54977454 Complemento de Calculo

COMPLEMENTO DE CLCULOD E P A R T A M E N T O D E C I E N C I A S B S I C A S

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas

INTRODUCCION

Ante las exigencias tales como innovacin, calidad, normalizacin de productos, uso eficiente de recursos energticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologas en la fabricacin de productos, gestin de la produccin y control de procesos; debidas todas ellas al elevado nivel de competencia determinadapor la globalizacin de las economas, se requiere que Ud. posea una formacin de alto nivel en competencia tcnica, evaluativa y de gestin, organizativa y mucho ms.

Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempearse en actividades productivas y de servicios de ingeniera. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energa elctrica, en los sectores exportadores (minero-metalrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros), transformacin de materiales (siderurgia), consultora, evaluacin de proyectos, montajes industriales y mantencin en sectores productivos.

Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicacin de conceptos involucrados para modelar fenomnos fsicos o geomtricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en mecnica -slidos-, neumtica -gases-, hidralica -lquidois- ) cuya representacin corresponda a funciones escalares o vectoriales de una o varias variables.

VIRGINIO GOMEZ


INDICE

VIRGINIO GOMEZ

Pg. 3 4 7 8 9 11 13 16 19 23 26 30

I

SUCESIONES Y SERIES Sucesiones ........................................................................................................... Lmite de una sucesin ......................................................................................... Serie .................................................................................................................... Serie geomtrica .................................................................................................. Serie p o hipergeomtrica ................................................................................... Teoremas sobre series ........................................................................................ Criterio para establecer la convergencia de serie: criterio de comparacin .................................................................. criterio de la integral ..................................................................... criterio de la serie alterna ............................................................... criterio de la razn ....................................................................... Serie de potencias ................................................................................................ Serie de Taylor ................................................................................................... FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Funciones de ms de una variable ...................................................................... Dominio de funciones de dos variables ...............................................................

II

35 36

III

DERIVADAS PARCIALES Derivadas parciales ..................................................................................

Derivacin implcita ........................................................................................... Regla de la cadena ........................................................................................... Aplicaciones de las regla de cadena: problemas con enunciado ................................................................ demostraciones .............................................................................. Derivada direccional ......................................................................................... Gradientes ......................................................................................................... Derivadas parciales de orden superior ................................................................. Mximos y mnimos para funciones de varias variables .................................... Hessiano de una funcin de dos variables .......................................................... Criterio de la segunda derivada .......................................................................... Multiplicadores de Lagrange ..............................................................................

40 45 48 55 59 62 66 70 73 73 73 77

1


IV

INTEGRACION MULTIPLE

VIRGINIO GOMEZ

Grfico en

: .................................................................................................... planos ...................................................................................... .... esfera ........................................................................................... cilindro ........................................................................................... cono .............................................................................................. paraboloide .................................................................................... Integrales dobles .................................................................................................... Propiedades de la integral dobles ....................................................................... Aplicaciones de la integral doble: clculo de reas en el plano ........................................................... determinar el valor de la regin ................................................. clculo de volmenes ..................................................................... Clculo de volmenes ......................................................................................... Coordenadas cilndricas ..................................................................................... Coordenadas esfricas ........................................................................................ V CAMPOS VECTORIALES Campos vectoriales ............................................................................................ campo vectorial conservativo ............................................................ campo vectorial conservativo en el plano ......................................... Rotacional .......................................................................................................... Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... Plano tangente y recta normal a una superficie ..................................................

3

82 82 86 87 89 91 92 95 98 103 108 116 123 128

136 137 137 141 141 146

VI

ECUACIONES DIFERENCIALES Ecuaciones diferenciales .................................................................................. Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas ....................................................... Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... AUTOEVALUACIONES .................................................................................

150 151 154 158 162

VII VIII

BIBLIOGRAFA ..................................................................................................

178

2


Sucesiones

Concepto: Una sucesin o secuencia es una funcin cuyo dominio es el conjunto de los nmeros naturales a b Si el n-simo elemento de una sucesin se designa por +8 0 a8b, entonces una sucesin es el conjunto de parejas ordenadas de la forma a8 , 0 a8bb donde 8 Ejemplo: 1) Si , f ( n) =

n entonces: n+21 2 3 4 5 ... ...

nf ( n)

nn n+2

1 3

Los pares ordenados sern:

1 n 1 1 , 2 ; ; ... n, 1 , ; 2 , ; 3 , ; 4 5 n + 3 2 3 3 7 2 5, ...Como el dominio de toda sucesin es siempre , es usual usar la notacin { f ( n)} = {a n } para representarla. En el ejemplo

GOMEZ=

1 2

3 5

2 3

5 7

{ f (n)} = {an }

{a1 , a 2 , a3 , a 4 , a5

a n ,...}

,...,

{ f (n)} =

n 1 3 2 5 n , , , , ..., , ... = n+2 n + 2 3 2 5 3

2) 0 a8b

" $

si 8 es impar si 8 es par

0 a8b " $ " $ " $ " $

VIRGINIO

3


Concepto de Lmite de una Sucesin Si para > 0 existe M > 0 talque a L < siempre que n > M , entonces n

n

lim a n = L

Si el lmite de la sucesin existe se dice que la sucesin es convergente CV y si no existe se dice que la sucesin es divergente DV. Lmite de una Sucesin Sea y = f ( x) una funcin real definida x entonces si lim n +

con

f ( x) = L , lim x

{ a n } es una sucesin tal que

f (n) = a n x se tiene que

a =L n

Ejemplos Determinar si la sucesin es CV o DV 1) 8 8# B B# H970 aBb #

0 aBb

# B lim lim B _ B# B _ B B "

B # B B

lim B_

#" " B

Por lo tanto,

8 lim ", luego la sucesin es CV. 8_ 8#

2)

" &8$ #8$ %8 " &B$ #B$ %B H970 aBb !

0 aBb

!

VIRGINIO OMEZ

se dice que el lmite de la sucesin a

{ n }es L y se denota por :

G

4


#

Por lo tanto,

& " &8$ lim , luego la sucesin es CV. 8 _ #8$ %8 #

1 3) 8 =/8 8 1 0 aBb B =/8 B ! 1 B =/8 lim B_ B _! =/8 lim B_ ! ! P wL 1 1 # -9= B B " Blim _ # B " B 1 B H970 aBb !

1 1 -9= B lim B_ " 1 Por lo tanto, 1 lim 8 =/8 1 , luego la sucesin CV. 8_ 8

VIRGINIO GOMEZB#

" &B lim lim B _ #B$ B_ %B

$

"

B$ B$ #B$ %B $ B$ B

&B$ lim B_

" B$

& %

& #

5


Teorema: Si

{a n } y {bn } y

son sucesiones CV y es c un nmero, entonces: c

a) La sucesin b)lim c

{c} tiene como lmite= c lim a nn

ann

c)

limn

( a n bn ) = a n bn =

lim a n n

lim bnn

d)

limn

limn

e)

lim n

an bn

GOMEZn

an

lim

bn

=

n

lim a n lim bn

si

Ejercicios Determine si la sucesin CV o DV 8" #8 " #8# " $8# "

a)

b)

c)

d)

$8$ #8# 8

e)

/8 8

f)

Solucin

a) CV c) DV

b) CV d) DV

VIRGINIO8# " 8 " # 8 " 8

n

n

lim b 0 n

e) DV

f) DV

6


Series

Concepto de Series Infinitas

Si

{a n } es una sucesin infinita, entonces :

a n = a1 + a 2 + a3 + ... + a n + ...

n =1

se llama serie infinita o simplemente serie. Los nmeros a1 , a 2 , a 3 ,..., a n,... se llaman trminos de la serie infinita. Sea la siguiente sucesin de sumas parciales

S1 = a1 S 2 = a1 + a 2

S 3 = a1 + a 2 + a3

Si {S n } = {S1 , S 2 , S 3 ,L, S n } converge, entonces la serie

n =1

Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas

_ Sea " +8 una serie infinita dada y sea W8 la sucesin de sumas parciales. 8" Si

lim W existe y es igual a W , entonces la serie dada es convergente aCVb y S es la suma de la serie 8_ 8 8_ Teorema : Si la serie

es CV, entonces

a n n =1Teorema : Si lim a n n 0

n

lim a n = 0

, entonces la serie dada

an

n =1

Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como as mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen bajo que condiciones una serie dada CV o DV.

VIRGINIOa n converge.es DV.

M S n = a1 + a 2 + a3 + L + a n

GOMEZ

7


Serie GeomtricaLa serie Primer trmino

n =0

a r n = a + a r + a r 2 + a r 3 + L + a r n + L con a 0razn

Se denomina serie geomtrica donde a es el primer trmino y r es la razn

_ + 8 Teorema La serie geomtrica " + < de razn < converge a W si, y slo si, " < 8! < " y diverge si, y slo si, < " Ejemplos Determine si las series son CV o DV _ " + _ " " 8 " #8 # 8 ! 8 ! 0 n , entonces:

y

n

( 1)n =1

a n = a1 + a 2 a3 + a 4 a5 + L + a n

( 1) n

n +1

( 1)n =1

a n = a1 a 2 + a3 a 4 + a5 L ( 1)

n +1

an

Se denominan series alternas o series alternantes.

Ejemplos:

GOMEZ RGINIO

_ 8 " 8 " " " a "b " " " " a "b 8" # $ % & 8" 8" _ " " " " 8" " 8" " # " a "b " a "b 8 # $ % & 8 8"

C.-

Criterio de la serie alterna Si a n > 0 n , entonces las series alternas

n ( 1) a n y

n =1

a)

n +1

( 1)n =1

an

convergen si, y slo si:

0 < a n +1 < a n n lim a n = 0 n

VI

b)

19


Determine si la serie CV o DV. _ " " a "b8 " $8 8" +8 " "b + " " $8 $ $88_

" $a8

+8

" $8

a8

, lim

" ! $8

Por lo tanto, la serie CV. _ # " a 8" "b 8" +8 "

" 8# " +8 " 8# "

" # a8 "b "

+

" " 8# #8 # 8# " "8_ 8#

a8

, lim

Teorema:

! "

Por lo tanto, la serie CV.

