6. MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS POR ANSYS 8.0....

DISEÑO DE UN SILO CONFORME AL EUROCÓDIGO CAPÍTULO 6: MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA

E.T.S. INGENIEROS, UNIVERSIDAD DE SEVILLA 72

CAPÍTULO 6

6. MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS POR ANSYS 8.0. ESTUDIO DE LA CONVERGENCIA

Ansys puede usar diferentes métodos matemáticos para la resolución de las

ecuaciones numéricas de equilibrio necesarias para resolver los problemas de elementos

finitos planteados. En nuestro caso estamos interesados en la resolución de las

ecuaciones de pandeo que se han planteado en el capítulo 4.

Ansys dispone de métodos numéricos distintos según se esté resolviendo el

problema lineal (Pandeo de Autovalores, apropiado para obtener una primera carga crítica

de manera más rápida) o el problema no lineal (la carga crítica bajará al introducir no-

linealidades en el problema).

En este capítulo se presentan dichos métodos, introduciendo el cálculo de pandeo

de autovalores primero y luego entrando más en detalle en el cálculo no lineal por ser este

último más complejo y tener más problemas de convergencia. Los métodos numéricos de



cálculo no lineal se basan sobre todo en el método de Newton-Raphson y en variaciones

del mismo. Se verá cómo el programa los lleva a cabo, con las diferentes órdenes

asociadas y los parámetros de que dispone para controlar estos métodos.

Por último se hará especial hincapié en el método del “arc-length” que es el más

apropiado para el caso que se estudia en el presente proyecto.

6.1. Pandeo de Autovalores

El análisis de pandeo de autovalores predice la carga crítica de pandeo de una

estructura ideal lineal y elástica (es decir el punto de bifurcación en la curva carga-

desplazamiento de la estructura). Este método se corresponde con el método clásico del

análisis de pandeo elástico que se puede encontrar en los libros; por ejemplo, al hacer el

análisis de pandeo de autovalores de un cilindro hueco de espesor de pared constante

sometido a compresión pura los resultados se corresponden con la solución clásica de

Euler (4.36).

Sin embargo, las imperfecciones y otras no linealidades hacen que la mayoría de

las estructuras que podemos encontrar en la vida real no alcancen esta carga crítica

clásica de pandeo, sino que la carga real de pandeo será menor de la prevista por el

análisis elástico. Por esto este análisis sólo debe hacerse como paso previo de un análisis

no lineal o como una primera aproximación a la carga crítica de una estructura ya que

proporciona valores de la carga crítica mayores a los reales y que son, por tanto, no

seguros.

Ansys realiza el análisis de pandeo de autovalores usando un modelo linealizado

de estabilidad elástica. El punto de bifurcación se corresponde, en este caso, con el

crecimiento no acotado de un nuevo patrón de deformación. Una estructura con una curva

de comportamiento carga-desplazamiento como la mostrada en la figura 6.1.a puede ser

analizada bien por este método, mientras que si muestra el comportamiento mostrado en

la figura 6.1.b no se analiza bien.



Figura 6.1: “Validez de los resultados de un análisis de pandeo de autovalores”

En cualquier cálculo de pandeo de una estructura se debe tener en cuenta el

fenómeno de “Stress stiffening”. Este es el fenómeno por el cual las fuerzas de membrana

(axiles) influyen en la rigidez a deflexión lateral; por ejemplo, una cuerda de guitarra se

hace más rígida al tensarla (su frecuencia natural de vibración es más alta), pero una

carga axial de compresión reduce la rigidez a flexión haciendo que la estructura se haga

inestable al alcanzar cierta carga: la carga crítica de pandeo.

Este fenómeno de 2º orden conocido como “Stress stiffening” se tiene en cuenta al

realizar el análisis de pandeo de autovalores de Ansys incluyendo un cálculo tensional

previo para incluir los efectos de las tensiones de membrana en la matriz de rigidez

geométrica (“stress stiffness matrix”) que se suma a la obtenida con la teoría de primer

orden.

ssK K Kσ= + (6.1)

La matriz de rigidez geométrica depende de:

- Geometría del elemento.

- Desplazamientos.

- Valores de los esfuerzos de membrana.



6.1.1. Proceso del cálculo de Pandeo de Autovalores

Cuando se analiza el pandeo lineal en Ansys, el problema de pandeo es formulado

como un problema de autovalores siguiendo el siguiente proceso:

1. Se carga la estructura hasta un nivel arbitrario de referencia de cargas

exteriores, refF .

Se hace un análisis estático lineal para calcular los esfuerzos de membrana en

los elementos

ref refK D F⋅ = (6.2)

De la ecuación (6.2) calculamos los desplazamientos refD y después las

tensiones y esfuerzos correspondientes al nivel de carga refF .

Se calcula la matriz de rigidez geométrica para ese nivel de carga ,refKσ , para

ello se hace el análisis estático previo antes mencionado, para el cual se

introduce en el programa el código expuesto en la figura 6.2:

Figura 6.2: “Código de Ansys para el cálculo previo de la matriz de rigidez geométrica”

2. Para otro nivel de cargas exteriores se tiene:

,ref refF F K Kσ σλ λ= ⋅ ⇒ = ⋅ (6.3)

/SOLU ANTYPE,STATIC PSTRES,ON ! Aplicar cargasSOLVE FINISH



Al ser un análisis lineal, se supone que al multiplicar las cargas por λ también

se multiplican las tensiones por el mismo factor, pero sin cambiar la

distribución de tensiones.

Los desplazamientos para el nuevo valor de carga son

( ),ref refK K D Fσ λλ λ+ ⋅ ⋅ = ⋅ (6.4)

3. Si se aplica una perturbación sobre la carga δF, se produce un movimiento δD.

El pandeo (bifurcación del equilibrio) sucede cuando es posible un δD 0 con

δF=0:

( ) ( ),ref refK K D D Fσ λλ δ λ+ ⋅ ⋅ + = ⋅ (6.5)

Restando (6.5) y (6.4) se obtiene el problema de autovalores al que se alude al

realizar el análisis:

( ), 0refK K Dσλ δ+ ⋅ ⋅ = (6.6)

El menor de los autovalores nos proporciona la carga crítica de pandeo crλ . Su

autovector es el modo de pandeo.

El problema de autovalores de la ecuación (6.6) se resuelve mediante alguno de

los procedimientos explicados en 6.1.2. Los autovectores están normalizados de manera

que el componente más grande es 1,0. Por tanto, las tensiones (cuando se calculan como

resultado del problema) deben ser interpretadas como una distribución relativa de

tensiones y no directamente como el estado tensional.

Una muestra del código que se introduce en Ansys para resolver el problema de

pandeo por autovalores se muestra en la figura 6.3:



Figura 6.3: “Código de Ansys para realizar el cálculo del problema de Pandeo por Autovalores”

Si el primer autovalor es negativo (lo cual indica que el pandeo se produce para

cargas aplicadas en el sentido opuesto), Ansys da un warning y el programa termina. En

el método del subespacio, se muestra un error “Number of stress-stiffness DOF is less

than requested modes”. Para evitar esta dificultad, aplicar un desplazamiento inicial de la

búsqueda (con el comando BUCOPT) hasta un valor próximo al autovalor esperado.

