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Índice

Introducción .................................................................................................... 5

Modulo 1. La investigación del pensamiento estocástico

Unidad 1: La investigación del pensamiento estocástico

Lección 1: Estocástica: Estadística y Probabilidad .....................................

Lección 2: Investigación sobre el aprendizaje de la Estocástica ................

Unidad 2: Investigaciones sobre el desarrollo del pensamiento estocástico

Lección 3: Cultura, Razonamiento y Pensamiento Estadístico .....................

Lección 4: Desarrollo del Pensamiento Estadístico.......................................

Modulo 2. Estocástica en la realidad

Unidad 3: Estocástica, sus aplicaciones y didáctica

Lección 5: Aplicaciones de la Estadística......................................................

Lección 6: Aplicaciones de la Probabilidad....................................................

Lección 7: Aplicaciones de la Estocástica y su Didáctica..............................

Lección 8: Proyectos y enseñanza de la Estocástica ....................................

Modulo 3. Estocástica en el Currículo

Unidad 4: Estocástica en los planes y programas

Lección 9: La Estocástica en los Programas de Estudio ...............................

Lección 10: La Estocástica en Programas de Estudio Internacionales ..........

Unidad 5: La Estocástica y los Materiales Curriculares

Lección 11: La Estocástica y los Materiales Curriculares .............................

Unidad 6: La enseñanza de la estocástica

Lección 12: Diseño de Entornos de Aprendizaje...........................................

Lección 13: Prácticas de Enseñanza en la Escuela .......................................

Anexos .............................................................................................................

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Didáctica de la Estocástica

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Introducción

El volumen que se encuentra en sus manos es el material instruccional de la asignatura Didáctica de la Estocástica. Este es un curso para estudiantes de Edu-cación en la Mención Matemáticas, quienes se desempeñan o desempeñaran, co-mo docentes de Matemáticas de la III Etapa de la Educación Básica, así como de la Educación Media Diversificada y Profesional. La Estadística y la Probabilidad forman parte de los contenidos que debe trabajar un profesor de matemáticas en los niveles educativos antes señalados. De allí que la meta del presente curso sea poner en contacto al estudiante con los principales avances logrados por la inves-tigación en didáctica de la estocástica, con miras a brindarle elementos que le permitan lograr sólidos conocimientos, teóricos y prácticos, sobre la enseñanza de la Estocástica, de manera que sus alumnos aprendan de manera eficaz Proba-bilidad y Estadística.

Este curso es uno de los elementos innovadores del nuevo diseño curricular de la carrera de Educación mención Matemáticas. Hasta donde conocemos, es el pri-mer curso dedicado a la didáctica de la Estadística y la Probabilidad que se dicta en Venezuela, tanto para la formación de profesores para Educación Básica como de Media Diversificada y Profesional.

Una pregunta que debe surgir en este momento es por qué este curso no se denominó Didáctica de la Estadística y la Probabilidad. También ha podido deno-minarse Educación Estadística o Didáctica de la Estadística, entre otras posibilida-des. Internacionalmente uno de las expresiones más utilizadas es Educación Esta-dística, esto se debe en parte a la fuerte influencia que tiene el idioma inglés en el mundo actual, ya que esa expresión usualmente es una traducción de Statisti-cs Education, que se utiliza para señalar el campo que se ocupa de la enseñanza de la estadística y la probabilidad. No obstante, se prefirió servirse de Didáctica de la Estocástica, ya que el término didáctica se utiliza para aludir a aspectos de las prácticas de enseñanza, así como de la investigación de esas prácticas. Mien-tras que el vocablo estocástica se utiliza como abreviatura de las áreas de Esta-dística y Probabilidad. Por lo tanto con Didáctica de la Estocástica se estaría seña-lando de forma resumida al campo que se ocupa de las prácticas de enseñanza de la estadística y la probabilidad, así como también de la investigación de esas prácticas. Sin embargo, en ocasiones se utiliza como forma alterna la expresión Educación Estadística o Didáctica de la Estadística.

Para el cumplimiento de la meta propuesta, se ha estructurado un curso en tres módulos, seis unidades y trece lecciones. En el tratamiento de cada lección se ha incorporado el material más actual del que se disponía para el momento de su elaboración. Se ofrece a los estudiantes de Educación en la Mención Matemáti-cas un conjunto de lecciones que lo pueden ayudar en su labor de enseñar Esto-cástica en la III Etapa de la Educación Básica y en la Educación Media Diversifica-da y Profesional.

Cada lección tiene un tiempo estimado de cuatro horas semanales de estudio. En ese tiempo debe leer en forma detallada el material presentado y realizar las actividades que se presentan. En la medida que trabaje con el material es perti-nente que recurra a su experiencia, como estudiante o docente en ejercicio, de tal manera de comprender mejor los conceptos involucrados en la asignatura. Sin embargo, el trabajo no tiene porque quedar allí. Como estudiante universitario,

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debe complementar lo tratado en este material con otras fuentes, para lograr así otra perspectiva del tema que estudia. Es por ello que este material se acompaña con una Selección de Lecturas, donde encontrará material complementario a va-rias de las lecciones.

Asimismo, usted debería recurrir también a la discusión constructiva con com-pañeros y colegas como posibles fuentes de experiencias y conocimientos. El tra-bajo en grupo bien llevado ayuda a esclarecer dudas y que tanto usted como sus compañeros tengan oportunidad de aprender. Lo importante es que se dedique con seriedad al estudio de la asignatura.

Escribir un material para la enseñanza siempre es un riesgo, más todavía si el material es como en este caso para la educación a distancia y en un área donde se desarrollan actualmente diversas investigaciones alrededor del mundo. Poner por escrito el conjunto de lecciones que conforman este material es un riesgo que asumimos como un paso inicial para el desarrollo de un material más acabado, aunque nunca culminado del todo. Es allí donde los estudiantes, usuarios directos del material, juegan un papel de mucha importancia. Aspiramos que nos hagan llegar por escrito sus comentarios, críticas y/o sugerencias a través de la valija de la universidad o de la dirección electrónica [email protected]. El compromiso es que todas serán consideradas para la elaboración de nuevas versiones de este material, que pueda ser utilizado por los estudiantes que siguen en la carrera.

Profesor Audy Salcedo

Caracas, octubre 2006

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MÓDULO 1La investigación del pensamiento estocástico

Objetivo del Módulo:

Distinguir los principales métodos, problemas y resultados de la investigación en didáctica de la estocástica y sus perspectivas de evolución e implicaciones para su enseñanza.

UNIDAD 1: La investigación del pensamiento estocástico

OBJETIVO DE LA UNIDAD:

Identificar diferentes tendencias en la investigación en didáctica de las matemáti-cas sobre el aprendizaje de la estocástica.

CONTENIDOS:

Teorías e investigación en la enseñanza, aprendizaje y evaluación de la estocásti-ca. Concepciones alternas de los estudiantes en la estocástica. Creencias e inter-pretaciones de la probabilidad y la estadística. Visión estocástica de la realidad. Raza, Género, Injusticia, repitencia, creencias y concepciones.

UNIDAD 2: Investigaciones sobre el desarrollo del pensamiento es-tocástico


Comprender las características de desarrollo del pensamiento estocástico en jó-venes y adolescentes.

CONTENIDOS:

Cultura, Razonamiento y Pensamiento estocástico. Desarrollo y madurez del pen-samiento estocástico del estudiante. Dificultades en el aprendizaje de la estocás-tica.

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Unidad 1Lección 1

Estocástica: Estadística y Probabilidad

En esta lección se trabajan dos conceptos básicos para la Didáctica de la Esto-cástica: la Estadística y la Probabilidad; particularmente, algunas consideraciones sobre lo que se entiende por cada una de ellas. La concepción que se tenga sobre estas dos áreas influirá sobre la forma en que se enfocará su enseñanza y como se evaluará su aprendizaje. Si se entiende la estadística y a la probabilidad como áreas estáticas, donde todo está definido, entonces se enseñará en correspon-dencia a esta concepción. Si se concibe como áreas meramente teóricas enton-ces durante la enseñanza las aplicaciones se quedarán de lado. Siempre la con-cepción que se tenga sobre un área influirá sobre la forma que se enseña, de allí que se comience por lo que se entiende por Estadística y Probabilidad.

Estadística

Si se busca la palabra Estadística en el Diccionario de la Real Academia Espa-ñola se encontrará que proviene del alemán y tres definiciones o acepciones: f. Estudio de los datos cuantitativos de la población, de los recursos naturales e in-dustriales, del tráfico o de cualquier otra manifestación de las sociedades huma-nas. 2. f. Conjunto de estos datos. 3. f. Rama de la matemática que utiliza gran-des conjuntos de datos numéricos para obtener inferencias basadas en el cálculo de probabilidades. Sin embargo, la definición que con mayor frecuencia se puede encontrar en muchos diccionarios es Estadística, rama de las matemáticas que se ocupa de reunir, organizar y analizar datos numéricos. La definición de estadísti-ca es uno de los puntos de discusión permanentes en el seno de esta área.

La palabra estadística, por sí sola, se utiliza en varias formas. Para la mayoría de los ciudadanos, esa palabra está asociada a publicaciones oficiales que reco-gen conjuntos de cifras respecto a un fenómeno en particular, por ejemplo, acci-dentes de tránsito, nacimientos ocurridos, estudiantes por niveles educativos. Pa-ra otros significa un conjunto de datos como los que se pueden encontrar en los medios de comunicación. En este caso realmente se están refiriendo a Estadísti-cas, en plural, es decir, el grupo de datos estadísticos, organizados para mostrar el comportamiento de un fenómeno de interés.

La asociación de la palabra estadística con conjunto de cifras no es gratuita ya que inicialmente se utilizó en ese sentido. Sin embargo, la Estadística es más que la recolección, organización y análisis de datos.

Sánchez – Crespo y Manzano (2 002) indican que una característica de la Esta-dística, a través del tiempo, es la gran cantidad de definiciones que se han escrito sobre lo que debe entenderse por estadística. Estos autores coinciden con M.G. Kendall, quien señala que “la definición de Estadística ha sido una materia que ha dividido a lo largo de la historia a los propios estadísticos. Desde Quetelet, quien

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la consideraba la reina de las ciencias, hasta autores que la definen como una técnica más, al servicio de otras ramas del conocimiento” (p. 6). Ellos indican que W.F. Willcox, en 1935, reunió 115 definiciones de Estadística y aportó una más para sustituirlas. El intento de Willcox al parecer fue fallido, ya que el número de definiciones ha seguido aumentando, incluso Sánchez – Crespo y Manzano apor-tan una definición más:

Ciencia que se ocupa del estudio de fenómenos de tipo genérico, nor-malmente complejos y enmarcados en un universo variable, mediante el empleo de modelos de reducción de la información y de análisis de validación de los resultados en términos de representatividad (p. 10)

Estos autores señalan que, definida de esta forma, se evita la innecesaria dis-cusión sobre si la Estadística es o no una rama de las Matemáticas, a la vez que establece su carácter genérico y su campo de acción en el estudio de fenómenos complejos ubicados en un universo amplio y variable.

Rivas González (1 979) en su definición de estadística plantea otros puntos de discusión sobre lo que es estadística: “... consideramos la estadística, no como una ciencia, sino como un conjunto de métodos, que en lo sucesivo llamaremos Métodos Estadísticos” (p. 4). ¿Es la Estadística una ciencia o un conjunto de méto-dos? ¿Es una rama de la Matemática? Kruskal (1 973) evita considerar estas dis-cusiones y define a la estadística como:

La estadística tiene por objeto el proceso de inferencia, y en particular el planteamiento y análisis de experimentos o encuestas, la naturaleza de los errores de las observaciones y fuentes de variabilidad, que os-curecen los modelos fundamentales, y el resumen eficiente de conjun-tos de datos (p. 391)

Kruskal define a la estadística como una técnica que está interesada no sólo describir los datos, sino también en generalizar lo observado en ellos para un conjunto mayor (la población) del cual fueron seleccionados. En cambio, Moore (1 997) afronta los puntos históricos de discordia y sienta su posición:

La estadística es la ciencia de los datos. Con más precisión, el objeto de la estadística es el razonamiento a partir de datos empíricos. La es-tadística es una disciplina científica autónoma, que tiene sus métodos específicos de razonamiento. Aunque es una ciencia matemática, no es un subcampo de la Matemática. Aunque es una disciplina metodoló-gica, no es una colección de métodos (p. 104).

El punto que presenta Moore es muy interesante. Los datos empíricos, objeto de la estadística según esta definición, son números recolectados con una finali-dad específica en un contexto determinado. Por lo que los números y medidas es-tadísticas que se calculen tienen significado en el contexto donde se les recolec-tó. Para el cálculo de un coeficiente de correlación de Pearson sólo se requiere sumar, multiplicar, dividir, extraer una raíz cuadrada, básicamente aritmética; pe-ro calcular el coeficiente de correlación de Pearson y dar el resultado no es Esta-dística. Estadística era la decisión de calcular ese coeficiente y no otro, de acuer-do con la situación que se analiza y los objetivos del estudio. Estadística es inter-pretar el resultado, analizar su representatividad y validez, sobre la base del con-texto donde se calculó y los resultados logrados en otras oportunidades; con la intención de generar una información.

Batanero (2 001) considera que la definición de Cabria (1994) refleja adecua-damente lo que es la estadística hoy en día:

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La estadística estudia el comportamiento de los fenómenos llamados de colectivo. Está caracterizada por una información acerca de un co-lectivo o universo, lo que constituye su objeto material; un modo pro-pio de razonamiento, el método estadístico, lo que constituye su obje-to formal y unas previsiones de cara al futuro, lo que implica un am-biente de incertidumbre, que constituyen su objeto o causa final (p. 9).

En esta definición destacan varios elementos importantes para la estadística, como lo son: el estudio de fenómenos colectivos, un modo propio de razonamien-to, las previsiones de cara al futuro en situaciones de incertidumbre. Los fenóme-nos colectivos y la incertidumbre son características propias de la sociedad ac-tual, el pensamiento estadístico ayuda a comprender esos fenómenos y a tomar decisiones en ambientes de incertidumbre.

Otro punto que surge al hablar de la definición de la Estadística es lo referente a sus ramas o divisiones. Algunos optan por dividirla en estadística teórica y apli-cada, otros en estadística descriptiva e inferencial, siendo esta última la más clá-sica. La estadística descriptiva tiene como finalidad recolectar, organizar, resumir y analizar los datos de un colectivo, (mediante la utilización de tablas, gráficos y medidas estadísticas) con la finalidad de caracterizarlo y descubrir regularidades en sus elementos. Sólo se desea describir el conjunto de datos. La estadística in-ferencial agrupa a todos aquellos métodos que hacen posible la estimación de una o más características de la población o la toma de decisiones referente a una o más poblaciones. Esto incluye el diseño de experimentos, aspecto que suelen descuidar los investigadores inexpertos. La probabilidad es gran aliado de la esta-dística inferencial, su desarrollo permitió ampliar el alcance de las aplicaciones estadísticas. La probabilidad ayuda a conocer la cantidad de datos necesarios en un estudio de inferencia estadística y a determinar la confiabilidad de las inferen-cias realizadas.

Esta forma de clasificar la estadística pareciera omitir al análisis exploratorio de datos y al análisis multivariante. El análisis exploratorio de datos fue introduci-do por John Tukey y su esencia es la búsqueda de patrones en los datos. Los da-tos se inspeccionan, no para responder preguntas específicas como es la práctica de la inferencia clásica, sino para identificar sus características sin preguntas es-pecíficas. De esta manera el análisis exploratorio precede a la inferencia estadís-tica o análisis confirmatorio.

John Tukey (1915 – 2000) fue un graduado en química que se doctoró en matemática y se convirtió en estadístico debi-do a lo que él llamó la experiencia con los problemas y da-tos reales. Tukey desarrolló el análisis exploratorio de datos diferenciándolo del análisis confirmatorio de datos, pensaba que primero había que indagar “¿qué dicen los datos?” En su libro Exploratory Data Analysis (1977) expone la filosofía de su propuesta, en la cual le da preponderancia gráfica es-tadística. En esa línea invento dos instrumentos importantes de la estadística actual; los diagrama de tallo y hoja (Stem-and-Leaf Diagram) y los de caja y bigote (Box-and-Whisker Plot).

El análisis multivariante, en un sentido amplio, son todos los métodos estadís-ticos que analizan simultáneamente medidas múltiples de cada unidad de análisis de una investigación. Esto significa que cualquier análisis simultáneo de más de dos variables se considera multivariante. Desde el punto de vista teórico, todas

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las técnicas del análisis multivariante actuales fueron desarrolladas hace más de treinta años, sin embargo, debido a los complicados cálculos que ellas conllevan, sólo eran conocidas por un limitado grupo de estadísticos. El desarrollo de la in-formática, tanto en software como en hardware, permitió automatizar los compli-cados cálculos que sustentan al análisis multivariante. Con ello se logró poner a disposición de la mayoría de los investigadores estas importantes técnicas de análisis.

La estadística en la actualidad es un instrumento altamente efectivo para des-cribir y analizar conjuntos de datos, tanto de las ciencias naturales como de las ciencias sociales. Los profesionales de la estadística colaboran con equipos inter-disciplinarios en el diseño de experimentos y el análisis de cantidades o caracte-rísticas cuantitativas, al seleccionar las técnicas apropiadas para un mejor tratamiento e interpretación de los resultados.

Actividad 1.1

Compare y contraste las definiciones de estadística y los comentarios sobre éstas presentados anteriormente. Señale las principales semejanzas y diferencias.

Probabilidad

Al igual que la estadística la probabilidad no parece resumirse en una defini-ción única. La probabilidad inicialmente surge como un conocimiento empírico asociada a los juegos de azar y posteriormente es cuando entra en el mundo de la matemática. Es clásica la referencia a una carta que envía Antoine Gombaud, el Caballero de Meré, a Pascal planteándole algunas preguntas sobre resultados al jugar a los dados. Pascal se interesó en las preguntas y comenzó con Fermat un intercambio de cartas de las cuales se dice dieron origen a elementos básicos de la teoría de la probabilidad.

Sin embargo, ya antes Cardano había escrito su logra El Liber de Ludo Aleae, donde se encuentran las primeras consideraciones razonadas en relación a los juegos de azar, así como una teoría rudimentaria de probabilidad. El libro fue es-crito alrededor de 1 550, sin embargo, no fue publicado hasta 1663. Cardano dio una definición áspera de probabilidad como una proporción de eventos igualmen-te probables: la probabilidad de un resultado particular era la suma de las posi-bles maneras de lograr ese resultado dividido por "el circuito entero", entendien-do este como la totalidad de posibles resultados de un evento.

Alguno de los libros que se publicaron en esa época son: De Ratiociniis en Lu-do Aleae de Christiaan Huygens (1 657), el primer texto en la teoría de probabili-dad publicado, allí se da fundamento matemático a los conceptos de probabili-dad. Ars conjectandi (1713) de Jacques Bernoulli, donde estudia la distribución bi-nominal y su célebre teoría que da para esta distribución la expresión matemáti-ca de la propiedad de estabilidad de las frecuencias relativas. The Doctrine of Chances (1 738) de De Moivre, donde al parecer aparecen las primeras indicacio-nes sobre las distribución normal de probabilidades. Theoríe Analytique des pro-babilités (1812) de Laplace, donde aparece una exposición completa y sistemáti-ca de la teoría matemática de los juegos de azar, además de una gran cantidad de aplicaciones de la teoría de la probabilidad a muchas cuestiones científicas y prácticas. Laplace era un firme creyente en el determinismo y consideraba que la probabilidad sólo existía por nuestra ignorancia. Más tarde Kolmogorov proporcio-

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naría una axiomática satisfactoria para sustentar la teoría de las probabilidades, sin embargo, queda pendiente un problema.

Probabilidad Clásica

La definición clásica indica que la probabilidad de ocurrencia de un evento se define como el cociente de la división del número de resultados favorables a un evento entre el total de resultados posibles.

Los créditos de haber escrito la llamada definición clásica de probabilidad se le otorgan a Laplace, quien indicó: Si todos los resultados del experimentos pueden ser considerados equiprobables, se define la probabilidad de un evento A (P(A)) como el cociente entre el número de elementos de A y el número total de ele-mentos del espacio muestral. Sin embargo, algunos historiadores afirman que es-ta definición ya había sido mencionada por Leibniz en 1 678 y Jacques Bernoulli en 1 705.

Un supuesto básico para la aplicación de la definición clásica de probabilidad es la de eventos equiprobables: cada uno de los resultados posibles del experi-mento aleatorio debe ser igualmente posible. Esta condición indispensable para la utilización de la definición clásica, es también una limitante para su utilización.

La definición clásica es adecuada cuando se utiliza en juegos de azar como por ejemplo ruletas normales, monedas no alteradas o dados no cargados, ya que en estos casos se puede calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento sin ne-cesidad de realizar el experimento aleatorio. No obstante, no es útil cuando se habla de la probabilidad de que llueva el 22 de julio de este año o cuál es la pro-babilidad de que ocurra un accidente aéreo, ya que la probabilidad clásica supo-ne una especie de simetría en el mundo.

A pesar de las limitaciones de esta definición, es la que se presenta con mayor frecuencia a los estudiantes de Educación Básica y Media.

Probabilidad Frecuencial

Con esta definición se determina qué tan frecuentemente ha ocurrido en el pa-sado el evento de interés y se utiliza esa información para predecir la probabili-dad de que suceda en el futuro. Es por ello que la probabilidad frecuencial se de-fine como la frecuencia relativa observada de un evento durante un gran número de intentos.

También se define como el cociente de la división entre el número de veces que ha ocurrido un evento en un período determinado entre en número total de ensayos realizados. Es evidente que un supuesto de esta definición es que los fe-nómenos aleatorios considerados son repetibles. Esto significa que la probabili-dad de un evento cambia al realizar un nuevo ensayo, por lo tanto el número que se obtiene como probabilidad será más preciso en la medida que aumentan los ensayos realizados. Es por ello que también se define como el límite de una razón entre el número de veces que se registró ese resultado y el número total de ob-servaciones repetidas.

Esta definición se utiliza desde hace muchos años, especialmente para deter-minar las probabilidades de ocurrencia nacimientos, defunciones, accidentes, etc. Este cálculo orienta sobre las primas que deben cobrar los seguros.

Probabilidad Subjetiva

La probabilidad subjetiva está basada en la creencia que tiene una persona so-bre la posibilidad de ocurrencia de un evento. Se define como la probabilidad

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asignada a un evento por parte de un individuo, basada en la evidencia que se tenga disponible. La evidencia depende de la persona puede ser simplemente una creencia del individuo o los datos que dispone sobre la ocurrencia del evento en el pasado, de allí su denominación como subjetiva.

Para algunos se trata de una relación cuasi lógica, donde se establece una aso-ciación entre el evento y la evidencia de que dispone la persona; el valor numéri-co que proporciona la persona representa el grado de creencia sobre la posible ocurrencia del evento. La probabilidad subjetiva es juicio individual y por tanto di-ferente al cambiar de individuo, siempre y cuando tengan distintos grados de creencia sobre los posibles resultados; todos se consideran válidos.

La definición clásica y la frecuentista parten de la posibilidad de repetición del experimento aleatorio, pero en ocasiones las situaciones se presentan sólo una vez o un número reducido de ocasiones. En esos casos algunas personas hacen uso de la probabilidad subjetiva, las decisiones se toman con base a la evidencia disponible y la visión personal de quien hace el juicio. Muchas decisiones de tipo política, social, económica, administrativa se toman haciendo uso de la probabili-dad subjetiva, al encontrarse antes situaciones que se presentan por primera vez. La decisión simplemente expresa el grado de creencia o confianza individual so-bre la verosimilitud relativa de que ocurra un evento incierto, representa las “apuestas” que se hacen sobre la concurrencia de ese evento.

Los matemáticos y estadísticos parecen estar de acuerdo en los aspectos refe-rentes al cálculo de probabilidades, sobre todo después de los planeamientos de Kolmogorov, el problema, como indica Matalón, es a qué se le calcula esa proba-bilidad. Matalón (citado por Serrano 1996) expresa: de modo más o menos explí-cito, todos los teóricos admiten que el cálculo de probabilidades formaliza algo que, en cierto sentido “existe” en todas partes; las divergencias se, refieren a la naturaleza de ese “algo”, el cual estaría representado a través de la probabilidad matemática. El problema que plantea este autor tiene que ver con cuáles fenó-menos se consideran o no aleatorios, lo cual a su vez está relacionado con la no-ción de aleatoriedad.

Actividad 1.2

1. Compare y contraste las definiciones de probabilidad presentados anterior-mente. Señale las principales semejanzas y diferencias.

2. Mendenhall, Beaver y Beaver (2 002) señalan “la probabilidad de un even-to A es una medición de nuestra creencia en que ocurrirá el evento A. Una manera práctica de interpretar esta medición es con el concepto de fre-cuencia relativa” (p.123). Con este planteamiento, los autores parecen in-dicar que toda probabilidad es subjetiva. ¿Esta usted de acuerdo con ese planteamiento? Argumente su respuesta

3. Lea el artículo La aleatoriedad, sus significados e implicaciones educativas de Batanero y Serrano (UNO, 5, 15-28). Sobre la base de la lectura indique si modificaría su práctica como docente al tratar los temas de aleatoriedad y probabilidad. Argumente su respuesta.

Referencias

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Batanero, C. (2 001). Didáctica de la Estadística. Granada: Grupo de Investigación en Educación Estadística, Departamento de Didáctica de la Matemática, Universidad de Granada

Batanero, C. y Serrano, L. (1 995). La aleatoriedad, sus significados e implicacio-nes educativas. UNO: Revista de Didáctica de las Matemáticas, 25, 15 – 28

Kruskal, W. H. (1 973). Estadística. En: D. L. Sills (Ed.) Enciclopedia Internacional de las Ciencias Sociales. (pp. 390 – 403). México: Aguilar.

Mendenhall, Beaver y Beaver (2 002) Introducción a la Probabilidad y la Estadísti-ca. México: Thomson

Moore, D. (1 997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics. Inter-national Statistical Review, 65, 123 – 165.

Rivas González, E. (1 979). Estadística General. Caracas: Ediciones de la UCV

Sánchez-Crespo B., G y Manzano A., V. (2 002). Sobre la definición de Estadística. Hipótesis Alternativa. Boletín de IASE para España, México y Venezuela. Vol. 3 Nº 2. Disponible en: http://www.ugr.es/~iase/Hipotesis.htm

Serrano, L. (1996). Significados institucionales y personales de objetos matemáti-cos ligados a la aproximación frecuencial de la enseñanza de la probabili-dad. Tesis Doctoral. Granada: Universidad de Granada.

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Unidad 1Lección 2

Investigación sobre el aprendizaje de la Estocásti-ca

Esta lección está dedicada al estudio de algunos de los resultados más impor-tantes de la investigación respecto al aprendizaje de la estocástica. La investiga-ción, como en otras áreas del saber humano, es esencial para el desarrollo de la didáctica de la estocástica. Afortunadamente, esa investigación ha crecido en cantidad y calidad en los últimos años en diferentes partes del mundo. En la me-dida que se la ha dado mayor énfasis a la estocástica en los distintos niveles edu-cativos, también ha crecido el interés por investigar sobre la enseñanza, aprendi-zaje y evaluación de la estadística y la probabilidad.

Batanero (2002) indica inicialmente la investigación era muy dispersa, pero que se ha consolidado con el tiempo, particularmente porque los investigadores han tomado conciencia de la importancia de intercambio académico con sus pa-res. Este intercambio se logra a través de las publicaciones (Journal for Research in Mathematics Education, Educational Studies in Mathematics, Teaching Statisti-cs, Journal of Statistics Education, Statistics Education Research Newslette), la participación en eventos (International Conference on Teaching Statistics - ICOTS, International Congress on Mathematics Education - ICME, European Research in Mathematics Education Conference – CERME) y la adscripción a asociaciones pro-fesionales (International Association for Statistics Education – IASE, American Sta-tistical Association – ASA, Royal Statistical Society – RSS). Todos estos son meca-nismos dan impulso y difusión a la investigación que se desarrolla alrededor de la Educación Estadística.

Es muy variada la gama de investigaciones que se realizan en educación esta-dística para conocer cómo se comprenden los conceptos de estadística y probabi-lidad. Una parte importante de las investigaciones se centran en las concepciones o intuiciones elementales, las concepciones erróneas o las falacias en el pensa-miento tanto del profesor como del estudiante. Algunos de los resultados más im-portantes en este aspecto se resumen a continuación.

Problemas en el análisis de los datos estadísticos

Los errores y dificultades que manifiestan los estudiantes en relación con la es-tadística son bastante variados, en este apartado se comentan algunos de ellos. Se han seleccionado algunos tópicos de acuerdo con su relevancia para la esta-dística y para brindar una visión amplia del problema tratado.

Gráficos

Las representaciones gráficas son fundamentales en estadística, además, es la forma más común y conveniente de presentar los datos recolectados, de tal ma-nera que sea compresible para un público heterogéneo. La constante aparición

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de gráficos en los medios de comunicación exige que el ciudadano sea capaz de leer e interpretar correctamente la información allí presentada, así como valorar la evidencia presentada. Batanero (2 001) indica que, en ocasiones, los profeso-res suponen que la elaboración de tablas y gráficos es muy sencilla, por lo que dedican poco tiempo a su enseñanza. De igual manera, la Estadística auspicia el desarrollo del pensamiento crítico, basado en la valoración de la evidencia pre-sentada.

Curcio (1 989, citado por Batanero 2 001) indica que los estudiantes suelen quedarse en la lectura de los gráficos. Este autor distingue cuatro niveles diferen-tes en la comprensión de los gráficos: (a) Lectura del gráfico (leer los datos). Se requiere una lectura literal del gráfico; no se realiza interpretación de la informa-ción contenida de éste. Es el nivel más básico, está referido a la comprensión de los elementos del gráfico. (b) Interpretar los datos (leer dentro de los datos), in-terpretación e integración de los datos en el gráfico, comparar cantidades y el uso de otros conceptos y destrezas Matemáticas. (c) Hacer inferencia (leer más allá de los datos), realizar predicciones e inferencias a partir de los datos, extraer información que no se refleja directamente en el gráfico. Requiere del conoci-miento del contexto donde se extraen los datos. (d) Valorar los datos (leer detrás de los datos), evaluar la confiabilidad y completitud de los datos; cómo hacer un juicio sobre si realmente las preguntas de la encuesta miden la práctica de depor-te o cómo podríamos medirlo de una forma más fiable. Curcio indica que los estu-diantes presentan dificultades en los niveles interpretación de los datos, hacer in-ferencia y valorar los datos, aunque en general ellas disminuyen con el proceso de formación.

Al construir un gráfico, los estudiantes incurren en errores como: (a) elección de las escalas de representación poco adecuadas para el objetivo que se preten-de, (b) omitir las escalas en alguno de los ejes horizontal o vertical, o en ambos, (c) no especificar el origen de coordenadas. Algunas personas seleccionan los gráficos sin considerar las características de las variables que desean represen-tar, utilizan gráficos reservados a variables cuantitativas para representar varia-bles cualitativas o viceversa. Por ejemplo, utilizan un polígono de frecuencia con variables cualitativas o un diagrama de barras para representar la evolución del índice de producción industrial a lo largo de una serie de años. Este problema pa-rece agravarse con la utilización de programas de computación que permiten la realización de gráficos. Muchos alumnos seleccionan el gráfico por su “valor esté-tico”, más que por las características de la variable, la audiencia a la que va diri-gida u otros factores. Li y Shen (citado por Shaughnessy 1992)

Actividad 2.1

Un presentador de TV mostró este gráfico y dijo: "El gráfico muestra que hay un enorme aumento del número de robos comparando 1998 con 1999".

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¿Consideras que la afirmación del presentador es una interpretación razonable del gráfico? Argumenta tu respuesta.

Fuente: PISA 2003

La media aritmética

Algunas investigaciones presentan evidencias sobre dificultades, que tienen estudiantes universitarios, respecto a la media, tanto conceptuales como procedi-mentales. Para Pollatsek, Lima y Well (1981) un porcentaje importante de los es-tudiantes universitarios tiene dificultades para entender la necesidad de ponderar los datos mediante el cálculo de la media. Las evidencias indican que, para mu-chos estudiantes, enfrentarse a la media es más un acto de cálculo que concep-tual. Otros estudiantes universitarios atribuyen propiedades inexistentes a la ope-ración de hallar la media aritmética, como la asociatividad, clausura a las opera-ciones de cálculo de medias, existencia de elemento neutro y elemento inverso. Por ejemplo, pensaban que era posible “promediar promedios” (clausura) simple-mente hallando la sumatoria de los promedios y dividiendo entre el número de ellos (Mevarech, 1983).

Algunos estudiantes universitarios confunden la media con la moda y la media-na, ya que al preguntarles por el significado de la expresión “el salario medio de un empleado es 3 600 dólares” ofrecieron como respuesta: “la mayoría de los empleados gana alrededor de 3 600 dólares”, o “es el salario central; los otros trabajadores ganan más o menos de 3 600 dólares” (Eisenbach, citado por Bata-nero 2 001). Los significados incorrectos atribuidos a la media pueden clasificarse en cuatro categorías: valor más frecuente (confusión con la moda), valor razona-ble (significado coloquial), punto medio (confusión con la mediana) y algoritmo (la media vista únicamente como el algoritmo de cálculo) (Russell y Mokros, citados por Batanero 2 001).

Una investigación realizada con docentes en formación muestra la existencia de errores conceptuales y dificultad de aplicación práctica de los conocimientos sobre los promedios. Estas fallas pueden deberse a que la enseñanza de los pro-medios, habitualmente, se centra en la presentación de los algoritmos, fórmulas y muy poca aplicación, considerándola sólo en casos “típicos”. Se le otorga poca importancia a la interpretación de los resultados, y la reflexión sobre las condicio-nes de aplicación de los procedimientos estadísticos, lo cual no permite a los

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alumnos comprender el significado integral del concepto (Batanero, Godino y Na-vas, 1 997).

Correlación y regresión

Al parecer los estudiantes universitarios tienen escasa capacidad para estimar la correlación, salvo cuando ésta es muy fuerte y está de acuerdo con sus teorías previas. Cuando las teorías previas contradicen los datos presentados, aparece la correlación ilusoria. Se denomina correlación ilusoria “cuando percibimos que existe una correlación basándonos en nuestras propias teorías, pero no existe ningún hecho empírico que las sustente” (Murphy y Medin, 1985, citado por Este-pa y Batanero, 1995). Existen cuatro concepciones sobre la asociación estadística fuertemente arraigadas en los estudiantes: (a) Concepción determinista de la asociación: cuando el estudiante sólo admite un relación uno a uno entre los valo-res de la variable independiente y los de la variable dependiente. Ellos conside-ran que para un valor de la variable independiente, sólo debe existir un valor de la variable dependiente. (b) Concepción unidireccional de la asociación: cuando el estudiante únicamente considera la existencia de asociación cuando es positiva, la asociación negativa es considerada como independencia. (c) Concepción local de la asociación: cuando el estudiante realiza el juicio de asociación basándose en parte de los datos presentados y no en todos; si la parte de los datos conside-rada presenta un tipo de asociación, adopta este tipo para todo el conjunto de da-tos. (d) Concepción causal de la asociación: cuando el estudiante exige la exis-tencia de relación causal para afirmar la existencia de asociación. Algunas de es-tas concepciones parecer ser resistentes al cambio, incluso después de la instruc-ción. Es importante destacar que algunas de las concepciones erróneas de los es-tudiantes podrían tener su origen en los libros de texto. (Batanero, Estepa, Go-dino y Green, 1996 y Estepa y Batanero, 1995).

Algunos estudiantes universitarios tienen dificultades al calcular el coeficiente de correlación, así como en el cálculo de la recta de regresión. Asimismo, tienen dificultades para relacionar conceptos analíticos con conceptos estadísticos, inter-pretar correctamente los valores que definen a la ecuación de la recta de regre-sión, el corte de la recta con el eje de ordenadas o la recta de regresión pasa por el punto definido por las dos medias. Todo esto trae como consecuencia la dismi-nución de la capacidad de utilizar la recta de regresión con eficacia. También pre-sentan confusiones entre el sentido y la intensidad de la correlación y entre la va-riable dependiente e independiente. Son dificultades importantes a tener en cuenta en la planificación de la enseñanza.

Muchos de estos resultados reseñados necesitan ser investigados en diferen-tes ámbitos y con más profundidad; sin embargo, pueden considerarse como indi-cios de lo complejo que puede ser para los estudiantes este tema y la necesidad de investigar.

