MÍNIMOSMÁXIMOS Y

Ciclo: Anual SM

RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

NIVEL BÁSICO

PROBLEMA N°1:

En las siguientes expresiones

𝑀=11− 9𝑥2+6 𝑥 ;𝑥∈ℝ𝑁=4 𝑦 2+20 𝑦+28 ;𝑦∈ℝSi es el máximo valor de , y es el mínimo valor de , halle el valor de .

Resolución:

Se pide el valor de . Datos:

𝑀=11− 9𝑥2+6 𝑥 ;𝑁=4 𝑦 2+20 𝑦+28

𝐴=𝑀𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝑂

𝐵=𝑁𝑀 Í 𝑁𝐼𝑀𝑂

𝑀𝑚 á 𝑥⇾𝑥=− 6

2(− 9)=

13

𝐴=11− 9( 19 )+6 ( 1

3 )𝐴=1 1 −1+2𝑀𝑚 á𝑥=𝐴=12

𝑁𝑚 í 𝑛⇾𝑥=−202(4)

=−52

𝐵=4 ( 254 )+20 (− 5

2 )+28

𝐵=25 −50+28

𝐴−𝐵=9 CLAVE: D𝑁𝑚 í 𝑛=𝐵=3

PROBLEMA N°2:Dados los números

𝑎=24 −2 𝑥𝑏=3 𝑥− 30𝑐=𝑥+18

Si , determine el valor de cuando toma su máximo valor.

De los datos:

Resolución:Se pide el valor de cuando .

𝑎=24 −2 𝑥 ;𝑏=3 𝑥− 30𝑎×𝑏=(24− 2𝑥   ) (3 𝑥−30 )𝑎×𝑏=(2 ) (3 ) (12−𝑥   ) (𝑥−10 )

𝑎×𝑏 (6 ) (12−𝑥   ) (𝑥− 10 )()𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝑂

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟐

¿

𝑐=𝑥+18=29 CLAVE: B

𝟏 𝟏

PROBLEMA N°3:

Un carpintero puede construir sillas a un costo de 20 soles cada una. Si las vende a soles la unidad, se estima que puede vender sillas al mes. ¿Cuál sería la mayor ganancia mensual, en soles, del carpintero?

Se pide la mayor ganancia mensual, en soles.Resolución:

; De los datos:𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑈𝑛𝑖𝑡=20

Sabemos:𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=(180− 3𝑥 )(𝑥− 20)

𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=3 (60−𝑥) (𝑥− 20 )𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒𝟎

𝟐𝟎 𝟐𝟎

¿𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠=180 − 3𝑥

𝐺𝑚𝑎𝑥=3 (20)(20) CLAVE: B¿1200

PROBLEMA N°4:

Cierta compañía ofrece un seminario sobre técnicas de administración. Si la cuota es de S/.60 por persona, asisten al seminario 1000 personas, pero por cada disminución de S/.2 en la cuota asisten 100 personas más. ¿Cuál debe ser la cuota a cobrar para obtener la máxima recaudación posible?

Se pide valor de cuota para .Resolución:

𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (60 ) (1000 )

𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (2 ) (100 ) (3 0−𝑥 ) (10+𝑥 )𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒𝟎(𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛)𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝐴=(2 ) (100 ) (30 −𝑥 ) (10+𝑥 )

2 𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (60−2𝑥 ) (1000+100 𝑥 )

𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎=60− 2 (10 ) CLAVE: D

𝑥 𝑥

𝟐𝟎 𝟐𝟎

¿ 40

PROBLEMA N°5:

Indique el máximo valor de .

𝐴= 5×2𝑥+6

1+4𝑥+2𝑥+3 ;𝑥∈ℝ

Se pide el máximo valor de .Resolución:

Dividimos entre

𝐴= 5×2𝑥+6

1+4𝑥+2𝑥+3 ;𝑥∈ℝ

𝐴= 5×26

12𝑥

+2𝑥+23;𝑥∈ℝ

()

𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶=𝟐

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

CLAVE: C

𝐴𝑚á 𝑥𝑖𝑚𝑜=5× 26

2+232

PROBLEMA N°6:

Indique el máximo valor de .

