = d) = + 32x + 3x – 1
x2
(x – 1)2x – 2x2 – 1
3x + 1
x + 1x – 1
x – 1x
x – 32x
1x
310
12
15
1–2
15
1–5 + 3
1–5
310
15
12
12 + 3
12
x = 2x = –5
–3 ± 72
–3 ± √9 + 402
310
1x + 3
1x
364
6 ± √36 – 4a3
Pág. 27
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
a) + 3 = → + =
2 + 6x = x – 3 → 6x – x = –3 – 2 → 5x = –5 → x = = –1 → x = – 1
b) + x = 1 → + = → x – 1 + x2 = x
x2 = 1 → x = ± =
c) + = → + =
+ =
(x + 1)2 + 3(x – 1) = x – 2
x2 + 2x + 1 + 3x – 3 = x – 2 → x2 + 4x = 0
x (x + 4) = 0
d) = + 3
= +
x2 = 2x2 – 2x + 3x – 3 + 3(x2 – 2x + 1)
x2 = 2x2 + x – 3 + 3x2 – 6x + 3 → 0 = 4x2 – 5x
x (4x – 5) = 0
Página 119
55 Resuelve la ecuación + 2 = 2x.
Dejamos solo el radical en el primer miembro y elevamos al cuadrado los dosmiembros:
= 2x – 2 → x2 + 7 = 4x2 – 8x + 4 →
→ 3x2 – 8x – 3 = 0 → x = = = x = 3
–2 –1x = –– = ––
6 3
8 ± 106
8 ± √64 + 366
√x2 + 7
√x2 + 7
x = 05
4x – 5 = 0 → 4x = 5 → x = ––4
3(x – 1)2
(x – 1)2(2x + 3)(x – 1)
(x – 1)2x2
(x – 1)2
2x + 3x – 1
x2
(x – 1)2
x = 0x + 4 = 0 → x = –4
x – 2(x – 1)(x + 1)
3(x – 1)(x – 1)(x + 1)
(x + 1)2
(x – 1)(x + 1)
x – 2(x – 1)(x + 1)
3x + 1
x + 1x – 1
x – 2x2 – 1
3x + 1
x + 1x – 1
x = 1x = –1
√1
xx
x2
xx – 1
xx – 1
x
–55
x – 32x
6x2x
22x
x – 32x
1x
Pág. 28
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
Comprobamos las soluciones:
x = 3 →
x = – →
Solo hay una solución: x = 3
56 Resuelve:
a) 2x + = 2
b) x + 1 – = 0
c) – = 0
d) + 1 = x
e) + 1 = x – 2
f) + – 7 = 0
a) 2x + = 2 → = 2 – 2x
( )2 = (2 – 2x)2 → x + 4 = 4 – 8x + 4x2
0 = 4x2 – 9x → x (4x – 9) = 0
Comprobamos las soluciones:
x = 0 → 2 · 0 + = 0 + = 2 → x = 0 sí es solución.
x = → 2 · ( ) + = + = 7 ≠ 2 →
→ x = no es solución
Solución: x = 0
b) x + 1 – = 0 → x + 1 =
(x + 1)2 = ( )2 → x2 + 2x + 1 = 5x – 1
x2 – 3x + 2 = 0 → x = = =
Comprobamos las soluciones:
x = 2 → 2 + 1 – = 3 – 3 = 0 → x = 2 sí es solución√5 · 2 – 1
x = 2x = 1
3 ± 12
3 ± √9 – 82
√5x – 1
√5x – 1√5x – 1
94
52
184
9√— + 44
94
94
√4√0 + 4
x = 09
x = ––4
√x + 4
√x + 4√x + 4
√x + 10√2x – 3
√3x – 5
√2x – 3
√1 – x√5x – 7
√5x – 1
√x + 4
No coinciden–1
x = –– no es solución3
1 64 8 14√—–— + 7 + 2 = √
–––— + 2 = — + 2 = —
9 9 3 3–1 –22 · (—) = —3 3
13
Coinciden.
x = 3 sí es solución
√–––32 + 7 + 2 = √
––16 + 2 = 4 + 2 = 6
2 · 3 = 6
Pág. 29
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
x = 1 → 1 + 1 – = 2 – 2 = 0 → x = 1 sí es solución
Hay dos soluciones: x1 = 2; x2 = 1
c) – = 0 → =
5x – 7 = 1 – x → 5x + x = 1 + 7 → 6x = 8 → x = =
Comprobamos la solución:
= = . No tiene solución
d) + 1 = x → = x – 1
( )2 = (x – 1)2 → 2x – 3 = x2 – 2x + 1
0 = x2 – 4x + 4 → x = = = 2
Comprobamos la solución:
+ 1 = 1 + 1 = 2 → x = 2 sí es solución
Hay una solución: x = 2
e) + 1 = x – 2 → = x – 3
( )2 = (x – 3)2 → 3x – 5 = x2 – 6x + 9
0 = x2 – 9x + 14 → x = = = =
Comprobamos las soluciones:
x = 7 →
x = 2 →
Hay una solución: x = 7
f ) + – 7 = 0 → = 7 –
( )2 = (7 – )2 → 2x – 3 = 49 + x + 10 – 14
14 = 49 + x + 10 – 2x + 3
14 = 62 – x → (14 )2 = (62 – x)
196(x + 10) = 3 844 + x2 – 124x
196x + 1 960 = 3 844 + x2 – 124x
√x + 10√x + 10
√x + 10
√x + 10√x + 10√2x – 3
√x + 10√2x – 3√x + 10√2x – 3
No coinciden.
x = 2 no es solución
√–––3 · 2 – 5 + 1 = 1 + 1 = 2
2 – 2 = 0
Coinciden.
x = 7 sí es solución
√–––3 · 7 – 5 + 1 = √
––16 + 1 = 4 + 1 = 5
7 – 2 = 5
x = 7x = 2
9 ± 52
9 ± √252
9 ± √81 – 562
√3x – 5
√3x – 5√3x – 5
√2 · 2 – 3
42
4 ± √16 – 162
√2x – 3
√2x – 3√2x – 3
–1√—3
20√— – 73
4√5 · — – 73
43
86
√1 – x√5x – 7√1 – x√5x – 7
√5 · 1 – 1
Pág. 30
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
0 = x2 – 320x + 1 884
x = = =
= =
Comprobamos las soluciones:
x = 314 → + – 7 = 25 + 18 – 7 = 36 ≠ 0 →
→ x = 314 no es solución.
x = 6 → + – 7 = 3 + 4 – 7 = 0 → x = 6 sí es solución.
Hay una solución: x = 6
57 Resuelve la ecuación x4 – 10x2 + 9 = 0 (ecuación bicuadrada).
Hacemos x2 = y → x4 = y2.
Sustituimos en la ecuación:
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
y2 – 10y + 9 = 0y = 1 → x2 = 1 → x = ± =
Hay cuatro soluciones: x1 = 3; x2 = –3; x3 = 1; x4 = –1
58 Resuelve, como en el problema anterior, las ecuaciones siguientes:
a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0
b) x4 + 3x2 + 2 = 0
c) x4 – 13x2 + 36 = 0
d) x4 – 5x2 – 36 = 0
e) x4 – 34x2 + 225 = 0
f) 36x4 – 13x2 + 1 = 0
a) 4x4 – 5x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
4y2 – 5y + 1 = 0 → = = =
y = 1 → x2 = 1 → x = ± =
y = → x2 = → x = ± = x = 1/2x = –1/2√ 1
414
14
x = 1x = –1
√1
y = 12 1
y = –– = ––8 4
5 ± 38
5 ± √98
5 ± √25 – 168
x = 1x = –1
√1
x = 3x = –3
√9
√6 + 10√2 · 6 – 3
√314 + 10√2 · 314 – 3
x = 314x = 6
320 ± 3082
320 ± √94 8642
320 ± √102 400 – 7 5362
Pág. 31
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
b) x4 + 3x2 + 2 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 + 3y + 2= 0 → y = = =
La ecuación no tiene solución
c) x4 – 13x2 + 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 13y + 36 = 0 → y = = =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
y = 4 → x2 = 4 → x = ± =
d) x4 – 5x2 – 36 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 5y – 36 = 0 → y = = = =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
y = –4 → x2 = –4 → x = ± → No tiene solución
Hay dos soluciones: x1 = 3; x2 = –3
e) x4 – 34x2 + 225 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
y2 – 34y + 225 = 0
y = = = =
y = 25 → x2 = 25 → x = ± =
y = 9 → x2 = 9 → x = ± =
f ) 36x4 – 13x2 + 1 = 0. Cambio: x2 = y → x4 = y2
36y2 – 13y + 1 = 0 → y = = =
18 1y = — = —
72 48 1
y = — = —72 9
13 ± 5 72
13 ± √169 – 14472
x = 3x = –3
√9
x = 5x = –5
√25
y = 25y = 9
34 ± 16 2
34 ± √2562
34 ± √1 156 – 9002
√–4
x = 3x = –3
√9
y = 9y = –4
5 ± 13 2
5 ± √1692
5 ± √25 + 1442
x = 2x = –2
√4
x = 3x = –3
√9
y = 9y = 4
13 ± 52
13 ± √169 – 1442
y = –1 → x2 = – 1 → x = ±√—–1 → No tiene solución
y = –1 → x2 = – 2 → x = ±√—–2 → No tiene solución
y = –1y = –2
–3 ± 12
–3 ± √9 – 82
Pág. 32
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
y = → x2 = → x = ± =
y = → x2 = → x = ± =
59 Dos albañiles tardan 2 horas y 24 minutos en levantar un tabique, trabajandojuntos. El más joven, trabajando solo, habría tardado 6 horas en hacer elmismo trabajo. ¿Cuánto habría tardado el más viejo sin la ayuda de sucompañero?
• El más joven → Tarda 6 horas → Hace del trabajo en 1 hora.
• El más viejo → Tarda x horas → Hace del trabajo en 1 hora.
• Entre los dos → Tardan 2 h 24 min = (2 + ) h = (2 + ) h = h →
→ Hacen del trabajo en 1 hora.
Por tanto:
+ = → + = → 2x + 12 = 5x
12 = 5x – 2x → 12 = 3x → x = = 4 → x = 4
Solución: El más viejo habría tardado 4 horas
60 Un coche tarda 5 horas en cubrir el trayecto entre A y B. Un camión, que hasalido a la misma hora, y realiza el trayecto B-A, tarda 2 horas y 55 minutosen cruzarse con el coche. ¿Cuánto durará el viaje completo del camión?
• Coche → Tarda 5 horas → Recorre del camino en 1 hora.
• Camión → Tarda x horas → Recorre del camino en 1 hora.
• Entre los dos → Tardan en cruzarse 2 h 55 min = (2 + ) h = (2 + ) h =
= h → en 1 hora recorren del camino.1235
3512
1112
5560
1x
15
123
5x12x
1212x
2x12x
512
1x
16
512
125
25
2460
1x
16
x = 1/3x = –1/3√ 1
919
19
x = 1/2x = –1/2√ 1
414
14
Pág. 33
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
Por tanto:
+ = → + = → 7x + 35 = 12x
35 = 12x – 7x → 35 = 5x → x = = 7 → x = 7
Solución: El viaje completo del camión durará 7 horas.
61 Una piscina tiene un grifo de abastecimiento y un desagüe. Si se abre el grifo,la piscina se llena en 9 horas. Si, además del grifo, se abre el desagüe, entoncesel tiempo de llenado es de 36 horas. ¿Cuánto tiempo tardará el desagüe en va-ciar la piscina llena, estando cerrado el grifo?
• Grifo → Tarda 9 horas en llenarla → Llena de piscina en 1 hora.
• Desagüe → Tarda x horas en vaciarla → Vacía de piscina en 1 hora.
• Juntos → Tarda 36 horas en llenarse → Se llena de piscina en 1 hora.
Por tanto:
– = → – = → 4x – 36 = x
4x – x = 36 → 3x = 36 → x = = 12 → x = 12
Solución: El desagüe tardará 12 horas en vaciar la piscina, estando cerrado el grifo.
62 Un usurero que cobra un interés del 25% mensual reclama a una víctima elpago de 350 € para saldar una deuda contraída hace 20 días. ¿Qué cantidadle prestó?
• Interés por los 20 días → · 25% = %
• Si le prestó x €, tiene que devolver:
(1 + ) · x = 350 € → x = 350 → x = 300 €
Solución: Le prestó 300 €.
350300
50300
503
2030
363
x36x
3636x
4x36x
136
1x
19
136
1x
19
355
12x35x
3535x
7x35x
1235
1x
15
Pág. 34
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
63 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de oro de 1 kg de peso. ¿Cuál era la pureza del segundo, si la dela mezcla resultante es del 67%?
4 · 0,67 = 2,4 + 0,01x → 2,68 = 2,4 + 0,01x → 2,68 – 2,4 = 0,01x
0,28 = 0,01x → x = = 28%
Solución: El segundo lingote tiene un 28% de pureza.
64 ¿Cuántos gramos de oro puro hay que mezclar con 7 gramos de 20 quilatespara obtener oro de 21,2 quilates?
Recordamos que una ley de 24 kilates significa que es oro puro; así, una ley de
20 kilates significa que partes del lingote son de oro.
(x + 7) · = x + → =
21,2x + 148,4 = 24x + 140 → 148,4 – 140 = 24x – 21,2x
8,4 = 2,8x → x = = 3 → x = 3 gramos
Solución: Hay que mezclarlo con 3 gramos de oro puro.
65 Se ha fundido un pendiente de oro de 3 gramos con una cadena de oro de 7gramos, para fabricar una pulsera. Si el pendiente era de oro puro y la pulse-ra ha resultado ser de 21,2 quilates, ¿cuál era la ley de la cadena?
Recuerda que una ley de 24 kilates significa que es oro puro; así, una ley de
21,2 kilates significa que partes son de oro.21,224
8,42,8
24x + 14024
21,2x + 148,424
14024
21,224
2024
0,280,01
Pág. 35
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
3 80% 3 · 0,8 = 2,4
1 x% 1 · = 0,01x
4 67% 4 · 0,67 = 2,4 + 0,01x
x100
CANTIDAD (kg) PUREZA CANTIDAD DE ORO (kg)
1er– LINGOTE
2º- LINGOTE
MEZCLA
x 24 x
7 20 7 · =
x + 7 21,2 (x + 7) · = x + 14024
21,224
14024
2024
CANTIDAD (kg) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g)
1º-
2º-
MEZCLA
10 · = 3 + → = → 212 = 72 + 7x
212 – 72 = 7x → 140 = 7x → x = = 20 → x = 20 kilates
Solución: La cadena era de 20 kilates.
1407
72 + 7x24
21224
7x24
21,224
Pág. 36
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 5. Ecuaciones
5
3 24 3
7 x 7 · =
10 21,2 10 · = 3 + 7x24
21,224
7x24
x24
PESO (g) LEY (kilates) CANTIDAD DE ORO (g)
PENDIENTE
CADENA
PULSERA(mezcla)
Página 135
PRACTICA
1 Completa los siguientes sistemas de ecuaciones para que ambos tengan la so-lución x = 2, y = –1.
a) b)
Sustituimos en cada ecuación x = 2, y = –1 y operamos:
a) b)
2 Comprueba si x = –2, y = es solución de los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b)
Sustituimos los valores en cada ecuación y vemos si se cumplen:
a)
b) –2 + 2 · = –2 + 1 = –1 ≠ –3 → No se cumple. → No es solución.
3 Resuelve por sustitución:
a) b)
c) d)
Solución: x = 7; y = 1
3(2y + 5) – 2y = 19 → 6y + 15 – 2y = 194y = 4 → y = 1 → x = 2y + 5 = 7
x = 2y + 53x – 2y = 19
a)
2x + 16 = 2y2y – 3x = 16
5x – 4y = 176x – y = 9
y = 54x 2y— + — = 63 5
x = 2y + 53x – 2y = 19
12
Se cumplen las ecuaciones:1
x = –2, y = –– es solución del sistema.2
17 · (–2) + 4 · — = –14 + 2 = –12213 · (–2) – 2 · — = –6 – 1 = –72
x + 2y = –32x + 6y = 1
7x + 4y = –123x – 2y = –7
12
3—x + 7y = –42
5 –3–2x – —y = —
2 2
2x + 3y = 13x – 4y = 10
3— x + 7y = …2
5–2x – — y = …
2
2x + 3y = …3x – 4y = …
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
y = 6x – 9 = –3. Solución: x = 1; y = –3
Solución: x = 0; y = 8
4 Resuelve por igualación:
a) b)
c) d)
e) f)
Solución: x = 1; y =
Solución: x = 1; y = 6
Solución: x = 3; y = 1
5 – 2y = 2 + y → 3 = 3y → y = 1x = 2 + y = 3
x = 5 – 2yx = 2 + y
x + 2y = 5x – y = 2
c)
y 2y – 5–– = ––– → 7y = 12y –30 →6 7
30 y→ 30 = 5y → y = — = 6 → x = — = 15 6
yx = ––
62y – 5
x = –––7
y = 6x
2y – 5x = –––
7
b)
52
2y–– = 4y – 9 → 2y = 20y – 45 → 45 = 18y →5
45 5 2y→ y = — = — → x = — = 118 2 5
2yx = ––5
x = 4y – 9
a)
7x – 2y = 85x – 3y = 1
5 + 3y = 2xx + 2y = 9
4x2y = —
32
5y = 2x + —3
x + 2y = 5x – y = 2
y = 6x2y – 5
x = —7
2yx = —
5x = 4y – 9
2x + 16 – 3x = 16 → –x = 0 → x = 02y = 2x + 16 = 16 → y = 8
2x + 16 = 2y2y – 3x = 16
d)
5x – 24x + 36 = 17–19x = –19 → x = 1
y = 6x – 95x – 4(6x – 9) = 17
5x – 4y = 176x – y = 9
c)
4x 4x–– + 2 = 6 → –– = 4 → 4x = 12 → x = 33 3
Solución: x = 3; y = 5
y = 54x 2y–– + –– = 63 5
b)
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
→ 4x = 2 → x = = → y = =
Solución: x = ; y =
x = 9 – 2y = . Solución: x = ; y =
x = = 2. Solución: x = 2; y = 3
5 Resuelve por reducción:
a) b)
c) d)
Sumando: 2x = 12 → x = = 6 → y = 3 – x = –3
Solución: x = 6; y = –3
Sumando: 8y = –24 → y = = –3
x = = –2. Solución: x = –2; y = –39 + 5y
3
–248
–6x + 10y = –186x – 2y = –6
· (–2)→
→
3x – 5y = 96x – 2y = –6
b)
122
x + y = 3x – y = 9
a)
x – 3y = 212x + 5y = –35
10x – 3y = 110x + 3y = 3
3x – 5y = 96x – 2y = –6
x + y = 3x – y = 9
8 + 2y7
8 + 2y 1 + 3y–––= ––– →7 5
→ 40 + 10y = 7 + 21y → 33 = 11y → y = 3
8 + 2yx = –––
71 + 3y
x = –––5
7x – 2y = 8
5x – 3y = 1
f )
137
377
377
5 + 3y–––= 9 – 2y →2
13→ 5 + 3y = 18 – 4y → 7y = 13 → y = ––7
5 + 3yx = –––2
x = 9 – 2y
5 + 3y = 2x
x + 2y = 9
e)
13
12
13
2x3
12
24
2x 6x + 2–– = ––– →3 15
→ 10x = 6x + 2 →
4x 2xy = –– = ––
6 36x + 2
y = –––15
6y = 4x
15y = 6x + 2
4x2y = ––
32
5y = 2x + ––3
d)
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Solución: x = ; y =
Sumando: 11y = –77 → y = = –7
x = 21 + 3y = 0
Solución: x = 0; y = –7
6 Resuelve por el método que consideres más adecuado:
a) b)
c) d)
e) f)
Solución: x = 2; y = 3
Sumando: 15x = 15 → x = 1
y = = . Solución: x = 1; y = 13
13
6x – 53
12x – 6y = 103x + 6y = 5
· 2→
→
6x – 3y = 53x + 6y = 5
b)
6x = –– = 2
34y 4y 12
10 + — = 14 → — = 4 → 4y = 12 → y = — = 33 3 4
3x = 6
4y5x + — = 14
3
a)
5x = 2y – 24x = 20 – 2y
2y x 1— – — = —5 3 15
15x – 15y = 2
1,2x + 0,7y = 7x – 0,5y = 1,5
5x + y = 63x – 2y = 14
6x – 3y = 53x + 6y = 5
3x = 64y
5x + — = 143
–7711
–2x + 6y = –422x + 5y = –35
· (–2)→
→
x – 3y = 212x + 5y = –35
d)
13
15
4 1Sumando: 20x = 4 → x = — = —
20 5–2 1
Restando: –6y = –2 → y = — = —–6 3
10x – 3y = 110x + 3y = 3
c)
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
y = 6 – 5x = –4. Solución: x = 2; y = –4
1,8 + 0,6y + 0,7y = 7 → 1,3y = 5,2 → y = = 4
x = 1,5 + 0,5y = 3,5. Solución: x = 3,5; y = 4
Sumando: 3y = 5
y = → x = = =
Solución: x = ; y =
Sumando: 9x = 18 → x = = 2 → y = = 6
Solución: x = 2; y = 6
7 Resuelve los sistemas:
a)
b)
c)
d) 0,2x – 1,7y = 6,11,23x + 0,8y = 3,75
3 · (x + 2) – 5 · (y + 1) = 95 + 3y
4x + — = 52
x + 3— = 5
y2 · (x – 3y) + x = 9
3 · (x – 1) + 3 · (y + 4) = 2 · (3x + y) – 9x y— – — = 32 3
5x + 22
189
5x – 2y = –24x + 2y = 20
5x = 2y – 24x = 20 – 2y
f )
53
95
95
2715
2 + 15y15
53
–15x + 18y = 3
15x – 15y = 2
· 3→
→
–5x + 6y = 1
15x – 15y = 2
6y – 5x = 1
15x – 15y = 2
2y x 1–– – –– = ––5 3 15
15x – 15y = 2
e)
5,21,3
x = 1,5 + 0,5y1,2(1,5 + 0,5y) + 0,7y = 7
1,2x + 0,7y = 7x – 0,5y = 1,5
d)
3x – 12 + 10x = 14 →26→ 13x = 26 → x = –– = 213
y = 6 – 5x
3x – 2(6 – 5x) = 14
5x + y = 6
3x – 2y = 14
c)
Pág. 5
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Sumando: –y = 0 → y = 0 → x = = 6
Solución: x = 6; y = 0
→
→ →
→ 5y – 3 = 3 + 2y → 3y = 6 → y = 2 → x = 3 + 2y = 7
Solución: x = 7; y = 2
Sumando: 49x = 49 → x = 1 → y = = –1
Solución: x = 1; y = –1
Sumando: 2,251x = 11,255 →
→ x = = 5 → y = = –3
Solución: x = 5; y = –3
3,75 – 1,23x0,8
11,2552,251
0,16x – 1,36y = 4,882,091x + 1,36y = 6,375
· 0,8→
· 1,7→
0,2x – 1,7y = 6,11,23x + 0,8y = 3,75
d)
5 – 8x3
9x – 15y = 2440x + 15y = 25
· 3→
· 5→
3x – 5y = 8
8x + 3y = 5
3x + 6 – 5y – 5 = 9
8x + 5 + 3y = 10
3(x + 2) – 5( y + 1) = 95 + 3y
4x + –––= 52
c)
x = 5y – 39 + 6y
3x – 6y = 9 → x = –––= 3 + 2y3
x + 3 = 5y
2x – 6y + x = 9
x + 3––= 5y
2(x – 3y) + x = 9
b)
18 + 2y3
–3x + y = –183x – 2y = 18
3x – 3 + 3y + 12 = 6x + 2y – 9
3x – 2y = 18
3(x – 1) + 3( y + 4) = 2(3x + y) – 9x y–– – –– = 32 3
a)
Pág. 6
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
PIENSA Y RESUELVE
8 Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67.
Llamamos x e y a los números que buscamos. Tenemos que:
Sumando: 2x = 258 → x = = 129 → y = 191 – x = 62
Solución: x = 129; y = 62
9 Dos kilos de peras y tres de manzanas cuestan 7,80 €. Cinco kilos de peras ycuatro de manzanas cuestan 13,20 €. ¿A cómo está el kilo de peras? ¿Y el demanzanas?
Llamamos x al precio del kilo de peras e y al precio del kilo de manzanas.Tenemos que:
Sumando: 7x = 8,4 → x = = 1,2 → x = 1,2
y = = 1,8 → y = 1,8
Solución: El kilo de peras cuesta 1,2 € y el de manzanas, 1,8 €.
10 Para pagar un artículo que costaba 3 €, he utilizado nueve monedas, unas de20 céntimos y otras de 50 céntimos.
¿Cuántas monedas de cada clase he utilizado?
Llamamos x al número de monedas de 20 céntimos e y al número de mone-das de 50 céntimos. Tenemos que:
–3x = –15 → x = = 5; y = 9 – x = 4
Solución: Hemos utilizado 5 monedas de 20 céntimos y 4 monedas de 50céntimos.
Página 136
11 Un fabricante de bombillas obtiene un beneficio de 0,3 € por cada pieza quesale del taller para la venta, pero sufre una pérdida de 0,4 € por cada piezadefectuosa que debe retirar. En una jornada ha fabricado 2 100 bombillas,obteniendo unos beneficios de 484,4 €. ¿Cuántas bombillas válidas y cuán-tas defectuosas se han fabricado en ese día?
–15–3
2x + 5(9 – x) = 302x + 45 – 5x = 30
y = 9 – x2x + 5y = 30
x + y = 920x + 50y = 300
7,8 – 2x3
8,47
–8x – 12y = –31,215x + 12y = 39,6
· (–4)→
· 3→
2x + 3y = 7,85x + 4y = 13,2
2582
x + y = 191x – y = 67
Pág. 7
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Llamamos x al número de bombillas válidas e y al número de bombillasdefectuosas. Tenemos que:
x = = 1 892 → y = 2 100 – x = 208
Solución: Se han fabricado 1 892 bombillas válidas y 208 defectuosas.
12 Una empresa aceitera ha envasado 3 000 litros de aceite en 1 200 botellas dedos y de cinco litros. ¿Cuántas botellas de cada clase se han utilizado?
Llamamos x al número de botellas de dos litros e y al número de botellas decinco litros. Tenemos que:
y = 1 200 – x = 200
Solución: Se han utilizado 1 000 botellas de dos litros y 200 botellas de cincolitros.
13 En un bar se venden bocadillos de jamón a 3,5 € y bocadillos de tortilla a 2 €.En una mañana vendieron 52 bocadillos y la recaudación final fue de 149 €.¿Cuántos se vendieron de cada clase?
Llamamos x al número de bocadillos de jamón e y al número de bocadillosde tortilla. Tenemos que:
→ y = 52 – x = 22
Solución: Se vendieron 30 bocadillos de jamón y 22 de tortilla.
3,5x + 104 – 2x = 1491,5x = 45 → x = 45/1,5 = 30 →
y = 52 – x3,5x + 2(52 – x) = 149
x + y = 523,5x + 2y = 149
2x + 6 000 – 5x = 3 0003 000 = 3x → x = 1 000
y = 1 200 – x2x + 5(1 200 – x) = 3 000
x + y = 1 2002x + 5y = 3 000
1 324,40,7
0,3x – 840 + 0,4x = 484,40,7x = 1 324,4
y = 2 100 – x0,3x – 0,4(2 100 – x) = 484,4
x + y = 2 1000,3x – 0,4y = 484,4
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
5 litros 2 l 2 l
14 En un test de 30 preguntas se obtienen 0,75 puntos por cada respuestacorrecta y se restan 0,25 puntos por cada error. Si mi nota ha sido 10,5,¿cuántos aciertos y cuántos errores he tenido?
Llamamos x al número de aciertos e y al número de errores. Tenemos que:
→
→
Solución: He tenido 18 aciertos y 12 errores.
15 Una empresa de productosplásticos recibe el encargode fabricar cierto númerode macetas para un día de-terminado. Al planificar laproducción, el gerente ad-vierte que si fabrican 250macetas diarias, faltarían 150 macetas al concluir el plazo que les han dado.Si fabrican 260 macetas diarias, entonces les sobrarían 80 macetas. ¿Cuántosdías de plazo tenían y cuántas macetas les encargaron?
Llamamos x a los días de plazo que tenían e y al número de macetas que en-cargaron. Tenemos que:
Solución: Tenían 23 días de plazo y les encargaron 5 900 macetas.
16 Una empresa fabrica dos tipos de bicicletas, A y B. Para fabricar una del mo-delo A, se necesitan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio, y para una del modeloB, 2 kg de cada uno de esos materiales. Si la empresa dispone de 80 kg deacero y 120 kg de aluminio, ¿cuántas bicicletas de cada tipo puede fabricar?
Llamamos x al número de bicicletas del tipo A e y al número de bicicletas deltipo B. Tenemos que:
Solución: Puede fabricar 20 bicicletas del tipo A y 30 del tipo B.
Restando: 2x = 40 → x = 2080 – x
y = ——— = 302
Acero → x + 2y = 80
Aluminio → 3x + 2y = 120
250x + 150 = 260x – 80 → 230 = 10x → x = 23y = 250x + 150 = 5 900
250x + 150 = y260x – 80 = y
0,75x – 7,5 + 0,25x = 10,5x = 18 → y = 30 – x = 12
y = 30 – x0,75x – 0,25(30 – x) = 10,5
x + y = 300,75x – 0,25y = 10,5
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
17 La base mayor de un trapecio es 2 cm más larga que la menor; la altura deltrapecio es 8 cm y su área 48 cm2. ¿Cuánto miden las bases?
Llamamos x a la base mayor e y a la base menor:
y + 2 + y = 12 → 2y = 10 → y = 5 → x = y + 2 = 7
Solución: La base mayor mide 7 cm y la menor, 5 cm.
18 En una parcela rectangular de 44 m de perímetro se hace un jardín rectangu-lar bordeado por un camino de 2 m de ancho.
Calcula las dimensiones de la parcela sabiendo que el área del jardín es de45 m2.
Llamamos x e y a las dimensiones de la parcela:
y = 22 – x
(x – 4)(22 – x – 4) = 45 → (x – 4)(18 – x) = 45 → 18x – x2 – 72 + 4x = 45
0 = x2 – 22x + 117 → x = = =
=
Solución: Las dimensiones de la parcela son 13 m × 9 m.
19 María ha comprado un abrigo que estaba rebajado un 15%. Marta ha com-prado otro abrigo 25 € más caro, pero ha conseguido una rebaja del 20%,con lo que solo ha pagado 8 € más que María. ¿Cuál era el precio de cadaabrigo?
Llamamos x al precio (sin rebajar) del abrigo de María e y al precio (sin reba-jar) del abrigo de Marta. Tenemos que:
x = 13 → y = 9x = 9 → y = 13
22 ± 42
22 ± √162
22 ± √484 – 4682
Perímetro → 2x + 2y = 44 → x + y = 22Área jardín → (x – 4)(y – 4) = 45
x = y + 2
x + y = 12
x = y + 2
(x + y) · 4 = 48
x = y + 2(x + y) · 8
Área → ––––= 482
Pág. 10
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
y
x
8 cm
x
y y – 4x – 4
2
2
22
Solución: El abrigo de María costaba 240 € y el de Marta, 265 €.
20 Un capital, colocado en el banco durante un año, ha producido un beneficiode 800 €. El beneficio habría sido el mismo si el capital se hubiera aumenta-do en 2 000 € y el interés anual se hubiera disminuido en un punto (en un1%). ¿A cuánto asciende el capital y a qué tanto por ciento ha estado coloca-do?
Llamamos x al capital (en euros) e y al tanto por ciento al que ha estadocolocado. Tenemos que:
(x + 2 000)( – 1) = 80 000 → 80 000 – x + – 2 000 = 80 000
–x2 + 160 000 000 – 2 000x = 0 → x2 + 2 000x – 160 000 000 = 0
x = =
=
y = = 6,84%
Solución: El capital es de 11 688,58 € y el tanto por ciento, 6,84%.
21 Por un pantalón y unos zapatos he pagado 126 €. Si el precio del pantalónaumentara en un 14%, entonces sería el 75% del precio de los zapatos.¿Cuánto pagué por cada uno?
Pantalón → Aumenta un 14% →
Zapatos → El 75% de y →
y = 126 – x = 76
Solución: El pantalón costaba 50 € y los zapatos, 76 €.