Teorema del límite central

El teorema del límite central establece que, en condiciones muy generales, las medias de muestras aleatorias de mediciones extraídas de una población tienden a poseer una distribución aproximadamente normal. Además, el teorema estable-ce que la media de la distribución muestral de medias es igual a la media de la población muestreada y que la varianza de la distribución muestral es menor que la de la población. En la medida que se consideran tamaños de muestra mayor, la distribución muestral de medias se aproxima más a la normal y su dispersión se hace menor.

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Este teorema es fundamental para la estadística inferencial, ya que brinda sus-tento teórico que evita tener que extraer infinitas muestras para el estudio de la población. Méndez (1 991 citados por Batanero 2 001) define dos niveles de com-prensión de este importante teorema: (1) las habilidades y conocimientos que permiten resolver los ejercicios tipo presentados en los libros de texto, (2) capaci-dad de aplicación a situaciones reales. Al estudiar el nivel de comprensión de es-te teorema en estudiantes universitarios, este autor encontró que sólo alguno de los estudiantes de la muestra se ubica en el nivel dos. En general la comprensión se limita casi exclusivamente al nivel uno. Muy pocos estudiantes son capaces de dar una explicación intuitiva de su significado o aplicarlo a casos reales.

Formulación de hipótesis y sus pruebas

La formulación de hipótesis es un proceso primordial en la inferencia estadísti-ca y en la que normalmente los estudiantes tienen serias dificultades. Un error muy común es formular las hipótesis a partir de los estadísticos, y no con relación a los parámetros. Este error puede deberse a la falta de familiaridad con la nota-ción, pero también puede tener su origen en la incomprensión del sentido infe-rencial de la prueba de hipótesis. Los estudiantes también confunden los paráme-tros con las variables dependientes del problema, no logran plantear las hipótesis a partir de las expresiones verbales del problema planteado (traducción a expre-siones matemáticas) o no logran establecer relaciones entre las hipótesis formu-ladas y la unilateralidad o bilateralidad de la prueba.

La falta de comprensión de los estudiantes (y no pocos investigadores) de la lógica del contraste puede tener razones epistemológicas. Lo que hoy común-mente se denomina contraste de hipótesis tiene tres posiciones fundamentales: la de Fisher, la de Neyman – Pearson y la de Bayes. Para Fisher, la prueba es de significación y se utiliza para confrontar una hipótesis nula con las observaciones. Las observaciones sólo permiten rechazar la hipótesis, nunca confirmarla. Un con-cepto fundamental es el valor p, el cual indica la fuerza de la evidencia contra la hipótesis.

Para Neyman – Pearson, la prueba es un contraste entre dos hipótesis: la nula y la alternativa. Es una regla de conducta inductiva, es un instrumento para la to-ma de decisiones. A partir de una hipótesis que se supone cierta, se calculan las probabilidades de las muestras particulares. Aceptar una hipótesis sólo significa decidir realizar una acción en lugar de otra, y no implica que uno necesariamente crea que la hipótesis es cierta.

La posición bayesiana admite la probabilidad subjetiva, la asignación de proba-bilidad de acuerdo con el conocimiento que se tenga del problema en estudio. Permite calcular una probabilidad a posteriori, en función de la información obte-nida, por lo que aparentemente constituye una solución al cálculo inductivo de la probabilidad de una hipótesis.

A pesar de las diferencias existentes entre las tres escuelas, en la actualidad algunos profesores y libros de texto presentan los contrastes estadísticos con ele-mentos de todas ellas. De Fisher, se mantiene: (a) la inferencia se basa en una probabilidad condicional; (b) la probabilidad de obtener los datos suponiendo que H0 es cierta, (c) que H0 y H1 son mutuamente excluyentes y complementarias. De Neyman – Pearson se toma que H0 es la hipótesis de no diferencia, que el ni-vel de significación debe escogerse antes de analizar los datos y debe mante-nerse constante, así como los dos tipos de error. De Bayer, algunos investigado-res toman la forma de interpretar los resultados (Batanero, 2 001).

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Todo esto contribuye para que los estudiantes no logren comprender la com-plejidad de la lógica de las pruebas de hipótesis, por lo cual buscan mecanismos para simplificar el proceso y mecanizarlo. Por ello, sólo logran una comprensión procedimental de las pruebas y tienen muchas dificultades para aplicar estas téc-nicas en situaciones concretas en la realidad.

Nivel de significación

El nivel de significación () es un concepto clave para el contraste de hipótesis, y se define como “la probabilidad de rechazar una hipótesis nula, en el caso de ser cierta”, que se resume matemáticamente como: = P (Rechazar H0 H0 cier-ta). Esto es una probabilidad condicional que significa, por ejemplo, que cuando = 5%, que, en promedio, 5 de cada 100 veces en que la hipótesis nula sea cierta, será rechazada.

Estudiantes universitarios, con una buena preparación estadística y compren-sión de la idea de probabilidad condicional, presentan errores en la interpretación del nivel de significación. Ellos consideran que un nivel de significación del 5% se interpreta como “que, en promedio, 5 de cada 100 veces que rechacemos la hi-pótesis nula, estaremos equivocados”. Al parecer, en estos estudiantes predomi-na la concepción del contraste como prueba probabilística de la hipótesis, que los lleva a comprender el nivel de significación como la probabilidad a posteriori de la hipótesis nula. Es por ello que lo comprenden como P (H0 sea cierta │ H0 ha si-do rechazada), donde los sucesos de la probabilidad condicional aparecen inter-cambiados. Otra posible causa se puede encontrar en la definición del nivel de significación como la “probabilidad de cometer un error de tipo I”, expresión que comúnmente se encuentra en los libros, pero que no indica explícitamente que se trata de una probabilidad condicional. Los estudiantes de la muestra, además, re-velaron falta de comprensión de las relaciones existentes entre el nivel de signifi-cación y otros elementos del contraste de hipótesis como la distribución del esta-dístico y las regiones de rechazo y no rechazo (Falk, 1 986; Vallecillos y Batanero, 1 996).

Valor p

Este es un concepto que proviene de las pruebas de significación de Fisher y la idea es usarlo como un elemento de la fuerza probatoria de los datos contra la hi-pótesis nula. En la medida que en p es menor, mayor es la evidencia en contra de H0. No hay una norma que indique cuán pequeño debe ser el valor p para que el resultado sea estadísticamente significativo. Para Fisher, este valor es arbitrario y debe estar ligado a la situación que se evalúa, no obstante, considera que un buen valor para comparar con p es 0,05. El valor p es el máximo admisible para considerar los datos como significativos. Fisher indica que la comparación con el valor p lleva a dos posibles decisiones: rechazar la hipótesis nula o reservarse el juicio por falta de evidencia.

Con frecuencia, se interpreta el valor p como la probabilidad de que la hipóte-sis nula sea cierta, por lo tanto, un resultado significativo debe comprenderse co-mo que es muy improbable que H0 sea cierta. Otra interpretación errónea del va-lor p es considerarlo como indicador de la probabilidad de que el resultado obte-nido se deba al azar. Cohen (1 994) indica que la mayoría de las personas desea responder a la pregunta “dados estos datos, ¿cuál es la probabilidad que H0 sea cierta?” Esto es diferente a la pregunta central de este proceso: “si H0 es cierta, ¿cuál es la probabilidad de que estos datos sean extremos?”.

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La mayoría de los programas estadísticos presentan el valor p como índice de juicio en el resumen de los contrastes de hipótesis, lo cual ha contribuido a la di-fusión y utilización de p como elementos de decisión en el contraste estadístico. No obstante, el uso de los programas unidos a una comprensión deficiente de la probabilidad, así como la presencia de sesgos en su interpretación, estará ayu-dando a generar explicaciones erróneas como las señaladas. La interpretación in-correcta de la probabilidad puede ser una fuente de error en la comprensión del valor p.

Diferentes autores (Cohen, 1 990, 1 994, Thompson, 1 996, Robinson y Levin, 1 997, Wilkinson, 1 999, Cahan, 2 000, Levin y Robinson, 2 000, Krueger, 2 001, Fan, 2 001, Guenther, 2 002, Markus, 2 002, Thompson, 2 002) han realizado se-ñalamientos con relación al uso inapropiado que hacen algunos investigadores de la estadística en sus trabajos. La American Psychological Association (APA) con-formó el Task Force on Statistical Inference (TFSI), un comité para el estudio del problema del uso de la estadística en sus publicaciones. Los acuerdos del comité TFSI fueron presentados por Wilkinson (1 999) en el artículo Statistical methods in psychology journals: Guidelines and explanations, con recomendaciones específi-cas sobre el uso de la estadística en la elaboración de artículos sobre investiga-ciones, que podrían ser enviados a las publicaciones de la APA. Asimismo, algu-nas revistas especializadas han realizado cambios en su política editorial. En ellas se sugiere a los investigadores no centrar su trabajo exclusivamente en el contraste de hipótesis y les recomienda reportar también el tamaño de los efec-tos, los intervalos de confianza y los valores p exactos, así como reforzar la inter-pretación y el análisis de resultados con el uso de gráficos (Wilkinson, 1999, Thompson, 2002).

Actividad 2.2

1. Considere el siguiente enunciado: Hay 10 personas en un ascensor, 4 mu-jeres y 6 hombres. El peso medio de las mujeres es de 58 kgs y el de los hombres de 72. ¿Cuál es el peso medio de las 10 personas del ascensor? Resuélvalo. Proponga el problema a tres docentes que dicten clases de matemática en I o II etapa de Educación Básica. Propóngaselo también a tres docentes de matemática de III etapa de Educación Básica o Educación Media. Solicíteles que registren sus respuestas por escrito (una hoja para cada uno). Analice las respuestas proporcionadas por los docentes. Esta-blezca si hay diferencia entre los dos grupos de docentes. Elabore un breve informe con los resultados.

2. Lea el artículo Significado y comprensión de las medidas de posición cen-tral de Batanero (UNO, 2000, 25, 41-58). Sobre la base de la lectura indi-que si modificaría su práctica como docente al tratar las medidas de posi-ción central. Argumente su respuesta.

Dificultades en la comprensión de la probabilidad

A los razonamientos incorrectos respecto a situaciones probabilísticas se les conoce en la literatura especializada como sesgos en la interpretación de la pro-babilidad, se entiende por esto el conjunto de respuestas incorrectas que tienen un origen similar. Algunos sesgos son producto de la aplicación de heurísticas pa-ra la solución de situaciones probabilísticas. Pérez Echeverría (1 990, citada por Serrano, 1 996) define a las heurísticas como “mecanismos por los que reducimos la incertidumbre que produce nuestra limitación para enfrentarnos a la compleji-dad de estímulos ambientales”. Las heurísticas pueden ser muy útiles, pero su

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uso inapropiado en probabilidad puede generar errores de razonamiento probabi-lístico. Las heurísticas más comunes identificadas en las investigaciones son la representatividad y la disponibilidad. Las heurísticas de la representatividad y la disponibilidad le permiten al sujeto resumir cantidades grandes de información y ofrecer rápidamente una conclusión; aunque a menudo también da lugar a ideas falsas, particularmente con relación a la probabilidad. Shaugnessy (1 992) indica que las investigaciones realizadas en los últimos veinte años han encontrado constantes evidencias que apoyan el uso de estas heurísticas. A continuación se presentan los sesgos de mayor importancia que reporta la investigación.

Representatividad

Las personas que aplican la heurística de la representatividad estiman la pro-babilidad de un evento considerando hasta qué punto un resultado representa al-gún aspecto de la población considerada. Las preguntas que parecen plantearse quienes utilizan esta heurística son como las siguientes: ¿qué probabilidad tiene el objeto X de pertenecer a los objetos de tipo Y? ¿Cuál es la probabilidad que un evento X se produzca luego del evento Y? ¿Cuál es la probabilidad de que un evento Y produzca un suceso X? Preguntas de este tipo permiten evaluar a los su-jetos si X es representativo de Y. Si X es muy parecido a Y, (X es representativo de Y) entonces la probabilidad de que X se derive de Y es muy alta. Si al contra-rio, X es poco parecido a Y, entonces, se le considera poco representativo y, por lo tanto, la probabilidad de que X provenga de Y será considerada baja. La repre-sentatividad se manifiesta de las siguientes formas:

Falacia del apostador o efecto negativo de presencia reciente. Al lanzar varias veces una moneda y presentarse una seguidilla de caras, algunos sujetos creen que aumentan las posibilidades de que en el próximo lanzamiento salga un sello. Esto se conoce como la falacia del jugador o el efecto negativo de presencia re-ciente. Según esta falacia, luego de una corrida o seguidilla de resultados iguales en un experimento aleatorio, lo más seguro es que en el próximo intento se ob-tenga un resultado diferente. Esa interrupción de la seguidilla ayudará a que se produzca una sucesión más representativa de la totalidad de resultados posibles del experimento aleatorio. Que la seguidilla continúe en el próximo lanzamiento es menos probable, ya que se hilaría una secuencia menos representativa de la totalidad de resultados posibles. De acuerdo con esto, cada desviación de resulta-dos en una dirección va seguida por un desequilibrio semejante, pero de direc-ción opuesta para restaurar el equilibrio “lógico”, sin dar mayor importancia al número de ensayos realizados (Kahneman y Tversky, 1 972). Quienes así razonan desestiman el denominado teorema de Bernoulli conocido corrientemente como la ley de los grandes números. Bernulli indica que cuando la probabilidad de ocu-rrencia de un evento p es desconocida, se puede lograr una buena estimación de p al hallar la proporción de éxitos en un número grande de ensayos. La probabili-dad estimada (x/N) y la verdadera probabilidad de p pueden diferir en algo, pero esa diferencia disminuye al aumentar el número de ensayos.

Falacia del índice base. Sacrificio de la información probabilística, sobre la po-sible ocurrencia de un fenómeno, en beneficio de información cualitativa por la supuesta representatividad de ésta. Por ejemplo, a un grupo de sujetos se le indi-ca que una población conformada por un 30% de ingenieros y 70% de abogados, y de ella se extrae una persona al azar con las siguientes características: hombre, de 45 años, conservador, ambicioso y no está interesado en la política. Luego se les pregunta: ¿lo más probable es que la persona descrita sea abogado o ingenie-ro? Las respuestas abrumadoramente indican que se trata de un ingeniero.

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La razón es que la descripción parece ser “más representativa” de un estereo-tipo de ingeniero. Las personas que así responden parecen confiar más en las descripciones y desprecian la información de índice de base. En este caso, el 70% del grupo es abogado, mientras que el 30% es ingeniero, por lo que podría espe-rarse que al seleccionar una persona al azar lo más probable es que sea abogado. Sin embargo, pereciera que la descripción es un mejor indicador, creen que se trata de una representación precisa de los atributos de una parte de la población y menosprecian la información cuantitativa confiable de los índices de base, las cuales no parecen tener mucho efecto sobre sus predicciones en cuanto a la ocu-pación de la persona.

Insensibilidad al tamaño de la muestra. Es la confianza excesiva en la muestra, siempre que el estadístico sea similar al valor considerado como parámetro, sin considerar la cantidad de elementos que la conforma. Las personas que presen-tan este sesgo consideran, por ejemplo, que obtener 7 caras al lanzar 10 veces una moneda equivale a obtener 70 caras luego de 100 lanzamientos de la mone-da. Para ellos, no hay diferencias entre la posibilidad de obtener 2 caras en 3 lan-zamientos de una moneda, ó 20 de 30 lanzamientos de la misma moneda ó 200 de 300 lanzamientos. Ellos confían, en forma impropia, en las pequeñas mues-tras; suponen que cada serie de repeticiones de un experimento aleatorio debe reproducir todas las características de la población, sin importar qué tan limitadas sean dichas series. Estos sujetos les asignan la misma probabilidad de ocurrencia a una media de altura mayor de 180 cm, para muestras de 1000, 100 y 10 hom-bres. Todo parece indicar que la similitud entre una medida tomada en una mues-tra (estadístico) y una medida tomada en la población (parámetro) no depende de la cantidad de elementos que se consideren. Por lo tanto, cuando las probabili-dades son evaluadas por representatividad, el valor de un estadístico es indepen-diente del tamaño de la muestra. Existe poco aprecio por los estudios de la varia-bilidad del muestreo o se desconocen (Tversky y Kahneman, 1 974).

Conceptos erróneos sobre secuencias aleatorias. Algunas personas consideran que si una familia tiene seis hijos, lo más probable es que los nacimientos ocurran en la secuencia HMHMHM donde H indica hombre y M mujer. Ellos estiman que esa secuencia es más probable que otras como HHHHMH o HHHMMM, ya que se creen que HMHMHM parece representativa de la distribución 50 – 50 de mujeres y hombres; que se supone ocurre en la población. Por esa misma razón, estas personas descartan la posibilidad de ocurrencia de consideran que la secuencia MMMHHH. Las personas que así razonan esperan que las sucesiones de eventos aleatorios representen siempre las características esenciales de ese evento, sin importar qué tan larga es la sucesión examinada. Ellos parecen ignorar que, des-de un punto de vista normativo, las 64 secuencias tienen la misma probabilidad de ocurrir. (Kahneman y Tversky, 1 972, Tversky y Kahneman 1 974).

Disponibilidad

También es llamado sesgo de la imaginación. Cuando la persona estima la pro-babilidad de un evento, de acuerdo con la facilidad o disponibilidad para construir ejemplos de ese acontecimiento, se considera que emplean la heurística de la disponibilidad. Se guía sólo por la información que se tiene sobre hechos seme-jantes, por valoración de la información disponible. Su uso inapropiado genera el sesgo de disponibilidad o de la información disponible, en evaluaciones o inter-pretaciones de probabilidad. Una experiencia que se ha realizado en varias opor-tunidades (por ejemplo, Tversky y Kahneman, 1 974) es solicitarle a sujetos con-siderar las palabras del idioma inglés que tienen a la letra R en la primera o en la tercera posición. Luego se le pregunta cuál de los dos tipos de palabras es más

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probable encontrar en ese idioma. La mayoría de los sujetos responde que la R tiene más posibilidades de aparecer en la primera posición. Sin embargo, en ese idioma la R es mucho más frecuente en la tercera posición que en la primera. To-do parece indicar que la respuesta de los sujetos está sesgada por la facilidad pa-ra evocar las palabras. Se estima que las palabras que comienzan con R son más fáciles de generar que las que la tienen en la tercera posición, por lo que se pien-sa que las primeras son más frecuentes. Algo similar ocurre cuando se les pre-gunta a las personas sobre la vocal más frecuente en el español. La mayoría indi-ca la a por la facilidad que tiene para recordar palabras que contengan esa vocal, aunque en realidad es la e.

En los casos anteriores, las personas parecen guiarse sólo por la información que se tiene sobre hechos semejantes, por valoración de la información disponi-ble. La disponibilidad es un reflejo de nuestra propia percepción de la frecuencia relativa, lo que puede influir en las decisiones que se tomen en ciertas circuns-tancias. Esta heurística generalmente está asociada a experiencia y perspectivas personales, por lo que en general son limitadas, por ello también se le denomina el sesgo de la imaginación (Tversky y Kahneman, 1 973, 1 974).

Equiprobabilidad

Los individuos que muestran el sesgo de equiprobabilidad consideran que el resultado del experimento "depende del azar" y, en consecuencia, todos los re-sultados son igualmente posibles. Para ellos, pareciera existir una asociación en-tre azar y equiprobabilidad. Ante la pregunta ¿si se lanzan dos dados, existe la misma probabilidad de obtener dos veces un 5 que de obtener un 5 y un 6? Los resultados, en diferentes contextos, con sujetos de diferentes edades, indican que la mayoría de los sujetos considera los dos eventos como igualmente proba-bles. Al parecer, este sesgo se debe a que las personas no logran establecer co-nexiones entre los modelos combinatorios con experimentos aleatorios.

La presencia de este sesgo también puede deberse a que los contactos inicia-les en la educación formal respecto a la probabilidad se hace a través de su con-cepto clásico, el cual se basa en experimentos aleatorios donde todos los eventos son igualmente probables. Generalmente, se inicia el estudio de la probabilidad con experimentos aleatorios, cuyos resultados son todos igualmente probables, por ejemplo, lanzamientos de dados, extracción de una carta de un mazo, lanza-miento de una moneda equilibrada. En este tipo de experimento aleatorio, se uti-liza la fórmula de Laplace para asignar las probabilidades. Las personas que pre-sentan este sesgo parecen estar aplicando el concepto clásico de probabilidad a situaciones donde los eventos no son equiprobables. Consideran que todos los eventos asociados a un experimento aleatorio deben ser equiprobables como los estudiados en los primeros grados, es lo que Brousseau (1 983) denomina un obs-táculo didáctico. Este tipo de estudiante, al parecer, se quedó sólo con el concep-to clásico de probabilidad, lo aplicó en algunas situaciones escolares con éxito, por ello lo considera eficiente y aplicable a otras situaciones que involucren pro-babilidad. Estos estudiantes no encuentra razones para cambiar o modificar su concepción, por lo cual ese concepción se convierte en un impedimento para el aprendizaje de nuevos conceptos (Lecoutre, Durand y Cordier, 1 990, Lecoutre, 1 992, Lecoutre y Fischbein, 1 998). Al parecer, la forma como se enseña la pro-babilidad en la escuela tiene mucho que ver con el posible origen de este sesgo. La enseñanza de la probabilidad debe brindarle al estudiante la posibilidad de: (a) establecer relaciones entre la combinatoria y los eventos aleatorios, (b) discri-minar entre las situaciones donde se puede o no aplicar el concepto clásico de probabilidad.

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Enfoque en el resultado aislado

Algunas personas interpretan situaciones probabilísticas de forma determinis-ta. Algunas personas pueden interpretar el pronóstico “para hoy se tiene un 70% posibilidad de lluvia” como “hoy va a llover”. Consideran que el evento es seguro por estar su probabilidad de ocurrencia muy cercana al 100%. Asimismo, cuando un evento tiene una probabilidad de ocurrencia menor al 50%, estas personas en-tienden que la probabilidad de ocurrencia de ese evento es baja, incluso lo esti-man como de difícil ocurrencia. A esta forma de razonamiento, Konold (1 989) la denominó el acercamiento del resultado o enfoque en el resultado aislado.

Las personas que presentan este sesgo interpretan las situaciones probabilísti-cas comparando la probabilidad dada con los valores 0%, 50% y 100%. Si la pro-babilidad de interpretar se encuentra cerca de los extremos (0% ó 100%), el evento será considerado como imposible o seguro, respectivamente. Mientras que, si está cercana al 50%, algunos lo consideran como eventos “realmente aleatorios”, no es verdaderamente un pronóstico y no se sabe qué puede pasar.

Este tipo de razonamiento sugiere dificultades para comprender el concepto frecuentista de la probabilidad, el cual se utiliza para establecer la probabilidad de ocurrencia de fenómenos aleatorios no equiprobables, pero con los cuales es posible efectuar una serie de ensayos idénticos. La probabilidad de un evento en particular se estima sobre la base de su frecuencia relativa en una larga cadena de experimentos y ella sólo orienta sobre la probabilidad de ocurrencia de ese evento. Los sujetos que utilizan el enfoque en el resultado aislado consideran que esa probabilidad es para predecir el éxito o fracaso de un evento en un único en-sayo. De allí que al encontrarse, por ejemplo, con una probabilidad frecuencial cercana a 1, consideren que es seguro que el evento ocurra en el próximo ensayo (Konold, 1 989, 1 995, Konold et al.1 993; Serrano, Batanero y Ortiz de Haro, 1 996).

Actividad 2.3

1. Considere el siguiente enunciado: Un Centro Meteorológico está eva-luando la precisión de sus boletines meteorológicos. Buscaron sus re-gistros de aquellos días en los que el meteorólogo había informado que habla un 70 por ciento de probabilidades de lluvia. Compararon estas predicciones con los registros que indicaban si llovió o no en esos días en particular. La predicción del 70 por ciento de probabilidades de llu-via puede considerarse muy precisa, si llovió entre el:a. 95 y el 100 por ciento de esos días b. 85 y el 94 por ciento de esos días c. 75 y el 84 por ciento de esos días d. 65 y el 74 por ciento de esos días e. 55 y el 64 por ciento de esos días

Proponga el problema a tres docentes que dicten clases de matemática en I o II etapa de Educación Básica y a tres docentes de matemática de III etapa de Educación Básica o Educación Media. Solicíteles que regis-tren sus respuestas por escrito (una hoja para cada uno). Analice las respuestas proporcionadas por los docentes. Establezca si hay diferen-cia entre los dos grupos de docentes. Elabore un breve informe con los resultados.

2. Lea el artículo Interpretación de Enunciados de Probabilidad, en su acepción Frecuencial, por Estudiantes Españoles y Venezolanos de Sal-

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cedo (2 000). Sobre la base de la lectura indique si modificaría su prác-tica como docente al tratar la probabilidad. Argumente su respuesta.

¿Hacia donde se dirige la Investigación en Didáctica de la Estocástica?

Batanero, Garfield, Ottaviani y Truran (2 000) indican que uno de los proble-mas de quienes investigan en Educación Estadística es la falta de reconocimiento académico y señalan que una forma de lograrlo es definir "Qué es la Investiga-ción en Educación Estadística" y convencer a otros de su validez como disciplina científica. Para Batanero, Garfield, Ottaviani y Truran (2 000), si bien se han pro-puesto algunas agendas de investigación (Shaughnessy, 1 992 y Shaughnessy, Garfield y Greer, 1 996), consideran que todavía se necesita “una mayor reflexión y discusión para clarificar qué debemos considerar como investigación en educa-ción estadística, cómo establecer la validez de los resultados de la investigación, cuáles cuestiones deben ser estudiadas prioritariamente, y qué marcos teóricos y métodos de investigación deberían recomendarse para llevar a cabo esta investi-gación” (p. 3).

Para Batanero et al (2 000) algunas de las preguntas siguientes son relevantes para la comprensión de la educación estadística

¿Qué modelos psico-pedagógicos nos pueden ayudar a comprender el de-sarrollo del razonamiento estadístico y como podemos usar estos modelos para facilitar este desarrollo?

¿Qué teorías de enseñanza-aprendizaje pueden contribuir a comprender y explicar la enseñanza y aprendizaje de la estadística?

¿Qué entornos y métodos de aprendizaje se corresponden con los diferen-tes modelos de aprendizaje o de desarrollo cognitivo?

¿Deberíamos adaptar algunas teorías sobre enseñanza y aprendizaje al caso específico de la enseñanza y aprendizaje de la estadística?

¿En qué sentido la enseñanza y aprendizaje de la estadística es específi-cos y cómo se relaciona con la enseñanza y aprendizaje de la matemática y de otras disciplinas?

¿Cómo influye el contexto cultural en la transferibilidad de los resultados de la investigación?

¿Qué conocimiento base necesitamos para realizar una investigación de calidad en educación estadística? ¿Cuál es la mejor forma de preparar los investigadores que sean capaces de desarrollar una buena investigación en este campo? ¿Debiéramos tratar de identificar y organizar un programa para preparar investigadores en educación estadística?

Pero Batanero et al (2 000) consideran que la investigación en Educación Esta-dística debe ayudar a responder algunas preguntas más específicas, alguna de ellas son:

¿Cuáles son las diferencias entre cultura estadística, razonamiento esta-dístico y pensamiento estadístico? ¿Cuáles son las metas de desarrollo de los estudiantes de estos tipos de procesos cognitivos y cómo evaluarlos?

¿Qué tipo de actividades, demostraciones, simulaciones y explicaciones (del profesor, materiales multimedia y/o libro) pueden ayudar al estudian-

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te a construir una comprensión profunda de los conceptos estadísticos, frente a una mera comprensión superficial de algoritmos y procedimien-tos?

¿Cuáles son los efectos de las herramientas tecnológicas sobre el aprendi-zaje de los estudiantes?

¿Cómo ayudar a los estudiantes con escasos conocimientos matemáticos a comprender la inferencia estadística?

¿Cómo hacer conscientes a los profesores de las actividades idóneas para usar en sus clases y mejorar el aprendizaje de los estudiantes?

¿Cuáles son las concepciones de los profesores sobre la probabilidad y es-tadística?

Estas ideas de Batanero et al (2 000) fueron discutidas por educadores esta-dísticos de todo el mundo. Bacelar-Nicola, Bright, Chadjipadelis, Cordani, Glencro-ss, Ito, Jolliffe, Konold, Lajoie, Marie-Paule Lecoutre, Bruno Lecoutre, Pfannkuch y Pratt escribieron algunas reacciones al artículo de Batanero et al. Estas reaccio-nes fueron estudiadas y respondidas de forma sucinta. Algunos de los puntos que estacan Batanero et al (2 000) son:

Pareciera haber acuerdo sobre la dificultad de realizar investigación en educación estadística.

Parte de la investigación en educación estadística proviene de la educa-ción matemática, por lo cual los marcos teóricos y metodológicos de la educación matemática son muy importantes para la educación estadística.

Si bien es cierto que hay importante lazos con la educación matemática, se considera que son dos disciplinas diferentes.

La Psicología es otra área de apoyo de la investigación en educación esta-dística. Desde hace mucho tiempo los investigadores en psicología han es-tado interesados por el pensamiento estocástico y en su desarrollo, han realizado importantes aportes al conocimiento teórico este aspecto y lo continúan.

Se considera que se ha logrado un importante avance en el estudio de las concepciones erróneas sobre la probabilidad, pero se debe hacer más én-fasis al estudio del origen de las concepciones estadísticas erróneas. Se debe investigar si los sesgos descritos por los psicólogos son intuiciones erróneas fundamentales, que resultan de las experiencias cotidianas, o se trata de interpretaciones erróneas del material que ya ha sido enseñado.

Un objetivo primario de cualquier investigación en educación estadística sería proporcionar una descripción analítica de los procesos cognitivos subyacentes en estas concepciones erróneas con el fin de encontrar si hay alguna coherencia interna en los juicios y razonamientos espontáneos.

Los investigadores deben revisar con cuidado la investigación existente cuando preparen un artículo o diseñen un experimento. No lograr progre-sar en la construcción de una comunidad de investigación reconocida has-ta que nos sea más familiar lo que hacen otras personas en diferentes dis-ciplinas y diferentes países en el mundo.

Para finalizar los autores destacan la necesidad de investigar en colaboración, omitiendo las distancias geográficas, apoyados en la comunicación electrónica.

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La formación de pequeños grupos de investigación donde se lea y discutan traba-jos de investigación, para poder ayudarse unos a otros en la investigación en educación estadística.

En nuestro país son pocas las investigaciones que se encuentran sobre la en-señanza, el aprendizaje y la evaluación de los aprendizajes de la probabilidad y la estadística, incluso se podría decir que es inexistente. Esta afirmación puede ser suportada por el trabajo de Serres (2 004), quien clasifica los temas de los traba-jos de grado realizados en las distintas maestrías de educación matemática del país. En la clasificación de Serres no se reporta ningún trabajo que aborde temas que según su criterio puedan ser clasificados como la enseñanza, el aprendizaje y la evaluación de los aprendizajes de la probabilidad y la estadística. Es importan-te destacar que Serres examinó 232 resúmenes de Trabajos de Grado, aunque en su trabajo no lo expresa, muy probablemente, esos fueron la totalidad de los tra-bajos realizados hasta el momento que la investigadora realizó su trabajo.

Al examinar diversas fuentes, sólo es posible encontrar algunos trabajos en re-ferencia a la didáctica de la estocástica en Venezuela. Con respecto a la estadísti-ca se ubicaron sólo tres trabajos: León (1 992), Ganuza y Fermín (1 994) y Millán (1998). La profesora León en su trabajo El Pensamiento Estadístico, describe de forma general lo que es la estadística, cómo se divide y cómo trabaja. Recalca la importancia de la estadística inferencial y lo prudente que se debe ser al aplicar-la. Ganuza y Fermín (1 994) presentan reflexiones sobre la necesidad de hacer una mejor enseñanza de la estadística a todo nivel. Para ellos la enseñanza de la estadística en el país es deficiente y plantean la necesidad de un cambio. Los ar-tículos de León (1 992) y el de Ganuza y Fermín (1 994), puede ser considerados ensayos. Millán (1 998) analiza el rendimiento estudiantil en estadística, específi-camente en las carreras de formación docente, destacando una alta proporción de aplazados. Como alternativa a este problema presenta una estrategia para la enseñanza basada en la aplicación a procesos reales de investigación. La inten-ción es aplicar en forma crítica y adecuada las herramientas estadísticas, proble-mas del contexto educativo, como una forma de promover un aprendizaje signifi-cativo de la asignatura. De acuerdo con los resultados, la estrategia pareciera ayudar a los estudiantes a mejorar sus destrezas en cuanto a la selección del tra-tamiento estadístico, el análisis e interpretación de resultados.

En cuanto a probabilidad, también son pocos los artículos que se encuentran: Castro (1 993), León (1 999a y b) y Salcedo (2 000). Castro (1 993) analizó las respuestas proporcionadas por un grupo de estudiantes de la Universidad Nacio-nal Abierta, al solucionar un problema de probabilidad, determinó que en las res-puestas de los estudiantes había predominio del modelo determinista y que ellos utilizaban esquemas operatorios de proporcionalidad y probabilidad en forma si-multánea. Este autor señala “los antecedentes indican que la formación de con-ceptos de probabilidad y la cabal compresión de algunos teoremas son procesos laboriosos y de lenta gestación. De ahí la importancia de iniciar en la Enseñanza Media la preparación para construir los conceptos de probabilidad” (p. 10). León (1 999a) reporta el trabajo realizado con un grupo de ocho estudiantes volunta-rios a los cuales se les aplicó una prueba para medir el razonamiento combinato-rio y realizar cálculos de probabilidad. De acuerdo con los resultados los estudian-tes (a) “tienen limitaciones para contar el número de elementos del espacio muestral y de los eventos, lo cual afecta el cálculo de probabilidades”; (b) “evi-dencian cierta capacidad para manipular, formular y enumerar elementos, pero poco desarrollo del razonamiento combinatorio” (p. 320). En otro trabajo León (1 999b) indaga sobre los términos azar, experimento aleatorio, probabilidad y

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frecuencia relativa. En él indica que “en su mayoría, las interpretaciones dadas por los estudiantes coinciden con la variedad de significados que a estos vocablos se le ha dado a lo largo de la historia, aunque también se encontraron opiniones no referidas previamente en la literatura” (p. 327). Por otra parte, al explorar so-bre la aplicabilidad de los conceptos antes considerados, los resultados mostra-ron dificultad en su comprensión y aplicación.

Actividad 2.4

Ha pasado cierto tiempo desde que se publicó el artículo de Batanero, Garfield, Ottaviani y Truran, razón por la cual se podría preguntar ¿qué problemas se han investigado en los últimos años? Realice una indagación bibliográfica (incluyendo artículos que se encuentra en Internet) sobre investigaciones recientes en didácti-ca de la estocástica. Establezca algunos criterios que le permitan definir cuáles son las principales áreas de investigación. Clasifique las investigaciones por áreas o temas de investigación, tipos, metodologías e instrumentos usados en cada una de ellas. Identifique cuáles son los más usados.

Referencias

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Batanero, C. (2 002). Los retos de la cultura estadística. Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística, Buenos Aires. Conferencia inaugural. Dispo-nible en: http://www.ugr.es/~batanero

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Unidad 2Lección 3

Cultura, Razonamiento y Pensamiento Estadístico

Statistical thinking will one day be as necessary for effi-cient citizenship as the abili-

ty to read and write

HG Wells

Esta lección está dedicada a presentar de manera general las ideas fundamen-tales de tres conceptos de mucha importancia para la didáctica de la estocástica: cultura, razonamiento y pensamiento estadístico. En los últimos años se han rea-lizado fuertes críticas a la enseñanza de la Estadística centrada en la realización de cálculos, descuidando valiosos elementos de tipo conceptual. Se indica que esa forma de enseñar estadística poco colabora en la comprensión de las grandes ideas estadísticas y que la estadística debe ser utilizada para comprender algu-nos fenómenos del mundo actual. Lo adecuado es desarrollar el Pensamiento Es-tadístico (Statistical Thinking).

La expresión Pensamiento Estadístico aparece en numerosas publicaciones. Estadísticos educadores, psicólogos, educadores matemáticos, educadores esta-dísticos, son algunos de los que hacen mención a esta expresión aunque una buena parte de ellos no indica a que se refiere con ello. En algunos casos, se pue-de inferir que los autores con Pensamiento Estadístico se refieren a necesidad de ir más allá de la “aritmética estadística”, entendiendo por esta el énfasis excesivo que se le da tradicionalmente en la enseñanza de la estadística a la manipulación numérica. En contraste destacan la importancia que tienen las ideas estadísticas, su comprensión y posterior aplicación.