𝐴=30

5+9𝑥+4 × 3𝑥;𝑥 ≥ 0

Se pide el máximo valor de .Resolución:

Completamos cuadrados en

5+9𝑥+4 × 3𝑥

()

𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

CLAVE: B

𝐴=30

5+9𝑥+4 × 3𝑥;𝑥∈ℝ𝐴=

30

5+9𝑥+4 × 3𝑥

9𝑥+4 ×3𝑥+5¿ ( 3𝑥 )2

+4 ×3𝑥+4+1

(3𝑥+2 )2

Reemplazando en 𝐴=

30

(3𝑥+2 )2+1

𝑴 Í 𝑵=𝟏

¿3

Nos piden: El valor de x de modo que el volumen del paralelepípedo sea máximo.

De los datos planteamos:

x+5

8

15-x

Volumen = (x+5)(15-x)(8)

Resolución 07:

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟐𝟎

𝟏𝟎 𝟏𝟎

CLAVE: A

Nos piden: El área máxima de la región triangular MRQ.

Recuerde que:

SS=

3k3k

3k4k

28-7k

Luego, el área de la región rectangular:

A=(28 - 7K)(3K)

Factorizando se tiene que: A=7(4 - K)(K)3

K=2

A = 7(2)(2)3 = 84

Resolución 08:

𝑴 Á 𝑿𝑴 Á 𝑿

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒

𝟐𝟐

CLAVE: B

NIVEL INTERMEDIO

Nos piden: La suma del menor valor entero y mayor valor entero de M.

Del dato: >0

Dando forma se tiene que:

Además:

1𝑥+3

<13

17𝑥+3

<173

1+

1 +

M

Resolución 09:

𝑥+3>31 < = 6,66....

Mmín + Mmáx = 2 + 6 = 8

CLAVE: B

¿1+17

3+𝑥

PROBLEMA N°10:El costo de un determinado articulo varia de S/.84 a S/.103. Si se venden (2n) artículos a S/.(3n-5) cada uno y se cumple que el costo mínimo supera a la ganancia mínima, ¿cuál es el máximo numero de artículos vendidos?

Resolución:

[ (3n-5) - (103) ]Del dato:

Lo pedido:

3n < 192

84

CLAVE: C

Nº artículos vendidos = 2n

Además:

Máx.

¿cuál es el máximo número de artículos vendidos?

Pcosto84 ≤ ≤ 103

Si se venden (2n) artículos a S/.(3n-5) cada uno se cumple

GananciaMin. < CostoMin.

n < 642n < 128

= 127

<

Venta - Costomáx< CostoMin.

PROBLEMA N°11:

Se dispone de una cartulina cuadrada de 18cm de lado. Si se desea hacer una caja sin tapa recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando sus lados, ¿cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado a recortar para que el volumen de la caja sea máximo?

xxxxV 218218

xxxxV 2)9)(9(2

Del grafico:

Máx

Máx

18

x

x

x

x

x

18 - 2x

18 - 2x

Resolución:De los datos:

18

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟏𝟖

𝟔 𝟔

CLAVE: E

𝟔

18-2x

18-2

x

PROBLEMA N°12:

Resolución:

Máx.

Por propiedad:

Min.

Del dato:

Halle el máximo valor de k, tal que verifique para todo a є R+ ; x є R-{0}la siguiente relación k .x2 ≤ a + x4a

k ≤ a + x4

+ a x2 a

K = 2 Máx.

x + 1 ≥ 2

xSi: x >0

CLAVE: A

= 2

.x2

a + x4

k ≤ .x2 .x2

x2

k ≤

PROBLEMA N°13:

Una hoja de papel debe tener de texto impreso, márgenes superior e inferior de de altura y márgenes laterales de de anchura. Calcule la suma de las longitudes del papel que minimizan su área.

Se pide la suma de longitudes del papel que minimizan su área.

Resolución:

𝟏𝒄𝒎 𝟐𝒄𝒎

𝟏𝒄𝒎𝟐𝒄𝒎

𝑎𝑐𝑚

𝑏𝑐𝑚

(𝑎+2)+(𝑏+4)=?

18𝑐𝑚2

¿ (𝑎+2 ) . (𝑏+4 )

Sabemos: 𝑴 . 𝑨≥𝑴 .𝑮𝟒𝒂+𝟐𝒃

𝟐≥√(𝟒𝒂)(𝟐𝒃)

𝟒𝒂+𝟐𝒃𝟐

≥√𝟏𝟒𝟒𝟒𝒂+𝟐𝒃≥𝟐𝟒

a + b + 6 Clave: D)

= 9 + 6 = 15

¿𝑎𝑏+4 𝑎+2𝑏+8¿ 4𝑎+2𝑏+26

12 12

PROBLEMA N°14:

El área de la región circular es . Calcule el área máxima del rectángulo .