1,14x = 94,5 – 0,75x1,89x = 94,5 → x = 94,5/1,89 = 50
y = 126 – x1,14x = 0,75(126 – x)
x + y = 1261,14x = 0,75y
0,75yy
1,14xx
80 000x
x = 11 688,58x = –13 688,58 (no vale)
–2 000 ± 25 377,162
–2000 ± √4 000 000 + 640 000 0002
160 000 000x
80 000x
80 000y = –––
x
x · y = 80 000
(x + 2 000)(y – 1) = 80 000
yx · — = 800
100y – 1
(x + 2 000) · (––– ) = 800100
0,80(x + 25) = 0,85x + 8 → 0,80x + 20 = 0,85x + 812
12 = 0,05x → x = –– = 240 → y = x + 25 = 2650,05
y = x + 25
0,80y = 0,85x + 8
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Página 137
22 He pagado 90,50 € por una camisa y un jersey que costaban, entre los dos,110 €. En la camisa me han rebajado un 20% y en el jersey, un 15%. ¿Cuál erael precio original de cada artículo?
Llamamos x al precio original de la camisa e y al precio original del jersey.Tenemos que:
0,80x + 93,5 – 0,85x = 90,5 → 3 = 0,05x → x = = 60 → y = 50
Solución: La camisa costaba 60 € y el jersey, 50 €.
23 En un centro escolar hay matriculados 795 estudiantes entre los dos cursosde Bachillerato. El 45% de primero y el 52% de segundo son mujeres, lo quesupone un total de 384 alumnas entre los dos cursos. ¿Cuántos estudianteshay en cada curso?
Llamamos x al número de estudiantes de 1º- de Bachillerato e y al número deestudiantes de 2º- de Bachillerato. Tenemos que:
0,45x + 413,4 – 0,52x = 384 → 29,4 = 0,07x
x = = 420 → y = 795 – x = 375
Solución: Hay 420 estudiantes en 1º- y 375 estudiantes en 2º-.
24 Dos comerciantes emprenden un negociopara cuya realización fue necesario invertir100 000 €. A la hora de repartir benefi-cios, el primero cobró 2 160 € y el segun-do, 1 440 €. ¿Qué cantidad invirtió cadauno?
Llamamos x a la cantidad que invirtió el primero e y a la cantidad que invirtióel segundo.
• Total invertido = 100 000 €
• Beneficio total = 2 160 + 1 440 = 3 600 €
3 600 : 100 000 = 0,036 € de beneficio corresponden a cada euro invertido.
• Al primero le corresponden → 0,036x = 2 160 € → x = 60 000 €
• Al segundo le corresponden → 0,036y = 1 440 € → y = 40 000 €
Solución: El primero invirtió 60 000 € y el segundo, 40 000 €.
29,40,07
y = 795 – x0,45x + 0,52(795 – x) = 384
x + y = 7950,45x + 0,52y = 384
30,05
y = 110 – x0,80x + 0,85(110 – x) = 90,5
x + y = 1100,80x + 0,85y = 90,5
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
25 Tres socios han obtenido un beneficio de 12 900 €. ¿Qué cantidad corres-ponde a cada uno si para iniciar el negocio el primero aportó 2/3 de lo queaportó el segundo y este, 5/6 de lo que aportó el tercero?
–– Primero → aportó · x = = €
–– Segundo → aportó €
–– Tercero → aportó x €
Suma = x + + = aportaron entre los tres.
12 900 : = € de beneficio corresponden por cada euro invertido.
–– Primero → le corresponden · = 3 000 €
–– Segundo → le corresponden · = 4 500 €
–– Tercero → le corresponden x · = 5 400 €
Solución: Al primero le corresponden 3 000 €, al segundo, 4 500 €, y altercero, 5 400 €.
26 Un bodeguero ha mezclado dos cubas de vino: la primera, de mejor calidad, a3 €/litro y la segunda, de calidad inferior, a 2,2 €/litro. De esta forma ha ob-tenido 16 hl de un vino de calidad intermedia que sale a 2,5 €/litro. ¿Cuálera el contenido de cada cuba?
3x + 3 520 – 2,2x = 4 000 → 0,8x = 480 → x = = 600
y = 1 600 – x = 1 000
Solución: La de mejor calidad contenía 600 litros y la de calidad inferiorcontenía 1 000 litros.
27 El aceite de oliva cuesta el doble que el de orujo, y si se mezclan en una pro-porción de 5 a 3 (en litros), resulta un aceite de calidad intermedia que cues-ta 2,6 €/litro ¿Cuál es el precio de cada clase de aceite?
4800,8
y = 1 600 – x3x + 2,2(1 600 – x) = 4 000
x + y = 1 6003x + 2,2y = 4 000
5 400x
5 400x
5x6
5 400x
5x9
5 400x
43x18
43x18
5x9
5x6
5x6
5x9
10x18
56
23
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
MEJOR CALIDAD
CALIDAD INFERIOR
MEZCLA
CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL (€)
x 3 3xy 2,2 2,2y
x + y = 1 600 2,5 3x + 2,2y = 2,5 · 1 600
Solución: El de oliva cuesta 3,2 €/l y el de orujo, 1,6 €/l.
28 Juntando el agua de una cazuela que está a 15 °C con la de otra cazuela, a60 °C, se ha llenado una olla de 9 litros que ha resultado a una temperaturade 45 °C. ¿Cuántos litros había en cada cazuela?
→ 135 = 45x → x = = 3
y = 9 – x = 6
Solución: En la 1ª- cazuela había 3 litros y en la segunda, 6 litros.
29 Se ha fundido una cadena de oro del 80% de pureza junto con un anillo del64% de pureza. Así se han obtenido 12 gramos de oro de una pureza del76%. ¿Cuántos gramos pesaba la cadena y cuántos el anillo?
0,8x + 7,68 – 0,64x = 9,12 → 0,16x = 1,44 → x = = 9
y = 12 – x = 3
Solución: La cadena pesaba 9 gramos y el anillo, 3 gramos.
1,440,16
y = 12 – x0,8x + 0,64(12 – x) = 9,12
x + y = 120,8x + 0,64y = 9,12
13545
15x + 60(9 – x) = 405 →
→ 15x + 540 – 60x = 405 →
15x + 60y = 405
y = 9 – x
15x + 60y–––– = 45
9x + y = 9
5 · 2y + 3y = 20,8 → 10y + 3y = 20,8 →20,8→ 13y = 20,8 → y = –– = 1,6 → x = 3,213
x = 2y
5x + 3y = 20,8
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
5 x = 2y 5x3 y 3y8 2,6 5x + 3y = 8 · 2,6
CANTIDAD (l ) PRECIO/l COSTE TOTAL (€)
OLIVA
ORUJO
MEZCLA
x 80% 0,8xy 64% 0,64y
x + y = 12 76% 0,8x + 0,64y = 12 · 0,76
CANTIDAD (g) PUREZA CANTIDAD DE ORO (g)
CADENA
ANILLO
MEZCLA
x 15 °C 15xy 60 °C 60y
x + y = 9 45 °C 15x + 60y
CANTIDAD (l ) TEMPERATURA (°C)
1ª- CAZUELA
2ª- CAZUELA
MEZCLA
30 Un tren de cercanías sale de una estación a 90 km/h. Media hora más tarde,sale otro más rápido en la misma dirección a 110 km/h. ¿Cuánto tardará enalcanzar al primero?
El primer tren ha recorrido 45 km en 1/2 hora. (e = v · t )
Solución: Tardará 2,25 h, es decir, 2 h 15 min, en alcanzarlo.
31 Un tren que avanza a 70 km/h lleva una ventaja de 90 km a otro tren queavanza por una vía paralela a 110 km/h. Calcula el tiempo que tarda el se-gundo tren en alcanzar al primero y la distancia recorrida hasta lograrlo.
Solución: Tarda 2,25 h, es decir, 2 h 15 min, en alcanzarlo. Hasta ese momentorecorre 247,5 km.
32 Dos ciclistas avanzan por la misma carretera en el mismo sentido y les separauna distancia de 7,5 km. Si sus velocidades están en relación de 3 a 4, y el se-gundo tarda 45 minutos en alcanzar al primero, ¿cuál era la velocidad de cadauno?
t = 45 min = h = 0,75 h34
70t + 90 = 110t → 90 = 40t → t = 2,25 hx = 70t = 157,5 → x + 90 = 247,5
x = 70tx + 90 = 110t
4590t + 45 = 110t → 45 = 20t → t = –– = 2,25 h = 2 h 15 min
20x = 90 · 2,25 = 202,5 km
x = 90t
x + 45 = 110t
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
� 90 km/h
� 110 km/h
45 + x←→
←→←→h; 45 km
x12
x 90 tx + 45 110 t
ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO
1–er TREN
2-º TREN
x 70 tx + 90 110 t
ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO
1–er TREN
2-º TREN110 km/h
90 km x
70 km/h
4 v
7,5 km x
3 v
x 3v 0,75x + 7,5 4v 0,75
ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO
(km) (km/h) (h)
1–er CICLISTA
2-º CICLISTA
Solución: El primero llevaba una velocidad de 30 km/h y el segundo, de 40 km/h.
Página 138
33 Dos ciudades, A y B, dis-tan 350 km. En un deter-minado momento un co-che inicia su viaje de Ahacia B y, simultáneamen-te, un camión inicia el suyo de B hacia A. ¿Cuál es la velocidad de cada uno,sabiendo que tardan 1 hora y 45 minutos en cruzarse y que la velocidad delcoche supera a la del camión en 20 km/h?
t = 1 h 45 min = 1 h + h = 1,75 horas
→ x + 20 = 110
Solución: La velocidad del coche es de 110 km/h y la del camión, de 90 km/h.
34 Un camión de transporteshace, una vez a la semana,la ruta entre las ciudades Ay B. Si va a 80 km/h, tar-da, solo en ir, tres horasmás que si va a 100 km/h. ¿Cuál es la distancia entre las ciudades?
240 = 20t → t = = 12 h
x = 100t = 1 200 km
Solución: La distancia entre A y B es de 1 200 km.
24020
80(t + 3) = 100t80t + 240 = 100t
x = 80(t + 3)x = 100t
1,75x + 35 = 350 – 1,75x315
3,5x = 315 → x = –– = 903,5
y = 1,75x + 35
y = 350 – 1,75x
y = (x + 20) · 1,75
350 – y = 1,75x
34
3v = 30 km/h4v = 40 km/h
2,25v + 7,5 = 3v →7,5→ 7,5 = 0,75v → v = –– = 10 km/h
0,75
x = 2,25v
x + 7,5 = 3v
x = 3v · 0,75
x + 7,5 = 4v · 0,75
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
(x + 20) km/h
350 – yyA B
x km/h
coche camión
y x + 20 1,75350 – y x 1,75
ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO
(km) (km/h) (h)COCHE
CAMIÓN
x 80 t + 3x 100 t
ESPACIO VELOCIDAD TIEMPO
(km) (km/h) (h)
A
350 km←→
B
35 La suma de las dos cifras de un número es 10. Si las invertimos, obtenemosotro número que es igual al triple del anterior menos 2. ¿Cuál es el númeroinicial?
Cifra de las decenas: x
Cifra de las unidades: y
Valor del número: 10x + y
Valor del número invertido: 10y + x
1-ª condición: x + y = 10
2-ª condición: 10y + x = 3(10x + y) – 2
y = 10 – x
29x – 7(10 – x) = 2 → 29x – 70 + 7x = 2 → 36x = 72 → x = = 2
y = 10 – x = 8
Solución: El número inicial es 28.
36 La suma de las dos cifras de un número es 12. Si la invertimos, obtenemosotro número igual al doble del anterior menos 12. ¿Cuál es el número inicial?
y = 12 – x
19x – 8(12 – x) = 12 → 19x – 96 + 8x = 12 → 27x = 108 → x = = 4
y = 12 – x = 8
Solución: El número inicial es 48.
37 Un número de tres cifras es capicúa. La cifra de las centenas es tres unidadesmenor que la de las decenas. La suma de las tres cifras es doce. Calcula dichonúmero.
Llamamos x a la cifra de las unidades(que coincide con la de las centenas) e ya la cifra de las decenas. Tenemos que:
xUnidades
yDecenas
xCentenas
10827
x + y = 1219x – 8y = 12
x + y = 1210y + x = 20x + 2y – 12
x + y = 1210y + x = 2(10x + y) – 12
Llamamos x a la cifrade las decenas e y a lacifra de las unidades.
x y— — → número = 10x + yDecenas Unidades
y x— — → número = 10y + x
7236
x + y = 1029x – 7y = 2
x + y = 1010y + x = 30x + 3y – 2
x + y = 1010y + x = 3(10x + y) – 2
Pág. 17
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Solución: El número es 363.
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
38 Escribe un sistema de ecuaciones con dos incógnitas cuya única solución seax = 1, y = 1.
Por ejemplo:
39 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
40 Resuelve, por tanteo, los siguientes sistemas de ecuaciones:
a) b)
c) d)
a) x = 6 ; y = 4 b) x = 5 ; y = 5
c) (0, 5) y (5, 0) d) x = 2 ; y = 2
41 Identifica entre los siguientes sistemas los que tienen infinitas soluciones, losque tienen solo una y los que no tienen ninguna:
a) b)
c) d)
e) f )
a) Infinitas soluciones (la 2ª- ecuación es el doble de la 1ª-).
b) Una solución.
c) Infinitas soluciones (las dos ecuaciones son en realidad la misma).
d) Ninguna solución (las ecuaciones son contradictorias).
e) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias).
f ) Ninguna solución (ecuaciones contradictorias).
x – 3y = 112x – 6y = 21
5x + y = 410x + 2y = 4
2x + 5y = 112x + 5y = 3
5x – y = 45x + 1 = y + 5
x + 3y = 9x – 2y = 5
3x + 5y = 46x + 10y = 8
√—x + y = 2
x – y = 0
x2 + y2 = 25x + y = 5
x + y = 10x – y = 0
x + y = 10x – y = 2
x + y = 1 + 1 = 2x – y = 1 – 1 = 0
2(y – 3) + y = 12 → 2y – 6 + y = 12 →18→ 3y = 18 → y = –– = 6 → x = y – 3 = 33
x = y – 3
2x + y = 12
x = y – 3
x + y + x = 12
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
42 ¿Cuáles de los sistemas del ejercicio anterior son indeterminados? Busca tressoluciones para cada uno.
a) (3, –1) ; (–2, 2) ; (0, ) ; … son soluciones del sistema.
c) (0, –4) ; (1, 1) ; (–1, –9) ; … son soluciones del sistema.
43 Comprueba si el par (0, 3) es solución de este sistema:
Sustituimos x = 0, y = 3 en cada ecuación y vemos si se cumplen:
Por tanto, (0, 3) no es solución del sistema.
Página 139
PROFUNDIZA
44 Resuelve, por sustitución, este sistema:
Despejamos la y en la primera ecuación y sustituimos en la segunda:
y = 4 – 2x → x2 + 4 – 2x = 7 → x2 – 2x – 3 = 0
x = = =
45 Resuelve, por sustitución, los siguientes sistemas:
a) b)
c) d) x + y = 5x2 – y2 = 5
x – y = 02x2 – y2 = 9
x2 + y = 24y = 2x + 16
x – 7 = 0x2 – y2 = 40
x = 3 → y = –2x = –1 → y = 6
2 ± 42
2 ± √162
2 ± √4 + 122
y = 4 – 2xx2 + 4 – 2x = 7 → x2 – 2x – 3 = 0
2x + y = 4x2 + y = 7
2x + y = 4x2 + y = 7
x + y = 3 → 0 + 3 = 3 → Sí se cumple.2x + 4y = 12 → 2 · 0 + 4 · 3 = 0 + 12 = 12 → Sí se cumple.x + 5y = 10 → 0 + 5 · 3 = 15 ≠ 10 → No se cumple.
x + y = 32x + 4y = 12x + 5y = 10
45
Pág. 19
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Hay dos soluciones: x = 7, y = 3
x = 7, y = –3
→
x2 – 25 + 10x – x2 = 5 → 10x = 30 → x = = 3 → y = 5 – x = 2
Solución: x = 3, y = 2
46 La diferencia de dos números es 6 y la de sus cuadrados, 144. Calcula esosnúmeros.
Llamamos x e y a los números que buscamos. Tenemos que:
12y = 108 → y = = 9 → x = 6 + y = 15
Solución: Los números son 15 y 9.
47 Halla dos números cuya suma es 15 y la de sus cuadrados es 113.
Llamamos x e y a los números que buscamos. Tenemos que:
2x2 – 30x + 112 = 0 → x2 – 15x + 56 = 0
x = =
Solución: Los números son 7 y 8.
x = 8 → y = 7x = 7 → y = 8
15 ± 12
15 ± √225 – 2242
y = 15 – xx2 + (15 – x)2 = 113 → x2 + 225 – 30x + x2 = 113
x + y = 15x2 + y2 = 113
10812
x = 6 + y(6 + y)2 – y2 = 144 → 36 + 12y + y2 – y2 = 144
x – y = 6x2 – y2 = 144
3010
y = 5 – xx2 – (5 – x)2 = 5 → x2 – (25 – 10x + x2) = 5
x + y = 5x2 – y2 = 5
d)
y = 3 → x = 3y = –3 → x = –3
x = y2y2 – y2 = 9 → y2 = 9 → y = ±√
––9
x – y = 02x2 – y2 = 9
c)
x = 2 → y = 20x = –4 → y = 8
x2 + 2x + 16 = 24 → x2 + 2x – 8 = 0
–2 ± √––––4 + 32 –2 ± √
––36 –2 ± 6
x = –––––– = ––––– = ––––– →2 2 2
x2 + y = 24
y = 2x + 16
b)
y = 3y = –3
x = 749 – y2 = 40 → 9 = y2 → y = ±√
––9
x – 7 = 0x2 – y2 = 40
a)
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
48 La diagonal de un rectángulo mide 26 m y el perímetro 68 m. Calcula sus lados.
Llamamos x a la longitud de la base del rectángulo e y a la longitud de sualtura. Tenemos que:
y = 34 – x
x2 + (34 – x)2 = 676 → x2 + 1 156 – 68x + x2 = 676 →
→ 2x2 – 68x + 480 = 0 → x2 – 34x + 240 = 0
x = = =
Solución: Los lados del rectángulo miden 10 m y 24 m.
49 Calcula x e y sabiendo que la superficie de A es nueve veces la de B.
☛ A es un cuadrado de lado y. B es un cuadrado de lado x.
x = = =
=
Solución: x = 1,25 m; y = 3,75 m
50 La edad de Pedro, hoy, es el cuadrado de la de su hija, pero dentro de nueveaños será solamente el triple. ¿Qué edad tiene cada uno?
20x = –– = 1,25 → y = 3,7516
x = –2,5 (no vale)
–10 ± 3016
–10 ± √90016
–10 ± √100 + 80016
y = 5 – x(5 – x)2 = 9x2 → 25 – 10x + x2 = 9x2 → 0 = 8x2 + 10x – 25
x + y = 5y2 = 9x2
x = 24 → y = 10x = 10 → y = 24
34 ± 142
34 ± √1962
34 ± √1 156 – 9602
x2 + y2 = 676
x + y = 34
x2 + y2 = 262
2x + 2y = 68
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
26 cm y
x
5 m
xy
A
B
x x + 9y y + 9
HOY DENTRO DE 9 AÑOS
HIJA
PEDRO
x2 = 3x + 18 → x2 – 3x – 18 = 0
x = = =
Solución: Pedro tiene 36 años y su hija, 6.
51 En un rombo, una diagonal es doble que la otra y el área es 4 dm2. ¿Cuántomide su lado?
Llamamos x e y a las diagonales del rombo:
→
→ x · 2x = 8 → 2x2 = 8 → x2 = 4
x = ±
Calculamos el lado del rombo mediante el teorema de Pitágoras:
l2 = 22 + 12 → l2 = 4 + 1 = 5 → l = ≈ 2,24 dm
Solución: El lado mide ≈ 2,24 dm.
52 Si la base de un rectángulo disminuye 80 cm y la al-tura aumenta 20 cm, se convierte en un cuadrado.
Si la base disminuye 60 cm y la altura aumenta20 cm, su área disminuye 400 cm2.
Calcula las dimensiones del rectángulo.
Llamamos x a la base e y a la altura. Tenemos que:
x = 130
Solución: La base mide 130 cm y la altura 30 cm.
y + 100 = 3y + 40 →→ 60 = 2y → y = 30
x = y + 100x = 3y + 40
x = y + 100x – 3y = 40
x = y + 10020x – 60y = 800
x = y + 100x · y + 20x – 60y – 1 200 = x · y – 400
x – 80 = y + 20(x – 60)(y + 20) = x · y – 400
√5
√5
x = –2 (no vale)x = 2 → y = 4
√4
y = 2x
x · y = 8
y = 2xx · y
Área → ––– = 42
x = 6 → y = 36x = –3 (no vale)
3 ± 92
3 ± √812
3 ± √9 + 722
y = x2
y = 3x + 18
y = x2
y + 9 = 3(x + 9)
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
y
x
l
l2
1
x
y
53 Un coche tarda en realizar el trayecto A-B dos horas más de lo que tarda uncamión en realizar el trayecto contrario, B-A. Saliendo simultáneamente, tar-dan 2 horas y 55 minutos en cruzarse. ¿Cuánto tarda cada uno en completarsu recorrido?
2 horas 55 minutos = (2 + ) horas = (2 + ) horas = horas
–– Coche → Tarda x horas en ir de A a B → Hace del trayecto
en 1 hora.
–– Camión → Tarda y horas en ir de B a A → Hace del trayecto
en 1 hora.
–– Juntos → Tardan h en hacer el trayecto → Hacen del
trayecto en 1 hora.
→ 35y + 35y + 70 = 12y2 + 24y → 0 = 12y2 – 46y – 70 = 0
y = = =
=
Solución: El coche tarda 7 horas y el camión, 5 horas.
54 Un grifo tarda en llenar una piscina 3 horas menos que su desagüe en vaciar-la. Si se abren ambos a la vez, estando vacía, la piscina tarda 36 horas en lle-narse. ¿Cuánto tardará cada uno en cumplir su tarea si el otro permanececerrado?
–– Grifo → Tarda x horas en llenarla. → Llena en 1 hora.
–– Desagüe → Tarda y horas en vaciarla. → Vacía en 1 hora.
–– Juntos → Tardan 36 h en llenarse. → Se llena en 1 hora.136
1y
1x
y = 5 → x = 7–7
y = –– (no vale)6
46 ± 7424
46 ± √5 47624
46 ± √2 116 + 3 36024
1 1 12––– + –– = –– → 35y + 35(y + 2) = 12y (y + 2) →y + 2 y 35
x = y + 21 1 12–– + –– = ––x y 35
1235
3512
1y
1x
3512
1112
5560
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
→ 36y – 36y + 108 = y2 – 3y → 0 = y2 – 3y – 108
y = = =
Solución: El grifo tardará 9 horas en llenarla y el desagüe, 12 horas en vaciarla.
55 Resuelve este sistema:
☛ Halla la solución de las dos primeras ecuaciones y prueba si verifica la tercera.
Resolvemos el sistema formado por las dos primeras ecuaciones:
–– Veamos si esta solución verifica la tercera ecuación:
x + y = 4 → 3 + 1 = 4 → Sí la cumple.
Por tanto, la solución del sistema es: x = 3, y = 1
56 Resuelve los siguientes sistemas:
a) b)
c) d)
x + z = 8–x + z = 2
y = 7 – xx + z = 87 – x + z = 9
x + y = 7x + z = 8y + z = 9
b)
x = –1y = 6z = 8
x = –1y = 5 – x = 5 – (–1) = 5 + 1 = 6z = –2x + y = 2 + 6 = 8
2x = –2x + y = 52x – y + z = 0
a)
x – y = z2x – z = 4x + y = 6 – z
x + 3y – z = 52y + z = 43z = 6
x + y = 7x + z = 8y + z = 9
2x = –2x + y = 52x – y + z = 0
5 – 2y = 2 + y → 3 = 3y → y = 1x = 3
x = 5 – 2yx = 2 + y
x + 2y = 5x – y = 2
x + 2y = 5x – y = 2x + y = 4
y = 12 → x = 9y = –9 (no vale)
3 ± 212
3 ± √4412
3 ± √9 + 4322
1 1 1––– – –– = –– → 36y – 36(y – 3) = y (y – 3) →y – 3 y 36
x = y – 31 1 1–– – –– = ––x y 36
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Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Sumando: 2z = 10 → z = 5
x = 8 – z = 8 – 5 = 3 → x = 3
y = 7 – x = 7 – 3 = 4 → y = 4
Solución: x = 3, y = 4, z = 5
x = = 3; y = 4 – x = 4 – 3 = 1; z = x – y = 3 – 1 = 2
Solución: x = 3, y = 1, z = 2
57 La suma de tres números es 16, la diferencia entre los dos mayores, 4, y el pro-ducto de los dos más pequeños es 10. Calcula dichos números.
Llamamos a los números (ordenados de mayor a menor) x, y, z. Tenemos que:
0 = 2y2 – 12y + 10 → 0 = y2 – 6y + 5
y = = =
Hay dos soluciones: 9, 5, 2
5, 1, 10
y = 5 → x = 9, z = 2y = 1 → x = 5, z = 10
6 ± 42
6 ± √162
6 ± √36 – 202
4 + y + y + z = 16 → 2y + z = 12 → z = 12 – 2yx = 4 + yy · z = 10 → y · (12 – 2y) = 10 → 12y – 2y2 = 10
x + y + z = 16x – y = 4y · z = 10
62
x + y = 42x = 6
2x – x + y = 4x + y = 6 – x + y
2x – (x – y) = 4x + y = 6 – (x – y)
x – y = z2x – z = 4x + y = 6 – z
d)
x = 4
y = 1
z = 2
6z = –– = 2
34 – z 4 – 2
y = ––– = ––– = 12 2
x = 5 – 3y + z = 5 – 3 + 2 = 4
x + 3y – z = 5
2y + z = 4
3z = 6
c)
Pág. 25
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 6. Sistemas de ecuaciones
6
Página 160
PRACTICA
Ángulos
1 Calcula la medida de ∧X en
cada figura:
a) x∧ = 180° – A∧
= 139° 40'
b) x∧ = 180° – A∧
= 127°
2 Calcula la medida de ∧X en cada caso:
a)
A'∧
= 180° – A∧
= 180° – 140° = 40°
B'∧
= 180° – B∧
= 180° – 150° = 30°
X∧
= 180° – (40° + 30°) = 110°
b) X∧
= A∧
– B∧
= 115° – 25° = 90°
c)
B'∧
= 180° – 70° = 110°
X∧
= 180° – (33° + 110°) = 37°
d)
X∧
= 180° – A∧
– B∧
= 180° – 120° – 18° = 42°
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
A^ = 140°B^ = 150°
A^ = 33°B^ = 70°
a)
c)
A^
A^
B^
B^
X^ A
^ = 115°B^ = 25°
A^ = 120°B^ = 18°
b)
d)
A^
A^
B^
B^
X^
X^
X^
A^ = 140°B^ = 150°
A^
A^'
B^'
B^
X^
B^'
A^ = 33°B^ = 70°
A^ B
^
X^
A^ = 120°B^ = 18°
A^ B
^
B^
X^
A^
A^
X^
X^
A^ = 40° 20'
A^ = 53°
a) b)
3 Calcula los ángulos desconocidos:
a) X∧
= 40° ; Y∧
= 90° – X∧
= 90° – 40° = 50° = Y∧
Z∧
= 180° – Y∧
= 180° – 50° = 130°
b) A∧
= 180° – 140° = 40° ; B∧
= 140° ; C∧
= 40°
Q∧
= 40° ; P∧
= 140° ; M∧
= 40° ; N∧
= 140°
4 ¿Verdadero o falso?
a)∧A =
∧D +
∧E b)
∧D +
∧B +
∧F = 180°
c) 180° – ∧B =
∧A d) 180° –
∧H =
∧A
e)∧G = 180° – (
∧E +
∧Y ) f)
∧A =
∧J
Todas son verdaderas.
5 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
6 Calcula los ángulos ∧X,
∧Y,
∧Z en los siguientes polígonos regulares:
Pág. 2
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Unidad 7. Figuras planas
7
40°
a)
X^
Y^Z
^
140°b)
A^
C^
M^
N^
P^
Q^
B^
A^
D^
E^
F^
G^
H^
Y^
J^C
^
B^
a)
c)
X^
X^
Y^
Y^
Z^
b)
d)
X^
X^
Y^
Y^
Z^
Z^
Z^
a) X∧
= = 120° ; Y∧
= 180° – X∧
= 180° – 120° = 60°
Z∧
= 360° – Y∧
= 360° – 60° = 300°
b) X∧
= = 90° ; Y∧
= 180° – X∧
= 180° – 90° = 90°
Z∧
= 360° – 90° = 270°
c) X∧
= = 60° ; Y∧
= 180° – X∧
= 180° – 60° = 120°
Z∧
= 360° – 120° = 240°
d) X∧
= = 45° ; Y∧
= 180° – X∧
= 180° – 45° = 135°
Z∧
= 360° – Y∧
= 360° – 135° = 225°
Teorema de P i tágoras
7 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 4,5 m y 6 m; en otro triángulorectángulo, un cateto mide 7,2 m, y la hipotenusa 7,5 m. ¿Cuál de los dostiene mayor perímetro?
x2 = 4,52 + 62 → x2 = 20,25 + 36 →
→ x2 = 56,25 →
→ x = = 7,5 m
Perímetro = 7,5 + 4,5 + 6 = 18 m
7,52 = y2 + 7,22 → 56,25 = y2 + 51,84 →
→ y2 = 56,25 – 51,84
y2 = 4,41 → y = = 2,1 m
Perímetro = 7,5 + 7,2 + 2,1 = 16,8 m
El primero tiene mayor perímetro.
Página 161
8 Calcula el valor de x en estos polígonos:
√4,41
√56,25
360°8
360°6
360°4
360°3
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
4,5 m
7,2 m
6 m
7,5 m
x
y
5
55
a)
x
b)
3
6
x
a) 52 = x2 + 2,52 → 25 = x2 + 6,25 →
→ x2 = 25 – 6,25 = 18,75
x = ≈ 4,33
b) x2 = 32 + 62 → x2 = 9 + 36 →
→ x2 = 45 →
→ x = ≈ 6,71
c)
x2 = 42 + 2,52 → x2 = 16 + 6,25 = 22,25 →
→ x = � 4,72
d)
x2 = 62 + 62 → x2 = 36 + 36 = 72 →
→ x = ≈ 8,49
9 Calcula x en cada caso:
√72
√22,25
√45
√18,75
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
2,5 2,5
55 x
3
6
x
8
54
2,5x x
6
6x
x
a)
d)x
5
10c)
x
45°
8
b)
x 30°
60°
e)
x10
60° 60°6
c)
8
5
x d)
6
x
a) (2x)2 = 62 + x2 → 4x2 = 36 + x2 →
→ 4x2 – x2 = 36 →
→ 3x2 = 36
x2 = = 12 → x = ≈ 3,46
b) 82 = x2 + 42 → 64 = x2 + 16 →
→ x2 = 64 – 16 = 48 →
→ x = ≈ 6,93
c) 102 = x2 + 52 → 100 = x2 + 25 →
→ x2 = 100 – 25 = 75
x = ≈ 8,66
d)
x2 = 52 + 52 → x2 = 25 + 25 = 50 →
→ x = ≈ 7,07
e) 102 = x2 + x2 → 100 = 2x2 →
→ x2 = 50 →
→ x = ≈ 7,07
Otra forma:
x2 = 52 + 52 → x2 = 25 + 25 = 50 →
→ x = ≈ 7,07
10 La diagonal de un rectángulo de lados 5 cm y 12 cm es igual al lado de uncuadrado. ¿Cuánto mide la diagonal de ese cuadrado?
• Hallamos la longitud de la diagonal del rectángulo:
d 2 = 122 + 52 → d 2 = 144 + 25 = 169 →
→ d = = 13 cm√169
√50
√50
√50
√75
√48
√12363
Pág. 5
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
xx
62x2x
8
4
x
10
10
55
x
x
5
5
x
x
10
x
5 5
d 5 cm5 cm
12 cm
• Hallamos la longitud de la diagonal del cuadrado:
D2 = 132 + 132 → D2 = 169 + 169 = 338
D = ≈ 18,38 cm
11 Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados:
a) 5 m, 6 m y 7 m. b) 13 m, 15 m y 20 m.
c) 45 m, 27 m y 36 m. d) 35 m, 28 m y 46 m.
12 Una escalera de 5 m de largo está apoyada en la pared. Su extremo inferior es-tá a 1,2 m de la misma. ¿Qué altura alcanza su extremo superior?