6.1.2. Problema de extracción de autovalores

Ansys dispone de varios métodos para la extracción de autovalores que se

enumeran en la tabla 6.1. Los que se usan en el análisis del pandeo de autovalores están

recuadrados en rojo en dicha tabla.

/SOLU !Debe haberse resuelto previamente un problema estático con PSTRES,ON ANTYPE,BUCKLE ! Análisis de pandeo

!por autovalores. BUCOPT,LANB,10 ! Define el método de !cálculo de autovalores y ! el nº de modos a calcular. MXPAND,1 ! Expande la forma !de los 10 modos calculados. SOLVE FINISH



Tabla 6.1: “Métodos de extracción de Autovalores en Ansys 8.0”

ANSYS ofrece varios métodos para la obtención de autovalores y autovectores en

un sistema de N g.d.l.:

• REDUCED

– Emplea matrices reducidas, asociadas a una serie de g.d.l. maestros que el

usuario (o el propio ANSYS) debe seleccionar previamente. El proceso de

solución es más rápido que con las opciones SUBSPACE pero menos

exacto, ya que las matrices reducidas sólo permiten obtener una solución

aproximada.

• SUBSPACE

– Permiten obtener un determinado número M (reducido: M<<N) de

autovalores y autovectores. No resulta necesario definir g.d.l. maestros.

• BLOCK LANCZOS

– Válido en los mismos casos que Subspace, pero tiene una convergencia

más rápida. Aplicable en problemas de autovalores con matrices simétricas

grandes. Es el más eficiente en el caso de que haya autovalores próximos



(es el caso del pandeo por autovalores, por tanto es el método que

usaremos).

Como se ha mencionado anteriormente, los métodos de extracción de ecuaciones

más frecuentemente usados por Ansys en la extracción de autovalores del problema de

Pandeo de autovalores son el método del Subespacio y el de Block Lanczos y por ello los

veremos con más detenimiento.

Método del Subespacio

El método iterativo del subespacio (que se activa con el comando BUCOPT,SUBSP) se

describe con detalle en Bathe [5]. Las mejoras de este método sugeridas por Wilson e Itoh

[16] también se han incluido en Ansys. El algoritmo básico consiste en los siguientes

pasos:

1. Se define el pivote inicial s :

• En un análisis de pandeo (ANTYPE,BUCKLE), s SHIFT= en el comando

BUCOPT (su valor por defecto es 0,0).

2. Inicializar los vectores iniciales [ 0X ].

3. Triangularizar la matriz pivotada

[ ] [ ]*K K s M = + (6.7)

donde:

- [ ]K es la matriz de rigidez ensamblada.

- [ ]M es la matriz de masas (o de rigidez geométrica) ensamblada.

Se hace una comprobación de “secuencia de Sturm” si este es un punto de pivote

distinto del inicial y se ha requerido (mediante los comandos Strmck=ALL, que se usa

por defecto, o PART en el comando SUBOPT).

4. Para cada iteración n del subespacio (desde 1 hasta MN ), se repiten los pasos

del 5 al 14:



donde MN es el máximo número de iteraciones del subespacio (se pasa como

entrada en NUMSSI del comando SUBOPT).

5. Se forma [ ] [ ] [ ]1nF M X −= y se escala [ ]F por { }1nλ −

donde { }1nλ − son los autovalores previamente estimados.

6. Se resuelve para nX :

[ ]*nK X F = (6.8)

Estas ecuaciones se resuelven usando el frontal direct equation solver de Ansys

(EQSLV,FRONT) o el iterative PCG solver (EQSLV,PCG).

7. Se escalan los vectores nX por ( ){ }1 1n nsλ λ− −−

8. Se ortogonalizan los vectores a los vectores previamente convergidos

(Ortogonalización de Gram-Schmidt).

9. Se definen las matrices de subespacio K y M :

[ ]T

n nK X K X = (6.9)

[ ]T

n nM X M X = (6.10)

10. Se ajusta para el pivote *K K s M = +

11. Computar los autovalores y vectores del subespacio usando la iteración

generalizada de Jacobi:

[ ] [ ]{ }*nK Q M Q λ = (6.11)

donde:

- [ ]Q son los autovectores del subespacio.



- { }nλ son los autovalores actualizados.

12. Actualizar la aproximación a los autovectores:

[ ] [ ]n nX X Q = (6.12)

13. Si se encuentra algún modo redundante o negativo, se eliminan y se crea un

nuevo vector aleatorio.

14. Se comprueba la convergencia (con la tolerancia definida por el analista en

Ansys):

• Si todos los modos requeridos convergen, ir al paso 15.

• Si se requiere un nuevo pivote (como se indica más abajo), ir al paso 3.

• Ir a la nueva iteración, paso 4.

15. Se realiza una comprobación de la secuencia de Sturm si se pide (Strmck=ALL,

por defecto en el comando SUBOPT).

Los pasos del 5 al 12 sólo se realizan en los vectores no convergidos: Una vez

que un autovalor ha convergido, el autovector asociado no se vuelve a iterar. El

procedimiento de ortogonalización de Gram-Schmidt (paso 8) asegura que los

autovectores que no han convergido permanezcan ortogonales a los vectores convergidos

sobre los que no se itera.

Método de Block Lanczos

El método de extracción de autovalores de Block Lanczos (es el algoritmo de

Lanczos por bloques al que se accede con el comando BUCOPT,LANB) está disponible

para problemas de gran tamaño de autovalores con simetría. Típicamente, este

solucionador es aplicable al tipo de problemas resolubles con el método de autovalores

del subespacio, pero consigue una tasa de convergencia más rápida.

El algoritmo de pivote por bloques de Lanczos , como se detalla en Grimes [17], es

la base teórica de este extractor de autovalores. El método usado por el análisis modal

emplea una estrategia de cambio de pivote automática, combinada con comprobaciones



de las secuencias de Sturm, para extraer el número de autovalores requerido. La

comprobación de las secuencias de Sturm, también asegura que se encuentra el número

de autovalores requeridos más allá de la frecuencia proporcionada por el analista como

pivote inicial (FREQE en el comando MODOPT) se encuentran sin obviar ningún modo.

El algoritmo de Block Lanczos es una variación del algoritmo de Lanczos clásico,

donde las recursiones de Lanczos se efectúan usando un bloque de vectores, en lugar de

un solo vector. Más detalles sobre el método clásico de Lanczos se pueden encontrar en

Rajakumar y Rogers [18].

El uso del método de Lanczos por bloques (o método Block Lanczos) para resolver

grandes modelos (100.000 gdl, por ejemplo) con muchas restricciones puede requerir una

cantidad de memoria del ordenador bastante significativa. Por esta razón, Ansys utiliza los

Multiplicadores de Lagrange para tratar las ecuaciones de restricción en el extractor de

Lanczos por bloques en lugar de eliminar dichas ecuaciones explícitamente antes de

escribir las matrices completas en el archivo de cálculo. Para más detalles sobre la

formulación de la teoría de los Multiplicadores de Lagrange ver Cook [19].

Comparación: Método de Block Lanczos vs Método del Subespacio

El Método de extracción de autovalores de Block Lanczos es el que usa Ansys por

defecto en el cálculo de pandeo por autovalores. Este método es tan preciso como el

Método del Subespacio y además es más rápido.