Se pide el área máxima del rectángulo .Resolución:

¿ 42𝜋𝑢2

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

Datos: 𝐴𝑅 .𝐶𝐼𝑅𝐶𝑈𝐿𝐴𝑅=16𝜋𝑢2

→𝑟=4𝑟

𝐴

𝐵 𝐶

𝐷

𝑟

𝑎𝑏

2𝑎𝑐𝑚

2𝑏𝑐𝑚

𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=(2𝑎 ) (2𝑏)Por Teorema de Pitágoras: 𝑎2+𝑏2=𝑟2

𝑎2+𝑏2𝑎2+𝑏2=42

¿ 4 (𝑎𝑏 )

4=32 CLAVE: A

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶2𝑎𝑏

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

≤ 𝑎𝑏

PROBLEMA N°15:

El gráfico muestra una mesa de billar. Si la bola de billar debe realizar el recorrido mostrado hasta llegar al agujero, ¿Cuál es la menor longitud?

Resolución:

3cm 3cm

1cm

4cm

3cm

4cm

CLAVE: BRecorrido = 9 2 cmMinimo

Del gráfico:

NIVEL AVANZADO

PROBLEMA N°16:

Calcule el valor de para el cual la expresión asume su mínimo valor.

𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+2 𝑦2+2 𝑥𝑦𝑧+2 (𝑦− 2𝑥+4 )+𝑥2𝑧 2;

{𝑥 ; 𝑦 ;𝑧 }⊂ℝ

Se pide el valor de para que .Resolución:

CLAVE: C

𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+2 𝑦2+2 𝑥𝑦𝑧+2 (𝑦− 2𝑥+4 )+𝑥2𝑧 2;

{𝑥 ; 𝑦 ;𝑧 }⊂ℝ𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+𝑦2+𝑦2+2𝑥𝑦𝑧+2 𝑦− 4 𝑥+8+𝑥2𝑧 2

𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=𝑥2− 4 𝑥+4+𝑦2+2 𝑦+1+𝑥2𝑧 2+2𝑥𝑦𝑧+𝑦2()()( )

(𝑥−2 )2 (𝑦+1 )2 (𝑥𝑧+𝑦 )2𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=+++11¿𝟎

𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶¿𝟎 ¿𝟎

→ ( (2 ) (𝑧 ) −1 )2=0𝑧=1/2

+11

PROBLEMA N°17:Calcule el mínimo valor de , donde ;

𝐸=√𝑦 2+ (6−𝑥 )2+√𝑥2+(8 − 𝑦 )2 .

Se pide el mínimo valor de .Resolución:

𝑥

√ 𝑥 2+ (8−𝑦 ) 2

𝐸=√𝑦 2+ (6−𝑥 )2+√𝑥2+(8 − 𝑦 )2 .

y

(6−𝑥 )

√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2

Gráficamente

𝑥

√ 𝑥 2+ (8−𝑦 ) 2

(6−𝑥 )

√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2

De los gráficos,

6

√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2+√𝑥 2

+(8−𝑦 ) 2

CLAVE: C𝐸𝑀 Í 𝑁𝐼𝑀𝑂=10

PROBLEMA N°18:

Se pide el área máxima de la región sombreada.

Resolución:

𝐴𝑅𝑆=(3 𝑥 ) (6−𝑥 )

6

4

2𝑥3 𝑥

6 −𝑥

𝐴𝑅𝑆=3 (𝑥 )(6 −𝑥 )

𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶

𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟔

𝟑𝟑𝐴𝑅𝑆=3 (3) (3 ) 27

CLAVE: D

PROBLEMA N°19:

Resolución:De la gráfica:

¿Cuál debe ser la longitud de la escalera?.

Nos piden:

A

B

20π

30π

10𝜋 √13

CLAVE: B𝐿𝑜𝑛𝑔𝑀 Í 𝑁=10𝜋√13

PROBLEMA N°20:

Resolución:De la gráfica:

La suma de las mínimas distancias recorridas.

Nos piden:

8

8Desdoblando:

A B

C

8

4

4

4

4

8

8

2

𝟐√𝟑

𝟒√𝟕

CLAVE: CS 8 +

¡¡…Gracias por la

atención prestada..!!

¡¡…La meta San Marcos esta cerca…!!

¡¡…Sigan estudiando con el mismo empeño y

dedicación…!!

¡¡…Todo depende de ustedes…!!

¡¡…HASTA EL PRÓXIMO CICLO..!!