Llamamos x a la altura que alcanza:
52 = x2 + 1,22 → 25 = x2 + 1,44 →
→ x2 = 25 – 1,44 = 23,56
x = � 4,85
13 La diagonal de un rectángulo mide 10 cm, y uno de los lados, 6 cm. Calculasu perímetro.
Llamamos x al lado desconocido:
102 = x2 + 62 → 100 = x2 + 36 →
→ x2 = 100 – 36 = 64
x = = 8
Perímetro = 2 · 6 + 2 · 8 = 12 + 16 = 28 cm
√64
√23,56
a2 + b2 < c2 →→ Triángulo obtusángulo
a2 + b2 = 352 + 282 = 1 225 + 784 = 2 009
c2 = 462 = 2 116
d)
a2 + b2 = c2 →→ Triángulo rectángulo
a2 + b2 = 272 + 362 = 729 + 1 296 = 2 025
c2 = 452 = 2 025
c)
a2 + b2 < c2 →→ Triángulo obtusángulo
a2 + b2 = 132 + 152 = 169 + 225 = 394
c2 = 202 = 400
b)
a2 + b2 > c2 →→ Triángulo acutángulo
a2 + b2 = 52 + 62 = 25 + 36 = 61
c2 = 72 = 49
a)
√338
Pág. 6
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
D13 cm
13 cm
x
1,2 m
5 m
x
x
10 cm 6 cm6 cm
14
a) Calcula x en cada uno de estos trapecios.
b) Halla la longitud de sus diagonales.
• Hallamos el valor de x en el primer trapecio:
172 = 82 + (25 – x)2 →
→ 289 = 64 + 625 – 50x + x2
0 = x2 – 50x + 400
x = = =
• Hallamos la longitud de sus diagonales:
d 2 = 102 + 82 = 100 + 64 = 164
d = ≈ 12,81
D2 = 82 + 252 = 64 + 625 = 689
D = ≈ 26,25
• Hallamos el valor de x en el segundo trapecio:
32 – 14 = 18 → 18 : 2 = 9 cm
152 = x2 + 92 → 225 = x2 + 81 →
→ x2 = 225 – 81 = 144
x = = 12
• Hallamos la longitud de sus diagonales (como es un trapecio isósceles, lasdos diagonales miden lo mismo):
d 2 = 232 + 122 → d 2 = 529 + 144 = 673
d = ≈ 25,94√673
√144
√689
√164
x = 40 (no vale)x = 10 cm
50 ± 302
50 ± √9002
50 ± √2 500 – 1 6002
Pág. 7
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
25 cm
8 cm 8 17 cmx
25 – xx
25 cm
8 cm 17 cm
32 cm
14 cm
15 cmxx
10 cm
8 cm d
8 cm D
25 cm
32 cm9 cm
14 cm
15 cmx
A B
CD
32 cm9 cm
14 cm
15 cm15 cm
23 cm
12 cmd
15 Este pentágono se ha formado haciendo coincidir la ba-se mayor de un trapecio isósceles con la hipotenusa deun triángulo rectángulo isósceles. Halla el perímetro delpentágono.
Hallamos x e y:
x2 = 242 + 72 → x2 = 576 + 49 = 625 →
→ x = = 25 cm
262 = y2 + y2 → 676 = 2y2 → y2 = = 338
y = ≈ 18,38
• El perímetro será:
P = 12 + 2x + 2y = 12 + 50 + 36,76 = 98,76 cm
16 En un triángulo equilátero cuyo lado mide 10 m, calcula:
a) La longitud de sus medianas.
b) El radio de la circunferencia inscrita.
c) El radio de la circunferencia circunscrita.
☛ En los triángulos equiláteros, las medianas, alturas, mediatrices y bisectrices coin-ciden.
• Calculamos la longitud de su altura:
(10 )2 = h2 + (5 )2 → 300 = h2 + 75
h2 = 300 – 75 = 225 → h = = 15 m
a) Como el triángulo es equilátero, las medianas coinciden con las alturas; portanto, miden 15 m.
b) Sabemos que el baricentro de un triángulo
está a h de distancia del vértice y a h de
distancia del lado (como el triángulo es equilá-tero, las medianas coinciden con las alturas).
Como el triángulo es equilátero, el incentro coincide con el baricentro; portanto, el radio de la circunferencia inscrita es:
r = h = · 15 = 5 m13
13
13
23
√225
√3√3
√3
√338
6762
√625
Pág. 8
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Unidad 7. Figuras planas
7
h
10√—3
5√—3
10√—310√
—3
– h23
– h13
10√—3
10√—310√
—3
G
12 cm
12 cm7 7
x
yy
x
26 cm
24 cm
12 cm
26 cm
24 cm
c) Con el mismo razonamiento del apartado b); y, como el circuncentro coin-cide también con el baricentro en un triángulo equilátero, el radio de la cir-cunferencia circunscrita es:
R = h = · 15 = 10 m
17 a) Dibuja la mediana que sale de C y halla su longi-tud.
b) Dibuja las mediatrices y halla el radio de la cir-cunferencia circunscrita.
c) ¿Cuál es el ortocentro de ese triángulo?
a)
m2 = 212 + 102 → m2 = 441 + 100 = 541
m = ≈ 23,26 → m ≈ 23,26
b)
Las mediatrices se cortan en el circuncentro; que,en este caso, es el punto medio de la hipotenusa.
Llamamos x a la longitud de la hipotenusa:
x2 = 202 + 212 → x2 = 400 + 441 = 841 → x = = 29 →
→ = = 14,5
El radio de la circunferencia circunscrita mide 14,5.
c) El vértice A (el vértice opuesto a la hipotenusa).
Circunferenc ia
18 a) Calcula el radio de esta circunferencia.
b) ¿Cuál será la longitud de una cuerda cuya distanciaal centro es 2,9 cm?
a)
R2 = 3,62 + 1,52 = 12,96 + 2,25 = 15,21
R = = 3,9 cm√15,21
292
x2
√841
√541
23
23
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
21 cm
20 cm
10
A
B
m
C
21 cm
20 cm
A
B x–2
x–2
C
21 cm
20 cm
A
B
C
1,5 cm
3,6 cm
R
O
7,2 cm1,5 cm
O
b)
3,92 = x2 + 2,92 → 15,21 = x2 + 8,41
x2 = 15,21 – 8,41 = 6,8 → x = ≈ 2,61 cm
Longitud de la cuerda = 2x ≈ 5,22 cm
19 Traza una circunferencia de 5 cm de radio y señala en ella un punto P.a) ¿Cuántas cuerdas puedes trazar que tengan un extremo en P ? ¿Cuánto
mide la de longitud máxima?b) ¿Cuántas cuerdas hay que midan 5 cm y que tengan un extremo en P ?
Halla la distancia de una de esas cuerdas al centro de la circunferencia.
a) –– Se pueden trazar infinitas cuerdas con extremoen el punto P.
–– La cuerda de longitud máxima es la que pasapor el centro de la circunferencia, es decir, eldiámetro. Por tanto, mide 10 cm.
b) Hay dos cuerdas que midan 5 cm y que tengan un extremo en P:
52 = d 2 + 2,52 → 25 = d 2 + 6,25 →
→ d 2 = 25 – 6,25
d 2 = 18,75 → d = � 4,33 cm
Página 162
20 En una circunferencia de 15 cm de radio, traza una cuerda AB a 12 cm delcentro.a) ¿Cuál es la longitud de AB?b) ¿Cuántas cuerdas de la misma longitud que AB hay en esa circunferencia?
¿Cuántas hay que sean paralelas a AB? ¿Cuántas hay paralelas y de la mis-ma longitud que AB?
a)
152 = x2 + 122 → 225 = x2 + 144 →
→ x2 = 225 – 144 = 81
x = = 9 cm → = 2x = 18 cmAB√81
√18,75
√6,8
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
3,9 cm2,9 cm
x x
5 cm
P
c1c2
c3
c4
5 cm2,5 cm
P
d
c1
c2
O
15 cm12 cm
x xA B
b) • Hay infinitas cuerdas de la misma longitud que AB.
• Hay infinitas cuerdas paralelas a AB.
• Pero solo hay una cuerda de la misma longitud yparalela a AB (a 12 cm del centro de la circunfe-rencia).
21 a) Desde un punto P que dista 29 cm del centro de una circunferencia de radio20 cm, se traza una tangente. Calcula la distancia de P al punto de tangencia.
b) Trazamos otra tangente desde otro punto Q, y al medir la distancia de Qal punto de tangencia obtenemos 30 cm. ¿Cuál es la distancia de Q alcentro de la circunferencia?
a)
292 = d 2 + 202 → 841 = d 2 + 400
d 2 = 841 – 400 = 441 → d = = 21 cm
b)
x2 = 302 + 202 = 900 + 400 = 1 300
x = ≈ 36,06 cm
22 ¿Cuánto miden los ángulos ∧P,
∧Q y
∧R si
∧AOB es un
ángulo recto?
∧P, Q
∧y R
∧son ángulos inscritos en una circunferencia con
un arco de 90°. Por tanto, los tres ángulos miden la mitadde 90°:
∧P = Q
∧= R
∧= 45°
23 En un círculo de 52 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro.Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de la cuerdacon los del diámetro paralelo a ella.
Se forma un trapecio. Para hallar la base menor, uti-lizamos el teorema de Pitágoras:
262 = x2 + 102 → 676 = x2 + 100 →
→ x2 = 676 – 100 = 576
x = = 24 cm → 2x = 48 cm
El área del trapecio es: A = = = 500 cm2(52 + 48) · 102
(b + b' ) · h2
√576
√1 300
√441
Pág. 11
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Unidad 7. Figuras planas
7
A B
A' B'
P
d
O
20 cm
29 cm
Q x O
20 cm30 cm
R
A
BP
O
Q
x x
26 cm10 cm
52 cm
24 El triángulo ABC es isósceles, = .
¿Cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
El ángulo A∧
es un ángulo inscrito en la circunferencia
con arco 88°. Entonces, A∧
= = 44°.
Por otra parte, B∧
= C∧
por ser un triángulo isósceles.
A∧
+ B∧
+ C∧
= 180° → 2B∧
+ 44° = 180° → B∧
= 68° = C∧
Los ángulos del triángulo son: A∧
= 44°, B∧
= 68°, C∧
= 68°
25 Dibuja un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, de modo que losvértices A y B sean extremos de un diámetro y el arco
)AC sea la sexta par-
te de la circunferencia.
¿Cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
• Como C∧
es un ángulo inscrito en la circunferen-cia y el lado AB es un diámetro, el ángulo C
∧es
recto, es decir: C∧
= 90°.
• Como )
AC = = 60°, entonces:
B∧
= = 30° → A∧
= 90° – 30° = 60°
26 De esta figura conocemos:
• Radio: 20 cm.
• = = 40 cm.
• AB es tangente a la circunferencia en P.
• BQ es tangente a la circunferencia en Q.
Calcula el perímetro y el área de los triángulos ABQ y AOB.
• Hallamos el valor de x:
402 = x2 + 202 → 1 600 = x2 + 400
x2 = 1 600 – 400 = 1 200 →
→ x = ≈ 34,64 cm
2x ≈ 2 · 34,64 = 69,28 cm =
• Triángulo ABQ:Perímetro = 3x + 60 ≈ 3 · 34,64 + 60 = 163,92 cm
AQ—
· BQ—
60 · 34,64Área = ——— ≈ ——— = 1 039,2 cm2
2 2
AB
√1 200
OBOA
60°2
360°6
88°2
ACAB
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
A
B
O
C88°
B A
C
A
P
O
B
Q
x
xx
20 cm
20 cm
40 cm
40 c
m
A
P
O
B
Q
• Triángulo AOB:
27 Dibuja dos circunferencias de centros O y O' tangentes exteriormente y deradios 18 cm y 32 cm, respectivamente. Traza una tangente común y llamaM y N a los puntos de tangencia.
a) ¿Cómo son entre sí los radios OM y O'N? ¿Qué cuadrilátero es la figuraOO'NM?
b) Determina el perímetro y el área del cuadrilátero OO'NM.
a) Los radios OM y O'N son paralelosentre sí. La figura OO'NM es un tra-pecio rectángulo.
b)Hallamos el valor de x = :
502 = x2 + 142 → 2 500 = x2 + 196
x2 = 2 500 – 196 = 2 304 →
→ x = = 48 cm
Perímetro = 48 + 18 + 50 + 32 = 148 cm
Área = = = 1 200 cm2
28 Dibuja dos circunferencias secantes de radios 10 cm y 17 cm. Traza una tan-gente común y llama M y N a los puntos de tangencia.
Calcula el perímetro y el área del cuadrilátero MNOO' sabiendo que la dis-tancia entre los centros, , es 25 cm.
La figura MNOO' es un trapecio rec-tángulo.
Hallamos el valor de x = :
252 = x2 + 72 → 625 = x2 + 49 →
→ x2 = 625 – 49
x2 = 576 → x = = 24 cm
Perímetro = 17 + 24 + 10 + 25 = 76 cm
Área = = = 324 cm2(17 + 10) · 242
(b + b' ) · h2
√576
MN
OO'
(32 + 18) · 482
(b + b' ) · h2
√2 304
MN
Perímetro = 40 + 40 + 2x ≈ 149,28 cmAB—
· OP—
69,28 · 20Área = ——— ≈ ——— = 692,8 cm2
2 2
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
x
x
32 cm18 cm18 cm
32 cm18
14
O'O
M
N
50 cm
x
x10 cm
17 cm10
7
O'O
M
N
25 cm
Áreas
29 Halla el área de las figuras coloreadas:
a) Hallamos el valor de x:
82 = x2 + 42 → 64 = x2 + 16 →
→ x2 = 64 – 16 = 48
x = ≈ 6,93 cm → 2x ≈ 13,86 cm
Área = = = 55,44 cm2
b) x2 = (3,5 )2 + (3,5 )2 = 24,5 + 24,5 = 49 →
→ x2 = 49
Área = x2 = 49 cm2
c) 322 = 162 + x2 → 1 024 = 256 + x2 →
→ x2 = 1 024 – 256
x2 = 768 → x = ≈ 27,71 m
Área = = = 1 607,18 m2
d) 7,22 = x2 + 42 → 51,84 = x2 + 16 →
→ x2 = 51,84 – 16
x2 = 35,84 → x = � 5,99 m√35,84
(74 + 42) · 27,712
(b + b' ) · h2
√768
√2√2
13,86 · 82
D · d2
√48
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
a)8 cm
8 cm
b)
d)7,2 m
6 m
10 m
7√—2 c
mc)
32 m
42 m
74 m
e)B
A C
D
f)
128
8
20
HK
AC = 93 mBH = 52 mDK = 23 m
8 cm
8
44
8
8
x
x
8 cm
7√—2 c
m
x
x
32 m
42 m
42 m 16 m16 m74 m
x
7,2 m
6 m
6 410 m
x
Área = = = 47,92 m2
e) • Área del triángulo ABC:
A1 = = = 2 418 m2
• Área del triángulo ACD:
A2 = = = 1 069,5 m2
• Área total = A1 + A2 = 2 418 + 1 069,5 = 3 487,5 m2
f) • Área del cuadrado ABCD →
→ A1 = 202 = 400
• Área del triángulo BEC →
→ A2 = = 120
• Área coloreada = A1 – 2A2 =
= 400 – 240 = 160
Página 163
30 Calcula el área de las figuras coloreadas:
12 · 202
93 · 232
AC––· DK––
2
93 · 522
AC––· BH––
2
(10 + 6) · 5,992
(b + b' ) · h2
Pág. 15
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
B
A C
D
HK
AC = 93 mBH = 52 mDK = 23 m
12
12
8
8
20
20 BA
CD E
a)
AD = AC = 17 m DC = 16 mBG = 4,5 m EF = 3,2 m
E
A
D C
BG
F
c)8 cm
f)
10 cm
7 cm
d)
10 cm
8 cm
e)
b)
BG = 8,4 m AC = 28 mCD = 21 m EF = 5,6 m
C
GFA
B
E
D
a) • Hallamos la altura del triángulo ADC:
172 = 82 + x2 → 289 = 64 + x2
x2 = 289 – 64 = 225 →
→ x = = 15 m
• Área del triángulo ADC → A1 = = = 120 m2
• Área del triángulo ADE → A2 = = = 27,2 m2
• Área del triángulo ABC → A3 = = = 38,25 m2
• Área total = A1 + A2 + A3 = 120 + 27,2 + 38,25 = 185,45 m2
b) • Hallamos el valor de = x
x2 = AC––2 + CD
––2 = 282 + 212
x2 = 784 + 441 = 1 225 →
→ x = = 35 m
• Área del triángulo AED → A1 = = = 98 m2
• Área del triángulo ACD → A2 = = = 294 m2
• Área del triángulo ABC → A3 = = = 117,6 m2
• Área total = A1 + A2 + A3 = 98 + 294 + 117,6 = 509,6 m2
c) • Hallamos el valor de x:
162 = x2 + 82 → 256 = x2 + 64 →
→ x2 = 256 – 64 = 192
x = ≈ 13,86 cm
• Área coloreada = = = 55,44 cm28 · 13,862
8 · x2
√192
28 · 8,42
AC––
· BG––
2
28 · 212
AC––
· DC––
2
35 · 5,62
AD––
· EF––
2
√1 225
AD
17 · 4,52
AC––· BG––
2
17 · 3,22
AD––· EF––
2
16 · 152
DC–– · x
2
√225
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
AD = AC = 17 m DC = 16 mBG = 4,5 m EF = 3,2 m
E
A
D C
BG
F
8 m 8 m
BG = 8,4 m AC = 28 mCD = 21 m EF = 5,6 m
C
GFA
B
E
D
8 cm
16 cm
x
8 cm
d) • Hallamos la longitud del diámetro de lacircunferencia (diagonal del cuadrado):
x2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 →
→ x =
radio de la circunferencia = =
• Área del círculo → A1 = πr2 = π · ( )2
= 3,14 · = 3,14 · 50 = 157 cm2
• Área del cuadrado → A2 = l2 = 102 = 100 cm2
• Área coloreada = A1 – A2 = 157 – 100 = 57 cm2
e) Cada círculo tiene radio r = 2 cm.
• Área de un círculo → A1 = πr2 = π · 4 = 12,56 cm2
• Área de los cuatro círculos → A2 = 4A1 = 4 · 12,56 = 50,24 cm2
• Área del cuadrado → A3 = l2 = 82 = 64 cm2
• Área coloreada = A3 – A2 = 64 – 50,24 = 13,76 cm2
f) • Área del círculo pequeño → A1 = π · 72 = π · 49 = 153,86 cm2
• Área del círculo mediano → A2 = π · 102 = π · 100 = 314 cm2
• Área del círculo grande → A3 = π · 172 = π · 289 = 907,46 cm2
• Área coloreada = A3 – A1 – A2 = 907,46 – 153,86 – 314 = 439,6 cm2
31 Calcula:
a) La superficie de la zona coloreada de rojo.
b) La superficie de la zona coloreada de amarillo.
c) La superficie de la zona coloreada de azul.
a) SROJO
= 52 = 25 cm2
b) 52 = h2 + 2,52 → 25 = h2 + 6,25 →
→ h2 = 25 – 6,25 = 18,75
h = ≈ 4,33 cm
• Área de un triángulo = = 10,825 cm2
• Área de los cuatro triángulos = 4 · 10,825 = 43,3 cm2 = SAMARILLO
5 · 4,332
√18,75
2004
√2002
√2002
x2
√200
Pág. 17
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Unidad 7. Figuras planas
7
10 cm
10 c
m
x = 2r
5 cm
5 cmh
2,5 cm
c) La diagonal del cuadrado exterior es 4,33 · 2 + 5 = 13,66 cm.
El lado del cuadrado exterior será:
13,662 = x2 + x2 → 186,5956 = 2x2 →
→ x2 =
x2 = 93,2978 ≈ 93,3 cm2
Área del cuadrado exterior = x2 ≈ 93,30 cm2
SAZUL
= 93,3 – 25 – 43,3 = 25 cm2
32 Las diagonales del rombo inscrito en la elipse miden16 cm y 30 cm. Halla el área de la parte coloreada.
• Área del rombo → A1 = = = 240 cm2
• Área de la elipse → A2 = π · a · b = π · 8 · 15 = 376,8 cm2
• Área coloreada = A2 – A1 = 376,8 – 240 = 136,8 cm2
33 En una circunferencia de 56,52 cm de longitud, dibuja el cuadrado circuns-crito y el cuadrado inscrito. Calcula el área y el perímetro de cada cuadrado(toma π = 3,14).
• Hallamos el radio de la circunferencia:
56,52 = 2πr → r = = = 9 cm
• Calculamos el lado del cuadrado inscrito:
x2 = 92 + 92 = 81 + 81 = 162 →
→ x = ≈ 12,73 cm
• Área del cuadrado inscrito = x2 = 162 cm2
• Perímetro del cuadrado inscrito = 4x = 4 · 12,73 = 50,92 cm
• Área del cuadrado circunscrito = 182 = 324 cm2
• Perímetro del cuadrado circunscrito = 4 · 18 = 72 cm
34 Halla, en cada caso, el área y el perímetro de un sector circular de un círculode 15 cm de radio y cuya amplitud es:
a) 90° b) 120° c) 72° d) 153°
a) P = + 2r = + 2 · 15 = 53,55 cm
A = = = 176,63 cm2π · 152 · 90°360°
πr2 · n°360°
2π · 15 · 90°360°
2πr · n°360°
√162
56,526,28
56,522π
30 · 162
D · d2
186,59562
Pág. 18
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7
13,66
cm
x
x
A A'
B
B'
9 cm
9 cm
9 cm
x
O
18 cm
18 c
m
b) P = + 2 · 15 = 61,4 cm
A = = 235,5 cm2
c) P = + 2 · 15 = 48,84 cm
A = = 141,3 cm2
d) P = + 2 · 15 = 70,04 cm
A = = 300,26 cm2
35 Calcula el área de un segmento circular de 60° deamplitud en un círculo de 12 cm de radio.
El área del segmento circular se halla restando del áreadel sector, el área del triángulo.
• Área del sector: = 75,4 cm2
• Área del triángulo. Observa que es equilátero, ya que = y ∧AOB = 60°.
Altura: h = ≈ 10,4 cm
Área: = 62,4 cm2
• Área del segmento circular:
A = 75,4 – 62,4 = 13 cm2
36 Calcula el área de un segmento circular de 90° de amplitud en un círculo de18 cm de radio.
• Área del sector circular:
A1 = = 254,34 cm2
• Área del triángulo:
A2 = = 162 cm2
• Área del segmento circular = A1 – A2 = 254,34 – 162 = 92,34 cm2
18 · 182
π · 182 · 90°360°
12 · 10,42
√122 – 62
OBOA
πr2 · 60360°
π · 152 · 153°360°
2π · 15 · 153°360°
π · 152 · 72°360°
2π · 15 · 72°360°
π · 152 · 120°360°
2π · 15 · 120°360°
Pág. 19
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Unidad 7. Figuras planas
7
12 cm
A
B O60°
h
18 cm
18 c
m
90°
37 Calcula el área de la parte coloreada de cada uno de estos cuadrados de 8 cmde lado.
• Uniendo los cuatro sectores circulares, tenemos uncírculo de radio 4 cm. El área del círculo es:
A1 = πr2 = π · 42 = π · 16 = 50,24 cm2
• Área del cuadrado → A2 = 82 = 64 cm2
• Área coloreada = A2 – A1 = 64 – 50,24 = 13,76 cm2
• Uniendo los dos sectores circulares, tenemos mediocírculo, cuyo radio es la mitad de la diagonal del cua-drado. El radio del círculo mide:
r2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 → r = ≈ 5,66 cm
• Área del semicírculo → A1 = = = 50,24 cm2
• Área del cuadrado → A2 = 82 = 64 cm2
• Área coloreada = A2 – A1 = 64 – 50,24 = 13,76 cm2
• Uniendo los dos semicírculos, tenemos un círculo deradio 4 cm.
• El área coloreada será igual que en la primera figura:
AT
= 13,76 cm2
• � Es un segmento circular de 90° en un círculo de8 cm de radio. El área del sector circular correspondiente
(que es de círculo) es:
A1 = = = π · 16 = 50,24 cm2π · 644
π82
4
14
π · 322
πr2
2
√32
Pág. 20
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Unidad 7. Figuras planas
7
8 cm
8 cm
4 cm 4 cm
8 cm
r8 cm
4 cm
4 cm
8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
21
• El área del triángulo correspondiente es: A2 = = 32 cm2
• El área del segmento circular � es: A3 = A1 – A2 = 50,24 – 32 = 18,24 cm
• El área de � es: A4 = A2 – A3 = 32 – 18,24 = 13,76 cm2
• Área coloreada = 2 · A4 = 2 · 13,76 = 27,52 cm2
• Tomamos un cuarto del cuadrado. � es un segmentocircular de 90° en un círculo de 4 cm de radio. El área
del sector circular correspondiente (que es de círculo) es:
A1 = = π · 4 = 12,56 cm2
• El área del triángulo correspondiente es: A2 = = 8 cm2
• El área del segmento circular � es: A3 = A1 – A2 = 12,56 – 8 = 4,56 cm2
• Área coloreada = 8 · A3 = 8 · 4,56 = 36,48 cm2
• El área coloreada coincide con la de la figura anterior. Portanto, su área es A
T= 36,48 cm2.
PIENSA Y RESUELVE
38 Halla el radio de un arco de 100,48 m de longitud y 72° de apertura.
• Calculamos la longitud de la circunferencia:
= → l = 502,4 m
• Hallamos el radio: 2πr = 502,4 m
2πr = 502,4 m → r = = = 80 m
Página 164
39 Calcula la medida, en grados, de un arco de 31,4 cm correspondiente a unacircunferencia de 471 cm de longitud.
= → x = = 24°
El arco mide 24°.
31,4 · 360°471
31,4 cmx
471 cm360°
502,46,28
502,42π
100,4872°
l360°
4 · 42
π · 42
4
14
8 · 82
Pág. 21
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Unidad 7. Figuras planas
7
4 cm
8 cm
8 cm
4 cm1
40 a) Calcula la apertura del sector OAB.
b) Halla el área de la parte sombreada como di-ferencia de los sectores OAB y OCD.
a) La longitud de la circunferencia exteriorcompleta es:
2π · 20 = 125,6 cm. Por tanto:
= → x = = 94,59° = 94° 35' 10''
b) • Área del sector OAB → A1 = =
= = 330,01 cm2
• Área del sector OCD → A2 = = 118,81 cm2
• Área sombreada = A1 – A2 = 330,01 – 118,81 = 211,2 cm2
41 ¿Cuál es el diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir por unagujero triangular cuyos tres lados miden 6 cm?
• Como el triángulo es equilátero, las bisectrices coinciden con las medianas ycon las alturas, y el incentro con el baricentro. Por tanto, el diámetro de la
circunferencia inscrita en el triángulo es igual a de su altura, h.
• Hallamos la altura del triángulo:
62 = h2 + 32 → 36 = h2 + 9 →
→ h2 = 36 – 9 = 27
h =
• El diámetro de la tubería más gruesa que se puede introducir por el agujerotriangular es:
d = h = ≈ 3,46 cm
42 Se va a perforar un túnel por el que circulará una vagoneta de 1,5 m de anchopor 0,8 m de alta. ¿Qué diámetro mínimo debe tener la sección del túnel?
√2723
23
√27
23
π · 122 · 94,59°360°
π · 202 · 94,59°360°
πr2 · 94,59°360°
360° · 33125,6
33x
125,6360°
Pág. 22
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Unidad 7. Figuras planas
7
AC
O12 cm
20 c
m
B
D33 cm
3 cm
6 cm
h
1,5 m
0,8 m
• Hallamos r:
r2 = 0,82 + 0,752 = 0,64 + 0,5625 = 1,2025
r = ≈ 1,10 m → Diámetro = 2r = 2,20 m
Debe tener un diámetro de más de 2,20 m.
43 Si el área del triángulo ABC es 9,10 cm2, ¿cuál esel área del paralelogramo ABDE ?
Tomando como base del triángulo el lado AB, laaltura del triángulo coincide con la altura del para-lelogramo ABDE. Por tanto, el triángulo y el para-lelogramo tienen la misma base y la misma altura. Así, el área del paralelogra-mo será el doble del área del triángulo, es decir:
A = 2 · 9,10 = 18,20 cm2
44 El área de una corona circular es 20π cm2, y la circunferencia interna mide8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa.
• Hallamos el radio de la circunferencia interna:
2πr = 8π → r = = 4 cm
• El área de la corona circular es:
πR2 – π · 42 = 20π → πR2 – π · 16 = 20ππ (R2 – 16) = 20π → R2 – 16 = 20 →
→ R2 = 20 + 16 = 36
R = = 6 cm
45 La longitud de la circunferencia inscrita a un triángulo equilátero es 20 cm.a) ¿Cuánto mide la circunferencia circunscrita?b) ¿Cuál es el perímetro del triángulo?
a) Como el triángulo es equilátero, las bisectrices,mediatrices, medianas y alturas coinciden (elincentro, el circuncentro, el baricentro y el or-tocentro coinciden). El radio de la circunferen-cia circunscrita es el doble del radio de la cir-cunferencia inscrita. Por tanto, la longitud de lacircunferencia circunscrita también es el doble:
L = 2πR = 2π · (2r) = 2 · (2πr) = 2 · 20 = 40 cm
b) • Calculamos el radio de la circunferencia inscrita, r, para hallar la alturadel triángulo:
2πr = 20 cm → r = = ≈ 3,18 cm206,28
202π
√36
8π2π
√1,2025
Pág. 23
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7
1,5 m
0,8 m
0,75 m
r
4 cm
R
R
r
A
E
B
D C
• Altura del triángulo → h = 3r = 3 · 3,18 = 9,54 cm
• Hallamos el lado del triángulo.
(2x)2 = x2 + h2 → 4x2 = x2 + 91,0116
4x2 – x2 = 91,0116 → 3x2 = 91,0116 →
→ x2 = 30,3372
x = ≈ 5,51 cm →
→ Lado = 2x = 2 · 5,51 = 11,02 cm
• Perímetro del triángulo = 3 · 11,02 = 33,06 cm
46 La superficie del círculo inscrito a un cuadrado es de 12,56 cm2. ¿Cuál es lasuperficie del cuadrado?
• El lado del cuadrado es igual al diámetro delcírculo. Si llamamos r al radio del círculo, ellado del cuadrado será 2r.
• El área del cuadrado es: A1 = (2r)2 = 4r2
• El área del círculo es: πr2 = 12,56 → r2 = = 4
• Por tanto, el área del cuadrado será:
A = 4r2 = 4 · 4 = 16 cm2
47 Una antena está sujeta por 4 tirantes de cable. El extremo superior de cada ti-rante se sujeta a la antena a una altura de 40 m. El extremo inferior está amarra-do al suelo a una distancia de 30 m de la base. ¿Cuántos metros de cable se hanutilizado?
• La longitud de uno de los cables es:
x2 = 402 + 302 = 1 600 + 900 = 2 500 → x = = 50 m
• Como hay 4 cables iguales, entonces, se han utilizado: 4 · 50 = 200 m de cable.
√2 500
12,56π
√30,3372
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7
h
x x
2x
r
2r
2r
xx40 m
30 m
30 m
48 Calcula:
a) La longitud de PT.
b) El área de la parte coloreada.
a) Llamamos x = PT––
:
162 = x2 + 82 → 256 = x2 + 64 →
→ x2 = 192
x = ≈ 13,86 cm
b) • El área del triángulo OPT es:
A1 = = 55,44 cm2
• El área del sector circular es:
A2 = = = 33,49 cm2
• Área coloreada = A1 – A2 = 55,44 – 33,49 = 21,95 cm2
49 Los radios de dos circunferencias son r1 = 8 m y r2 = 12 m. La distancia en-tre sus centros es 25 m. Halla las longitudes de los segmentos de tangente co-mún externa e interna.
• Longitud del segmento de tangentecomún externa:
252 = x2 + 42 → 625 = x2 + 16
x2 = 625 – 16 = 609 →
→ x = ≈ 24,68 m
• Longitud del segmento de tangentecomún interna:
252 = y2 + 202 → 625 = y2 + 400
y2 = 625 – 400 = 225 →
→ y = ≈ 15 m
50 El segmento de la tangente común exterior de dos circunferencias mide20 cm, y sus radios son r1 = 11 cm y r2 = 17 cm. Averigua si las circunfe-rencias son secantes o exteriores.
√225
√609
π · 64 · 60360°
πr2 · 60°360°
8 · 13,862
√192
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Unidad 7. Figuras planas
7
O P
T
60°16 cm
8 cm
O P
Tx
60°16 cm
8 cm
x
x
y
y
25 m
25 m
12 m
12 m
8 m
8 m8 m
12 m
• Hallamos la distancia, d, entre los centrosde las circunferencias:
d 2 = 202 + 62 = 400 + 36 = 436 →
→ d = ≈ 20,88 cm
• La suma de las longitudes de los radios es:
r1 + r2 = 11 + 17 = 28 cm > 20,88 cm
• Por tanto, las circunferencias son secantes.
51 Calcula el área del triángulo curvilíneo compren-dido entre tres circunferencias tangentes de radio5 cm.
• El triángulo dibujado en rojo es equilátero, luegocada sector circular tiene una amplitud de 60° yradio 5 cm.