Wild y Pfannkuch (1 998) indican que el término Pensamiento Estadístico está funcionando como un mantra con el cual se evoca algo vago, intuitivo, que se uti -liza a menudo en contraste con el uso mecánico de técnicas estadísticas. Ellos se-ñalan que el Pensamiento Estadístico es como el sentido común que sabemos que lo tiene cuando lo vemos, o más exactamente su ausencia es tan obvia que deslumbra. Vea los siguientes ejemplos,

o En cierta ocasión le preguntaron a un vendedor que como podía vender tan baratos sus sandwiches de conejo, a lo que respondió: "bueno, tengo que admitir que hay un poco de carne de caballo. Pero la mezcla es solo 50:50; uso el mismo numero de conejos que de caballos". [Darrel Huff, How to lie with statistics]

o El 33% de los accidentes mortales involucran a alguien que ha be-bido. Por tanto, el 67% restante ha sido causado por alguien que no había bebido. ¡Conducir borracho (o borracha) es más seguro!

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o En cierta ocasión una periodista entrevistaba a un profesor finlan-dés sobre la educación de su país. En un pasaje de la entrevista se-ñaló: “Välijärvi describió el riguroso proceso de selección que rige en la formación de los maestros y reveló que en su universidad só-lo ingresa menos del 20% de los aspirantes a la carrera docente”. Al final de la entrevista destacó los puntos más importantes de la educación en Finlandia e indicó: “La carrera docente es muy exi-gente y sólo ingresa el 20% de los aspirantes” [La Nación, Domingo 13 de agosto de 2 006]

En algunos casos parece gracioso, pero este es el tipo de evidencia a las cua-les se refieren Wild y Pfannkuch, normalmente es más fácil saber cuando no se tiene el pensamiento estadístico, que definir qué es y cuándo se tiene.

Adicionalmente, cuando se habla de pensamiento estadístico, también se ha-bla de Razonamiento Estadístico (Statistical Reasoning) y Cultura Estadística (Sta-tistical Literacy1). delMas (2 002) señala que a menudo se utilizan de forma indi-ferente términos como cultura estadística, razonamiento estadístico y pensa-miento estadístico. Ya en la lección anterior se señaló que uno de los retos de la investigación en educación estadística es ayudar a responder preguntas como: ¿Cuáles son las diferencias entre cultura estadística, razonamiento estadístico y pensamiento estadístico? Es por ello que no se pretende que en esta lección us-ted logre responder con presión esta pregunta, pero si que pueda ubicarse en cuanto a los avances que se han logrado hasta ahora en ese sentido.

Cultura Estadística

Son varias las definiciones que se han presentado para indicar lo que significa Cultura Estadística, algunas de estas definiciones las presenta Rumsey (2002):

La comprensión de la lengua estadística: palabras, símbolos, y térmi-nos. Interpretación de gráficos y tablas. Evaluar el sentido de la infor-mación estadística que aparece en las noticias, los medios de comuni-cación, las encuestas, etc. (Garfield, 1 999)

La capacidad de entender conceptos estadísticos y razonar en el nivel más básico (Snell, 1 999)

Comprenden el texto, el significado y las implicaciones de la informa-ción estadística en ellos, en el contexto del tópico al cual pertenece (Watson, 1 997).

Gal (2 002) aporta importantes elementos para su compresión de lo que signi-fica Cultura Estadística (CE):

La habilidad de las personas para interpretar y evaluar críticamente los argumentos estadísticos de información y base de datos que apare-cen en diversos medios, así como su habilidad de discutir sus opinio-nes con respecto a tal información estadística.

Para este autor el desarrollo de la CE en adultos requiere de algo más que el conocimiento formal de la estadística. Gal propone un modelo sobre las bases de conocimiento y otros procesos que deberían estar a la disposición de adultos, y en consecuencia de los estudiantes que se gradúan en las escuelas o institutos universitarios, de manera que puedan entender, interpretar, evaluar críticamente

1 Se ha traducido Statistical Literacy como cultura estadística, pero algunas personas lo traducen co-mo capacidad estadística o alfabetización estadística o capacidad de leer y escribir estadística

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y reaccionar a los mensajes estadísticos encontrados en los contextos de lectura. El modelo basado en diferentes trabajos se resume en la siguiente tabla:

Modelo de conocimientos estadísticos de Gal (2 002)

Elementos de conocimiento Elementos de Disposicionales

Habilidades para leer y escribir

Conocimiento estadístico

Conocimiento matemático

Conocimiento del contexto/mun-do

Preguntas Críticas

Creencias y actitudes

Postura crítica

Cultura Estadística

Elementos de conocimiento. La CE de una persona es basa en la activación conjunta de cinco elementos interrelacionados: habilidad para leer y escribir, co-nocimiento estadístico, conocimiento matemático, conocimiento del contexto y preguntas críticas. A continuación se presenta de manera general:

Habilidades para leer y escribir. Las habilidades para leer y escribir son críticas para la CE porque virtualmente todos los mensajes estadísticos se transmiten por texto escrito (por ejemplo, en periódicos) o texto oral (por ejemplo, en la televi-sión).

Conocimiento estadístico. Obviamente el conocimiento estadístico y los con-ceptos probabilísticos se requieren para la CE. Los cinco componentes básicos de este conocimiento son: (a) Conocimiento de por qué son necesarios los datos y de la forma cómo se pueden producir los datos. (b) Familiaridad con los términos e ideas básicos relacionados con las estadísticas descriptivas. (c) Familiaridad con términos e ideas básicas relacionados a presentaciones gráficas y tabulares. (d) Comprensión de las nociones básicas de probabilidad (e) Conocimiento de cómo se llega a conclusiones o inferencias estadísticas

Conocimiento matemático. Algunos instrumentos matemáticos se requieren para la producción de indicadores estadísticos comunes, como el porcentaje o la media, la mediana, la probabilidad. Asimismo, la comprensión de resultados esta-dísticos básicos requiere de una dosis de familiaridad, intuitiva y hasta cierto pun-to formal, con los procedimientos o cómputos matemáticos básicos que se utili-zan para generar estas estadísticas.

Conocimiento del contexto/mundo. Interpretar correctamente mensajes esta-dísticos requiere de la capacidad para ubicar el mensaje en el contexto apropiado de la vida real, y de tener acceso a su conocimiento del mundo. Este tipo de co-nocimiento también apoya los procesos del conocimiento general y es fundamen-tal para permitir “darle sentido” a cualquier mensaje.

Preguntas críticas. Los mensajes estadísticos son producidos por fuentes dife-rentes (medios de comunicación, anunciantes, políticos, centros de trabajo, ofici-nas gubernamentales), con diferentes intereses, con necesidades distintas y obje-tivos diversos; por lo que no necesariamente presentan un informe imparcial de los hallazgos o interpretaciones. Es importante entonces hacer algunas preguntas fundamentales, algunas de ellas pueden ser:

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(1) ¿De dónde provenían los datos (están basados en cuál afirmación)? ¿De qué tipo de estudio se trataba? ¿Es este tipo de estudio razonable en es-te contexto?

(2) ¿Se utilizó esta muestra? ¿Cómo se obtuvo esta muestra? ¿Es la muestra lo suficientemente amplia? ¿Esta muestra podría llevar razonablemente a inferencias válidas sobre la población a la que está dirigida?

(3) ¿Cuán confiables o precisos fueron los instrumentos (pruebas, cuestiona-rios, entrevistas) utilizados para generar los datos reportados?

(4) ¿Bajo qué forma se distribuyen los datos no procesados? ¿Es importante?

(5) ¿Las estadísticas reportadas son adecuadas para este tipo de datos? ¿Los valores atípicos podrían hacer que los estadísticos descriptivos represen-ten erróneamente la situación real?

(6) ¿Algún gráfico en particular está dibujado de la forma inapropiada o dis-torsiona las tendencias mostradas en los datos?

(7) ¿Cómo se derivó esta afirmación probabilística? ¿Hay suficientes datos creíbles para justificar las estimaciones dadas sobre probabilidad?

(8) ¿Las afirmaciones realizadas son sensatas y están respaldadas por los datos?

(9) ¿Debería ponerse a la disposición de los interesados información o proce-dimientos adicionales que permitan al lector evaluar la sensatez de estos argumentos? ¿Falta alguna información?

(10) ¿Hay interpretaciones alternas en cuanto al significado de las conclusio-nes o explicaciones diferentes en torno a las causas? ¿Hay implicaciones adicionales o diferentes que no son mencionadas?

Elementos Disposicionales: La CE no sólo necesita de los conocimientos y habilidades descritos anteriormente. Es necesario ser capaz de tomar una postu-ra crítica con respecto a la información estadística, además de poseer ciertas ac-titudes y creencias, para motivar y sostener sus acciones. Ciertas creencias y ac-titudes influyen en las posturas de los individuos y la habilidad para tomar medi-das en respuesta a la información estadística. Se debe desarrollar una actitud po-sitiva de sí mismos como individuos con Cultura Estadística, sentirse que son crí-ticos de los mensajes estadísticos. Para Gal el desarrollo de la CE en adultos re-quiere que se les preste atención a todas las cinco bases del conocimiento descri-tas anteriormente, no únicamente al conocimiento formal de la estadística.

Este autor considera que la presentación de su modelo es un paso inicial para llegar a dar una discusión más profunda sobre la CE. Cree que hay tres áreas en las que se requieren investigaciones:

(a) Investigación sobre habilidades de conocimiento estadístico de estudian-tes y adultos. Se tiene poca información sobre este aspecto. Diversos es-tudios (TIMSS, PISA, IALS) suministraron datos preliminares sobre aspectos limitados del conocimiento estadístico de las personas, aparentemente porque sus fortalezas están en otros temas matemáticos. Son muchos los elementos del conocimiento, básicos para la CE que no se incluyen en este tipo de pruebas (la comprensión de promedios y valores medios, el conoci-miento sobre muestreo o diseños experimentales, la comprensión de las declaraciones relacionadas con la probabilidad o el azar). Se necesita una información más amplia sobre destrezas de conocimiento estadístico y so-

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bre los vacíos que hayan en este sentido. Estudios cualitativos podrían fa-cilitar un examen a fondo de los procesos de pensamiento, comprensión y efectos de la enseñanza en este sentido.

(b) Investigación sobre las demandas de enseñanza estadística de diversos ambientes funcionales. Se sabe muy poco sobre las demandas que enfren-tan los consumidores de diversos medios de comunicación, como diarios, revistas, materiales que hay en los lugares de trabajo, o transmisiones de TV, en lo que respecta a la gama de temas estadísticos y probabilísticos. Para el diseño de una enseñanza efectiva y eficiente dirigida a diferentes niveles.

(c) Investigación sobre los elementos de disposición. Aquí se destacó la im-portancia de considerar la inclinación de las personas a aplicar una postu-ra crítica y las motivaciones, creencias y actitudes que afecten o susten-ten un comportamiento estadísticamente culto. Sin embargo, la concep-tualización y evaluación de estas variables presentan muchos retos. El de-sarrollo de métodos de investigación en este sentido es esencial para la comprensión de los elementos que dan forma al comportamiento estadís-ticamente culto en diferentes contextos. Los cambios en las disposiciones deberían medirse como parte del impacto de las intervenciones educati-vas realizadas para mejorar la CE de todas las personas.

Para Gal (2 002) la CE comprende un sistema de bases de conocimientos y las disposiciones que son algo más que la capacidad de cálculo o de la enseñanza científica. Su desarrollo requiere de la atención de las cinco bases de conocimien-to descritas anteriormente, no sólo del conocimiento formal de la estadística. Lo que se desea es que el ciudadano común sea capaz de

(a) Entender con propiedad los resultados de encuestas, de muestras y de experimentos, divulgados en diversos medios de comunicación

(b) Comprender aspectos probabilísticos en declaraciones sobre riesgo y efectos secundarios

(c) Discutir la utilidad de investigaciones estadísticas y su legitimidad, ser crítico de mensajes de fuentes diversas, desarrollar creencia y actitudes positivas hacia la estadística, pero también la ser crítico de los mensajes estadísticos con los que se encuentra en diversos contextos.

Cree que es algo suficientemente complejo y multifacético, que requiere la atención de los interesados en mejorar la habilidad de los ciudadanos para en-frentarse y entender la información cuantitativa del mundo que se encuentra al-rededor de ellos.

Actividad 3.1

1. Busca distintas definiciones del término “cultura”, al menos tres, y estable-ce semejanzas y diferencias entre ellas. ¿A que podemos llamar cultura?

2. Statistical Literacy se ha traducido como cultura estadística, pero también se podría usar alfabetización estadística o capacidad de leer y escribir es-tadística. Busca distintas definiciones del término “alfabetización”, al me-nos tres, y establece semejanzas y diferencias entre ellas. ¿A que podemos llamar alfabetización?

3. Busca distintas situaciones de la vida diaria donde consideres que es im-

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portante tener “conocimientos” de estadística para comprenderlas. Por ejemplo, recorta gráficos o artículos de prensa donde se requieran ciertos conocimientos de estadística o probabilidad para comprenderlos. Conside-ra diversas fuentes, no sólo medios de comunicación social, así como dis-tintos momentos, no sólo un día. De acuerdo con esa experiencia y las in-dagaciones anteriores, ¿Cuáles elementos pueden conformar la cultura es-tadística?

Razonamiento Estadístico

Para Álvarez y Vallecillos (2 003) el razonamiento estadístico tiene que ver con

o La comprensión de las hipótesis subyacentes a los diversos procedimien-tos y de los efectos de su no cumplimiento

o La interpretación de los problemas generales y la derivación de los proble-mas particulares

o La capacidad de elección del análisis más adecuado

o El análisis de los resultados y aceptación de las limitaciones respecto a las conclusiones, etc.

Para Garfield y Gal (1 999) el razonamiento estadístico se puede definir como la forma como las personas razonan sobre las ideas estadísticas y le da sentido a la información estadística. Esto involucra aspectos como las interpretaciones que hacen a partir de conjuntos de datos, de las representaciones gráficas, la infor-mación cuantitativa. Para ello es necesario combinar aspectos conceptuales co-mo distribución, centro, asociación, incertidumbre, aleatoriedad y muestreo, con ideas como de datos y probabilidad, para lograr hacer inferencias e interpretar los resultados estadísticos.

En la lección 2 se expusieron algunas de las dificultades que tienen los estu-diantes con conceptos estadísticos y de probabilidad. Resultados como los de Tversky y Kahneman, (1 973, 1 974), Falk (1 986), Konold (1 989), Lecoutre, (1 992), Estepa y Batanero (1 995), Vallecillos y Batanero (1 996) y Lecoutre y Fischbein (1 998), son muestras de razonamiento estadístico incorrecto. En esos trabajos se puede apreciar como las personas fallan al interpretar o tomar deci-siones que implican información estadística, aun luego de haber culminado cur-sos de estadística.

Esos resultados muestran una separación entre los conceptos estudiados en un curso y la interconexión que hace el estudiante de ellos, por ejemplo, entre sa-ber como se hace una prueba de hipótesis y lo que ella significa. Los estudiantes son capaces de “sacar las cuentas”, hacer “aritmética estadística” pero no pue-den argumentar sobre las ideas estadísticas.

Las diferencias encontradas en las investigaciones parecen no estar asociadas con los resultados individuales de los estudiantes en los cursos. Garfield (2 002) señala que los docentes podrían estar pensando que si ellos han realizado una buena enseñanza y los estudiantes han realizado buenos exámenes, son capaces de razonar correctamente acerca de información estadística. Sin embargo, mu-chos de ellos tienen dificultades para interpretar información estadística, particu-larmente en contextos aplicados, no tienen una comprensión integrada necesaria

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para hacer los juicios e interpretaciones correctas. Es probable que ellos apenas estén en las etapas iniciales del razonamiento estadístico.

Garfield (2 002) presenta las diferentes etapas de un modelo de Razonamiento Estadístico

El razonamiento elemental. El estudiante sabe algunas palabras y símbolos estadísticos, los usa sin entenderlos completamente, a menu-do los utiliza en forma inadecuada. Por ejemplo, los estudiantes han aprendido términos como media, mediana y desviación típica como medidas que permiten resumir, pero compara la media con la desvia-ción típica o hace los juicios acerca de lo buena que es la media o la desviación típica.

El razonamiento verbal. El estudiante solo tiene una comprensión verbal de algunos conceptos. Puede escoger o proporcionar una defini-ción correcta pero no comprende completamente los conceptos, por ejemplo, sabe que la media es mayor que la mediana en distribuciones sesgadas positivamente, pero no sabe por qué.

El razonamiento en transición. El estudiante es capaz de identificar correctamente uno o dos dimensiones de un proceso estadístico sin in-tegrar completamente estas dimensiones, tal como, que un tamaño de muestra mayor produce un intervalo de confianza más estrecho, que un error estándar menor lleva a un intervalo de confianza más estre-cho, pero no es capaz de relacionarlos.

El razonamiento en proceso. El estudiante es capaz de identificar correctamente las dimensiones de un concepto o el proceso estadísti-co pero no los integra completamente o no entiende el proceso. Por ejemplo, el estudiante sabe que una correlación no implica causalidad pero no puede explicar completamente por qué.

El proceso integrado de razonamiento. El estudiante tiene una comprensión completa de un proceso estadístico, coordina las reglas y la conducta. Puede explicar el proceso con sus propias palabras, por ejemplo, explicar lo que significa un intervalo del 95% de confianza en términos del proceso de probar repetidas veces de una población.

Garfield (2 002) considera que se necesita más investigación de aula para ayu-dar a determinar los métodos y los materiales instruccionales que se puedan utili-zar para ayudar a que los estudiantes desarrollen el razonamiento estadístico co-rrecto. La investigación también es la vía para hallar modelos de desarrollo del razonamiento estadístico, que puedan ayudar a los docentes a comprender mejor el proceso de desarrollo de ese razonamiento.

Actividad 3.2

1. Busca distintas definiciones del término “razonamiento”, al menos tres, y establece semejanzas y diferencias entre ellas. ¿A que podemos llamar ra-zonamiento?

2. Algunos autores hablan del “razonamiento matemático”, busca algunas de-finiciones o caracterizaciones de ese término. Busca al menos tres, esta-blece semejanzas y diferencias entre ellas. ¿Cómo definir razonamiento matemático?

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3. Busca distintas situaciones de la vida diaria donde consideres que es im-portante razonar estadísticamente, donde no basta con tener sólo “conoci-mientos” de estadística para comprenderlas. Considera diversas fuentes, no sólo medios de comunicación social, así como distintos momentos, no sólo un día. De acuerdo con esa experiencia y las indagaciones anteriores, ¿Cómo podrías caracterizar al razonamiento estadístico?

Pensamiento Estadístico

El Pensamiento Estadístico (PE) es definido por Snee (1 990, citado por Wild y Pfannkuch, 1 999) como el proceso del pensamiento que permite identificar, ca-racterizar, cuantificar y controlar la variación que está omnipresente en el mundo actual. Para Garfield y Chance (2 000) es la manera como las personas discurren frente a las ideas estadísticas y les dan sentido a la información estadística. Moore (1 997) presentó una lista de los elementos que conforman el PE: la nece-sidad para los datos, la importancia de la producción de los datos, la medición, modelación e importancia de la variabilidad.

A partir de la revisión de la literatura existente sobre el PE y de entrevistas exhaustivas realizadas a estudiantes de estadística y a estadísticos, Wild y Pfan-nkuch (1 999) identifican cuatro dimensiones que pretenden organizar algunos de los elementos del PE que se producen durante la investigación. Esos elementos son:

Dimensión uno: El ciclo investigativo. Se refiere a la manera como el suje-to actúa y piensa durante la investigación estadística. Se parte del ciclo estadísti-co: problema, plan, datos, análisis, conclusiones; y cómo se trata la abstracción y resolución de un problema estadístico basado en un problema real mayor y pre-tende alcanzar cada meta del aprendizaje.

Dimensión dos: Tipos de pensamiento. Se consideran cinco elementos co-mo fundamentos del PE. Los autores los dividen en inherentes a la estadística y los generales aplicados en un contexto estadístico.

Reconocer la necesidad de datos: es esencial reconocer que las experiencias personales y la evidencia basada en anécdotas son insuficientes, los datos recopi-lados deliberadamente son necesarios para tener evidencia empírica.

Transnumeración: tiene lugar cuando encontramos maneras de obtener datos (medidas o clasificación) que capturan los elementos significativos del sistema real. Está presente en todo análisis estadístico de datos y se da cada vez que cambiamos la forma de mirar esos datos con la esperanza de encontrarles nuevo significado

Variabilidad: la variabilidad y la manera como se le tome en cuenta, es lo que hace que una actividad sea “estadística”. La incertidumbre es una característica del mundo actual y ésta, a su vez, se debe a la variación presente en todo, una forma de disminuir la incertidumbre es con la utilización de la estadística.

Un conjunto particular de modelos: todo razonamiento usa modelos. La esta-dística ha desarrollado métodos para el diseño y análisis de estudios, a partir de modelos matemáticos que incluyen componentes aleatorias.

Conocimiento del contexto, conocimiento estadístico y síntesis: el conocimien-to estadístico, el conocimiento contextual y la información que provienen de los

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datos son necesarios para que se produzca el PE. El propio pensamiento es la sín-tesis de estos elementos, que se realiza para producir implicaciones, conceptos y conjeturas.

Entre los tipos de pensamiento que se utilizan en el contexto estadístico están:

Pensamiento estratégico: el propósito de decidir qué haremos (favorecer el fu-turo) y cómo lo haremos lo denominamos pensamiento estratégico. Se incluyen algunos aspectos como: planear cómo abordar la tarea, división de tareas, plazos para la realización de las tareas, división del trabajo, anticipación a problemas y planear cómo evitarlos. Una parte importante del pensamiento estratégico es te-ner conciencia de las restricciones que se deben considerar en la planeación.

Modelación: la construcción de modelos y su utilización para comprender y predecir el comportamiento del mundo que nos interesa estudiar es una forma general del pensamiento.

Aplicando Técnicas: una técnica básica en la resolución de problemas en las ciencias matemáticas es encontrar la forma de ubicar un nuevo problema dentro de un problema que ya ha sido resuelto antes de imaginar una solución que pue-da ser aplicada o adaptada. La estadística es si misma la manifestación de esta estrategia de resolución de problemas. Con el uso de estadísticas, primero reco-nocemos los elementos de nuestro contexto (desde lo general a lo particular), operando sin un modelo, y así ubicamos los resultados en otro contexto (de lo ge-neral a lo particular).

Dimensión tres: El ciclo interrogativo. Es un proceso de pensamiento ge-nérico en uso constante en la solución de problemas estadísticos. El análisis deta-llado de las entrevistas indica que el pensador está siempre en estados interroga-tivos mientras que busca la solución de problemas estadísticos. El ciclo se aplica en los niveles macro, pero también en los niveles muy detallados del pensamien-to porque el ciclo interrogativo es recurrente. Sus componentes son: la genera-ción, la búsqueda, la interpretación, la crítica, el juicio.

Dimensión cuatro: Disposiciones. Aquí se incluyen las cualidades persona-les. El pensamiento estadístico es afectado por los atributos personales que aquí se denominan disposiciones o actitudes. La naturaleza de estas disposiciones emergió de las entrevistas de los estadísticos y se reconocieron posteriormente en el trabajo en los estudiantes. Algunos de ellos son: escepticismo, imaginación, curiosidad y conocimiento, franqueza, propensión a buscar un significado más profundo, lógico y perseverante. Estos elementos son genéricos, pero parecen importantes en el contexto de la solución de problemas estadísticos. En relación con la Educación Estadística surge una pregunta esencial ¿Pueden las “disposicio-nes” enseñarse?

Wild y Pfannkuch (1 999) consideran que si se logra entender los patrones y estrategias de pensamiento que utilizan los estadísticos para solucionar proble-mas del mundo real, y cómo son integrados, se podrá mejorar las habilidades de nuestros estudiantes en la solución de problemas estadísticos. Con ello se podrá comenzar a desarrollar el pensamiento estadístico de los estudiantes.

Uno de los problemas que ellos señalan es el relativo a las disposiciones. Para ellos los estadísticos experimentados:

o Son capaces de hacer las preguntas necesarias para extraer los datos apropiados para dirigir el problema de interés

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o Comprenden el proceso estadístico como una totalidad. Conocen los dife-rentes pasos de la investigación estadística y como deben intervenir en ellos. Saben que el proceso es interactivo.

o Son escépticos, preguntan por aspectos como el diseño de la investigación y la forma como se logró la muestra.

o Siempre piensan en las variables: ¿son las correctas? ¿Cómo se comporta-rán? ¿Hay otras variables de la importancia? Estas son algunas de las pre-guntan que constantemente se hacen.

o Relacionan los datos con el contexto. Saben que el contexto es importante en estadística, un cambio de contexto puede generar variaciones, por lo tanto relacionan los datos con el contexto.

o Creen en la estadística y su aplicabilidad.

La pregunta que puede surgir es ¿se puede enseñar todo lo anterior en la es-cuela? Más especifica ¿Cómo es el tipo de enseñanza que permite desarrollar ha-bilidades como esas en los estudiantes? ¿Se puede lograr trabajando con proble-mas cuya respuestas son únicas, que se encuentran al final del libro y que el es-tudiante simplemente debe cotejar si es igual a la suya? A nivel universitario, ¿se debe considerar la carrera que cursa? En otras palabras, ¿se forma igual a un es-pecialista de estadística a un profesional no especialista en estadística? ¿se le de-be enseñar de la misma forma a un profesional de la estadística que a un profe-sional de la educación?

Actividad 3.3

1. Busca distintas definiciones del término “pensamiento”, al menos tres, y establece semejanzas y diferencias entre ellas. ¿A que podemos llamar ra-zonamiento?

2. Algunos autores hablan del “pensamiento matemático”, busca algunas de-finiciones o caracterizaciones de ese término. Busca al menos tres, esta-blece semejanzas y diferencias entre ellas. ¿Cómo definir pensamiento ma-temático?

3. Busca distintas situaciones de la vida diaria donde consideres que es im-portante pensar estadísticamente, donde no basta con tener sólo “conoci-mientos” de estadística para comprenderlas. Considera diversas fuentes, no sólo medios de comunicación social, así como distintos momentos, no sólo un día. De acuerdo con esa experiencia y las indagaciones anteriores, ¿Cómo podrías caracterizar al pensamiento estadístico?

4. ¿Qué diferencias puedes establecer entre cultura, razonamiento y pensa-miento estadístico?

Referencias

Álvarez, G. y Vallecillos, A. (2003). Razonamiento estadístico para la resolución de problemas en el nivel universitario: aspectos teóricos y una aplicación Pe-dagogía Universitaria 6 (3)

Assessment Resource Tools for Improving Statistical Thinking. http://data.gen.umn.edu/artist/index.html

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delMas, R. (2 002) Statistical Literacy, Reasoning, and Learning: A Commentary. Journal of Statistics Education V 10, N 3 Disponible http://www.amstat.org/publications/jse/v10n3/delmas_intro.html

Gal, I. (2 002). Adult’s statistical literacy: meaning, components, responsibility. In-ternational Statistical Review. 70(1), 1 – 25.

Garfield, J. (2002). The Challenge of Developing Statistical Reasoning. Journal of Statistics Education Volume 10, Number 3, www.amstat.org/publications/jse/v10n3/garfield.html

Garfield, J. y Chance, B. (2 000). Assessment in statistics education: Issues and challenges. Mathematics Thinking and Learning, 2, 99-125.

Garfield, J., y Gal, I. (1999), Teaching and Assessing Statistical Reasoning. L. Stiff (ed) Developing Mathematical Reasoning in Grades K-12. Reston, VA: Natio-nal Council Teachers of Mathematics, 207-219.

Moore, D. (1997). New Pedagogy and New Content: The Case of Statistics. Inter-nacional Statistical Review 65, 123-165.

Rumsey, D. J. (2002). Statistical Literacy as a Goal for Introductory Statistics Cour-ses Journal of Statistics Education Volume 10, Number 3, www.amstat.org/publications/jse/v10n3/rumsey2.html

Wild, C. J., y Pfannkuch, M. (1 998). What is statistical thinking? En Pereira-Mendo-za L., et al. (Eds) (1998). Proceedings of the 5th International Conference on Teaching Statistic. Volume 1-3. Singapore.

Wild, C. J., y Pfannkuch, M. (1 999). Statistical thinking in empirical enquiry. Inter-national Statistical Review, 67(3), 223-265.

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Unidad 2Lección 4

Desarrollo del Pensamiento Estadístico

Una pregunta lógica luego de la lección anterior es ¿existen diferencias entre la cultura, el razonamiento y el pensamiento estadístico? También podrían surgir algunas otras como ¿Es importante esa diferencia? ¿Qué implicaciones tiene para la didáctica de la estocástica? En esta lección se resume la discusión que tienen los especialistas en torno a este tema, así como algunas implicaciones para la en-señanza.

Cultura, razonamiento y pensamiento estadístico: ¿Diferencias?

Para Chance (2 002) un punto que diferencia al pensamiento estadístico del ra-zonamiento y la cultura, es la habilidad de ver el proceso en su totalidad (inclu-yendo la interacción), entender la relación y el significando de la variación en es-te proceso, para tener la habilidad de explorar los datos en maneras más allá de lo que se han prescrito en textos, y para engendrar las preguntas nuevas más allá de las realizadas por el investigador principal. Para este autor el estudiante que es capaz de pensar estadísticamente puede moverse más allá de lo que se enseña en el curso, para preguntar espontáneamente y para investigar los asun-tos y los datos implicados en un contexto específico. Mientras que el estudiante que razona estadísticamente trabaja estrechamente con los instrumentos y con-ceptos aprendidos en el curso. Entretanto el que tiene una cultura estadística es capaz de comprender e interpretar la información estadística presentada, por ejemplo, en los medios de comunicación.

Para delMas (2 002) existen por lo menos dos alternativas para ilustrar la rela-ción entre cultura, razonamiento y pensamiento estadístico. La primera de ellas es:

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Desde este punto de vista que cada dominio tiene algún contenido que es in-dependiente de los otros dos, mientras que hay una cierta intersección entre ellos. Si esta perspectiva es correcta, entonces el docente puede desarrollar algu-nos aspectos de un dominio independientemente de los otros dos. Al mismo tiem-po, algunas actividades emprendidas para el desarrollo de uno de ellos puede ayudar a desarrollar otro de los dominios o los otros dos.

Una segunda alternativa para delMas (2002) es:

En esta perspectiva, la cultura estadística se percibe como una gran meta que abarca toda la enseñanza, lo que debe tener todo ciudadano. En esta perspectiva el desarrollo del razonamiento y el pensamiento estadístico se convierten en una submeta dentro del desarrollo un ciudadano estadísticamente competente. La cultura además es la base para el desarrollo del razonamiento y el pensamiento estadístico, por lo tanto le otorga una gran responsabilidad a los docentes de Bá-sica y Media, como responsables de iniciar a los estudiantes en la estocástica. Se requiere que este docente se capaz de “pensar estadísticamente”.

Actividad 4.1

Considera el siguiente gráfico.

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1. De acuerdo con esa representación, ¿Cuáles serian las relaciones entre cul-tura, razonamiento y pensamiento estadístico? ¿Consideras viable una re-presentación de esa naturaleza?

2. ¿Cuáles serian las relaciones entre cultura, razonamiento y pensamiento estadístico de acuerdo con la siguiente representación? ¿Consideras viable una representación de esa naturaleza?

Para delMas (2 002) la siguiente tabla enumera las palabras que pueden ayu-dar a orientar al docente sobre lo que se quiere que el estudiante debe desarro-llar en los diferentes dominios.

Cultura Razonamiento Pensamiento

IDENTIFIQUE

DESCRIBA

REFORMULE

TRADUZCA

INTERPRETE

LEA

¿POR QUÉ?

¿CÓMO?

EXPLIQUE

(EL PROCESO)

APLÍQUESE

CRÍTICA

EVALÚE

GENERALICE

Si la meta es ayudar a los estudiantes a desarrollar su cultura estadística, en-tonces los docentes pueden pedir que ellos proporcionen ejemplos de casos, tér-minos o conceptos, describan gráficos, distribuciones, interpreten resultados de un procedimiento estadístico. Si el interés se centra en el razonamiento estadísti-co se puede pedir a los estudiantes que expliquen por qué o cómo fueron produ-cidos los resultados (por ejemplo, explique el proceso que produce la distribución del muestreo de un estadístico, explique cómo la media actúa como punto de equilibrio, explique porqué la mediana no es afectada por valores atípicos, por qué una muestra escogida al azar tiende a producir una muestra representativa) o por qué se justifica una conclusión. En el caso del pensamiento estadístico, se

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desafía a estudiantes a aplicar sus conocimientos a los problemas del mundo real, a evaluar y criticar el diseño y las conclusiones de estudios, o a generalizar el conocimiento obtenido en las aulas a situaciones nuevas.

En la página web Assessment Resource Tools for Improving Statistical Thinking (ARTIST – http://data.gen.umn.edu/artist/index.html) se ofrecen algunas definicio-nes de trabajo para los términos cultura, razonamiento y pensamiento estadísti-co:

Cultura Estadística. La cultura estadística implica comprender y utilizar el idioma y los instrumentos básicos de la estadística: conocer lo que significan los términos estadísticos, utilizar apropiadamente los símbolos estadísticos, conocer e interpretar las representaciones de datos.

Razonamiento estadístico. El razonamiento estadístico es la manera como las personas argumentan sobre las ideas estadísticas y el sentido que le dan a la información estadística. El razonamiento estadístico implica conectar un concepto a otro (por ejemplo, centro de la distribución y la variabilidad) o combinar ideas acerca de los datos y la probabilidad. Razonar estadísticamente significa enten-der y estar en capacidad de explicar los procesos estadísticos y de interpretar completamente los resultados estadísticos.

Pensamiento estadístico. El pensamiento estadístico implica la compren-sión del por qué y de cómo se realizan las investigaciones estadísticas. Esto inclu-ye reconocer y comprender el proceso investigativo completo (desde la pregunta de investigación a la recolección de datos, así como la selección de la técnica pa-ra analizarlos, probar las suposiciones, etc.), entendiendo cómo se utilizan los modelos para simular los fenómenos aleatorios, cómo los datos se producen para estimar las probabilidades, reconocimiento de cómo, cuándo, y por qué los instru-mentos deductivos existentes se pueden utilizar, y son capaz de entender y utili-zar el contexto de un problema para emitir conclusiones y planear investigacio-nes.

A partir de estas definiciones de trabajo, delMas (2002) ofrece algunos ejem-plos de ítem que se pueden utilizar para evaluar la cultura, el razonamiento y el pensamiento estadístico

Una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año de una univer-sidad fue seleccionada para estimar la puntuación promedio de un examen de diagnóstico de matemáticas, que es obligatorio para todos los estudiantes de primer año. El promedio de la muestra es de 81,7 puntos con una desviación típica muestral de 11,45 puntos.

Construya un intervalo de la confianza del 95% para estimar la puntua-ción promedio de los estudiantes de esa universidad respecto al exa-men diagnóstico de matemáticas. Demuestre todo su trabajo para re-cibir la puntuación completa.

Para delMas, cuando los estudiantes indican la respuesta correcta (77,43; 85,98), sólo están evidenciando que recuerdan las instrucciones básicas para de-terminar el intervalo de confianza, trabajar apropiadamente con los datos y la fór-mula, y realizan los cálculos.

Si al estudiante se le preguntara ¿Qué dice el intervalo de confianza del 95% acerca de la puntuación promedio de los estudiantes de esa universidad en el examen de diagnóstico de matemáticas?, se estaría intentando evaluar el razona-miento estadístico. Sin embargo, delMas indica que la mayoría de las respuestas

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a esta pregunta puede ser sólo evidencia de que el estudiante tiene cierta idea de cómo interpretar el intervalo de confianza, pero poco aporta para valorar su razonamiento estadístico. Para este autor un mejor ítem sería:

Una muestra aleatoria de 30 estudiantes de primer año de una univer-sidad pública fue seleccionada para estimar la puntuación promedio de un examen de diagnóstico de matemáticas, que es obligatorio para to-dos los estudiantes de primer año. El promedio de la muestra es de 81,7 puntos con una desviación típica muestral de 11,45 puntos. El in-tervalo de confianza del 95% construido a partir de la muestra es (77,43; 85,98). A continuación se enumeran algunas de las formas co-mo los investigadores podrían interpretar el intervalo de confianza. Pa-ra cada una de ellas, determínese si es o no es una interpretación váli-da del intervalo de confianza. En cada caso indique por qué es una in-terpretación incorrecta del intervalo de confianza.

Algunas de las interpretaciones que se podrían utilizar son:

a. El 95% de los estudiantes de primer año tienen una puntuación pro-medio en la prueba diagnóstica de matemáticas entre 77,43 y 85,98.

b. Hay una probabilidad del 95% que la verdadera media de la pobla-ción es encuentre entre 77,43 y 85,98.

c. Existe un 95% de confianza de que la verdadera media de la pobla-ción está entre 77,43 y 85,98.