_ a) Una serie " a "b8 +8 8"

o

_ " a "b8 "

se dice que es

_ Absolutamente Convergente aCVAb si la serie " +8 es CV. 8" _ b) Una serie " a "b8 +8 8" _ " a "b8 "

+8 8"

o

se dice que es

_ Condicionalmente Convergente aCVCb si la serie " +8 es DV. 8"

+8 8"

VIRGINIO GOMEZ

Ejemplos:

20


Ejemplos: _ 8 " " a "b & %8 8" +8 " + & 8 % " a8 & +8 8 %

& & %8 " % 88_

, lim

& 8! %

_ La serie " es CV. a "b8 & %8 8"

_ _ " 8 " " & " & es una serie geomtrica con < y por lo tanto, CV 8 % % % 8" 8" _ 8 Luego la serie " a "b CVA & %8 8" _ " # " a "b8 " 8 8" +8 " 8 " + " " 8 " 8 " ! 8 a8 " +8 " 8

, lim8_

_ " La serie " a 8 " es CV. 8 "b 8" _

_ " " " es una serie : con : y por lo tanto, DV " " " 8 # 8" 8"8# _ " Luego la serie " a 8 " CVC 8 "b 8"

VIRGINIO GOMEZ

21


Ejercicios

Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida, adems, si es CVA. o CVC. _ " " "8 " 1 8 8" " _ 1 $ " "8 8 "# 8" _ & " "8 " 1 8 8 8" _ 1 " # "8 # 8 " 8"

_ 1 % " "8 " $ 8 " 8# _ 1 ' " "8 " $8 " 8" Solucin

1) CVC

2) CVA

3) CVA

4) CVA

5) CVA

6) CVC

VIRGINIO GOMEZ

22


D.-

Criterio de la Razn o Criterio de D'Alambert Sea

an

n =1

una serie infinita donde :

an 0

yentonces: a) cuando < 1 , la serie CVA. b) cuando > 1 , la serie DV.

a n +1 = n an lim

c) cuando = 1 el criterio no da informacin.

Ejemplos:

Determine si la serie CV o DV. _ 8" $ " " 8! 8" 8# $ +8 " a8 "b! $ +8 lim $ 8" 8!

GOMEZ$8 $ $ 8" 8 a b ! $ $ 8"

8_

!"

_ 8" $ Por lo tanto, " CV 8! 8"

8"

_ 8 a#8b! # " a "b 8 8" ! a#8 #b + 8" 8 " a#8b! +8 8

a#8 #b a#8 "b a#8b! 8 a#8b! 8" $ '8# #8 %8 8"

8_

lim

%8 '8 #8 8"

$

#

8_

lim

%

8$ 8# 8 ' # 8 8 8 8 "

VIRGINIO

8! 8

$

8

8

23


8_

lim

%8# '8 # " " 8

_" _ a#8b! Por lo tanto, " a "b8 DV. 8 8" _ 8 8 # $ " a "b $ 8 8" 8" # +8 " $ #8 # 8$ a8 "b $ +8 #8 #8 8 " 8$ #8$ $ 8 $8# $8 " lim8_

#8$ 8$ $8# $8

lim8_

# 8$ 8$ 8#

8$ 8$ 8

"

$ $ $ $ $ 8 8 8

8_

lim

# $ $ " " # $ 8 8 8

#" _ 8 8 Por lo tanto, " a "b DV. # 8$ 8" _ 8# % " a "b8 8 & 8" 8$ +8 " 8 $ &8 8$ &8 " 8 + 8# & & 8 # &8 "! 8 &8 lim 8$ " " " Pw L lim 8_ & &8 "! &

8_

_ 8# Por lo tanto, " a "b8 CVA.

VIRGINIO GOMEZ"

_ "

8"

&8

24


Ejercicios

Determine si la serie CV o DV. _ a8 "bx " " #8 8 ! _ $ " "8 a8bx 8 $8 8" _ " & " "8 #8 "x 8"

_ 8 & # " "8 a#8bx 8"

_ # 8 % " 8 $ a8 "b 8"

Solucin

1) DV 4) CV

2) CVA 5) CVA

25

VIRGINIO GOMEZ3) DV


Serie de Potencias

Concepto: Una serie de potencias en

x a

es una serie de la forma :

b0 + b1 ( x a ) + b2 ( x a ) n a) = bi y

2

+ b3 ( x a )

3

+ L + bn ( x

n bn ( x a ) n =0

a son nmeros , x es variable.

Si x es un nmero particular, entonces y

x a

se transforma en un nmero

b ( x a ) n es una serie infinita de trminos constantes. n =0 n

Si a = 0 , entonces se obtiene la siguiente serie b xn = b +b x+b x2 +b x3 +L +b xn n 0 1 2 3 n =0 n

Ejemplos:

Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ 8 # aB 8 "b " " a "b8 " 8 $8 8" #8 " aB "b8 " a8 "b $8 " #8 aB "b8 8 $8

+8 " +8

#8 # aB "b8 aB "b 8 $8 8 8 a8 "b $ $ # aB "b8

# 8 B " $ 8" # 8 # B lim B " " 8_ $ 8 " $

lim8_

8 8"

Pw L # lim " $ B "8_ " # B " $

VIRGINIO

Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias. _ Como aparece la variable B, entonces una serie de potencias es una funcin 0 aBb " ,8 aB +b8 8! donde el dominio de la funcin es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de la Razn y se resuelve la inecuacin 3 ", adems se debe hacer el anlisis de los extremos.

GOMEZ

26


$ $ # B" # & " # B # Anlisis de los extremos Para B & # #8 $ 8 # _ #8 8 " " a "b 8"

_ " a "b8 " 8"

8 a$ 8 b a "b #8 8 $8

8 $8

_ #8 " " " a "b 8 8" _ " " 8 8" _ " Pero, " es la serie armnica y por lo tanto DV. 8 8" " #

Para B

$ 8 #8 _ # " a "b8 " 8 $8 8"

$8 _ #8 8 " a "b8 " # 8 $8 8"

_ 8" " " a "b 8 8" _ " Pero, " a "b8 " es una serie alterna que es CVC. 8 8" Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie _ 8 8 8 " # aB es & B " " a "b "b 8 $8 # # 8"

27

VIRGINIO GOMEZ

# # B " " " $ $

B " "


+8 " +8

8" aB $b a8 "b! aB $b8 8!

aB $b8 aB $b 8! a8 "b 8! aB $b8

" B $ 8" " 8"

lim8_

"

B $

8"

$

B

lim8_

B $ ! ! "

_ 8 8 aB Por lo tanto, la serie " a "b $b 8! 8" _ 8! $ " a 8 8 8 "! B "b 8" +8 " +8

es CVA a B

a8 "b! 8 " B8 " "! 8! 8 8 "! B "!8 B8 a8 "b 8! "!8 "! B8 B 8! " "! B " "!B lim 8 "8_

" "!B

a8 "b

lim a8 "b 8_

"

" "!B _ _

_ 8 8 aB Por lo tanto, la serie " a "b $b 8! 8"

es DV a B

VIRGINIO GOMEZ

_ aB 8 $b # " a "b8 8! 8"

28


Ejercicios Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias _ B 8 " " #8x # 8 ! _ $ " B #8 " _ B &8 # " "8 " 8 &8 8" _ B (8 % " "8 " 8 (8 8"

8 " 8" $8 "

_ " &8 " " 8" _ 8x B8 " ( 8 " #8x _ # 8 B8 * " 8# 8"

B#8 " #8 "!

_ 8x B %8 ' " "8 $8 8"

_ 8 8" ) " #B 8" 8" _ ##8 " B#8 "! " "8 #8x 8"

Solucin " No existe intervalo de convergencia # ! B "! $ " B & % ! B "% & ' No existe intervalo de convergencia ( " " ) B # # " " * B # # "!

VIRGINIO GOMEZ

29


Serie de Taylor

f

n

Concepto : La expresin f ( x ) = n=0 f alrededor de x = a o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de x = a .n f (a) es la n-sima derivada de f evaluada en x = a .

(a ) ( x n a) corresponde a la serie de Taylor de n!

Si la serie de Taylor toma la forma f ( x ) = n=0 serie de Maclaurin de f .

f

n (0) x n n! que se conoce con el nombre de

Ejemplos

" 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a B ", la funcin 0 aBb B " 0 aBb a"b " B!

0 w aBb 0 w aBb w

" B# B#

0 w a"b " 0 w a"b # 0 w a"b ' 0 3@ a"b #%w w

# #B$ B$

' ww 0 w aBb % 'B% B 0 3@ aBb #% #%B& B& a "b aB "b "!!

" aB ! "b 0 aBb !!

# aB "b #x#

#

a 'b aB $ "b $!

aB "b 0 aBb "

aB "b "

# aB "b ##

' aB $ "b '$

#% aB "b #%%

0 aBb aB "b aB "b aB "b aB "b aB "b Por lo tanto, 0 aBb _ " " a "b8 aB "b8 B 8!

!

VIRGINIO#% aB "b %!% %

GOMEZ 0!

30


2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 aBb -9=B 0 ! aBb -9=B 0 w aBb =/8B 0 w aBb -9=B 0 w aBb =/8B 0 3@ aBb -9=Bww w

0 ! a!b " 0 w a!b ! 0 w a!b " 0 w a!b ! 0 3@ a!b "ww w

0 aBb 0 aBb 0 aBb

" B! ! B a "b B# ! B$ " B% "! $! %! !! #x B# B! B% ! ! !! #! %! B ! B# B % !! #! %!

_ #8 Por lo tanto, 0 aBb -9=B " a "b8 B a#8b! 8!

3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en + 0 aBb 68a" Bb 0 aBb 68a" Bb 0 w aBb " Bb " "Bw !

0 ! a!b !

a"

0 w a!b "

" w 0 w aBb a" # Bb # a" Bbww # 0 w aBb #a" $ Bb $ a" Bb

0 w a!b "

0 w a!b #

ww

0 3@ aBb %

'%

'a" Bb

0 3@ a!b '

a" Bb 0 aBb ! B! "

" B " B# # B$ ' B % " # ' #%

B# B$ B % 0 aBb ! B # $ % Por lo tanto, 0 aBb 68a" Bb " _ 8" 8 B a "b

VIRGINIO GOMEZ

8!