• Área de un sector → A1 = = 13,08 cm2
• Hallamos la altura del triángulo y calculamos su área:
102 = h2 + 52 → 100 = h2 + 25 →
→ h2 = 100 – 25 = 75
h = ≈ 8,66 cm
• Área del triángulo → A2 = = 43,3 cm2
• Área del triángulo curvilíneo = A2 – 3 A1 = 43,3 – 13,08 =
= 43,3 – 39,24 = 4,06 cm2
52 Cierta finca tiene la forma y dimensiones indicadasen la figura. Calcula su área.
• Hallamos el área del triángulo �:
402 = h2 + 252 → 1 600 = h2 + 625
h2 = 1 600 – 625 = 975 → h = ≈ 31,22 m
Área → A1 = = 780,5 m250 · 31,222
√975
10 · 8,662
√75
π · 52 · 60°360°
√436
Pág. 26
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Unidad 7. Figuras planas
7
dO O'
20 m
20 m17 m
11 m11
m
5 cm
h
5 cm
10 cm 10 cm
40 m
40 m
30 m
20 m
50 m
40 m
40 m
30 m
20 m
50 m
25 m
40 mh
40 m
25 m
21
• Hallamos el área del triángulo �:
400 – x2 = 900 – (1 600 – 80x + x2)
400 – x2 = 900 – 1 600 + 80x – x2 → 1 100 = 80x →
→ x = = 13,75 m
h2 = 400 – x2 = 400 – 13,752 = 210,9375
h = ≈ 14,52 m
Área → A2 = = 290,4 m2
• Área total = A1 + A2 = 780,5 + 290,4 = 1 070,9 m2
53 El perímetro de este rectángulo es 96 m, y la basemide 12 m más que la altura.
Halla el área de la parte coloreada. (P y Q sonlos puntos medios de los lados AB y AD, respec-tivamente).
• Perímetro = 2(x + x + 12) = 2(2x + 12) = 4x + 24
4x + 24 = 96 → 4x = 72 → x = = 18 m
x + 12 = 18 + 12 = 30 m
• Área del rectángulo ABCD → A1 = DC––
· BC––
= 30 · 18 = 540 m2
• Área del triángulo PBC → A2 = = = 135 m2
• Área del triángulo QDC → A3 = = = 135 m2
• Área coloreada = A1 – A2 – A3 = 540 – 135 – 135 = 270 m2
54 Observando esta figura, halla:
a) El área del triángulo ABC.
b) La longitud del segmento BF (altura sobre lahipotenusa del triángulo ABC ).
c) La longitud del segmento EF.
30 · 92
DC––
· QD––
2
15 · 182
PB––
· BC––
2
724
40 · 14,522
√210,9375
1 10080
h2 = 400 – x2
h2 = 900 – (40 – x)2
202 = h2 + x2
302 = h2 + (40 – x)2
Pág. 27
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Unidad 7. Figuras planas
7
30 mh
20 m
40 m40 – x x
A
D C
Q
BP
A
D C
Q
BP
x + 12
x
A
D C
B20 cm
15 cmF
E
• Área del triángulo ABC:
A1 = = = 150
• Longitud del segmento AC = x:
x2 = 202 + 152 = 400 + 225 = 625 → x = = 25 = AC––
• Longitud del segmento BF :
Área del triángulo ABC → A1 = → 150 = →
→ BF––
= 12
• Longitud del segmento EF :
AE––
= FC––
= y → 152 = y2 + 122 → 225 = y2 + 144 → y2 = 81 →
→ y = = 9
EF––
= AC––
– AE––
– FC––
= 25 – 9 – 9 = 7
Página 165
55 Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado.
• Hallamos el valor de x:
82 = x2 + x2 → 64 = 2x2 → x2 = = 32 →
→ x2 = 32 → x = � 5,66 cm
• Área del triangulito:
A1 = = = = 16 cm2
• Área del cuadrado:
A2 = (8 + 2x)2 = (8 + 2 · 5,66)2 = 373,26 cm2
• Área del octógono = A2 – 4A1 = 373,26 – 4 · 16 = 373,26 – 64 = 309,26 cm2
56 Prueba que el área de la zona coloreada en azul es iguala la de la zona coloreada en rojo.
Tomamos 2l como lado del cuadrado.
• Calculamos el área de una de las cuatro zonas azules:
Área del triángulo → AT
= = l2
Área del sector → AS= = l2π
2π · 2l2 · 90°
360°
2l · l2
322
x2
2x · x
2
√32
642
√81
25 · BF––
2AC––
· BF––
2
√625
20 · 152
AB––
· AC––
2
Pág. 28
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
xx8 c
m
√—2 l
2ll
Área sombreada → A = AS
– AT
= l2 – l2 = l2 ( – 1)Hay cuatro zonas como esta → el área de color azul es: 4l2 ( – 1)
• Calculamos el área de una de las cuatro zonas rojas:
Área del triángulo → AT
= =
Área del sector → AS
= = l2
Área sombreada → A = AS
– AT
= l2 – = ( – 1)Hay ocho zonas como esta → el área de color rojo es:
8 ( – 1) = 4l2 ( – 1)Vemos que las áreas de ambos colores coinciden.
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
57 ¿Qué se puede afirmar de un triángulo si uno de los lados coincide con el diá-metro de su circunferencia circunscrita?
Que es un triángulo rectángulo.
58 ¿Dónde ha de perforarse un pozo para que esté a la misma distancia de lastres casas? Explica qué harías para solucionar el problema.
El pozo lo perforaríamos en el circuncentro, que es el punto que se encuentra aigual distancia de los tres vértices del triángulo formado por las tres casas.
59 Investiga. ¿Qué condición ha de cumplir un triángulo para contener a su circun-centro? ¿Y para que este sea exterior al triángulo? (Empieza probando qué ocurrecon los triángulos rectángulos).
• Un triángulo acutángulo tiene su circuncentro en su interior.
• Un triángulo rectángulo tiene su circuncentro en la hipotenusa.
• El circuncentro es exterior si el triángulo es obtusángulo.
π2
π2
l2
2
π2
l2
2l2
2π4
π4
π · l2 · 90°360°
l2
2l · l2
π2
π2
π2
Pág. 29
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
l
√—2 l
60 Justifica por qué los triángulos ABM y CDM tienenlos ángulos iguales. ¿Cómo son esos triángulos?
• Como ∧ACD y
∧ABD tienen el mismo arco, entonces
∧B =
∧C.
• Análogamente, ∧BAC y
∧BCD tienen el mismo arco.
Por lo tanto: ∧A =
∧D
• Además, M es un punto común a los dos triángulos y crea dos ángulosopuestos por el vértice. Por tanto son iguales.
• Entonces ABM y CDM son dos triángulos con los ángulos iguales. Ambostriángulos son semejantes.
61 a) Señala en tu cuaderno dos puntos cualesquiera A y B y traza varias cir-cunferencias de distinto radio que pasen por A y por B.
b) ¿Cuántas posibilidades hay?
c) ¿Dónde se encuentran los centros de esas circunferencias?
a) b) Hay infinitas posibilidades.
c) Los centros se encuentran en la media-triz del segmento AB.
62 Señala en tu cuaderno un punto A y traza varias circunferencias de radio3 cm que pasen por A. ¿Qué figura forman los centros?
Los centros de estas circunferen-cias forman otra circunferencia,de radio 3 cm, cuyo centro estáen el punto A.
Pág. 30
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
D
A
B
MC
A
B
A
63 Traza dos rectas que se corten y dibuja varias circunferencias tangentes a esasrectas. ¿Dónde están los centros de esas circunferencias?
Los centros de estas circunferencias se encuentran en las bisectrices de los ángu-los formados por las rectas.
64 A, B y C son tres puntos no alineados. Dibuja una circunferencia que pasepor A, B y C. ¿Hay más de una posibilidad?
• Solo hay una posibilidad de trazar una circunferen-cia que pase por tres puntos no alineados.
• El centro de la circunferencia es el punto de cortede la mediatriz del segmento AB con la mediatrizdel segmento BC.
65 Traza tres rectas que se corten dos a dos y dibuja una circunferencia que seatangente a las tres. ¿Es cierto que existen cuatro posibilidades?
Hay cuatro posibilidades.
Pág. 31
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
AB
C
Rr
66 Comprueba que si m es un número cualquiera mayor que 1, los números m,
y son una “terna pitagórica”.
☛ a, b y c son una “terna pitagórica” cuando a2 + b2 = c2.
• Tenemos que probar que m2 + ( )2= ( )2
. Veámoslo:
m2 + ( )2= m2 + = + =
= = ( )2
• Dando valores a m, podemos obtener ejemplos de ternas pitagóricas:
m = 2 → (2, y ) ; m = 3 → (3, 4 y 5), …
PROFUNDIZA
67 El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. Observa este ra-zonamiento:∧C = ,
∧A =
∧C +
∧A = = = 180°
Comprueba de igual forma que ∧B +
∧D = 180°.
Esta es la condición que debe cumplir un cuadriláte-ro para que pueda inscribirse en una circunferencia.Exprésala con palabras.
∧B = ;
∧D = ;
∧B +
∧D = = = 180°
La suma de los ángulos opuestos (enfrentados) del cuadrilátero ha de ser 180°.
68 Calcula los ángulos ∧A y
∧D.
(Ten en cuenta el problema anterior).
Teniendo en cuenta el problema anterior:∧B +
∧D = 180° → 130° +
∧D = 180° →
→∧D = 180° – 130° = 50°
∧A +
∧C = 180° →
∧A + 95° = 180° →
∧A = 180° – 95° = 85°
360°2
)ADC +
)ABC
2
)ABC
2
)ADC
2
360°2
)BAD +
)BCD
2
)BCD
2
)BAD
2
52
32
m2 + 12
m4 + 2m2 + 14
m4 – 2m2 + 14
4m2
4m4 – 2m2 + 1
4m2 – 1
2
m2 + 12
m2 – 12
m2 + 12
m2 – 12
Pág. 32
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 7. Figuras planas
7
A
B
C
D
A
B
130°95°
C
D
Página 185
PRACTICA
Desarro l los y áreas
1 Haz corresponder cada figura con su desarrollo y calcula el área total:
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
4 cm
2 cm
I
III
A
C
II
IV
B
D
6 cm6 cm
2 cm
3 cm7 cm
I → C
• Área de una cara:
62 = h2 + 32 → 36 = h2 + 9 → h2 = 36 – 9 = 27 →
→ h = ≈ 5,2 cm
Área = = 15,6 cm2
• Área total = 8 · 15,6 = 124,8 cm2
II → B
• Área de una cara:
• Área total = 124,8 + 48 = 172,8 cm2
III → A
• Área de una cara hexagonal:
42 = a2 + 22 → 16 = a2 + 4 → a2 = 16 – 4 = 12 →
→ a = ≈ 3,46 cm
Área = = = 41,52 cm2
• Área de las dos caras hexagonales = 2 · 41,52 = 83,04 cm2
• Área de una cara lateral = 4 · 2 = 8 cm2
• Área lateral = 6 · 8 = 48 cm2
• Área total = 83,04 + 48 = 131,04 cm2
IV → D
• Área de una base = 72 = 49 cm2
• Área de las dos bases = 49 · 2 = 98 cm2
• Área lateral = 4 · (7 · 3) = 4 · 21 = 84 cm2
• Área total = 98 + 84 = 182 cm2
24 · 3,462
P · a2
√12
• Área rectángulo = 6 · 2 = 12 cm2
• Área de los 4 rectángulos = 4 · 12 = 48 cm2
(ver apartado
anterior)
• Área triángulo = 15,6 cm2
• Área de los 8 triángulos = 124,8 cm2
6 · 5,22
√27
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
6 cm3
6 cm
6 cm
h
4 cm2
4a
4 cm
4 cm
2 cm
6 cm
6 cm
2 cm
6 cm
6 cm
2 Calcula la superficie total de cada cuerpo:
A • Área lateral = 2πrh = 2π · 2,5 · 3 = 15π• Área bases = 2 · (πr2) = 2 · π · 2,52 = 12,5π• Área total = 15π + 12,5π = 27,5π ≈ 86,35 cm2
B • Área lateral = πrg = π · 3 · 5 = 15π• Área base = πr2 = π · 32 = 9π• Área total = 15π + 9π = 24π ≈ 75,36 cm2
C • Área de la base:
32 = a2 + 1,52 → 9 = a2 + 2,25 → a2 = 9 – 2,25 = 6,75
a = ≈ 2,6 cm
Área base = = = 23,4 cm2
• Área de una cara lateral:
52 = h2 + 1,52 → 25 = h2 + 2,25 → h2 = 25 – 2,25 = 22,75
h = ≈ 4,8 cm
Área = = 7,2 cm2
• Área lateral = 6 · 7,2 = 43,2 cm2
• Área total = 23,4 + 43,2 = 66,6 cm2
D • Área = 4πR2 = 4π · 32 = 36π ≈ 113,04 cm2
3 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerposgeométricos.
3 · 4,82
√22,75
18 · 2,62
P · a2
√6,75
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
3 cm
5 cm 6 cm
5 cm
A C
3 cm
6 cm
5 cm
B D
3 cm
1,5 cm
3
a
3 cm
5 cm5 cmh
8 cm
24 c
m
a) 6 cm
19 c
m
6 cmb)10 cm
c)
15 m
15 m
6 m
6 m
6 m
10 m
4 cm
d)
10 cm
12 cm
g)
15 cm
12 cm
10 cm
h) 15 cm
16 cm10 cm3 cm
e)
6 cm
8 cm
f )
9 cm
13 cm
5 m15 cm
a) • Área lateral = (Perímetro base) · altura =
= 46 · 24 = 1 104 cm2
• Área base = 15 · 8 = 120 cm2
• Área total = 1 104 + 2 · 120 = 1 344 cm2
b) • Hallamos la altura de la base:
62 = x2 + 52 → 36 = x2 + 25 →
→ x2 = 36 – 25 = 11
x = ≈ 3,3 cm
• Área base = = 16,5 cm2
• Área lateral = (Perímetro base) · altura = 22 · 19 = 418 cm2
• Área total = 418 + 2 · 16,5 = 451 cm2
c) • Área base = 10 · 6 + =
= 60 + 16,5 = 76,5 m2
• Área lateral = 34 · 15 = 510 m2
• Área total = 510 + 2 · 76,5 = 663 m2
d) • Hallamos x e y (alturas de las caraslaterales):
122 = x2 + 52 → 144 = x2 + 25
x2 = 119 → x ≈ 10,9 cm
122 = y2 + 22 → y2 = 140 →
→ y ≈ 11,8 cm
• Área de las caras laterales:
A� = = 54,5 cm2 ; A� = = 23,6 cm2
• Área de la base = 10 · 4 = 40 cm2
• Área total = 40 + 2 · 54,5 + 2 · 23,6 = 196,2 cm2
4 · 11,82
10 · 10,92
10 · 3,32
10 · 3,3 2
√11
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
8 cm
8 cm
24 c
m
15 cm
15 cm 8 cm 8 cm15 cm
19
106 6
66 x
6
66
6
66
66
6 6 610
15
3,3
6
12 12
10 412
12
x
y1
2
e) • Hallamos el valor de x:
x2 = 82 + 62 = 64 + 36 = 100 →
→ x = = 10 cm
• Área lateral = (Perímetro base) · altura =
= 24 · 3 = 72 cm2
• Área base = = 24 cm2
• Área total = 72 + 2 · 24 = 120 cm2
f ) • Área de una cara lateral = = 91 cm2
• Área lateral = 4 · 91 = 364 cm2
• Área base mayor = 92 = 81 cm2
• Área base menor = 52 = 25 cm2
• Área total = 364 + 81 + 25 = 470 cm2
g) • Área lateral = π (r + r') · g =
= π (12 + 10) · 15 = 330π
• Área base menor = π · 102 = 100π
• Área base mayor = π · 122 = 144π
• Área total = 330π + 100π + 144π =
= 574π ≈ 1 802,36 cm2
h) • Área lateral = (2π · 10) · 16 = 320π
• Área lateral cono = πrg = π · 10 · 15 = 150π
• Área círculo = π · 102 = 100π
• Área total = 320π + 150π + 100π =
= 570π ≈ 1 789,8 cm2
(9 + 5) · 132
8 · 62
√100
Pág. 5
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
3
3
3
3
66
6 6
88
x x
xx
5
5 5
9
9
13
12
15
10
10
15
162π · 10
2π · 10
4 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área.
a) Prisma de altura 24 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 y 12 cm.
b) Octaedro regular de arista 18 cm.
c) Pirámide hexagonal regular de arista lateral 28 cm y arista básica 16 cm.
d) Pirámide de altura 25 cm y base cuadrada de lado 9 cm.
e) Cilindro de altura 17 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm.
f) Tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de bases 10 cmy 12 cm y altura 5 cm alrededor de esta.
g) Casquete esférico de altura 7 cm de una esfera de radio 12 cm.
h) Esfera inscrita en un cilindro de altura 1 m.
a) • Hallamos el lado del rombo:
x2 = 62 + 92 = 36 + 81 = 117
x = ≈ 10,82 cm
• Área lateral = 4 · (24 · 10,82) = 1 038,72 cm2
• Área base = = 108 cm2
• Área total = 1 038,72 + 2 · 108 = 1 254,72 cm2
b) • Área de una cara:
182 = h2 + 92 → 324 = h2 + 81
h2 = 324 – 81 = 243 →
→ h = ≈ 15,6 cm
Área = = 140,4 cm2
• Área total = 8 · 140,4 = 1 123,2 cm2
c) • Área de una cara lateral:
282 = h2 + 82 → 784 = h2 + 64
h2 = 784 – 64 = 720 →
→ h = ≈ 26,83 cm
Área = = 214,64 cm2
• Área lateral = 6 · 214,64 = 1 287,84 cm2
16 · 26,832
√720
18 · 15,62
√243
18 · 122
√117
Pág. 6
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
D
d = 12 cmD = 18 cm
24 c
m
d xx
x x
18 cm
918 cm
h
18 cm
18 c
m
16 cm
28 cm
28 c
m
16 cm
h
28 c
m
6
9
x
• Área de la base:
162 = a2 + 82 → 256 = a2 + 64 →
→ a2 = 256 – 64 = 192
a = ≈ 13,86 cm
Área = = = 665,28 cm2
• Área total = 1 287,84 + 665,28 = 1 953,12 cm2
d) • Área de la base = 92 = 81 cm2
• Área de una cara lateral:
x2 = 252 + 4,52 = 625 + 20,25 = 645,25
x = ≈ 25,40 cm
Área = = 114,30 cm2
• Área lateral = 4 · 114,30 = 457,20 cm2
• Área total = 81 + 457,20 = 538,20 cm2
e) 2πr = 44 cm → r = = cm
• Área base = πr2 = π · ( )2= ≈ 154,14 cm2
• Área lateral = (2πr) · h = 44 · 17 = 748 cm2
• Área total = 748 + 2 · 154,14 = 1 056,28 cm2
f ) • Área base menor = π · 102 = 100π ≈ 314 cm2
• Área base mayor = π · 122 = 144π ≈ 452,16 cm2
• Área lateral = π (r + r') · g
g2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 → g = ≈ 5,39 cm
Área lateral = π (10 + 12) · 5,39 ≈ 372,34 cm2
• Área total = 372,34 + 314 + 452,16 = 1 138,50 cm2
√29
484π
22π
22π
442π
9 · 25,402
√645,25
(16 · 6) · 13,862
P · a2
√192
Pág. 7
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
16 cm
16 cma
9 cm
25 cm
9 cm
x
9 cm
17 c
m
r
g
12 cm
5 cm
10 cm
4,5 cm
25 c
m
x
g
2 cm
5 cm
g)
Área = 2πRh = 2π · 12 · 7 = 168π ≈ 527,52 cm2
h)
Área = 4πR2 = 4π · ( )2= 4π · =
= π ≈ 3,14 m2
Página 186
Volúmenes
5 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
6 Calcula el volumen de estos cuerpos:
A V = πr2h = π · 22 · 4 = ≈ 16,75 cm3
B V = 4 · 4 · 6 = 96 cm3
C V = Abase · h = 42 · 6 = 32 cm3
D V = πr2h = π · 32 · 6 = 54π ≈ 169,56 cm3
13
13
16π3
13
13
14
12
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
casqueteesférico
R = 12 cm
h = 7 cm
R1 m = 2R
12
R = — mR
A
2 cm
4 cm
3 m
3 m
3 m
9 m
E
22 c
m
10 cm
7 cmF G
16 m
15 m
12 m
14 m
H
3 m
3 m3 m
9 m
6 cm
4 cm
B
4 cm
6 cm
4 cm4 c
m
C
3 cm
6 cm
D
E La figura se puede descomponer en cuatro cubos de arista 3 cm.
Por tanto: V = 4 · 33 = 108 cm3
F Área de la base:
72 = x2 + 52 → 49 = x2 + 25 → x2 = 49 – 25 = 24
x = ≈ 4,90 cm
Área base = ≈ 24,50 cm2
V = (Área de la base) · h = 24,50 · 22 = 539 cm3
G Área de la base:
122 = x2 + 72 → x2 = 144 – 49 = 95
x = ≈ 9,7 m
Área de la base = 15 · 14 + ≈ 277,9 m2
V = (Área de la base) · h = 277,9 · 16 = 4 446,4 m3
H Podemos descomponer la figura en cuatro cubos de arista 3 cm.
Tiene el mismo volumen que la figura E : V = 108 cm3
7 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos.a) Octaedro regular de arista 8 cm.b) Pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide 17 cm y la arista de la
base 10 cm.c) Tronco de cono de radios 12 cm y 16 cm y altura 20 cm.d) Semiesfera de radio 15 cm.e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 10 cm y
altura 18 cm.
a) • Podemos descomponerlo en dos pirámides cuadran-gulares regulares de arista 8 cm:
82 = x2 + 42 → 64 = x2 + 16 →
→ x2 = 64 – 16 = 48
x2 = h2 + 42 → 48 = h2 + 16 → h2 = 48 – 16 = 32 →
→ h = ≈ 5,66 cm√32
14 · 9,72
√95
10 · 4,902
√24
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
10 cm
7 cmx
15 m
12 m
14 m
x
8 cm
8 cm 8 cm
8 cm
8 cm
8 cm
xh
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
Volumen = V1 = (Área de la base) · h = · 82 · 5,66 ≈ 120,75 cm3
• Volumen total = 2V1 = 2 · 120,75 = 241,5 cm3
b) • Hallamos la altura de la pirámide, h:
172 = h2 + 102 → 289 = h2 + 100 →
→ h2 = 289 – 100 = 189
h = ≈ 13,75 cm
• Calculamos el área de la base:
102 = a2 + 52 → 100 = a2 + 25 →
→ a2 = 100 – 25 = 75 → a = ≈ 8,66 cm
Área de la base = = ≈ 259,8 cm2
• Volumen = (Área de la base) · h = · 259,8 · 13,75 ≈ 1 190,75 cm3
c) = → 12(x + 20) = 16x →
→ 12x + 240 = 16x →
→ 240 = 16x – 12x → 240 = 4x →
→ x = = 60 cm
La altura del cono grande es 80 cm y la del cono pequeño es 60 cm.
Vcono grande = π · 162 · 80 =
Vcono pequeño = π · 122 · 60 = 2 880π
• Volumen tronco cono → V = – 2 880π ≈ 12 392,53 cm3
d)
V = ( πR3) = π · 153 = 2 250π ≈ 7 065 cm3
e)
V = πr2h = π · 52 · 18 = 450π ≈ 1 413 cm3
46
43
12
20 480π3
13
20 480π3
13
2404
x12
x + 2016
13
13
60 · 8,662
P · a2
√75
√189
13
13
16 cm
12
20
xx + 20
16 cm
12 cm
20 cm
10 cm
10 cm
a
17 cm
h
10 cm
10 cm
15 cm
10 cm10
cm
18 c
m
r
r = 5 cm
8 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
9 Calcula el volumende estos cuerpos:
• Volumen cono = V1 = π · 22 · 3 = 4π m3
• Volumen cilindro = V2 = π · 22 · 3 = 12π m3
• Volumen semiesfera = V3 = ( π · 23) = m3
• Volumen total = V1 + V2 + V3 = 4π + 12π + =
= ≈ 66,99 m3
• Volumen cilindro exterior = V1 = π · 32 · 5 = 45π m3
• Volumen cilindro interior = V2 = π · 1,52 · 5 = = 11,25π m3
• Volumen total = V1 – V2 = 45π – 11,25π =
= 33,75π ≈ 105,98 m3
10 ¿Cuál debe ser la altura de un cilindro cuya base mide 24 cm para que su vo-lumen sea 1 l ?
2πr = 24 cm → r = = ≈ 3,82 cm
→
→ 45,82 h = 1 000 → h = ≈ 21,82 cm1 00045,82
V = πr2h = π · 3,822 · h ≈ 45,82 h
V = 1 l = 1 dm3 = 1 000 cm3
12π
242π
64π3
16π3
16π3
43
12
13
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
3 m 5 m
6 m
6 m
3 m
4 m
3 m
3 m
2 m
2 m
5 m
R = 3 m
r = 1,5 m
r
h
Página 187
Coordenadas geográf i cas
11 Dos ciudades tienen la misma longitud 3° O, y sus latitudes son 45° 27' Ny 34° 35' S. ¿Cuál es la distancia entre ellas?
Tenemos que hallar la longitud del arcocorrespondiente a un ángulo de:
α + β = 45° 27' + 34° 35' = 80° 2'
Distancia = = ≈ 8 893,02 km
12 Cuando en el huso 0 son las 7 a. m., ¿qué hora es en el huso 3° al E? ¿Y en elhuso 12°?
• En el huso 3° E son tres horas menos; es decir, las 4 a.m.
• En el huso 12° son doce horas menos; es decir, las 7 p.m.
13 La “milla marina” es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferenciade longitudes es 1'. Calcula la longitud de una “milla marina”.
1' = grados; radio de la Tierra: R ≈ 6 370 km
Milla marina → = ≈ ≈ 1,85 km
14 Roma está en el huso 1° E y Nueva York en el 5° O. Si un avión sale de Roma alas 9 a. m. y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la hora local de llegada a Nueva York?
5 + 1 = 6 horas menos en Nueva York que en Roma.
9 a. m. + 8 = 17 h → 5 p.m. hora de Roma
17 – 6 = 11 a.m. (es la hora local de llegada a Nueva York)
Las 11 de la mañana.
15 Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametral-mente opuestos en el paralelo 45°. Puede hacerlo si-guiendo el paralelo (APB) o siguiendo la ruta polar(ANB). ¿Cuál es la más corta?
2π · 6 37021 600
2πR21 600
12πR · ––
60360
160
2π · 6 370 · 80,03°360°
2πR · 80° 2'360°
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
α = 45° 27'β = 34° 35'
αβ
R
S
A
BP
N
• Hallamos el radio del paralelo 45°:
R2 = x2 + x2 = 2x2 → x2 = →
→ x = =
x = ≈ 4 504,27 km
Por tanto, la longitud del arco APB es:
LAPB
= ≈ π · 4 504,27 ≈ 14 143,41 km
• El radio de la Tierra es R ≈ 6 370 km.
Para ir de A a B por la ruta ANB se abarca un ángulo de 45° + 45° = 90° so-bre el meridiano. Por tanto, la longitud del arco ANB es:
LANB
= = = ≈ ≈ 10 000,9 km
• La ruta más corta es la polar.
PIENSA Y RESUELVE
16 Un bidón de pintura de forma cilíndrica, de 32 cm de altura y 30 cm de diámetrode la base, está lleno en sus tres cuartas partes. En su interior se ha caído un pin-cel de 40 cm de largo. ¿Crees que se habrá sumergido totalmente en la pintura?
de 32 = 24 cm
• El pincel se encontrará sobre la diagonal de una sec-ción rectangular del cilindro.
• Veamos cuánto mide la diagonal del rectángulo 30 cm × 24 cm:
d = = ≈ 38,42 cm < 40 cm
• El pincel, de 40 cm de largo, no quedará completamente sumergido en lapintura.
17 Calcula la longitud delmayor listón que cabe encada una de estas cajas:
√1 476√242 + 302
34
π · 6 3702
πR2
2πR4
2πR · 90°360°
2π · 4 504,272
6 370
√2
R
√2√ R2
2
R2
2
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
xx
R45°
d
30 cm
32 c
m
24 c
m
4 cm
6 cm5 cm
4 cm
3 cm
x2 = 42 + 42 = 16 + 16 = 32 → x = ≈ 5,66 cm
y2 = 62 + 32 = 36 + 9 = 45 → x = ≈ 6,71 cm
z = = ≈ 8,66 cm
18 Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura.
• Cada uno de los lados del triángulo es la diagonal de unade las caras del cubo. Por tanto, mide:
x2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 →
→ x = ≈ 14,14 cm
• La altura del triángulo es:
14,142 = h2 + 7,072 → 200 = h2 + 50 → h2 = 150
h = ≈ 12,25 cm
• El área del triángulo es: A = ≈ 86,61 cm2
19 Calcula la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de un cubo de 10 cmde arista.
• Las caras son triángulos como los del ejercicioanterior; por tanto, el área de una cara es:
A1 ≈ 86,61 cm2
• Como son cuatro triángulos iguales, el área deltetraedro será:
AT
= 4 · 86,61 = 346,44 cm2
14,14 · 12,252
√150
√200
√75√52 + 52 + 52
√45
√32
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Unidad 8. Figuras en el espacio
8
4 cm
4 cm
x
6 cm
3 cm
y
5 cm
z
5 cm5 c
m
����������
�����
10 c
m
10 cm
x
x
x
14,14 cm
h
14,14 cm
����������
�����
10 c
m
10 c
m
20 Se ha construido un tubo cilíndrico soldando, por los lados más cortos, unrectángulo de chapa de 20 cm de largo por 15 cm de ancho. ¿Cuál es el diá-metro del tubo? ¿Y su volumen?
• El perímetro de la base del cilindro es de20 cm:
2πr = 20 → r = = ≈ 3,18 cm
• Diámetro del tubo → d = 2r = 2 · 3,18 = 6,36 cm
• Volumen → V = πr2h = π · 3,182 · 15 ≈ 476,29 cm3
21 Un dependiente envuelve una caja de zapatos de 30 cm de larga, 18 cm de an-cha y 10 cm de alta con un trozo de papel, de forma que un 15% del envolto-rio queda solapado sobre sí mismo. ¿Qué cantidad de papel ha utilizado?
• La superficie de la caja es:
Área total = 2(30 · 10 + 18 · 10 + 30 · 18) = 2 040 cm2
• Si ha solapado un 15% de todo el papel, entonces ha utilizado un 85% delpapel para cubrir la caja, es decir:
85% del total = 2 040 cm2 → Total = 2 040 : 0,85 = 2 400 cm2
Ha utilizado 2 040 cm2 = 0,24 m2 de papel.
22 Observa que al seccionar un cubo como indica lafigura, se obtiene de la esquina cortada una pirá-mide triangular.• Dibuja el desarrollo de dicha pirámide.• Calcula su superficie lateral considerando la sec-
ción como base.• Calcula su volumen (apóyala sobre uno de los
triángulos rectángulos).
• Desarrollo: • Superficie lateral (tomando la sección como base):
A1 = = 7,5 cm2
A2 = = 6 cm2
A3 = = 10 cm2
Área lateral = A1 + A2 + A3 = 7,5 + 6 + 10 = 23,5 cm2
4 · 52
3 · 42
3 · 52
10π
202π
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Unidad 8. Figuras en el espacio
8
20 cm r
d
→
15 c
m
15 c
m
30 cm
10 c
m
18 cm
T3T1
T2
5 cm
5 cm
3 cm
3 cm
4 cm
4 cm
T3
T1
T2
3 cm4 c
m
5 cm
• Volumen → V = (Área base) · altura
Si consideramos como base el triángulo , la altura de la pirámide es4 cm. Por tanto:
V = · 7,5 · 4 = 10 cm3
23 Al introducir una piedra en un recipiente cilíndrico, de 20 cm de diámetro, laaltura del agua que contiene sube 5 cm. ¿Cuál es el volumen de la piedra?
• El volumen de agua que ha subido es:
V = πr2 · h = π · 102 · 5 = 500π ≈ 1 570 cm3
• Por tanto, el volumen de la piedra es de 1 570 cm3, aproximadamente.
24 Calcula el volumen de la mayor pirámide que cabe dentro de un ortoedro de3 m de ancho, 4 m de largo y 5 m de alto.
Será una pirámide en la que la base y la altura coinci-den con las del ortoedro. Por tanto, su volumen será:
V = · (3 · 4 · 5) = 20 m3
25 Un estanque tiene como base una elipse de 12 m2 de superficie y una profun-didad de 1,5 m. ¿Cuánto tardará en llenarse mediante una fuente que aporta3 litros de agua por segundo?
• Calculamos el volumen del estanque:
V = (Área de la base) · h = 12 · 1,5 = 18 m3 = 18 000 dm3 = 18 000 l
• Como la fuente aporta 3 l/s, tardará:
= 6 000 segundos = 100 minutos = 1 h 40 min en llenarse.
