Alejandro Suárez Fernández – Miranda Proyecto fin de carrera, 2011 – 2012

6. Resultados obtenidos

En esta sección se presentan los resultados obtenidos tanto en simulación como en las pruebas del quadrotor real en diferentes situaciones, comentando los aspectos más destacados a partir de las grá-ficas en las que se representarán la evolución temporal de las señales de interés. El objetivo es tratar de comprender el comportamiento cualitativo del sistema en diferentes condiciones para las cuales resulta difícil deducir una interpretación cuantitativa.La sección se ha dividido en dos partes, la primera para los resultados obtenidos del modelo de si-mulación, y la segunda con datos del sistema real. De esta forma se podrá comparar mejor el grado de verosimilitud del modelo matemático a la hora de describir el comportamiento del quadrotor.Aunque el valor numérico de alguno de los parámetros del modelo sea diferente, lo que interesa es el comportamiento cualitativo. Además, de cara al control, en algunos casos se puede compensar la falta de exactitud en la estimación de los parámetros con la ganancia del controlador.

6.1. Resultados de la simulación

A continuación se describen las diferentes pruebas realizadas con los correspondientes resultados. Para cada prueba, se detallarán cuáles fueron los parámetros de la simulación.

Controlador de 3 Polos y 3 Ceros diseñado por el Lugar de las Raíces para ϕ y θ

En las siguientes figuras se muestran los resultados de la simulación con el controlador diseñado en la Sección 3, con las siguientes condiciones:

1. El ruido en la medida de inclinación se ha generado con un bloque "Uniform Random Num-ber" con unos valores máximo y mínimo de ±0.2 en los ángulos roll y pitch, y ±0.1 en yaw.

2. La ganancia de los motores es la misma para los cuatro. Más adelante se comprobará que diferencias menores al 5% en la ganancia hacen que el controlador quede inservible.

3. Se introduce un retraso de 0.02 segundos en la actuación de los motores, con una constante de tiempo de 0.1 segundos (dinámica de primer orden) y saturación de 1.67e3 rad/s.

4. Los momentos de inercia son Ixx = Iyy = 0.02 Kg·m2 , Izz = 0.04 Kg·m2 . Los valores de drag factor y de thrust factor son d = 1e-7 y b = 2e-7. La longitud del quadrotor es L = 0.4 m.

5. Se ha impuesto una referencia sinusoidal en el ángulo pitch (movimiento en el eje XE) con una amplitud de 10º y una frecuencia de 0.5 Hz.

En la figura 6.1 se ha representado la referencia para el ángulo pitch junto con el valor obtenido a la salida del sistema. Como se ve, el controlador es capaz de seguir bien la referencia a pesar del nivel de ruido de amplitud máxima 0.2 radianes.La figura 6.2 muestra la evolución del ángulo roll. Aunque se ha impuesto una referencia nula, las fluctuaciones son debidas al ruido en las medidas y al acoplamiento existente entre los dos ángulos dado por la ecuación (2.35). Esto provocará un movimiento de traslación en el eje YE .Como consecuencia de la inclinación del quadrotor se producirá una aceleración sobre el eje XE con el correspondiente movimiento de traslación representado en la figura 6.3.

6.1

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Fig. 6.1. Referencia en el ángulo pitch [rad] (amarillo, amplitud de 10º = 0.17 rad) y salida (violeta).

Fig. 6.2. Ángulo roll [rad] (violeta) con referencia nula.

Fig. 6.3. Evolución de la trayectoria a lo largo del eje XE .

6.2

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Obsérvese en la figura 6.3 que, aunque la oscilación del ángulo pitch es simétrica (es decir, tiene un offset nulo), el movimiento que produce no es hacia delante y hacia atrás, si no que durante el flan-co negativo de la referencia lo que se hace es frenar el movimiento que se inició hacia delante. Por eso aparecen intervalos planos en la curva en los que la velocidad del quadrotor se anula.

En las figuras 6.4 y 6.5 se representa la evolución de la posición en los ejes XE e YE cuando las refe-rencias de roll y pitch son nulas (hover) pero el ángulo α conmuta de +10º a –10º cada 30 segundos.