8"

31


Intervalo de convergencia +8 " +8 8" lim B 8#

8_

B lim 8 " 8_ 8#

B " " B " Anlisis de los extremos Para B " _ a8" " a "b8 "b 8! 8"

Pw L B 8_ lim B

" "

_ a "b #8 " " 8! 8"

_ " " 8" 8! _ " 8" " 8

_ Pero, " " es la serie armnica y por lo tanto DV 8 8" Para B " _ " a "b8 a"b 8! 8" 8" _ 8 " " a "b 8! 8"

_ " Pero, " a "b8 es una serie alterna que CVC 8 " 8! _ 8" 8 es " B " Luego el intervalo de convergencia de la serie " a "b B 8! 8"

VIRGINIO

GOMEZ

B8 # 8" B8 B# 8 " 8# 8 B 8 " 8# B B 8# B 8"

32


, 0 aBb /B 0 ! aBb /B 0 w aBb /Bw 0 w aBb /B ww 0 w aBb /B

0 ! a!b " 0 w a!b " 0 w a!b " 0 " 0 "3@ www w

a!b

0 3@ aBb /B

a!b

0 aBb

" B! !!

" B " B# " B$ " B % "! #! $! %!

_ B8 Por lo tanto, 0 aBb /B " 8! 8 ! Intervalo de convergencia +8" +8 " 8" B8 " a8 "b! B 8 8! 8 B B 8 ! "

8 B ! a8 "b 8 B 8"

8_

lim B

B lim " 8_ 8"

B ! ! "

_ B8 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie " es 8! 8 ! Ejercicios I Desarrollar en serie de Taylor

" 0 B $ B $ 0 B 68 aB "b

con + " con + "

" # 0 B B

VIRGINIO GOMEZ

con + " con + 1 $

% 0 B -9= B

II

Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia

" 0 B /B#

# 0 B =/8 $B

" $ 0 B -9= B #

33


Solucin I B" " 0 aBb " # aB "b '#

& aB $ "b &%

& aB "b )"

%

_ # 0 aBb " aB "b8 8!# $ % B" aB "b aB "b aB "b $ 0 aBb 68# # ) #% '%

1 #8 1 #8 " _ B B $ _ " 8 " $ $ % 0 aBb " a 8 " a "b "b # # a#8b! a#8 "b! 8! 8!

II _ 8 " 0 aBb " # B 8! 8 ! 8 _ $#8 " B#8 # 0 aBb " a "b8 " a#8 "b! 8!

CV a B

_ _ #8 " " " B# 8 8 " B $ 0 aBb -9= a 8 =/8 a "b " " "b # # a#8b! a#8 "b! 8! 8! CV a B

VIRGINIO GOMEZCV a B

34


Funciones de ms de una variable Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma C 0 aBb , donde la variable C depende de la variable B, B . Se extender ahora este concepto a funciones de ms de una variable. Por ejemplo z = f ( x, y ) = x 2 + y2

z depende de las variables x e y

w = f ( x, y , z ) = x + yz

w depende de las variables x , y y z

En estos casos los elementos del dominio de la funcin no sern nmeros reales, sino elementos de otros espacios numricos. Si D 0 aB Cb, entonces los elementos del dominio de 0 son pares ordenados y , por lo tanto, se est trabajando en el espacio numrico real bidimensional a# b. Si A 0 aB C Db, entonces los elementos del dominio de 0 son triadas o ternas y , por lo tanto, se est trabajando en el espacio numrico real tridimensional a$ b. Concepto de funcin de dos variables

Sea H un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de H le corresponde un nmero real 0 aB Cb, entonces se dice que 0 es funcin de B e C El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aB Cb es el recorrido de 0 Ejemplos " 0 # aB Cb # 0 # aB Cb 0 aB Cb B# C #

0 aB Cb

B C# BC

$ 0 # aB Cb

0 aB Cb

/BC BC

VIRGINIO GOMEZ

35


Concepto de funcin de tres variables

Ejemplos " 0 $ aB C Db # 0 $ aB C Db $ 0 $ aB C Db 0 aB C Db B# C # D # BC 0 aB C Db BC D # -9=aBCb D 68aC Db B#

0 aB C Db

Dominio de funciones de dos variables

Para determinar el dominio de funciones de dos variables se deben considerar las mismas restricciones que para funciones de una sola variable, es decir, a) si la funcin est formada por una expresin que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad subradical debe ser mayor o igual a cero. b) si la funcin est formada por una fraccin, entonces el denominador debe ser distinto de cero. c) si la funcin est formada por una fraccin con raiz cuadrada en el denominador, entonces la cantidad subradical debe ser mayor que cero. d) si la funcin est formada por una expresin que tenga logaritmo, entonces el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero. Ejemplos: Determinar el dominio de las siguientes funciones " 0 aB Cb #& B# C # #& B# ! C# #& B# C # B# C# #&

a "b

B# C# #& corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada de radio cinco. B# C# #& corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de la circunferencia de radio cinco.

36

VIRGINIO GOMEZ

Sea H un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de H le corresponde un nmero real 0 aB C Db, entonces se dice que 0 es funcin de B C D El conjunto H es el dominio de 0 y el conjunto de valores 0 aB C Db es el recorrido de 0


# 0 aB Cb

$B &C BC

BC ! BC

B C corresponde a todos los puntos el plano que estn en la recta B C H970 {aB Cb # aB Cb no est en la recta B C

$ 0 aB Cb 68a#B Cb #B C ! #B C

#B C corresponde a todos los puntos del plano que estn en la recta C #B #B corresponde a todos los puntos del plano que estn bajo la recta C #B C H970 {aB Cb # aB Cb est bajo la recta C #B

VIRGINIO GOMEZ

H970 {aB Cb # aB Cb se encuentra en y dentro de la circunferencia B# C# #&}

37


*B# #&C# ##& ! *B# ##& #&C # B# C # " #& * B#

##&

C# " corresponde a todos los puntos del plano que estn en la elipse #& * B# C # " #& * B# #& C# * " corresponde a todos los puntos del plano que estn fuera de la elipse CB # ! C B# B# C # " #& *

C B corresponde a todos los puntos del plano que estn en la recta # C B#

C B # corresponde a todos los puntos del plano que no estn en la recta C B# H970 {aB Cb # aB Cb est en y fuera de la elipse B y no estn en la recta C B # #

C# *

IRGINIO

#&

GOMEZ"

% 0 aB Cb

*B# #&C# ##& C B #

V

38


Ejercicios

Determine el dominio de las siguientes funciones B# C # " %C &B

+ 0 B C

, 0 B C 68* B# $C # B# C # $' #B# $C / C #B 68C B

- 0 B C

. 0 B C

Solucin

+ H970 aB Cb # aB Cb est sobre la recta C

& B %

, H970

# aB B Cb aB Cb est en el interior de la elipse

*

- H970 aB Cb # aB Cb est en y dentro de la circunferencia

# # B# C# $' y no pertenece a la parbola C B $

. H970 {aB Cb # aB Cb est sobre las rectas C #B e C B y est en la recta C #B

VIRGINIO GOMEZ#

C# $

"

39


Derivadas ParcialesConceptos Sea z = f ( x , y ) , una funcin de dos variables , entonces las derivadas parciales fx, fy

Primeras de f con respecto a x y con respecto a y son las funciones definidas por :

f ( x , y ) f x

=

z

=x

x

(x,y) =

lim x 0

f(x+ x,y) f(x,y) x

f ( x, y ) z f ( x, y + y ) f ( x, = = f ( x, y ) = lim y) y y 0 y y ysiempre que exista el lmite.

Ejemplos Obtener 0B 0C en " 0 aB Cb $B# #C $ (B %C 0B 'B ( 0C 'C # %

# 0 aB Cb #BC *B$ &C % 0B #C #(B#

0C #B #!C $

$ 0 aB Cb a$BC# %Bb#

$

0B $a$BC # %Bb a$C # %b

0C ")BCa$BC # %Bb

VIRGINIO#

Es decir, si D 0 aB Cb entonces para determinar 0B se considera constante la variable y se C deriva con respecto a B. De la misma forma , para obtener 0C se considera constante la variable B y se deriva con respecto a C

40


0B

#a$B #Cb $a#B &C $ b a$B #Cb#

0C

"&C # a$B #Cb #a#B &C $ b#

a$B #Cb 0C

0B

%C "&C $# a$B #Cb

#!C $ %&BC # %B a$B #Cb#

& 0 aB Cb BC B# C $ B % ( C 0B C #BC %B C$ $ (

0C B $B# C # (B% C '

' 0 aB Cb B/BC >1a#B $Cb 0B /BC BC/BC #=/- # a#B $Cb

0C B# /BC $=/- # a#B $Cb

( 0 aB Cb 68aB# C # b =/8aBCb BC -9=aBCb 0B 0C #B # C -9=aBCb C-9=aBCb BC =/8aBCb B# C # #C B -9=aBCb B-9=aBCb #B C =/8aBCb B# C #

El concepto de derivada parcial tambin es posible extenderlo para una funcin de tres variables. Sea A 0 aB C Db, una funcin de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de 0 con respecto a B, a C y a D estn definidas por ` 0 aB C À 0 aB ?B C Db 0 aB C Db Db 0B aB C Db lim ?B `B `B ?B ! ` 0 aB C À 0 aB C ?C Db 0 aB C Db Db 0C aB C Db lim `C `C ?C ?C ! ` 0 aB C Db `D À `D D0 aB C, zb lim ?D ! 0 aB C D ?Db 0 aB C Db ?D

siempre que el lmite exista

Es decir, si A 0 aB C Db para determinar 0B se consideran constantes las variables C y D y se deriva con respecto a la variable B. De esta misma forma para obtener 0C se consideran constantes las variables B y D y se deriva con respecto a la variable C. Por ltimo, por igual camino para calcular 0D se consideran constantes las variables B e C y se deriva con respecto a la variable D.

