MÍNIMOSMÁXIMOS Y
Ciclo: Anual SM
RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS
NIVEL BÁSICO
PROBLEMA N°1:
En las siguientes expresiones
𝑀=11− 9𝑥2+6 𝑥 ;𝑥∈ℝ𝑁=4 𝑦 2+20 𝑦+28 ;𝑦∈ℝSi es el máximo valor de , y es el mínimo valor de , halle el valor de .
Resolución:
Se pide el valor de . Datos:
𝑀=11− 9𝑥2+6 𝑥 ;𝑁=4 𝑦 2+20 𝑦+28
𝐴=𝑀𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝑂
𝐵=𝑁𝑀 Í 𝑁𝐼𝑀𝑂
𝑀𝑚 á 𝑥⇾𝑥=− 6
2(− 9)=
13
𝐴=11− 9( 19 )+6 ( 1
3 )𝐴=1 1 −1+2𝑀𝑚 á𝑥=𝐴=12
𝑁𝑚 í 𝑛⇾𝑥=−202(4)
=−52
𝐵=4 ( 254 )+20 (− 5
2 )+28
𝐵=25 −50+28
𝐴−𝐵=9 CLAVE: D𝑁𝑚 í 𝑛=𝐵=3
PROBLEMA N°2:Dados los números
𝑎=24 −2 𝑥𝑏=3 𝑥− 30𝑐=𝑥+18
Si , determine el valor de cuando toma su máximo valor.
De los datos:
Resolución:Se pide el valor de cuando .
𝑎=24 −2 𝑥 ;𝑏=3 𝑥− 30𝑎×𝑏=(24− 2𝑥 ) (3 𝑥−30 )𝑎×𝑏=(2 ) (3 ) (12−𝑥 ) (𝑥−10 )
𝑎×𝑏 (6 ) (12−𝑥 ) (𝑥− 10 )()𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝑂
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟐
¿
𝑐=𝑥+18=29 CLAVE: B
𝟏 𝟏
PROBLEMA N°3:
Un carpintero puede construir sillas a un costo de 20 soles cada una. Si las vende a soles la unidad, se estima que puede vender sillas al mes. ¿Cuál sería la mayor ganancia mensual, en soles, del carpintero?
Se pide la mayor ganancia mensual, en soles.Resolución:
; De los datos:𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝑈𝑛𝑖𝑡=20
Sabemos:𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=𝑉𝑒𝑛𝑡𝑎−𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=(180− 3𝑥 )(𝑥− 20)
𝐺𝑎𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎=3 (60−𝑥) (𝑥− 20 )𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒𝟎
𝟐𝟎 𝟐𝟎
¿𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑜𝑠=180 − 3𝑥
𝐺𝑚𝑎𝑥=3 (20)(20) CLAVE: B¿1200
PROBLEMA N°4:
Cierta compañía ofrece un seminario sobre técnicas de administración. Si la cuota es de S/.60 por persona, asisten al seminario 1000 personas, pero por cada disminución de S/.2 en la cuota asisten 100 personas más. ¿Cuál debe ser la cuota a cobrar para obtener la máxima recaudación posible?
Se pide valor de cuota para .Resolución:
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (60 ) (1000 )
𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (2 ) (100 ) (3 0−𝑥 ) (10+𝑥 )𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒𝟎(𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛)𝑀 Á 𝑋𝐼𝑀𝐴=(2 ) (100 ) (30 −𝑥 ) (10+𝑥 )
2 𝑅𝑒𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑐𝑖ó𝑛= (60−2𝑥 ) (1000+100 𝑥 )
𝐶𝑢𝑜𝑡𝑎=60− 2 (10 ) CLAVE: D
𝑥 𝑥
𝟐𝟎 𝟐𝟎
¿ 40
PROBLEMA N°5:
Indique el máximo valor de .
𝐴= 5×2𝑥+6
1+4𝑥+2𝑥+3 ;𝑥∈ℝ
Se pide el máximo valor de .Resolución:
Dividimos entre
𝐴= 5×2𝑥+6
1+4𝑥+2𝑥+3 ;𝑥∈ℝ
𝐴= 5×26
12𝑥
+2𝑥+23;𝑥∈ℝ
()
𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶=𝟐
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
CLAVE: C
𝐴𝑚á 𝑥𝑖𝑚𝑜=5× 26
2+232
PROBLEMA N°6:
Indique el máximo valor de .