Página 188
26 Calcula el volumen de una habitación de 2,30 m dealtura, cuya planta tiene la forma y dimensiones in-dicadas en la figura.
• Hallamos el área de la base:
Área rectángulo = A1 = 4 · 3 = 12 m2
Área semicírculo = A2 = ≈ 3,53 m2
Área base = A1 + A2 = 12 + 3,53 = 15,53 m2
π · 1,52
2
18 0003
13
13
13
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
5 cm
3 cm
3 m
1 m
4 m
1 m
4 m
1,5 m
3 m
• Por tanto, el volumen es:
V = (Área de la base) · altura = 15,53 · 2,30 ≈ 35,72 m3
27 ¿Cuál es el peso de un contenedor de embalaje de 0,5 m × 0,5 m × 1,20 m,sabiendo que se ha construido con planchas de aglomerado que pesan a ra-zón de 12 kg/m2?
• Hallamos la superficie del contenedor:
S = 2 · (0,52) + 4 · (1,20 · 0,5) = 2,9 m2
• Por tanto, el contenedor pesa:
12 · 2,9 = 34,8 kg
28 Un bidón cilíndrico de 30 cm de diámetro pesa, vacío, 5 kg, y lleno de agua,27,608 kg. ¿Cuál es la altura del bidón?
• Peso del agua = 27,608 – 5 = 22,608 kg
• Hay 22,608 litros de agua = 22,608 dm3 = 22 608 cm3 de agua.
• Volumen del agua:
V = 22 608 = πr2h → h = = 32 cm de altura tiene el bidón.
29 Observa la figura y calcula:
a) El coste de la construcción del tejado, sabiendo que ha salido a 85 € elmetro cuadrado.
b) El número de radiadores que se deben instalar en su interior, sabiendo quese necesita un radiador por cada 15 m3.
a) d 2 = 32 + 82 = 9 + 64 = 73 → d = ≈ 8,54 m
• La superficie del tejado es:
AT
= (30 · 8,54) · 2 = 512,4 m2
• Coste = 512,4 · 85 = 43 554 €
b) • Calculamos el volumen de la construcción:
VT
= 15 · 30 · 4 + · 30 = 1 800 + 675 = 2 475 m3
• Número de radiadores = = 165 radiadores2 47515
15 · 32
√73
22 608π · 152
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
1,20 m
0,5
m
0,5 m
8 m
15 m
3 m
4 m
30 m
30 Una empresa de carburantes tiene cuatro tanques esféricos de 20 m de diá-metro y seis tanques cilíndricos de 20 m de altura y 10 m de radio en la base.Para evitar la corrosión, se contrata a un equipo de operarios que cobra, porpintar los depósitos, 12 €/m2. Calcula el coste total de la operación.
• Superficie esférica = 4πr2 = 4π · 102 = 400π m2
• Superficie cilíndrica = 2πrh = 2π · 10 · 20 = 400π m2
• Bases del cilindro = 2 · (πr2) = 2 · π · 102 = 200π m2
• Como hay 4 tanques esféricos y 6 cilíndricos, el área total es:
AT
= 4 · 400π + 6 · (400π + 200π) = 5 200π ≈ 16 328 m2
• El coste total es:
12 · 16 328 = 195 936 €
31 Se introduce una bola de piedra de 12 cm de diámetro en un recipiente cúbicode 12 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula:
a) La cantidad de agua que se ha derramado.
b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola.
a) Volumen de la bola → Vb = π · 63 = 288π ≈ 904,32 cm3
El volumen que se ha derramado es el volumen de la bola; es decir, 904,32 cm3.
b) • Volumen del recipiente = Vr = 123 = 1 728 cm3
• Volumen de agua que queda después de sacar labola:
V = Vr – Vb = 1 728 – 904,32 = 823,68 cm3
V = 823,68 = 122 · h → h = = 5,72 cm es la altura que alcanzael agua después de sacar la bola.
32 Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estasfiguras planas al girar alrededor del eje indicado:
823,68144
43
Pág. 18
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
12 cm12
cm
12 c
m h
3 cm
4 cm
3 cm
3 cm
7 cm
A B
• Volumen del cilindro = V1 = π · 32 · 4 = 36π cm3
• Volumen del cono = V2 = π · 32 · 3 = 9π cm3
• Volumen total = V1 + V2 = 36π + 9π =
= 45π ≈ 141,3 cm3
• Volumen del cilindro = V1 = π · 32 · 3 = 27π cm3
• Volumen de la semiesfera = V2 = ( π · 33) =
= 18π cm3
• Volumen total = V1 + V2 = 27π + 18π =
= 45π ≈ 141,3 cm3
33 a) ¿Qué vaso tiene mayor capacidad?
b) ¿Cuántos litros son 10 de estos vasos?
a) • Volumen del cilindro = π · 2,52 · 8 = 50π ≈ 157 cm3
• Volumen del tronco de cono:
= → 2(8 + x) = 3x → 16 + 2x = 3x → 16 = x
Volumen cono grande = VG
= π · 32 · 24 = 72π cm3
Volumen cono pequeño = VP
= π · 22 · 16 = cm3
Volumen tronco de cono = VT
= VG
– VP
= 72π – ≈ 159,09 cm3
El tronco de cono tiene mayor capacidad que el cilindro.
b) • ¿Cuántos litros son 10 de estos vasos?
–– Vaso cilíndrico → 157 cm3 · 10 = 1 570 cm3 = 1,57 dm3 = 1,57 l
–– Vaso tronco de cono → 159,09 cm3 · 10 = 1 590,9 cm3 =
= 1,5909 dm3 = 1,5909 l
64π3
64π3
13
13
x2
8 + x3
43
12
13
Pág. 19
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
A
4 cm
3 cm
3 cm
3 cm
B
3 cm
3 cm
3 cm
5 cm
8 cm
4 cm
6 cm
3 cm
x8 + x 2 cm
8 cm
34 Seccionamos un cubo como indica la figura.
¿Cuál es el volumen de las partes seccionadas?
• Tomamos como base el trián-gulo rectángulo:
Área base = = 6,25 cm2
• El volumen de la parte seccionada será:
V = (Área base) · h = 6,25 · 5 = 31,25 cm3
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
35 Explica por qué cada uno de los siguientes poliedros no es regular. Comprue-ba si se verifica el teorema de Euler en cada uno.
A No todas las caras son iguales. Hay cuadrados, rectángulos y polígonos de la
forma .
B En unos vértices concurren tres caras y en otros, cuatro.
C En unos vértices concurren tres caras y en otros, seis.
• Veamos si se verifica el teorema de Euler en cada caso:
Sí se verifica el teorema de Euler en los tres casos.
36 ¿Cuáles de estos desarrollos corresponden a un tetraedro regular?
El primero y el segundo.
5 · 2,52
Pág. 20
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
��
����
����
��
5 cm
��
����
����
��
5 cm
2,5 cm
h = 5
cm
A B C
8 12 18 2
6 5 9 2
30 32 60 2
CARAS VÉRTICES ARISTAS C + V – A
A
B
C
Página 189
37 ¿Qué poliedro regular tiene por vértices los centros de las caras de un cubo?
El octaedro (son poliedros duales).
38 ¿Qué poliedro obtienes si tomas como vértices los centros de las caras de un oc-taedro regular?
El cubo (son poliedros duales).
39 ¿Por cuánto se multiplica la superficie de un cubo al aumentar al doble suarista? Y su volumen, ¿por cuánto se multiplica?
• La superficie de un cubo de arista a es: S1 = 6a2
• Si tomamos una arista doble, 2a, entonces la superficie sería:
S2 = 6 · (2a)2 = 6 · 4a2 = 4 · (6a2) = 4 · S1 → La superficie se multiplica por 4.
• El volumen de un cubo de arista a es: V1 = a3
• Si tomamos una arista doble, 2a, entonces el volumen sería:
V2 = (2a)3 = 8a3 = 8V1 → El volumen se multiplica por 8.
40 La arista de un cubo mide 6 cm.
a) ¿Cuál es la distancia entre los centros de dos caras opuestas?
b) ¿Cuál es la distancia entre los centros de dos caras contiguas?
c) ¿Cuál es la distancia máxima entre dos vértices?
a) d = 6 cm
b) (d ')2 = 32 + 32 = 9 + 9 = 18
d ' = ≈ 4,24 cm
c) La diagonal del cubo:
D = = ≈ 10,39 cm√108√62 + 62 + 62
√18
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
6 cm
6 cm
d
d'D
6 cm 3 cm
d' 3 cm
PARA PROFUNDIZAR
41 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
42 Deseamos pintar con oro una cúpula de 5 m de altura y 8 m de radio de labase. Calcula cuánto cuesta a razón de 360 €/m2.
• Radio de la esfera correspondiente al casquete esférico:
R = = = = 8,9 m
• Superficie del casquete esférico:
A = 2πRh = 2π · 8,9 · 5 = 89π ≈ 279,46 m2
• Coste = 360 · 279,46 = 100 605,6 €
43 Un carpintero ha ido cortando un cubo de madera obteniendo, sucesivamen-te, las formas que ves en las ilustraciones.
Si el cubo original pesaba 24 kg, ¿cuál es el peso de cada una de las figurasobtenidas en los pasos intermedios?
a) Se ha eliminado del cubo → Peso = · 24 = 21 kg
b) Se han eliminado = del cubo inicial → Peso = · 24 = 18 kg
c) En b) tenemos del cuerpo. La parte de arriba son = .
En c) se elimina de la parte de arriba, · = del total.
Hemos eliminado 1 kg → Peso = 18 – 1 = 17 kg
d) Se elimina de nuevo 1 kg → Peso = 17 – 1 = 16 kg
e) Hasta d) hemos eliminado 8 kg. Ahora eliminamos 8 kg más. Quedan, portanto, 8 kg.
124
14
16
16
14
28
68
34
14
28
78
18
64 + 2510
82 + 52
2 · 5r2 + h2
2h
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
A B C D E
44 Investiga. Cortes en el cubo.
Para este ejercicio conviene que construyas un cubo de cartulina o que mode-les unos cuantos de plastilina y ensayes con ellos distintos cortes con una cu-chilla.
a) ¿Cómo cortar un cubo para conseguir un triángulo equilátero? ¿Y paraconseguir el mayor de todos ellos?
b) ¿Cómo cortar un cubo para conseguir los siguientes cuadriláteros?
• Un cuadrado.
• Un rectángulo.
• El mayor rectángulo.
• Un paralelogramo no rectángulo.
• Un rombo.
• Un trapecio.
c) ¿Puede conseguirse un pentágono cortando un cubo? ¿Y un hexágono? ¿Y unhexágono regular?
a)
b)
c)
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 8. Figuras en el espacio
8
TRIÁNGULO EQUILÁTERO EL TRIÁNGULO EQUILÁTEROMÁS GRANDE POSIBLE
UN CUADRADO UN RECTÁNGULO EL MAYOR RECTÁNGULO
UN PARALELOGRAMONO RECTÁNGULO
UN ROMBO UN TRAPECIO
UN PENTÁGONO UN HEXÁGONO UN HEXÁGONO REGULAR
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PRACTICA
1 Reproduce sobre papel cuadriculado elparalelogramo F (A, B, C, D).
a) Somételo a una traslación de vector →t1.
b) Traslada la figura obtenida, F', mediante →t2.
c) Determina el vector t→ de una traslación que transforme directamente Fen F''.
T1(F ) = F' ; T2(F' ) = F''
T2°T1(F ) = F''
• La traslación que transforma directamen-te F en F'' es la de vector t→ = t1
→ + t2→ .
2 Copia esta figura sobre unacuadrícula.
Dibuja su transformada se-gún un giro de 90° alrededordel punto A y en sentidocontrario a las agujas del re-loj.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
AB
CD
→t1
→t2
AB
F
CD
→t1
→t1 + →t2
→t2 A'B'
F'
C'D'A''
B''
C''D''
F''
F
A
F
A
F'
3 Dibuja un cuadrado ABCD de 3 cm delado. Prolonga la diagonal AC hasta elpunto M, tal que = 2 (la dis-tancia de A a M debe ser dos veces lade A a C ).
Dibuja la imagen del cuadrado en dis-tintos giros, alrededor de M, de ángulos 60°, 120°, 180°, 240° y 300°.
☛ En un arco de 60°, la cuerda es igual al radio.
4 Dibuja un polígono con tres ejes de simetría. (Intenta encontrar varias solu-ciones).
5 Los puntos A(–10, 7), B(–3, 8),C(2, 3) y D(–5, 2) son los vérti-ces de un rombo.Calcula las coordenadas de losvértices del rombo transformadomediante:a) La simetría de eje OX.b) La simetría de eje OY.c) La simetría que tiene por eje la
recta que pasa por los puntosM(0, –3) y N(3, 6).
ACAM
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Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
C
D
MA
B 60°
60°
60° 60°
60° 60°
C
D
MA
B
AB
Y
O X
DC
N
M
a)
A(–10, 7) A' (–10, –7)
B (–3, 8) B' (–3, –8)
C (2, 3) C' (2, –3)
D(–5, 2) D' (–5, –2)
b)
A'' (10, 7)
B'' (3, 8)
C'' (–2, 3)
D'' (5, 2)
c)
A''' (14, –1)
B''' (9, 4)
C''' (2, 3)
D''' (7, –2)
6 Dibuja la imagen del pentá-gono, F, al aplicarle suce-sivamente las simetrías deejes r y s.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
A
A'
B
B'
Y
O X
D
D'
C
C'
A A''B B''
Y
O X
D D''CC''
A
A'''
B
B'''
Y
O X
D
D'''
CC'''
N
M
F
s
r
Dibuja también el vector →t de la traslación equivalente a la composición dedichas simetrías.
Página 208
7 a) Dibuja la imagen F1,transformada de la figura F,por la simetría de eje r.b) Dibuja la imagen F2,
transformada de F1 me-diante la simetría de eje s.
c) Define el giro equivalentea la composición de am-bas simetrías.
d) Define también el giro equivalente a la composición de ambas simetríasen orden inverso.
a) y b)
c) Es un giro de centro O, corte de r con s, y ángulo 2α, doble del ánguloque forman las rectas r y s.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
F
F'
s
r
F''→t
F
O
sr
F
O
sr
F1
F2α
d) Al aplicar prime-ro la simetría se-gún el eje s ydespués según eleje r, se obtiene:
Corresponde aun giro de centroO y ángulo 2β.
8 Este mosaico está formado por infinitos hexágonos regulares.
a) Define tres traslaciones de vectores no paralelos para las cuales el mosaicosea invariante.
b) Define tres giros de distintos ángulos que lo transformen en sí mismo.
c) Busca tres ejes de simetría del mosaico.
a) MV→
, BR→
y MC→
.
b) Giro de centro O y amplitud 120°, 240° y 360°.
c) e1, e2 y e3.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
F
O β
sr
F1F2
FE D
C
A B
RV
CO
M
B
e1
e2
e3
PIENSA Y RESUELVE
9 M y N son dos bolas de billar. Busca el punto en que M debe golpear labanda DC para chocar después con la bola N.
Busca también el punto de la banda AD hacia el que habría que lanzar Mpara chocar con N.
Buscamos el simétrico de N respec-to a la banda DC, N', y unimos N'con M.
El punto de corte de DC con N'Mes el buscado, R.
Se actúa de forma análoga con labanda AD. Se obtiene S.
10 Dos pueblos, A y B, están situados al mismo lado de una autopista.
Busca el trazado más corto para un tramo de carretera que los una entre sí ycon la autopista.
Si hallamos, por ejemplo, elsimétrico del pueblo A res-pecto a la autopista, A', esta-rá a la misma distancia de laautopista que A.
El camino más corto entreA' y B es el tramo de rectaque los une. La intersecciónde este tramo con la autopistaes el punto que buscamos,M.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
A B
D C
N
M
A B
D C
NN'
M
R
S
A'
M
A
B
A
B
M
11 Observa la cuadrícula.Un giro de 180° alrededor de O(3, 3) transforma elpunto P(1, 1) en P'(5, 5).a) Identifica otros tres movimientos que transformen P
en P'.b) ¿Cuál es la imagen de A(1, 3) en cada uno de ellos?
a) Una traslación de vector PP'→
.
Una simetría cuyo eje sea la mediatriz de PP'.
Un giro de centro en el punto (1, 5) y un ángulo de 90° en el sentido con-trario al de las agujas del reloj.
b) La traslación de vector PP'→
transforma A(1, 3) en A' (5, 7).
La simetría mencionada transforma A(1, 3) en A' (3, 5).
El giro transforma A(1, 3) en A' (3, 5).
12 El triángulo equilátero ∆ se puede transformar en ∆' mediante tres movi-mientos distintos.
a) Determina cada uno de los tres movimientos quetransforman ∆ en ∆' y designa en cada caso losvértices y los lados de ∆' teniendo en cuenta dequé vértices de ∆ provienen.
Por ejemplo:
Un giro de centro C y ángulo –60° transforma:
A → B = A', B → B' y C en sí mismo (C = C' ).
b) Encuentra una traslación, un giro y una simetríaque transformen ∆ en ∆'. Nombra, en cadacaso, los vértices de ∆'.
a)
Simetría de eje e (recta BC).
Giro de centro B y ángulo 60°.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
P
P'
OA
A
B
Cb
c
a ∆'∆
A A'
C = C'e
a = a'
B = B'
b
c
b'
c'
∆'∆
A C'
C = A'
a = c'
B = B'
b
c
b'
a'
∆'∆
A B'
C = C'
a = b'
B = A'
b
c
a'
A C
B
∆'∆
b)
Traslación de vector t→ = AC→
.
Giro de centro C y ángulo α = 120°.
Simetría de eje e.
Página 209
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
13 Si consideramos como transformación el que todo quede como estaba y dondeestaba, a dicha transformación la llamaremos identidad (I ).
Define una traslación y un giro que sean equivalentes a la identidad.
• Traslación de vector 0.→
• Giro de ángulo 0°, 360°… (con cualquier centro).
14 Se dice que una transformación es idempotente si compuesta consigo mismada lugar a la identidad (es decir, si la aplicamos dos veces, todo queda comoestaba: T °T = I).
Encuentra dos movimientos que sean idempotentes.
Por ejemplo, una simetría de un cierto eje e, y un giro de 180° (con cualquiercentro).
15 Se dice que una transformación T ' es inversa de otra T cuando compuestacon ella da lugar a la identidad (es decir, si aplicamos T y después T ', todovuelve a donde estaba).
Encuentra la transformación inversa en cada uno de los siguientes casos:
a) Una traslación de vector →t (7, –4).
b) Un giro de centro O(0, 0) y ángulo α = 60°.
c) Una simetría de eje la recta y = x.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
A C'C = A'
B B'
∆'∆
→t
A B'C = C'
B A'
∆'∆ α
A A'C = C'
B B'
∆'∆
e
a) Una traslación de vector →t' (–7, 4).
b) Un giro de centro O(0, 0) y ángulo α' = –60°.
c) Es inversa de sí misma: una simetría de eje la recta y = x.
16 La composición de transformaciones no cumple la propiedad conmutativa (esdecir, T2 ° T1, en general, es distinto que T1 ° T2). Sin embargo, si las trans-formaciones son de ciertos tipos, sí se cumple la propiedad conmutativa.
Justifica en cuáles de los siguientes casos es así y en cuáles no:
a) Composición de dos traslaciones.
b) Composición de dos giros del mismo centro.
c) Composición de dos simetrías axiales.
d) Composición de una traslación y un giro.
a) Sí es conmutativa. El resultado es otra traslación de vector igual al vector su-ma de los correspondientes a las dos traslaciones.
b) Sí es conmutativa. El resultado es otro giro del mismo centro y ángulo iguala la suma de los ángulos correspondientes a los dos giros.
c) No es conmutativa.
d) No es conmutativa.
17 Justifica que solo se puede hacer un mosaico regular con triángulos, cuadra-dos o hexágonos. Para ello ten en cuenta cuánto deben sumar los ángulos delos polígonos que concurren en un vértice de un mosaico y cuánto vale elángulo de cada uno de los polígonos regulares.
• Seis triángulos equiláteros encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360°:
60° · 6 = 360°
• Cuatro cuadrados encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360°:
90° · 4 = 360°
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Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
60°
90°
• No podemos encajar los pentágonos regulares:
180° · 3 = 324° → Con tres pentágonos no llega a 360°.
180° · 4 = 432° → Con cuatro pentágonos pasamos de 360°.
• Tres hexágonos regulares encajan en el plano, pues sus ángulos suman 360°:
120° · 3 = 360°
• Al considerar tres polígonos de más de 6 lados, la suma de los tres ánguloscorrespondientes es mayor de 360°; luego no se pueden encajar en el plano.
PROFUNDIZA
18 Dos personas, P1 y P2,se encuentran en un pasi-llo de espejos.
Teniendo en cuenta la co-lumna C, halla la distan-cia a la que P1 cree ver aP2 cuando P1 mira haciael espejo AB.
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Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
120°
108°
B
P1
P2
9 m
1 m
3 m
5 m
A
E
C
D
B
P1
P2
P'2
P'1
9 m
1 m
6 m
3 m
5 m
3 m
1 m
A A' B'x9 – x
E
C
Q
R
D
P'1 es el simétrico de P1 respecto al espejo AB.
P'2 es el simétrico de P2 respecto al espejo DE.
P1 ve reflejado en AB a P2 en el punto R. Hemos de calcular las distanciasde P1 a R, de R a Q y de Q a P2.
Los triángulos A'P'2R y B'RP1 son semejantes. Por tanto:
= → 6x = 27 – 3x → 9x = 27 → x = 3 m
P1R––
= = = 3 m
RP'2––
= RQ––
+ QP2––
RP'2––
es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 6 m y 6 m.
RP'2––
= 6 m
La distancia a la que P1 cree ver a P2 es 3 + 6 = 9 m.
19 Se llama motivo mínimo de un mosaico a una pieza teórica, lo más pequeñaposible, repitiendo la cual se puede reproducir todo el mosaico. Los bordesde esta pieza “no se notan” salvo que los hayamos pintado expresamente.
Por ejemplo, si en el siguiente mosaico trazamos ejes de simetría con ángulosde 60°:
descubrimos esta pieza como candidata a “motivo mí-nimo”.
a) Redúcela a la tercera parte de dos formas distintas.
b) ¿Puedes hacerla aún más pequeña?
c) Descubre otro “motivo mínimo” trazando ejes de simetría perpendiculares.
a)
√2√2√2
√2
√2√18√32 + 32
9 – xx
63
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Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
b) No. Observa que, si lo dividimos de esta forma:
la pieza � y la � son simétricas, pero no podemosobtener una a partir de la otra solo con giros y trasla-ciones.
Por tanto, esta división no es válida.
c)
Otro “motivo mínimo” es el siguiente:
Pág. 12
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Unidad 9. Transformaciones geométricas (frisos y mosaicos)
9
21
Página 225
PRACTICA
In terpre tac ión de gráf i cas
1 Se suelta un globo que se eleva y, al alcanzar cierta altura, estalla. La siguien-te gráfica representa la altura, con el paso del tiempo, a la que se encuentra elglobo hasta que estalla.
a) ¿A qué altura estalla? ¿Cuánto tarda en estallar desde que lo soltamos?
b) ¿Qué variables intervienen? ¿Qué escala se utiliza para cada variable? ¿Cuáles el dominio de definición de esta función?
c) ¿Qué altura gana el globo entre el minuto 0 y el 4? ¿Y entre el 4 y el 8? ¿Encuál de estos dos intervalos crece más rápidamente la función?
a) Estalla a 500 m de altura. Tarda 12 minutos en estallar.
b) Intervienen la altura y el tiempo.
La escala para la altura es: 1 cuadradito → 50 m de altura
La escala para el tiempo es: 1 cuadradito → 1 minuto
El dominio de definición es el intervalo 0 – 12.
c) Entre el minuto 0 y el 4 el globo gana 275 m.
Entre el minuto 4 y el 8 el globo gana 150 m.
Vemos claramente que crece mucho más rápidamente en el intervalo 0 – 4.
2 Para medir la capacidad espiratoria de lospulmones, se hace una prueba que consis-te en inspirar al máximo y después espirartan rápido como se pueda en un aparatollamado “espirómetro”. Esta curva indicael volumen de aire que entra y sale de lospulmones.
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Unidad 10. Funciones y gráficas
10
4 8 12 162 6 10 14 18 TIEMPO (s)
VOLUMEN (l)
1
2
3
4
2 4 6 8 10 12 TIEMPO (min)
ALTURA (m)ESTALLA
100
200
300
400
500
a) ¿Cuál es el volumen en el momento inicial?
b) ¿Cuánto tiempo duró la observación?
c) ¿Cuál es la capacidad máxima de los pulmones de esta persona?
d) ¿Cuál es el volumen a los 10 segundos de iniciarse la prueba?
a) 1,5 litros b) 18 segundos c) 4 litros d) 1 litro
3 Este es el perfil de una etapa ciclista de un club de cicloturismo.
Y esta es la gráfica que indicacómo se recorrió esa etapa.
a) ¿Cuál es la longitud de laetapa? ¿Cuánto tiempo tar-daron en recorrerla?
b) ¿En qué tramo van másdeprisa y en cuál más des-pacio? ¿Cuándo pasan porla cima más alta?
c) ¿Qué distancia hay de C a D? ¿Cuánto tiempo tardaron en recorrerla? ¿Quévelocidad llevaron?
a) La etapa consta de 120 km. Tardaron 3 horas y 15 minutos en recorrerla.
b) El tramo en el que van más deprisa es de C a D: 2 – 2,75.
El tramo en que van más despacio es de B a C: 0,5 – 2. Pasan por la cima alas 2 horas.
c) De C a D hay 50 km, que tardaron 45 minutos = 0,75 horas.
De C a D llevaron una velocidad de v = = 66,6 km/h.
4 En la puerta de un colegio hay un puesto de golosinas. En esta gráfica se ve lacantidad de dinero que hay en su caja a lo largo de un día.
500,75
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Unidad 10. Funciones y gráficas
10
A (SALIDA)
B
C
D E
1 2 3 TIEMPO (h)
ESPACIO (km)
20
40
60
80
100
120
8
4
12
16
20
98 1110 1312 1514 17 18
INGRESOS (€)
HORAS
16
a) ¿A qué hora empiezan las clases de la mañana?
b) ¿A qué hora es el recreo? ¿Cuánto dura?
c) El puesto se cierra a mediodía, y el dueño se lleva el dinero a casa. ¿Cuálesfueron los ingresos esta mañana?
d) ¿Cuál es el horario de tarde en el colegio?
e) ¿Es esta una función continua o discontinua?
a) Las clases empiezan a las 8 h 30 min (cuando deja de haber ingresos en lacaja).
b) La hora del recreo es desde las 11 h hasta las 11 h 30 min (cuando más in-gresos hay en la caja).
c) Los ingresos de toda la mañana ascienden a 22 – 4 = 18 €.
d) El colegio, por la tarde, empieza a las 15 h 30 min y acaba a las 17 h.
e) Es una función discontinua.
Página 226
5 Carmen, Gonzalo, Elena y Luis comentan cómo ha sido su ida al colegio estamañana.
CARMEN: Vine en motocicleta; pero se me olvidó un trabajo que tenía que entre-gar y tuve que volver a casa. Luego corrí todo lo que pude hasta llegar al colegio.
GONZALO: Mi madre me trajo en coche; pero nos encontramos un atasco en elsemáforo que hay a mitad de camino y nos retrasó mucho.
ELENA: Me encontré en el portal de mi casa con un amigo que va a otro colegio.Hicimos juntos una parte del camino, y cuando nos separamos tuve que darmemás prisa porque, con la charla, se me hizo tarde.
LUIS: Salí de casa muy de-prisa porque había queda-do con María y era tarde.Después hicimos el caminojuntos con más calma.
Los cuatro van al mismocolegio, y cada una de estasgráficas muestra, en distin-to orden, la trayectoria quehan llevado desde la salidade sus casas hasta la entra-da al colegio.
En todas las gráficas se hautilizado la misma escala.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
DISTANCIA
TIEMPO
C
DISTANCIA
TIEMPO
A
DISTANCIA
TIEMPO
D
DISTANCIA
TIEMPO
B
a) ¿Cuál es la gráfica que corresponde a la descripción que ha hecho cada uno?
b) ¿Quién vive más cerca del colegio?
c) ¿Quién tardó menos en llegar?
a) Carmen → B. Gonzalo → D. Elena → A. Luis → C.
b) y c) Luis es el que vive más cerca y, además, es el que menos tardó en hacerel recorrido.
6 Si sacamos del congelador hielo muy frío (a –10 °C, por ejemplo), su tempe-ratura va aumentando hasta llegar a 0 °C. Esta temperatura se mantiene y,cuando ya no queda hielo, aumenta hasta igualarse con la temperatura am-biente. El hielo con sal se derrite a, digamos, –6 °C (por eso se echa sal en lascalles heladas), y permanece a esa temperatura durante el tiempo que tardeen derretirse. Las siguientes gráficas muestran ambas situaciones:
a) ¿Cuál es la temperatura del hielo normal y cuál la del hielo salado a las 3 h?
b) ¿Cuándo empiezan a derretirse?
c) ¿Cuánto permanecen por debajo de –5 °C?
d) Si estamos a –12 °C y las calles están heladas, ¿tiene sentido echarles sal?¿Por qué?
a) La temperatura del hielo normal a las 3 horas es 0 °C y la del salado es –6 °C.
b) El normal empieza a derretirse a la hora y 18 minutos. El salado, a los 12minutos.
c) El salado permanece por debajo de –5 °C, 4 horas y 12 minutos. El normalpermanece por debajo de –5 °C, 42 minutos.
d) No, porque el hielo salado se derrite a –6 °C; con –12 °C el hielo no se de-rretirá, tenga o no tenga sal.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
2 3 4 5 6
–10
–5
0
5
10
1
TEMPERATURA °C
HIELO
HIELO SALADO
TIEMPO (h)
7 Estas gráficas describen de forma aproximada el comportamiento de tresatletas, A, B, C, en una carrera de 400 m.
a) ¿Cuál salió a más velocidad? ¿Quién ganó?
b) Describe la carrera.
a) C salió a mayor velocidad (es la gráfica que más deprisa aumenta, al princi-pio, con el tiempo).
Ganó A porque es el que menos tiempo empleó (60 segundos) en recorrer elmismo espacio (400 m).
b) De los tres sale más rápido C y más lento, A. A los 15 segundos C se para10 segundos y es adelantado por B a los 19 segundos de haber salido. A los25 segundos C reanuda la carrera y a los 52 segundos A, que hasta este mo-mento iba el 3º-, adelanta a C y se coloca en segunda posición. A los 55 se-gundos, con 340 m recorridos, A adelanta a B.
Por fin, A llega el primero, tardando 60 segundos en llegar a la meta. B llegael segundo, tardando 64 segundos en llegar a la meta. C llega el tercero, tar-dando 70 segundos en llegar a la meta.
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8 Los cestillos de una noria van subiendo y bajando a medida que la noria gira.Esta es la representación gráfica de la función tiempo-distancia al suelo deuno de los cestillos:
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
ESPACIO (m) A B C
TIEMPO (s)
20 30 40 50 60
100
200
300
400
10
4
8
12
16
10 20 30 40 50 60 70 80
DISTANCIA (m)
TIEMPO (s)
a) ¿Cuánto tarda en dar una vuelta completa?
b) Observa cuál es la altura máxima y di cuál es el radio de la noria.
c) Explica cómo calcular la altura a los 130 segundos sin necesidad de conti-nuar la gráfica.
a) En dar una vuelta completa tarda 40 segundos.
b) La altura máxima que alcanza la noria es 16 m. El radio de la noria es, portanto, 8 m.
c) Es una función periódica, luego a los 40 segundos, 80 segundos, 120 segun-dos, está abajo. Por tanto, a los 130 segundos está en la misma posición quea los 10 segundos. Entonces a los 130 segundos está a 8 m de altura.
9 Las siguientes gráficas nos muestran la marcha de seis montañeros:
a) Describe el ritmo de cada uno.
b) ¿Cuáles de ellas te parecen menos realistas?
c) ¿Quién recorre más camino?
d) ¿Quién camina durante menos tiempo?
a) A → Siempre va a la misma velocidad.
B → Al principio va más desprisa y luego empieza a disminuir su velocidad.
C → Desde que empieza va aumentando su velocidad hasta que llega a las3,5 h; donde empieza a disminuir su velocidad.
D → Lleva un ritmo constante todo el tiempo, pero cambia de ritmo enalgunos tramos.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
DISTANCIA RECORRIDA (km)
A
C
E
TIEMPO (h)
30
20
10
1 2 3 4 5
d
t
d
t
30
20
10
1 2 3 4 5
30
20
10
1 2 3 4 5
B
D
F
d
t
d
t
d
t
30
20
10
1 2 3 4 5
30
20
10
1 2 3 4 5
30
20
10
1 2 3 4 5
La primera hora y media lleva un ritmo, después lo baja hasta las2 horas y 30 minutos el que vuelve con el ritmo anterior hasta las4 horas y 5 minutos, que se para.