Si el interés del docente está en valorar el pensamiento estadístico del estu-diante, se podría utilizar el siguiente ítem:

Un profesor de psicología en una cierta universidad B ha leído los re-sultados del estudio de la universidad del estado. El profesor quisiera saber si los estudiantes en su universidad son similares a los estudian-tes de la universidad del estado respecto a la puntuación promedio en el examen diagnóstico de matemática. El profesor recoge la informa-ción de 53 estudiantes de primer año matriculados este semestre en una sección grande (321 estudiantes) de la asignatura “Introducción a la psicología”. De acuerdo con esta muestra, el intervalo de confianza del 95% para la puntuación promedio en el examen diagnóstico de matemática es (69,47; 75,72)

A continuación se presentan dos conclusiones posibles que el profesor de sociología puede dar a su resultado. Para cada conclusión, indique si es válida o no, señalando el porqué de su respuesta. Observe que es posible que ninguna de las dos conclusiones sea válida.

a. La puntuación promedio en el examen diagnóstico de matemática de los estudiantes de primer año en la universidad del estado es más baja que el promedio de estudiantes de primer año de la uni-versidad B.

b. La puntuación promedio en el examen diagnóstico de matemática de los 53 estudiantes de primer año matriculados en “Introducción a la psicología”, es más baja que el promedio de estudiantes de primer año de la universidad del estado.

Actividad 4.2

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Selecciona un libro de matemática de Educación Media y un libro de Estadística para el ámbito universitario. Sobre la base de las definiciones de trabajo que pre-senta ARTIST y tomando como referencia los ejemplos proporcionados por delMa-ss, clasifica las preguntas, ejercicios y problemas que se ofrecen en los libros se-leccionados. Elabora una tabla que resuma la clasificación lograda para cada libro. Busca ejemplos de distintas naturaleza que puedan ser utilizados para evaluar la cultura, el razonamiento y el pensamiento estadístico de los estudiantes a los cua-les va dirigido.

Implicaciones para la enseñanza y el aprendizaje

Es variada la gama de investigadores que han formulado los que ellos conside-ran que son los requisitos básicos para que alguien alcance una “cultura estadís-tica”, a continuación se presentan algunos de ellos:

Watson (1 997) identifica tres etapas como componentes de los objetivos fina-les en el desarrollo de la cultura estadística:

1. Comprensión de la terminología básica de estadística

2. Comprensión del lenguaje estadístico y de los conceptos en un contexto de una discusión social más amplia

3. Desarrollo de una actitud cuestionadota, que permita aplicar los conceptos más sofisticados para contradecir los usos inapropiados de la estadística.

Behar Gutiérrez y Grima Cintas (2 003), presentan su interpretación de las ideas ofrecidas por Snee (1 993) y Wild y Pfannkuch (1 999), y como se relacio-nan con el hecho educativo:

1. La necesidad de los datos. Esto significa desarrollar la actitud de evitar las especulaciones subjetivas y sentir la necesidad de abordar la solución de problemas con base en datos.

2. Desarrollar conciencia de la importancia del proceso de genera-ción de los datos. Desafortunadamente muchos cursos y textos de estadística, se desarrollan a partir de lo datos, pareciera que el pensamiento estadístico se iniciara después de que se tienen los datos. Cuando los datos aparecen, se ha realizado un avan-ce sustantivo en la solución del problema. Generar conciencia de lo relevante del proceso de obtención de los datos, saber que la forma de analizarlos está íntimamente ligada a la forma como los datos son obtenidos (Muestreo, Diseño de Experimen-tos, Fuentes secundarias). Antes de los datos, y para llegar a ellos ha debido ocurrir un proceso de “pensamiento estadísti-co”.

3. Sentir la necesidad de tener en cuenta la variabilidad y la incer-tidumbre como elementos clave, percibir de manera natural la omnipresencia de la variabilidad e incluirla como una compo-nente importante en el proceso de modelación de la realidad.

4. Involucrar en la lógica de pensamiento las ideas de validez ex-terna (representatividad) y de validez interna (Control de facto-res de confusión).

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5. Comprender y apropiarse de los argumentos que justifican la utilidad de la estimación por medio de muestras, no obstante que los resultados pueden variar de una muestra a otra.

6. Desarrollar la capacidad de abordar problemas faltos de estruc-tura, como lo son la mayoría de las situaciones reales. Realizar preguntas inteligentes para colocar en contexto la situación y convertirla en un verdadero problema estadístico.

7. Comprender que la significancia estadística está relacionada con la medida de la variabilidad del azar, pero que no está en relación con la significancia práctica.

8. Valoración de la utilidad de la estadística: para comparar, para predecir, para estimar, para valorar el impacto de un factor so-bre la variabilidad de otros, para construir indicadores, para de-cidir entre diferentes opciones, sus alcances y limitaciones.

9. Desarrollar la habilidad de comunicar los resultados, su nivel de generalidad y las condiciones para su aplicación.

Chance (2 002) considera que las disposiciones que Wild y Pfannkuch identifi-caron en estadísticos experimentados son parte de las metas que se tienen en cursos introductorios de estadística en el ambiente universitario. Esos elementos son como los primeros pasos que deben dar todos estadísticos, pero también es parte de lo que se necesita desarrollar en cada ciudadano para entender la im-portancia y la necesidad de la investigación científica apropiada. Cree que tam-bién son los cimientos para el desarrollo del razonamiento estadístico, sobre todo si se alienta a los estudiantes a razonar los instrumentos estadísticos, incluyendo el conocimiento de la importancia de la recolección de los datos y su interpreta-ción.

Sin embargo, la experiencia de Chance le indica que un único curso introducto-rio no basta ya que en muchas ocasiones se encuentra que sus estudiantes luego de un corto tiempo han vuelto a sus “viejos” hábitos en la interpretación de infor-mación estocástica. Por ello considera que en esos cursos se debe hacer énfasis en los hábitos señalados por Wild y Pfannkuch, particularmente en lo referente a la formulación de preguntas, la justificación de procesos y la escritura en sus pro-pia palabras. Los docentes por su parte deben ensayar nuevas formas de enseñar y realizar formas alternativas de evaluar a sus estudiantes en los cursos de esta-dística.

Para delMass (2 002) es importante establecer una fuerte triangulación entre los objetivos del curso, las actividades de enseñanza y la evaluación. Cree que para ayudar al estudiante a desarrollar su cultura estadística es necesario incluir experiencias directas donde juzguen la validez de las conclusiones presentadas. Por ejemplo, en una actividad se pueden presentar varias posibilidades y pedir que ellos juzguen si es apropiado o no construir un intervalo de confianza en esas circunstancias. Se solicitaría a los estudiantes que calculen los intervalos sólo en las situaciones donde es pertinente, donde se cumplen las condiciones. Se desea que ellos comprendan cómo se hace, pero también por qué y para qué se hace. Es importante que ellos tengan oportunidad de confrontar con sus compañeros sus ideas.

Considera que para que los estudiantes puedan resolver situaciones como la presentada anteriormente para evaluar el razonamiento estadístico, es necesario que ellos trabajen con datos verdaderos, ubicados en un contexto y donde se les

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solicite una interpretación real de los resultados. Los estudiantes pueden trabajar en equipo, donde puedan confrontar sus ideas, con miras a llegar a acuerdo, pero también deben compartir las interpretaciones del equipo con el resto de la clase. Se debe incitar a los estudiantes a determinar si la interpretación señalada se ajusta a las observaciones hechas durante la actividad.

Para resolver situaciones como la presentada para evaluar el pensamiento es-tadístico, delMass (2 002) considera que se puede seguir unas pautas similares a las reseñadas antes, pero haciendo más énfasis en el uso de los modelos y en la importancia de aspectos como el muestreo. Los estudiantes deben tener oportu-nidad de trabajar con diversas muestras, comprender el papel de muestras selec-cionadas al azar y lograr un buen sentido de los datos.

Para Garfield (2 002) las actividades de clases deben ayudar a los estudiantes a comprender los conceptos estadísticos y a razonar estadísticamente. Por ejem-plo, solicitarles que emparejen descripciones verbales con gráficos puede ayudar a desarrollar su razonamiento acerca de los datos y su distribución. Considerar di-versas situaciones donde la desviación típica es más grande o más pequeña pue-de ayudarlos a desarrollar su razonamiento acerca de la variabilidad. Las simula-ciones de las distribuciones muestrales, mediante computadoras, que permitan variar el tamaño de la muestra y el parámetro, pueden ayudarlos a desarrollar su razonamiento acerca de esas distribuciones.

Rumsey (2 002) considera que en los cursos de estadística no se desarrolla pri-mero la cultura estadística, luego se sigue con el razonamiento y finalmente se llega al pensamiento estadístico. Por ello considera que los cursos iniciales no son sólo para desarrollar la cultura estadística y considera que siempre se le deben presentar los problemas estadísticos en contextos pertinentes, legítimos, acom-pañados de preguntas de investigación pertinentes. Luego de lograr un conoci-miento básico funcional, los estudiantes necesitan desarrollar la habilidad de pre-guntar, de cuestionar, de probar, de comparar, contrastar, explicar y evaluar en un nivel más alto. Los problemas estadísticos reales pueden ayudar en esto. Ellos necesitan ser capaces de pensar estadísticamente por ellos mismo, de identificar sus propias preguntas, de proponer sus propias soluciones utilizando la estadísti-ca. Cada vez que atraviesan el proceso, ellos pondrán a prueba su comprensión de términos y conceptos, además de desarrollar habilidades de razonamiento y de pensamiento.

Los planteamientos anteriores pueden generar ciertas interrogantes, alguna de ellas pueden ser: ¿Son eficaces estas recomendaciones? ¿Hay que hacer varia-ciones para poner en ejecución estas recomendaciones? ¿Realmente se logra el desarrollo de la cultura estadística? ¿Es posible desarrollar el razonamiento y el pensamiento estadístico? Estas y otras dudas sólo se pueden despejar por medio de la investigación. Falta mucho por investigar con respecto a la cultura, el razo-namiento y el pensamiento estadístico.

Actividad 4.3

1. ¿Considera que es importante que en la EB y la EMDP se enseñe estadísti-ca y probabilidad?

2. ¿La EB y la EMDP deben colaborar en el desarrollo de la cultura estadística de los estudiantes? ¿Cómo puede ayudar a desarrollar el razonamiento es-tadístico? ¿y el pensamiento estadístico?

3. ¿Cuáles son los contenidos de estadística y probabilidad previstos actual-

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mente en los programas de la EB y la EMDP?

4. ¿Qué aspectos de los mencionados en esta lección y la anterior podrían ser trabajados en la EB y la EMDP?

5. Escriba un ensayo breve sobre la base de las respuestas anteriores. Fije posición y arguméntela

Referencias

Assessment Resource Tools for Improving Statistical Thinking. http://data.gen.umn.edu/artist/index.html

Batanero, C. (2002). Estadística y didáctica de la matemática: Relaciones, proble-mas y aportaciones mutuas. En C. Penalva, G. Torregrosa y J. Valls (Eds.), Aportaciones de la didáctica de la matemática a diferentes perfiles profe-sionales (pp. 95-120). Universidad de Alicante.

Behar Gutiérrez, R. y Grima Cintas, P. (2003) La Estadística en la Educación Supe-rior ¿Formamos Pensamiento Estadístico? Ingeniería y Competitividad 5 (2)

delMas, R. (2 002) Statistical Literacy, Reasoning, and Learning: A Commentary. Journal of Statistics Education V 10, N 3 Disponible http://www.amstat.org/publications/jse/v10n3/delmas_intro.html

Garfield, J. (2002). Components of Statistical Thinking and Implications for Instruc-tion and Assessment. Journal of Statistics Education Volume 10, Number 3, www.amstat.org/publications/jse/v10n3/chance.html

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Watson, J. (1997). Assessing Statistical Thinking Using the Media. En Gal I. y Gar-field, J. (Eds.) The Assessment Challenge in Statistics Education, Amster-dam: IOS Press and International Statistical Institute.

Wild, C. J., y Pfannkuch, M. (1 998). What is statistical thinking? En Pereira-Mendo-za L., et al. (Eds) (1998). Proceedings of the 5th International Conference on Teaching Statistic. Volume 1-3. Singapore.

Wild, C. J., y Pfannkuch, M. (1 999). Statistical thinking in empirical enquiry. Inter-national Statistical Review, 67(3), 223-265.

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MÓDULO 2Estocástica en la realidad


Analizar la relación de la probabilidad y la estadística con la realidad, las prácticas escolares y su uso en la enseñanza.

UNIDAD N° 3: Estocástica, sus aplicaciones y didáctica


Analizar diversas situaciones de la realidad en las que se aplica la probabilidad o la estadística

CONTENIDOS:

La probabilidad y la estadística del entorno y de la actividad humana: aplicacio-nes académicas, tecnológicas y cotidianas de la estocástica. Diversos conceptos de probabilidad. Medición y Predicción.

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Unidad 3Lección 5

Aplicaciones de la Estadística

En esta lección estudiaremos algunas aplicaciones de la estadística en la vida real. La importancia de este tema para la didáctica de la estocástica es la posibili-dad de utilizar las aplicaciones de la estadística en el aula de clases, particular-mente en una enseñanza basada en proyectos. La estadística tiene una amplia aplicación a problemas de las ciencias naturales y ciencias sociales, es un instru-mento importante para comprender fenómenos estocásticos. Obviamente aquí sólo presentamos algunas de las aplicaciones de la estadística, a manera de ilus-tración de sus posibilidades de uso. Es importante que establezca nexos entre lo trabajado en esta lección y su posible utilización en el aula de clases.

El Censo

El censo es el estudio cuantitativo de todos los elementos de una población en un momento determinado. La característica básica del censo es el estudio de variables estadísticas en todos los elementos de una población, por lo tanto es un estudio exhaustivo de los elementos de una población que permite su descripción detallada con relación a las variables estudiadas.

Los censos generales de la población de un país son los más conocidos. En los censos generales de la población se reúnen datos demográficos, económicos y sociales correspondientes a todos los habitantes de un país o territorio, estableci-dos en un momento determinado.

En Venezuela, como en la mayoría de los países del mundo, se realiza cada diez (10) años el Censo de Población y Viviendas. Oficialmente el primer cen-so en Venezuela se realizó en 1873 y el más reciente se llevó a cabo el año 2001 (XIII censo de población y vivienda), por lo que el próximo se debería realizar el año 2011. Con el Censo el estado venezolano logra conocer de manera exhausti-va, en un momento determinado, las características de toda la población y de las viviendas del país. Se logra información sobre cada uno de los habitantes de un país como por ejemplo: género, edad, situación conyugal, nivel educativo, carac-terísticas económicas, etc. También se logra información sobre fecundidad, mor-talidad, migración. Respecto a las viviendas se logra conocer elementos como: te-nencia (propietario o no de la vivienda), condiciones (materiales utilizados en la construcción, salubridad, servicios que posee, etc). Todos estos datos son consoli-dados para generar información que permite describir el país para ese momento y establecer comparaciones con otros momentos. La periodicidad en la realiza-ción del censo es lo que permite determinar los cambios que se dan en un país, en un período determinado.

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Evolución de la Población Venezolana, Censos 1873 – 2001

Fuente: Reporte sociodemográfico. Censo de población y vivienda 2 001. Situación, dinámica y perspectivas de la población. Disponible en: www.ine.gov.ve

Los resultados del censo de población y vivienda generalmente se utilizan co-mo base para tomar decisiones por parte del estado. Al conocer el tamaño de la población, sus características y distribución en el territorio nacional, el estado puede formular políticas sobre educación, salud, creación de empleos, desarrollo rural, desarrollo indígena, construcción de vivienda, desarrollo de medios trans-portes y vías de comunicación, seguridad social, etc., acordes con las necesida-des del país o una cierta región. Además puede formular planes que permitan la administración y evaluación de las políticas formuladas. Por ejemplo, si se tiene información sobre la tasa de natalidad de una cierta región, ella puede ser utiliza-da para hacer estimaciones respecto a cuántos niños demandaran educación en los próximos años y sí la capacidad actual de la región será suficiente para aten-derlos. En caso de que las estimaciones indiquen que la demanda del servicio su-perará a su oferta, se pueden establecer las previsiones necesarias: construcción de nuevas instituciones de educación, formación del recurso humano, dotación de las escuelas, etc. Los resultados del censo son esenciales para la planificación general de las acciones futuras del estado y la administración de los recursos.

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Actividad 5.1

1. La periodicidad del censo en Venezuela y en muchos países es cada 10 años, indaga si existe alguna razón técnica para realizarlo de esa forma.

2. Indaga sobre otros usos que tienen los resultados del censo en Venezuela.

En Venezuela el organismo responsable de la realización del Censo de Pobla-ción y Vivienda es el Instituto Nacional de Estadísticas (INE). Con los resultados del censo el INE realiza proyecciones sobre distintos aspectos de interés sobre la población y logra la base para la obtención de muestras en el período intercensal.

Indicadores del crecimiento de la población según grupo de edad

Fuente: Reporte sociodemográfico. Censo de población y vivienda 2001. Situa-ción, dinámica y perspectivas de la población. Disponible en: www.ine.gov.ve

El INE además es el responsable de generar los registros administrativos del país. Los registros administrativos son hechos que se registran en el momento en que se producen, como por ejemplo: suicidios, defunciones, nacimientos, enfer-medades, matrimonios. Son reportados por diversas dependencias del Estado y producto de su actividad administrativa regular. El INE es el organismo encargado de asesorar a los otros organismos del estados en materia de estadística y el res-ponsable de consolidar los datos emanados por esos organismos, así como de or-ganizarlos y publicarlos. Los registros administrativos son otra forma de conocer las características del país y brinda información actualizada al estado. Algunos de los registros administrativos que regularmente reporta el INE son: estadísticas vi-tales (nacimientos, defunciones, matrimonios, divorcios), fuerza de trabajo (acti-vos, inactivos, desocupados, ocupados), estadísticas de asistencia medica y salud (mortalidad de la población en general clasificada por causas, la mortalidad infan-til clasificada por causas, enfermedades de la población), estadísticas judiciales (delitos cometidos por categoría, población condenada, población recluida), indi-cadores sociales, indicadores económicos, etc.

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Tasa de Mortalidad Infantil, 1998 – 2005(por mil nacidos vivos)

(E) Cifra estimadaFuente: República Bolivariana de Venezuela en Cifras. Nº 2 Año 2 005. Dis-ponible en: www.ine.gov.ve

Actividad 5.2

1. Usualmente no se logra el empadronamiento de toda la población en los censos de población y vivienda, es lo que se denomina omisión censal. Indaga como el INE logra solventar esa omisión.

2. En Venezuela, popularmente se afirma que hay siete (7) mujeres por cada hombre, ¿será cierta esa creencia popular? ¿Habrá sido cierta en algún pe-ríodo histórico? Busca los resultados de diferentes censos realizados en país y presenta evidencia para refutar o apoyar esa creencia popular.

3. Examina el gráfico que presenta la Tasa de Mortalidad Infantil, 1998 – 2005 y la tabla Indicadores del crecimiento de la población según grupo de edad. ¿Qué proceso matemático permite las estimaciones realizadas? ¿Crees que este proceso se podría enseñar en Educación Básica o Educa-ción media Diversificada y profesional? Presenta argumentos.

La Investigación Cuantitativa

El fin de la investigación es producir conocimiento y contribuir al desarrollo de la sociedad. Existen muchas formas de generar ese conocimiento, una de ellas es mediante la investigación cuantitativa.

En un enfoque clásico, el investigador parte de una teoría existente o alguna intuición realizada a partir de hechos reales para formular una conjetura o hipóte-sis sobre cierta particularidad de la realidad. ¿Cómo saber si la conjetura es cier-ta? Una posibilidad es utilizar la estadística. Para ello el investigador diseña un experimento que le permita evaluar la hipótesis, generar datos que puedan ser sometidos a técnicas estadísticas, los analiza y produce una respuesta a su pre-gunta inicial. Los resultados lo llevaran a tomar una decisión sobre la conjetura inicialmente formulada. Es lo que se denomina el enfoque confirmatorio. Se res-ponde a la pregunta ¿confirman los datos la hipótesis de la relación de la variable x con la variable y, en un contexto definido?

Otra opción es comenzar por el enfoque exploratorio. En este enfoque la pre-gunta que orienta el tipo de trabajo que es ¿Qué pueden decir los datos acerca de la relación de la de la variable x con la variable y, en un contexto definido? Se tra-baja con los datos de una forma más amplia, en la búsqueda de patrones en los datos. En cualquiera de los dos casos el investigador necesita de los datos.

En la investigación científica rara vez se utilizan los censos ya que por lo gene-ral su realización es complicada, difícil y con una importante inversión de dinero. En otras ocasiones el estudio completo de la población implica su destrucción,

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por ejemplo si se desea estudiar las características de las Cachamas del Orinoco no es práctico capturar todos los peces para estudiarlos. Lo más recomendables es tomar sólo algunos ejemplares y realizar el estudio a partir de ellos. Es la infe-rencia estadística, obtener información de una muestra de individuos u objetos representativos de la población, analizarla mediante procedimientos estadísticos y generalizarlos a toda la población.

Este procedimiento es utilizado en áreas diferentes como: medicina, educa-ción, economía, psicología, biología, sociología, química, etc.

Salud

La estadística es uno de los instrumentos que con más frecuencia se utilizan en el área de la salud para tomar decisiones con miras a determinar mejores pro-cedimientos médicos. La mayoría de los medicamentos, producidos por laborato-rios, tienen el respaldo de estudios estadísticos que avalan sus potencialidades y sus posibles efectos secundarios.

Los investigadores de los laboratorios farmacéuticos invierten años en dar con un medicamento capaz de resolver algún problema de salud, sin solución hasta ese momento. La otra opción es dar con un medicamento que muestre ventajas sobre otros ya existentes en el mercado, por ejemplo que no tenga efectos se-cundarios al atacar una enfermedad que ya tenía tratamiento. Para dar con ese medicamento los investigadores hacen uso de la estadística.

Uno de los problemas de salud que no tenia solución hasta hace algunos años era la disfunción eréctil o impotencia masculina. Se decía que en muchos países más de la mitad de los hombres mayores de 40 años sufría de disfunción eréctil y su tratamiento era algo complicado. Sin embargo, el desarrollo del citrato de sil-denafil revolucionó el manejo de esos pacientes. Más conocido por el nombre co-mercial dado por el multinacional laboratorio Pfizer, la Viagra es uno de esos ejemplos de descubrimientos por casualidad.

El citrato de sildenafil estaba siendo investigado como antihipertensivo y dila-tador coronario. Ya se había llegado a la fase de experimentación en seres huma-nos, sin embargo los resultados eran decepcionantes. Las pruebas estadísticas realizadas a partir de los datos proporcionados por los ensayos indicaban que no había diferencias estadísticamente significativas entre los paciente que recibían el citrato de sildenafil y los que tomaban el placebo. Sin embargo, al cerrar la in-vestigación los médicos se encontraron con una sorpresa, los pacientes insistían en seguir tomando el medicamento. Se les informó que el medicamento no fun-cionaba como dilatador coronario, pero ellos insistían en seguir con el tratamien-to. Al indagar cuales eran las razones de esa insistencia, los médicos encontraron que en esos pacientes el medicamento tenía un efecto favorable sobre la erec-ción. Los investigadores del laboratorio comenzaron una nueva investigación con el sildenafil, esta vez para evaluar sus posibilidades de uso contra la disfunción eréctil. Comenzaba así el descubrimiento más importante de la sexología, des-pués de la píldora anticonceptiva.

La estadística en este caso ayudó a decidir sobre la ineficacia del citrato de sil-denafil como antihipertensivo y dilatador coronario, pero posteriormente brindó elementos que avalaban su uso como tratamiento contra la disfunción eréctil.

Se sabe que las manos de los médicos y enfermeras pueden ser agentes de contagios en centros hospitalarios. Por ello se recomienda que luego de tratar con un paciente los médicos y enfermeras se laven las manos con un agente anti-bacteriano. Doebbling, Stanley, Sheetz, Pfaller, Houston, Annis, Li y Wenzel

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(1 992) probaron dos tipos de sustancias limpiadoras con agentes antibacterianos distintos en unidades de cuidados intensivos. El primer agente antibacteriano era una solución de 60% de alcohol, mientras que la segunda contenía el antibiótico gluconato clorhexidrina. Cada mes cambiaban el tipo de limpiador sin dar aviso al resto del personal sobre el cambio. Ellos además registraban el número de infec-ciones que ocurrían con el uso de ambos limpiadores y el número de “días pa-ciente” (número de días que esta el paciente en el hospital, si el paciente está dos días en el hospital se registra como dos días paciente)

Florence Nightingale (1 820 – 1 910) considerada la madre de la enfermería moderna y pionera en el uso de la esta-dística descriptiva en medicina. Durante la Guerra de Cri-mea, se apoyo en datos para lograr la modificación de las condiciones sanitarias de las salas donde eran atendidos los heridos de guerra. Demostró que con sus medidas la ta-sa de mortalidad bajó del 42% al 2%. Fue de las primeras en utilizar los gráficos para representar datos en forma sencilla, se le considera la creadora del gráfico de sectores. Para ella los datos eran una manera de comprender un fe-nómeno y con ello ayudar a salvar vidas. Mostró cómo un fenómeno social podía ser medido y analizado mediante la estadística. Desarrolló un modelo de estadística hospitala-ria para generar datos y estadísticas consistentes. Fue la primera mujer miembro de la Statistical Society (1 858)

Los resultados indican que durante el tiempo que se usó la sustancia que con-tenía el gluconato clorhexidrina, las infecciones bajaron en un 27%, respecto a las ocurridas cuando se usaba la sustancia con 60% de alcohol. El análisis estadístico reportó diferencias estadísticamente significativas en la proporción de infecciones al usar las dos sustancias limpiadoras (p < 0,05 con una prueba t).

En ese mismo trabajo los investigadores reportan la existencia de una prefe-rencia en el uso del gluconato clorhexidrina como agente antibacteriano entre el personal de ese hospital. Se encontró una diferencia estadísticamente significati-va en la disposición a lavarse las manos con gluconato clorhexidrina del 48% contra un 30% del uso de la solución de 60% de alcohol (p < 0,05 con una prueba t) De este trabajo se desprende dos resultados importantes: (1) animar a los mé-dicos y enfermeras a lavarse las manos entre una revisión de un paciente y otro parece disminuir la proporción de infecciones (2) aparentemente los médicos y enfermeras tiende a lavarse más las manos cuando tienen a su alcance un fuerte agente antibacteriano. Una investigación como esta puede orientar a los direc tivos de hospitales para la toma de decisiones que permita una disminución de la proporción de infecciones en centros hospitalarios.

Actividad 5.3

1. Lea el artículo Interpretando correctamente en salud pública estimaciones puntuales, intervalos de confianza y contrastes de hipótesis de Scotto y To-bías-Garcés (2 003). ¿Qué implicaciones podría tener la posición de estos autores respecto a la enseñanza de la estadística en general y a esos te-mas en particular?

2. ¿Consideras que los estudiantes de Educación Básica o Educación Media Diversificada y Profesional podrían trabajar elementos de estadística infe-rencial como parte de su formación en Estadística? Presenta argumentos.

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Medios de Comunicación

Los medios de comunicación (impresos, radio, televisión) con frecuencia pre-sentan informaciones utilizando datos estadísticos. Los gráficos, los porcentajes, los promedios son algunos de los conceptos estadísticos con los que se puede en-contrar un ciudadano cualquiera al leer un diario o revista, ver televisión o escu-char radio. A continuación encontramos dos ejemplos del tipo de noticia a las que nos referimos.

El Universal, Agosto 21, 2006, pgs. 1 – 1

El Universal, Agosto 21, 2006, pg. 2 – 1

En ocasiones este tipo de noticias son elaboradas a partir de investigaciones realizadas por el propio medio, pero en otras ocasiones se elaboran sobre la base de informes técnicos o informes de investigación. Para desarrollar este tipo de in-formación se requiere del periodista una habilidad que hasta hace algunos años se le exigía: la de convertir en noticias las encuestas, las investigaciones, etc. La base de esa habilidad son los conocimientos básicos de estadística, que le permi-tirán comprender el trabajo que lee para poder transformarlo en una noticia, comprensible para un público amplio. De la interpretación que logre el periodista procesar depende en cierta medida la credibilidad que logre frente a los lectores. Obviamente, de los conocimientos de estadística del lector dependerá la compre-sión que logre de la información, así como la evaluación que pueda hacer de ella. Por razones como estas es que muchos abogan por una cultura estadística para todos los ciudadanos.

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Un ejemplo de esto se presenta a continuación:

Tejero Puntes (2006) elaboró un artículo sobre la Econo-mía Informal tomando como base el trabajo de la Unidad de Análisis de la Economía Informal del Centro de Estudios para la Divulgación del Conocimiento Económico, (Cedice). Señala que de los 11 millones que trabajan en el país más de 5 millones lo hacen en la economía informal y que sólo en Caracas cerca de 300 000 personas se dedican a a la buhonería.

El artículo de Tejero Puntes no presenta elementos que son de gran importan-cia para evaluar la información que expone: la fecha en la cual se realizó el estu-dio, el tamaño de la muestra, el coeficiente de confianza y el margen de error. La omisión de este tipo de información es frecuente en los medios de comunicación venezolana. Lo más probable es que esa omisión se deba a desconocimiento del periodista sobre la importancia de esos elementos.

Indagando un poco en Internet sobre el estudio se encontró el archivo “datos-buhonero.pdf” (http://cedice.org.ve/archivos/DatosBuhonero.pdf), el cual pondría ser parte de los datos que manejó Tejero Puntes en su artículo. El estudio se de-nominó “Datos Básicos del Buhonero Caraqueño” y fue realizado en diciembre del 2004, en la ciudad de Caracas, específicamente en: Boulevard de Sabana Grande, Boulevard de Catia, Av. Principal de El Cementerio, Casco Histórico y la Redoma de Petare. La muestra estuvo conformada por buhoneros dueños de puesto que vendían mercancía seca (ropa y/o calzado). Se encuestaron 376 buhoneros, los cuales representa aproximadamente al 10% de los buhoneros de las zonas men-cionadas. La información encontrada no esclarece todas las dudas que se presen-taron en el párrafo anterior, pero orienta un poco sobre el origen de los datos.

Los siguientes gráficos se encontraron en el archivo “datosbuhonero.pdf” y muestran parte de los resultados obtenidos en el estudio sobre los datos básicos del buhonero caraqueño.

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Sexo Rango de Edades

Estado Civil Dependencia del Encuestado

Número de Hijos por Encuestado Nivel Académico

Valor Mensual de las Ventas Ingresos por otras Actividades

Fuente: Centro de Estudios para la Divulgación del Conocimiento Económico. Dis-ponible en: http://cedice.org.ve/archivos/DatosBuhonero.pdf

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Actividad 5.4

1. Examina los gráficos anteriores y elabora un perfil del buhonero caraque-ño.

2. ¿Consideras que los estudiantes Educación Básica o Educación Media Di-versificada y profesional podrían elaborar el perfil del buhonero caraqueño con la información proporcionada? Presenta argumentos

3. Presenta los gráficos anteriores a dos o tres alumnos de 9º grado y solicíta-les que lean cada gráfico.

Referencias

Doebbling, B.N., Stanley, G.L., Sheetz, C.T., Pfaller, M.A., Houston, A.K., Annis, L., Li, N. y Wenzel, R.P. (1992) Comparative efficacy of alternative hand-was-hing agents in reducing nosocomial infections in intensive care units. The New England Journal of Medicine. 327 (2) 88 – 93

Instituto Nacional de Estadística (2004) Reporte sociodemográfico. Censo de po-blación y vivienda 2001. Situación, dinámica y perspectivas de la población. Disponible en: www.ine.gov.ve

Instituto Nacional de Estadística (2005) República Bolivariana de Venezuela en Ci-fras. Nº 2 Año 2005. Disponible en: www.ine.gov.ve

Tejero Puntes, S. (2006). 5 millones en la informalidad. El negocio de la buhonería emplea a 300 000 personas en Caracas. El Universal. Agosto 21, 2006. Pag. 2 – 1

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Unidad 3Lección 6

Aplicaciones de la Probabilidad

En esta lección se presentan algunas aplicaciones de la probabilidad en situa-ciones de la vida real. Al igual que la estadística, la probabilidad tiene una amplia gama de aplicaciones, sin embargo, las aplicaciones de mayor relevancia requie-ren de la compresión de conceptos que va más allá de lo previsto en cursos ini-ciales de probabilidad. No obstante, le sugerimos que trate de establecer vínculos entre lo que aquí estudia y sus posibilidades de uso en el aula de clases, particu-larmente en el diseño de proyectos pedagógicos.

Sistemas Expertos Basados en Probabilidad

En los últimos años ha tomado gran auge el desarrollo de técnicas que permi-tan analizar problemas relacionados con el reconocimiento de patrones y el análi-sis de datos sobre la base de redes de Markov o redes Bayesianas. Uno de esas técnicas son los sistemas expertos probabilísticos, los cuales han demostrado ser instrumentos útiles para la clasificación y predicción en situaciones de incerti-dumbre, por ejemplo la predicción meteorológica o el diagnóstico de enfermeda-des.

Los sistemas expertos probabilísticos se aplican a situaciones que implican cierto grado de incertidumbre dado que:

o Los hechos o datos pueden no ser conocidos con exactitud debido a hay imprecisiones, involucra subjetividad, hay ausencia de información, no se cuenta con ciertos datos, etc.

o No hay una relación determinista entre las variables.

A continuación se presenta un ejemplo de la medicina tomado de Castillo, Gu-tiérrez y Hadi (1 998).

Un centro médico tiene una base de datos consistente en las historias clínicas de N = 1 000 pacientes. Estas historias se resumen gráficamente a continuación.

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Pacientes de un centro médico clasificados por una enfermedad (adenocarcinoma gástrico) y tres síntomas (dolor, vómitos y pérdida de peso).

Hay 700 pacientes (región sombreada) que tienen la enfermedad adenocarci-noma gástrico (G), y 300 (región no sombreada) que no la tienen (se considera estar sano como otro valor posible de la enfermedad). Se considera que hay tres síntomas ligados a esta enfermedad: dolor (D), pérdida de peso (P) y vómitos (V ). De acuerdo con esta información, cuando un paciente nuevo llega al centro médi-co, hay una probabilidad 700/1,000 = 70% de que el paciente tenga adenocarci-noma gástrico. En probabilidad Bayesiana, esto es la probabilidad inicial, o “a priori”, puesto que se calcula con la información inicial, es decir, la que se tiene antes de conocer información alguna sobre el paciente. Por simplicidad de nota-ción, se utiliza g para indicar que la enfermedad está presente y para indicar que la enfermedad está ausente. De forma similar s denotan los otros síntomas.

A partir de la gráfica se extrae la siguiente información:

o Probabilidad “a priori”: 440 de 1,000 pacientes vomitan.

card(v) denota el número de pacientes de la base de datos que vomitan. Esto significa que el 44% de los pacientes vomitan.

o Verosimilitud.

El 50% de los pacientes que tienen la enfermedad vomitan, mientras que sólo 30% de los pacientes que no tienen la enfermedad vomitan dado que

o Verosimilitud. El 45% de los pacientes que tienen la enfermedad vomitan y pierden peso

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Mientras que sólo el 12% de los que no tienen la enfermedad vomitan y pierden peso

La probabilidad inicial de que el paciente tenga adenocarcinoma gástrico (p(g) = 0.7), no es suficientemente alta para hacer un diagnóstico (nótese que to-mar una decisión ahora implica una probabilidad 0.3 de equivocarse), el doctor decide examinar al paciente para obtener más información. Supóngase que los resultados del examen muestran que el paciente tiene los síntomas vómitos (V = v) y pérdida de peso (P = p). Ahora, dada la evidencia (el paciente tiene esos sín-tomas), ¿cuál es la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad? Esta probabilidad “a posteriori” puede ser obtenida de la probabilidad “a priori” y de las verosimilitudes, aplicando el teorema de Bayes en dos etapas, como sigue:

Tras observar que V = v la probabilidad “a posteriori” es

Tras observar que V = v y P = p la probabilidad “a posteriori” es

Obsérvese que la probabilidad cambia tras observar las evidencias. La probabi-lidad de tener la enfermedad era inicialmente 0,7, después aumentó a 0,795, y luego a 0,9 tras observar la evidencia acumulada V = v y P = p, respectivamente. Al final de la última etapa, el paciente tiene una probabilidad 0,9 de tener la en-fermedad. Esta probabilidad puede considerarse al compararla con la probabili-dad “a priori” 0,7, para que el doctor diagnostique que el paciente tiene la enfer-medad. Sin embargo, sería conveniente observar nuevas evidencias antes de ha-cer este diagnostico.