El método de Block Lanczos es especialmente potente cuando busca frecuencias

de autovalores en partes determinadas del espectro de autovalores de un sistema (en el

problema de pandeo de autovalores normalmente los autovalores están próximos entre

sí). La tasa de convergencia de las frecuencias de autovalores en las partes media y alta

del espectro es casi la misma que cuando se extraen los modos más bajos, por tanto,

cuando se usa una frecuencia dada como pivote (especificada en el comando FREQB)

para extraer n modos más allá de los hallados con el pivote inicial (valor inicial de

FREQB), el algoritmo extrae estos n modos adicionales prácticamente a la misma

velocidad que extrajo los n modos más bajos.



Por su parte, el método del Subespacio es muy preciso debido a que usa las

matrices [ ]K y [ ]M completas, aunque precisamente esa sea la causa de que sea más

lento que el método Reducido o el de Block Lanczos. Por ello, el método del Subespacio

sólo se usa cuando sea necesaria una gran precisión o cuando no sea práctico

seleccionar g.d.l maestros (como se indicó anteriormente el método Reducido usa estos

g.d.l maestros).

A modo de resumen se muestra la tabla 6.2 en la que se comparan

esquemáticamente los distintos métodos de extracción de autovalores usados por Ansys y

que se han comentado en esta sección.

Tabla 6.2: “Comparación esquemática de varios extractores de autovalores de Ansys”

6.2. Pandeo No-lineal

6.2.1. Método de Newton-Raphson: Visión general

El proceso de discretización de los elementos finitos produce una serie de

ecuaciones simultáneas:

[ ]{ } { }aK u F= (6.13)



donde:

- [ ]K = Matriz de coeficientes

- { }u = Vector de incógnitas GDL (grados de libertad)

- { }aF = Vector de cargas aplicadas

Si la matriz de coeficientes [ ]K es ella misma función de los grados de libertad que

son incógnita (o de sus derivadas) entonces la ecuación (6.13) es una ecuación no lineal.

El método de Newton-Raphson es un proceso iterativo para resolver las ecuaciones

no lineales que puede ser escrito como (Bathe[5]):

{ } { } { }T a nri i iK u F F ∆ = − (6.14)

{ } { } { }1i i iu u u+ = + ∆ (6.15)

donde:

- TiK = Jacobiano de la matriz (matriz tangente)

- i = Subíndice que representa la iteración de equilibrio actual

- { }nriF = Vector de las fuerzas restauradoras correspondiente a las cargas

elementales internas

Ambos TiK y { }nr

iF se evalúan basándose en los valores dados por { }iu . La

parte derecha de la ecuación (6.14) es el residuo o vector de cargas desequilibradas; i.e.,

la cantidad en que el sistema esta fuera del equilibrio. En la figura 6.4 se describe

gráficamente la iteración i-ésima del algoritmo de Newton-Raphson aplicado a un

problema de un solo grado de libertad. En un análisis estructural, TiK es la matriz de

rigidez tangente, { }iu es el vector de desplazamientos y { }nriF es el vector de fuerzas

restauradoras calculado a partir de las tensiones elementales. En un análisis térmico,

TiK es la matriz de conductividad, { }iu es el vector de temperaturas y { }nr

iF es el

vector de cargas resistentes calculado a partir de los flujos de calor elementales. En un



análisis electromagnético, TiK es la matriz de Dirichlet, { }iu es el vector de potenciales

magnéticos y { }nriF es el vector de cargas resistentes calculado a partir de los flujos

magnéticos elementales. En un análisis transitorio, TiK es la matriz de coeficientes

efectiva y { }nriF es el vector de cargas efectivas aplicadas que incluye los efectos de

inercia y de amortiguamiento.

Como se puede observar en las siguientes figuras, se requiere más de una

iteración del método de Newton-Raphson para obtener una solución que converja. El

algoritmo general es como sigue:

1. Se supone{ }0u . { }0u es normalmente la solución convergida del “time

step” (paso de carga) previo. En el primer “time step”, { }0u = { }0 .

2. Calcular la matriz tangente modificada TiK y la carga restauradora { }nr

iF

a partir de la configuración de los { }iu .

3. Calcular { }iu∆ mediante la ecuación (6.14).

4. Añadir { }iu∆ a { }iu para obtener la nueva aproximación { }1iu + (ecuación

(6.15)).

5. Repetir los pasos desde el 2 al 4 hasta obtener la convergencia.



Figura 6.4: "Solución de Newton-Raphson - Una iteración"

En la figura 6.5, se muestra la solución de la siguiente iteración ( )1i + a la del

ejemplo de la figura 6.4. Las iteraciones subsecuentes se realizarían de una manera

análoga.

La solución obtenida al final del proceso iterativo correspondería al nivel de carga

{ }aF . La solución final convergida estaría en equilibrio, de forma que el vector de cargas

restauradoras { }nriF (computado a partir del estado actual de tensiones, flujos de calor…)

igualaría al vector de cargas aplicadas { }aF (o al menos estaría dentro de cierta

tolerancia). Ninguna de las soluciones intermedias estaría en equilibrio. Cada uno de

estos pasos intermedios se denomina “iteración de equilibrio” (equilibrium iteration) en

Ansys.



Figura 6.5: "Solución de Newton-Raphson - Siguiente iteración"

Si el análisis incluye no linealidades dependientes de la trayectoria (como por

ejemplo plasticidad), entonces el proceso de solución requiere que ciertos pasos

intermedios estén en equilibrio para poder seguir correctamente la trayectoria de carga.

Esto se consigue, efectivamente, especificando un análisis incremental paso a paso; i.e.,

el vector final de carga { }aF se alcanza aplicando la carga en incrementos y aplicando las

iteraciones de Newton-Raphson en cada paso:

{ } { } { }, , ,T a nrn i n i n n iK u F F ∆ = − (6.16)

donde:

- ,Tn iK = Matriz tangente para el paso n, y la iteración i.

- { }anF = Vector de fuerzas totales aplicadas en el paso n.

- { },nrn iF = Vector de las fuerzas restauradoras para el paso n, y la iteración i.

Cada paso se denomina “paso de carga” (load step) en Ansys. Además cada paso

de carga puede subdividirse a su vez en “sub-pasos de carga” (substeps) en Ansys, al

final de los cuales también se alcanza el equilibrio. Este proceso es el “Procedimiento

Incremental de Newton-Raphson” y se muestra en la figura 6.6. El procedimiento de

Newton-Raphson garantiza la convergencia, si y solo si la solución en cualquier iteración

{ }iu esta “cerca” de la solución exacta. Por tanto, incluso de no haber presente una no



linealidad dependiente de la trayectoria, la aproximación incremental (i.e., aplicando las

cargas en incrementos mas pequeños) es a veces necesaria para obtener una solución

que se corresponda con el nivel final de carga.