A las 5 horas sigue con el ritmo del principio.
E → Empieza andando muy despacio, pero cada vez va aumentando mássu velocidad.
F → Empieza andando con velocidad constante las dos primeras horas y,a partir de aquí, sigue andando con velocidad constante, pero ma-yor que la que llevaba antes.
b) La gráfica menos realista es la E, ya que no se puede andar cada vez más de-prisa.
c) En las gráficas D y F es donde se recorre mayor camino.
d) El montañero de la gráfica F, que anda 4 horas.
PIENSA Y RESUELVE
Cons t rucc ión de gráf i cas
10 Un ciclista sale de excursión a un lugar que dista 20 km de su casa. A los 15minutos de la salida, cuando se encuentra a 6 km, hace una parada de 10 mi-nutos.
Reanuda la marcha y llega a su destino una hora después de haber salido.
a) Representa la gráfica tiempo-distancia a su casa.
b) ¿Lleva la misma velocidad antes y después de la parada? (Suponemos quela velocidad es constante en cada etapa.)
a)
b) La velocidad en ambos casos es la misma.
En A lleva una velocidad de vA = = km/min.
En B lleva una velocidad de vB = = = km/min.25
1435
20 – 660 – 25
25
615
Pág. 7
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
DISTANCIA (km)
5
2
TIEMPO (min)10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
468
101214161820
A
B
11 Un tiovivo acelera durante 2 minutos hasta alcanzar una velocidad de10 km/h. Permanece a esta velocidad durante 7 minutos y decelera hasta pa-rar en 1 minuto. Tras permanecer 5 minutos parado, comienza otra vuelta.
Dibuja la gráfica tiempo-velocidad.
En el minuto 10 ha terminado la primera vuelta, y en el minuto 15 ha empeza-do la segunda vuelta.
12 En la autoescuela Ramírez las tarifas son las siguientes:
a) He utilizado los servicios de Ramírez, y con 5 clases he obtenido el carné.¿Cuánto he pagado?
b) ¿Cuánto hubiese pagado con 6 clases? ¿Y con 7 clases?
c) Haz la gráfica en la que relaciones lo que cuesta obtener el carné según elnúmero de clases recibidas.
a) 150 + 5 · 15 = 150 + 75 = 225 € he pagado en total.
b) Con 6 clases habría pagado: 150 + 6 · 15 = 240 €
Con 7 clases habría pagado: 150 + 7 · 15 = 255 €
c)
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
VELOCIDAD (km)
2 TIEMPO (min)9 10 15 17 24 25
10
PRECIO TOTAL (€)
1 N-º DE CLASES2 3 4 5 6 7 8 9 10
306090
120150180210240270300330
Precio de cada clase ............................ 15 €Precio matrícula carné ....................... 150 €
13 La libra es una medida de peso que equivale a 0,45 kg.
a) Completa la tabla siguiente:
b) Representa la función que convierte libras en kilos.
a)
b)
Página 228
14 La cantidad de nieve que escapaz de limpiar un quita-nieves de la carretera de-pende del espesor de esta.Se han recogido datos de una de estas máquinas en un momento determinado:a) Representa gráficamente estos datos y une los puntos para poder analizar
mejor la gráfica. Descríbela.b) Supón que para espesores mayores de nieve la máquina se comporta de
manera análoga. Para un espesor de 60 cm, ¿cuántos kilómetros, aproxi-madamente, despejaría en una hora?
a)
Es una función decreciente: cuanto mayor seael espesor, menor es la distancia limpiada en1 hora. Además, es una función continua.
b) Para un espesor de 60 cm, se despejarán, aproximadamente, 5 km.
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
0,5 1 1,5 2 3 4x (libras)
y (kilos)
0,5 1 1,5 2 3 4
0,225 0,45 0,675 0,9 1,35 1,8
x (libras)
y (kilos)
y (kg)
1
0,45
x (libras)2 3 4
0,90
1,35
1,80
DISTANCIA LIMPIADA (km)
20
20
ESPESOR (cm)4010 30 50
40
60
10
30
50
50 40 30 25 20 15 10 5
6 7,5 10 12 15 20 30 60
ESPESOR DE LA NIEVE(en cm)
DISTANCIA QUE LIMPIAEN 1 HORA (en km)
15 El aparcamiento de un centro comercial tiene la siguiente tarifa de precios:
Representa la gráfica de la función tiempo de aparcamiento-coste.
Desde las 9 h hasta las 22 hse puede estar un tiempomáximo de 13 horas en elaparcamiento.
16 En la factura del gas de una ciudad se paga una cantidad fija de 15 €, y 0,75 €por cada metro cúbico consumido.
a) ¿Cuánto se paga por 3 m3? ¿Y por 15 m3?
b) Representa la función metros cúbicos consumidos-coste.
a) Por 3 m3 hay que pagar 15 + 3 · 0,75 = 17,25 €.
Por 15 m3 hay que pagar 15 + 15 · 0,75 = 26,25 €.
b)
17 La dosis de un medicamento es 0,25 g por cada kilo de peso del paciente,hasta un máximo de 15 gramos.
a) ¿Cuántos gramos tiene que tomar un niño que pesa 10 kg? ¿Y otro de30 kg? ¿Y una persona de 70 kg?
b) ¿A partir de qué peso se toma la dosis máxima (15 g)?
c) Representa la función peso del paciente-dosis indicada.
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
PRECIO DESDE LAS 9 HORAS HASTA LAS 22 HORAS
• Las dos primeras horas................... gratuito• 3-ª hora o fracción y sucesivas ......... 1 €• Máximo diario ............................. 6 €
PRECIO (€)
2
TIEMPO (h)21 3 40 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4
6
1
3
5
PRECIO TOTAL (€)
CONSUMO (m3)3 6 9 12 15 18
1517,2519,5021,75
2426,2528,50
a) Si el niño pesa 10 kg, la dosis es de: 0,25 · 10 = 2,5 gramos.
Si el niño pesa 30 kg, la dosis es de: 0,25 · 30 = 7,5 gramos.
Si pesa 70 kg, la dosis es de: 0,25 · 70 = 17,5 gramos, pero como no se pue-den tomar más de 15 gramos, esta persona tomaría los 15 gramos.
b) = 60 → A partir de los 60 kg se toma la máxima dosis, 15 gramos,
y aunque aumente el peso la dosis se mantiene en 15 gramos.
c)
18 La siguiente tabla recoge la medida del perímetro del cráneo de un niñodurante los primeros meses de vida:
a) Haz una gráfica relacionando estas dos variables. Elige una escala adecuada.
b) ¿Qué tendencia se observa en el crecimiento del cráneo de un niño?
c) ¿Cuánto crees que medirá el perímetro craneal de un niño de 3 años?
a)
b) Se va aproximando a 50 cm.
c) A los 3 años, el perímetro craneal será, aproximadamente, de 49,5 cm.
150,25
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
DOSIS (g)
PESO (kg)10 20 30 40 50 60 70
4
8
12
16
PERÍMETRO (cm)
TIEMPO (meses)3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33
30
34
38
42
46
50
54
58
0 3 9 15 21 27 33
34 40 44 46 47 48 49
TIEMPO (meses)
PERÍMETRO (cm)
19 Completa la tabla que rela-ciona la base y la altura delos rectángulos cuya área es24 cm2.a) Representa gráficamente esta función.b) ¿Cuál de estas tres expresiones corresponde a esta función?
y = y = y = 24x
a)
b) La expresión correspondiente a esta función es y = .
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
20 Relaciona cada gráfica con una de las expresiones analíticas:
A → � ; B → � ; C → �
24x
24x
x24
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
0,5 1 1,5 2 2,5 3BASE, x (cm)ALTURA, y (cm)
0,5 1 1,5 2 2,5 348 24 16 12 9,6 8
BASE, x (cm)ALTURA, y (cm)
y
x0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
6
12
18
24
30
36
42
48
X
X
X
1
1
Y
Y
Y
1
1
1
1
A
B
C
1
2
3
y = x + 1
y = x3
y = x2
Página 229
21 Una de las siguientes ecuaciones, que se corresponde con la gráfica, expresa larelación entre la altura, h, alcanzada por un balón que se lanza hacia arriba, y eltiempo, t. ¿Cuál de ellas es?
a) h = t2 + 80
b) h = 8t – t2
c) h = 40t – 5t2
d) h = –4t2 + 80t
Es la c) (pasa por (0, 0) y por (4, 80)).
22 ¿Cuáles de las siguientes gráficas corresponden a una función?
Las gráficas a) y c) corresponden a funciones: para cada valor de x hay un solovalor de y.
Las gráficas b) y d) no corresponden a funciones: hay valores de x a los que lescorresponde más de un valor de y.
23 En cada una de estas gráficas, in-dica cuál es el dominio de defini-ción, dónde crecen y dónde decre-cen, los máximos y los mínimos.
Indica también si alguna es dis-continua, periódica o tiende a unvalor fijo.
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
20
40
60
80
1 2 3 4 5t
h
Y
X
a)
Y
X
c)
Y
X
b)
Y
X
d)
15
10
5
1
1 2
Y
Y
X
X2
3
A
C
2
Y
Y
X
X
–4 –22
4
4
2
2 4 6 8
B
D
(*) Es constante a trozos. Se puede decir que es globalmente creciente.
24 Comprueba si los números –2, 3 y 5 pertenecen al dominio de definición dela función y = . Escribe tres números que pertenezcan al dominio yotros tres que no pertenezcan.
Para que pertenezcan, al sustituir la x por estos valores, el valor resultantedebe ser un número real:
x = –2 → y = → y = ∈Á → x = –2 pertenece al dominio
de definición de la función.
x = 3 → y = → y = 0 ∈Á → x = 3 pertenece al dominio de de-
finición de la función.
x = 5 → y = → y = ∉Á → x = 5 no pertenece al dominio
de definición de la función.
Por ejemplo: x = 1, x = 2, x = 0 pertenecen al dominio.
x = 4, x = 6, x = 7 no pertenecen al dominio.
PROFUNDIZA
25 Escribe en función de x el área de la parte coloreada en cada una de estas fi-guras:
a) El área del cuadrado completo es: A = 62 = 36
El área sin colorear es, por ser un triángulo rectángulo: A = = 3x
El área coloreada es: A = AC – AT → A = 36 – 3x
x · 62
√–2√3 – 5
√3 – 3
√5√3 – (–2)
√3 – x
Pág. 14
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
x ≥ 0 TODOS LOS VALORES x ≥ 2 x ≥ 0
(*) –7 a –5; –2 a 0; 2 a 5 NUNCA 0-3; 4-7; 8-11…
NUNCA –5 a –2; 0 a 2; 5 a +∞ x ≥ 2 3-4; 7-8; 11-12…
NO TIENE (–5, 3); (0, 2); (5, 4) (2, 5) (3, 3); (7, 3); (11, 3)…
NO TIENE (–2, 0); (2, –1) NO TIENE (0, 0); (4, 0); (8, 0)…
EN N NO NO NO
NO NO NO SÍ
INFINITO – 1 –
A B C D
DOMINIO
CRECIMIENTO
DECRECIMIENTO
MÁXIMOS
MÍNIMOS
DISCONTINUA
PERIÓDICA
TIENDE A…
6
a) x
6
x
6
b)6
xx
6
6
c)
b) El área del cuadrado es: AC = 36
El área sin colorear es la de un triángulo: AT = = 3x
El área coloreada es: A = AC – AT → A = 36 – 3x
c) El área del cuadrado es: AC
= 36
El área del triángulo grande es: AT = = 18 – 3x
El área del triángulo pequeño es: A'T =
El área coloreada es:
A = AC – AT – A'T → A = 36 – (18 – 3x) – → A = 18 + 3x –
26 Los coches, una vez que se compran, empiezan a perder valor a un ritmo deun 20% anual, aproximadamente.
a) Haz una tabla de valores que dé el valor de un coche que costó 15 000 €,en años sucesivos.
b) Representa gráficamente la función años-valor del coche.
c) Encuentra una fórmula que permita hallar el precio del coche en funciónde los años transcurridos.
a)
b)
x2
2x2
2
x2
2
(6 – x)62
6 · x2
Pág. 15
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
0 15 000
1 0,8 · 15 000 = 12 0002 0,8 · 12 000 = 9 6003 0,8 · 9 600 = 7 6804 0,8 · 7 680 = 6 1445 0,8 · 6 144 = 4 915,2
AÑOS VALOR DEL COCHE (€)
VALOR (€)
TIEMPO (años)1 2 3 4 5
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
c) Para calcular el valor del coche, cada año vamos multiplicando su valor an-terior por 0,8; luego, la expresión es: y = 15 000 · (0,8)x, donde x represen-ta el tiempo en años e y representa su valor.
27 Esta gráfica muestra cómo varía la velocidad de un coche al recorrer uno delos circuitos dibujados más abajo.
a) ¿A cuál de los dos corresponde?
b) Haz la gráfica correspondiente al otro.
a) Corresponde al circuito C, porque desde donde empieza las curvas son cadavez más pronunciadas y, por tanto, la velocidad al llegar a ellas cada vez serámenor, que es lo que precisamente se aprecia en la gráfica.
Pág. 16
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 10. Funciones y gráficas
10
VELOCIDAD
DISTANCIA
S
B C
S
VELOCIDAD
DISTANCIA
B
Página 243
PRACTICA
Representac ión de rec tas
1 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
2 Representa las rectas:
a) y = 3x b) y = –2x c) y = d) y = –2
3 Representa las rectas:
a) y = 0,8x b) y = c) y = –1,6x d) y = x
4 Representa las siguientes rectas eligiendo una escala adecuada:
a) y = 25x b) y = –75x c) y = x120
47
x2
x2
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
X
a)Y
X
b)Y
X
c)Y
X
d)
Y
X
a)Y
X
b)Y
X
c)Y
X
d)
Y25
1 –1
1
120X
a)Y
X
b)Y
X
c)
75
5 Representa las siguientes rectas:
a) y = –x + 3 b) y = – + 4 c) y = –
d) y = e) y = 3,2x – 3 f) y = x +
¿En qué punto cortan al eje OY ? ¿Y al eje OX ?
a) • Corte con el eje X:
(3, 0)
• Corte con el eje Y:
(0, 3)
b) • Corte con el eje X:
(12, 0)
• Corte con el eje Y:
(0, 4)
c) • No corta al eje X.
• Corte con el eje Y:
(0, – )
d) • Corte con el eje X:
( , 0)• Corte con el eje Y:
(0, – )95
98
125
134
52
8x – 95
125
x3
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
1
1X
Y
1
1X
Y
1
1 X
Y
1
X1
e) • Corte con el eje X:
(0,9375; 0)
• Corte con el eje Y:
(0, –3)
f ) • Corte con el eje X:
(– , 0)• Corte con el eje Y:
(0, )6 De cada una de las rectas del ejercicio anterior, di cuál es su pendiente y, según
su signo, clasifícalas en funciones crecientes o decrecientes.
a) La pendiente es m = –1 < 0 → función decreciente.
b) m = – < 0 → decreciente. c) m = 0 → constante.
d) m = > 0 → creciente. e) m = 3,2 > 0 → creciente.
f ) m = > 0 → creciente.
7 Representa la recta que pasa por el origen de coordenadas y cuya pendientees –3. ¿Cuál es su ecuación?
La ecuación es: y = –3x
8 Representa las rectas r y s en los mismos ejes de coordenadas y halla supunto de corte en los siguientes casos:
a) b) c) d) x + y = 22x – y = –5
y = 2 – 5(x + 1)2x – 3y – 1 = 0
y = 5x – 2y = 7
3x – 2y = 5y = 3x + 2
52
85
13
134
1310
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
–3
X1
Y
1
X1
Y
–3
X1
→ x = –3 → y = –7
El punto de corte es (–3, –7).
El punto de corte es ( , –7).
→ 17x = –8 → x =
y = –5x – 3 =
El punto de corte es ( , ).–1117
–817
–1117
–817
y = 2 – 5x – 5 → y = –5x – 32x – 3(–5x – 3) – 1 = 0 → 2x + 15x + 9 – 1 = 0 →
y = 2 – 5(x + 1)2x – 3y – 1 = 0
c)
95
95x – 2 = 7 → 5x = 9 → x = –– → y = 7
5
y = 5x – 2
y = 7
b)
Resolvemos el sistema:3x – 2(3x + 2) = 5 → 3x – 6x – 4 = 5 → –3x = 9 →
3x – 2y = 5y = 3x + 2
a)
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
1
X
3x – 2y = 5
y = 3x + 2
(–3, –7)
1
Y
1
X
y = 7
y = 5x – 2
95(—, 7)
1
Y
1
X
y = 2 – 5(x + 1)
2x – 3y – 1 = 0
1–817
–1117(—, —)
El punto de corte es (–1, 3).
Ecuac iones de rec tas
9 Halla la ecuación de la función de proporcionalidad que pasa por el punto(–17, 25).
Por ser de proporcionalidad, la función es una recta que también pasa por (0, 0).
m = = –
La recta es: y = – x
10 Halla la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y por elpunto P en cada uno de los siguientes casos:
a) P (15, –3) b) P ( , )c) P (–6, –18) d) P (20, 68)
a) P(15, –3) → m = = – → y = – x
b) P( , ) → m = = → y = x
c) P(–6, –18) → m = = 3 → y = 3x
d) P(20, 68) → m = = → y = x175
175
6820
–18–6
1235
1235
6/57/2
65
72
15
15
–315
65
72
2517
2517
25 – 0–17 – 0
Sumando las dos ecuaciones, queda:3x = –3 → x = –1 → y = 2 – x = 3
x + y = 22x – y = –5
d)
Pág. 5
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
1
X
x + y = 22x – y = –5
1
(–1, 3)
11
Halla la pendiente y la ecuación de estas rectas.
r1: m = –3 → y = –3x
r2: m = → y = x
r3: m = → y = x
12 Escribe la ecuación de la recta de la que conocemos un punto y la pendiente,en cada uno de los casos siguientes:
a) P (–3, 5), m = 2 b) P (1, –4), m = –3
c) P (–8, 2), m = d) P (–7, –9), m = –
a) y – 5 = 2(x + 3) → 2x – y + 11 = 0
b) y + 4 = –3(x – 1) → 3x + y + 1 = 0
c) y – 2 = (x + 8) → 5y – 10 = 2x + 16 → 2x – 5y + 26 = 0
d) y + 9 = – (x + 7) → 3y + 27 = –7x – 49 → 7x + 3y + 76 = 0
Página 244
13 Escribe las rectas del ejercicio anterior, en forma general.
a) 2x – y + 11 = 0 → 2x – y = –11
b) 3x + y + 1 = 0 → 3x + y = –1
c) 2x – 5y + 26 = 0 → 2x – 5y = –26
d) 7x + 3y + 76 = 0 → 7x + 3y = –76
73
25
73
25
17
17
34
34
Pág. 6
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
X2
r1 r2
r3
4 6–2
2
4
–2
14 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
15 Comprueba que el punto (17, 68) pertenece a la recta y = 5x – 17.
Sustituimos x por 17 y calculamos y: y = 5 · 17 – 17 = 68
El punto (17, 68) sí pertenece a la recta y = 5x – 17.
16 Considera las rectas: r : 3x – 2y = 4; s : y = x + 7; t: y = –8 – (x + 2)
Averigua cuál de ellas pasa por alguno de estos puntos:
P(13, –17), Q(–12, –23), R(– , – )Sustituimos la coordenada x de cada punto en cada una de las rectas y vemos silos resultados obtenidos coinciden con la coordenada y del punto respectivo:
r: 3x – 2y = 4
P (13, –17) → si x = 13 → y = ≠ –17 → P ∉ r
Q (–12, 23) → si x = –12 → y = = –20 → Q ∉ r
R(– , – ) → si x = – → y = = – → R ∈ r
s: y = x + 7
P (13, – 17) → si x = 13 → y = · 13 + 7 = ≠ –17 → P ∉ s
Q (–12, –23) → si x = –12 → y = · (–12) + 7 = –23 → Q ∈ s
R(– , – ) → si x = – → y = · (– ) + 7 = ≠ → R ∉ s
t: y = –8 – (x + 2)
P(13, – 17) → si x = 13 → y = –8 – · (13 + 2) → y = –17 → P ∈ t
Q(–12, –23) → si x = –12 → y = –8 – · (–12 + 2) → y = –2 → Q ∉ t
R (– , – ) → si x = – → y = –8 – · (– + 2) →
→ y = ≠ → R ∉ t–112
–395
73
35
73
112
73
35
35
35
–112
76
73
52
73
112
73
52
792
52
52
112
3(–7/3) – 42
73
112
73
3(–12) – 42
352
112
73
35
52
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
r pasa por R
s pasa por Q
t pasa por P
17 Calcula c para que la recta 5x – 2y = c pase por el punto (–3, 7).
5(–3) – 2 · 7 = c → –15 – 14 = c → c = –29
El punto (–3, 7) pasa por la recta 5x – 2y = –29.
18 Calcula b para que la recta 3x + by = –5 pase por el punto (–3, 4).
3 · (–3) + b · 4 = –5 → –9 + 4b = –5 → b = = 1 → b = 1
19 ¿Cuáles son la pendiente y la ordenada en el origen de la recta 3x – 5y + 15 = 0?
Despejamos la y para poner la recta de la forma y = mx + n:
3x + 15 = 5y → y = → y = x + 3
La pendiente es m = .
La ordenada en el origen es n = 3.
20 Halla la pendiente y la ordenada en el origen de las rectas siguientes:
a) –2x + 8y = 5 b) 7x – 3y = –2 c) 4y = 8 d) 4x – 3y – 12 = 0
Despejamos la y para ponerlas de la forma y = mx + n:
a) y = → m = ; ordenada en el origen:
b) y = → m = ; ordenada en el origen:
c) y = = 2 → m = 0; ordenada en el origen: 2
d) y = → m = ; ordenada en el origen: –4
21 Halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos A y B, y escribe suecuación en cada uno de los siguientes casos:
a) A(5, –3), B(2, 1) b) A(–6, 2), B(–3, 5)
c) A(–4, –2), B(8, –7) d) A(0, 7), B(–4, 0)
e) A( , 4), B (1, ) f) A( , ), B( , –1)13
54
12
73
23
43
4x –123
84
23
73
7x + 23
58
14
2x + 58
35
35
3x + 155
44
Pág. 8
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Unidad 11. Funciones lineales
11
a) m = = → y = 1 – (x – 2) → 3y = 3 – 4x + 8 →
→ 4x + 3y = 11
b) m = = = 1 → y – 5 = 1(x + 3) → x – y = –8
c) m = = → y = –7 – (x – 8) → 12y = –84 – 5x + 40 →
→ 5x + 12y = –44
d) m = → y = (x + 4) → 4y = 7x + 28 → 7x – 4y = –28
e) m = = = –5 → y – 4 = –5 (x – ) → 5x + y =
f ) m = = = = → y + 1 = (x – ) →
→ 2y + 2 = 27x – 9 → 27x – 2y = 11
22 Escribe la ecuación de esta recta:
Podemos razonar de dos formasdistintas:
Resolución 1:
Hallamos la pendiente y la ordenada en el origen y utilizamos la forma y = mx + n.
• Pendiente: cuando x aumenta 2, y disminuye 5 → m = –
• Ordenada en el origen: 5
• La ecuación es: y = – x + 5
Resolución 2:
Elegimos dos puntos sobre la gráfica; por ejemplo, A(0, 5) y B(2, 0), y utili-zamos la forma punto-pendiente.
Forma punto-pendiente:
m = = . Ecuación: y = (x – 2) → y = x + 5–52
–52
–52
0 – 52 – 0
52
52
13
272
272
544
–9––4–1––6
5–1 – ––4
1 1–– – ––3 2
223
23
–5––31––3
7–– – 43
21 – ––3
74
74
512
–512
–7 – (–2)8 – (–4)
33
5 – 2–3 + 6
43
4–3
1 – (–3)2 – 5
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Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
A
BX
23 a) Escribe la ecuación de las rectas a, b, c y d.
b) ¿Cuáles de ellas son funciones crecientes y cuálesdecrecientes? Comprueba el signo de la pendien-te en cada caso.
c) ¿Pasa alguna de ellas por el punto (142, –1)?
a) a pasa por los puntos (–2, 7) y (3, 5).
m = = → y = 5 – (x – 3) → 5y = 25 – 2x + 6 →
→ 2x + 5y = 31
b pasa por los puntos (0, 2) y (4, 4).
m = = → y = 2 + x → 2y = 4 + x → x – 2y = –4
c pasa por los puntos (3, 0) y (5, 3).
m = = → y = (x – 3) → 2y = 3x – 9 → 3x – 2y = 9
d es paralela al eje X: y = –1
b) a es decreciente; m = – < 0. b es creciente; m = > 0.
c es creciente; m = > 0. d es constante; m = 0.
c) a: sustituimos x = 142 en la ecuación y hallamos y:
2 · 142 + 5y = 31 → y = ≠ –1 → No pasa por el punto dado.
b y c tampoco pasan por ese punto.
d sí pasa por ese punto, pues y = –1.
Página 245
24 Asocia cada una de las rectas r, s, t, p, q a una de estas ecuaciones:
1) y = x 2) y = x + 2
3) y = – x 4) y = – x + 5
5) y = –3
1) t 2) r 3) q 4) s 5) p
53
53
23
13
–2535
32
12
25
32
32
35 – 3
12
12
4 – 24
25
–25
5 – 73 + 2
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Unidad 11. Funciones lineales
11
Ya
b c
d
2
X
–2
2 4 6–2
4
6
X
p
s
q
t
r
Y
25 Escribe la ecuación de estas rectas y represéntalas:
a) Pasa por (–2, 3) y (5, –4).
b) Pasa por ( , –2) y su pendiente es – .
c) Pasa por el punto (2, 2) y su ordenada en el origen vale –5.
d) Pasa por (1, –5) y es paralela a y = 2x.
a) m = = = –1. Luego la recta es: y = 3 – (x + 2) → x + y = 1
b) La recta es: y = –2 – (x – ) → y = –2 – + → 15x + 10y = –11
c) Como su ordenada en el origen es –5, es de la forma y = mx – 5.
Además pasa por el punto (2, 2). Es decir:
2 = 2m – 5 → m = . Por lo tanto, la recta es: y = x – 5
d) Si la recta es paralela a y = 2x, sus pendientes son iguales. Por lo tanto, la rec-ta será: y = –5 + 2(x – 1) → 2x – y = 7
26 Halla la ecuación de las siguientes rectas en forma general:
a) Paralela a 4x – 3y = 4 y pasa por el origen de coordenadas.
b) Paralela al eje X y pasa por el punto (5, 4).
c) Paralela a 2x – 3y = 6 y pasa por (–3, 2).
72
72
910
3x2
35
32
–77
–4 – 35 – (–2)
32
35
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Unidad 11. Funciones lineales
11
Y
1
X1
a) Y
1
X1
b)
Y
1
X
c) Y
1
X1
d)
1
a) 4x – 3y = 0
b) y = 4
c) 2x – 3y + k = 0 → 2 · (–3) – 3 · 2 + k = 0 → –6 – 6 + k = 0 →
→ –12 + k = 0 → k = 12 → 2x – 3y = –12
PIENSA Y RESUELVE
27 En cada caso, escribe la función y di el significado de la pendiente:a) El precio de x kilos de manzanas, si pagué 3,6 € por 3 kg.b) Los metros que hay en x kilómetros.c) El precio de un artículo que costaba x €, si se ha rebajado un 20%.
a) P = 1,2x → La pendiente es el precio de cada kilo de manzanas.
b) M = 1 000x → La pendiente es el número de metros que hay en un kiló-metro.
c) P = x – 0,2x = 0,8x → La pendiente es el índice de variación (descuentodel 20%).
28 Comprueba si existe alguna recta que pase por los puntos A (–1, 3), B (5, 0)y C (45, –20). Para ello, halla la ecuación de la recta que pasa por A y porB y prueba después si el punto C pertenece a esa recta.
• Hallamos la ecuación de la recta que pasa por A y B:
m = = = Ecuación → y = (x – 5)
• Veamos si el punto C (45, –20) pertenece a la recta anterior.
Sustituimos x = 45 en la ecuación:
y = (45 – 5) = · 40 = –20 → Sí pertenece.
• Por tanto, la recta y = (x – 5) pasa por los tres puntos.
29 Estas gráficas muestran la distan-cia que recorre el sonido en dife-rentes medios según el tiempo.
a) Halla la pendiente de cada unay explica su significado.
b) Escribe sus ecuaciones.
–12
–12
–12
–12
–12
–36
0 – 35 – (–1)
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Unidad 11. Funciones lineales
11
GRANITO
DISTANCIA (km)
TIEMPO (s)
AGUA
AIRE1
1 2 3 4
2
3
4
a) Aire: m = . El sonido recorre km en 1 segundo en el aire.
Agua: m = = 1,5. El sonido recorre 1,5 km en 1 segundo en el agua.
Granito: m = ≈ 5,71. El sonido recorre, aproximadamente, 5,71 km en
1 segundo en el granito.
b) Aire: y = x. Agua: y = 1,5x. Granito: y = x.
30 Esta es la gráfica del espacioque recorren tres montañerosque van a velocidad cons-tante:
¿Qué velocidad lleva cada uno?
Escribe la expresión analíticade estas funciones.
A: Velocidad = → v = → e = (t – 5)
B: Velocidad = → e = 500 + t
C: Velocidad = = 130 → e = 130t
31 Dos depósitos de agua, A y B, funcio-nan de la siguiente forma: a medidaque A se va vaciando, B se va llenando.Estas son las gráficas:
a) Indica cuál es la gráfica de A, cuál lade B y escribe sus ecuaciones.
b) ¿Cuál es la velocidad de entrada y de salida del agua?
c) ¿En qué momento los dos depósitos tienen igual cantidad de agua?
a) • A corresponde a una fracción decreciente. Vemos que su gráfica pasa por(0, 150) y (7,5; 0).
Pendiente → m = = –20. Ecuación: y = 150 – 20x
• B corresponde a una función creciente. Su gráfica pasa por (0, 0) y (10, 100).
Pendiente → m = = 10. Ecuación: y = 10x10010
0 – 1507,5 – 0
6505
1003
1003
1003
1003
st
407
13
407
32
13
13
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
500
1 000 ESPACIO (m)
TIEMPO (min)
5 10 15 20
A
BC
CAPACIDAD (l)
TIEMPO (min)1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
255075
100125150175
b) • Velocidad de entrada → 10 l/min
• Velocidad de salida → 20 l/min
A los 5 minutos los dos depósitos tienen 50 litros de agua.
Página 246
32 Al colgar diferentes pesos de un muelle, este se va alargando según los valoresque indica esta tabla:
a) Haz la gráfica de esa función.
b) Halla su expresión analítica.
c) Explica el significado de la pendiente.
a)
b) y = 5 + x
c) La pendiente es m = y nos indica que por cada 2 gramos que colgamos
al muelle, este se alarga 1 cm.
33 Una receta para hacer helados recomienda poner 5 g de vainilla por cada100 cm3 de leche.
Encuentra la relación entre la cantidad de leche y de vainilla y representa lafunción.
Llamamos y a los centímetros cúbicos de leche y x a los gramos de vainilla.
12
12
150 – 20x = 10x → 150 = 30x → x = 5, y = 50
y = 150 – 20xy = 10x
c)
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
0 2 5 10
5 6 7,5 10
PESO, x (g)
LONGITUD, y (cm)
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 PESO (g)
LONGITUD (cm)
Como cada 100 cm3 de leche debemos poner 5 g de vainilla, cada 20 cm3 deleche deberíamos poner 1 g de vainilla:
y = 20x
Su representación gráfica es la siguiente:
34 Una milla equivale, aproximadamente, a 1,6 km.
a) Haz una tabla para convertir millas en kilómetros.
b) Dibuja la gráfica y escribe su ecuación.
a)
b) Si x es el número de millas e y el número de kilómetros, nos queda la re-lación: y = 1,6x; cuya representación es:
35 La temperatura de ebullición, T, de un líquido depende de la presión, P, ala que esté sometido. Cuanto menor es P, menor es T.
La tabla nos muestra esta dependencia.
Supongamos que la presión que soporta el líquido a ni-vel del mar es 1 atmósfera.
a) ¿Es de proporcionalidad esta relación? Razónalo.
b) Representa gráficamente estos valores.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
20
40
60
1 2 3
1 2 3 4 5
1,6 3,2 4,8 6,4 8
MILLAS
KILÓMETROS
2
4
6
8
10
2 4 6 8 10 MILLAS
KILÓMETROS
1 1000,692 900,467 800,122 50
P (atm) T (°C)
a) Para ver si es de proporcionalidad, comprobaremos si el cociente de las va-riaciones entre presión y temperatura es siempre el mismo.