VIRGINIO GOMEZ

% 0 aB Cb

#B &C$ $B #C

41


Ejemplos Obtener 0B 0C 0D en " 0 aB C Db #B# %C $ &D % $B %C D 0B %B $ 0C "#C # %

0D #!D $ "

# 0 aB C Db BC $CD %BD BCD 0B C %D CD 0C B $D BD

0D $C %B BC

$ 0 aB C Db BC/BD 68aB C Db 0B C/BD BCD/BD 0C B/BD " BC D " BC D

0D B# C/BD

" BC D % 0 aB C Db $B &C #C D 0B $ #C D &a#C Db #a$B &Cb &D 'B # # a#C Db a#C Db $B &C a#C Db#

0C

0D

& 0 aB C Db 68aB# C# D # b =/8a$B Cb >1a&C %Db 0B 0C 0D B# #B $ -9=a$B Cb C# D #

#C # -9=a$B Cb &=/a&C %Db B# C # D # #D # %=/a$B Cb B# C # D #

VIRGINIO GOMEZ

42


' 0 aB C Db B/BCD C -9=aBCDb D BCD 0 /BCD BCD/BCD C # D =/8aBCDb B CD #

0 B# D/BCD -9=aBCDb BCD =/8aBCDb C

BD # # BCD

BCD 0D B# C/BCD BC # =/8aBCDb BCD # BCD $ %

( 0 aB C Db =/8$ a#B $Cb >1a$C %Db 68# a&D Bb 0B '=/8# a#B $Cb -9=a#B $Cb )68a&D Bb%

" a&D Bb$

0C *=/8# a#B $Cb -9=a#B $Cb *=/- # a$C %Db a$C %Db " $ # 0D "#=/- # a$C %Db a$C %Db %!68a&D Bb a&D Bb %

Ejercicios I Determine 0B y 0C en: + 0 aB Cb $B %C B# C BC $ , 0 aB Cb 68a$B 'Cb -9=a$BC 'b B >1a#C "!b) - 0 aB Cb $B %C a$B Cb %B( )C '

. 0 aB Cb

(B )C %C *B

II Determine 0B 0C y 0D en: + 0 aB C Db BCD 68a$B %C &Db %B 'C *D , 0 aB C Db $ %B% *C % (D ( - 0 aB C Db -9=a$B 'C (Db /-9=aBCDb B$ C % D ' . 0 aB C Db

VIRGINIO GOMEZ#

# BCD

B68C D=/8C

C>1B BC/D

43


Solucin

, 0B

$ $C =/8a$BC 'b >1a#C "!b $B 'C

0C - 0B

' $B =/8a$BC 'b #B =/- # a#C "!b $B 'C

$ ' #%a$B Cb( #)B # $B %C # ( & )a$B Cb %)C $B %C "!!B 0C # a%C *Bb

0C

. 0B

"!!C # a%C *Bb $ % $B %C &D & * $B %C &D "'B$ $ a%B% *C % # (D ( b$

II

+ 0B CD

0C BD

% ' $B %C &D

0D BC

, 0B

0C

$'C$$

$ a%B% *C % (D ( b

0D

%*D ' $ a%B% *C% # (D ( b$

- 0B $=/8a$B 'C (Db CD =/8aBCDb / -9=aBCDb $B# C % D ' 0C '=/8a$B 'C (Db BD =/8aBCDb / -9=aBCDb %B$ C $ D ' 0D (=/8a$B 'C (Db BC =/8aBCDb /-9=aBCDb 'B$ C % D & 68CaC>1B BC/D b aB68C D=/8CbaC=/- # B # C/ D b aC>1B BC/D b 0C

. 0B

B D D C D-9=CaC>1B BC/ b aB68C D=/8Cba>1B B/ b # aC>1B BC/D b

0D

a =/8CbaC>1B BC/D b aB68C # D=/8CbaBC/ D b aC>1B BC/D b

VIRGINIO GOMEZ#

I C$

+ 0B $ #BC

0C % B# $BC #

44


Derivacin implcita Cuando no es posible despejar una variable en funcin de las restantes se usa el concepto de derivada implcita. `D Si D 0 aB Cb, es decir, D es una funcin de dos variables que depende de B e C . Para obtener `B se considera constante la variable C y se deriva implcitamente D con respecto a B. `D Para obtener se considera constante la variable B y se deriva implcitamente D con respecto a `C C. Ejemplo Obtener `D `D , en `B `C

" B# C# D # #& Para `D `B `D B `B D

`D #B #D ! `B Para `D `C

`D `D C #C #D ! `C `C D # >1aB Cb >1aC Db " `D `B `D =/- # aB Cb =/- # aC Db ! `B Para `D =/- # aB Cb `B =/- # aC Db Para `D `C `D ! `C

=/- # aB Cb =/- # aC Db "

`D =/- # aB Cb =/- # aC Db `C =/- # aC Db $ D /BD C /CD /BC # Para `D `B

`D BD `D BD # CD `D BC / D / D B C / C/ ! `B `B `B

45

VIRGINIO GOMEZ


Para

`D `C

`D BD BD `D /CD C / CD D C `D BC / BD / `C `C `C B/ ! `D /CD CD /CD B/BC BD ` B / BD/BD C # /CD % /BCD >1aCDb 68aBCDb -9=aBDb Para `D `B

`D `D `D `D /BCD CD BC CD BC =/8aBDb D B C=/- # aCDb " `B BCD `B `B `B `D `B " BCD D=/8aBDb CD/ B " BC/BCD C=/- # aCDb B=/8aBDb D

Para

`D `C `D DC `C "

`D /BCD BD BC =/- # aCDb `C `D `B

`D `D B=/8aBDb BD BC BCD `C `C

" BCD D=/-# aCDb BD/ C " BC/BCD C=/- # aCDb B=/8aBDb D Ejercicios

Obtener

`D `B

y

`D en `C

+ B# %C # *D # $' - $B% %C $ 'D & '! / =/8B C -9=C D =/-D B "

, CD BD BC BCD !

. #B C D 68D

0 B/ BC C=/8aCD b D>1aBD b

VIRGINIO GOMEZ

`D D # /BD C/BC BD `B / BD/BD C # /CD

46


Solucin

+

`D B `B *D ` D CD D C `B C B BC `D `B #B$ &D %

` D %C `C *D ` D BD D B `C C B BC `D #C # % `C &D `D " " `C " D

,

-

.

`D # " `B " D `D `B

/

-9=aB Cb =/-aB Db>1aB Db =/8aC Db =/-aB Db>1aB Db

`D -9=aB Cb =/8aC Db ` C =/8aC Db =/-aB Db>1aB Db

0

`D D # =/- # aBDb /BC BC/BC # `B C -9=aCDb >1aBDb BD =/- # aBDb `D B# /BC =/8aCDb CD -9=aCDb ` C >1aBDb BD =/- # aBDb C # -9=aCDb

GOMEZ

47

VIRGINIO


Regla de la cadena

T eorema : Supngase que z = f ( x , y ) , es una funcin de dos variables y que existen

z x

y

z y

con x = f ( r , s ) e y = f ( r , s ) funciones de r y

para las cuales

s x , x , y r , y s . Luego, z r y z sexisten y vienen dadas por:

existen las derivadas

r s z

z r

=

z y + x r y r

x

z z x z y = + s x s y s

Ejemplos 1) Determine D B# C # B =$ ` B .> ` C .> `D # / BC C/BC BC `B .B " %>$ .> # > `D `C

B/BC B# C /BC

.C " # 68 $ a> "b $> 68 a> "b .> >"

.D .>

" $ # %>$ " B/BC B# C /BC C/BC BC # /BC 68 a> "b $> 68 a> > > " # "b # Determine A BCD B >( $> & C ># > $ .A en: .>

D Eb

.A ` A .B ` A .C ` A .D .> ` B .> ` C .> ` D .> À CD `B .B .> À BD `C

À BC `D

'

(> $

.C "a># $b >a#>b .> a># # $b

.D .>

"

" >#

.A

$ ># " ' aCDb(> $ aBDb aBCb # .> a> " ># # $b

VIRGINIO GOMEZ

52


Ejercicios Determine + À `< si

A 68B # C # B < -9= > C < =/8 >

,

.E si .>

E B $ C$ #B $C B E1a>b -9=> =/8> C > >1 a>b

-

`? `? `? si `3 `) `9

? B # #C # #D # B 3 -9= ) =/8 9 C 3 =/8 ) =/8 9 D 3 -9= 9

. Hallar

À `B

en el punto " " " si

A -9=a +,b + BCD , 1 %B# C#

53

VIRGINIO GOMEZ


Solucin

+

À #B #C # -9= > # =/8 > # `< B C B C#

,

È B " # # $B# =/8 > -9= > `> " ># #B $C $ $C# a>1 > > =/- # >b # #B $C

-

`? a#Bba-9=) =/89b a%Cba=/8) =/89 b a%Dba-9=9b `3 `? a#Bba 3 =/8) =/89b a%Cba3 -9=) =/89 b `)

`? a#Bba3 -9=) -9=9b a%Cba3 =/8) -9=9 b a%Dba=/89b `9

.

À a" " "b ! `B

54

VIRGINIO GOMEZ


Aplicaciones de la regla de la cadena A) Problemas con enunciado

1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm.. En ese instante, el radio decrece a razn de 5 cm/seg. y la altura crece a razn de 4 cm/seg.Con qu rapidez cambia el volumen en ese momento?

Z 1b 2 0 a>b .Z ` Z .< ` Z .2 .> ` < .> ` 2 .># .Z .> a#1 1< .2 .>

Z 0 a seg .2 cm % .> seg < "# cm

2 $' cm

.Z a)'%1b a &b a"%%1b a%b .> .Z %$#!1 &('1 .> .Z $(%%1 .> El volumen decrece a razn de $(%%1 cm3 /seg

55

VIRGINIO GOMEZ


Por teorema del coseno +# , # - # #,- -9=! + 0 a, - !b

;, 0 a>b

; - 0 a>b

; ! 0 a>b

+ , # - # #,- -9=! ! '! .! grados & .> seg .cm " .> seg , "' cm

., " cm .> # seg

- "! cm

.+ ` + .! ` + ., ` + . .> ` ! .> ` , .> ` - .> .+ .> .> .+ .> ,- =/8! .! .> b " , - -9=!

.,

VIRGINIO GOMEZ.>

2) En cierto instante, el ngulo ! de un tringulo tiene 60 y crece a razn de 5 grados/seg., el lado c mide 10 cm. y crece a razn de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razn de " # cm/seg. Hallar la velocidad de variacin del lado a.