Figura 6.6: “Procedimiento Incremental de Newton-Raphson”

Cuando la matriz de rigidez se recalcula en cada iteración (como se indica en la

ecuación (6.14) y en la ecuación (6.16)) el proceso se denomina “procedimiento de

solución completa de Newton-Raphson” (Full Newton-Raphson solution procedure), en

Ansys: ( NROPT,FULL o NROPT,UNSYM). Alternativamente, la matriz de rigidez podría

ser recalculada con menor frecuencia usando el “Procedimiento Modificado de Newton-

Raphson”, en Ansys: (NROPT,MODI). Especialmente, para análisis estáticos o

transitorios, se recalcularía sólo durante la primera o la segunda iteración de cada

subpaso, respectivamente. El uso del “Procedimiento de Rigidez Inicial”, en Ansys:

(NROPT,INIT), previene cualquier actualización o recálculo de la matriz de rigidez, como

se muestra en la figura 6.7. Si existiese un elemento “multistatus” en el modelo, sin

embargo, la matriz de rigidez sería recalculada en la iteración en la cual se cambiara de

estado independientemente de la opción de Newton-Raphson que se haya usado. Los

procedimientos modificado y de rigidez inicial de Newton-Raphson, convergen más

lentamente que el procedimiento de solución completa de Newton-Raphson, pero

requieren menos reformulaciones e inversiones matriciales. Unos pocos elementos

forman una matriz de rigidez tangente aproximada por lo que las características de

convergencia son en cierto modo diferentes.



Figura 6.7: “Rigidez-Inicial Newton-Raphson”

6.2.2. Convergencia

El proceso iterativo descrito en la sección anterior continúa hasta que se consigue

la convergencia.

Se asume que hay convergencia cuando:

{ } R refR Rε< (Convergencia residual) (6.17)

y/o:

{ }i u refu uε∆ < (Convergencia incremental de los GDL) (6.18)

donde { }R es el vector residual:

{ } { } { }a nrR F F= − (6.19)



que es el término de la derecha de la ecuación de Newton-Raphson(6.14). { }iu∆ es el

vector de incrementos de los GDL, Rε y uε son tolerancias (TOLER en el comando

CNVTOL de Ansys) y refR y refu son valores de referencia (VALUE en el comando

CNVTOL de Ansys). • es la norma de un vector; esto es, una medida escalar de la

magnitud del vector (más adelante se definen los tres tipos de norma que usa Ansys).

La convergencia, por tanto, se obtiene cuando la norma del residuo (desequilibrio)

es menor que una tolerancia multiplicada por un valor de referencia y/o cuando el tamaño

de los incrementos de los GDL es menor que una tolerancia multiplicada por un valor de

referencia. Por defecto, el programa Ansys sólo comprueba la convergencia residual, la

de la ecuación (6.17). El valor por defecto de las tolerancias es 0,001 (tanto para Rε como

para uε ).

Hay tres normas disponibles entre las que elegir (NORM en el comando CNVTOL

de Ansys):

1. Norma infinita: { } max iR R∞

=

2. Norma L1: { }1 iR R=∑

3. Norma L2: { } ( )1

2 22 iR R= ∑

Para la convergencia incremental de los GDL, basta con sustituir u∆ porR en las

anteriores ecuaciones.

La norma infinita es simplemente el máximo valor en el vector (máximo residuo o

máximo incremento de GDL), la norma L1 es la suma de los valores absolutos de los

términos, y la norma L2 es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados (SRSS) de los

valores de los términos, también llamada norma Euclídea. Por defecto se usa la norma

L2.



El valor por defecto de referencia de residuo refR es { }aF . Para los GDL con

condiciones de contorno de desplazamientos impuestos, los { }nrF en esos GDL se usan

para computar refR . Para GDL estructurales, si { }aF cae por debajo de 1,0, entonces

refR toma 1,0 como valor. Esto ocurre a menudo en análisis del movimiento de cuerpos

rígidos (por ej., rotación libre). Para GDL térmicos, si { }aF cae por debajo de 1,0E-6,

entonces refR toma 1,0E-6 como valor. Para el resto de GDL, refR toma el valor 0,0. El

valor por defecto de referencia de refu es { }u .

El número máximo de ecuaciones de equilibrio permitidas, N en cada subpaso,

se fija con el comando NEQIT. Si después de realizar NEQIT iteraciones de equilibrio sin

alcanzar la convergencia, Ansys da un mensaje de error y termina el cálculo.



6.2.3. Variaciones del método de Newton-Raphson y opciones que usa el

programa

Predictor

La solución usada para el comienzo de cada paso de carga n { },0nu es

generalmente igual a la solución actual de GDL { }1nu − . La matriz de rigidez tangente

,0nK y la carga restauradora { },0nF se basan en esta configuración. La opción

“predictor” de Ansys (comando PRED), extrapola la solución de GDL usando la historia

previa para una mejor estimación de la siguiente solución.

En análisis estáticos, la predicción se basa en usar los incrementos de los

desplazamientos acumulados sobre el paso de carga previo, multiplicados como factor

por el tamaño del paso de carga para hallar el { },0nu :

{ } { } { },0 1n n nu u uβ−= + ∆ (6.20)

donde:

- { }nu∆ = Incremento del desplazamiento acumulado sobre el paso de carga

previo.

- n = Paso de carga actual.

{ } { }1

NEQIT

n ii

u u=

∆ = ∆∑ (6.21)

β se define como:

1

n

n

t

tβ

−

∆=∆

(6.22)

donde:

- nt∆ = Tamaño del paso de carga actual.



- 1nt −∆ = Tamaño del paso de carga precedente.

No se permite que β sea mayor que 5.

En análisis transitorios, la predicción se basa en las velocidades y aceleraciones

actuales usando las fórmulas de Newmark para GDL estructurales:

{ } { } { } { } 2,0 1 1 1

12n n n n n nu u u t u tα− − − = + ∆ + − ∆

! !! (6.23)

donde: - { } { } { }1 1 1, ,n n nu u u− − −! !! = Desplazamientos, velocidades y aceleraciones actuales.

- nt∆ = Tamaño de paso de carga actual.

- α = Parámetro de Newmark (se introduce con el comando TINTP).

Para sistemas térmicos, magnéticos y otros sistemas de primer orden, la predicción

se basa en la fórmula trapezoidal:

{ } { } ( ){ },0 1 11n n n nu u u tθ− −= + − ∆! (6.24)

donde: - { }1nu − = Temperaturas actuales (o potenciales magnéticos).

- { }1nu −! = Tasas actuales de estas cantidades.

- θ = Parámetro de tiempo de integración trapezoidal (se introduce con el

comando TINTP).

Las subsecuentes iteraciones de equilibrio proporcionan los incrementos de los

GDL { }u∆ con respecto a los valores predichos de los mismos { },0nu , de ahí que este sea

un algoritmo predictor-corrector.

Descenso Adaptativo

El descenso adaptativo (Adptky en el comando NROPT) es una técnica que

cambia a una matriz “más rígida” si se encuentran dificultades de convergencia, y vuelve



a cambiar a la matriz de rigidez tangente completa al converger la solución, dando como

resultado una tasa de convergencia más rápida, lo que es una ventaja. (Eggert [6]).

La matriz usada en la ecuación de Newton-Raphson, (ecuación(6.14)) se define

como la suma de dos matrices:

( )1T S TiK K Kξ ξ = + − (6.25)

donde:

- SK = Matriz secante (o más estable).

- TK = Matriz tangente.

- ξ = Parámetro de descenso.

El programa ajusta el parámetro de descenso ( )ξ adaptándolo durante las

iteraciones de equilibrio de la siguiente manera:

1. Empieza cada substep (subpaso) usando la matriz tangente ( )0ξ = .

2. Observa el cambio en el residuo { }2

R en las iteraciones de equilibrio:

Si aumenta (indicando una posible divergencia):

• Elimina la solución actual si 1ξ < , establece 1ξ = y rehace la

iteración usando la matriz secante.