Fig. 6.4. Evolución de la coordenada x [m] cuando α cambia de +10º a –10º a los 30 segundos.

Fig. 6.5. Evolución de la coordenada y [m] cuando α cambia de +10º a –10º a los 30 segundos.

Aquí se ve más claramente que gran parte de la fuerza de traslación se emplea para frenar el movi-miento del quadrotor cuando éste ha sido acelerado y se pretende un cambio de dirección. Además, por efecto del ruido en la medida y por el acoplamiento entre los ángulos se produce un desplaza-miento transversal en el eje YE que llega a alcanzar los tres metros y medio al cabo de un minuto.

A continuación se va a repetir la simulación con las mismas condiciones, solo que ahora la ganancia de cada motor va a ser distinta, no superior a un 5% de la nominal. Se van a considerar unos valores de 1.05, 0.96, 1.03 y 0.97 para los motorse 1, 2, 3 y 4, respectivamente. Los resultados son éstos:

6.3

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Fig. 6.6. Ángulo pitch [rad] (violeta) y referencia (amarillo) con diferentes ganancias en los motores.

Fig. 6.7. Ángulo roll [rad] (violeta) y referencia (amarillo) con diferentes ganancias en los motores.

Fig. 6.8. Evolución de la coordenada x [m] con diferentes ganancias en los motores.

6.4

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En la figura 6.6 se puede ver claramente la incapacidad del controlador para seguir la referencia, y si se comparan las figuras 6.3 y 6.8 se observa una diferencia notable en el comportamiento de la trayectoria. Aunque el sistema no llega a ser inestable, está lejos de ser un control aceptable.

El hecho de que ligeras diferencias en la ganancia de los motores afecte de manera tan considerable al control es debido a que la estructura en H del quadrotor hace que los cuatro motores actúen direc-tamente sobre los dos ángulos de orientación roll y pitch, mientras que con la estructura en X, la dependencia era dos a dos, es decir, el ángulo roll se veía afectado sólo por los motores 2 y 4, y el ángulo pitch por los motores 1 y 3. Dicho de otra forma, el control de los dos ángulos estaba desa-coplado. Además, aunque en (3.11) y (3.12) se despreciaron los términos que dependían de las velo-cidades angulares, su efecto puede ser comparable al que depende de la fuerza de empuje.

Para solucionar este problema, se ha probado a aumentar la ganancia del controlador, pasando de K = 200 a K = 750 con los resultados mostrados a continuación:

Fig. 6.9. Ángulo pitch [rad] (violeta) y referencia (amarillo) con diferentes ganancias en los motores y K = 750.

Fig. 6.10. Ángulo roll [rad] (violeta) y referencia (amarillo) con diferentes ganancias en los motores y K = 750.

6.5

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Aunque el comportamiento en pitch ha mejorado ligeramente, el seguimiento en roll ha empeorado considerablemente, por lo que aumentar la ganancia del controlador no parece una buena solución.

Controlador PID discreto

Se van a representar aquí los resultados de la simulación cuando el controlador utilizado es de tipo PID discreto en la forma que se indican en las ecuaciones (3.1), (3.5) y (3.6) (véase la Sección 3). Los parámetros del sistema utilizados en esta simulación son los calculados en el Apartado 6 de la Sección 2, y las condiciones en las que se realizó la prueba son las siguientes:

1. Referencia nula en los ángulos roll y pitch2. Ángulo de abatimiento de los motores α = 0.3. Ganancia de los motores de 1.05, 0.96, 1.03 y 0.97 para M1, M2, M3 y M44. Retraso de 20 ms en la aplicación de la señal de actuación5. Dinámica de primer orden con constante de tiempo de 0.1 segundos6. Velocidad de rotación máxima de 1670 rad/s7. Velocidad de rotación de los motores (promedio) de 1113.5 rad/s8. Amplitud del ruido en la medida de inclinación de 0.2, 0,2 y 0.1 para roll, pitch y yaw.