- , -9=!

.-

,# - # #,- -9=!

, # - # #,- -9=!

, # - # #,- -9=!

" a,- =/8!ba&b a, - -9=! a- , -9=!ba"b , # - # #,- -9=! #

.+ " "" # %!!$ .> "% # .+ " ( %!!$ .> "% # El lado a crece a razn de cm " ( %!! $ seg "% #

56


+ Z 6+2 + "!

Z 0 a+ 6 2b .+ # cm .> seg .2 cm " .> seg ; 6 "&

2)

.Z ` Z .+ ` Z .6 ` Z .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .Z .+ .6 .2 a62b a+2b a6+b .> .> .> .> .Z a"#!ba #b a)!ba$b a"&!ba"b .> .Z "&! .> , E #+6 #+2 #62 .E ` E .+ ` E .6 ` E .2 .> ` + .> ` 6 .> ` 2 .> .E .+ a#6 #2b a#+ #2b .> .> .6 .2 a#+ #6b .> .>

El volumen crece a razn de 150 cm3 /seg.

.E a%'ba #b a$'ba$b a&!ba"b .> .E '' .>

El rea total crece a razn de 66 cm2 /seg.

57

VIRGINIO GOMEZcm .6 $ .> seg

3) Una caja rectangular cambia de tamao en tal forma que su longitud crece a razn de 3 cm/seg, su ancho decrece a razn de 2 cm/seg y su altura crece a razn de 1 cm/seg a)Cul es la rapidez de variacin del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es 10 y la altura es 8 cm.? b) Con qu rapidez cambia el rea total en ese mismo instante?


Ejercicios

" La altura de un cono circular recto es 200 cm. y est creciendo a razn de 40 cm/min. El radio de la base es 60 cm. y decrece a razn de 15 cm/min. Con qu rapidez vara el volumen del cono en ese instante ? # Las dimensiones de un slido rectangular en un instante dado son largo 15 cm., ancho 8 cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razn de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece a razn de 5 cm/seg. Calcular la razn de cambio del: + volumen. , rea total si el slido es sin tapa. - rea total si el slido es con tapa.

$ Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el radio crece a razn de 4 cm/seg y la altura decrece a razn de 10 cm/seg. Determinar la razn de cambio del + volumen. , rea total , si el cilindro no tiene tapa. - rea lateral, si el cilindro tiene tapa. Solucin

" El volumen del cono decrece a razn de (#!!! 1 cm3 /min. #

+ El volumen del slido rectangular crece a razn de $%) cm3 /seg.

, El rea total del slido rectangular decrece a razn de ( cm# /seg si el slido es sin tapa.

- El rea total del slido rectangular crece a razn de cm# /seg si el slido es con tapa. $ + El volumen del cilindro crece a razn de $)%! 1 cm3 /seg. , El rea total del cilindro crece a razn de #!) cm# /seg . - El rea lateral del cilindro crece a razn de )! cm# /seg .

58

VIRGINIO GOMEZ


B) Demostraciones " Sea A 0 aC B > D C >b . Haciendo ? C B > @ D C > À À À À # Demostrar que ! `B `C `D `> A 0 a? @b con ? CB> y @DC>

À À `? À `@ `B `? `B `@ `B À `B À `? a "b À `@ a!b À `B À `?

À À `? À `@ `C `? `C `@ `C À `C À `? a"b À `@ a "b À `C À `?

À `@

À À `? À `@ `D `? `D `@ `D À À À a!b a"b `D `? `@ À À `? À `@ `> `? `> `@ `> À `> À `? a "b À `@ a"b À `> À `? À À `D `@

À `@

À À À À À À À À À À # # # `B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@ À À À À # ! `B `C `D `> Por lo tanto, À À À À ! # `B `C `D `>

VIRGINIO GOMEZ

59


2) Suponga que ? 0 aB +> C ,>b donde + y , son constantes. Demostrar que:

Sea : B +> y ; C ,> `? `? `: `? `; `> `: `> `; `> `? `? `? a+b a,b `> `: `; `? `? `: `? `; `B `: `B `; `B `? `? `? a"b a!b `B `: `; `? `? `: `? `; `C `: `C `; `C `? `? `? a!b a"b `C `: `; `? `? `? + , `> `B `C `? `? `? `? , + , `: `; `: `; `? `? `? + , `> `B `C `? `? `C `; `? `? `B `:

`? `? `? + , `> `: `;

+

Por lo tanto,

3) Para A 0 aB Cb con B `, " `+ `< < `>

à " `, `< < `>

Solucin " Se cumple # Sugerencia: Efecte las siguientes condiciones:

VIRGINIO

GOMEZ#

À À `B À `C `) `B `) `C `)

`+ `, `B `C

y

`+ `, `C `B

61


Derivada direccional La derivada direccional es una generalizacin de la derivada parcial que permite obtener la razn de cambio de una funcin con respecto a la distancia en cualquier direccin. As la derivada parcial con respecto a B puede considerarse como la derivada en la direccin B y la derivada parcial con respecto a C puede considerarse como la derivada en la direccin C.

Sea D 0 aB Cb una funcin de dos variables y sea ? -9=) 3 =/8) 4 un vector unitario. p Entonces la derivada direccional de 0 en la direccin de ?, denotada por H? 0 aB Cb es H? 0 aB Cb p

p

lim 2!

0 aB 2-9=) C 2=/8)b 0 aB Cb 2 =/8! ! y se obtiene `0

si existe el lmite

Si ? 3 ) ! -9=! " H3 0 aB Cb Sip

lim 2!

0 aB 2 Cb 0 aB Cb 2

`B

? 4 ) lim

1 1 1 -9= ! =/8 " y se obtiene # # # 0 aB C 2b 0 aB Cb 2 `0

H4 0 aB Cb

2!

`C

`B

`C

Teorema: Si f ( x, y ) y sus derivadas parciales son continuas y r = cos i + sen j , entonces:D r = f x ( x, y ) cos + f y ( x, y ) sen

VIRGINIO GOMEZ

62


Ejemplos 1) Dada la funcin 0 aB Cb B# C # #B #C, hallar la derivada direccional de en la 0 direccin ) #1$ en el punto a # &b 0B aB Cb #B # 0C aB Cb #C # ? -9=p

0B a # &b # 0C a # &b "# p ? $ " 3 4 # #

#1

#1 3 =/8 4 $ $

$ " H? 0 a # &b a a "#b # # #b H? 0 a # &b " '$

2) Calcular la derivada direccional de 0 aB Cb C # -9=#B en a1' "b en la direccin de @ $3 %4p

1 # 0BaB Cb #C # =/8 #B 0B a1' "b #a"b =/8 $ $ 1 0C aB Cb #C -9= #B 0C a1' "b #a"b -9= " $p m@m * "' &

@ no es unitario, ? $

p

p

$ % p ? 3 4 & & m@ mp

@

H? 0 a1' "b $ H? 0 a1' "b

% a"b & & $ $ % &

Este concepto tambin es aplicable para funciones de tres variables. En 3 , la direccin de un vector est determinado por sus cosenos directores, es decir , ? -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 ? -9=! 3 -9=" 4 -9=# 5 un vector unitario, entonces la derivada direccional en direccin de ? est dada por Concepto Sea 0 aB C Db una funcin de tres variables yp p

H 0 B C D b ? a lmite

lim Db2!

0 aB 2-9=! C 2-9=" D 2-9=#b 0 aB C 2

VIRGINIO GOMEZ

si existe el

63


Teorema: Si f ( x, y, z ) es una funcin de tres variables y

= cos i + cos j + cos k , entonces:

Ejemplos

1) Dada la funcin 0 aB C Db B# BC BD C # D # . Encontrar la derivada direccional de p 0 aB C Db en T a " # "b en la direccin del vector @ #3 4 #5 0B aB C Db #B C D 0B a " # "b " 0C aB C Db B #C 0D aB C Db B #Dp m@ m % " % $ p

0C a " # "b $ 0D a " # "b " @ no es unitario, ? @p

# " # p ? 3 4 5 $ $ $ m@ m

# H? 0 aB C Db a $ "b a$b H? 0 aB C Db "

" # a "b $ $

2) Hallar la derivada direccional si 0 aB C Db /C -9= B /D =/8 C en T a! ! #b en la direccin del vector T U si Ua # " #b 0B aB C Db /C =/8B 0C aB C Db /C -9= B /D -9= C 0D aB C Db /D =/8 C p

0B a! ! #b ! 0C a! ! #b " /# 0D a! ! #b !

T U U T a # " #b a! ! #b a # " !bp p p @ m@m % " ! & @ no es unitario, ? p p

p # " ? 3 4 & & m@ m

# " H? 0 aB C Db a!b a" /# b a!ba!b & & H? 0 aB C Db " /# &

VIRGINIO GOMEZ

r

64


Ejercicios

Determine la derivada direccional si se conoce la funcin, el punto en que se ha de evaluar y la direccin o vector. + 0 aB Cb C $ el punto es a" #b y la direccin ! 1 BC %

, 0 aB Cb B # BC C # el punto es a$ "b y la direccin ! '

# - 0 aB Cb C B-9= BC el punto es a! !b y la direccin ! 1 $p

. 0 aB Cb #B # $BC C # el punto es a" "b y el vector @ 3 4p

/ 0 aB C Db BE1CD el punto es a% " "b y el vector @ # " " BC p el punto es # $ & y el vector @ 5 D

0 0 aB C Db

VIRGINIO GOMEZ& 1

1 0 aB C Db 68B # C D # el punto es a! " !b y el vector est en la direccin T U si T a! " !b y Ua$ % "b B C D# # #

el punto es a" " "b y el vector est en la direccin EF

2 0 aB C Db

68B C D si Ea# " "b y Fa" ! #b

Solucin + H ? 0 a" #b # ' , H ? 0 a$ "b & ( $ # '1 "# 68$ " $a68 $b#

- H ? 0 a! !b

$ " #

. H ? 0 a" "b # #

/ H ? 0 a% " "b

' 0 H ? 0 a# $ &b #&

1 H? 0 a! " !b

$ "*

2 H? 0 a" " "b

65


Gradientes 1) De H? 0 aB Cb 0B aB Cb -9=) 0C aB Cb =/8) 0B aB Cb 0C aB Cb -9=) =/8) p 0B aB Cb 0C aB Cb ?

