5.7. Aplicaciones de las transformaciones lineales

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5.7. Aplicaciones de las transformaciones linealesSea de

A

y

B

conjuntos no vacos arbitrarios. Supongamos que a cada elemento

A

se le asigna un nico elemento de

B.

La coleccin de tales asignaciones se

denomina una aplicacin y el por:

aplicacin de A en B . El conjunto B , su codominio.

conjunto

A

se llama el

Una aplicacin

f

de

dominio de la A en B se denota

f :ABEscribimos elemento

f (a), ledo f de a, para representar el elemento de B que f asigna a A. Recibe el nombre de valor de f en a o imagen de a bajo f .

al

El trmino funcin se usar como sinnimo de aplicacin, aunque algunos autores reservan la palabra funcin para designar las aplicaciones de valores reales o complejos, es decir, las que aplican a un conjunto en Consideremos una aplicacin

R

o

C.

f : A B . SI A es cualquier subconjunto de A, f (A ) denota el conjunto de imgenes de A ; y si B es cualquier subconjunto de B , f ( 1)(B ) denota el conjunto de elementos de A cuyas imgenes estn en B : f (A ) = {f (a) : a A }Llamamos a de y

f 1 (B ) = {a A : f (a) B }y a

f (A )

la imagen de

A

f 1 (B )

B.

En particular, el conjunto de todas las

imagen inversa o primagen imgenes, o sea, f (A), se conocela

como la imagen (o recorrido) de A cada aplicacin

f.

f : A B le corresponde el subconjunto de A B dado por {(a, f (a)) : a A}. Este conjunto se denomina el grco de f . Se dice que dos aplicaciones f : A B y g : A B son iguales, escrito f = g , si f (a) = g(a) para todo a A, esto es, si tienen el mismo grco. As pues, no distinguiremos entre una funcin y su grco. La negacin de f = g se escribe f = g y es laproposicin: Existe un

aA

para el cual

f (a) = g(a).

A veces la echa arbitrario

con barra se utiliza para denotar la imagen de un elemtno x A bajo una aplicacin f : A B , escribiendo

x f (x)