• Si ξ ya es igual a 1, continua iterando.

Si decrece (indicando una solución convergente):

• Si 1ξ = (matriz secante) y el residuo ha decrecido en tres

iteraciones seguidas (o 2 si ξ se incrementó a 1 durante el

proceso de iteración de equilibrio por el caso arriba indicado),

entonces se reduce ξ por un factor de 1/4 (estableciéndolo en

0,25) y se continúa iterando.

• Si 1ξ < , se vuelve a disminuir por un factor de 1/4 y se

continúa iterando. Una vez que ξ sea menor que 0,0156, se

toma 0,0ξ = (se usa la matriz tangente).



3. Si se encuentra un mensaje de “pivote negativo” (lo cual indica un matriz mal

condicionada):

• Si 1ξ < , se elimina la solución actual, se toma 1ξ = y se

rehace la iteración usando la matriz secante.

• Si 1ξ = , se bisecta el paso de carga si el comando “automatic

time stepping” está activado, en caso de que no lo esté se

termina la ejecución.

Las no linealidades que hacen uso del descenso adaptativo (esto es, que forman

una matriz secante si 0ξ > ) incluyen: plasticidad, contacto, rigidez de tensiones con

grandes deformaciones, campos magnéticos no lineales que usan la formulación potencial

escalar, el elemento concreto SOLID65 con el KEYOPT(7) = 1, y el elemento de

membrana laminar SHELL41 con el KEYOPT(1) = 2. El descenso adaptativo se usa por

defecto en estos casos a no ser que las opciones de “búsqueda lineal” o “arc-length”

estén activadas. Sólo está disponible con el “Procedimiento de solución completa de

Newton-Raphson”, en el que la matriz se recalcula en cada iteración. El “Procedimiento de

solución completa de Newton-Raphson” es también el que se usa por defecto para

plasticidad, contacto y no linealidades debidas a grandes deformaciones.

Búsqueda Lineal

La opción de búsqueda lineal (a la que se accede con el comando LNSRCH) trata

de mejorar una solución de Newton-Raphson { }iu∆ escalando el vector solución por un

valor escalar denominado el “Parámetro de búsqueda lineal”.

Considerando la ecuación (6.15) de nuevo:

{ } { } { }1i i iu u u+ = + ∆ (6.26)



En algunas situaciones de la solución, el uso del { }iu∆ completo conduce a

inestabilidades de la solución. De ahí que, si se usa la opción de la búsqueda lineal, la

ecuación (6.26) sea modificada para escribirse:

{ } { } { }1i i iu u s u+ = + ∆ (6.27)

donde: - s = Parámetro de búsqueda lineal; 0,05 1,0s< < .

s se determina automáticamente minimizando la energía del sistema, lo que se

reduce a encontrar el cero de la ecuación no lineal:

{ } { } { }( ){ }( )T a nrs i ig u F F s u= ∆ − ∆ (6.28)

donde: - sg = Gradiente de la energía potencial con respecto a s .

Un esquema de resolución iterativa basado en el “Método de Regula Falsi” (el cual,

nos permite encontrar la raíz de la ecuación f(x)=0, donde f(x) es una función continua

definida en el intervalo [a,b], con f(a) y f(b) de signos diferentes)se usa para resolver la

ecuación (6.28) (Schweizerhof y Wriggers [7]). Las iteraciones continúan hasta que:

1. sg sea menor que 00,5g , donde 0g es el valor de la ecuación (6.28)

en 0,0s = (esto es, usando { }1nrnF − en lugar de { }( ){ }nrF s u∆ .

2. sg no cambie significativamente entre iteraciones.

3. Se hayan ejecutado 6 iteraciones.

Si 0,0sg > , no se realiza ninguna iteración y s se toma como 1,0. No se permite

un smenor de 0,05.



La solución escalada { }iu∆ se usa para actualizar los valores actuales de los GDL

{ }1iu + en la ecuación (6.15), que se ejecutan en la siguiente ecuación de equilibrio.

6.2.4. Método del Arc-Length

Los análisis con detalle de estructuras geométricamente no lineales requieren la

creación de modelos matemáticos que incluyan con precisión las condiciones específicas

de carga y soporte; y, aun más importante, que modelen la rigidez y la respuesta dada por

la estructura.

La principal característica del pandeo no lineal frente al pandeo de autovalores que

calcula Ansys, es que el fenómeno de pandeo no lineal es capaz de resolver una región

de inestabilidad durante la trayectoria de post-pandeo, mientras que el pandeo de

autovalores sólo incluye el comportamiento lineal de la región de pre-pandeo hasta la

bifurcación (punto de carga crítica). Esto se ilustra en la figura 6.8. En dicha figura

también se observa que cuando se realiza el análisis no lineal, más ajustado a la realidad,

el pandeo comienza a una carga crítica menor a la obtenida con un análisis lineal o, como

lo llama Ansys, con un cálculo de pandeo de autovalores.

Figura 6.8: ”Comportamiento de Pandeo No lineal vs Pandeo de autovalores”



Las estructuras geométricamente no lineales contienen a menudo puntos límite en

los cuales la trayectoria de equilibrio tiene tangente horizontal, como se observa en la

figura 6.8. La región comprendida entre dos puntos críticos es inestable, porque la recta

tangente a la trayectoria de equilibrio es negativa, lo que indica un aumento de los

desplazamientos al disminuir las cargas. Si el proceso de carga se hace sin control en

desplazamientos, como es habitual (salvo en ensayos de laboratorio), cuando la carga

crece superando el primer punto límite, la estructura sufre un “salto” brusco de

desplazamientos, que la llevan a una nueva situación estable, como se muestra en la

figura 6.9. A este fenómeno se le denomina “snap-through”.

Figura 6.9: “Fenómenos de snap-through y snap-back. Respuesta en carga y descarga”

Al descargar esta estructura, cuando la carga cae por debajo del segundo punto

límite, se produce otro salto brusco de desplazamientos que se denomina “snap-back”. El

fenómeno de “snap-through” se ilustra muy bien en el caso del arco rebajado cargado

puntualmente de la figura 6.10.

Figura 6.10: ”Snap Through en el Pandeo”



La presencia de puntos críticos de estabilidad y trayectorias de equilibrio

inestables son las principales dificultades que las soluciones numéricas deben superar

para capturar completamente la respuesta no lineal. Aun existen ciertos obstáculos para

encontrar respuestas no lineales de estructuras sometidas a grandes cambios

geométricos. Predecir “snap-through” y “snap-back” de ciertas estructuras es difícil y

resulta computacionalmente costoso. También es difícil hallar cuánta carga adicional

puede soportar con seguridad una estructura bajo estas circunstancias.

El método del “arc-length” se presenta como el adecuado para predecir la

respuesta correcta de estructuras con comportamientos complejos del tipo “snap-through”

y seguir la trayectoria de equilibrio no lineal a través de los puntos límite.

Introducción

Las estructuras pueden experimentar condiciones de carga que causen grandes

desplazamientos que cambien de forma significativa su geometría y requieran, por tanto,

que las ecuaciones de equilibrio se planteen en la geometría deformada.