El diagrama de bloques del subsistema de control es el representado en la figura 6.11. Los valores de las ganancias son KP = -200, KI = -35, KD = -3500.

Fig. 6.11. Diagrama de bloques del subsistema de control correspondiente al PID discreto.

En las siguientes figuras se muestran la evolución de los ángulos roll, pitch, así como de las coorde-nadas de posición X e Y.

6.6

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Fig. 6.12. Medida del ángulo roll [rad] (violeta) y referencia nula (amarillo) para el PID discreto.

Fig. 6.13. Medida del ángulo pitch [rad] (violeta) y referencia nula (amarillo) para el PID discreto.

Fig. 6.14. Evolución de la coordenada de posición x [m] para el controlador PID discreto.

6.7

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Fig. 6.15. Evolución de la coordenada de posición y [m] para el controlador PID discreto.

Como se ve en las figuras 6.12 y 6.13, el controlador PID discreto es capaz de mantener la referen-cia nula en los dos ángulos con un error oscilante de 0.05 rad, casi 3º. No obstante, en la figura 6.14 se observa un desplazamiento a una velocidad aproximadamente constante de 1 [m/s] a lo largo del eje XE, al igual que una ligera desviación en YE. Esto es debido principalmente a la aceleración aso-ciada al elevado error en el ángulo pitch durante los primeros instantes. Como se ve, el pico de error alcanza un valor de 0.3 radianes, casi 18º. A partir de los 10 segundos el error se estabiliza, aunque permanece oscilando entorno al valor nulo.

En definitiva, el controlador PID discreto ofrece un mejor comportamiento del sistema que el dise-ñado por el lugar de las raíces, aunque se hace evidente la necesidad de un bucle de control externo para mantener la referencia en posición, pues aunque el quadrotor permanezca en hover, una peque-ña aceleración es suficiente para ponerlo en movimiento.

6.2. Resultados del quadrotor real

Las pruebas que se realizaron sobre el quadrotor real tuvieron como objetivo el control de los dos ángulos de orientación roll y pitch. No se han podido obtener resultados para el control de altura por la inestabilidad del sistema y por no disponer de un banco de pruebas adecuado.

A continuación se comentan los resultados de las pruebas realizadas.

Estimación de la orientación con los motores apagados

Las señales representadas son las siguientes:➢ Canal 1: referencia menos estimación del ángulo roll a la salida del filtro complementario➢ Canal 2: referencia menos estimación del ángulo pitch a la salida del filtro complementario➢ Canal 3: aceleración en el eje XB antes del filtrado LP➢ Canal 4: aceleración en el eje YB antes del filtrado LP➢ Canal 5: velocidad angular en el eje XB (giro en pitch) antes del filtrado HP➢ Canal 6: velocidad angular en el eje YB (giro en roll) antes del filtrado HP

6.8

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En esta prueba se mantuvieron los motores apagados y se hizo rotar manualmente el quadrotor entre -90º y +90º en los dos ángulos de forma independiente. En la figura 6.16 se muestra la evolución de las señales más relevantes en la rotación del quadrotor entorno al eje YB (ángulo pitch).

Fig. 6.16. Rotación manual del quadrotor en el ángulo pitch con los motores apagados.

En azul claro (la señal dominante) se muestra la medida del giróscopo en grados por segundo, en rojo la del acelerómetro en tanto por ciento de g's (acotada entre ±100%), y en verde el ángulo pitch en grados, el cuál se calcula a partir del arcoseno de la aceleración normalizada y de la integral de la velocidad angular, tras el correspondiente filtrado paso de baja y paso de alta. Como se ve se tiene una señal suave no afectada por ningún ruido.

Estimación de los ángulos de orientación con control de los motores

Tras múltiples pruebas realizadas, se comprobó que el controlador que mejores resultados ofrecía era el PID de error cuadrático y término derivativo obtenido del giróscopo. La expresión del contro-lador implementado, con las constantes ya ajustadas, fue el siguiente:

(6.1)

Obsérvese que la ganancia derivativa tiene signo negativo porque el error le cambia el signo al án-gulo estimado. Este detalle ha sido fuente de muchos problemas durante la sintonización.