≈ 32,468 = 44,44
Esto nos muestra que los tres puntos que hemos observado (1, 100),(0,692; 90) y (0,467; 80) no están alineados. Por lo tanto, la relación no esde proporcionalidad.
b)
36 En una heladería, A, venden el helado a 5 € el litro y cobran 1 € por un en-vase, sea del tamaño que sea. En otra heladería, B, cobran 0,5 € por un enva-se y 6 € por cada litro de helado.
a) Representa la función litros de helado – coste para cada heladería y escribesus ecuaciones.
b) Analiza cuál de las dos ofertas es más ventajosa según la cantidad de hela-do que compremos.
a) Las relaciones entre la cantidad de helado que se compra (x) y el precio (y)son, según las heladerías, las siguientes:
A → y = 1 + 5x
B → y = 0,5 + 6x
Hacemos dos tablas de valores con los precios en cada heladería:
90 – 800,692 – 0,467
100 – 901 – 0,692
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
25
50
75
100
0,2 0,4 0,6 0,8 1 P
T
0,1 1,5
0,2 20,3 2,50,4 30,5 3,50,6 40,7 4,5
LITROS EN A COSTE
0,1 1,1
0,2 1,70,3 2,30,4 2,90,5 3,50,6 4,10,7 4,7
LITROS EN B COSTE
b) Si se compra menos de medio litro de helado, es más ventajosa la oferta dela heladería B.
Si se compra exactamente medio litro de helado, no importa dónde se com-pre, porque cuesta lo mismo.
Si se compra más de medio litro de helado, es más ventajosa la oferta de laheladería A.
37 Esta tabla muestra lo que cuestaimprimir una hoja publicitariaen una imprenta:
a) ¿Cuánto costaría imprimir un solo ejemplar? ¿Y 1 000 ejemplares?b) Halla la expresión analítica de la función número de ejemplares-coste.c) Represéntala gráficamente como si fuera continua (realmente es una fun-
ción discontinua formada por puntos aislados).
a) Número de ejemplares → 200 – 100 = 100
Coste → 4,5 – 3 = 1,5
Los mismos datos obtenemos calculando otras diferencias. Por lo tanto, im-primir un ejemplar cuesta 0,015 €. Además, hay un coste fijo de 1,5 €.Concluimos que un ejemplar cuesta 1,515 €.
Mil ejemplares cuestan 15 + 1,5 = 16,5 €
b) Si llamamos x al número de ejemplares e y al coste: y = 0,015x + 1,5
c)
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Unidad 11. Funciones lineales
11
2,5
5
7,5
10
100 200 300 400 500 N-º DE EJEMPLARES
COSTE (€)
50 100 200 500
2,25 3 4,5 9
N-º DE EJEMPLARES
COSTE (€)
1
2
3
4
5
A
B
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 N-º DE LITROS
COSTE (€)
38 En el contrato de trabajo, a un vendedor de libros se le ofrecen dos alternativas:A: Sueldo fijo mensual de 1 000 €.B: Sueldo fijo mensual de 800 € más el 20% de las ventas que haga.a) Haz una gráfica que muestre lo que ganaría en un mes según la modalidad
del contrato. Toma como variable independiente las ventas que haga y co-mo variable dependiente el sueldo.
b) Escribe la expresión analítica de cada función.c) ¿A cuánto tienen que ascender sus ventas para ganar lo mismo con las dos
modalidades del contrato? ¿Cuáles son esas ganancias?
a)
b) A → y = 1 000 B → y = 800 + 0,2x
Para ganar lo mismo con las dos modalidades, las ventas han de ser de1 000 €. En este caso, las ganancias serían de 1 000 €.
39 El precio de un viaje en tren depende de los kilómetros recorridos. Por untrayecto de 140 km pagamos 17 €, y si recorre 360 km, cuesta 39 €. Escribela ecuación de la recta que relaciona los kilómetros recorridos, x, con el pre-cio del billete, y. Represéntala gráficamente.
Pasa por los puntos (140, 17) y (360, 39).
Pendiente: m = = = 0,1
Ecuación: y = 17 + 0,1(x – 140) →
→ y = 0,1x + 3
22220
39 – 17360 – 140
800 + 0,2x = 1 000 → 0,2x = 200 → x = 1 000y = 1 000
y = 1 000y = 800 + 0,2x
c)
Pág. 18
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Unidad 11. Funciones lineales
11
800
840
880
920
960
1000
1040A
B
200 400 600 800 1000 1200 VENTAS
SUELDO (€)
10
50
90
100 500 1000 RECORRIDO (km)
PRECIO (€)
40 La temperatura de fusión del hielo en la escala centígrada es 0 °C, y en laFahrenheit es 32 °F. La ebullición del agua es 100 °C, que equivale a 212 °F.
a) Encuentra la función lineal que nos da la relación entre las dos escalas y re-preséntala.
b) Expresa en grados Fahrenheit las siguientes temperaturas: 25 °C; 36,5 °C;10 °C.
c) Pasa a grados centígrados 86 °F y 63,5 °F.
a) Es una recta que pasa por los puntos (0, 32) y (100, 212).
La pendiente de la recta es: m = = 1,8
La recta es, pues: y = 32 + 1,8x, donde x es la escala centígrada e y es laescala Farenheit. Su representación es la siguiente:
b) 25 °C → y = 32 + 1,8 · 25 = 77 °F
36,5 °C → y = 32 + 1,8 · 36,5 = 97,7 °F
10 °C → y = 32 + 1,8 · 10 = 50 °F
c) 86 °F → 86 = 32 + 1,8x → x = 30 °C
63,5 °F → 63,5 = 32 + 1,8x → x = 17,5 °C
Página 247
41 En un recibo por consumo de energía eléctrica de un mes aparece esta infor-mación:
a) ¿Cuánto cobrarán por la energía consumida?
212 – 32100 – 0
Pág. 19
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Unidad 11. Funciones lineales
11
25
50
75
100
125
150
175
200
25 50 75 100 TEMPERATURA (°C)
TEMPERATURA (°F)
1 400 kwh
0,2 €
CONSUMO
PRECIO DEL kwh
b) Haz una gráfica que relacione consumo-coste.
Para ello, utiliza estas escalas:
Eje horizontal → 1 cuadradito = 100 kwh
Eje vertical → 1 cuadradito = 20 €
Escribe su ecuación.
c) Si, además, la empresa suministradora cobra al mes 20 € por el alquiler delequipo, ¿cómo queda la ecuación consumo-coste? Represéntala junto a la an-terior y escribe su ecuación.
d) ¿Qué transformación sufre el precio si añadimos el 16% de IVA? ¿Cómose transforma el alquiler del equipo? Representa, junto a las otras, la gráfi-ca de la función resultante y escribe su ecuación.
a) 1 400 · 0,2 = 280 €
b) Ecuación: y = 0,2x (ver gráfica)
c) Ecuación: y = 20 + 0,2x (ver gráfica)
d) –– Al aumentar un 16% a cada kwh, en lugar de costar 0,2 €, costará:
0,2 · 1,16 = 0,232 €
–– El alquiler del equipo costará 20 · 1,16 = 23,2 €.
–– La ecuación será: y = 23,2 + 0,232x (ver gráfica)
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
42 Pon un ejemplo de una función de proporcionalidad, halla tres puntos de ellay comprueba que el cociente entre la ordenada y la abscisa es constante.¿Cómo se llama esa constante?
• Una función de proporcionalidad es de la forma y = mx. Por ejemplo, y = 3x.
Pág. 20
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
20
100
200
300 y = 23,2 + 0,232x y = 20 + 0,2x
y = 0,2x
500 1000 1500 CONSUMO (kwh)
COSTE (€)
• Tres puntos de ella son (1, 3), (2, 6), (–1, –3).
• Cociente entre la ordenada y la abscisa:
[Este cociente no tiene sentido tomando el punto (0, 0)].
43 En la función y = mx + n, ¿cómo debe ser m para que la función sea decre-ciente?
El valor de m debe ser menor que cero.
44 Sea la recta y = x – 5.
a) Escribe la ecuación de dos rectas paralelas a ella.
b) Escribe la ecuación de una recta con la misma ordenada en el origen y queno sea paralela a ella.
a) Deben tener la misma pendiente. Por ejemplo:
y = x ; y = x + 1
b) Han de tener distinta pendiente e igual ordenada en el origen. Por ejemplo:
y = x – 5
45 ¿Cuál es la pendiente de la recta y = 3?
La pendiente es 0.
46 Halla la ecuación de la bisectriz del primer cuadrante.
y = x
47 ¿Cuál es la recta que tiene por ecuación y = 0? ¿Y la de ecuación x = 0?
El eje X (eje de abscisas) tiene por ecuación y = 0.
El eje Y (eje de ordenadas) tiene por ecuación x = 0.
48 Escribe la ecuación de una recta paralela al eje vertical y que pase por elpunto (2, 3).
Una recta paralela al eje vertical (eje Y) es de la forma x = k.
Si pasa por el punto (2, 3), su ecuación será x = 2.
32
32
32
El resultado es el mismo en los tres casos.Es la pendiente de la recta.
3–– = 316–– = 32–3–– = 3–1
Pág. 21
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
49 Sean las rectas:
a) y = 3x – 2 b) 3x – y + 5 = 0
c) y = –3x + 2 d) y =
Compara sus pendientes y di, sin dibujarlas, cuáles son paralelas.
Represéntalas gráficamente y comprueba tus respuestas.
a) m = 3 b) m = 3 c) m = –3 d) m =
Las únicas que tienen pendientes iguales (serán rectas paralelas)
son: a) y = 3x – 2 y b) 3x – y + 5 = 0
Gráficas:
50 ¿Verdadero o falso?
a) La recta x = 4 es paralela al eje de abscisas.
b) La recta x – 3 = 0 es paralela al eje de ordenadas.
c) La recta y = –2 es paralela al eje de abscisas.
d) Las rectas y = 2x – 1 e y = x – 1 son paralelas.
a) Falso. La recta x = 4 es paralela al eje de ordenadas.
b) Verdadero. La recta x – 3 = 0 es x = 3.
c) Verdadero.
d) Falso. Tienen pendientes 2 y 1, respectivamente.
32
3x – 22
Pág. 22
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
y = 3x + 5
y = 3x – 2
y = –3x + 2
3x – 22
y = —Y
X
PROFUNDIZA
51
a) Sin hacer operaciones, ordena las rectas r1, r2, r3 y r4 de menor a mayorpendiente.
b) Dibuja una recta cuya pendiente sea menor que la de r3.
a) r3 , r2 , r1 , r4
b) Por ejemplo;
la recta r:
52 Representa gráficamente estas funciones:
a) y = b) y =
a) b)
53 Las rectas: r : 2x + 3y – 6 = 0;
s : x – y – 7 = 0; t : y – 4 = 0
determinan un triángulo. ¿Cuáles son sus vértices?
3 si x < 14 – x si x ≥ 1
x – 1 si x ≤ 32 si x > 3
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
X
r r3
Y
X
Y
1
1X
Y
1
1
X
r1
r2r3r4
Y
Los puntos de corte de las rectas corresponden a los vértices.
Uno de los vértices es A ( , ).
Otro de los vértices es B (–3, 4).
El otro vértice es C (11, 4).
y = 4
x – 4 – 7 = 0 → x = 11
s: x – y – 7 = 0
t: y – 4 = 0
y = 4
2x + 12 – 6 = 0 → 2x = –6 → x = –3
r: 2x + 3y – 6 = 0
t: y – 4 = 0
–85
275
x = y + 7
2(y + 7) + 3y – 6 = 0 → 2y + 14 + 3y – 6 = 0–8 –8 275y = –8 → y = –– → x = y + 7 = –– + 7 = ––5 5 5
r: 2x + 3y – 6 = 0
s: x – y – 7 = 0
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 11. Funciones lineales
11
Página 268
PRACTICA
1 Di, en cada caso, cuál es la población y cuál la variable que se quiere estudiar.Especifica si es una variable cualitativa o cuantitativa, determinando, en esteúltimo caso, si es discreta o continua:
a) Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres quetrabajan fuera del hogar.
b) Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos de un centro escolaral terminar la Educación Secundaria Obligatoria.
c) Intención de voto en unas elecciones autonómicas.
d) Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de la EnseñanzaSecundaria Obligatoria en España.
e) Número de aparatos de radio que hay en los hogares españoles.
2 Al contar el número de asignaturas suspendidas por cada alumno y alumnaen la primera evaluación de un grupo de 3-º de la ESO, hemos obtenido estosdatos:
1 1 2 3 2 6 0 0 1 0
4 5 0 0 0 3 2 1 3 1
1 1 0 1 2 0 0 5 4 2
Haz una tabla de frecuencias absolutas y el diagrama de barras correspon-diente.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
POBLACIÓN VARIABLE TIPO DE VARIABLE
Hombres y mujeresHoras dedicadas a
las tareas domésticasCuantitativa
continuaAlumnos y alumnasde un centro escolar
Tipos de estudios Cualitativa
Posiblesvotantes
Tipode voto
Cualitativa
Estudiantes de laESO en España
Horas dedicadas aver la televisión
Cuantitativacontinua
Familias españolasNúmero de
aparatos de radioCuantitativa
discreta
a)
b)
c)
d)
e)
3 Con los datos del problema anterior, calcula los siguientes porcentajes:
— Estudiantes que no suspendieron ninguna asignatura.
— Estudiantes que suspendieron una o dos asignaturas.
— Estudiantes que suspendieron tres o más asignaturas.
Haz un diagrama de sectores que refleje los porcentajes de esos tres grupos.
–– Estudiantes que han aprobado todo: 9.
–– Estudiantes con 1 ó 2 suspensos: 8 + 5 = 13.
–– Estudiantes que suspenden 3 o más: 3 + 2 + 2 + 1 = 8.
Calculamos los porcentajes correspondientes a 9, 13 y 8:
= 30% → 108° del sector
= 43,33% → 156° del sector
= 26,67% → 96° del sector
4 Estos son los resultados de una encuesta realizada en una comunidad autóno-ma sobre la actuación de su presidente.
a) Con los datos del gráfico, haz una tabla de frecuencias y un diagrama debarras verticales.
b) ¿Crees que dan la misma impresión?
8 · 10030
13 · 10030
9 · 10030
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
N-º DE ESTUDIANTES
N-º DE ASIGNATURAS SUSPENDIDAS0 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
10
3o más
suspensos
Apruebantodo
1 ó 2suspensos
Muy
bue
na
Bue
na
Reg
ular
Mal
a
Muy
mal
a
NS
/NC
12
40
27
13
6
2
0 91 82 53 34 25 26 1
Nº ASIGNATURAS
SUSPENDIDAS
NÚMERO
DE ESTUDIANTES
a)
b) Se aprecian más claramente los resultados en el diagrama de barras verticales.
5 Un diario publicó esta información:
a) ¿Cuántas personas murieron en accidentes cuya causa fue el alcohol o lasdrogas?
b) El 75% de las distracciones son fruto de la euforia o de la lentitud de refle-jos que producen el alcohol y otras drogas. Según esto, ¿qué porcentaje deaccidentes está relacionado con el alcohol y las drogas?
a) Se corresponden con el 38% de las 3 212 personas:
3 212 · 0,38 ≈ 1 220 personas murieron por causas del alcohol o las drogas.
b) Como el total de las distracciones son el 28%, calculamos el 75% de ese 28%.
0,28 · 0,75 = 0,21
Entonces, el 21% del total son muertes producidas por distracción debidoa la falta de reflejos motivada por el alcohol o las drogas.
El porcentaje de accidentes relacionados con las drogas y el alcohol es:
38 + 21 = 59%
6 Las opiniones que dieron un grupo de pacientes sobre dos de sus médicos fueron:
Haz un gráfico de sectores para cada médico y compáralos.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
Muy buena 12%
Buena 40%
Regular 27%
Mala 13%
Muy Mala 6%
NS/NC 2%
OPINIÓNPORCENTAJE
DE ENCUESTADOS
PORCENTAJE
OPINIÓNMUYBUENA
10
20
30
40
BUENA REGULAR MALA MUYMALA
NS/NC
Alcohol, drogas
Total muertes: 3 212 Fuente: DGT
Distracción
Maniobras anti-reglamentarias
Velocidadinadecuada
CAUSAS DE ACCIDENTES MORTALES
38%28%
19%15%
37,5 4245 25
17,5 33
MÉDICO A (%) MÉDICO B (%)BUENO
REGULAR
MALO
Transformamos los porcentajes en grados:
A 37,5% → = 135°
45% → = 162°
17,5% → = 63°
B 42% → = 151,2°
25% → = 90°
33% → = 118,8°
Podemos deducir que el médico A es mejor valorado que el B.
Página 269
7 Este gráfico muestra la distribución de la tierra en Galicia:
a) ¿Cuántas hectáreas ocupan los bosques?
b) De la superficie cultivada, el 23,5% se dedica al maíz. ¿Cuántas hectáreasocupa el maíz?
c) Representa la distribución de la tierra en la Comunidad de Murcia y com-párala con la de Galicia.
33 · 360100
25 · 360100
42 · 360100
17,5 · 360100
45 · 360100
37,5 · 360100
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
BUENO
MALOREGULAR
BUENO
MALO
REGU-LAR
SUPERFICIE AGRARIA ÚTIL: 2 947 000 ha
Forestal: 62,4%
Cultivo: 19,2%
Prados ypastos:11,5%
Otros: 7,0%
1 131 000 ha 53,4% 26,5% 1,9% 18,2%
SUPERFICIE PRADOSAGRARIA CULTIVOS FORESTAL Y OTROS
ÚTIL PASTOS
a) Los bosques ocupan un 62,4% del total: 2 947 000 · 0,624 = 1 838 928 ha
b) Calculamos el porcentaje de superficie dedicada al maíz: 0,192 · 0,235 = 0,045
Entonces, el 4,5% de la superficie total se dedica al maíz:
2 947 000 · 0,045 = 132 615 ha
c)
Cultivo: 53,4% → = 192,2°
Forestal: 26,5% → = 95,4°
Prados y pastos: 1,9% → = 6,8°
Otros: 18,2% → = 65,6°
En Murcia se dedica más terreno al cultivo y menos al terreno forestal, mien-tras que en Galicia es al revés.
En Murcia es mucho menor el porcentaje de terreno dedicado a prados y pas-tos que en Galicia (debido a que en Galicia hay más ganadería vacuna).
En Murcia es mayor el porcentaje de terreno sin un tratamiento concreto queen Galicia.
8 Se ha hecho una encuesta para saber con qué regularidad se lee el periódicoen una ciudad, y los resultados fueron estos:
a) ¿Qué tanto por ciento de personas respondieron “nunca”?
b) Si las personas que no contestaron fueron 6, ¿cuántas personas fueronencuestadas?
c) Las personas encuestadas, ¿son muestra o población?
18,2 · 360100
1,9 · 360100
26,5 · 360100
53,4 · 360100
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
Forestal: 26,5%
Cultivo: 53,4%
Prados y pastos: 1,9%
Otros: 18,2%
Todos los días 37,3
Una vez por semana 29
Una vez al mes 10,5
Alguna vez al año 12
Nunca …
No contesta 0,4
RESPUESTAS %
a) La suma de todos los porcentajes ha de ser 100%. Exceptuando los que hancontestado “nunca”, los porcentajes suman:
37,3 + 29 + 10,5 + 12 + 0,4 = 89,2%
Luego el porcentaje de los que contestaron “nunca” es: 100 – 89,2 = 10,8%
b) Las 6 personas que no contestaron representan el 0,4%. Entonces, como el to-tal de personas representan el 100%:
= 1 500 personas fueron encuestadas.
c) Si la ciudad tiene más de 1 500 habitantes, se tomó una muestra, ya quesolo 1 500 personas son las encuestadas.
9 Estos gráficos muestran el balance de una empresa:
a) ¿Cómo se llama este tipo de gráficos?
b) ¿Por qué hay en ambos un corte en el eje vertical?
c) Haz una tabla que indique los resultados y la plantilla de cada año.
a) Ambos gráficos son polígonos de frecuencias.
b) El corte del eje vertical es debido a que los primeros valores del eje no se utili-zan, por lo que no es necesario ponerlos, pero a la vez hay que conservar la es-cala con el resto del eje vertical. Este corte indica que este intervalo es más largode lo que está dibujado. De esta forma se pierde menos espacio.
c)
100% · 60,4%
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
1997 1998 1999 2000
15Millones de euros
12
9
6
3
Tabacalera en cifras� Resultados
1997 1998 1999 2000
12Miles de empleados
10
8
6
� Plantilla
4,8
11,0
14,0
11,710,1
9,3
8,07,3
1997 4,8 10,1
1998 11,0 9,3
1999 14,0 8,0
2000 11,7 7,3
AÑO RESULTADOS (millones de €) Nº- EMPLEADOS (miles)
10 a) Representa esta misma gráfica tomando la escala del eje de ordenadas des-de 0 hasta 24.
b) ¿Da la misma sensación de decrecimiento?
c) ¿Cuál crees que elegiría el gobierno y cuál la oposición para representar latasa de paro?
a)
b) Con la nueva escala parece que decrece menos.
c) El gobierno elegiría la escala del enunciado, y la oposición elegiría la delapartado a).
11 Los pesos de los jugadores de un equipo de fútbol son los siguientes:
76 - 78 - 75 - 72 - 81 - 75 - 65 - 82 - 71 - 68 - 71
a) Calcula el peso medio del equipo.
b) ¿Cuál es la mediana?
c) Halla la desviación media.
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
22
21
20
19
18
17
16
15
14
TASA DE PARO EN ESPAÑA
1995 1996 1997 1998 20001999
22,9 22,2
20,8
18,8
15,4
14,2
20
15
10
5
TASA DE PARO
1995 1996 1997 1998 20001999
22,922,2
20,8
18,8
15,4
14,2
24
a) Peso medio = x– = =
= 74 kg
b) Ordenamos los datos de menor a mayor:
65 68 71 71 72 75 75 76 78 81 82
↑
Me ; Me = 75 kg
c) D.M. =
=
= ≈ 4,09
Página 270
12
a) Observa que la primera barra es menor que la mitad de la última. ¿Signifi-ca esto que los que van al cine menos de 5 veces al año son más del dobleque los que van una vez a la semana o más?
b) Repite la gráfica tomando la escala vertical desde 0.
c) ¿Qué porcentaje de españoles no va al cine nunca o casi nunca?
a) No. Observa que, en el eje vertical, hemos empezado en el 6%.
b)
c) El 12,3%, aproximadamente.
4511
+ |65 – 75| + |82 – 75| + |71 – 75| + |68 – 75| + |71 – 75|11
|76 – 75| + |78 – 75| + |75 – 75| + |72 – 75| + |81 – 75| + |75 – 75| +11
76 + 78 + 75 + 72 + 81 + 75 + 65 + 82 + 71 + 68 + 7111
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
14
16
12
10
8
6
Asistencia al cine en España entre los mayores de 13 años
1 vez a lasemanao más
2-3 vecesal mes
1 vezal mes
5-6 vecesal año
menos de5 vecesal año
7,7
10,511,8
8,8
12,3
12
10
8
6
4
2
%
1 vez a lasemana o más
2-3 vecesal mes
1 vezal mes
5-6 vecesal año
menos de5 veces al año
7,7
10,511,8
8,8
12,3
13 El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o aMaría. Los puntos conseguidos por cada una, en una semana de entrena-miento, fueron estos:
a) ¿Cuál de las dos tiene mejor media?
b) Calcula la desviación típica. ¿Cuál de las dos es más regular?
a) x–ELENA
= = 21
x–MARÍA
= = 21
Ambas tienen la misma media.
b) σELENA
= = 3,11
σMARÍA
= = 4,105
Es más regular Elena, porque la dispersión de los datos (σ) es menor.
14 En la familia Gómez, el salario mensual del padre es 900 €, y el salario de lamadre, 1 500 €. En la familia Pérez, el padre gana 1 860 €, y la madre, 540 €.
a) ¿Cuál es el sueldo medio de cada familia?
b) ¿En cuál de ellas es mayor la dispersión? ¿Cuál es el rango en cada familia?
a) x–GÓMEZ
= = 1 200 €
x–PÉREZ
= = 1 200 €
El sueldo medio es el mismo en las dos familias.
b) RGÓMEZ
= 1 500 – 900 = 600 €
RPÉREZ
= 1 860 – 540 = 1 320 €
Hay más dispersión en el salario de la familia Pérez.
1 860 + 5402
900 + 1 5002
3 205√––– – 212
7
3 155√––– – 212
7
Σyi
n
Σxi
n
Pág. 9
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
18 23 22 24 19 25 16
18 26 18 28 22 17 18
ELENA
MARÍA
PIENSA Y RESUELVE
15 Este era el reparto, por municipios, de la población española en el siglo pasado:
Estos son, en millones, los habitantes en esos años:
a) ¿Cuánto suma cada columna de la primera tabla? ¿Era de esperar ese resultado?
b) ¿Se puede decir que en 1900 más de la mitad de los españoles vivía en mu-nicipios de menos de 5 001 habitantes?
c) Calcula el número de personas que vivía en los municipios más pequeñosdesde 1900 hasta 1990. ¿Cómo evolucionó la población en ellos?
d) Calcula los que vivían en los municipios más grandes desde 1900 y estudiasu evolución.
e) ¿Es cierto que la población española se ha duplicado en el siglo XX?
f) Haz un diagrama de sectores para cada año.
a) 100%, como era de esperar.
b) Sí (el 51%).
e) Sí. En 1990 había 18,6 millones de habitantes. En 1990 ya había más deldoble: 38,8 millones (el doble de 18,6 es 18,6 · 2 = 37,29).
f)
Ha aumentado mucho lapoblación en los munici-pios grandes.
1900 → 18,6 · 0,09 = 1,674 millones1930 → 23,6 · 0,15 = 3,54 millones1960 → 30,4 · 0,28 = 8,512 millones1990 → 38,8 · 0,42 = 16,296 millones
d)
Fue disminuyendo la po-blación en los municipiosmás pequeños.
1900 → 18,6 · 0,51 = 9,486 millones1930 → 23,6 · 0,40 = 9,44 millones1960 → 30,4 · 0,29 = 8,816 millones1990 → 38,8 · 0,16 = 6,208 millones
c)
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
Hasta 5 000 hab. 51% 40% 29% 16%De 5 001 a 20 000 28% 29% 25% 20%De 20 001 a 100 000 12% 16% 18% 22%Más de 100 000 9% 15% 28% 42%
MUNICIPIOS 1900 1930 1960 1990
18,6 23,6 30,4 38,8
1900 1930 1960 1990
Hasta 5 000 hab.
De 5 001 a 20 000
De 20 001 a 100 000
Más de 100 000
1900 1930 1960
183,6°144° 104,4°
57,6°
151,2°79,2°
72°
32,4°
43,2°
100,8°
54°57,6°
104,4°
64,8°100,8°
90°
1990
16 En este gráfico se observa la evolución de la población activa y de la pobla-ción ocupada desde 1990 a 2000.
a) ¿Cuál era el número de parados en 1991, 1995 y 2000?
b) ¿Cuándo fue menor el número de parados?
c) ¿Cuándo se llegó a 3 millones de parados?
a) 1991 → 2,5 millones de personas, aproximadamente.
1995 → 3,5 millones de personas, aproximadamente.
2000 → 2,4 millones de personas, aproximadamente.
b) En el año 1990 y en el 2000.
c) Entre los años 1992 y 1993.
Página 271
17 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
18 Calcula la media y la desviación típica de las edades de los estudiantes de unaclase de inglés.
x– = = 14,3
σ = = 0,826 155√––– – 14,32
30
42930
Pág. 11
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
En millones de personas
12
1990
Evolución del mercado de trabajo
Población activa: población que trabaja o busca trabajo.Población ocupada: población que tiene trabajo remunerado.
1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
13
14
15
16
17
2,4
2,4
Ocupados
Parados
Activos
13 14 15 16
5 13 10 2
EDAD, xi
N-º DE ALUMNOS, fi
13 5 65 845
14 13 182 2 548
15 10 150 2 250
16 2 32 512
xi fi fi xi fi xi2
30 429 6 155
19 Los pesos de 40 personas son lossiguientes:
a) Representa estos datos con elgráfico adecuado.
b) Calcula la media y la desvia-ción típica.
a) El gráfico adecuado es un histograma de frecuencias:
b)
x– = = 63,87
σ = = 8
20 En un control de velocidad encarretera se obtuvieron los si-guientes datos:
a) Haz una tabla con las marcasde clase y las frecuencias.
b) Calcula la media y la desvia-ción típica.
c) ¿Qué porcentaje circula a más de 90 km/h?
165 767√––– – 63,872
40
2 55540
Pág. 12
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
45,5 – 52,5 252,5 – 59,5 1159,5 – 66,5 1366,5 – 73,5 973,5 – 80,5 480,5 – 87,5 1
PESO (kg) NÚMERO DE PERSONAS
PESOS
N-º DE PERSONAS
45,5 52,5 59,5 66,5 73,5 80,5 87,5
2
4
6
8
10
12
14
45,5 – 52,5 49 2 98 4 802
52,5 – 59,5 56 11 616 34 496
59,5 – 66,5 63 13 819 51 597
66,5 – 73,5 70 9 630 44 100
73,5 – 80,5 77 4 308 23 716
80,5 – 87,5 84 1 84 7 056
TOTALES 40 2 555 165 767
PESO (kg)MARCAS DE
CLASE: xi
NÚMERO DE
PERSONAS: fixi fi xi
2fi
60 – 70 570 – 80 1580 – 90 2790 – 100 38
100 – 110 23110 – 120 17
VELOCIDAD km/h NÚMERO DE COCHES
a)
b)
x– = = = 93,8
σ = = = 13,30
c) De 125 coches controlados, 38 + 23 + 17 circulan a más de 90 km/h.
Por tanto: = 62,4
Luego el 62,4% de los coches circulan a más de 90 km/h.
21 A la pregunta: ¿cuántas personas forman tu hogar familiar?, 40 personas res-pondieron esto:
a) Haz la tabla de frecuencias y el diagrama correspondiente.
b) Calcula la media, la mediana, la moda y la desviación típica.
78 · 100125
1 121 925√–––– – 93,82
30
Σfi xi2
√–––– – x–2
Σfi
11 725125
Σfi xi
Σfi
Pág. 13
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
65 5
75 15
85 27
95 38
105 23
115 17
MARCAS DE CLASE (M.C.) fi
65 5 325 21 125
75 15 1 125 84 375
85 27 2 295 195 075
95 38 3 610 342 950
105 23 2 415 253 575
115 17 1 955 224 825
TOTALES 125 11 725 1 121 925
(M.C.) fi fi xi fi xi2
5 5 4 7 43 5 5 3 4
6 4 6 5 64 6 5 5 5
5 4 7 5 65 5 4 3 5
3 5 6 7 45 4 3 5 6
a)
b) x– = = 4,85
σ = = 1,08
5 veces 9 veces 16 veces 7 veces 3 veces678 678 678 678 678
Me = 5 (3 … 3, 4 … 4, 5 … 5, 6 … 6, 7 … 7;en el lugar 20 y 21 hay un 5)
Mo = 5, porque es el dato que más veces se repite.
22 Calcula x– y σ de estas distribuciones:
a) Tiempo empleado para ir de casa al colegio
b) Horas de televisión semanales
a)
x– = = 12,5 ; σ = = 5,656 775√––– – 12,52
3645036
988√––– – 4,852
40
19440
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Unidad 12. Estadística
12
fi fi xi fi xi2xi = NÚMERO
DE PERSONAS
3 5 15 45
4 9 36 144
5 16 80 400
6 7 42 252
7 3 21 147
40 194 988
fi
xi
1 2 3 4 5 6 7 8
2468
101214161820
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-302 11 13 6 3 1
MINUTOS
FRECUENCIA
2-7 7-12 12-17 17-22 22-275 11 12 9 3
HORAS
FRECUENCIA
0 – 5 2,5 2 5 12,5
5 – 10 7,5 11 82,5 618,75
10 – 15 12,5 13 162,5 2 031,25
15 – 20 17,5 6 105 1 837,5
20 – 25 22,5 3 67,5 1 518,75
25 – 30 27,5 1 27,5 756,25
TOTALES 36 450 6 775
MINUTOSMARCAS DE
CLASE: xixi
2fifi xi fi
b)
x– = = 13,75
σ = = 5,65
23 Se ha contado el número de letras que tienen las 128 palabras de un artículo:
a) Calcula la media y la desviación típica.
b) ¿Cuántas palabras tienen un número de letras comprendido entre x– – σy x– + σ? ¿Qué porcentaje representan?
a)
x– = = 5,32 ; σ = = 3,385 091√––– – 5,322
128681128
8 840√––– – 13,752
40
55040
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Unidad 12. Estadística
12
2 – 7 4,5 5 22,5 101,25
7 – 12 9,5 11 104,5 992,75
12 – 17 14,5 12 174 2 523
17 – 22 19,5 9 175,5 3 422,25
22 – 27 24,5 3 73,5 1 800,75
TOTALES 40 550 8 840
HORASMARCAS DE
CLASE: xifi xi fi xi
2fi
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 134 36 14 9 15 7 6 9 7 8 6 4 3
LETRAS
PALABRAS
1 4 4 4
2 36 72 144
3 14 42 126
4 9 36 144
5 15 75 375
6 7 42 252
7 6 42 294
8 9 72 576
9 7 63 567
10 8 80 800
11 6 66 726
12 4 48 576
13 3 39 507
TOTALES 128 681 5 091
xi fi xi fi xi2fi
b) El intervalo que va desde x– – σ a x– + σ es:
Tramo: 1,94 – 8,7
Luego nos preguntan el número de palabras con más de una letra y menosde nueve letras: 36 + 14 + 9 + 15 + 7 + 6 + 9 = 96 palabras
96 palabras están dentro del intervalo, que representan el = 75%
de las palabras.