El vector f x ( x, y )i

+ f y ( x, y ) j

se conoce como vector gradiente

grad f ( x, y) = f ( x, y) = f x ( x, y)i + f y ( x, y) j grad f ( x, y) = f ( x, y) = f x ( x, y)i + f y ( x, y) j

# De

H? 0 aB C Db 0B aB C Db -9=! 0C aB C Db -9=" 0D aB C Db -9=# 0B aB C Db 0C aB C Db 0D aB C Db -9=! -9=" -9=# p 0B aB C Db 0C aB C Db 0D aB C Db ?

El vector f x ( x, y,z )i

se conoce como vector gradiente

As

H ?0 aB Cb ? f0 aB Cb p H? 0 aB C Db ? f0 aB C Db

p

Sea ! la medida en radianes del ngulo formado por los vectores ? y f0 entonces p p p ? f0 m?m mf0 m -9=! , pero m?m " p ? f0 mf0 m -9=! Si ! ! entonces -9=! " alcanza su mximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su p mximo valor cuando ? est en la misma direccin y sentido que f0Mx Dr f ( x, y ) = f ( x, y )

p

Mx Dr f ( x, y , z ) = f ( x, y , z )

Si ! ")! entonces -9=")! " alcanza su mnimo valor, es decir, la derivada p direccional alcanza su mnimo valor ? cuando est en la misma direccin, pero sentido contrario con f0 Mn D r f ( x, y ) = Mn D r f ( x, y , z ) = z) f ( x, y ) f ( x, y ,

VIRGINIO

GOMEZ+ f y ( x, y , z ) j + f z ( x, y , z ) k

66


Ejemplos 1) La temperatura en cualquier punto T aB Cb de una placa rectangular situada en el plano BC es C X aB Cb # B C# a) Determine el vector gradiente en el punto T a$ %b b) Obtener la mxima derivada direccional de la temperatura en este punto c) Hallar la direccin donde se produce la mxima razn de cambio en este punto + XB aB Cb #BC # C# b XB a$ %b #% '#& ( XC a$ %b '#&

aB#

aB# C# b #C # XC aB Cb aB# C # # b fX a$ %b #% ( '#& '#&

#% ( " , MxH X a$ %b mfX a$ %bm ? '#& '#& #& #% ( #% ( '#& '#& " #& #& #&

#

#

fX a$ %b - ? mfX a$ %bmp

'! 2) Si Z volts es el potencial elctrico en cualquier punto T aB C Db en 3 y Z # B C# D # Encontrar a) Rapidez de cambio del potencial en el punto a " " en la direccin del vector p "b @ $3 '4 #5 b) Magnitud y direccin de la mnima razn de cambio del potencial en este mismo punto. '!B '! #! + ZB aB C Db ZB a " " "b $ # # # $ $ $ aB C D $ b aB C Db '!C ZC a " " "b '! $ $ $ aB# C# D # $ b '!D aB# b$

ZD aB C Db

C#

D#

'! #! ZD a " " "b $ $ $ $

#! fZ a " " "b $

$ #! $ #! $ $ $

p p p m@m * $' % ( @ no es unitario, ? $ 3 ' 4 # 5

VIRGINIO GOMEZ #! ZC $

(

(

(

67


##! H? Z a " " "b $ #"

, MnH? Z a " " "b mfZ a " " "bm #!

Direccin

?

p

fZ a " " "b mfZ a " " "bm

#! #! #! $ $ $ $ $ $ #!

$ $ $ $ $ $

Ejercicios

" Obtener el gradiente de la funcin y el valor de la mxima derivada direccional en el punto indicado + 0 aB Cb B # -9=BC T " 1% , 0 aB Cb BC B C T $ % - 0 aB C Db /BC D T ! $ "#

# Obtener el gradiente de la funcin y el valor de la mnima derivada direccional en el punto indicado + 0 aB Cb B # BC C # T a " "b # T a# " #b , 0 aB C Db B C# C D D # B $ + La densidad B C, en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano BC, es BC HaB Cb = B # C # $

+"Halle la razn de cambio de la densidad en el punto a2,3b en la direccin de ! &1$ +# Determine la direccin y magnitud de la mxima razn de cambio de la densidad en ese punto. , Suponga que la temperatura por X aB C Db B # C CD /BC en cualquier punto

VIRGINIO GOMEZaB C Dbp

#! $ ' # a #! a #! a ? Z a " " "b H $ $ $ $ $ $ ( ( 4 ( 5

estp

dada

," Determinar la razn de cambio de X en el punto Pa1,1,1b en la direccin del vector OP donde O es el origen del sistema. ,# Cul es la mnima razn de cambio en P?. En qu direccin?. - El potencial elctrico es Z aB Cb aen voltsb en el plano BC y Z aB Cb $B$ C %C # BC -" Determine la razn de cambio del potencial en la direccin del vector CD con G a# "b Ha' #b en el punto a " %b -# Obtener el vector gradiente en este mismo punto. -$ Determine la direccin y magnitud de la mxima razn de cambio del potencial en a " %b -% Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en a " %b . Con ese vector calcule la derivada direccional en el mismo punto.

68


Solucin #1 ) #

+ f0 a" 1%b #

#

MxH ? 0 a" 1%b

GOMEZ'& %

"

# 1# "'#1 "%% )

( , f0 a$ %b " % - f0 a! $ "b a $ ! #b # + f0 a " "b a " "b , f0 a# " #b a"! % "! b $ +" H? 0 a# $b ") ($ '% $($ $#

MxH ? 0 a$ %b

MxH? 0 a! $ "b "$

MnH? 0 a " "b #

MnH? 0 a# " #b ''

," H? 0 a" " "b

&$ #$/ $

+# MnH? 0 a# $b #/# )/ * ? *p

/# #/#

/ # " # # #/ )/ * )/ #/ )/ * "'#"( "(

-" H? 0 a " %b

-# fZ a " %b a $# $%b -$ MxH ? 0 a# $b #&%&

"' "( p ? = &%& &%&

-% los vectores unitarios ortogonales al gradiente son "( "' &%& &%&

"( "' &%& &%&

VIRGINIO

+# MxH ? 0 a# $b

") ( p ? = $($ $($

El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.

69


Derivadas Parciales de orden superior `0 `0 son funciones y `B `C tambin de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener as las derivadas parciales de segundo orden que se definen como: Si 0 es una funcin de dos variables, es decir, D 0 aB Cb, entonces + ` a0B b `B , ` a0C b `C - ` a0B b `C . ` a0C b `B# lim 0B aB 2 Cb 0B aB 0BB ` 0 Cb 2 ` B# 2!

0 aB C 2b 0C aB ` #0 lim C 0 CC Cb 2 ` C# 2!# lim 0B aB C 2b 0B aB 0BC ` 0 Cb 2 ` C` B 2!

lim

0C aB 2 Cb 0C aB ` #0 0CB Cb 2 ` B` C 2!

Nota: Para funciones continuas 0BC 0CB . En este curso slo se trabajar con funciones continuas. Ejemplos: Dada la funcin, obtener 0BB 0CC 0BC " 0 aB Cb #B$ $B# C BC# $C # 0B 'B 'BC C 0BB "#B 'C 0BC 'B #C # 0 aB Cb /BC a-9=B =/8Cb 0B C/BC a-9=B =/8Cb /BC =/8B 0C B/BC a-9=B =/8Cb /BC -9=C# #

0C $B# #BC 'C 0CC #B '

0BB C# /BC a-9=B =/8Cb C/BC =/8B C/BC =/8B /BC -9=B 0CC B# /BC a-9=B =/8Cb B/BC -9=C B/ BC -9=C /BC =/8C

0BC /BC a-9=B =/8Cb BC/BC a-9=B =/8Cb C/BC -9=C B/ BC =/8B Este concepto tambin se puede extender para funciones de tres variables `0 `0 `0 Sea A 0 aB C Db una funcin de tres variables con , y funciones tambin de tres `B `C `D variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:

VIRGINIO GOMEZ

70


+

` a0B b `B

# lim 0B aB 2 C Db 0B aB C 0BB ` 0 Db 2 ` B# 2!

,

` a0C b `C

0 aB C 2 Db 0C aB C ` #0 lim C 0 CC Db 2 ` C# 2!

-

`D . ` a0B b `C / ` a0B b `D 0 ` a0C b `B 1 ` a0C b `D 2 ` a0D b `B ` a0D b `C

# lim 0B aB C 2 Db 0B aB C 0BC ` 0 Db 2 ` C` B 2! # lim 0B aB C D 2b 0B aB C 0BD ` 0 Db 2 ` D` B 2!

lim

0C aB 2 C Db 0C aB C ` #0 0CB Db 2 ` B` C 2!

lim

0C aB C D 2b 0C aB C ` #0 0CD Db 2 ` D` C 2! 0D aB 2 C Db 0D aB C ` #0 0DB Db 2 ` B` D 2! lim

3

# lim 0D aB C 2 Db 0D aB C 0DC ` 0 Db 2 ` C` D 2!

Nota: Para funciones continuas 0BC 0CB 0BD 0DB 0CD 0DC . En este curso slo se trabajar con funciones continuas. Ejemplos

Para las siguientes funciones, determinar 0BB 0CC 0DD 0BC 0BD 0CD " 0 aB C Db B$ $B# C C $ $C # D D # BD # C D 0B $B# 'BC D # 0D $C # #D #BD C 0BB 'B 'C 0DD # #B 0BD #D 0CC 'C 'D 0BC 'B 0CD 'C "

0C $B# $C # 'CD D

VIRGINIO GOMEZ

` a0D b

# lim 0D aB C D 2b 0D aB C 0DD ` 0 Db 2 ` D# 2!

71


# 0 aB C Db /B -9=D /C =/8B /D >1 C 0B /B -9=D /C -9=B 0D /B =/8D /D >1 C 0BB /B -9=D /C =/8B 0DD /B -9=D /D >1 C 0BD /B =/8D 0C /C =/8B / D =/- # C

0CC /C =/8B #/D =/- # C >1 C 0BC /C -9=B 0CD /D =/- # C

Ejercicios

1) En # la ecuacin de Laplace es ` #0 ` #0 # ! `B# `C Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuacin + 0 B C 68B# C # C B , 0 B C E1 # # B B C - 0 B C /B =/8 C /C =/8 B . 0 B C E1 #BC B# C #

2) En $ la ecuacin de Laplace es ` #0 ` #0 ` #0 # #! `B# `C `D Demuestre que la funcin 0 B C D

" cumple con esta ecuacin. B# C # D#

Solucin

Cada una de las funciones cumple con la ecuacin de Laplace, tanto en # como en 3 .