Los médicos utilizan los síntomas para hacer el diagnóstico de las enfermeda-des, dado que las enfermedades y los síntomas están relacionados, pero esta re-lación no es perfecta. Los mismos síntomas pueden ser causados por diferentes enfermedades. Estudiando estas relaciones entre síntomas y enfermedades, los médicos pueden aumentar su conocimiento, su experiencia y diagnosticar enfer-medades con un mayor grado de certeza. En esto es donde puede ayudar los sis-temas de expertos basados en probabilidad.

El núcleo de los sistemas expertos no probabilísticos es el conjunto de reglas que describen las relaciones entre los objetos (variables). En los sistemas exper-tos probabilísticos las relaciones entre las variables se describen mediante su fun-ción de probabilidad conjunta, por ello, la función forma parte de lo que se llama conocimiento. El diagnostico médico es una de las áreas en la que los sistemas expertos han encontrado mayor numero de aplicaciones, son varios los modelos de sistemas expertos probabilísticos que se han desarrollado para resolver pro-blemas con la estructura “síntomas-enfermedad”.

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El problema que se plantea es: Dado que un paciente presenta un subconjunto de k síntomas S1 = s1,... Sk = sk, ¿cuál es la enfermedad que tiene el paciente con mayor probabilidad? Entonces, el problema consiste en calcular la probabilidad de que el paciente tenga la enfermedad ei, dado el conjunto de valores s1,… , sk

de los síntomas S1, ... , Sk. En otras palabras, para i = 1,..., m, se desean calcular las probabilidades condicionales p(E = ei|S1 = s1, ... , Sk = sk). El problema puede considerarse como una clasificación generalizada, tal como lo muestra la tabla siguiente

Enfermedad e P(e/s1,…,s2)

e1 0,2

e2 0,1

e3 0,8

e4 0,4

e5 0,0

… …

La enfermedad e3 es la más probable y la e5 la menos probable. Los sistemas de expertos probabilísticos pueden ayudar en esta clasificación y en el cálculo de probabilidades. Con ellos es posible:

o Crear bases de datos a partir de las variables de interés.

o Calcular las frecuencias absolutas y relativas de cualquier subconjunto de variables a partir de la base de datos

o Calcular las probabilidades condicionales

o Aprender de la experiencia. Al tener nueva información esta se añade a la base de datos y se cambian las frecuencias como corresponda.

o Trabajar con variables categóricas de binomial o multinomial. Por ejemplo:

Paciente EnfermedadSíntomas

s1 … sn

1 e1 0 1 0

2 e2 1 1 1

3 e3 0 1 1

…

N em 1 0 1

Los sistemas expertos pueden ayudar a los especialistas a:

o Tomar una decisión con un margen de error menor. La mejor decisión con la información que se tiene.

o Definir si se tiene información suficiente como para tomar la decisión más adecuada.

o Definir que tipo de prueba o evidencia necesita para lograr más infor-mación y tomar la decisión más adecuada.

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Actividad 6.1

Los sistemas expertos probabilísticos pueden utilizarse para resolver problemas como el presentado anteriormente u otro tipo de problemas. Busque distintas si-tuaciones reales donde se utilicen sistemas expertos probabilísticos

La ciencia de tomar decisiones

En la lección 2 se hizo referencia a diferentes trabajos de Kahneman y Tversky sobre la interpretación de la probabilidad. Estos trabajos fueron la base para un acercamiento entre la psicología y la economía.

Durante mucho tiempo teorías como la keynesiana, la de ciclo económico o mas recientemente la del homoeconomicus, eran las puntales de la economía. En 1979 Kahneman y Tversky publicaron su artículo Teoría de la perspectiva en Eco-nometrica donde realizaban una profunda crítica a la teoría de la utilidad como modelo de la adopción de decisiones bajo riesgo.

De acuerdo con Kahneman y Tversky la mente humana que aborrece la perdi-da, la perdida de una cantidad de dinero nunca resulta totalmente compensado por una ganancia equivalente: las pérdidas son percibidas siempre como mayores que las ganancias. Consideran que las personas subestiman los resultados que consideran sólo probables en comparación con los resultados que son obtenidos con seguridad, lo denominaron efecto certidumbre. Ellos propusieron estas situa-ciones a diferentes personas:

o Usted ha decidido ver una excelente obra de teatro y ha adquirido una en-trada a 5000 bolívares. Cuando está a punto de entrar al teatro, advierte que ha perdido la entrada. No recuerda tampoco el número de su butaca, de modo que no puede probar al encargado que realmente ha comprado una entrada. ¿Gastaría otros 5000 bolívares para una nueva entrada?

o Usted ha reservado una entrada para ver una excelente obra de teatro, que cuesta 5000 bolívares. Cuando llega al teatro advierte que ha perdido los 5000 bolívares que lleva en el bolsillo ¿Compraría otra entrada? (En el supuesto de que tiene suficiente dinero como para hacerlo.)

En este caso, en ambas situaciones se produce una pérdida similar, la mayor parte de la gente compra una nueva entrada después de haber perdido el dinero, pero no después de haber perdido la entrada. Las personas consideran que en el primer caso al comprar una nueva entrada esta “costará” ahora 10000 bolívares. Mientras que en el segundo caso los 5000 bolívares no se cargan a la entrada sino a otro “rubro”, por ejemplo la perdida de dinero.

Tversky y Kahneman estiman que el valor asignado a una perdida es dos ve-ces mayor que el asignado a una ganancia de igual magnitud. Las experiencias indican que 7 de 10 individuos prefieren un 25% de probabilidad de perder $ 6000 a un 50% de probabilidad de perder $ 4000 o $ 2000 con igual probabilidad (25%) para cada una.

En otra oportunidad trabajaron con inversionistas. Se les dio una suma hipoté-tica de Bs. 1 000 000 y se mostraron más inclinados a aceptar una ganancia se-gura de Bs. 500 000 sobre la inversión que aceptar un 50 y 50 por ciento de pro-babilidades de ganar Bs. 1 000 000 o no ganar nada. Sin embargo, en el caso de las posibles pérdidas, la situación se dio a la inversa: al ofrecerles una suma hipo-

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tética de Bs. 2 000 000, la mayoría de los inversionistas optaron por no aceptar una pérdida segura de Bs. 500 000 sobre la inversión y optaron, en cambio, por un 50 y 50 por ciento de probabilidades de perder Bs. 1 000 000 o no perder nada.

Daniel Kahneman, recibió el Nobel de Economía 2002 por haber integrado aspectos de la investigación psicológica en la ciencia económica, especialmente en lo que respecta al juicio humano y la toma de decisiones bajo incertidum-bre. Kahneman, junto con Tversky, desarrolló la Teoría de la Prospección (1 979), según la cual los individuos toman decisiones, en entornos de incertidumbre, que se apartan de los principios básicos de la probabilidad. A este tipo de decisiones lo denominaron atajos heurísticos que se apar-tan de los principios básicos de la probabilidad.

Este y otros trabajos de Kahneman cuestionan la teoría de la utilidad espera-da, base de la mayoría de los modelos económicos actuales. Según la teoría de la utilidad las decisiones individuales están gobernadas por la racionalidad. Se cree que los individuos son capaces de jerarquizar consistentemente, todas sus alter-nativas y elegir aquellas, que dada sus posibilidades, permiten alcanzar el máxi-mo nivel de satisfacción. Kahneman consideran que otros aspectos, como la per-cepción, las creencias, las emociones y la memoria, también influencian las deci-siones individuales bajo incertidumbre. Los trabajos de Kahneman permiten hoy día hacer una descripción mucho más adecuada del comportamiento individual en situaciones de incertidumbre que la teoría de la utilidad esperada.

Actividad 6.2

Considera la siguiente situación:

En una cierta noche en una cierta cuidad, una persona ha sido atropellada por un taxi, pero el conductor se ha dado a la fuga. En la ciudad sólo hay dos líneas de taxis: la Verde, que tiene el 85% de los automóviles, y la Azul, que tiene el restante 15%. Un testigo identifica al taxi como perteneciente a la compañía Azul. Cuando la fiscalía comprueba la confiabilidad del testigo bajo circunstan-cias similares a la noche del accidente, éste identifica correctamente el color del automóvil un 80% de las veces y se equivoca el otro 20%. ¿Cree usted que el testigo es confiable?. ¿Calcule la probabilidad de que el automóvil involucrado en el accidente pertenezca a la compañía Azul, tal como lo afirma el testigo?

Un grupo de científicos internacionales afirma haber encontrado un mo-delo matemático que puede calcular la probabilidad de un ataque de as-ma2

El descubrimiento, publicado en la revista académica británica Nature, podría ayudar a quienes sufren de asma a controlar los síntomas más efectivamente y podría mejorar las pruebas de nuevos medicamentos.

A través de un estudio en el que participaron 80 pacientes a lo largo de 18 me-ses, los expertos lograron predecir la probabilidad de que un ataque de asma ocurra dentro del plazo de un mes. Para ello se basaron en mediciones que calcu-lan con qué velocidad una persona puede exhalar aire de sus pulmones. Estas mediciones indican cuán bien -o mal- funcionan los pulmones del paciente. El mo-

2 http://news.bbc.co.uk/hi/spanish/science/newsid_4561000/4561378.stm

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delo que crearon se basa en la teoría del caos, que se aplica a sistemas complica-dos y difíciles de predecir, como el clima.

A través de este modelo pudieron determinar que las mediciones de los 80 pa-cientes que participaron de la investigación mostraban un cierto orden. Obser-vando estas fluctuaciones los científicos pudieron calcular el riesgo de que ocurra un ataque grave de asma dentro del plazo de 30 días.

Esta investigación podría traer grandes beneficios tanto a pacientes como a expertos, ya que en la actualidad se necesita de períodos largos de observación para determinar tras un gran número de ataques si una medicina funciona, pero ahora no sería necesario esperar a que la persona sufra un ataque.

Actividad 6.3

1. Lea el artículo Un indicador privilegiado: el porcentaje (Zurbano, Corral y Díaz, 2 003). De acuerdo a los programas de matemáticas y a su expe-riencia, ¿en la educación venezolana se le da al tópico porcentaje el enfo-que que sugieren los autores? En la educación venezolana, ¿se desarro-llan suficientes vinculaciones entre el porcentaje y la probabilidad? ¿Qué implicaciones podría tener la posición de estos autores respecto a la en-señanza de la estadística en general y de ese tema en particular? Escriba su posición argumentada, en dos o tres páginas.

2. Indague sobre otras aplicaciones de la probabilidad en la vida real. ¿El conocimiento de este tipo de aplicaciones podría generar cambios en la enseñanza de la probabilidad?

Referencias

Castillo, E., Gutiérrez, J.M. y Hadi, A.S. (1 998) Expert Systems and Probabilistic Network Models, Springer-Verlag.

Kahneman D. y Tversky. A. (1979). Prospect Theory: An Analysis of Decision Making Under Risk. Econometrica, XVLII (1 979), 263–291

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Unidad 3Lección 7

Aplicaciones de la Estocástica y su Didáctica

En las lecciones anteriores se estudiaron algunas aplicaciones de la Probabili-dad y la Estadística, por lo que una pregunta lógica es ¿Qué relación tiene esto con la didáctica de la estocástica? En esta lección se estudiará esa relación. Lo que se desea es vincular las aplicaciones de la Estocástica en situaciones de la vi-da real con su didáctica y esa relación puede ser utilizada en la escuela.

Necesidad de cambiar la enseñanza de la Estocástica

En la lección 2, se han expuesto algunas investigaciones sobre las dificultades que presentan los estudiantes al trabajar temas de probabilidad y estadística. Las investigaciones han revelado que algunas de las dificultades que confrontan los estudiantes podrían tener su origen en las dificultades epistemológicas propias de la estocástica, las cuales se reflejan en su aprendizaje. Éste puede ser el caso de la inferencia estadística, donde la polémica existente entre las tres escuelas fundamentales parece influir de forma negativa en la enseñanza de este tema.

Garfield y Alhgren (1 988) señalan que las falsas intuiciones de los estudiantes son otro elemento que influye en los resultados que se están obteniendo en los distintos cursos de estadística. Las falsas intuiciones que tienen los estudiantes sobre conceptos estocásticos como por ejemplo como la probabilidad y la correla-ción, actúan como obstáculos didácticos al momento de estudiar esos temas en el aula de clases. Otra de las fallas parece estar relacionadas con el uso del razo-namiento proporcional, el cual ha demostrado ser un tópico difícil para los estu-diantes en diversas investigaciones. Asimismo, estos autores consideran que en ocasiones los estudiantes muestran una falta de interés hacia la estadística por-que se les ha enseñado en forma muy abstracta.

La forma como se lleva a cabo la enseñanza, es sin duda otro elemento que in-fluye en los resultados encontrados en las investigaciones. La enseñanza de la matemática y la estocástica, como parte de ella en Venezuela, y muchos países generalmente responde a lo que se denomina la enseñanza tradicional, el cual se sintetiza en la siguiente figura:

En este esquema el docente presenta los elementos teóricos del tema a tratar, generalmente de forma directa sin reflexión o justificación alguna, luego coloca algunos ejemplos usualmente para ilustrar procedimientos o algoritmos de cálcu-lo. Posteriormente propone algunos ejercicios para ser realizados por los estu-diantes y prepararlos para la evaluación que realizarán en una clase posterior. Este esquema de clase responde a la que Charnay (1 994) denomina el Modelo Normativo, el cual grafica de la siguiente manera:

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Teoría Ejemplos Ejercicios Evaluación


En este modelo, también llamado centrado en el contenido, el interés central es “comunicar el saber” a los estudiantes, por lo que la labor del docente es co-municar ese saber. El contenido, el saber o conocimiento a ser aprendido, ya está acabado, ya está construido, por lo que sólo hay que enseñarlo. Para ello el do-cente presenta la teoría y propone ejemplos, mientras que los estudiantes deben aprender, para lo cual primero que todo deben escuchar, estar atentos, luego se entrenan, imitan, se ejercitan.

Villarroel (1 995) señala que este esquema de enseñanza responde a tres su-puestos y que han permanecido inalterables a lo largo de la historia, de allí que muchos lo conciban como la “esencia” de la enseñanza. Los tres supuestos a los que se refiere Villarroel son

o La transmisión de conocimientos. La enseñanza se concibe como el proceso de comunicación mediante el cual alguien le transmite algo a al-guien, el docente envía el mensaje y los estudiantes lo reciben. El mensaje es el conocimiento, por lo tanto el docente trasmite conocimiento a sus es-tudiantes. Lo que trasmite el docente son saberes, conocimientos que han sido construido por la sociedad a lo largo de su historia, por lo tanto el mensaje es básicamente información. El alumno debe apropiarse de la in-formación o más exactamente debe ser capaz de reproducirla, por lo cual debe memorizarla y comprenderla. Los alumnos se consideran exitosos si en las evaluaciones reproducen la información proporcionada por los do-centes, es decir, logran memorizar la información y en el mejor de los ca-sos comprenderla; pero eso no asegura que se hayan apropiado del cono-cimiento o sean capaces de aplicarla en nuevas situaciones. Por esta vía los estudiantes no se pueden apropiar del conocimiento porque para ello deben “equiparar su horizonte lingüístico (código comunicacional) al hori-zonte lingüístico en que ese conocimiento fue construido (código científi-co) y luego con su propio interpretación elaborar su propio conocimiento referido al anterior” (p.105). Esto significa que el supuesto de la transmi-sión de conocimientos es falso.

o Funcionalidad en la enseñanza. La funcionalidad en la enseñanza se refiere a “la pretensión de que la transmisión de contenidos correspon-dientes a una asignatura genera como efecto la formación del alumno en el marco de la disciplina que se esté considerando” (p. 105). La operacio-nalización de este supuesto son las diferentes asignaturas que conforman los planes de estudio en los distintos niveles de educación. Que una perso-na estudie ortografía en la universidad no significa que al culminar los cur-sos correspondientes será un especialista en esa área. Por hacer dos o tres cursos de estadística en su carrera nadie se transforma en un experto en estadística. La funcionalidad de la enseñanza también se hace extensi-va a las profesiones: se asume que el logro de un título garantiza que se

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desempeñará de manera eficiente en el campo laboral. La experiencia in-dica que en los dos casos este supuesto es falso.

o Enseñabilidad externa a la ciencia. La responsabilidad y garantía de la enseñanza descansa en un cuerpo disciplinario ajeno y externo a la cien-cia que se enseña que se denomina Pedagogía. En esta lógica, la Pedago-gía es la encargada de enseñar cualquier cosa, es por ello que en los pla-nes de estudio de formación de profesores se encuentran asignaturas de pedagogía y asignaturas del área de formación del profesor. En las prime-ras, aprende los principios y procedimientos generales que pueden apli-carse a la enseñanza de cualquier área, en las segundas, aprende el área a enseñar. Se supone que al culminar la carrera, el estudiante habrá he-cho la síntesis de lo aprendido en ambos tipos de asignatura y estará apto para enseñar, la responsabilidad de esa síntesis es exclusiva del nuevo do-cente. Esto es falso, entre otras cosas porque no considera las característi-cas propias del área o ciencia a enseñar. La naturaleza del área o ciencia a ser enseñada brinda pautas sobre el proceso que se puede llevar a cabo para su enseñanza.

Al enseñar matemática bajo un esquema como el presentado anteriormente, se niega la esencia de ella como ciencia y de su evolución. A lo largo de la histo-ria se puede verificar que la matemática se ha construido a partir de preguntas o problemas, que han provocado investigación y luego nuevos conocimientos. No obstante, todos sabemos que la producción de un nuevo conocimiento matemáti-co es la consecuencia de un proceso de investigación, reflexión y discusión. Los estudiantes sólo reciben el producto de esa investigación, casi nunca se hace re-ferencia ni al contexto ni al momento histórico al que corresponde ese conoci-miento. En el esquema tradicional, se enseña de forma dogmática, el aprendizaje es un acto de fe, no se discuten ni los conceptos ni las teorías, solo hay que acep-tarlas y aprenderlas. Por eso con mucha frecuencia se ve a la matemática como algo “mágico”, algo que sólo puede ser aprendido por los “escogidos”.

En el caso de la probabilidad y la estadística en Venezuela, este esquema di-dáctico, parece no producir buenos resultados. Por ejemplo, los resultados del Sistema Nacional de Medición y Evaluación del Aprendizaje (SINEA) indican que no hay dominio de las nociones fundamentales de probabilidad y estadística en la EB. Menos del 30% de los alumnos respondieron correctamente a las preguntas relacionadas con esos tópicos (SINEA, 1998).

Otro indicador, podría ser los resultados de la Prueba de Aptitud Académica (PAA). Los resultados de 2006, en los 4 modelos aplicados a recién egresados de EMDP, indican que el porcentaje de respuestas correctas en tópicos de probabili-dad y estadística oscila entre el 8,6% y 31,8%. A continuación se presentan cua-tro ejemplos de los ítems de la PAA 2006, al lado de cada alternativa se encuen-tra el porcentaje se estudiantes que señaló esa respuesta.

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Ejemplo 1: Un matrimonio planifica tener solamente dos hijos. ¿Cuál es la pro-babilidad que ambos sean de género masculino?

a. 1/3 (9,8%)

b. 1/2 (46,7%)

c. 1/4 (14,9%)

d. 1/6 (5,5%)

e. 1/5 (3,9%)

En blanco (19,1%) Muestra: 63045 Estudiantes

Ejemplo 2: En el siguiente conjunto de datos {7, 16, 23, 12, 3}, ¿qué diferencia hay entre el mayor de ellos y el promedio?

a. – 11 (5,9%)

b. 12,2 (18,9%)

c. 11 (23,6%)

d. – 10,8 (6,4%)

e. 10,8 (21,9%)


Ejemplo 3: Se lanza una moneda al aire dos veces. ¿Cuál es la probabilidad que se obtengan dos caras?

a. 1/6 (6,1%)

b. 1/2 (49,0%)

c. 1/3 (6,3%)

d. 1/4 (17,5%)

e. 1/5 (3,7%)


Ejemplo 4: Una pequeña empresa tiene ocho trabajadores. Un gerente que ga-na Bs. 2200000 mensuales, dos empleados administrativos con un sueldo de Bs. 1100000 mensuales cada uno y cinco obreros con sueldo mínimo de Bs. 460000 mensuales cada uno. ¿Cuál es le sueldo promedio mensual, en Bs., de un trabaja-dor de dicha empresa?

a. 840 000 (14,6%)

b. 838 500 (7,6%)

c. 837 500 (31,8%)

d. 858 000 (5,9%)

e. 860 000 (15,6%)


Actividad 7.1

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1. Responda los ítems de la PAA 2 006. ¿Qué conocimientos son necesarios para la resolución de cada uno de ellos? Analiza los resultados de cada ítem.

2. Revisa los programas de matemática de Educación Básica y Educación Me-dia Diversificada y Profesional. ¿Está previsto estudiar en esos niveles los contenidos necesarios para la resolución de los ítems anteriores? Presenta argumentos.

3. ¿Consideras que los estudiantes Educación Básica o Educación Media Di-versificada y profesional podrían resolver de los ítems anteriores? Presenta argumentos

4. Elabora un breve informe sobre la base de los requerimientos anteriores.

Salcedo (2 003) estudió la interpretación de enunciado de probabilidad por parte de estudiantes con distintos niveles de formación académica. Los resulta-dos indican que mientras mayor es el nivel de formación académico, mayor es el porcentaje de respuestas normativas y la argumentación correcta de la respuesta ofrecida. Sin embargo, los porcentajes son bajos en todos los grupos estudiados [egresados de EB, egresados de EMDP y Estudiantes universitarios con cursos de estadísticas aprobados] y sesgos [disponibilidad, equiprobabilidad, insensibilidad al tamaño de la muestra, conceptos erróneos sobre secuencias aleatorias y enfo-que en el resultado aislado]. Los porcentajes oscilan entre: 7% y 84% para la res-puesta normativa en los 5 sesgos estudiados, 2% y 26% para la argumentación correcta en 4 de los 5 sesgos considerados y entre el 2% y 24% para respuesta normativa asociada con argumentación correcta en 4 de los 5 sesgos evaluados. Sólo en el sesgo del enfoque en el resultado aislado para el caso de los estudian-tes de Educación Superior se alcanza altos porcentajes (entre el 46% y 84%) de respuesta normativa, argumentación correcta y respuesta normativa asociada con argumentación correcta.

¿Qué se pude hacer?

Las investigaciones han revelado que las personas tienen dificultades con las ideas de estadística y probabilidad y para interpretar correctamente información de esas áreas. Una primera fuente de posibles vías de solución es la misma esto-cástica. Tanto la estadística como la probabilidad son inseparables de sus aplica-ciones, son instrumentos en la búsqueda de solución a problemas externos a ellas, ese es su principal valor en la sociedad actual. Por lo tanto parece lógico que su enseñanza refleje esa característica, auque no se trata de hacer una ense-ñanza “utilitaria”, sino, como indica Holmes (1 980), que los estudiantes conoz-can:

o Los diferentes campos de aplicación y el modo como ha contribuido al de-sarrollo de la sociedad, para que comprendan y aprecien su papel en ella actualmente.

o Las formas básicas de razonamiento estadístico, sus potencialidades y sus limitaciones y así valoren a la estadística.

Autores como Holmes (1 997) y Batanero (2 001) señalan que la enseñanza de la estadística no puede estar desconectada de la realidad, no deben enseñarse las técnicas estadísticas sin ningún contexto de referencia y aspirar que los estu-diantes aprendan de memoria algunos conceptos, sólo dándole oportunidad de

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“aplicar” la estadística a algunos problemas que les proporciona el docente en clases.

Shaugnessy (1 992) señala que la mayoría de los cursos de probabilidad y es-tadística que son ofrecidos en el ámbito universitario son básicamente de dos ti-pos: (a) cursos basados en reglas, “receta” para el cálculo estadístico, (b) cursos demasiado matematizados. Por lo tanto, rara vez los estudiantes en el ámbito universitario, con todas sus creencias previas y errores conceptuales sobre la es-tocástica, tienen la posibilidad de mejorar su intuición estadística o de conocer la aplicabilidad de la estadística en sus áreas de estudio. delMas y Bart (1 987 cita-do por Shaugnessy 1 992) indican que la enseñanza tradicional no sólo es insufi-ciente para superar las creencias y errores conceptuales de los estudiantes, sino que incluso podría tener efectos negativos sobre la comprensión de la estocásti-ca. Esta observación es válida tanto para el nivel universitario como para la edu-cación Media y Básica. Sino se introducen actividades que ayuden a los estudian-tes a superar las dificultades que tienen en la compresión de la estocástica, sus concepciones erróneas, se corre el riesgo que los estudiantes terminen depen-diendo más de ellas, incluso luego de haberla estudiado en la escuela.

Para Shaugnessy (1 992), la enseñanza estocástica equivale a enseñar a resol-ver problemas y considera que los institutos universitarios y universidades, al igual que las escuelas de educación media y secundaria, han sido lentas para in-troducir cambios de la forma de enseñanza de la estocástica.

Las sugerencias para mejorar la enseñanza de la estocástica en el ámbito uni-versitario giran en torno a la utilización de juegos leales y desleales, simulacio-nes, paquetes de computación interactivos, estadística en hojas de cálculo y pro-yectos de investigación estadística. La enseñanza y aprendizaje de la estocástica implica la construcción de modelos de fenómenos físicos, el desarrollo y uso de estrategias, así como la comparación y evaluación de varios enfoques diferentes a los problemas, a fin de controlar posibles interpretaciones o representaciones erradas.

Ante esta situación Garfield y Alhgren (1 988) recomiendan:

a. introducir la materia a través de actividades y manipulaciones, y no me-diante abstracciones

b. utilizar ilustraciones visuales y poner énfasis en los métodos de explora-ción de datos.

c. enseñar estadísticas descriptivas por sí solas, sin relacionarlas con la pro-babilidad.

d. mostrar a los estudiantes el uso defectuoso de la estadística (es decir, en las noticias o anuncios).

e. usar estrategias para mejorar los conceptos de los alumnos acerca de los números racionales antes de aproximarse al razonamiento proporcional.

f. reconocer y afrontar los errores más comunes en el pensamiento probabi-lístico de los estudiantes.

g. crear situaciones que requieran razonamientos probabilístico que se co-rrespondan con la visión que tienen los estudiantes del mundo.

Una recomendación que aparece con frecuencia en las investigaciones para mejorar la comprensión de la probabilidad es dedicar más tiempo a la utilización de dispositivos como dados, monedas, ruletas, etc. que permitan a los estudian-

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tes realizar experimentaciones. Estas experimentaciones no tienen que ser exclu-sivamente con respectos a juegos, sino que se pueden utilizar par “simular” fenó-menos aleatorios de interés para los estudiantes y del mundo real. Con ello, lo que se busca es que los estudiantes confronten sus concepciones erróneas de es-tocástica y sus observaciones empíricas, de manera que puedan reconciliar la di-sonancia entre ellas. Shaugnessy (1 992) sugiere que de esta manera muchos es-tudiantes pueden cambiar sus creencias previas y errores conceptuales sobre la estocástica, no obstante, reconoce que ese cambio suele ser muy lento.

Con relación a la estadística, se señala que debe enseñarse de una manera ac-tiva, con un acercamiento multidisciplinario, que muestre la importancia que tie-ne para cada ciudadano temer una cultura estadística. En lugar de introducir los conceptos y técnicas fuera de contexto y únicamente algunas aplicaciones a pro-blemas tipo, se debe presentar la estadística en la forma como se usa en la reali-dad: para resolver problemas específicos. La presencia de la estadística en los planes de estudio para la formación de profesionales no especialistas en ella, se debe a las posibilidades que brinda en la comprensión de fenómenos de cada ca-rrera y en la resolución de problemas desde la perspectiva cuantitativa. Para la EB y EMDP lo que desea es comenzar a desarrollar una cierta cultura estadística. Además, como indica Santaló (1990), “En el mundo contemporáneo, la educación científica no puede reducirse a una interpretación unívoca y determinista de los sucesos. Una cultura científica eficiente reclama una educación en el pensamien-to estadístico y probabilístico”. La idea es no centrarse en la enseñanza de conte-nido por el contenido en si, ayudar a los estudiantes a desarrollar una actitud fa-vorable hacia la estocástica y su forma de pensar.

Uso de Proyectos

Para Holmes (1 997), una forma de seguir estas recomendaciones es introducir en las clases de estadística el trabajo con proyectos estadísticos de investigación, ya que con ellos:

se coloca a la estadística en un contexto y la hacen más relevante;

los estudiantes se sienten más motivados, sobre todo si son ellos los que seleccionan el problema a trabajar;

es posible trabajar con datos verdaderos, posibilitando el estudio real de conceptos claves para la estadística: variabilidad, confiabilidad, ne-cesidad de medición;

se acentúan la aplicación de la estadística y de su utilidad en la resolu-ción de problemas reales;

se demuestra que la estadística no es exclusivamente matemática

Hiebert y Lefevre (1 987, citados por Batanero 2 001) señalan que cuando los conceptos y procedimientos no están conectados, los estudiantes pueden dar res-puestas a los problemas sin comprender lo que hacen. La enseñanza tradicional de la estadística favorece el estudio por separado de los conceptos y procedi-mientos. Los proyectos estadísticos de investigación posibilitan que los estudian-tes logren una mejor conexión entre lo conceptual y lo procedimental en la apli-cación de la estadística.

Un esquema básico de la investigación con el apoyo de la Estadística incluye pasos como los siguientes:

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Esquema básico de investigación con apoyo de la Estadística

Al realizar proyectos estadísticos, sobre la base de los pasos anteriores, se contrastan las creencias o predicciones de los estudiantes con la evidencia em-pírica y se emiten conclusiones sobre la base de los datos recolectados. Los estu-diantes pueden mejorar su capacidad de argumentación, juzgar con propiedad la evidencia presentada, formular conjeturas e incentivar su creatividad, desarrollar su pensamiento estadístico y conocer los diferentes matices que posee la reali-dad social. Asimismo, incita la curiosidad del estudiante, incentiva la búsqueda de respuestas, valora su participación en la toma de decisiones y le ayuda a recono-cer lo variado de la realidad social.

Los proyectos estadísticos de investigación pueden realizase en forma indivi-dual y en equipo. En ambos casos, los estudiantes deberían tener oportunidad de presentar sus trabajos para que sean conocidos y evaluados por sus compañeros. Se trata de constituir en el aula una pequeña comunidad de personas que apren-den, tal como lo hace la comunidad científica actualmente. Batanero (2 003) re-salta la importancia de trabajo cooperativo en la enseñanza de la estadística:

las recientes teorías de aprendizaje destacan el valor de la interacción so-cial y el discurso en la construcción del conocimiento, de allí la necesidad de que los docentes de estadística programen actividades que favorezcan el trabajo cooperativo de los alumnos en sus clases;

es necesaria la colaboración entre profesores (de diferentes niveles educa-tivos) e investigadores en educación estadística en la recolección de datos sobre la enseñanza o en la evaluación del aprendizaje, así como el análisis y la interpretación de estos datos, con miras a lograr mejoras en la educa-ción estadística.

Todos los estudiantes son ciudadanos, por lo que deben estar preparados para manejarse con propiedad en una sociedad donde abunda el uso de datos y gráfi-cos para comunicar información e influir en las decisiones. La estadística más que una forma de hacer, es una forma de pensar que puede ayudar a resolver proble-

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mas científicos y de la vida cotidiana, por lo tanto su enseñanza debe ser un fiel reflejo de ella.

Simulaciones

Konold (1 995) considera que las actividades que usualmente se realizan en el aula no les dan oportunidad a los estudiantes para verificar la ausencia de validez de algunos de sus “conocimientos” sobre probabilidad. Este investigador conside-ra que es necesario que el docente estimule a los estudiantes para que examinen si sus creencias sobre eventos aleatorios: (a) coinciden con las creencias de otros, (b) son coherentes con sus propias creencias sobre otras cosas relaciona-das, si se confirman con la evidencia empírica.

Moore (1 998) recomienda dar a los estudiantes la oportunidad de experimen-tar con datos y problemas reales, realizar simulación con el computador puede contribuir a mejorar la comprensión del estudiante de las ideas estadísticas.

Shaughnessy (1 992) reporta los efectos de la enseñanza sobre algunos sesgos en la interpretación de la probabilidad por parte de los estudiantes universitarios con pocos conocimientos de estocástica. Luego de varias intervenciones didácti-cas, encontró diferencias significativas entre los grupos control y los experimen-tales, a favor de estos últimos, quienes dependían mucho menos de las heurísti-cas. Este autor considera que el éxito se le puede atribuir al modelo de enseñan-za utilizado para la realización de las actividades. Primero, los estudiantes debían adivinar los resultados del experimento aleatorio. Luego, debían realizar el expe-rimento aleatorio muchas veces, para recopilar sus datos, los cuales posterior-mente debían organizarlos. Después, los estudiantes respondieron a las pregun-tas basados únicamente en sus datos, comparando seguidamente sus resultados experimentales con los pronósticos iniciales. Los estudiantes confrontaron, de for-ma explícita, sus concepciones erróneas con la evidencia experimental. Inmedia-tamente, se construyó un modelo de probabilidad teórica que pudiera explicar los datos experimentales que se habían recopilado. Los estudiantes compararon las tres piezas de información: sus predicciones, los resultados empíricos experimen-tales y los resultados predichos por el modelo. Todo esto permitió colocar a los estudiantes en posición de tener que reconciliar la disonancia entre sus concep-ciones erróneas de estocástica y sus observaciones empíricas.

Este modelo de intervención didáctica puede apoyarse en simulaciones, facili-tando el trabajo de estudiantes y docentes. En ocasiones, los experimentos alea-torios no pueden ser reproducidos en el aula (observar el sexo de un recién naci-do, el clima que se registrará en un tiempo determinado, las respuestas posibles a una encuesta de interés social) por lo que se hace necesario recurrir a la simu-lación.

Batanero (2 001) indica que en la simulación se ponen en correspondencia dos experimentos aleatorios diferentes, de tal manera que a cada suceso elemental del primer experimento le corresponda uno y sólo un suceso elemental del segun-do. Así se realiza un experimento aleatorio y sus resultados indican la ocurrencia o no de los sucesos del experimento aleatorio de interés. Una posibilidad es utili-zar materiales manipulables para simular un experimento que no se puede repro-ducir en el aula (lanzamiento de una moneda, extraer bolas o fichas de una bolsa o caja, etc.)

De esta manera los estudiantes recolectan “observaciones” sobre experimen-tos aleatorios y se posibilita que cada estudiante trabaje con datos “propios”. La simulación posibilita el estudio detallado del fenómeno en el aula, elimina las va-

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riables irrelevantes a su estructura y permite que se dedique el tiempo al estudio del fenómeno en sí. Por ejemplo, el lanzamiento de una moneda se puede utilizar para simular los nacimientos que ocurren en un hospital cualquiera. Uno de los la-dos de la moneda representará los nacimientos de niños y el otro los nacimientos de niñas, “se modela” así la realidad de un día cualquiera en ese hospital. Los da-tos recolectados pueden utilizarse en un proyecto estadístico, donde se estudie por ejemplo, la variabilidad en muestras grandes y muestras pequeñas.

Base de datos

La utilización de datos reales es otro aspecto importante si se desea vincular la enseñanza de la estocástica con sus aplicaciones en la vida. Entonces los estu-diantes deben tener oportunidad de utilizar la estadística y la probabilidad para resolver problemas que ellos planteen o que el docente presente. Ello permitiría que los estudiantes tomaran la decisión sobre qué datos recoger, recogerlos, ana-lizarlos y presentar sus conclusiones respecto a un problema planteado.

Si bien la recolección de los datos es un elemento clave en el proceso de in-vestigación, también es cierto que es un proceso que puede ser laborioso y en el cual se puede invertir un buen tiempo. En el marco del aula de clases, el tiempo invertido en recolección limita el disponible para el tratamiento de los datos, lo cual podría atentar contra los objetivos de la actividad.

Una opción es plantearse trabajos de investigación o proyectos de investiga-ción que conlleven la utilización de datos ya recolectados. Se podrían utilizar da-tos de los censos de organismos gubernamentales, así como de grupos de inves-tigación o personas particulares a los cuales tenga acceso el docente o los estu-diantes. En la actualidad, la mayoría de los institutos u oficinas gubernamentales de estadística tienen páginas Web donde publican información estadística actuali-zada sobre los principales indicadores económicos y sociales. Las páginas Web de los institutos gubernamentales de estadística constituyen una gran base de datos para investigaciones estadísticas y la oportunidad para docentes y estudiantes de aplicar la estadística a situaciones reales.

Actividad 7.2

Realiza una búsqueda en Internet para hallar bases de datos que puedan ser usa-das en actividades de enseñanza de la estocástica. Selecciona una y desarrolla una actividad de aprendizaje donde la incorpores. No omitas detalles sobre como utilizarías esa base de datos en la actividad.