𝐴=30
5+9𝑥+4 × 3𝑥;𝑥 ≥ 0
Se pide el máximo valor de .Resolución:
Completamos cuadrados en
5+9𝑥+4 × 3𝑥
()
𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
CLAVE: B
𝐴=30
5+9𝑥+4 × 3𝑥;𝑥∈ℝ𝐴=
30
5+9𝑥+4 × 3𝑥
9𝑥+4 ×3𝑥+5¿ ( 3𝑥 )2
+4 ×3𝑥+4+1
(3𝑥+2 )2
Reemplazando en 𝐴=
30
(3𝑥+2 )2+1
𝑴 Í 𝑵=𝟏
¿3
Nos piden: El valor de x de modo que el volumen del paralelepípedo sea máximo.
De los datos planteamos:
x+5
8
15-x
Volumen = (x+5)(15-x)(8)
Resolución 07:
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶 𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟐𝟎
𝟏𝟎 𝟏𝟎
CLAVE: A
Nos piden: El área máxima de la región triangular MRQ.
Recuerde que:
SS=
3k3k
3k4k
28-7k
Luego, el área de la región rectangular:
A=(28 - 7K)(3K)
Factorizando se tiene que: A=7(4 - K)(K)3
K=2
A = 7(2)(2)3 = 84
Resolución 08:
𝑴 Á 𝑿𝑴 Á 𝑿
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟒
𝟐𝟐
CLAVE: B
NIVEL INTERMEDIO
Nos piden: La suma del menor valor entero y mayor valor entero de M.
Del dato: >0
Dando forma se tiene que:
Además:
1𝑥+3
<13
17𝑥+3
<173
1+
1 +
M
Resolución 09:
𝑥+3>31 < = 6,66....
Mmín + Mmáx = 2 + 6 = 8
CLAVE: B
¿1+17
3+𝑥
PROBLEMA N°10:El costo de un determinado articulo varia de S/.84 a S/.103. Si se venden (2n) artículos a S/.(3n-5) cada uno y se cumple que el costo mínimo supera a la ganancia mínima, ¿cuál es el máximo numero de artículos vendidos?
Resolución:
[ (3n-5) - (103) ]Del dato:
Lo pedido:
3n < 192
84
CLAVE: C
Nº artículos vendidos = 2n
Además:
Máx.
¿cuál es el máximo número de artículos vendidos?
Pcosto84 ≤ ≤ 103
Si se venden (2n) artículos a S/.(3n-5) cada uno se cumple
GananciaMin. < CostoMin.
n < 642n < 128
= 127
<
Venta - Costomáx< CostoMin.
PROBLEMA N°11:
Se dispone de una cartulina cuadrada de 18cm de lado. Si se desea hacer una caja sin tapa recortando cuadrados de igual tamaño en las esquinas y doblando sus lados, ¿cuál debe ser la longitud del lado de cada cuadrado a recortar para que el volumen de la caja sea máximo?
xxxxV 218218
xxxxV 2)9)(9(2
Del grafico:
Máx
Máx
18
x
x
x
x
x
18 - 2x
18 - 2x
Resolución:De los datos:
18
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟏𝟖
𝟔 𝟔
CLAVE: E
𝟔
18-2x
18-2
x
PROBLEMA N°12:
Resolución:
Máx.
Por propiedad:
Min.
Del dato:
Halle el máximo valor de k, tal que verifique para todo a є R+ ; x є R-{0}la siguiente relación k .x2 ≤ a + x4a
k ≤ a + x4
+ a x2 a
K = 2 Máx.
x + 1 ≥ 2
xSi: x >0
CLAVE: A
= 2
.x2
a + x4
k ≤ .x2 .x2
x2
k ≤
PROBLEMA N°13:
Una hoja de papel debe tener de texto impreso, márgenes superior e inferior de de altura y márgenes laterales de de anchura. Calcule la suma de las longitudes del papel que minimizan su área.
Se pide la suma de longitudes del papel que minimizan su área.
Resolución:
𝟏𝒄𝒎 𝟐𝒄𝒎
𝟏𝒄𝒎𝟐𝒄𝒎
𝑎𝑐𝑚
𝑏𝑐𝑚
(𝑎+2)+(𝑏+4)=?
18𝑐𝑚2
¿ (𝑎+2 ) . (𝑏+4 )
Sabemos: 𝑴 . 𝑨≥𝑴 .𝑮𝟒𝒂+𝟐𝒃
𝟐≥√(𝟒𝒂)(𝟐𝒃)
𝟒𝒂+𝟐𝒃𝟐
≥√𝟏𝟒𝟒𝟒𝒂+𝟐𝒃≥𝟐𝟒
a + b + 6 Clave: D)
= 9 + 6 = 15
¿𝑎𝑏+4 𝑎+2𝑏+8¿ 4𝑎+2𝑏+26
12 12
PROBLEMA N°14:
El área de la región circular es . Calcule el área máxima del rectángulo .