Las grandes deflexiones son descritas por ecuaciones diferenciales no lineales

que pueden ser resueltas usando técnicas incrementales, como el Método de Newton-

Raphson anteriormente presentado. En análisis no lineales la matriz de rigidez tangente

sustituye a la matriz de rigidez que se usa en los análisis lineales. Se usan pasos de

carga iterativos para aplicar la carga a la estructura en forma de pequeñas cargas

incrementales y hallar cada vez los correspondientes desplazamientos incrementales. La

representación de estos resultados define la curva de la trayectoria de equilibrio de la

estructura bajo las cargas aplicadas.

Una estructura que sufra grandes cambios en su geometría a menudo presenta

puntos límite con una respuesta inestable de “saltos” (“snap-through” y “snap-back”)

durante un colapso estático. La solución a estas inestabilidades estructurales es difícil de

hallar con los métodos comunes de resolución de ecuaciones, tales como el método de

Newton-Raphson. Estos métodos fallan cuando tengan lugar comportamientos de “snap-

back” a lo largo de la trayectoria de carga. Esto sucede porque debido a la naturaleza de



la ecuación empleada en el método iterativo de Newton-Raphson, es decir, la ecuación

(6.14), no puede haber convergencia si la matriz de rigidez tangente (la pendiente de la

curva fuerza-desplazamiento en cualquier punto) se hace cero. Ver figura 6.11.

Figura 6.11:”Divergencia en el Método de Newton-Raphson”

Los investigadores han estudiado continuamente estos problemas y se han

obtenido mejoras en el proceso que han sido gradualmente introducidas en los programas

comerciales de elementos finitos. El análisis geométricamente no lineal llevado a cabo

mediante elementos finitos debe ser capaz de hallar todas las posibles respuestas

durante la aplicación de grandes cargas.

Pasar puntos críticos durante la respuesta geométricamente no lineal es retador.

Dos tipos de puntos críticos hallados en este tipo de comportamiento son:

- Puntos límite de carga que se alcanzan cuando la trayectoria de la respuesta

tiene un “snap-through” local;

- Y puntos límite de control que definen un “snap-back” local. En uno de estos

puntos límite de control, la carga puede cambiar de dirección al cambiar las

deflexiones cuando se atraviesa un máximo local.

Existe una familia importante de métodos de resolución de ecuaciones no lineales

llamados genéricamente métodos del “arc-length” (longitud del arco) que pueden superar

estos puntos críticos. El método general del “arc-length” usado para análisis estructurales,



surge como una variación del método general de Newton-Raphson ideada para superar

las dificultades de éste para pasar por puntos críticos. Fué desarrollado originalmente por

Riks (1972; 1979) y Wempner (1971) [10]. La técnica se asemeja mucho al método de

Newton-Raphson descrito en Riks [8] y [9] excepto en que en este caso el incremento de

carga aplicado pasa a ser una incógnita adicional en el problema.

No son pocas las variaciones que se desarrollaron sobre el trabajo original de Riks

y Wempner. De hecho la forma del método del arc-length que usa el programa Ansys 8.0.

para resolver ecuaciones no es la de Riks y Wempner sino la variación del método

introducida por Forde y Stiemer [11] en 1987. Por este motivo y, dado que no es el

objetivo de este proyecto hacer un análisis demasiado exhaustivo de la gran cantidad de

métodos del “arc-length” de resolución de ecuaciones no lineales, se presentarán sólo

dos: el planteamiento de Riks y Wempner, por ser la primera históricamente y base de las

demás, y la forma de Forde y Stiemer, usada por Ansys.

Análisis estático geométricamente no lineal mediante el método del “Arc-

Length” de Riks-Wempner

En el método de Riks-Wempner la longitud de un vector tangente a la trayectoria

de equilibrio se usa para hallar un nuevo punto que es intersección del plano normal a la

tangente. Una carga dada por el analista estimará las magnitudes del incremento inicial

de carga para cada paso. Se llega a la terminación del método cuando se cumplen las

condiciones de máximo factor proporcional de carga o máximo desplazamiento nodal

dados. El proceso también se acaba cuando se alcanza el máximo número de

incrementos de carga en un paso determinado.

El método del arc-length de Riks-Wempner traza la trayectoria no lineal de

equilibrio usando un proceso iterativo que empieza computando los desplazamientos

iniciales provocados por un incremento de carga dado. El método pasa a hallar el nuevo

punto de equilibrio desde el punto inicial; i, como se puede apreciar en la figura 6.12.

(Para mas detalle consultar Crisfield [12], Owen [13] y Riks [8] y [9]).

En la figura 6.12 se muestra la curva carga-desplazamiento para un sistema de un

solo grado de libertad. El vector tangente a la curva en i puede escribirse como:



ii

i

ut

λ ∆= ∆

"" (6.29)

donde iλ∆ es la carga incremental aplicada en i, iT

K es la matriz de rigidez tangente

evaluada en i y iu∆" es el vector incremental de desplazamiento hallado resolviendo

iT i iK u Fλ∆ = ∆

"" (6.30)

El vector normal, in

" también se muestra en la figura 6.12 y se puede expresar

como:

ii

i

un

λ ∆= −∆

"" (6.31)

Figura 6.12: “Método del arc-length de Riks-Wempner”



Figura 6.13: “Inicio del método del arc-length de Riks-Wempner”

Al comenzar el método del “arc-length” de Riks-Wempner un incremento inicial de

carga, 0λ∆ , se usa para computar el primer vector desplazamiento, 0u∆ " , y la longitud del

primer vector tangente 0t"

. Estas variables se muestran en la representación de carga –

desplazamiento de la figura 6.13. Para hallar los desplazamientos iniciales, 0u∆" , se usan

triángulos semejantes. Durante este incremento inicial la rigidez tangente es la misma que

la rigidez lineal. El incremento de carga es un parámetro dado por el analista que divide la

carga total aplicada en incrementos iguales. Un incremento de carga dado empieza el

proceso y a partir de él se hallan los desplazamientos 0u∆ usando la matriz de rigidez

tangente0T

K . Los desplazamientos iniciales 0u∆ se hallan resolviendo

0

0 totu u

λ λ∆ =∆ ∆" " (6.32)

donde 1λ = y totu∆" se deduce de la expresión

0T totK u Fλ∆ =

"" (6.33)

La longitud del vector tangente 0t

", que será la que determine el radio del arc-

length, a lo largo de la trayectoria de equilibrio se puede calcular como

20 0 0 0

Ts t t u uλ∆ = ⋅ = ∆ + ∆ ∆" " " "

(6.34)



A través del resto de iteraciones la longitud de arco (arc-length) es constante o

puede ser escalada por la introducción de un parámetro por parte del analista en la

siguiente expresión

12

11

desi i

i

Is s

I−−

∆ = ∆

(6.35)

El analista decide sobre el número de iteraciones requeridas, 1iI − , y sobre el

número de iteraciones deseadas, desI .

Método del arc-length usado por Ansys

El método del arc-length usado por Ansys (que se activa con el comando

ARCLEN,ON) es apropiado para soluciones no lineales estáticas de problemas

inestables. Este método usa iteraciones esféricas explícitas para mantener la

ortogonalidad entre el radio del arc-length y las direcciones ortogonales, como se describe

en Forde y Stiemer (1987). Se asume que todas las magnitudes de carga están

controladas por un único parámetro escalar (i.e., el factor de carga total).