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Uso de Tecnología

Las calculadoras, las computadoras y los programas que se han desarrollado han cambiado la forma de hacer estadística. Anteriormente, el acento fundamen-tal se hacía en los cálculos y muy pocas veces se utilizaban los métodos gráficos. El software existente facilita el análisis de un mayor número de datos y el acceso a diversas técnicas estadísticas, desde una simple media aritmética a complejos análisis multivariantes, además de amplias posibilidades de graficación.

Ese acceso a la computadora y a los programas también está provocando cambios en la enseñanza de la estocástica. Por ejemplo, la computadora permite realizar gráficos en muy poco tiempo y cambiarlos rápidamente sin mayor proble-ma, si es necesario. Esto es una gran ventaja en la enseñanza, ya que posibilita que el estudiante pueda evaluar los cambios que ocurren al suprimir uno o más datos. Así mismo puede realizar los cálculos nuevamente sobre la base de los da-tos modificados. Todo ello en conjunto puede ayudar al estudiante a comprender mejor conceptos de estadística y probabilidad.

Los proyectos estadísticos de investigación pueden apoyarse en las calculado-ras y las computadoras, las cuales facilitan el trabajo y permiten que se haga me-nos matemática y más estadística. Batanero (2 000) indica que en los cursos tra-dicionales, se le da gran importancia al cálculo, con papel y lápiz, aspecto que pierde importancia frente a las calculadoras y las computadoras. Los estudiantes deben usar calculadoras (científicas o graficadoras) y programas de computado-ras en la resolución de problemas estadísticos, donde se utilicen datos reales. Los datos de los proyectos estadísticos también pueden ser generados por simulacio-nes. Dada una situación problemática, se puede utilizar procedimientos o rutinas del computador para generar supuestos datos de esa situación. Un programa tan común como una hoja de cálculo puede ser utilizado para generar cientos de nú-meros aleatorios, y lograr con ello los “resultados” de un experimento aleatorio. Además, esa misma hoja de cálculo puede utilizarse para representar gráfica-mente los datos obtenidos y efectuar mediciones estadísticas.

Las calculadoras y las computadoras también pueden ayudar en las simulacio-nes. En ocasiones se requiere una cantidad importante de datos para apreciar con propiedad los fenómenos aleatorios, por lo que se debe repetir el experimen-to un gran número de veces. Con el uso de material manipulable para simular el experimento aleatorio, se invierte un tiempo importante en esta actividad, con la posibilidad de que los estudiantes pierdan interés en la actividad o se distraigan del objetivo inicial. Las calculadoras y las computadoras pueden generar números aleatorios que pueden ser utilizados para las simulaciones. Batanero (2 001) se-ñala que, si bien es importante que el estudiante realice algunas actividades de simulación con material manipulable, es el computador la herramienta que pro-porciona mayor potencia en la realización de simulaciones, construcción de mo-delos y análisis de ellos.

Una de las dificultades que presenta el uso del software estadístico especiali-zado son los altos costos, para suplirlos se puede hacer uso de las hojas de cálcu-lo que comúnmente se encuentran en las maquinas. Estos programas se encuen-tran disponibles en la mayoría de las computadoras y cuentan con una gran va-riedad de funciones estadísticas, las cuales permiten aplicar las técnicas estadís-ticas más conocidas, tanto de estadística descriptiva como inferencial, a situacio-nes de investigación o en proyectos planteados por el profesor o por los mismos estudiantes. Asimismo estos programas cuentan con “Macro”, los cuales permi-ten integrar en diversas funciones de las hojas de cálculo para desarrollar peque-

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ños programas. Los Macros de las hojas de cálculo permiten desarrollar aplicacio-nes de mayor complejidad de las que corrientemente se usan en este tipo de pro-grama, utilizando un lenguaje de programación y automatizar tareas rutinarias. Estas tareas pueden ser archivadas y ejecutarse nuevamente cuando se necesite. El docente puede crear los macros ajustándolos a las necesidades de su clase y posibilitar que los estudiantes los utilicen como un medio para confrontar sus ideas intuitivas con la evidencia “empírica”. También puede utilizarse lenguajes de programación como Java o Flash para desarrollar simulaciones (applet)

En Internet también se encuentran de forma gratuita pequeños programas, de-sarrollados en lenguajes de programación como Java o Flash, diseñados especial-mente para la enseñanza de tópicos de probabilidad y estadística. Los programas de simulación permiten que el estudiante pueda manipular, cambiar algunos pa-rámetros e inmediatamente verificar las consecuencias del cambio en pantalla. Esta interacción con el programa, junto a la orientación del docente (mediante la formulación de preguntas apropiadas), puede ayudar al estudiante a reconocer patrones o resultados importantes que le permitan comprender mejor conceptos de estadística y probabilidad.

Actividad 7.3

1. Revisa con detenimiento la hoja de cálculo de una computadora que ten-gas a disposición y determina cuáles funciones estadísticas tiene incorpo-radas. ¿Qué tipo actividades de permitiría realizar esas funciones? Presen-ta un ejemplo.

2. Realiza una búsqueda en Internet para hallar simulaciones desarrolladas en lenguaje de programación Java o Flash para la enseñanza de la estadís-tica. Utiliza por lo menos uno. Evalúalo, determina ventajas, desventajas, fortalezas y debilidades. Desarrolla una actividad de aprendizaje donde in-corpores el programa que utilizaste.

Referencias

Batanero, C. (2 001). Aleatoriedad, modelización, simulación. Presentado en la X Jornadas sobre el Aprendizaje y la Enseñanza de las Matemáticas, Zaragoza. Disponible en: http://www.ugr.es/local/~batanero

Charnay, R. (1994). Aprender (por medio de) la resolución de problemas. En: Pa-rra, C. y Saiz, I. (Comps) Didáctica de matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidos Educador

Sistema Nacional de Medición y Evaluación de los Aprendizajes (1998). Informe del docente 3º, 6º y 9º grado. Caracas: Ministerio de Educación

Villarroel, C. (1995). La enseñanza universitaria: de la transmisión del saber a la construcción del conocimiento. En: Educación Superior y Sociedad 6 (1) 103 – 122.

Salcedo, A. (2003) Sesgos en la interpretación de la probabilidad en diferentes ni-veles de formación académica. Universidad Central de Venezuela Trabajo de Ascenso no publicado.

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Unidad 3Lección 8

Proyectos y enseñanza de la Estocástica

En la lección anterior se presentaron los proyectos como una alternativa para la enseñanza de la estocástica. En esta lección se presentan algunas ideas para la realización de proyectos para la enseñanza de la estocástica. Es importante que vincule las ideas que aquí se presentan con su experiencia como docente.

Ideas para Proyectos

En los proyectos los estudiantes pueden elegir un tema de su interés o puede ser propuesto por el docente, a partir de una duda o inquietud. Es importante que los estudiantes definan los objetivos, elijan los instrumentos que utilizaran obte-ner los datos para dar respuesta a la interrogante planteada y si es necesario se-leccionar las muestras, analizar e interpretar los datos.

A continuación se presentan situaciones o inquietudes que pueden ser utiliza-dos para la creación de un proyecto. Para todas las propuestas usted debe:

o El posible grado donde la utilizaría. No se guíe exclusivamente por el pro-grama.

o Fijar los objetivos

o Establecer que datos son necesarios

o ¿Cómo animaría a los estudiantes para realizar el proyecto?

o Conceptos de estadística y/o probabilidad que podrían ser trabajados.

o Estructura de la clase (o clases) donde se trabajaría el proyecto

o Dificultades con las que se podría encontrar. ¿Cómo las solventaría?

Análisis demográfico

Batanero (1 999) propone el proyecto Análisis Demográfico. En este proyecto se trabaja con una serie de variables demográficas, como por ejemplo: Tasa de natalidad, Tasa de mortalidad, Mortalidad infantil, Esperanza de vida, Producto Nacional Bruto. Esta información puede ser localizada en Internet o en anuarios estadísticos para la mayoría de los países del mundo. Batanero sugiere utilizar es-te tipo de información los estudiantes de Media podrían realizar análisis descripti-vo, con fines exploratorios. Rouncenfield (1 995) propone utilizarlo para que los estudiantes comparen las variables en los diferentes grupos de países y formu-lando por si mismos preguntas de su interés.

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Actividad 8.1

Busque en Internet los datos señalados anteriormente y elabore una matriz con ellos. ¿Qué actividades les plantearía a estudiantes de 9no grado para trabajar con esa matriz? Realícela. ¿Luego de hacerla mantiene el criterio de realizarla con estudiantes de 9no grado? En caso de no mantenerla en ese grado a ¿Cuál la cambiaría? En caso de mantenerla ¿Qué cambios le haría para que la realizaran estudiantes de 7mo grado? ¿Qué cambios le haría para que la realizaran estudian-tes 2do de ciencia?

Mensaje Misterioso

En la biblioteca pública ha encontrado un viejo libro que en una de sus páginas tiene la siguiente inscripción.

?&” *(&{=!º&” )= /$[=“º/ç%!/&$ ¿”%$)& =“º%)/”º/!% ?= *=(+/º=$ %? =“º¿)/%$º= *=(+/º=$ %*(=!/%( /+*&(º%$!/% )=? º(%]%j& )=? =“º%)/”º/!& { ?%” )/f/!¿?º%)=“ !&$^¿= “= *¿=)= =$!&$º(%(, %)=+%” )= %!=(!%?& % “¿ ¿”& *%(% ?% “&?¿!/&$ )= *(&]?=+%” )= ?% [/)% (=%?.

Se sabe que es quien escribió tenía la intención de comunicar algo. ¿Cómo se podría averiguar el contenido de este mensaje? ¿Qué método utilizarás para des-cifrarlo?

¿Tiene ventaja el equipo que juega en su propia casa?

Con frecuencia se indica que en el Béisbol, el equipo que juega en su casa, tie-ne ventaja porque cuenta con un “jugador extra”: el público. ¿Será esto cierto? Durante el campeonato de béisbol se pueden recolectar los datos que permitan esclarecer la duda. Los alumnos tratarán de ver si es cierta la creencia de que el jugar en su propio campo favorece al equipo, analizando, para cada uno de los equipos que participan en el campeonato. Los estudiantes también pueden reco-lectar datos en la hemeroteca. (Es una variación de una propuesta de Batanero (2 001))

Actividad 8.2

¿Que datos deben conseguir los estudiantes para saber si tiene ventaja el equipo que juega en su propia casa? ¿Qué medidas debe calcular? ¿A qué grado la pro-pondría?

Estimando el tiempo

¡Espérame 5 minutos! ¡En diez minutos salgo! ¡Llevo dos horas esperando! ¡Llegue hace 15 minutos! Estos son ejemplos de expresiones relacionadas con el tiempo que usamos con cierta regularidad. Todas ellas tienen en común que quien la expresa hace de alguna manera una estimación del tiempo, ya sea trans-currido o por transcurrir. Pero, ¿qué tan bueno es usted estimando el tiempo? ¿Tiende usted sobrestimar o subestimar el tiempo? ¿Es consistente su estimación del tiempo? ¿Qué tan buena es su estimación del tiempo en comparación con otras personas?

Estimando distancias

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¡Eso mide como un metro! ¡Para ver, con medio metro es suficiente! ¡Cómpra-te 4 metros, hasta va a sobrar! Al igual que el tiempo en muchas ocasiones debe-mos estimar longitudes. ¿Se pueden estimar longitudes? ¿Sobrestima o subesti-ma usted las longitudes? ¿Son consistentes sus estimaciones de la longitud? ¿Qué tan buena es su estimación de la longitud en comparación con otras perso-nas?

Un metro aproximado

Con mucha frecuencia algunas personas extienden uno de sus brazos y utilizan la distancia que hay desde el extremo del dedo medio de la mano de ese brazo hasta el hombro del brazo contrario, como una aproximación al metro. Muchas veces esas personas confían en esa longitud como si fuera una medida exacta del metro. ¿Significa esto que todas las personas adultas tienen esa medida igual? ¿Los brazos de todas las personas tienen esa misma longitud? ¿Será esa longitud equivalente a un metro? ¿Será una buena estimación de un metro de longitud? ¿Cómo podemos saber si realmente esa medida es adecuada como equivalencia del metro?

Síndrome de Down

El síndrome de Down fue descrito por primera vez por el medico inglés Long-don Down. En 1959 se descubrió que un niño afectado por este síndrome cuenta con 47 cromosomas en lugar de los 46 que tienen las células normales. El síndro-me de Down no es hereditario ya que no está escrito sobre los cromosomas, se debe a un cambio en el número de cromosomas. Pero, ¿de que depende que cambie le número de cromosomas? Aunque no se sabe exactamente porque se da ese cambio, algunas personas creen que está asociado a la edad de la madre, aunque algunos consideran que esta asociado a la edad del padre. ¿Cómo se pue-de saber si hay alguna relación entre la edad de uno de los progenitores y el naci-miento de un niño con síndrome de Down? (basado en una propuesta de Castel-nuovo (2 001))

Actividad 8.3

1. ¿Cuál de los proyectos anteriores les propondría a estudiantes de 2do año de EMDP? Justifique su respuesta

2. Considere la posibilidad de hacer un proyecto junto con uno o más profeso-res de ese mismo grado. Detalle el proyecto que realizaría. Desarróllelo. Converse con los docentes para explorar las posibilidades de llevarlo a ca-bo. Presente un pequeño informe sobre lo realizado

3. Lea el artículo El Papel de los Proyectos en la Enseñanza y Aprendizaje de la Estadística (Batanero y Díaz, 2 004). Sobre la base de la lectura y su ex-periencia presente un ensayo, de dos o tres paginas, sobre las posibilida-des de realizar en la educación venezolana proyectos para la enseñanza de la estadística. Presente argumentos a favor o en contra.

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Referencias

Batanero, C. (1999) Análisis Exploratorio de Datos en la Escuela Secundaria. En Atas da Conferência Internacional Experiências e Expectativas do Ensino de Estatística - Desafios para o Século XXI

Castelnuovo, E. (2001) De Viaje con la matemática. Imaginación y razonamiento matemático. México: Trillas

Rouncenfield (1995). The statistics of poverty and inequality. Journal of Statistics Education, 3(2).

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MÓDULO 3Estocástica en el Currículo


Diseñar actividades de aprendizaje para los contenidos de estadística y probabili-dad incluidos en el currículo oficial.

UNIDAD N° 4: Estocástica en los planes y programas


Analizar el enfoque de la enseñanza de la probabilidad y la estadística propuesto en los programas oficiales y su relación con otros contenidos.

CONTENIDOS:

La estocástica en los programas oficiales. Contenidos básicos de la estadística y la probabilidad. Estándares NCTM y otros programas. Integración de la estadística y la probabilidad con otros contenidos matemáticos.

UNIDAD N° 5: La Estocástica y los Materiales Curriculares


Analizar diversos materiales curriculares utilizados en enseñanza de la estocásti-ca

CONTENIDOS:

Materiales curriculares en estocástica, tipos y características. Recursos en Inter-net. Fuentes de datos. Software especializado para la enseñanza de la estadística y la probabilidad. Simulaciones.

UNIDAD N° 6: La enseñanza de la estocástica


Diseñar entornos de aprendizaje para la enseñanza de la estadística y la probabi-lidad, haciendo uso de diversas tecnologías.

CONTENIDOS:Diseño y criterios para el análisis de entornos de aprendizaje para la enseñanza de la estadística y la probabilidad con diversas tecnologías. Proyectos integrado-res. Actividades extracurriculares en estadística y probabilidad. Prácticas Escola-res.

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Unidad 4Lección 9

La Estocástica en los Programas de Estudio

Conocer los programas de estudio de matemática es muy importante para los profesores de matemáticas, más aun para un profesor en formación como es el caso de los estudiantes de este curso. En esta lección se inicia el trabajo con los programas de estudio, particularmente con los contenidos de estocástica que se encuentran presentes en la III etapa de Educación Básica y en la Educación Media Diversificada y Profesional. Sin embargo, también se le da una mirada a los con-tenidos de estocástica presentes en la I y II etapa de Educación Básica. La razón es muy sencilla, de acuerdo con los programas, los estudiantes venezolanos co-mienzan a estudiar estocástica desde el primer grado de EB, por lo tanto no se puede obviar lo previsto en los programas para esas dos etapas. Se supone que al comenzar el trabajo en estocástica en la III etapa, los estudiantes han logrado ciertos conocimientos, habilidades y actitudes en el área de la estocástica, por lo que es conveniente que el profesor de matemáticas esté al tanto de ello.

La Estocástica y los Programas

¿Estocástica en Educación Básica?

En Venezuela hasta 1972 la estadística y la probabilidad estaban reservadas para el ámbito universitario3. A partir de ese año los programas de matemática de la Educación Media presentan una unidad sobre nociones de probabilidad y es-tadística. A finales de la década de los ochenta que estos temas se incluyen tam-bién en la Educación Básica. Al respecto Becerra y Moya (1989) señalan que su presencia desde el primer grado es una de las principales innovaciones que pre-sentan los programas. La razón que presentan estos autores es que esta área constituye una de las herramientas fundamentales para el desarrollo científico y tecnológico.

Uno de los primeros países en incorporar la estadística y probabilidad a la edu-cación formal no universitaria fue Inglaterra. En 1 961 se integra al currículo de ese país temas de probabilidad y estadística exclusivamente para estudiantes de 16 a 19 años que cursan la especialización en matemáticas. En principio lo que se quería era dar a los estudiantes una visión más amplia de las posibilidades de aplicación de la matemática a la vida real (Holmes, 2 002). Años después, se ini-ció en ese mismo país el School Council Project por medio del cual se recolecta-ron evidencias de que era posible iniciar la enseñanza de probabilidad y estadísti-

3 Al parecer la primera institución formal donde se estudió estadística en Venezuela fue la Escuela de Preparación Estadística fundada en 1939, cuya función era la preparación personal a nivel medio para la estadística y el censo. La función de esta escuela fue reglamentada al promulgarse la Ley de Esta-dística y Censos Nacionales en 1944, durante el gobierno de Isaías Medina Angarita. La Escuela de Es-tadística y Ciencias Actuariales de la Universidad Central de Venezuela, fundada en 1953, fue la pri -mera en el ámbito universitario en Venezuela.

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ca desde la escuela primaria (Holmes, 1 980). Para los integrantes de este pro-yecto las razones que justifican la incorporación de estos temas a la educación elemental son:

o La estadística es una parte de la educación general deseable para los futu-ros ciudadanos adultos, quienes precisan adquirir la capacidad de lectura e interpretación de tablas y gráficos estadísticos que con frecuencia apare-cen en los medios informativos.

o Es útil para la vida posterior, ya que en muchas profesiones se precisan unos conocimientos básicos del tema.

o Su estudio ayuda al desarrollo personal, fomentando un razonamiento críti-co, basado en la valoración de la evidencia objetiva.

o Ayuda a comprender los restantes temas del currículo, tanto de la educa-ción obligatoria como posterior, donde con frecuencia aparecen gráficos, resúmenes o conceptos estadísticos.

Para Godino, Batanero y Cañizares (1 987) las razones por las cuales se debe incluir la estadística y probabilidad en el currículo de Educación Básica son:

o Es una parte de la educación general deseable para los futuros ciudadanos adultos, es decir, es un componente de la cultura básica en nuestra socie-dad;

o Es útil para la vida posterior, el trabajo y tiempo libre.

o Ayuda al desarrollo personal, fomentando el cultivo de las capacidades in-telectuales y sociales;

o Ayuda a comprender otros temas del currículo

En nuestro país la estadística fue introducida en la Educación Básica en la re-forma curricular llevada a cabo a mediado de los años ochenta. A lo largo de los programas de matemática se agregaron contenidos de estadística (desde 1º a 9º grado), constituyendo una singularidad en la educación elemental del país. En esa misma reforma también se incorporó la probabilidad a Educación Básica, es-pecíficamente a partir de la II Etapa (desde 5° Grado). Se consideró que el ele-mento incertidumbre se encuentra presente en la vida cotidiana, la idea de pro-babilidad no es ajena al mundo del niño y la escuela no puede obviar esto. Tanto la estadística como la probabilidad son consideradas instrumentos fundamentales para el desarrollo científico y tecnológico, por ende necesarias en la escuela.

Los diseñadores de la reforma curricular efectuada a finales de los años noven-ta mantuvieron un criterio semejante respecto a la importancia de estos conteni-dos. Consideran que son amplias las posibilidades que ofrecen la estadística y la probabilidad para interrelacionar todas las áreas académicas presentes en la edu-cación básica. En el programa de estudio del área de matemática de la I Etapa de la Educación Básica se le indica al docente:

En la primera etapa de la Educación Básica se presentarán situaciones senci-llas, basadas en la realidad cotidiana, donde el estudiante podrá recolectar, orga-nizar y clasificar datos e interpretar su significado. Con esto, el alumno se inicia en la comprensión de contenidos que le serán muy útiles en su vida diaria (Minis-terio de Educación, 1 997, p. 8)

Al docente de la II Etapa de Educación Básica se le señala en el programa de estudio:

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El estudio de la estadística y la probabilidad permiten al niño valorar su utilidad para interpretar situaciones ambientales y sociales, y tomar decisiones referidas a aquellas en su vida familiar y escolar, a partir del análisis de informaciones obtenidas en tablas y gráficos. Es un ex-celente medio para interrelacionar la matemática con diversas áreas científicas y sociales, y para reforzar valores como la honestidad en la presentación de resultados.

Las medidas de tendencia central, media, mediana y moda, permiten interpretar propiedades generales de un conjunto de datos presenta-dos. Estos datos deben ser interesantes y relevantes para el niño. Los medios de comunicación social y el propio ambiente de la clase, ofrecen información que es útil para el trabajo con este bloque (Ministerio de Educación, 1 998, p. 124)

Actividad 9.1

1. Revise los argumentos presentados por Holmes (1 980), Godino, Batanero y Cañizares (1 987) y los expuestos por las autoridades educativas venezo-lanas, a través de los programas, sobre la importancia de que se estudie estadística y probabilidad en la Educación Básica o Elemental.

2. Revise las lecciones 3 y 4, donde se discute aspectos referentes a la cultu-ra, razonamiento y pensamiento estadístico. Vincule lo expresado en esas lecciones con la revisión que realizó en el punto 1 de esta actividad.

3. Haga un análisis comparativo y elabore un escrito de dos o tres páginas donde presente su posición respecto a la importancia de que se estudie es-tadística y probabilidad en la Educación Básica o Elemental. Si lo desea puede buscar otras fuentes de información para complementar.

En la Tabla I se resumen los contenidos que contemplan los programas de es-tudio, producto de las reformas de 1 985 y 1 996, de la Educación Básica para Es-tadística y Probabilidad.

Tabla I

Grado Reforma 1 985 Reforma 1 996

1ro Elaboración y aplicación de encuestas sencillas, construcción e interpretación de tablas, gráficos de barras y picto-gramas

Elaboración y aplicación de encues-tas sencillas, construcción e interpre-tación de tablas, gráficos de barras y pictogramas

2do. Elaboración y aplicación de encuestas sencillas, construcción e interpretación de tablas, gráficos de barras y picto-gramas

Elaboración y aplicación de encues-tas sencillas, construcción e interpre-tación de tablas, gráficos de barras y pictogramas. Noción de azar, sucesos imposibles, seguros y probables.

3ro. Elaboración y aplicación de encuestas, construcción e interpretación de ta-blas, gráficos de barras y pictogramas

Elaboración y aplicación de encues-tas, construcción e interpretación de tablas, gráficos de barras y pictogra-mas. Noción de azar, experimento aleatorio, construcción e interpreta-ción de tablas para el registro de re-

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sultados, experimento aleatorio.

4to. Elaboración y aplicación de encuestas, construcción e interpretación de ta-blas, gráficos de barras y pictogramas

Elaboración y aplicación de encues-tas, construcción e interpretación de tablas, gráficos de barras y pictogra-mas. Determinación de la moda en datos no agrupados.

5to. Media aritmética, moda, mediana, No-ción de azar, sucesos imposibles, segu-ros y probables. Cálculo de probabilida-des a partir de la definición clásica.

Media aritmética, Noción de azar, su-cesos imposibles, seguros y proba-bles. Cálculo de probabilidades a par-tir de la definición clásica.

6to. Distribuciones de frecuencia, construc-ción e interpretación de gráficos de ba-rras y sectores. Cálculo de probabilida-des a partir de la definición clásica. Diagrama de árbol.

Distribuciones de frecuencia, cons-trucción e interpretación de gráficos de barras y sectores. Construcción e interpretación de histogramas, cálcu-lo de la media aritmética y la media-na. Nociones de conteo. Cálculo de probabilidades a partir de la defini-ción clásica. Diagrama de árbol.

Fuente: Ministerio de Educación 1985, 1997, 1998

Actividad 9.2

3. Compare los contenidos de estocástica previstos a estudiar en las dos pri-meras etapas de Educación Básica en ambas reformas. Encuentre seme-janzas y diferencias. Destaque los cambios más importantes realizados en la reforma de 1 996.

4. Revise exclusivamente los contenidos de estadística reforma de 1 996, en resumen ¿qué estudian de Estadística los alumnos de las dos primeras eta-pas de Educación Básica? Realice el mismo trabajo con los contenidos de probabilidad, ¿qué estudian de probabilidad los alumnos de las dos prime-ras etapas de Educación Básica?

5. De acuerdo con los programas oficiales, defina el perfil del egresado de la II etapa de la EB en cuanto a la estocástica. Argumente sus repuestas.

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Estocástica en III etapa de EB y EMDP

Tal como se expresó antes en 1 996 se llevó a cabo una reforma de los progra-mas de matemáticas de la Educación Básica, sin embargo esta reforma sólo in-cluyó las dos primeras etapas. Hasta la fecha no se han producido cambios oficia-les en los programas de estudio de la III etapa, por lo que siguen vigentes los pro-gramas de 1 985. A continuación se resumen los contenidos previstos en cuanto a probabilidad y estadística en la III etapa de EB.

Séptimo grado4

Objetivos generales

IX. Aplicar el concepto de probabilidad al plantear y resolver problemas.

X. Estudiar nociones elementales de Estadística Descriptiva.

Objetivos específicos

28. Resolver problemas donde se apliquen las nociones elementales de Probabili-dad.

29. Representar eventos de un experimento aleatorio mediante diagramas de ár-bol.

30.

30.1. Agrupar datos estadísticos en intervalos de clase.

30.2. Determinar la frecuencia absoluta y la frecuencia absoluta acumulada en una colección de datos agrupados.

31. Elaborar histogramas de frecuencia absoluta.

Contenidos

Resolver problemas donde se apliquen las nociones de probabilidad. Diagrama de árbol. Distribuciones de frecuencia, Frecuencia absoluta y relativa. Construcción e interpretación de histogramas de frecuencia absoluta.

Octavo grado

Objetivos generales

XII. Aplicar nociones elementales de probabilidad compuesta.

XIII. Aplicar nociones elementales de estadística descriptiva.


26. I

26.1. Identificar cuando dos sucesos son independientes.

26.2. Calcular la probabilidad compuesta de sucesos independientes.

27.

27.1. Calcular la Media Aritmética y la Moda de una distribución de datos agrupados.

27.2. Resolver problemas en los que se utilicen la Media Aritmética y la Moda de una distribución de datos agrupados.

4 La numeración que se presenta es la original de los programas

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Contenidos

Identificar sucesos independientes, calculo de probabilidad compuesta de suce-sos independientes. Cálculo de la media y la moda de distribuciones de frecuen-cia. Resolver problemas donde se utilicen la media y la moda de una distribución de frecuencia

Noveno grado

Objetivos generales

IX. Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones elementales de Es-tadística y Probabilidad.


26.

26.1. Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones elementales de Estadística.

26.2. Resolver problemas en los cuales se utilicen nociones elementales de Probabilidad.

Contenidos

Resolver problemas en los cuales se utilicen las nociones elementales de estadís-tica y probabilidad.

El modelo de currículum en espiral fue el utilizado para diseñar los programas de matemáticas de la EB en 1 985. De acuerdo con este modelo, un mismo conte-nido se estudia en diferentes grados, pero variando el nivel cognoscitivo con que se trabaja en cada grado, a mayor grado un nivel más complejo.

Actividad 9.3

1. Examine los programas de matemáticas de la III etapa de EB. Evalúe la im-portancia que se le confiere a la probabilidad y la estadística en esos pro-gramas con respectos a los otros tópicos que se encuentran en eso progra-mas.

2. Revise los contenidos de estocástica a estudiar en la III etapa de EB. Esta-blezca relaciones con los contenidos previstos para las dos primeras eta-pas. ¿Cuál es su opinión en cuanto al orden y secuencia de esos conteni-dos? Para facilitar el trabajo puede considerar por separado lo referente a estadística y a probabilidad.

3. De acuerdo con los programas oficiales, defina el perfil del egresado de la EB en cuanto a Probabilidad y Estadística. Con perfil nos referimos a las ha-bilidades, conocimientos y actitudes que se supone debe haber logrado un egresado de la educación Básica. Recuerde que en la definición de este perfil interviene lo estudiado en las dos etapas anteriores. Consulte los pro-gramas de estudio oficiales de matemáticas de las tres etapas de EB, allí obtendrá información sobre otros punto de interés que le permitirán com-plementar lo expuesto en esta lección. Argumente sus repuestas.

En la EMDP también se encuentran contenidos de estocástica, más aun, como se expresó antes fue en ese nivel cuando se incluyó por primera vez contenidos de estocástica en un nivel diferente al universitario. Los programas de 1 972 in-cluyen contenidos de probabilidad y estadística tanto en el 1er año como en el

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2do de la EMDP (en aquel momento 4to y 5to año de bachillerado). El programa de matemática de 1972, establecía los siguientes contenidos para estocástica.

Tabla II

Año Reforma 1972

1ro. Variable estadística, Escalas de medición. Muestreo. Población. Distribucio-nes de frecuencia. Frecuencia absoluta y relativa.

2do. Concepto de probabilidad, métodos de conteo, métodos combinatorios, pro-babilidad de la unión de sucesos, sucesos independientes, probabilidad con-dicional, aplicación de regla de Bayes

Fuente: Ministerio de Educación (1 972)

En 1 990, el Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Cien-cia (CENAMEC) produjo unos nuevos programas denominados de “articulación”, que fueron puestos en práctica de forma experimental en varias instituciones de EMDP del país. Estos programas son los que utilizan con frecuencia los profesores de matemática para dictar sus clases y han quedado como los programas de ma-temática de la EMDP. En los programas de articulación sólo se encuentran conte-nidos de estocástica en la unidad V del segundo año, la cual se presenta a conti-nuación.

UNIDAD V. PROBABILIDAD, ESTADÍSTICA Y TEORÍA COMBINATORIA

En esta unidad se estudian las ideas fundamentales de probabilidad, estadística y teoría combinatoria como técnica de conteo, para ser aplicada en el cálculo de probabilidades. Se conoce el concepto de azar, el cual es utilizado para modelar situaciones de incertidumbre. Se resuelven problemas en espacios muestrales simples usando técnicas de conteo. Se desarrolla el binomio de Newton y se re-suelven problemas de aplicación. Finalmente se incluye una sección dedicada a métodos numéricos.

OBJETIVOS

5.1. Probabilidades

El estudiante comprenderá ideas fundamentales de la teoría de probabilidad. Conocerá el concepto de azar y lo utilizará para modelar situaciones en las cua-les se presenta incertidumbre o ignorancia. Resolverá problemas en espacios muestrales simples, usando técnicas de conteo y aplicación de los conocimien-tos de teoría combinatoria.

5.2. Binomio de Newton.

El estudiante conocerá la fórmula general del binomio de Newton y aplicará esta fórmula y los conocimientos de teoría combinatoria para desarrollar potencias de un binomio.

5.3. Métodos numéricos

El estudiante podrá describir, mediante valores, características de las distribu-ciones de probabilidad asociadas a experimentos a través de datos.

CONTENIDOS

5.1. Probabilidades

5.1.1. Interpretación de la probabilidad.

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5.1.2. Experimentos y sucesos.

5.1.3. Repaso de operaciones en teoría de conjuntos.

5.1.4. Definición de la probabilidad en espacios muestrales finitos.

5.1.5. Métodos de conteo.

5.1.6. Métodos combinatorios.

5.1.7. Probabilidad de la unión de sucesos.

5.1.8. Sucesos independientes.

5.1.9. Probabilidad condicional.

5.1.10. Regla de Bayes.

5.2. Binomio de Newton.

5.2.1. Potencias de un binomio.

5.2.2. Fórmula general del binomio de Newton.

5.2.3. Ejercicios de aplicación.

5.3. Métodos numéricos.

5.3.1. Medidas de tendencia central: media, moda, mediana.

5.3.2. Medidas de dispersión: rangos.

5.3.3. Cuartiles, deciles y percentiles.

5.3.4. Varianza de una población: Desviación típica o estándar.

5.3.5. Varianza de una muestra: desviación.

5.3.6. Regla empírica: curva normal, franja de normalidad.

SUGERENCIAS METODOLÓGICAS

El docente debe recalcar claramente y mediante ejemplos la diferencia entre sucesos disjuntos y sucesos independientes, ya que estos conceptos son confundidos frecuentemente.

Para introducir el teorema de Bayes se recomienda usar ejemplos, antes de presentar su enunciado, con el objeto de ejercitar el concepto de probabi-lidad condicional. Si es posible, hacer que el mismo estudiante sea quien lle-gue a enunciar el teorema y pueda dar su demostración; el hecho de plan-tear las tesis del teorema resulta estimulante para el estudiante.

En cuanto a la teoría combinatoria, recomendamos al profesor introducir-la ligándola al cálculo de probabilidades en espacios muestrales simples (S = s1, s2,..., sn} es un espacio, muestral simple si la probabilidad asignada a ca-da uno de los resultados s1, s2,..., sn es 1/n de modo que si un suceso A con-tiene m de estos resultados, P (A) = m/n).

El profesor debe hacer énfasis en los siguientes métodos de conteo:

i) regla de multiplicación

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ii) variaciones y permutaciones: muestreo con reposición y muestreo sin reposición.

iii) métodos combinatorios.

Será aconsejable introducir cada uno de estos métodos por medio de ejem-plos.

Recomendamos no hacer demasiado énfasis en el “álgebra” de números combinatorios.

Sugerimos, así mismo, al profesor, resolver problemas con enunciados que resulten atractivos para los estudiantes.

Finalmente, le recomendamos, presentar al estudiante problemas novedosos re-lacionados con la vida cotidiana, que lo motiven a analizar situaciones en las cuales la estadística le proporcione nuevos parámetros para la interpretación de resultados. Estos problemas resultarán particularmente útiles al estudiante si se resuelven utilizando datos escolares, hechos económicos, análisis de poblacio-nes, promedios, producción, etc.

Fuente: CENAMEC – Ministerio de Educación (1 990)

Actividad 9.4

1. Compare los contenidos de estocástica previstos a estudiar en la EMDP en ambos programas. Encuentre semejanzas y diferencias. Destaque los cam-bios más importantes realizados en los programas CENAMEC.

2. De acuerdo con los programas oficiales, defina el perfil del egresado de la EMDP en cuanto a Probabilidad y Estadística. Recuerde que en la definición de este perfil también interviene lo estudiado en etapas anteriores. Consul-te los programas de estudio oficiales de matemáticas de EMDP, allí obten-drá información sobre otros punto de interés que le permitirán complemen-tar lo expuesto en esta lección.

3. ¿Qué opina del perfil definido en el punto anterior de esta actividad? ¿Qué relación puede establecer con relación a la cultura, razonamiento y pensa-miento estadístico? Si lo llamaran a una consulta sobre posibles cambios sobre ese perfil, ¿Qué recomendaría? Argumente sus repuestas.

4. Lea el artículo La inferencia estadística básica en la enseñanza secundaria de Moreno Verdejo y Vallecilos Jiménez. Sobre la base de la lectura consi-dere la posibilidad de incluir contenidos de estadística inferencial en la educación venezolana. Presente argumentos a favor o en contra al respec-to.

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Referencias

Batanero, C. (2 002) Los Retos de la Cultura Estadística. Conferencia inaugural Jornadas Interamericanas de Enseñanza de la Estadística. Buenos Aires, 2002.

Becerra R. y Moya A. (1 989). La matemática como una perspectiva innovadora y fundamental en el nivel de Educación Básica. En Ponencias y Trabajos Li-bres I Congreso Nacional de Educación. Oficina Sectorial de Planificación y Presupuesto, (pp. 207 – 216). Oficina Sectorial de Planificación y Presupues-to (Edit.). Caracas: Ministerio de Educación.