Se pide el área máxima del rectángulo .Resolución:
¿ 42𝜋𝑢2
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
Datos: 𝐴𝑅 .𝐶𝐼𝑅𝐶𝑈𝐿𝐴𝑅=16𝜋𝑢2
→𝑟=4𝑟
𝐴
𝐵 𝐶
𝐷
𝑟
𝑎𝑏
2𝑎𝑐𝑚
2𝑏𝑐𝑚
𝐴𝐴𝐵𝐶𝐷=(2𝑎 ) (2𝑏)Por Teorema de Pitágoras: 𝑎2+𝑏2=𝑟2
𝑎2+𝑏2𝑎2+𝑏2=42
¿ 4 (𝑎𝑏 )
4=32 CLAVE: A
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶2𝑎𝑏
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
≤ 𝑎𝑏
PROBLEMA N°15:
El gráfico muestra una mesa de billar. Si la bola de billar debe realizar el recorrido mostrado hasta llegar al agujero, ¿Cuál es la menor longitud?
Resolución:
3cm 3cm
1cm
4cm
3cm
4cm
CLAVE: BRecorrido = 9 2 cmMinimo
Del gráfico:
NIVEL AVANZADO
PROBLEMA N°16:
Calcule el valor de para el cual la expresión asume su mínimo valor.
𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+2 𝑦2+2 𝑥𝑦𝑧+2 (𝑦− 2𝑥+4 )+𝑥2𝑧 2;
{𝑥 ; 𝑦 ;𝑧 }⊂ℝ
Se pide el valor de para que .Resolución:
CLAVE: C
𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+2 𝑦2+2 𝑥𝑦𝑧+2 (𝑦− 2𝑥+4 )+𝑥2𝑧 2;
{𝑥 ; 𝑦 ;𝑧 }⊂ℝ𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=8+𝑥2+𝑦2+𝑦2+2𝑥𝑦𝑧+2 𝑦− 4 𝑥+8+𝑥2𝑧 2
𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=𝑥2− 4 𝑥+4+𝑦2+2 𝑦+1+𝑥2𝑧 2+2𝑥𝑦𝑧+𝑦2()()( )
(𝑥−2 )2 (𝑦+1 )2 (𝑥𝑧+𝑦 )2𝑀 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 )=+++11¿𝟎
𝑴 Í 𝑵𝑰𝑴𝑶¿𝟎 ¿𝟎
→ ( (2 ) (𝑧 ) −1 )2=0𝑧=1/2
+11
PROBLEMA N°17:Calcule el mínimo valor de , donde ;
𝐸=√𝑦 2+ (6−𝑥 )2+√𝑥2+(8 − 𝑦 )2 .
Se pide el mínimo valor de .Resolución:
𝑥
√ 𝑥 2+ (8−𝑦 ) 2
𝐸=√𝑦 2+ (6−𝑥 )2+√𝑥2+(8 − 𝑦 )2 .
y
(6−𝑥 )
√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2
Gráficamente
𝑥
√ 𝑥 2+ (8−𝑦 ) 2
(6−𝑥 )
√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2
De los gráficos,
6
√ 𝑦 2+ (6−𝑥 ) 2+√𝑥 2
+(8−𝑦 ) 2
CLAVE: C𝐸𝑀 Í 𝑁𝐼𝑀𝑂=10
PROBLEMA N°18:
Se pide el área máxima de la región sombreada.
Resolución:
𝐴𝑅𝑆=(3 𝑥 ) (6−𝑥 )
6
4
2𝑥3 𝑥
6 −𝑥
𝐴𝑅𝑆=3 (𝑥 )(6 −𝑥 )
𝑴 Á 𝑿𝑰𝑴𝑶
𝑺𝑼𝑴𝑨=𝟔
𝟑𝟑𝐴𝑅𝑆=3 (3) (3 ) 27
CLAVE: D
PROBLEMA N°19:
Resolución:De la gráfica:
¿Cuál debe ser la longitud de la escalera?.
Nos piden:
A
B
20π
30π
10𝜋 √13
CLAVE: B𝐿𝑜𝑛𝑔𝑀 Í 𝑁=10𝜋√13
PROBLEMA N°20:
Resolución:De la gráfica:
La suma de las mínimas distancias recorridas.
Nos piden:
8
8Desdoblando:
A B
C
8
4
4
4
4
8
8
2
𝟐√𝟑
𝟒√𝟕
CLAVE: CS 8 +
¡¡…Gracias por la
atención prestada..!!
¡¡…La meta San Marcos esta cerca…!!
¡¡…Sigan estudiando con el mismo empeño y
dedicación…!!
¡¡…Todo depende de ustedes…!!
¡¡…HASTA EL PRÓXIMO CICLO..!!