VIRGINIO GOMEZ

72


Mximos y mnimos para funciones de varias variables Conceptos:

1) Si D 0 aB Cb es una funcin de dos variables, entonces se dice que el punto [B! C! 0 aB! C! b] es un punto de mximo relativo de 0 aB Cb si, y slo si a aB Cb H970 aB Cb 0 aB Cb 0 aB! C! b

#) Si D 0 aB Cb es una funcin de dos variables, entonces se dice que el punto [B! C! 0 aB! C! b] es un punto de mnimo relativo de 0 aB Cb si, y slo si a aB Cb H970 aB Cb 0 aB Cb 0 aB! C! b

$) Si D 0 aB Cb es una funcin de dos variables, entonces se dice que el punto [+ , 0 a+ ,b] es un punto crtico de 0 aB Cb si, y slo si f0 a+ ,b ! ! % Si [+ , 0 a+ ,b] es un punto crtico de 0 aB Cb, entonces se dice que [+ , 0 a+ ,b] es un mximo relativo de 0 aB Cb si a aB Cb H970 aB Cb 0 aB Cb 0 a+ ,b & Si [+ , 0 a+ ,b] es un punto crtico de 0 aB Cb, entonces se dice que [+ , 0 a+ ,b] es un mnimo relativo de 0 aB Cb si a aB Cb H970 aB Cb 0 aB 0 a+ ,b Cb % Si [+ , 0 a+ ,b] es un punto crtico de 0 aB Cb, entonces se dice que [+ , 0 a+ ,b] es un punto de silla de 0 aB Cb si [+ , 0 a+ ,b] no es mximo ni mnimo.

Hessiano de una funcin de dos variables

Sea D 0 aB Cb una funcin de dos variables, se define el Hessiano como: L aB Cb 0BB 0CB 0BC 0CC

Teorema: aCriterio de la Segunda derivadab Si [+ , 0 a+ ,b] es un punto crtico, entonces: 1) [+ , 0 a+ ,b] es un mnimo relativo de 0 aB Cb si, y slo si L a+ ,b ! 0BB a+ ,b !

VIRGINIO GOMEZ

73


2) [+ , 0 a+ ,b] es un mximo relativo de 0 aB Cb si, y slo si L a+ ,b ! 0BB a+ ,b ! $ [+ , 0 a+ ,b] es un punto de silla de 0 aB Cb si, y slo si L a+ ,b ! % No hay informacin si L a+ ,b !

Ejemplos: Estudiar los mximos y mnimos relativos de las funciones: " 0 aB Cb & B# C # 0B #B 0B ! 0C ! 0C #C #B ! #C ! B! C!

As, a! ! &b es el punto crtico de 0 aB Cb 0BB # 0CC # 0BC !

# ! # ! L aB Cb L a! !b ! # ! # L a! !b % ! 0BB a! !b # ! Por lo tanto, a! ! &b es un mximo relativo de 0 aB Cb # 0 aB Cb #B$ C$ $B# $C "#B % 0B 'B# 'B "# 0B ! 0C ! 0C $C # $

'B# 'B "# ! B" " B # # # $C $ ! C" " C# "

As, a" " "$b a" " *b a # " "%b a # " ")b son puntos crticos de 0 aB Cb 0BB "#B ' L aB Cb 0CC 'C 0BC !

"#B ' ! ! 'C !L '

a" "b ") !

L a" "b "!) ! 0BB a" "b ") !

74

VIRGINIO GOMEZ


Por lo tanto, a" " "$b es un mnimo relativo de 0 aB Cb

Por lo tanto, a" " *b es un punto de silla de 0 aB Cb a # "b ") ! L ! '

L a" "b "!) !

Por lo tanto, a # " "%b es un punto de silla de 0 aB Cb ") ! L a # "b ! ' L a" "b "!) ! 0BB a" "b ") ! Por lo tanto, a # " ")b es un mximo relativo de 0 aB Cb $ 0 aB Cb -9= B =/8 C 0B =/8B 0B ! B# 0C ! As, !

en el intervalo ! #1 0C -9=C

=/8B ! B" ! -9=C !

1 B$ #1 1 $1 C# # #

C"

1 $1 1 $1 1 $1 # ! ! 1 ! 1 # ! son puntos #1 # #1 # # # # # # crticos de 0 aB Cb 0BB -9=B L aB Cb -9=B ! ! 0CC =/8C ! =/8C L a" "b # ! 0 0BC !

1 " L ! ! # Por lo tanto, ! $1 L ! #

"

BB

1 ! " ! #

1 # es un mximo relativo de 0 aB Cb # " ! ! " L ! $1 #

" !

Por lo tanto, ! " L 1 1 # ! Por lo tanto, 1

$1 !es un punto de silla de 0 aB Cb # 1 ! " L 1 " ! #

1 ! es un punto de silla de 0 aB Cb # $1 $1 " ! L 1 # ! " L 1 # " ! 0

BB 1

$1 # " !

VIRGINIO GOMEZ

a" "b ") !

!L '

L a" "b "!) !

75


Por lo tanto, 1 1 #1 # L #1

" !

!L "

1 1 " ! BB 0 #1 " ! # # 1 # es un mximo relativo de 0 aB Cb # " ! ! " L #1 $1 #

Por lo tanto, #1 $1 L #1 #

" !

Por lo tanto, #1

$1 !es un punto de silla de 0 aB Cb # Ejercicios

1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones + 0 B C #B %C B# C # $ , 0 B C B CB C - 0 B C %BC B% C % . 0 aB Cb B# BC C # #B #C %

2) Un fabricante produce diariamente B unidades de la mercanca A, C unidades de la mercanca B. Si T aB Cb es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T aB Cb $$B ''C BC B # $C # Cuntas unidades de cada artculo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la mxima utilidad diaria? Solucin " + a" # #b es un mximo relativo de 0 aB Cb , a! ! !b es un punto de silla de 0 aB Cb

- a! ! !b es un punto de silla de 0 aB Cb a" " #b a " " #b son mximos relativos 0 aB Cb y de . a # # )b es un mnimo relativo de 0 aB Cb

# Deben fabricarse #% unidades de la mercanca A y 15 unidades de la mercanca B para maximizar la utilidad diaria.

VIRGINIO GOMEZ

$1 # es un mnimo relativo de 0 aB Cb #

76


Multiplicadores de Lagrange

Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de mximos y/o mnimos, pero con alguna condicin adicional es preferible usar un mtodo mucho ms rpido que el criterio de la segunda derivada el cual nos permite trabajar con funciones de 8 variables, este nuevo mtodo se denomina Multiplicadores de Lagrange Sea 0 aB" B# B$ B8 b una funcin de 8 variables a la cual interesa calcular sus puntos crticos con la condicin adicional 1aB" B# B$ B8 b ! . Para determinar los puntos crticos se forma una nueva funcin auxiliar J aB" B# B$ B8 -b 0 aB" B# B$ B8 b -1aB" B# B$ B8 b

Los puntos crticos de esta nueva funcin cumplen con las condiciones del problema a resolver, es decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto aB" B# B$ B8 b es el mnimo buscado y si el problema consiste en maximizar, entonces el punto aB" B# B$ B8 b es el mximo buscado. Ejemplos:

1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen especfico, si se quiere usar la mnima cantidad de material en su manufactura.

0 a+ 6 2b +6 #+2 #62 Z +62 1a+ 6 2b +62 Z J a+ 6 2 -b +6 #+2 #62 -a+62 Z b J+ 6 #2 -62 J6 + #2 -+2 J2 #+ #6 -+6 J- +62 Z a"b y a$b 6 #2 #+ #6 # # +6 #+62 #+62 #6 2 62 +6 # # +6 #6 2 + #2 J2 ! J- ! - J+ ! J6 ! - - 6 #2 62 + #2 +2 #+ #6 +6

+62 Z

77

VIRGINIO GOMEZa"b a#b a$b a%b a&b


a#b y a$b + #2 #+ #6 # +# 6 #+62 #+ 2 #+62 +2 +6 # # + 6 #+ 2 6 #2

a&b y a'b +6 a%b a&b a'b y a(b + +62 Z a+ba+b Z #$ + Z # +$ #Z $ $ + #Z , 6 #Z 2 $ # #Z

Luego, las dimensiones de la caja son base #Z udl y altura$

$ [udl]. #Z #

2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automvil, que se designarn por A , B y C . Sean B C D el nmero de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El nmero de llantas que se puede producir diariamente est sujeto a la restriccin #B# C# $D # #()% . Determinar cuntas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad. 0 aB C Db #!!B $!!C &!!D 1aB C Db #B# C# $D # #()% J aB C D -b #!!B $!!C &!!D -a#B# C # $D # #()%b J #!! %BB J $!! #CC J &!! 'DD J !B

-

&! B

JC ! J ! D

-

"&! C #&! $D

-

J- #B# C# $D # #()% % a"b y a#b

J- !

- #B# C # $D # #()

&! "&! $B B C &!C "&!B C a"b y a$b

VIRGINIO GOMEZa'b a(b a"b a#b a$b a%b a&b

78


a%b a&b y a'b# # # # #B# C $D #()% #B *B $

#& B # #()% *

&)B# ) $ B# "% % B "# , C $' D #!

Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12 unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C. 3) Un disco circular tiene forma de la regin limitada por la circunferencia B# C# " . Si X grados es la temperatura en cualquier punto del disco y X #B# C# C , encuentre los puntos ms calientes y los puntos ms fros en el disco 0 aB Cb #B# C # C 1aB Cb B# C # " J aB C -b #B# C # C -aB# C # "b JB %B #BJ #C " #CC J - B# C # " " a"b y a#b # " #C #C %C " #C C JB ! - # - B ! " #C #C B# C #

J !C

C !