Centro Nacional para el Mejoramiento de la Enseñanza de la Ciencia y la Matemá-tica (CENAMEC). (1 990) Programa de articulación Contenidos de Matemáti-ca para la Educación Media, Diversificada y Profesional. Primer y Segundo Año. (Ciencias) Caracas. El autor.

Godino, J. D., Batanero, C. y Cañizares, M. J. (1 987). Azar y Probabilidad. Funda-mentos Didácticos y Propuestas Curriculares. Síntesis: Madrid.

Holmes, P. (1 980). Teaching Statistics 11 -16. Sloug: Foulsham Educational.

Holmes, P. (2 002). Some lessons to be learnt from curriculum developments in statistics. En B. Phillips (Ed.), Proceedings of the Sixth International Confe-rence on Teaching of Statistics. Ciudad del Cabo: IASE. CD ROM.

Ministerio de Educación (1 997). Programa de Matemática Educación Básica. Pri-mera Etapa. Caracas: El autor.

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Ministerio de Educación (1 972) Programas de estudio de 1° y 2° año de Ciencias. Caracas. El autor.

Ministerio de Educación (1 985) Programas de estudio de 1° a 6° grado de Educa-ción Básica. Caracas. El autor.

Ministerio de Educación (1 985) Programas de estudio de 1er grado de Educación Básica. Caracas. El autor.

Ministerio de Educación (1 985) Programas de estudio de 7° a 9° grado de Educa-ción Básica. Caracas. El autor.

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Unidad 4Lección 10

La Estocástica en Programas de Estudio Interna-cionales

En la lección anterior se revisaron los programas de estudios de matemática de la Educación Básica y Media Diversificada y Profesional, específicamente en lo referente a estocástica. En esta lección se realizará una revisión similar pero en programas de estudios de otros países. Específicamente se trabajará con tres paí-ses: Estados Unidos, Inglaterra y Colombia.

Sin duda la realidad de esos países es distinta a la de Venezuela, sin embargo, se considera pertinente tener referencia sobre lo que se hace en otras latitudes respecto a la enseñanza de la estocástica. La selección de los países se puede ex-plicar de la siguiente forma: en los Estados Unidos funciona el National Council of Teachers of Mathematics (Consejo Nacional de Profesores de Matemática) orga-nismo que ha publicado varios documentos que pretenden orientar la Educación Matemática de ese país, ya que allí no se cuenta con un programa de estudios único. Por ello ese consejo produjo un conjunto de “estándares de calidad de la Educación Matemática”, un documento que busca orientar la enseñanza de la matemática en ese país con ciertos parámetros de calidad. En esos estándares se le brinda un espacio importante a la estocástica, de allí que se considere adecua-do conocer su planteamiento. Inglaterra fue uno de los primeros países en incor-porar contenidos de estadística y probabilidad en niveles de educación distintos al universitario, por lo que parece adecuado conocer cual es su planteamiento en la actualidad. El otro país es Colombia, país latinoamericano vecino, produjo un documento en la misma línea de los estándares del National Council of Teachers of Mathematics. Considerando que la situación de Colombia es un poco más pare-cida a la de Venezuela que la de Estados Unidos e Inglaterra, se considera perti-nente conocer su planteamiento respecto a la enseñanza de la estocástica.

Los estándares del NCTM

En los Estados Unidos no hay un currículum único que se aplique a nivel nacio-nal. Cada estado, incluso cada municipio, puede tener su propio currículum. Este es uno de los motivos por los cuales el National Council of Teachers of Mathemati-cs (NCTM) ha realizado diversos documentos para orientar la enseñanza de la matemática en ese país. Primero fue la Agenda for Action (1 980), donde se hacía un fuerte énfasis en la resolución de problemas, la comprensión y la aplicación de la Matemática. Luego fue el Curriculum and Evaluation Standard for School Ma-thematics (1 989), donde por primera vez se aboga por unos estándares educati-vos en matemática para los Estados Unidos. Este documento tuvo una importante difusión a nivel mundial, traduciéndose a varios idiomas.

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El NCTM siguió trabajando sobre la idea de los estándares y organizó diversas reuniones, consultas y discusiones con profesores de matemáticas, educadores matemáticos, investigadores, etc. Todo ese trabajo se tradujo en la publicación de un nuevo documento: Principles and Standards for School Mathematics (2 000). De acuerdo con el NCTM, este documento tiene por objetivo convertirse en una guía, en un punto de discusión y reflexión para la comunidad de educado-res matemáticos.

En los Principles and Standards for School Mathematics del NCTM se encuen-tran una serie de lineamientos a considerar sobre la comprensión matemática, conocimiento y desarrollo de habilidades para los distintos niveles educativos del sistema norteamericano. En el documento se establecen cuatro estándares bási-cos por tópico de la matemática: la resolución de problemas, el razonamiento matemático, la comunicación y conexiones. A continuación se presentan los li-neamientos para estadística y probabilidad, organizadas por grupos de grados de estudio.

Preescolar a 2do grado

o Plantear preguntas y recolectar datos sobre sí mismo y el ambiente donde se desenvuelven.

o Ordenar y clasificar objetos de acuerdo con sus atributos. Organizar datos respecto a los objetos.

o Representar datos usando objetos concretos, diseños y números (tablas, gráficos de barra, de línea y pictograma)

o Describir partes de datos y conjuntos de datos como un todo para deter-minar que muestran.

o Identificar aspectos individuales de los datos, como el valor que ocurre con mayor frecuencia.

o Discutir acontecimientos relacionados con las experiencias de los alumnos como probables e improbables.

o Utilizar vocabulario como: más probable, menos probable, cierto, imposi-ble.

o Realizar experiencias tales como lanzar dados y monedas

3er a 5to grado

o Platear preguntas y recolectar datos sobre si mismo y el ambiente donde se desenvuelven. Preguntas de su escuela, su comunidad y contenidos es-tudiados en otras áreas.

o Concebir investigaciones para responder a una pregunta y considerar co-mo los métodos de recolección de datos afectan la naturaleza de un con-junto de datos.

o Recolectar datos usando la observación, las encuestas o la experiencia.

o Representar datos usando tablas y gráficos como los de línea o de barras.

o Reconocer las diferencias al representar datos numéricos o categóricos.

o Describir la forma y características importantes de un conjunto de datos y comparar conjuntos de datos relacionados, con énfasis en el modo como

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están distribuidos los datos, utilizar términos como amplitud y datos atípi-cos.

o Usar medidas de tendencia central (moda, mediana, media) comprender lo que cada una de ellas indica acerca del conjunto de datos.

o Comparar diferentes representaciones de un mismo conjunto de datos y discutir como cada representación muestra un aspecto importante de los datos.

o Hacer énfasis en la descripción y análisis de un conjunto de datos, realizar comparaciones que involucren dos o más conjuntos de datos.

o Proponer y justificar conclusiones y predicciones que estén basadas en da-tos y concebir estudios para posteriormente investigar las conclusiones y predicciones.

o Comenzar a comprender que muchos conjuntos de datos son muestras de poblaciones, pensar sobre los factores que afectan la representatividad de una muestra.

o Describir acontecimientos como probables o improbables y discutir el gra-do de probabilidad usando palabras como cierto, igualmente probables, igualmente improbables.

o Predecir las probabilidades de ocurrencia de experiencias simples y probar esas predicciones.

o Comprender que la medida de la probabilidad de un evento puede ser re-presentada por un número entre 0 y 1.

o Los alumnos deben usar software computacional que los ayude a organi-zar y representar sus datos, incluido software gráfico y hojas de cálculo. La hoja de cálculo permite a los alumnos organizar y ordenar un conjunto grande de datos y crear una variedad de gráficos.

6to a 8vo grado

o Formular preguntas, concebir estudios y recolectar datos acerca de una característica particular para dos poblaciones diferentes o diferentes ca-racterísticas dentro de una misma población.

o Seleccionar, crear y utilizar representaciones gráficas apropiadas para los datos que se manejan, incluido el histograma, los gráficos de caja y bigote y diagramas de dispersión.

o Encontrar, usar e interpretar medidas de tendencia central y de disper-sión, incluyendo la media y la amplitud intercuartílica.

o Discutir y comprender la correspondencia entre conjuntos de datos y sus representaciones gráficas, especialmente histograma, gráficos de tallo y hoja, gráficos de caja y bigote y diagrama de dispersión (analizar la sime-tría y asimetría de los gráficos)

o Utilizar instrumentos para investigar relaciones y tendencias en datos bi-variados, incluidos gráficos de dispersión y recta de regresión.

o Utilizar observaciones acerca de las diferencias entre una o más muestras para formular conjeturas acerca de las poblaciones de donde se tomaron las muestras.

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o Formular conjeturas acerca de posibles relaciones entre dos característi-cas de una muestra con base en diagramas de dispersión y la recta de re-gresión.

o Usar conjeturas para formular nuevas preguntas y plantear nuevos estu-dios para responderlas.

o Comprender y utilizar la terminología apropiada para describir aconteci-mientos complementarios y mutuamente excluyentes.

o Usar la proporcionalidad y la compresión básica de probabilidad para for-mular y probar conjeturas acerca de los resultados de experiencias y si-mulaciones.

o Calcular probabilidades de sucesos compuestos y simples, usando méto-dos tales como listas, diagramas de árbol y modelo de área.

o ¿Cómo es que el cambio de valores de los datos afecta la media y la me-diana de un conjunto de datos? Para responder a estas preguntas, los pro-fesores propondrán a sus alumnos usar una calculadora para crear una ta-bla de valores y calcular la media y la mediana. Después podrían cambiar un o dos valores de los datos de la tabla y ver si los valores de la media y la mediana cambian. Esta relación puede ser efectivamente demostrada usando software a través del cual los alumnos puedan controlar los valo-res de los datos y observar como la media y la mediana son afectadas.

o Los profesores pueden proponer a los alumnos a representar gráficamente muchos conjuntos de datos y observar las relaciones entre los gráficos. Software de graficación y calculadoras graficadoras pueden ayudar en es-te trabajo, por ejemplo, para investigar relaciones lineales y no lineales.

o Las simulaciones en computador pueden ayudar a evitar superar errores de pensamiento probabilístico. Las simulaciones permiten a los alumnos acceder a muestras relativamente grandes pueden ser generadas rápida-mente y modificadas fácilmente, facilitando el aprendizaje de las probabili-dades.

9no a 12vo grado

o Comprender las diferencias entre varios tipos de estudios

o Comprender las diferencias entre los tipos de inferencia que podemos legí-timamente realizar

o Conocer las características de estudios bien concebidos, incluido el papel de lo aleatorio

o Comprender el significado de los datos cualitativos y cuantitativos, los da-tos univariantes y los bivariantes

o Comprender diferentes gráficos como histograma, los gráficos de caja y bi-gote (individuales y paralelos) y diagramas de dispersión

o Comprender las diferencias entre un estadístico y un parámetro

o Concebir investigaciones, estudios de observaciones y experiencias te-niendo en consideración aspectos como: Preguntas claras y ambiguas, ¿Cuál es la población en estudio? ¿Cuál es la muestra? ¿Cómo debe ser se-leccionada? ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra?

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o Gráficos de tallo y hoja, de puntos, circulares y de barras.

o Para datos univariados cuantitativos, ser capaz de apreciar la distribución de los mismos, describir su forma, centro y dispersión. Seleccionar y calcu-lar estadísticos

o Para datos bivariados cuantitativos, ser capaz de apreciar un gráfico de dispersión, describir su forma, su centro y dispersión. Determinar el coefi-ciente de correlación usando instrumentos tecnológicos.

o Apreciar y discutir datos bivariados donde por lo menos una de las varia-bles es categórica.

o Reconocer como una transformación lineal de los datos univariados afecta su forma, centro y dispersión

o Identificar tendencias en datos bivariados y encontrar funciones (por ejemplo, lineal, exponencial, cuadrática) que modelen los datos o su trans-formación de modo que puedan ser modelados.

o Examinar las características de los gráficos, ser capaz de explicar las dife-rencias en las medidas de tendencia central (media y mediana) y de dis-persión (desviación típica y amplitud intercuartil)

o Comprender que los coeficientes de correlación informan sobre: los modos como los datos están asociados a la recta de regresión, la intensidad de la relación entre dos variables.

o Usar simulaciones para explorar la variabilidad de muestras estadísticas de una población conocida y construir distribuciones muestrales.

o Comprender como es que una muestra estadística refleja los valores de los parámetros de la población y usar distribuciones muestrales cómo ba-se para inferencia informal.

o Evaluar informes publicados que estén basados en datos, examinando la concepción del estudio, el apropiado análisis de datos y la validez de las conclusiones.

o Comprender como es que las técnicas estadísticas básicas son utilizadas para monitorear características del proceso del mercado de trabajo.

o Usar un modelo determinado para los datos para hacer predicciones y re-conocer y explicar las limitaciones de esas predicciones.

o Comprender el significado de la recta de regresión y su papel al hacer pre-dicciones e inferencias, sus limitaciones y posibles extensiones.

o Comprender los conceptos de espacio muestral y distribuciones de proba-bilidad y construir espacios muestrales y distribuciones en casos simples.

o Utilizar simulaciones para construir distribuciones empíricas de probabili-dades.

o Calcular e interpretar el valor esperado de variables aleatorias en casos simples.

o Comprender los conceptos de probabilidad condicionada y sucesos inde-pendientes.

o Comprender como se calcula la probabilidad de un suceso compuesto.

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o Identificar sucesos mutuamente excluyentes o condicionados utilizando los conocimientos de combinaciones, permutaciones y conteo para el cál-culo de probabilidades asociadas a tales sucesos.

o Usando software dinámico, los alumnos pueden modificar la posición de las rectas candidatas a rectas de regresión y ver los efectos de esos movi-mientos en los residuos cuadrados.

o Usando tecnología, los alumnos deben ser capaces de determinar una ecuación de la recta de regresión y el coeficiente de correlación.

A medida que los alumnos trabajen con conjunto de datos mayores y más complejos, se pueden ordenar los datos y representarlos en gráficos rápidamen-te, utilizando tecnología de modo que se puedan enfocar en el análisis de los da-tos y comprender lo que ellos significan.

En las clases de ciencias se desarrollan experiencias de laboratorio donde se generan y recogen datos. Los profesores de matemática pueden considerar tra-bajar en conjunto con los profesores de ciencias. La colaboración puede acordarse de modo que los alumnos realicen experimentos y recojan datos en la clase de ciencias y los analicen en la clase de matemáticas.

Actividad 10.1

1. Si las escuelas de un municipio cualquiera de los Estados Unidos decidie-ran tomar al pie de la letra los estándares en cuanto a probabilidad y esta-dística, ¿Cuál sería el perfil del egresado de las escuelas de ese municipio en cuanto a Probabilidad y Estadística. Si lo considera apropiado puede buscar más información en Internet.

2. ¿Qué opina del perfil definido en el punto anterior de esta actividad? ¿Qué relación puede establecer con relación a la cultura, razonamiento y pensa-miento estadístico? Argumente sus repuestas.

3. En una universidad cercana a su domicilio, busque los programas de las asignaturas de estadística que debe cursar un estudiante que curse la li-cenciatura en educación mención integral. Busque los programas de las asignaturas de estadística que deben cursar un estudiante que curse la li-cenciatura en educación mención matemática (profesor de matemáticas). Establezca el perfil en cuanto a probabilidades y estadística de un egresa-do de cada una de esas carreras. Compare los perfiles definidos con el lo-grado en el punto 1 de esta actividad.

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Currículo Nacional Inglés

Como se señaló anteriormente, el sistema educativo inglés fue uno de los pri-meros en incorporar contenidos de estocástica en los niveles iniciales de la edu-cación. Es por ello que se considera adecuado conocer qué se estudia sobre esta-dística y probabilidad en ese sistema educativo. Al igual que en el caso de los es-tándares del NCTM, la información está organizada por grupos de grados de estu-dio. Es importante acotar que hay una doble mención de los grados 10 – 11, la primera de ellas se refiere al ciclo normal mientras que la segunda se refiere al ciclo que ellos denominan avanzado. Esta son las dos alternativas que tienen los estudiantes una vez que culmine el 9no grado.

Grados 1 - 2 (5 – 7 años)

o Resolver problemas relevantes usando listas simples, tablas y gráficos pa-ra ordenar, clasificar y organizar la información.

o Discutir lo que han hecho y explicar sus resultados.

Grados 3 - 6 (7 – 11 años)

o Solucionar problemas que necesitan de datos

o Interpretar listas, tablas y gráficos usados en la vida diaria; construir e in-terpretar tablas de frecuencia, incluyendo tablas para datos discretos agrupados.

o Representar e interpretar datos discretos usando gráficos y diagramas, in-cluyendo los pictogramas, gráficos de barra y de línea. Interpretar una am-plia gama de gráficos y diagramas, usando las Tecnologías de la Comuni-cación e Información en forma apropiada.

o Saber que el modo es un promedio y que el rango (amplitud) es una medi-da de la dispersión, utilizar ambas ideas de describir conjuntos de datos

o Reconocer la diferencia entre los datos discretos y continuos

o Elaborar conclusiones a partir de estadísticos y de gráficos, reconocer cuando la información que se le presenta es engañosa

o Explorar la duda, la certeza y desarrollar la comprensión de la idea de pro-babilidad con situaciones del aula de clase; discutir acerca de los eventos usando un vocabulario que incluya las palabras como: “cierto”, “justo”, “injusto” e “igualmente probable”.

Grados 7 - 9 (11 – 14 años)

o Identificar problemas que se puedan tratar por medio de los métodos esta-dísticos

o Discutir cómo es que los datos se relacionan con un problema; identificar las fuentes posibles de desequilibrio y planificar para reducirlo al mínimo

o Identificar qué los datos primarios se necesitan recoger y en cuál formato (incluyendo datos agrupados, considerando intervalos de clase iguales y con una misma amplitud)

o Diseñar un experimento o examinarlo; decidir qué datos secundarios se pueden utilizar.

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o Planificar y utilizar bases de datos discretos y continuos, recolectar datos utilizando varios métodos incluyendo observación, experimentación con-trolada, el registro de datos, cuestionarios y encuestas.

o Recolectar los datos de fuentes secundarias, incluyendo las tablas y las lis-tas de fuentes impresas y basadas en las TIC.

o Diseñar y utilizar las tablas de dos entradas para los datos discretos y agrupados.

o Construir, utilizando papel y las TIC, gráficos circulares para datos categó-ricos y diagramas para los datos continuos, incluyendo gráficos de línea para las series de tiempo, diagramas de dispersión, diagramas de frecuen-cia y diagramas de tallo y hoja

o Calcular la media, la amplitud y la mediana de pequeños conjuntos de da-tos, primero con datos discretos y luego con datos continuos; identificar la clase modal en tablas de datos agrupados

o Hallar la mediana para grandes conjuntos de datos y hacer una estimación de la medida en grandes conjuntos de datos agrupados

o Dibujar y utilizar la recta de regresión, comprendiendo lo que representa

o Establecer relaciones entre los dados y las preguntas iniciales

o Interpretar una gran variedad de gráficos y diagramas y extraer conclusio-nes de ellos

o Examinar los datos para descubrir regularidades y excepciones.

o Lograr una compresión básica de la correlación

o Comparar distribuciones y hacer inferencias, usando las formas de las dis-tribuciones y las medidas de tendencia central y amplitud.

o Evaluar y verificar resultados, responder las preguntas iniciales y modifi-car la forma de abordarlas si es necesario.

o Comprender que los procesos aleatorios son imprevisibles

o Comprender y utilizar la escala de las probabilidades (0 – 1)

o Comprender y utilizar las estimaciones o las medidas de la probabilidad de modelos teóricos, incluyendo resultados igualmente probables o de la fre-cuencia relativa

o Enumerar todos los resultados para eventos simples o para dos eventos sucesivos, de una manera sistemática

o Identificar resultados mutuamente excluyentes y saber que la suma de las probabilidades de todos estos resultados es 1

o Utilizar el vocabulario de la probabilidad en la interpretación de resultados que implican incertidumbre y la predicción

o Comparar las probabilidades obtenidas a partir de los datos experimenta-les y las probabilidades teóricas

o Comprender que si repiten un experimento, se pueden obtener resultados diferentes, y que aumentar el tamaño de la muestra lleva generalmente a

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una mejor estimación de la probabilidad y de las características de la po-blación

Grados 10 - 11 (14 – 16 años)

o Identificar preguntas claves que se pueden ser analizadas usando los mé-todos estadísticos


o Identificar qué datos primarios se necesitan recoger y en cuál formato (in-cluyendo datos agrupados, considerando intervalos de clase iguales y con una misma amplitud)

o Diseñar un experimento o examinarlo; decidir qué datos secundarios se pueden utilizar.




o Construir, utilizando papel y las TIC, gráficos circulares para datos categó-ricos y diagramas para los datos continuos, incluyendo gráficos de línea para las series de tiempo, diagramas de dispersión, diagramas de frecuen-cia y diagramas de tallo y hoja

o Calcular la media, la amplitud y la mediana de pequeños conjuntos de da-tos, primero con datos discretos y luego con datos continuos; identificar la clase modal en tablas de datos agrupados

o Hallar la mediana para grandes conjuntos de datos y hacer una estimación de la medida en grandes conjuntos de datos agrupados





o Lograr una compresión básica de la correlación como una medida de aso-ciación entre dos variables, identificar la existencia de correlación utilizan-do la recta de regresión

o Comparar distribuciones y hacer inferencias, usando las formas de las dis-tribuciones y las medidas de tendencia central y amplitud.

o Evaluar y verificar resultados, responder las preguntas iniciales y modifi-car la forma de abordarlas si es necesario.

o Discutir las implicaciones de los resultados en el contexto del problema

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o Interpretar las estadísticas sociales incluyendo los números de índice (por ejemplo, el índice general de precios al consumidor); series de tiempo (por ejemplo, crecimiento de la población);y datos de investigaciones (por ejemplo, el censo nacional)


o Comprender y utilizar la escala de las probabilidades (0 – 1)

o Comprender y utilizar las estimaciones o las medidas de la probabilidad de modelos teóricos, incluyendo resultados igualmente probables o de la fre-cuencia relativa





o Comprender que si repiten un experimento, se pueden obtener resultados diferentes, y que aumentar el tamaño de la muestra lleva generalmente a una mejor estimación de la probabilidad y de las características de la po-blación

Grados 10 - 11 (14 – 16 años) Avanzado

o Identificar preguntas claves que pueden ser analizadas usando los méto-dos estadísticos


o Identificar qué datos primarios se necesitan recoger y en cuál formato (in-cluyendo datos agrupados, considerando intervalos de clase iguales y con una misma amplitud); seleccionar y justificar un plan de muestreo y un método para investigar una población, incluyendo muestras aleatorias y estratificadas

o Planificar una experiencia de investigación; decidir qué fuentes de datos secundarios se pueden utilizar.




o Enfrentar problemas prácticos, como las no respuesta y datos faltantes

o Construir, utilizando papel y las TIC, gráficos circulares y de línea, diagra-mas de dispersión, de tallo y hoja, tablas y gráficos de frecuencia acumu-

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lada, gráficos de caja y bigote e histogramas para datos continuos agrupa-dos.

o Calcular la mediana, los cuartiles y la amplitud intercuartílica para grandes conjuntos de datos y calcular la media para grandes conjuntos de datos agrupados


o Usar las funciones estadísticas relevantes de una calculadora o una hoja de cálculo




o Comprender que la correlación mide la asociación entre dos variables; dis-tinguir entre correlación positiva, negativa y nula utilizando rectas de re-gresión; percibir que una correlación cero no implica necesariamente la no existencia de relación entre las variables sino la inexistencia de relación li-neal

o Comparar distribuciones y hacer inferencias, usando las formas de las dis-tribuciones y las medidas de tendencia central y de dispersión, incluyendo mediana y cuartiles


o Comprender y utilizar las estimaciones o las medidas de la probabilidad de modelos teóricos, o de frecuencia relativa



o Saber cuando debe sumar o multiplicar dos probabilidades: si A y B son mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de ocurrencia de A o B es P(A) + P(B), pero si A y B con eventos independientes, la probabilidad de ocurrencia de A o B es P(A) * P(B)

o Usar diagramas de árbol para representar los resultados de acontecimien-tos compuestos, reconociendo cuando es que los eventos son indepen-dientes



o Comprender que si repiten un experimento, se pueden obtener resultados diferentes, y que aumentar el tamaño de la muestra lleva generalmente a una mejor estimación de la probabilidad y de las características de la población

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Actividad 10.2

Defina el perfil del egresado del sistema de educación inglés en cuanto a Probabi-lidad y Estadística. Si lo considera apropiado puede buscar más información en In-ternet. ¿Qué opina del perfil definido por el Currículo Nacional Inglés? ¿Qué rela-ción puede establecer con relación a la cultura, razonamiento y pensamiento esta-dístico?

Los estándares de la Educación Matemática Colombiana

En Colombia Ministerio de Educación Nacional y Asociación Colombiana de Fa-cultades de Educación produjeron el documento “Estándares Básicos de Calidad. Matemáticas”. Con el se busca:

precisar expectativas ambiciosas y desafiantes para el aprendizaje de las matemáticas que orienten los desarrollos curriculares, consoliden los cambios y los promuevan en la enseñanza de las matemáticas; pa-ra ayudar a todos los estudiantes a comprender, hacer y usar matemá-ticas y, para que sirvan de guía en el conjunto de decisiones institucio-nales con respecto al currículo: qué tipo de contenidos, a través de qué proyectos, en que marco contextual, para qué tipo de alumnos, con qué metas de formación, etc. (Pág. 8)

Al igual que en los casos anteriores, en el documento se precisan metas por grupos de grados de estudio, con la finalidad de orientar el trabajo del docente. A continuación se exponen los estándares respecto al Pensamiento Aleatorio y Sis-temas de Datos, como lo denominan en el documento colombiano.

Grados 1 - 3

o Comprender que si repiten un experimento, se pueden obtener resultados diferentes, y que aumentar el tamaño de la muestra lleva generalmente a una mejor estimación de la probabilidad y de las características de la po-blación

o Clasificar objetos de acuerdo a cualidades o atributos y organizar informa-ción relativa.

o Interpretar cualitativamente datos referidos a situaciones del entorno es-colar.

o Describir situaciones o eventos a partir de un conjunto de datos.

o Representar datos relativos a su entorno usando objetos concreto, picto-gramas y diagramas de barras

o Identificar regularidades y tendencias en un conjunto de datos.

o Explicar - desde su experiencia - posibilidad o imposibilidad de ocurrencia de eventos cotidianos.

o Predecir si la posibilidad de ocurrencia de un evento es mayor que la de otro.

o Resolver y formular preguntas que requieran para su solución coleccionar y analizar datos del entorno próximo.

Grados 4 - 5

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o Representar datos usando tablas y gráficas (pictogramas, gráficas de ba-rras, diagramas de líneas, diagramas circulares).

o Comparar diferentes representaciones del mismo conjunto de datos.

o Interpretar información presentada en tablas y gráficas. (pictogramas, grá-ficas de barras, diagramas de líneas, diagramas circulares).

o Conjeturar y poner a prueba predicciones acerca de la posibilidad de ocu-rrencia de eventos.

o Comparar y describir distribución de un conjunto de datos.

o Usar e interpretar la mediana (promedio)

o Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos provenien-tes de observaciones, consultas y experimentos.

Grados 6 - 7

o Comparar e interpretar datos provenientes de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, entrevistas).

o Reconocer relación entre un conjunto de datos y su representación.

o Usar representaciones gráficas adecuadas para presentar diversos tipos de datos. (diagramas de barras, diagramas circulares...)

o Usar medidas de tendencia central (media, mediana, moda) para interpre-tar comportamiento de un conjunto de datos.

o Usar modelos (diagramas de árbol, por ejemplo) para discutir y predecir posibilidad de ocurrencia de un evento.

o Conjeturar acerca del resultado de un experimento aleatorio usando pro-porcionalidad y nociones básicas de probabilidad.

o Resolver y formular problemas a partir de un conjunto de datos presenta-dos en tablas, diagramas de barras, diagramas circulares

o Predecir y justificar razonamientos y conclusiones usando información es-tadística.

Grados 8 - 9

o Reconocer cómo diferentes maneras de presentación de información pue-den originar distintas interpretaciones.

o Interpretar analítica y críticamente información estadística proveniente de diversas fuentes (prensa, revistas, televisión, experimentos, consultas, en-trevistas)

o Interpretar conceptos de media, mediana y moda.

o Seleccionar y usar algunos métodos estadísticos adecuados según el tipo de información.

o Comparar resultados experimentales con probabilidad matemática espera-da.

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o Resolver y formular problemas seleccionando información relevante en conjuntos de datos provenientes de fuentes diversas. (prensa, revistas, te-levisión, experimentos, consultas, entrevistas).

o Reconocer tendencias que se presentan en conjuntos de variables relacio-nadas.

o Calcular la probabilidad de eventos simples usando métodos diversos. (lis-tados, diagramas de árbol, técnicas de conteo)

o Usar conceptos básicos de probabilidad (espacio muestral, evento, inde-pendencia...)

Grados 10 - 11

o Comparar estudios provenientes de medios de comunicación.

o Justificar inferencias provenientes de los medios o de estudios diseñados en el ámbito escolar

o Diseñar experimentos aleatorios (de las ciencias físicas, naturales o socia-les) para estudiar un problema o pregunta.

o Describir tendencias que se observan en conjuntos de variables relaciona-das.

o Interpretar nociones básicas relacionadas con el manejo de información como población, muestra, variable, estadígrafo y parámetro).

o Usar comprensivamente algunas medidas de centralización, localización, dispersión y correlación (percentiles, cuartiles, centralidad, distancia, ran-go, varianza, covarianza y normalidad)

o Interpretar conceptos de probabilidad condicional e independencia de eventos.

o Resolver y plantear problemas usando conceptos básicos de conteo y pro-babilidad. (Combinaciones, permutaciones, espacio muestral, muestreo aleatorio, muestreo con reemplazamiento)

o Proponer inferencias a partir del estudio de muestras probabilísticas.

Actividad 10.3

1. Defina el perfil del egresado del sistema de educación colombiano en cuanto a Probabilidad y Estadística, a partir de los estándares antes pre-sentados. Si lo considera apropiado puede buscar más información en In-ternet. ¿Qué opina del perfil definido los estándares de la Educación Mate-mática Colombiana? ¿Qué relación puede establecer con relación a la cul-tura, razonamiento y pensamiento estadístico?

2. Busque en Internet información que le permita definir el perfil en cuan-to a Probabilidad y Estadística del egresado de la educación media de otro país latinoamericano. Haga un análisis de ese perfil semejante al realizado en el punto anterior.

3. Compare el perfil del egresado de la EMDP venezolana en cuanto a pro-babilidad y estadística, con los definidos por usted en esta lección (Estados Unidos, Inglaterra, Colombia y otro país latinoamericano) y el de los egre-sados de las licenciaturas en educación integral y educación matemática.

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Encuentre semejanzas y diferencias. Destaque los aspectos de mayor inte-rés en cuanto a la formación de un ciudadano. Escriba un ensayo breve a partir de la comparación realizada.

Referencias

Ministerio de Educación Nacional y Asociación Colombiana de Facultades de Edu-cación (2 003) Estándares Básicos de Calidad. Matemáticas. Ministerio de Educación Nacional: Colombia

National Council of Teachers of Mathematics (2 000). Principles and standards for school mathematics. Reston. NCTM

National curriculum online. National Curriculum for England. Disponible: http://www.nc.uk.net

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Unidad 5Lección 11

La Estocástica y los Materiales Curriculares

En esta lección se trabajan algunos materiales curriculares que pueden ser in-corporados a actividades de aprendizaje de la estocástica. La idea es presentar materiales como la calculadora científica, las hojas de cálculo, los medios de co-municación social y los manipulables virtuales que pueden ser utilizados en las aulas de clases para el proceso de enseñanza y aprendizaje de la estocástica. En esta se presentaran los materiales y algunas posibilidades de uso en el aula.

Ejemplo de Materiales Curriculares

La Calculadora Científica

Actualmente las calculadoras científicas son muy potentes. La gran mayoría de ellas presentan funciones estadísticas que le permiten calcular diferentes medi-das estadísticas. Por ejemplo, con una calculadora sencilla como la Casio fx-85ES es posible calcular: media aritmética, desviación típica de la muestra, desviación típica de la población, valor míni-mo de la serie, valor máximo de la serie, regresión lineal, regre-sión cuadrática, regresión logarítmica, regresión exponencial, ge-nerar números aleatorios, etc.

En este tipo de calculadora es posible trabajar con los datos estadísticos en forma de columna de la misma forma como se colocarían en una hoja de cálculo o en un programa especializa-do en estadística. Al trabajar con medidas estadísticas de una variable se puede utilizar una columna para introducir los datos y la otra para indicar la frecuencia de cada uno de ellos. Cuando se trabaja con dos variables se utiliza una columna para introducir los datos de la variable x y la otra para los de la variable y. Además de las medi-das señaladas la calculadora proporciona los valores parciales utilizados para el cálculo de ellas, como por ejemplo. x, x2, n, xy, y, y2, x2y, x3, etc.

Usualmente hay un cierto rechazo hacia el uso de la calculadora en las clases de matemáticas. Entre las razones que señalan algunas personas para no usar la calculadora en la clase de matemáticas se encuentra: los estudiantes no desarro-llan habilidades de cálculo, se hacen dependientes de la calculadora, no apren-den matemática. Esta visión se corresponde básicamente con la creencia de que hacer matemática es hacer cuentas, realizar cálculos. Utilizadas de forma apro-piada las calculadoras pueden incorporarse a las clases de matemáticas para ha-cer más matemáticas y alejarse un poco de la matemática centrada exclusiva-mente en el cálculo.

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En la enseñanza de la estocástica, las calculadoras apoyan al estudiante en los cálculos y permiten que dedique más tiempo a la compresión de las situaciones que se le presentan y de las ideas matemáticas. Con la calculadora el proceso de trabajo estadístico es muy similar al que se realizaría manualmente, con la venta-ja de una mayor celeridad en los cálculos, en consecuencia se puede dedicar más tiempo al análisis e interpretación de resultados, así como a la compresión de los conceptos involucrados en el problema o situación estudiada. Una actividad que se puede realizar con apoyo de una calculadora científica es la siguiente.

La estatura y el número de calzado

¿Tiene alguna relación el número de calzado de una persona con su estatura? ¿Siempre que una persona sea alta necesariamente utilizará un número de calza-do alto? ¿Si una persona utiliza un número de calzado bajo entonces será una persona de baja estatura?

Este tipo de pregunta se puede formular a los estudiantes para motivarlos a la realización de la actividad. A los estudiantes se les puede presentar una tabla como la siguiente para que todos incluyan sus datos:

Estudiante Estatura Número de calzado

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

…

20

Pregunte a los estudiantes:

De acuerdo con los datos ¿habrá alguna relación entre la estatura y el número de calzado? ¿Siempre un número de calzado alto está asociado con sujeto de es-tatura alta? Destaque estudiante con la misma altura y diferente número de cal-zado o viceversa. Escuche las opiniones de los estudiantes. Guíelos para que bus-quen la mejor herramienta posible para analizar el problema.

Solicíteles que grafiquen la información en un eje de coordenadas cartesiana.

Una vez construida la gráfica, pregunte sobre la función matemática que po-dría utilizarse para “modelar” los datos de estatura y número de calzado.

Con ayuda de la calculadora, halle la ecuación de la recta que permite calcular el número de calzado en función de la estatura.

120

577

Utilice la ecuación de la recta hallada para estimar el número de calzado de cada estatura considerada. Con ayuda de la calculadora completa la siguiente tabla:

Estudiante Estatura Número de calza-do

Número de calza-do estimado

Diferencia

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

…

20

Discuta los resultados con los estudiantes.

Un posible factor de error en las estimaciones realizadas puede encontrarse en que los datos fueron recolectados entre adolescentes, quienes no han completa-do su desarrollo físico. Discuta esto con sus estudiantes.

Solicite a los estudiantes que recolecten datos de estatura y número de calza-do entre los adultos de su alrededor. Proporcione instrucciones precisas como realizar la medición o solicitar la información. Con los datos recolectados entre to-dos ellos, realice el problema nuevamente. ¿Cambian los márgenes de error?

Actividad 11.1

1. ¿Cuáles conceptos matemáticos están involucrados en una actividad como la anterior?

2. ¿En qué grado realizaría una actividad como la descrita anteriormente? Ra-zone su respuesta

3. Lea el Sobre la base de la lectura y su experiencia elabore un escrito de dos o tres páginas sobre las posibilidades de utilización de la calculadora en la educación media venezolana para la enseñanza de la estocástica.