Al ser este un método “quasi-Newton” todas las opciones en el programa del

método de Newton-Raphson son aún la base de la solución del arc-length.

Ya que ahora, los vectores de desplazamiento y el factor escalar de carga se

tratan como incógnitas, el método del arc-length es él mismo un método que automatiza

los tamaños de los pasos de carga (No necesitará el comando AUTOTS,ON). Para

problemas con giros bruscos en la curva carga-desplazamiento o materiales dependientes

de la trayectoria de carga, es necesario limitar el radio del arc-length (el tamaño del

incremento de carga del arc-length) usando el radio inicial o de referencia (con el

comando NSUBST) y el rango de variación permitido. Durante la solución, el método del

arc-length variará el radio del mismo en cada substep (subpaso) de acuerdo con el grado

de no linealidades que estén incluidas.



El rango de variación del radio del arc-length se limita por los multiplicadores

máximo y mínimo del radio de referencia del arc-length (MAXARC y MINARC en el

comando ARCLEN).

En el procedimiento de resolución del método del arc-length usado por Ansys, la

ecuación no lineal (6.14), se replantea asociada al factor de carga total λ :

{ } { } { }T a nri i iK u F Fλ ∆ = − (6.36)

donde λ está comprendido normalmente en el rango 1,0 1,0λ− ≤ ≤ . Es interesante

recalcar que el factor de carga λ sólo multiplica a las fuerzas aplicadas, ya que el otro

término de fuerzas son las fuerzas internas que se calculan a partir de las aplicadas. Si

escribimos el factor proporcional de carga λ de forma incremental, tenemos en el substep

n y la iteración i (ver figura 6.14):

{ } { } ( ){ } { } { }T a a nri i n i i iK u F F F Rλ λ λ ∆ − ∆ = + − = − (6.37)

donde:

- λ∆ = Factor de carga incremental (tal y como se muestra en la figura 6.14).

Figura 6.14: ”Aproximación mediante el arc-length de Forde-Stiemer con el método completo de Newton-Raphson”



El desplazamiento incremental { }iu∆ puede escribirse en dos partes siguiendo la

ecuación(6.37):

{ } { } { }' ''i i iu u uλ∆ = ∆ ∆ + ∆ (6.38)

donde:

- { }'iu∆ = Desplazamiento debido a un factor de carga unidad.

- { }''iu∆ = Desplazamiento incremental proveniente del método convencional de

Newton-Raphson.

Estos se definen:

{ } { }1' T ai iu K F

− ∆ = (6.39)

{ } { }1'' Ti i iu K R

− ∆ = − (6.40)

En cada iteración del arc-length, es necesario usar las ecuaciones (6.39) y (6.40)

para resolver { }'iu∆ y { }''iu∆ . Además, al haber introducido una nueva incógnita en el

problema, el factor de carga incremental λ∆ , el método introduce una nueva restricción

para cada substep que se conoce como la “ecuación del arc-length” que puede ser

escrita, por ejemplo, en la iteración i (ver figuras 6.14 y 6.15)(es equivalente a la ecuación

(6.34) del método de Riks-Wempner)

{ } { }2 2 2 T

i i n nu uλ β= + ∆ ∆# (6.41)

donde: - β = Factor de escala (con unidades de desplazamiento-1) usado para asegurar

el correcto escalamiento en las ecuaciones (ya que λ es adimensional).

- nu∆ = Suma de todos los desplazamientos incrementales iu∆ de esta iteración.



Así el método de Forde-Stiemer usado por Ansys puede verse más claramente en

la figura 6.15.

Figura 6.15: ”Método del arc-length de Forde-Stiemer. Un substep”

El radio del arc-length i# se fuerza, durante las iteraciones de un mismo substep,

a ser idéntico al radio 1# de la primera iteración de ese substep, es decir, se impone que

se mantenga constante a lo largo de un substep dado.

1 1...i i−= = =# # # (6.42)

Por lo tanto el método del arc-length de Forde-Stiemer que usa Ansys permite a la

carga y al desplazamiento que varíen durante un substep o subpaso de carga tal y como

se muestra en la figura 6.16.



Figura 6.16: ”Comportamiento de la convergencia en Ansys usando el arc-length”

El radio del arc-length 01# en la primera iteración del primer substep de un paso de

carga o load step se denomina “radio inicial o de referencia del arc-length” (definido por el

comando NSUBST ya que este radio de referencia se calcula como el cociente entre la

carga total aplicada en el paso de carga correspondiente y el número de substeps

especificados en dicho comando para ese mismo paso de carga). Los radios del arc-

length en los substeps subsiguientes del mismo paso de carga o load step son calculados

por el programa a partir del radio del arc-length del substep previo y el comportamiento de

la solución y teniendo en cuenta que estos radios deben estar comprendidos dentro del

rango límite que determinan el radio de referencia para ese paso de carga y los

multiplicadores del mismo (dados en las etiquetas MAXARC y MINARC del comando

ARCLEN). Para el método del arc-length, por tanto, no se usa el “Automatic time

stepping”.

0 01 1iMINARC MAXARC⋅ ≤ ≤ ⋅# # # (6.43)

Las ecuaciones (6.38) y (6.41) conjuntamente, determinan, ellas solas, el vector

solución ( ),T

iu λ∆ ∆ . Sin embargo, hay muchas formas de resolver λ∆ aproximadamente.

El método de la iteración esférica explícita se usa para asegurar la ortogonalidad (Forde y

Stiemer (pág.174 del libro indicado en la bibliografía)). En este método, el residuo



requerido ir (un escalar) para la iteración explícita en una esfera, se calcula de antemano

como producto escalar de los vectores normal in"

y tangencial it"

. Los autores sugieren la

selección de un vector normal in"

con una dirección arbitraria con respecto al vector it"

que

es tangente a la configuración de carga-desplazamiento en un punto dado. Los vectores

normal y tangencial constan de m componentes provenientes del vector desplazamiento y

una proveniente del factor de carga. Estas componentes se combinan usando el factor

escalar β formando vectores de m+1 componentes que pueden escribirse como:

ii

i

ut

βλ

=

"" (6.44)

i

un

β λ∆

= ∆

""

(6.45)

Por consiguiente, el factor de carga incremental del arc-length se determina

mediante la fórmula:

{ } { }

{ } { }''

2 '

T

i n i

T

i n i

r u u

u uλ

β λ

− ∆ ∆∆ =

+ ∆ ∆ (6.46)

Esta expresión puede ser simplificada para casos particulares de ortogonalidad. El

método funciona bien incluso cuando se encuentra en las proximidades de puntos críticos

en los que hay cambios bruscos en la solución. Finalmente, reseñar que los vectores

solución se actualizan de acuerdo con (ver figuras 6.14 y 6.15):

{ } { } { } { }1i n n iu u u u+ = + ∆ + ∆ (6.47)

y

1i n iλ λ λ λ+ = + + ∆ (6.48)

donde:

- n = Número del substep actual.



Los valores de nλ y λ∆ están disponibles en el módulo POST26 (comando SOLU)

y se corresponden con las etiquetas ALLF y ALDLF, respectivamente. El radio

normalizado del arc-length se encuentra en la etiqueta ARCL (comando SOLU) y se

corresponde con el valor 0i

i

##

, donde 0i# es el radio inicial o de referencia del arc-length en

el substep i definido en el comando NSUBST, y que se relaciona con el factor de carga y

los desplazamientos a través de la ecuación (6.41).