Página 272
24 Estas son las horas de estudio semanal de un grupo de alumnas y alumnos:
14 9 9 20 18 12 14 6 14 8
15 10 18 20 2 7 18 8 12 10
20 16 18 15 24 10 12 25 24 17
10 4 8 20 10 12 16 5 4 13
a) Reparte estos datos en los intervalos:
1,5-6,5; 6,5-11,5; 11,5-16,5; 16,5-21,5; 21,5-26,5.
b) Haz la tabla de frecuencias y el histograma correspondiente.
c) Calcula la media y la desviación típica.
a)
b)
96 · 100128
5,32 – 3,38 = 1,945,32 + 3,38 = 8,7
Pág. 16
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Unidad 12. Estadística
12
1,5 – 6,5 2, 4, 6, 5, 4
6,5 – 11,5 9, 9, 10, 10, 8, 10, 8, 7, 8, 10, 10
11,5 – 16,5 14, 15, 16, 15, 12, 14, 14, 12, 12, 12, 16, 13
16,5 – 21,5 20, 18, 18, 20, 20, 18, 20, 18, 17
21,5 – 26,5 24, 25, 24
INTERVALO Nº- DE HORAS
1,5 – 6,5 5
6,5 – 11,5 11
11,5 – 16,5 12
16,5 – 21,5 9
21,5 – 26,5 3
INTERVALO FRECUENCIAS
HORAS
N-º DE PERSONAS
1,5 6,5 11,5 16,5 21,5 26,5
2
4
6
8
10
12
c)
x– = = = 13,25; σ = = = 5,65
25 Los gastos mensuales de una empresa A tienen una media de 60 000 € y unadesviación típica de 7 500 €. En otra empresa más pequeña B, la media es9 000 € y la desviación típica, 1 500 €. Calcula, mediante el coeficiente de va-riación, cuál de los dos tiene más variación relativa.
C.V.A
= = = 0,125 → 12,5%
C.V.B
= = = 0,16)
→ 16,67%
La variación relativa es mayor en la empresa B.
26 El número de palabras de cada una de las frases de un artículo de economía es:
17 40 22 25 43 21 17 25 37 12
9 37 32 35 30 21 13 27 41 45
36 40 30 48 45 41 39 39 40 38
28 7 33 35 22 34 23
a) Haz una tabla de frecuencias agrupando los datos en los intervalos: 7-13, 14-20, 21-27, 28-34, 35-41, 42-48. Representa estos datos en un histograma.
b) Calcula su media y su desviación típica.
a)
1 5009 000
σB
x–B
7 50060 000
σA
x–A
8 300√––– – 13,252
40
Σ fi xi2
√–––– – x–2
n53040
Σ fi xin
Pág. 17
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Unidad 12. Estadística
12
1,5 – 6,5 4 5 20 80
6,5 – 11,5 9 11 99 891
11,5 – 16,5 14 12 168 2 352
16,5 – 21,5 19 9 171 3 249
21,5 – 26,5 24 3 72 1 728
40 530 8 300
INTERVALOMARCAS DE
CLASE: xifi fi xi fi xi
2
7 – 13 4
14 – 20 2
21 – 27 8
28 – 34 6
35 – 41 13
42 – 48 4
37
INTERVALO fi
N-º PALABRAS48424135342827212014137
2468
101214
fi
b)
x– = = = 30,43
σ = = = 10,34
27 Estaturas aproximadas de 4 350 soldados:
Decimos que los soldados que tienen su estatura entre x– + σ y x– + 3σ sonaltos; si la tienen entre x– – 3σ y x– – σ, son bajos, y son normales si la tienenentre x– – σ y x– + σ.
Di, aproximadamente, qué tanto por ciento de bajos, normales y altos hay.
x– = = 1,68; σ = = 0,0712 393,5872√–––––– – 1,682
4 3507 3364 350
38 224√––– – 30,432
37
Σ fi xi2
√–––– – x–2
n
1 12637
Σ fi xin
Pág. 18
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Unidad 12. Estadística
12
1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,8862 186 530 812 953 860 507 285 126 29
ESTATURA (en m)N-º DE SOLDADOS
7 – 13 10 4 40 400
14 – 20 17 2 34 578
21 – 27 24 8 192 4 608
28 – 34 31 6 186 5 766
35 – 41 38 13 494 18 772
42 – 48 45 4 180 8 100
37 1 126 38 224
INTERVALOMARCA DE
CLASE xifi fi xi fi xi
2
1,52 62 94,24 143,2448
1,56 186 290,16 452,6496
1,60 530 848 1 356,8
1,64 812 1 331,68 2 183,9552
1,68 953 1 601,04 2 689,7472
1,72 860 1 479,2 2 544,224
1,76 507 892,32 1 570,4832
1,80 285 513 923,4
1,84 126 231,84 426,5856
1,88 29 54,52 102,4976
TOTALES 4 350 7 336 12 393,5872
estatura (m)xi
ESTATURA (m)xi
Nº- SOLDADOS
fixi fi xi
2fi
Calculamos los intervalos:
Entre x– + σ y x– + 3σ → 1,75 – 1,89
Entre x– – 3σ y x– – σ → 1,47 – 1,61
Entre x– – σ y x– + σ → 1,61 – 1,75
Como la altura máxima es 1,88, estudiar el intervalo 1,75 – 1,89 es lo mismoque estudiar el intervalo 1,75 – 1,88: en este intervalo estarán aquellos que mi-dan 1,76 o más, es decir: 507 + 285 + 126 + 29 = 947 soldados.
Como la altura mínima es 1,52, estudiar el intervalo 1,47 – 1,61 es lo mismoque estudiar el intervalo 1,52 – 1,61: según la tabla, en este intervalo estaránlos que midan 1,60 o menos, es decir: 62 + 186 + 530 = 778 soldados.
En el intervalo 1,61 – 1,75 están los soldados que miden, según la tabla, entre1,64 y 1,72, es decir: 812 + 953 + 860 = 2 625 soldados.
Ahora calculamos los porcentajes correspondientes:
947 → = 21,77% de soldados son altos.
778 → = 17,88% de soldados son bajos.
2 625 → = 60,34% de soldados son normales.
28 De una encuesta sobre la labor de un alcalde, se obtuvieron los siguientes datos:
Muy mala 22 Mala 27 Aceptable 17
Buena 19 Muy buena 15
a) ¿Qué porcentaje opina que la labor ha sido mala o muy mala?
b) ¿Qué porcentaje aprueba la labor del alcalde?
c) Halla la moda y la mediana y di cuál de esos dos parámetros te parece querepresenta mejor la opinión de la mayoría.
a) En total hay 22 + 27 + 17 + 19 + 15 = 100 personas encuestadas, de las cua-les 22 + 27 = 49 personas tienen una opinión mala o muy mala, que en por-centaje representan el 49% de los encuestados.
b) 17 + 19 +15 = 51 personas de las encuestadas aceptan la labor del alcalde,que representan el 51% de los encuestados.
c) Aunque la variable es cualitativa, los atributos están ordenados y podemoscalcular la mediana.
Para hallar la mediana, como hay 100 datos, vemos qué valor está entre loslugares 50 y 51. Me = aceptable.
2 625 · 1004 350
778 · 1004 350
947 · 1004 350
Pág. 19
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
Moda = “mala”. En este caso, el parámetro mediana es más representativoque el parámetro moda, porque las personas que han votado “aceptable”,“buena” o “muy buena”, son mayoría sobre los que han votado “mala” o“muy mala”.
29 Hemos encuestado a 3 820 personas para saber la audiencia de un debate (D)y de una película (P) que se emitieron en horas distintas en una cadena de TV.
a) Una tabla de este ti-po se llama “de con-tingencia”. Comple-ta la tabla.
b) ¿Qué porcentaje vio la película y el debate?
c) De los que vieron la película, ¿qué porcentaje no vio el debate?
a)
b) De 3 820 personas, 1 120 vieron la película y el debate:
= 29,3 → El 29,3% de personas vieron la película y el debate.
c) Vieron la película 2 712 personas, de las cuales 1 592 no vieron el debate:
= 58,7 → El 58,7% de los que vieron la película no vieronel debate.
30 Se ha pasado una prueba de 25 preguntas a los 120 estudiantes de un centroescolar. De ellos, el 10% respondió correctamente a 5 preguntas, el 45% acer-tó 15, el 25% acertó 20, y el resto contestó correctamente a todas las pregun-tas. Calcula la media y la desviación típica.
Calculamos el número de personas correspondiente a cada porcentaje:
10% → 0,1 · 120 = 12 estudiantes responden correctamente a 5 preguntas.
45% → 0,45 · 120 = 54 estudiantes responden correctamente a 15 preguntas.
25% → 0,25 · 120 = 30 estudiantes responden correctamente a 20 preguntas.
20% → 0,2 · 120 = 24 estudiantes responden correctamente a 25 preguntas.
Hacemos la tabla de frecuencias:
x– = 17,25
σ = 5,58
1 592 · 1002 712
1 120 · 1003 820
Pág. 20
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Unidad 12. Estadística
12
1 120 1 592 2 71267 1 041 1 108
1 187 2 633 3 820
VIERON D NO VIERON D TOTALES
VIERON PNO VIERON P
TOTALES
2 7121 041
1 187 3 820
VIERON D NO VIERON D TOTALES
VIERON PNO VIERON P
TOTALES
5 12
15 54
20 30
25 24
Nº- RESPUESTAS Nº- ESTUDIANTES
31 Estas tres distribuciones tienen la misma media. ¿Cuál es?
a) b) c)
Sus desviaciones típicas son 3,8; 1,3 y 2,9. Asocia a cada distribución unode estos valores.
• La media es x– = 7. Es el valor central, y las gráficas son simétricas respecto ax = 7.
• a) σ = 2,9 b) σ = 1,3 c) σ = 3,8
Página 273
32 En el año 1997, el cambio del dólar frente a la peseta y la lira tuvo estos valores:
Peseta: x– = 126,7 σ = 2,16
Lira: x– = 1 540,4 σ = 23,3
¿Qué moneda se mantuvo más estable frente al dólar? Compara sus coefi-cientes de variación.
Para comparar, calculamos los coeficientes de variación:
C.V. =
Peseta → C.V. = = 0,017 → 1,7%
Lira → C.V. = = 0,015 → 1,5%
Se mantuvo más estable la lira, ya que el coeficiente de variación es menor.
33 Se ha hecho un mismo examen a dos clases. Losresultados fueron estos:
Si hay una clase con 6 sobresalientes y 8 suspen-sos y otra con 2 suspensos y 3 sobresalientes, ¿cuáles la clase que tiene más sobresalientes?
Calculamos el coeficiente de variación de ambas clases:
C.V.A
= = 0,5 → 50% ; C.V.B
= = 0,19 → 19%
Hay mayor variación de notas en A que en B; por tanto, vemos que hay mássobresalientes en A.
1,26,3
2,95,8
23,31 540,4
2,16126,7
σx–
Pág. 21
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Unidad 12. Estadística
12
2 4 6 8 1012 2 4 6 8 10122 4 6 8 1012
5,8 2,9
6,3 1,2
x– σCLASE A
CLASE B
REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA
34 ¿Qué le ocurre a x– y a σ si a todos los datos les sumamos un mismo núme-ro? ¿Y si los multiplicamos por el mismo número?
Comprueba tu conjetura con estos datos: 3, 5, 6, 3, 4, 2, 3.
• Si a todos los datos les sumamos el mismo número, n, entonces la media esla misma que la anterior más n, y la desviación típica es exactamente igual.
x– x– + n
σ σ
Dados los datos: →
Sumando 1 a cada dato: →
• Si a todos los datos los multiplicamos por el mismo número, n, entonces lamedia queda multiplicada por n, y la desviación típica también queda mul-tiplicada por n.
x– n · x–
σ n · σ
Dados los valores: →
Multiplicando por 2 cada dato: →
35 Si restas la media de una distribución a cada dato y sumas esas diferencias, ¿quéresultado obtendrías? Justifica tu respuesta y pon un ejemplo.
La media de una distribución es x– = .
Si a cada dato le restamos la media y sumamos esas diferencias:
= – = x– – x– = 0
Tomamos la distribución del ejemplo del ejercicio anterior:
3, 5, 6, 3, 4, 2, 3 → x– = 3,71
nx–
nx1 + x2 + … + xn
nx1 – x– + x2 – x– + … + xn – x–
n
Σxi
n
x– = 7,42 = 3,71 · 2
σ = 2,54 = 1,27 · 2
6, 10, 12, 68, 4, 6
x– = 3,71
σ = 1,27
3, 5, 6, 34, 2, 3
MULTIPLICANDO UN VALOR, n→
A TODOS LOS DATOS
MULTIPLICANDO UN VALOR, n→
A TODOS LOS DATOS
x– = 4,71 = 3,71 + 1
σ = 1,27
4, 6, 7, 45, 3, 4
x– = 3,71
σ = 1,27
3, 5, 6, 34, 2, 3
SUMANDO UN VALOR, n→
A TODOS LOS DATOS
SUMANDO UN VALOR, n→
A TODOS LOS DATOS
Pág. 22
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Unidad 12. Estadística
12
= 3,71 – 3,71 = 0
PROFUNDIZA
36 La nota media de un examen ha sido 6,2 en 3-º A, en el que hay 15 estudian-tes, y 4 en 3-º B, que tiene 35 estudiantes. Calcula la nota media de la totali-dad de alumnos y alumnas de las dos clases.
• Si la media de los 15 alumnos y alumnas de 3-º A es 6,2, la suma de las 15 ca-lificaciones será 6,2 · 15 = 93.
• En 3-º B, la suma de todas las calificaciones es:
4 · 35 = 140
• Suma las calificaciones de las dos clases y divídela por el total de alumnos, 50,y obtendrás la nota media global.
NOTA MEDIA GLOBAL = = = 4,66
37 Completa la tabla de esta distribución, de la que sabemos que su media es 2,7:
La media es: x– = =
donde a es el dato que desconocemos:
= 2,7 → 44 + 2a = 40,5 + 2,7a → 0,7a = 3,5 →
→ a = = 5
La tabla queda:
38 Para hallar la nota de una evaluación, se hace la media de cuatro exámenes. Sien los tres primeros tengo una media de 4,2, ¿qué nota tengo que sacar en elúltimo para aprobar?
Si xi es la nota del examen número i, entonces tenemos que conseguir que:
= 5 → x1 + x2 + x3 + x4 = 20x1 + x2 + x3 + x4
4
3,50,7
3 + 2 · a + 21 + 2015 + a
1 · 3 + 2 · a + 3 · 7 + 4 · 515 + a
Σxi fiΣ fi
23350
93 + 14050
+ (3 – 3,71) 7
(3 – 3,71) + (5 – 3,71) + (6 – 3,71) + (3 – 3,71) + (4 – 3,71) + (2 – 3,71) + 7
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
1 2 3 4
3 … 7 5
xi
fi
1 2 3 4
3 5 7 5
xi
fi
Además, sabemos que:
= 4,2 → x1 + x2 + x3 = 4,2 · 3 → x1 + x2 + x3 = 12,6
Por tanto: 12,6 + x4 = 20 → x4 = 20 – 12,6 → x4 = 7,4
Luego en el cuarto examen hay que sacar, al menos, un 7,4 para aprobar.
39 Para hallar la nota de una asignatura, el segundo examen vale el doble que elprimero, y el tercero, el triple. ¿Cuál es la nota de una alumna que sacó un 5,un 6 y un 4? ¿Y si esas notas son el 10%, el 40% y el 50% de la nota final?
Si se han hecho 3 exámenes de notas 5, 6, 4 con las proporciones indicadas, escomo si hubiéramos hecho 6 exámenes, donde en uno de ellos se obtiene un 5,en dos de ellos se obtiene un 6 y en tres de ellos se obtiene un 4. Luego la notamedia será:
x– = = = = 4,83
Si un 5 es el 10% de la nota final, entonces equivale a un 0,5 de la nota final.
Si el 6 es el 40% de la nota final, entonces equivale a un 2,4 de la nota final.
Si el 4 es el 50% de la nota final, entonces equivale a un 2 de la nota final.
Luego en total habrá obtenido: 0,5 + 2,4 + 2 = 4,9 de nota final.
40 En una empresa trabajan 30 empleados y 5 directores. El sueldo medio de laempresa es de 1 082 €. ¿Cuál será el sueldo medio de los directores si sabe-mos que el del resto de los empleados es de 766,3 €?
El sueldo medio de la empresa es la suma de lo que ganan los directores y los em-pleados dividido entre el número total de trabajadores.
Llamamos x al sueldo medio de los directores. Tenemos que:
= 1 082 → = 1 082
22 989 + 5x = 37 870 → 5x = 14 881 → x = 2 976,2 €
El sueldo medio de los directores es de 2 976,2 €.
41 Investiga y trabaja en equipo. La frecuencia con que aparecen las letras en unidioma tiene aplicaciones curiosas, como descifrar un mensaje secreto. Segúnun estudio hecho con un procesador de textos en castellano, las letras apare-cen con estas frecuencias:
a, e → más del 10%
d, l, n, o, s, u → 9% – 6%
i, r → 6% – 4%
c, g, q → 4% – 3%
22 989 + 5x35
30 · 766,3 + 5x30 + 5
296
4 · 3 + 5 · 1 + 6 · 26
Σ fi xi
Σ fi
x1 + x2 + x3
3
Pág. 24
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
4 5 6
3 1 2
xi
fi
h, m, t → 3% – 2%
b, f, p → 2% – 1%
resto → menos del 1%
Con esta información, descifra este mensaje:
$* · 2Ø$5?51*1 · 87 · ?78959αØ · Ø8 · 3*8*≠ · >β?<7 · 158Ø≠7 · 9587 · Ø8 ·↓βØ · $* · α*≠Ø* · ↓βØ · 9Ø · <*?Ø · 9Ø · <*3* · ?78 · 3β9α7 PUNTO
Ø$ · 15* · ↓βØ · ?*1* · 85❏7 · *$ · $$Ø3*≠ · * · <7>=≠Ø · +βØ1* · 9Ø≠ ·*↓βØ$$7 · ↓βØ · 1Ø9Ø* · π · +*≠* · $7 · ↓βØ · Ø9α* · 17α*17 · <*=≠Ø>79 ·?789Ø3β517 · β8 · >β817 · 2Ø$5∆ PUNTO
>53βØ$ · 1Ø$5=Ø9
Contabilizamos los símbolos que aparecen en el mensaje secreto.
Al que aparece con mayor frecuencia le asignamos a o e; al siguiente, d, l, n, o,s, u, y así sucesivamente.
Llegamos, finalmente, a deducir el mensaje.
El mensaje queda así:
LA FELICIDAD NO CONSISTE EN GANAR MUCHO DINERO SINO EN QUE LA TAREA
QUE SE HACE SE HAGA CON GUSTO.
EL DÍA QUE CADA NIÑO AL LLEGAR A HOMBRE PUEDA SER AQUELLO QUE DESEA Y
PARA LO QUE ESTÁ DOTADO HABREMOS CONSEGUIDO UN MUNDO FELIZ.
MIGUEL DELIBES
Pág. 25
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 12. Estadística
12
Página 288
PRACTICA
Muy probable , poco probable
1 Tenemos muchas bolas de cada uno de los siguientes colores: negro (N), rojo(R), verde (V) y azul (A), y una gran caja vacía.
Echamos en la caja 1 R, 10 V y el resto A (muchas más de 10). Removemos yextraemos una al azar. Asocia con flechas:
P [R] Imposible
P [V] Muy poco probable
P [A] Poco probable
P [N] Muy probable
P [R] → Muy poco probable P [V] → Poco probable
P [A] → Muy probable P [N] → Imposible
2 ¿De cuál de las siguientes bolsas es más probable sacar bola roja?
P I ( ) = = 0,6)
P II ( ) = = 0,571…
P III ( ) = = 0,6
Por tanto, es más probable sacar bola roja de la bolsa I.
3 ¿En cuál de las ruletas es más difícil obtener color azul?
35
47
23
Pág. 1
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
I II III
a cb
Espac io mues t ra l . Sucesos
4 a) ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda?
¿Cuál es la probabilidad de cada una de las dos caras?
b) ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una chin-cheta?
Explica por qué no podemos afirmar que:
P [ ] = , P [ ] =
a) E = {C, +}
P [C] = P [+] =
b) E = { , }Porque no son sucesos equiprobables, ya que la chincheta no es igual portodos los lados.
5 De la urna que tienes a la derecha, sacamos una bola alazar y anotamos su número.
a) Describe el espacio muestral. ¿Cuántos casos tiene?
b) Describe los siguientes sucesos:
• BOLA ROJA = A
• BOLA VERDE = B
• BOLA AZUL = C
• BOLA ROJA CON NÚMERO IMPAR = D
• BOLA CON NÚMERO PAR = F
c) Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores.
a) E = { , , , , , , , , , }E tiene 10 casos.
10987654321
12
12
12
Es más difícil obtener colorazul en la tercera.
1Pa(AZUL) = –– = 0,3)
32 1Pb(AZUL) = –– = –– = 0,3
)6 32Pc(AZUL) = –– = 0,258
Pág. 2
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
12 3
45
6
7
8
910
b) A = { , , , , }
B = { , }
C = { , , }
D = { , }
F = { , , , , }
c) P [A] = = P [B] = = P [C ] =
P [D] = = P [F ] = =
6 Una experiencia consiste en extraer una bola de esta urna y, después, lanzar lamoneda. Los casos son: 1 y C, 1 y +, 2 y C, etc.
a) Escribe el espacio muestral (son 8 casos). ¿Cuál es la probabilidad de cadacaso?
b) Describe el suceso BOLA VERDE Y CARA enumerando todos sus casos. ¿Cuál essu probabilidad?
a) E = {(1, C), (1, +), (2, C), (2, +), (3, C), (3, +), (4, C), (4, +)}
La probabilidad de cada caso es la misma, .
b) BOLA VERDE Y CARA = {(1, C), (2, C), (3, C)}
P [BOLA VERDE Y CARA] =
7 Lanzamos dos dados y nos fijamos en la menor de las puntuaciones obteni-das. (Si los dos tienen la misma puntuación, tomamos esa.)
a) ¿Cuál es el espacio muestral?
b) Para calcular las probabilidades de cada uno de los casos, procede como serecomienda en la página 283. Calcula, de este modo, las probabilidades:
P [1], P [2], P [3], P [4], P [5] y P [6]
c) Calcula la probabilidad de que la menor puntuación sea 4 o más.
38
18
12
510
15
210
310
15
210
12
510
108642
73
1098
51
76432
Pág. 3
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
1
23
4
a) E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) P [1] = P [2] = =
P [3] = P [4] =
P [5] = = P [6] =
c) =
Página 289
Probabi l idad
8 En cada uno de los siguientes experimentos aleatorios di cuál es la probabili-dad de que ocurra el suceso que se indica.
a) CESTA I CESTA II
Se extrae una pieza de fruta.
Suceso: OBTENER UNA PERA.
b) BOLSA I BOLSA II
Se extrae una bola.
Suceso: OBTENER BOLA VERDE.
c) RULETA I RULETA II
Se hace girar la flecha y se observa sobre qué color se detiene.
Suceso: OBTENER COLOR AZUL.
14
936
136
112
336
536
736
14
936
1136
Pág. 4
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
1 1 1 1 1 121 2 2
345 55 6
2 221 3 3 321 3 421 3 421 3 4
4
a) CESTA I → P [PERA] =
CESTA II → P [PERA] =
b) BOLSA I → P [VERDE] =
BOLSA II → P [VERDE] =
c) RULETA I → P [AZUL] = =
RULETA II → P [AZUL] =
9 Se lanza un dado de seis caras, numeradas del 1 al 6, y otro dado de cuatrocaras, numeradas del 1 al 4. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 1 en cadauno de ellos?
En el dado de 6 caras → P [1] =
En el dado de 4 caras → P [1] =
(Es más probable obtener un 1 en el dado de 4 caras que en el de 6).
10 ¿Cuál es la probabilidad de obtener cada uno de los colores?Razónalo.
El objeto está dividido en 6 zonas iguales.
La probabilidad de obtener cada una de esas seis zonas
o colores es .
11 De una bolsa con 7 bolas rojas, 5 verdes, 3 amarillas, 11 negras y 3 azules,sacamos una al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que…
a) … sea roja? b) … no sea negra?
a) P [ROJA] = b) P [no NEGRA] =
PIENSA Y RESUELVE
13 Halla las siguientes probabilidades asociadas al lanzamiento de un dado co-rrecto:a) El resultado es múltiplo de 3. b) El resultado es múltiplo de 2.c) El resultado es mayor que 1. d) El resultado es menor que 5.e) El resultado es menor que 1.
1829
729
16
14
16
38
12
24
15
15
38
310
Pág. 5
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
a) P [MÚLTIPLO DE 3] = = b) P [MÚLTIPLO DE 2] = =
c) P [MAYOR QUE 1] = d) P [MENOR QUE 5] = =
e) P [MENOR QUE 1] = 0
14 Para un examen de Geografía, hay que saber situar sobre un mapa mudo las17 comunidades autónomas de España. Ricardo solo sabe situar 10 de ellas.a) Si en el examen le piden situar una, ¿cuál es la probabilidad de que sea una
de las que sabe?b) Supongamos que le piden que sitúe una de las que no sabe y, en vez de no
contestar, lo hace a boleo. ¿Cuál es la probabilidad de que acierte?
a) b)
15 Se hace girar la flecha y se observa sobre qué númerose detiene. Calcula las probabilidades de los siguientessucesos:a) Obtener número par.b) Obtener número impar.c) Obtener 5 o más.d) Que no salga el 7.
a) P [PAR] = = b) P [IMPAR] = =
c) P [5 o MÁS] = = d) P [NO 7] =
Página 290
16 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
17 Extraemos una ficha de un dominó. Calcula la probabilidad de que:
a) La suma de puntos sea menor que 4.
b) La suma de puntos sea múltiplo de 3.
c) Sea una ficha “doble”.
a) La suma de puntos es menor que 4 en los casos:
0 – 0; 0 – 1; 0 – 2; 0 – 3; 1 – 1 y 1 – 2. Son 6 casos favorables.
Por tanto: P [SUMA < 4] = = 314
628
78
12
48
12
48
12
48
17
1017
23
46
56
12
36
13
16
Pág. 6
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
b) La suma de los puntos es múltiplo de 3 en los casos:
0 – 0; 0 – 3; 0 – 6; 1 – 2; 1 – 5; 2 – 4; 3 – 3; 3 – 6; 4 – 5 y 6 – 6.
Son 10 casos favorables.
Por tanto:
P [MÚLTIPLO DE 3] = =
c) Hay 7 fichas “dobles”: 0 – 0; 1 – 1; 2 – 2; 3 – 3; 4 – 4; 5 – 5 y 6 – 6.
Por tanto:
P [DOBLE] = =
18 Escribimos cada una de las letras de la palabra PREMIO en un papel diferentey las ponemos en una bolsa. Extraemos una letra al azar.
a) Describe los sucesos elementales de este experimento aleatorio. ¿Tienentodos la misma probabilidad?
b) Describe el suceso OBTENER VOCAL, y calcula su probabilidad.
c) Si la palabra elegida fuera SUERTE, ¿cómo responderías a los apartados a) y b)?
a) Sucesos elementales: {P}, {R}, {E}, {M}, {I}, {O}.
Todos tienen la misma probabilidad, que es .
b) OBTENER VOCAL = {E, I, O}
P [OBTENER VOCAL] = =
c) • En este caso, los sucesos elementales serían:
{S}, {U}, {E}, {R}, {T}
No todos tienen la misma probabilidad, puesto que la E está repetida. Ten-dríamos que:
P [S] = P [U] = P [R] = P [T] = ; pero P [E] = = .
• El suceso obtener vocal sería: {U, E} y tendría probabilidad:
P [OBTENER VOCAL] = = 12
36
13
26
16
12
36
16
14
728
514
1028
Pág. 7
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
19 Los alumnos de una clase se distribuyendel siguiente modo:
Escogemos al azar a una persona de esaclase. Calcula la probabilidad de que:
a) Sea chica.
b) Tenga gafas.
c) Sea una chica con gafas.
a) P [CHICA] =
b) P [TENGA GAFAS] =
c) P [CHICA CON GAFAS] =
20 Lanzamos dos dados. Calcula la probabilidad de que el producto de las pun-tuaciones sea:
a) 5 b) 6 c) 4
☛ a) 5 · 1 = 5 y 1 · 5 = 5. Hay dos casos de 36 posibles.
a) P [5] = =
b) P [6] = =
c) P [4] = =
21 Una botella contiene 20 bolas de colores negro, rojo y verde. No sabemoscuántas de cada color, ni podemos verlo, porque la botella es opaca. Solo po-demos ver, cuando la tumbamos, el color de la bola que queda junto al tapón,que es transparente.
A lo largo de varios días hacemos 1 000 veces la experiencia de agitar, incli-nar la botella y anotar el color de la bola que se ve. Hemos obtenido estos re-sultados:
f ( ) = 461 f ( ) = 343 f ( ) = 196
Podemos averiguar, con cierta seguridad, cuántas bolas hay de cada color. Hagá-moslo con las negras:
f r ( ) = = 0,461
P ( ) = (n es número de bolas negras)n20
4611 000
112
336
19
436
118
236
331
931
1531
Pág. 8
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
3 612 10
CHICAS CHICOS
CON GAFAS
SIN GAFAS
1 2 3 4 5 642 6 8
152025 3030 36
10 1263 9 12 1884 12 16105 15 20126 18 24
24
Como f r ( ) ≈ P ( ), hacemos:
0,461 ≈ → n ≈ 20 · 0,461 = 9,22
Estimamos que el número de bolas negras es 9.
¿Cuántas bolas de cada color hay en la botella?
f ( ) = 343
fr ( ) = = 0,343
0,343 = → m = 0,343 · 20 = 6,86
Suponemos que hay 7 bolas rojas.
f ( ) = 196
fr ( ) = = 0,196
0,196 = → p = 0,196 · 20 = 3,92
Podemos suponer que hay 4 bolas verdes.
Página 291
22 Para jugar una partida al parchís, Luis ha fabricado un dado un poco chapu-cero. Elisa, para estudiar su comportamiento, lo ha lanzado 1 200 veces, ob-teniendo los resultados que se indican en la tabla:
a) Halla la frecuencia relativa de cada una de las seis caras, expresando los resul-tados en forma de fracción y de decimal con tres cifras decimales.
b) Justifica que es razonable decir que las probabilidades de las caras son,aproximadamente:
P (1) ≈ 0,2, P (2) ≈ 0,3, P (3) ≈ 0,15,
P (4) ≈ 0,15, P (5) ≈ 0,1, P (6) ≈ 0,1
a) fr (1) = = 0,207 fr (2) = = 0,296
fr (3) = = 0,146 fr (4) = = 0,151801 200
1751 200
3551 200
2481 200
p20
1961 000
m20
3431 000
n20
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1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
1 2 3 4 5 6
248 355 175 180 126 116
CARA
N-º DE VECES
fr (5) = = 0,105 fr (6) = = 0,097
b) Es razonable aproximar las probabilidades de cada puntuación a la marca-da, porque fr (n) ≈ P [n].
23 ESTÁ RESUELTO EN EL LIBRO
PROFUNDIZA
24 Este aparato funciona como el del problema anterior.
a) Si echamos 8 bolas, ¿cómo se repartirían en los depósitos 1, 2, 3, 4 y 5?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una bola caiga en cada uno de los depósitos?
a) b) P [1] = =
P [2] =
P [3] =
P [4] =
P [5] =
25 Calcula la probabilidad de que la bolita caiga en cada recinto:
P [I] = = P [IV] = =
P [II] = = P [V] = =
P [III] = = P [VI] = = 16
424
18
324
16
424
14
624
16
424
18
324
18
18
38
18
14
28
1161 200
1261 200
Pág. 10
1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD
Unidad 13. Azar y probabilidad
13
1 2 3 4 5
8
4 4
2 2 2 2
1111
2 1 1 13
3 6 3 4
24
1212
664 4
4
3333
3 3
4 4
I II III IV V VI