El duty cicle común que determina el empuje medio de los motores (y por tanto la altura), se asignó a un valor constante de 6.5%, próximo a hacer levitar el quadrotor. En esta prueba se dejó libre el movimiento entorno al eje XB (ángulo roll) pasando un alambre perpendicular a los perfiles delante-ro y trasero por su punto medio, atando el otro extremo a dos patas de una mesa. Los resultados se muestran en las figuras 6.17, 6.18 y 6.19.

6.9

uφ(k ) = 0.6 ·[φ ref − φ̃(k )] − 0.15 ·[ d φ(t )dt ]

t = 0.02 · k

+ 1.2 · I φ(k ) ; I φ(k ) = I φ(k−1 ) + 0.02 ·[φ ref − φ̃(k) ]

uθ(k ) = 0.6 ·[θref − θ̃(k)] − 0.15 ·[ d θ( t)dt ]

t = 0.02 · k

+ 1.2 · I θ(k) ; I θ(k) = I θ(k−1) + 0.02· [θ ref − θ̃(k )]

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Fig. 6.17. Estimación de los ángulos roll (azul) y pitch (verde) con los motores al 6.5% y en control.

Fig. 6.18. Aceleración en los ejes XB (rojo) e YB (amarillo) con los motores al 6.5% y en control.

6.10

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Fig. 6.19. Velocidad angular en los ejes XB (violeta) e YB (azul claro) con los motores al 6.5% y en control.

En estas figuras se hace evidente el ruido introducido por las vibraciones de los motores. Especial-mente en la medida de aceleración, que ha sido acotada dentro del rango -0.99 a +0.99 para poder calcular el arcoseno.

La señal del giróscopo también está muy afectada por las vibraciones. Resulta conveniente de cara a su uso como término derivativo en el control aplicarle un filtrado paso de baja con una frecuencia de corte entorno a los 8 Hz. Se volvió a diseñar un filtro Chebyshev tipo II de orden 3 con una ate-nuación en la banda de rechazo de 20 dB, cuya respuesta en magnitud y fase se representa en la fi-gura 6.20 y cuya función de transferencia es la siguiente:

(6.2)

Se realizaron nuevas medidas sobre el quadrotor real para comprobar el efecto del filtrado sobre la medida del giróscopo. Los resultados son los que se muestran en las figuras 6.21 y 6.22, y han sido obtenidos con un duty cicle común (dcc) del 6.5%, y con los parámetros K1 = 0.5, K2 = 0.8 y K3 = -0.1. Si se comparan los resultados de la figura 6.19 con los de la figura 6.22 se aprecia una reducción en la amplitud de la medida debido a la eliminación de las componentes ruidosas de alta frecuencia.

6.11

H LP( z) =0.1095 + 0.0163 z−1

+ 0.0163−2+ 0.1095 z−3

1 − 1.5477 z−1+ 1.0089 z−2

− 2.096 z−3

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Fig. 6.20. Respuesta en magnitud y fase del filtro LP Chebyshev tipo II con frecuencia de corte 8 Hz.

Fig. 6.21. Estimación de los ángulos roll (azul) y pitch (verde) con el filtrado LP de la señal del giróscopo, dcc = 6.5%.

6.12

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Fig. 6.22. Medidas de la velocidad angular en roll (violeta) y pitch (azul claro) tras el filtrado LP, dcc = 6.5%.

Se comprobó experimentalmente que con los parámetros especificados el controlador era capaz de mantener estable la rotación en el ángulo roll, aunque con una cierta oscilación que podría reducirse con una mejor sintonización de los parámetros del controlador.

No obstante, es posible que la falta de aislamiento de la IMU ante las vibraciones y el problema de la torsión de los perfiles frontal y trasero sean las principales causas de la elevada oscilación que se observa en la estimación de los ángulos roll y pitch, y que no se pueda corregir con la aplicación de técnicas de combinación de medidas como el filtro complementario o el filtro de Kalman, ni con el uso de estructuras de control más robustas, si no que habría que plantearse reconstruir el quadrotor para corregir estos problemas desde la base.

6.13