En el caso en el que las cargas aplicadas sean mayores o menores que las

máximas o mínimas cargas críticas, el arc-length continuará con las iteraciones en ciclos

ya que λ no se acerca a la unidad. Es recomendable, por tanto, acabar con las

iteraciones del arc-length imponiendo un criterio de terminación (puede hacerse usando

los comandos ARCTRM o NCNV).

6.3. Resumen

Una vez presentada la base teórica de los métodos de resolución de ecuaciones

que usa Ansys y visto con más detalle el Método del Arc-length, convendría enumerar los

puntos más importantes que se han presentado en este capítulo, haciendo hincapié sobre

todo en aquellos que resulten más prácticos desde el punto de vista operativo en la

resolución del problema no lineal planteado.

En este pequeño resumen, se incluyen una serie de consejos prácticos,

provenientes de bibliografía diversa, analistas y de la propia ayuda del programa, que

orientan sobre cómo realizar un análisis no lineal en Ansys.

• En análisis no lineales es muy recomendable aplicar la carga en forma de

incrementos (pasos de carga o load steps) para poder seguir bien la trayectoria de la

curva carga-desplazamiento.



• El método de resolución numérica de ecuaciones más usado por su sencillez y

antigüedad es el “Método iterativo de Newton-Raphson” base de casi todos los demás y

que se describe en la ecuación (6.16): { } { } { }, ,T a nrn i i n n iK u F F ∆ = − .

• En análisis no lineales en los que se esperen comportamientos de “snap

through” y “snap back” o en los que se quiera trazar la trayectoria de la solución en la

región de post-pandeo, el método de Newton-Raphson antes mencionado presenta

problemas debido a la existencia de puntos críticos de pendiente horizontal en los que se

anula la matriz de rigidez. En estos casos es aconsejable usar el Método del Arc-length

que puede pasar bien esos puntos críticos. Una comparativa ilustrativa de ambos

métodos puede observarse en la figura 6.17.

Figura 6.17:”Newton-Raphson vs Arc-length”.

• El método del arc-length que usa Ansys es la forma de Forde y Stiemer del

mismo (puede observarse en las figuras 6.14 y 6.16).

• El procedimiento básico de resolución del problema usando el método del arc-

length en Ansys puede resumirse en los siguientes pasos:

- El método se activa con el comando ARCLEN,ON.

- La carga se aplica a la estructura incrementalmente a través de una serie de

pasos de carga o load steps siendo la carga aplicada en cada uno de ellos un

valor definido por el analista. A su vez cada paso de carga se resuelve a través

de un número de subpasos de carga o substeps que se determinan a través



del comando NSUBST. Los substeps se resuelven mediante una serie de

iteraciones que siguen hasta que: la solución converja en el substep

determinado (ya que se impone que la solución esté en equilibrio en cada

substep) o bien se sobrepase sin converger el número máximo de iteraciones

permitidas en un substep dado por el comando NEQIT.

- El “radio del arc-length de referencia” es el radio del arc-length de la primera

iteración del primer substep de un paso de carga (en realidad es el radio de

todo el primer substep porque Ansys impone que el radio sea constante en las

iteraciones de un mismo substep). Este radio lo define el analista mediante el

comando NSUBST y la carga que aplica en el “loadstep” ya que se calcula con

la expresión:

0 " " " " i

Fracción de la carga total aplicada en el LS

Número de substeps del LS definidos en NSUBST=# (6.49)

- Los radios de los siguientes substeps, ya no los define directamente el

analista, si no que Ansys los calcula basándose en el radio del arc-length del

substep previo y el comportamiento no lineal de la solución. Ahora bien, el

analista determina el rango en el que se moverán estos valores imponiendo

límites de variación al radio del arc-length de referencia (que por tanto sirve

como referencia para el tamaño del resto de los radios del mismo paso de

carga) a través de las etiquetas MAXARC y MINARC del comando ARCLEN.

Los límites de variación del radio del arc-length en los substeps de un loadstep

determinado son:

01*Límite inferior MINARC= # (6.50)

01*Límite superior MAXARC= # (6.51)

donde 0

1# es el radio de referencia del arc-length (el del primer substep) para

ese paso de carga.

- Cada paso de carga o loadstep, se resuelve de la manera indicada hasta que:

La solución converja.



Se alcance alguna de las condiciones de salida del análisis del

programa que pueden especificarse en muchos comandos pero

sobre todo en: ARCTRM, NEQIT o NCNV. (Si la solución no

consigue converger en el número de iteraciones de equilibrio

indicadas en NEQIT, el programa bisectará automáticamente el

radio del arc-length y continuará con el análisis. La bisección

continuará hasta que se obtenga una solución convergida o se

alcance el límite inferior del arc-length en ese LS).

• Según se definen los radios de las diferentes iteraciones del método, la carga

aplicada en un substep determinado diferente del primero en la resolución de un paso de

carga no es fácil de conocer de forma exacta, ya que el valor de la carga aplicada varía a

lo largo del arco esférico. Sin embargo con otros métodos como el de Newton-Raphson la

carga sí es perfectamente conocida. Esto puede apreciarse por ejemplo en la figura 6.17.

De ahí que, aunque también pueden obtenerse cargas críticas con el método del Arc-

length ajustando bien sus parámetros, siempre que sea posible se recomienda que se

obtengan mediante otros métodos como el de Newton-Raphson cuya precisión será

mayor. Por todo esto, cuando el objetivo es determinar la carga crítica de pandeo de una

estructura, se aconseja realizar un análisis lineal previo de pandeo de autovalores antes

de realizar el análisis de pandeo no lineal.

• El arc-length es un método muy potente para hacer frente a los análisis no

lineales mediante elementos finitos en el cálculo de estructuras, pero su correcta

aplicación requiere cierta pericia, ya que hay que elegir los parámetros que lo gobiernan

con mucho cuidado, se debe hacer una buena estimación del radio de referencia que se

usará para resolver un paso de carga llegando a un compromiso entre tiempo de

ejecución y precisión.

• Cuando se usa el arc-length, es mejor basar el criterio de convergencia en

fuerzas [CNVTOL,F] y no en desplazamientos [CNVTOL,U].

• El factor de carga total del arc-length, λ , (que puede encontrarse en la etiqueta

ALLF del comando SOLU) puede ser tanto positivo como negativo. De manera análoga, el

valor de TIME en la solución, que en un análisis del arc-length se relaciona con el factor



de carga total, λ , también puede ser positivo o negativo. La interpretación de valores

negativos en ALLF o TIME indica, simplemente que el método del arc-length está

aplicando la carga en la dirección contraria a la definida en el problema para mantener la

estabilidad en la estructura. Cuando esto ocurre, se corre el peligro de que el arc-length

vuelva atrás siguiendo la misma trayectoria de carga, pero en sentido inverso,

produciéndose el fenómeno denominado “drifting back”. El fenómeno de “drifting back”

suele deberse a una mala elección del tamaño del radio del arc-length (radios demasiado

grandes o demasiado pequeños). Los valores negativos de ALLF o TIME se encuentran

de forma habitual cuando se dan comportamientos de “snap-through” en la estructura.

6. MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS POR ANSYS 8.0....

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