Este tipo de actividad se puede realizar más cómodamente con calculadoras graficadoras. Con ellas es posible introducir una forma de representación que no es posible con las científicas: el gráfico de dispersión de los datos. De esta forma los estudiantes podrían analizar datos gráfica y numéricamente y comparar los resultados observados y esperados de ambas formas. Adicionalmente las calcula-doras graficadoras tienen incorporadas funciones estadísticas de mayor enverga-dura: intervalos de confianza, pruebas de hipótesis, distribuciones de probabili-dad y análisis de varianza. Sin embargo, preferimos comentar el caso de las cal-

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culadoras científicas ya que son más económicas, se encuentran con mayor fre-cuencia en las tiendas de todo el país y son más fáciles de usar.

Las Hojas de Cálculo

La computadora es otra herramienta interesante para la enseñanza de la esta-dística en la educación media. En ella se pueden instalar programas especializa-dos en estadística muy potentes como SPSS, SPAD, SAS, STATGRAPHICS, STATIS-TICS, etc. el problema de utilización de este tipo de paquetes es su costo y los re-querimientos de hardware. Actualmente es posible conseguir en Internet progra-mas libres como Idams y R, que si bien es cierto no tienen problemas de costo, mantienen altos requerimientos de hardware.

Ante esta situación una alternativa eficiente son las hojas de cálculo. La mayo-ría de ellas cuentan con una gran variedad de funciones estadísticas. Una hoja de cálculo como Excel contiene funciones como coeficiente de correlación, error típi-co, coeficiente de asimetría, coeficiente de curtosis, desviación típica (de la po-blación y la muestra) media aritmética, media geométrica, media armónica, valor máximo, valor mínimo, mediana, moda, intervalos de confianza, distribuciones de probabilidad, etc. Adicionalmente es posible realizar gráficos de diferentes tipos.

Asimismo el programa Excel contiene un conjunto de funciones adicionales de-nominadas “análisis de datos”, que se encuentra dentro del menú herramientas. Con las funciones que allí se encuentran es posible realizar análisis estadísticos más complejos y avanzados, ya que incluye funciones como: análisis de varianza de uno y dos factores, pruebas F, pruebas t, pruebas z, etc. El uso de estas herra-mientas es poco frecuente ya que no se instala de manera directa al instalar el programa, sino que hay que hacer una rutina especial para instalarlo. Recuerde, con la ayuda del programa Excel, para instalar las funciones adicionales de esta-dística se debe:

1. Elegir Complementos en el menú Herramientas.

2. En la lista Complementos disponibles, seleccione el cuadro Herra-mientas para análisis y, a continuación, haga clic en Aceptar.

En algunas ocasiones la rutina de instalación solicita el disco con el programa Excel.

¿Es aleatoria esa función aleatoria?

La mayoría de los reproductores digitales de música (CD, MP3, wma) tienen una función que permite escuchar las canciones que contiene en forma “aleato-ria”. Una vez activada esta función, el usuario debe seleccionar una canción ini-cial y luego el reproductor seleccionará las canciones restantes de forma aleato-ria, obviando el orden en que están grabadas en el CD o en el reproductor. La pregunta que puede surgir es ¿es realmente aleatoria esa selección?

Usando estos reproductores los estudiantes junto a sus profesores, podrían ex-plorar la noción aleatoriedad. ¿Qué significa una selección aleatoria? ¿Qué dife-rencia hay en una selección mediante una regla y una selección aleatoria? ¿Es realmente aleatoria esa función de esos reproductores? En clases se puede traba-jar con estos reproductores para explorar este tipo de preguntas.

Se puede diseñar una actividad de clases con los reproductores y la función aleatoria. Se puede solicitar a los estudiantes que trabajen con un número bajo de canciones (unas 11 canciones) y anotar el orden en que el reproductor selec-ciona las canciones luego de seleccionar la canción inicial. Se puede variar la can-

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ción inicial y nuevamente anotar el orden en que el reproductor selecciona las canciones restantes.

Si se trabaja en grupos, cada uno podría trabajar con una canción inicial y re-petir varias veces la experiencia del orden en que selecciona el reproductor las canciones restantes. Anotarían la frecuencia de aparición de cada canción. La ho-ja de cálculo puede utilizarse para calcular la frecuencia relativa de cada canción y graficarla. El análisis de los datos ayudaría a los estudiantes a determinar si la función es realmente aleatoria o hay algún patrón en la selección de las cancio-nes.

Aunque tiene algunas limitaciones a nivel técnico, la utilización de una hoja de cálculo como Excel, es muy común encontrarlo en las computadoras del país, lo cual es sin duda una ventaja respecto a los programas especializados en estadís-tica. Esto lo hace más accesible que la mayoría de los programas especializados. Adicionalmente, el programa es muy amigable, sus funciones utilizan una sintaxis común, lo cual facilita su uso y tiene una variada capacidad gráfica. Todas estas características posibilitan su utilización en la EB y EMDP.

Es importante destacar que diferentes entes interesados en la formación esta-dística del ciudadano (IASE, ASA, NCTM) incluyen la habilidad de procesamiento de datos a través de un programa estadístico como una de las metas a lograr en los niveles iniciales de la educación.

Actividad 11.2

1. Realice la actividad sobre la estatura y el número de calzado con la hoja de cálculo Excel. ¿Qué cambios le realizaría? ¿Qué pueden ganar los estudian-tes al realizar la actividad con una computadora y no con una calculadora?

2. Lea el artículo Las herramientas computacionales en la enseñanza de la Probabilidad y la Estadística de Inzunsa (2 003). Sobre la base de la lectura y su experiencia elabore un escrito de dos o tres páginas sobre las posibili-dades de utilización de la computadora en la educación media venezolana para la enseñanza de la estocástica.

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Los Medios de Comunicación Social

Todos los ciudadanos deberían desarrollar su sentido crítico frente a la infor-mación que aparece en los medios de comunicación social. En estos medios se presentan informaciones en forma de texto o gráfica que el ciudadano debe eva-luar de forma crítica para no ser víctima de informaciones tendenciosas.

Una forma de lograr esto es enfrentar a los estudiantes con interpretaciones estadísticas inapropiadas. Para ello se puede hacer uso de los propios errores que se producen en los medios de comunicación y discutirlas con los estudiantes. Por ejemplo, si un programa de radio se indica que de acuerdo a la encuesta realiza-da en su página Web el 68% de los venezolanos apoya la realización de elección de los alcaldes de forma anual, ¿Es apropiada esa conclusión?, ¿A quién está re-presentando ese 68%?

Si vemos en un noticiero de televisión que el número de accidentes viales lle-gó a 50 durante el fin de semana largo, seguramente muchos nos escandalizare-mos. Ahora bien, ¿es realmente alarmante la cifra? ¿Cómo podemos saber si es perentorio que las autoridades tomen medidas extraordinarias para un próximo fin de semana largo? ¿Será muy diferente de los accidentes ocurridos en otros fi-nes de semana largos?

Pero no son sólo los medios de comunicación con sus noticias los que pueden presentar informaciones tendenciosas, también lo hacen empresas que ofrecen la solución a la calvicie en tres días o que le ofrecen que usted logrará un cuerpo es-cultural en sólo dos semanas con un mínimo de esfuerzo. También es el estado, quien a través de sus organismos manipula cifras para informar sobre los logros del gobierno x o y.

Todo ese tipo de información puede ser utilizada para ser trabajada con los es-tudiantes. Lo importante es que los estudiantes tengan oportunidad de discurrir sobre buenos y malos usos de la estadística. Para ello, sin duda que los medio de comunicación son en elementos de gran importancia.

Actividad 11.3

Busca en periódicos o revistas un artículo o reportaje que este acompañado por uno o más gráficos estadísticos (cualquiera). Puede ser que el artículo o reportaje contenga más de un gráfico. No importa la fecha del periódico o revista. Lee dete-nidamente el artículo o reportaje. Analiza el artículo y su relación con el gráfico. ¿Lo expresado en el artículo se puede concluir a partir de ese gráfico? ¿Las afir-maciones realizadas son sensatas y están respaldadas por los datos allí presenta-dos? Observa el gráfico con detenimiento. ¿Está bien construido? ¿Está dibujado de forma apropiada o distorsiona las tendencias mostradas en los datos? Con ba-se a tus respuestas realiza un informe donde emitas su opinión. Las preguntas son para orientar tu trabajo, no para ser respondidas individualmente.

Manipulables Virtuales

En Internet es posible encontrar una variedad importantes de manipulables virtuales que han sido desarrollados para apoyar la enseñanza y el aprendizaje de la estadística.

Como se expresó en la lección 7, algunas investigaciones recomiendan con-frontar las creencias de los estudiantes con evidencia empírica. Dadas las carac-

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terísticas de la probabilidad y la estadística, en la generación de evidencia empíri-ca se puede invertir un tiempo importante corriendo el riesgo que los estudiantes pierdan el interés en la actividad. Las simulaciones pueden ayudar en este proce-so de generación de datos reales y de representar un fenómeno estocástico. Las simulaciones que se encuentran en Internet brinda la posibilidad de que el usua-rio, de manera sencilla, pueda cambiar elementos, introducir datos, logrando re-sultados de forma inmediata en la pantalla, potenciando las posibilidades de com-presión de ideas estocásticas. Se trata de una manipulación virtual.

La mayoría de las simulaciones que se encuentran en la red están desarrolla-das en el lenguaje de programación Java (Java-Sun) y se les denomina “Applet”. Los applet son programas relativamente pequeños (menos de 100 Kb) que se en-cuentran en páginas Web, desde donde se ejecutan. Algunos applet pueden ser descargados y utilizados sin estar conectado a Internet. En los últimos años tam-bién ha comenzado a aparecer simulaciones desarrolladas en el lenguaje de pro-gramación Flash, que al parecer brinda mayores posibilidades que el lenguaje Ja-va. La mayoría de las simulaciones relacionadas con estocástica que se encuen-tran en la red están en idioma inglés.

Algunas de las páginas Web donde se encuentran simulaciones para la ense-ñanza de la estocástica son:

o Rice Virtual Lab in Statistics.

http://www.ruf.rice.edu/~lane/stat_sim/index.html

Gráficos, medidas de tendencia central, distribuciones muestrales, interva-los de confianza para la media y para la proporción, distribuciones de pro-babilidad, ANOVA, etc.

o Virtual Laboratories in Probability and Statistics.

http://www.math.uah.edu/stat/

Probabilidad, distribución de Poisson, combinatoria, distribución normal, muestras aleatorias, estimación puntual, intervalos de confianza, contras-te de hipótesis.

o Institute of Statistics and Decision Sciences – Duke University.

http://www.stat.duke.edu/sites/java.html.

Estadística descriptiva, Distribuciones de probabilidad (Normal, t, bino-mial), ANOVA, Intervalos de confianza, Regresión, coeficiente de correla-ción Spearman, pruebas t, probabilidad y procesos estocásticos,

o Simulation Applets

http://www-sop.inria.fr/mefisto/java/tutorial1/tutorial1.html

Variables aleatorias, procesos estocásticos (en Francés).

o Proyecto Descartes

http://www.cnice.mecd.es/Descartes/

Es un proyecto del ministerio de educación español para la enseñanza de la matemática en bachillerato. Los temas de estadística que trabaja son: organización de datos, estadística descriptiva, correlación, regresión, dis-tribución normal.

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o Experimental statistical Flash

http://noppa5.pc.helsinki.fi/koe/flash/flash.html

Correlación, gráficos de dispersión, probabilidad, distribuciones de proba-bilidad, medidas de tendencia central.

o Flash demos for understanding statistics

http://www.math.tamu.edu/~dallen/flash-demo/

Histogramas, correlación, varianza, diagramas de torta, medidas de tendencia central.

Actividad 11.4

Realiza una búsqueda en Internet para hallar simulaciones que puedan ser usadas en actividades de enseñanza de la estocástica (puede utilizar las nombradas ante-riormente). Explora los materiales manipulables virtuales disponibles en esas pá-ginas. Selecciona tres simulaciones: una de probabilidad, una de estadística des-criptiva y otra de estadística inferencial. Desarrolla actividades de aprendizaje donde incorpores cada una de las simulaciones seleccionadas. No omitas detalles sobre como utilizarías esa simulaciones en la actividad.

Manipulables concretos

Sin duda que los manipulables concretos son de gran ayuda para la enseñanza de la estocástica, pero en algunas ocasiones no están al alcance de los estudian-tes e incluso del profesor. En otros casos los manipulables concretos pueden usarse como el inicio de la actividad para que el estudiante se ubique mejor so-bre el trabajo que realiza con el manipulable virtual.

Al igual que los materiales virtuales, los concretos ayudan a generar datos rea-les para ser tratados estadísticamente o para confrontar las creencias de los estu-diantes. En el caso de la probabilidad es importante que no solo se use material concreto cuyos eventos sean siempre equiprobables, como las monedas o los da-dos, es conveniente que también se usen materiales cuyos posibles resultados no son igualmente probables. La utilización de instrumentos como chinches o cilin-dros ayuda a que los estudiantes comprendan que no todos los eventos asocia-dos a un experimento aleatorio son equiprobables y que no siempre se aplica la definición clásica para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento.

Census at School

Es un proyecto auspiciado por la Royal Statistical Society Centre for Statistical Education y la Universidad de Nottingham Trent de Inglaterra, que actualmente cuenta con la participación del Reino Unido, Sudáfrica Canadá, Nueva Zelanda y Australia. Algunos de los objetivos de este proyecto internacional son:

Ayudar a los estudiantes participantes a desarrollar habilidades que les permitan analizar datos y aprender estadística.

Proporcionar datos reales para las actividades de análisis de datos en las escuelas

Aumentar el conocimiento de cuáles son los censos nacionales;

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Demostrar cómo la tecnología de la información y la comunicación (TIC) se puede utilizar eficazmente en la enseñanza y aprendizaje, especialmente en el análisis de datos.

Census At School (http://www.censusatschool.ntu.ac.uk/) ha logrado conformar una base de datos internacional disponible para todos los interesados. Esta base de datos permite a los estudiantes de los países participantes del proyecto, com-parar sus resultados con las de otros estudiantes participantes. También se han desarrollado un conjunto de materiales de apoyo al profesor.

Actividad 11.5

Visita la página de Census At School (http://www.censusatschool.ntu.ac.uk/) en In-ternet y realiza un arqueo (inventario) de los recursos disponibles para el docente y para el estudiante. Presenta un informe sobre lo encontrado y argumenta como podrías utilizar esos recursos en sus clases de estadística de cualquier nivel.

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Unidad 6Lección 12

Diseño de Entornos de Aprendizaje

En el curso de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría estudió algunos crite-rios para diseñar y evaluar entornos de aprendizaje (lección 11). En esta lección usted debe utilizar esos criterios para diseñar entornos de aprendizaje para tópi-cos de estocástica.

Como recordará el entorno de aprendizaje se percibe como el conjunto de acti-vidades que se realizan en contextos determinados para lograr el aprendizaje. Se le ofrece a los estudiantes la posibilidad de usar distintos instrumentos o materia-les curriculares para lograr un mismo objetivo. Algunos de los pasos que debe cumplir para el diseño de un entorno de aprendizaje son:

o Seleccionar las metas u objetivos del entorno de aprendizaje

o Seleccionar los contenidos.

o Elaborar una lista de recursos o herramientas disponibles que puedan ser útiles para el logro de los objetivos.

o Ajustar entorno de aprendizaje a las nuevas ideas que resulten del pro-ceso mismo de diseño.

Es recomendable que revise la lección 11 del curso de Didáctica del Álgebra y la Trigonometría.

Entornos de aprendizaje para tópicos de estocástica

Un tema que podría resultar interesante para estudiantes de III etapa de EB y de EMDP es determinar el perfil del estudiante de una sección, grado o escuela especifica. Esto permitiría introducir al alumno en técnicas para la recolección de datos como la observación, la encuesta, la medición, el procesamiento e inter-pretación de datos estadísticos.

Actividad 12.1

1. Si se desea establecer el perfil de alimentación de los estudiantes (caracte-rísticas de su alimentación) de séptimo grado de una escuela (todas las secciones) ¿cuáles variables podrían considerar los estudiantes? ¿Cómo podría recolectarse la información? ¿Cómo podría presentarse la informa-ción recolectada? ¿Qué ventajas o desventajas tiene que sean los estudian-tes quienes recolecten los datos? ¿Qué tipo de variables se deben incluir si entre los contenidos está la media aritmética y la desviación típica?

2. Bosqueje el diseño de un entorno de aprendizaje de diversos contenidos de estocástica trabajándolo mediante un tema como el planteado en el punto

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1 de esta actividad. Incluya por lo menos dos tipos de materiales curricula-res.

3. ¿Es pertinente una actividad como esta para estudiantes de séptimo gra-do? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para realizarla? Argumente su respuesta.

La estadística tiene la particularidad que es aplicable a las más diversas áreas del conocimiento, desde las llamadas ciencias naturales hasta las ciencias socia-les. En términos de la enseñanza eso brinda la posibilidad de integrar el trabajo de profesores distintas asignaturas o áreas. Se podría dar el caso de un trabajo en equipo, donde los datos producidos en otras disciplinas son tratados y analiza-dos en matemáticas desde una perspectiva e interpretados en otras asignaturas desde el contexto donde se produjeron.

Actividad 12.2

1. Bosqueje el diseño de un entorno de aprendizaje para estudiantes de segundo año de EMDP y que permitan tratar diversos contenidos de es-tocástica. No se limite por el programa de estudios, sea creativo. Inclu-ya por lo menos dos tipos de materiales curriculares.

2. Consulte con profesores de otras asignaturas de ese año para conocer si sus asignaturas pueden integrase a un entorno de aprendizaje como el bosquejado por usted. Pregunte por los objetivos y contenidos de sus asignaturas que podrían incluirse. Complemente la información ofrecida por los profesores con la revisión de programas y libros de esas asigna-turas.

3. ¿Por qué es pertinente un entorno de aprendizaje para estudiantes de segundo año de EMDP? ¿Cuáles son las condiciones necesarias para realizarla? Argumente su respuesta.

4. Lea el material La Ciencia en tu Escuela. Módulo de Matemáticas. Serie 4: Estadística (Alfaro Aguilar, 2 003) ¿Considera que lo planteado por el autor es un entorno de aprendizaje para estadística? Argumente su res-puesta.

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Unidad 6Lección 13

Prácticas de Enseñanza en la Escuela

En esta lección usted tendrá la oportunidad de documentar las prácticas de enseñanza de la Estocástica en la escuela. Como futuro profesor de matemáticas es adecuado que conozca de primera fuente las situaciones que se viven en el aula de clases, en este caso particular respecto a la enseñanza de la estocástica. El análisis de esas situaciones le permitirá identificar prácticas adecuadas e ina-decuadas, de tal manera de reflexionar sobre su propia práctica con miras a me-jorarla.

Se puede argumentar que lo adecuado es reflexionar sobre su propia práctica como docente, pero eso conlleva a una serie de recursos los cuales no necesaria-mente están a su disposición (por ejemplo, cámara de video). Es por ello que se plantea la observación y entrevista con otros docentes, con la finalidad de docu-mentar prácticas pedagógicas reales y poder elaborar una descripción. Se utiliza-rán dos formas diferentes de recolección de información ya que es una manera de lograr dos perspectivas distintas de un mismo objeto o sujeto. Una forma de recolección de información complementa a la otra. Sin embargo, lo más impor-tante es que usted reflexione sobre esas prácticas pedagógicas reales, haciendo uso de lo aprendido en las lecciones precedentes.

Cómo se enseña la estocástica en la EB y EMDP

Usted deberá seleccionar por lo menos a cinco profesores de la localidad don-de vive o trabaja y solicitarles permiso para observar las clases donde dicta los contenidos de estocástica, además de responderles algunas preguntas relaciona-das con sus clases. La idea es que observe un mínimo de cuatro (4) horas de cla-ses consecutivas (dos semana).

Uno de los problemas con que se puede encontrar es que los profesores selec-cionados dejan las clases de estadística y probabilidad para el final del año esco-lar, dado que esos contenidos se encuentran al final de programa. Si usted cursa esta asignatura en el segundo semestre electivo del año, muy probablemente no podrá hacer la observación de las clases. El otro problema que podría encontrarse es que en ocasiones los docentes no dictan los contenidos de estocástica en sus cursos de EB y EMDP, por lo menos eso es lo que han manifestado diversos do-centes que hemos entrevistado en diferentes partes del país. Si se encuentra en cualquiera de esos dos casos, entonces deberá realizar sólo las actividades refe-rentes a las entrevistas.

Establezca contacto con los docentes. Recuerde que es importante que sean de su localidad y que estén dispuestos a colaborar con usted en la realización de este trabajo. Llegue a un acuerdo con ellos para determinar cuál sería el mejor momento para realizar las observaciones. El conjunto de horas de observación

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deben realizarse durante la cobertura del tema de estocástica, desde que co-mienza a trabajar ese tema. Indíqueles que la información recolectada es confi-dencial, que ni su nombre ni el de la institución donde trabaja aparecerán men-cionados explícitamente en el informe. Las observaciones tendrán por objetivo documentar la dinámica y organización de una clase real de matemáticas. Para efectos de organización, en una hoja aparte identifique cada profesor y cada ins-titución con un código, recuerde que efectuará mas de una observación por profesor, por lo que no es conveniente confundir la observación de un profesor con otro.

Actividad 13.1

1. Fotocopie el cuestionario “Hoja de observación de clases” que se encuen-tra al final de esta lección (anexo A).

2. Recuerde que para las sesiones de observación debe llevar un cuaderno de anotaciones o de campo, lápiz con sacapuntas o bolígrafo, y si es posible, y el profesor lo permite, un grabador. Identifique claramente cada sesión de observación: fecha, hora, código del profesor, código de la institución, du-ración del período de observación y número de alumnos presentes. Luego de culminada cada sesión de observación realice las anotaciones que con-sidere necesarias para el trabajo. Nunca deje para otro momento la realiza-ción de las anotaciones, corre el riesgo de olvidar elementos relevantes de ellas.

3. Luego de realizar todas las observaciones, organice la información recogi-da. Lea cuidadosamente esa información. Haga anotaciones sobre todos los asuntos que le llamen la atención, resalte aquellos asuntos que le pa-rezcan particularmente importantes. Elabore una narrativa de cada una de las clases observadas.

4. Solicite al profesor un tiempo para la entrevista, si se lo permite, utilice un grabador. Revise el Guión de entrevista que se encuentra al final de esta lección (anexo B). Prepare las preguntas con tiempo, revise el orden, ajús-telas a la situación que se le presenta, incorpore preguntas si es necesario, repregunte sino le queda claro algo, solicite detalles si lo considera ade-cuado.

5. Trascriba las entrevistas realizadas. Revise las respuestas ofrecidas por los docentes durante las entrevistas. Analice las entrevistas, haga anotaciones sobre todos los asuntos que le llamen la atención, resalte aquellos asuntos que le parezcan particularmente importantes.

6. Elabore un único informe a partir de las clases observadas y las entrevistas realizadas.

Recuerde que la entrevista está pensada como un complemento de la observa-ción de clases, ella le permitirá profundizar sobre aspectos detectados en las ob-servaciones, así como contrastar lo expresado por el docente y lo observado por usted durantes las clases. Si por alguna razón no se lograra la observación de las clases del profesor, debe utilizar un medio alternativo para complementar lo indi-cado por el profesor en la entrevista. En estos casos la recolección y análisis de diferentes materiales impresos producidos por el profesor y sus estudiantes, pue-den ayudar en la documentación de las prácticas de enseñanza. Por ejemplo, se podrían analizar los cuadernos de apuntes de los estudiantes, las guías de estu-

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dio producidas por el profesor, los ejercicios o problemas propuestos a los estu-diantes, los textos utilizados por el profesor para preparar las clases, las evalua-ciones parciales realizadas, los exámenes, etc.

Actitudes de los docentes hacia la estocástica

En diferentes estudios se ha observado una asociación directa y estadística-mente significativa entre altas puntuaciones de los estudiantes en pruebas de matemática y una actitud positiva hacia la asignatura (ver por ejemplo, Third In-ternacional Math and Science Study (TIMSS) de 1 995). Los estudios también re-velan que una actitud negativa hacia la matemática normalmente esta asociada a un bajo rendimiento académico en ella. Lo más grave de esto es que el bajo rendimiento normalmente refuerza la actitud negativa hacia las matemáticas, así como un alto rendimiento académico en matemática puede ayudar a reforzar una actitud positiva hacia ella.

Las actitudes son respuestas emocionales que se manifiestan mediante la eva-luación favorable o desfavorable hacia una entidad particular. Se forman a través del tiempo, por repetición de respuestas emocionales que se automatizan. No ne-cesariamente son observables, normalmente son inferidas a partir de lo que la persona manifiesta respecto al ente de interés. Es importante destacar que las actitudes se pueden cambiar pero no se logra fácilmente.

En el caso de los estudiantes, hay diversos elementos que pueden ayudar a generar una actitud favorable o desfavorable hacia las matemáticas: sus padres, la comunidad, los compañeros, sus maestros y profesores. Un docente que tenga una actitud negativa hacia la matemática con frecuencia comunicará de muchas formas ese sentimiento a sus estudiantes.

Pozo y Gómez (2 000) señalan que las actividades de enseñanza, aprendizaje y evaluación que emplea el docente durante sus clases pueden ayudar a reforzar o cambiar las actitudes que tienen los estudiantes, aunque no exista un propósito explícito de enseñarlas. Ellos señalan que en muchas ocasiones se refuerzan acti-tudes contrarias a los objetivos planteados en la actividad, ya que la forma de lle-varla a cabo produce un mensaje distinto, es lo que algunos autores denominan el currículo oculto.

En ocasiones ese “mensaje distinto” es producto de la actitud que tienen los docentes hacia la asignatura que enseñan, de manera implícita transmiten una actitud no conciente hacia lo que enseñan. No por el hecho de que una persona enseñe matemática se debe suponer que tiene una actitud positiva hacia ella. A veces no es hacia la matemática en general sino respecto a una parte de ella. Así como hay áreas de la matemática que son de mayor agrado para un docente, también hay tópicos que le desagradan. Cuando a los docentes les toca enseñar ese o esos tópicos que le desagradan, es posible que no lo hagan de buen ánimo y que de forma explícita o implícita comuniquen a los estudiantes su desagrado. En otras ocasiones, los docentes optan por no enseñar esos tópicos que le des-agradan, aun cuando se encuentre en el programa.

Ese podría ser el caso de la estocástica en EB y EMDP. Conversaciones infor-males con docentes de esos niveles educativos, de diversas partes del país, indi-can que no se cubren los contenidos de estadística y probabilidad previstos en el programa oficial. García (2 006) realizó una investigación donde participaron 44 docentes de matemática Estado Vargas, cubriendo con ello la totalidad de institu-ciones de III etapa de EB y EMDP de ese Estado. De los docentes encuestados:

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o 38 indicaron que no lograron cubrir objetivos propuestos en el Programa Oficial de Matemáticas en el transcurso del año escolar.

o 35 señalan que el contenido sacrificado es el correspondiente a probabili-dad y estadística. La falta de tiempo es la razón esgrimida.

Parece comprensible que si el tiempo no alcanza, se sacrifiquen los contenidos que se encuentran al final del programa: los de estadística y probabilidad. Sin embargo, en el mismo trabajo, de los docentes encuestados:

o 40 indican que no tienen o no conocen material de apoyo para preparar sus clases de estadística y probabilidad.

o 39 revela que desconoce estrategias didácticas o propuestas actualizadas para ser utilizadas en la enseñanza de la estadística y la probabilidad.

¿Será un problema de tiempo o será un problema de actitud hacia la estadísti-ca y la probabilidad? ¿Será un problema del valor que le asignan los docentes de EB y EMDP a la estadística y la probabilidad? Si la consideran de poca utilidad, muy probablemente consideren que no es importante enseñarla.

Actividad 13.2

1. Fotocopie el cuestionario “Actitud hacia la estocástica y su enseñanza” que se encuentra al final de esta lección (Anexo C)

2. Aplique el cuestionario a por lo menos 5 docentes de su localidad que en-señen matemáticas (deben ser los mismos de la actividad anterior). Pue-den ser de EB o de EMDP.

3. Tabule y organice las respuestas ofrecidas por los docentes en el cuestio-nario. Analice las respuestas, elabore un informe a partir de ellas.

La documentación de las prácticas de otros docentes lo ayuda a conocer como trabajan algunos de sus futuros colegas. Sin embargo, quedarse allí es como to-mar una fotografía y nunca más observarla. Como se señaló al comienzo, lo más importante es que usted reflexione sobre esas prácticas pedagógicas reales. Us-ted ha estudiado en este curso distintos elementos que le deben ayudar a hacer una reflexión sobre las prácticas escolares documentadas. La reflexión sobre la práctica escolar, propia o de otros colegas, coadyuvará en el mejoramiento de su propia práctica escolar.

Actividad 13.3

Sobre la base de las actividades 13.1 y 13.2, elabore un cuerpo de conclusiones y recomendaciones sobre la enseñanza de la estocástica en su localidad.

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Referencias

Wise, S. L. (1985). The development and validation of a scale measuring attitudes toward statistics. Educational and Psychological Measurement, 45, 401-405

Pozo, J.I. y Gómez C., M.A. (2 000): Aprender y enseñar ciencia. Madrid: Morata

García, R. (2 006) Diseño de un material instruccional para la enseñanza de la es-tadística y la probabilidad en la tercera etapa de la educación básica. Traba-jo especial de grado para optar al Título de Licenciado en Educación Men-ción Matemáticas. Universidad Central de Venezuela. No publicado

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Anexo AHoja de observación de clases

Código del Profesor(a): Código del Plantel:

Fecha de la Entrevista: Observación N°:

Realice anotaciones que le permitan posteriormente describir:

1. ¿Cómo inicia el profesor la clase?

2. ¿Cuáles son las actividades que le siguen al inicio de clases?

3. ¿Desarrollo de la clase? ¿Cómo lleva adelante la clase? ¿Cuáles actividades realiza el docente? ¿Cuáles son las actividades propuestas por el docente a los estudiantes? ¿Cuáles actividades desarrollan los estudiantes? ¿En qué as-pectos de la clase hace énfasis? ¿Hay espacios para la participación de los es-tudiantes durante el desarrollo de la clase? ¿Hace referencia a un libro de tex-to en particular durante la clase? ¿Dicta contenidos o asignaciones para que los estudiantes las copien en sus cuadernos? ¿Asigna problemas o ejercicios de algún libro de texto? ¿Hace énfasis en la manipulación de símbolos, en la comprensión de los conceptos o en la interpretación de los resultados?

4. ¿Cuáles recursos utiliza en la clase? ¿Cómo los utiliza?

4.1. Libro o libros que usa el docente

4.2. Otro material escrito de apoyo que use el docente

4.3. Libros que poseen los alumnos

4.4. Guías, hojas de actividades u otro material escrito que reparta el do-cente

4.5. Guías, hojas de actividades u otro material escrito que trae el alumno

4.6. Retroproyector

4.7. Láminas de acetato

4.8. Rotafolio

4.9. Calculadoras

4.10. Computadoras

4.11. Medios de comunicación Social

4.12. Bases de datos

4.13. Juegos

4.14. Manipulables concretos

4.15. Manipulables virtuales

4.16. Tiza Blanca

4.17. Tizas de Colores

4.18. Pizarra

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4.19. Borrador

5. ¿Cuál es su estilo de enseñanza? Observe si el profesor establece un diálogo con los estudiantes o tiene un estilo predominantemente expositivo.

6. ¿Cómo es el cierre de la clase? ¿Coloca ejercicios en la pizarra para que los realicen? ¿Asigna problemas o ejercicios de algún libro de texto? ¿Asigna lec-turas? ¿Indica que trabajarán en la próxima clase?

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Anexo BGuión de entrevista5

Código del Profesor(a): Código del Plantel:

Fecha de la Entrevista: Entrevista N°:

1. ¿Qué libro o libros utiliza para preparar las clases de matemática?

2. ¿Cuáles materiales curriculares utiliza frecuentemente en sus clases de mate-máticas?

3. ¿Cuál o cuáles libros utilizó para preparar las clases de probabilidad y estadís-tica?

4. Describa con detalles cómo se desarrolla una clase suya de estadística y pro-babilidad.

5. Describa como sería para usted una clase ideal, la mejor clase, de estadística y probabilidad.

6. ¿Hace uso usted de recursos manipulables en el aula cuando enseña estadísti-ca y probabilidad?

7. Indique dos ejemplos de problemas o ejercicios que utilice en clase cuando enseña estadística y probabilidad.

8. ¿Qué otro material curricular en el desarrollo de una clase de estadística y probabilidad si estuviera a su alcance?

9. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de es-tadística y probabilidad que le asigna a sus estudiantes.

10. Presente dos ejemplos de problemas o ejercicios que resuelve en clase.

11. Indique de cuál libro o libros de texto escoge los problemas o ejercicios de es-tadística y probabilidad que incluye en sus exámenes.

12. ¿Cuál libro le recomienda a sus estudiantes para estudiar?

13. Describa el tipo de tareas que asigna para desarrollar en sus casas

14. Presente dos ejemplos del tipo de problemas que usted le propone a sus estu-diantes en los exámenes.

15. Indique tres razones por las que no dicta clases sobre estadística y probabili-dad durante el año escolar

16. Si el problema es de tiempo, ¿por qué no se “sacrifican” otros contenidos?

17. Si no dicta clases sobre estadística y probabilidad durante el año escolar, ¿có-mo hace con ese contenido? ¿simplemente se obvia? ¿Cómo lo evalúa?

18. Si coloca un trabajo para cumplir con los contenidos de estadística y probabili-dad ¿en que consiste el trabajo?

5 En caso de que el profesor no imparta clases sobre estadística y probabilidad, reformule las pregun-tas para adaptarlas a la situación

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Anexo CActitud hacia la estocástica y su enseñanza

Para cada una de las siguientes afirmaciones, marque la categoría que refleja mejor cómo usted se siente actualmente respecto a la afirmación. Le agradece-mos coloque una única respuesta para cada afirmación. Por favor coloque su opi-nión en todas las afirmaciones. Gracias por su colaboración6.

1. Completamente en desacuerdo

2. En desacuerdo

3. Indiferente

4. De acuerdo

5. Completamente de acuerdo

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1. La estadística y la probabilidad me son útiles en mi profesión.

2. Quisiera dar a mis estudiantes más clases de estadística.

3. Quisiera haber podido evitar tomar el cur-so de estadística que hice en la universidad.

4. Se deben incluir más contenidos de esta-dística y probabilidad en la Educación básica y Educación Media.

5. Todo ciudadano debe tener conocimientos de estadística para desempeñarse mejor en la vida diaria.

6. Nunca logro cubrir los objetivos de proba-bilidad y estadística propuestos en el progra-ma oficial de Matemáticas.

7. Un buen profesional debe tener conoci-mientos básicos de estadística y probabili-dad.

8. Cuando estudiaba, cursar estadística fue una experiencia muy desagradable.

9. Mis conocimientos de estadística y proba-bilidad me ayudan a entender mejor la inves-tigación que se realiza en educación.

10. La estadística y la probabilidad realmente no son muy útiles porque nos dice lo que to-dos sabemos.

11. Cuando logro dar contenidos de estadísti-ca y probabilidad, mis estudiantes los disfru-tan y comprenden su utilidad para la vida

6 Desarrollado por Audy Salcedo, inspirado en Wise (1 985)

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diaria

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12. A mi la estadística y la probabilidad me parecen muy misteriosas.

13. Estudiar estadística y probabilidad es una pérdida de tiempo.

14. La estadística y la probabilidad son dema-siado complicadas para que mis estudiantes las entiendan.

15. La estadística es un aspecto importante de la investigación científica.

16. Uno se convierte en un "consumidor más eficaz" de los resultados de la investigación si tiene cierto conocimiento de estadística.

17. Tengo dificultad para establecer cómo la estadística y la probabilidad se relacionan con mi campo de trabajo.

18. La estadística y la probabilidad son útiles para comprender informaciones que apare-cen en los medios de comunicación

19. Me gusta dar clases de estadística y pro-babilidad, pero nunca me alcanza el tiempo para llegar a esos contenidos

20. Los conocimientos de estadística y proba-bilidad realmente son inútiles para la mayoría de los profesionales.

21. La estadística y la probabilidad se deben cursar sólo en la universidad, nunca en Edu-cación básica o Educación Media.

22. La estadística y la probabilidad me son muy útiles en mi vida diaria.

23. A nadie le hace falta tener conocimientos de estadística o probabilidad para ejercer mejor su ciudadanía.

24. Realmente me emociona cuando tengo que dar clases de estadística o probabilidad a mis estudiantes.

25. Me siento intimidado cuando tengo que dar clases de estadística o probabilidad a mis estudiantes.

26. El pensamiento estadístico un día será tan necesario para la ciudadanía eficiente como la capacidad de leer y de escribir.

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