J- !

" #

a$b y a%b B# C # " " B# " % B" $

$ B# # #

Si B ! entonces en B# C # " , C# " C" " C# " Si C ! entonces en B# C # " , B# " B" " B# " Luego, los puntos crticos de la funcin de temperatura son: $ " # # X $ # " * # %

$ $ " " * X # # # % #

VIRGINIO GOMEZa"b a#b a$b a%b

&!

B $ B

#&!

$D "&!D #&!B D

&

a'b

79


a! "b

X a! "b !

a! "b X a! "b # a" !b X a! "b #

a " !b X a! "b # $ $ " " Por lo tanto, los puntos ms calientes del disco son y el punto ms , # # # # fro del disco es a! "b

Ejercicios

Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange 1 Hallar los valores extremos de 0 aB Cb BC sujetos a la restriccin 1aB Cb B# C # "! 2 El rea de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies2 . Hallar su mximo volumen posible. 3 Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cnicas en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas cnicas, de manera que el rea de la superficie total sea la menor posible. 4 Una empresa tiene tres fbricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si la Fbrica A produce B unidades, la fbrica B produce C unidades y la fbrica C produce D unidades, sus respectivos costos de produccin son $B# #!! dlares, C# %!! dlares, #D # #!! dlares. Si se va a surtir un pedido de ""!! unidades. Determinar cmo debe distribuirse la produccin entre las tres fbricas a fin de minimizar el costo de produccin total. 5 Si se gastan B miles de dlares en trabajo e C miles de dlares en equipamiento, la produccin de una cierta fbrica ser T B C '! B"$ C #$ unidades. Si hay "#!!!! dlares disponibles, cmo debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor produccin posible?. 6 Hllese los puntos sobre la esfera B# C# D # donde 0 aB C Db B #C #& $D sus valores mximos y mnimos tiene

7 Se construye un tanque horizontal de forma cilndrica y con extremos semiesfricos. Determine el dimetro y la longitud de su porcin cilndrica si el tanque ha de tener 8000 m3 de agua y se pretende utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.

VIRGINIO GOMEZ

80


" Los puntos mximos son & & & & & & & &

# Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el mximo volumen de la caja rectangular es 108 pies3 .

$ La altura 2 de cada uno de los conos es #& unidades y la altura L del cilindro es Z % & unidades . #&1 $ % Deben fabricarse 200 unidades en la fbrica A , 600 unidades en la fbrica B y 300 unidades en la fbrica C a fin de minimizar el costo total de produccin total. & Deben destinarse 40.000 dlares en trabajo y 80.000 dlares en produccin para generar la mayor produccin posible. &"% "!"% "&"% "% "% "%

' El

punto

mximo

es

VIRGINIO GOMEZy el punto

Solucin

y los puntos mnimos son

mnimo

es

&"% "!"% "&"% "% "% "% .

( El problema no tiene solucin.

81


Grficos en 3 Si D 0 aB Cb es un funcin de dos variables, entonces su grfico corresponde a un conjunto de ternas donde sus coordenadas satisfacen a la funcin dada. La grfica de una ecuacin en 3 se denomina superficie . 1) Plano

Su ecuacin general es +B ,C -D . ! donde [ + , - ] es el vector normal al plano. Es posible encontrar varios tipos de planos

a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a+B ,C -D . !b

En este caso se ubican los puntos de interseccin del plano con los ejes coordenados.

Ejemplo: Graficar #B $C %D "# ! eje X C D ! B ' eje Y eje Z BD!C% BC!D$

VIRGINIO GOMEZ

82


b) El plano pasa por el origen a+B ,C -D !b En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando B ! C ! y luego se trazan paralelas a las dos rectas encontradas. Ejemplo: Graficar &B $C "&D ! B ! $C "&D ! C &D C! &B "&D ! B $D

c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados

Si es paralelo al eje X entonces su ecuacin es ,C -D . ! Ejemplo: Graficar &C #D "! !

Si es paralelo al eje Y entonces su ecuacin es +B -D . !

83

VIRGINIO GOMEZ


Ejemplo: Graficar $B #D "# !

Si es paralelo al eje Z entonces su ecuacin es +B ,C . ! Ejemplo: Graficar *B #C ") !

d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados Si es paralelo al plano YZ entonces su ecuacin es +B . !

84

VIRGINIO GOMEZ


Ejemplo: Graficar B #

Si es paralelo al plano XZ entonces su ecuacin es ,C . ! Ejemplo: Graficar C #

Si es paralelo al plano XY entonces su ecuacin es -D . !

85

VIRGINIO GOMEZ


Ejemplo: Graficar D #

2) Esfera

a) Si el centro es G a! ! !b y su radio < , entonces su ecuacin es B# C# D # 1# !b " !

C#$ 1%

(

"

! ! $

.B

1 ( % "

.B$

1 B % "

1 $ " %

Ejercicios Resuelva # +( ( B # = C / " .C .B

C#

"

, (

%"

B C ( # .C .B B B

1 -9=) - ( ( 3 =/8) .3 .)! !

. ( ("

# B

B#

B .C .B

#B# #

GOMEZ

B =/8 #B ) # !

1

96

VIRGINIO


/ (

!

(

!

3$ -9=# ) .3 .)

$

0 ( (!

B!

B# / BC.C .B Solucin

+(

#"

(

B##

" = / C

C .C .B / # % ## #/

, (

%"

B C %!$ ( # .C .B B #" B -9=) " $

- (

1!

(

3 =/8) .3 .)

!

# B# B * . ( ( B .C .B # % " #B # 1%!

/ (

(

>1) =/-)

3$ -9=# ) .3 .)

!

" #!

$

0 (

!

B /* ( B# / BC .C .B & # !

97

VIRGINIO GOMEZ

1%

>1) =/-)


Aplicaciones de la integral doble 1) Clculo de reas en el plano 2 En ( plano. As, E ( C 1aBb C . B 1aCb .C .B ( .B .C ( ( B + C 0 aBb C - B 0 aCb + , ( 0 aB Cb .E si 0 aB Cb " , entonces ( (

V

V

.E representa el rea de regiones del

Ejemplos:

1) Hallar el rea de la regin V situada bajo la parbola C %B B# sobre el eje X y sobre la recta C $B ' Interseccin de las curvas

%B %B# $B ' ! B# (B ' ! aB "baB 'b B" " C" $ B# ' C# "# ano es solucin, por condiciones del problemab C %B B# C! %B B# ! B" ! B# % B #

C $B ' C! $B ' !

#

%BB# $B' #

E ( (" # %BB# $B '

.C .B ( (%

%

%BB#

.C .B

!

%BB#

E ( C"

.B ( C # !

.B

98

VIRGINIO GOMEZ

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas# %

"

#

E

B$ $

(B#

%B# B$ 'B # # $ # "

#

%

"' E "$ ' $ E "& [u. de a.] #

Por otro lado, C %B B# B# %B C ! "' %C B % # B % %a% Cb # C $B ' $B ' C B # C $

B # % C

$

#%CC # $

E ( (!

.B .C ( ($

%

#%C

#%C

.B .C

Pero, como ya se sabe de Clculo II, al obtener el rea de una regin del plano el a obtener al integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto,$ #%C #$C

( (!

.B .C ( ($

%

#%C

#%C

.B .C

"& [u. de a.] #

VIRGINIO GOMEZ

E ( B# (B '.B %B B# .B (

99


2) Determinar el rea limitada por C B$ e C B# Interseccin de las curvas

B$ B# B$ B# ! B# aB "b ! B" ! C" ! B# " C# "

"

B# B$

E ( (! "

.C .BB#

E ( C .B! B$ # $ E ( B B .B ! "

E

B$

B $ % !

% "

E

" [u. de a] "#

Por otro lado, C B$ $ C B" $ C C

C B# C B " [u. de a] "#

E ( (!

.B .C

100

VIRGINIO GOMEZ


Ejercicios

Determine el rea encerrada por las curvas respecto al eje \ y respecto al eje ] . Plantee ambas integrales, pero resuelva slo una de ellas. + B C # B #C C # C -9= B

, C =/8 B - B C C # . B# %C / B# C # "'

B!

BC ! )C B# "'

C 'B

;

C!

Solucin" B ""

+ E ( (! B

.C .B

"

#CC# C#

E ( (!

.B .C

E

" [ u.de a.] $1% -9= B =/8 B

, E (

!

(

.C .B

##

E1 B .B .D .C ( (

C 68 D 68=/- B

.D .C

113


# ! ! C ! $ D

C' "#

$C% )

% ( ( (

B#

D .B .D .C D#

# B# D # D

B# B # " B # D # D # " # D D

B # >1) B D >1) .B D =/- ) .) D B ! ) !# ! ! C ! $ D #

B $ D ) D# # C ! ! $ D

1 $ D

( ( (

B D

.B .D .C

( ( (!

D#1$

B # " D

# ! !

C !

( ( (# ! ! C

D D =/- #) .) .D .C D # a>1# ) "b .) .D .C

( ( (# ! ! C

1$ ! 1$

( ( )

.D .C!

1 # C ( ( .D .C $ ! !# C

1 ( D .C $ ! ! 1 # ( C .C $ ! 1 C# $ # ! # 1 $#

114

VIRGINIO GOMEZ.B .D .C

C$ $ "

#

%( #%


Ejercicios

Resuelva las siguientes integrales triples " " #

+ ( (! #!

(

= BCD .D .C .B # B C BD

1# ,(!

1# (!

(

!

C -9= .C .B .D D

#

- ( ("

B$

$ C

(

!

C .D .C .B C# D #

"

. ( ("

" B!

#

B

(

B

#C# B .D .C .B

Solucin

"

"

#

+ (

(! !

(

$ BCD .D .C .B B# C # )

1# ,(!

1# (!

(

BD

!

C 1# -9= .C .B .D D )

#

- ( ("

B$

$ C

(

!

C##

C 1 .D .C .B # D #

"

. ( ("

" B!

B

(

B

#C# B .D .C .B !

115

VIRGINIO GOMEZ


La integral triple permite calcular el volumen de slidos de la forma ( usar como: .Z .D .C .B .Z .D .B .C Ejemplos:

1) Determinar el volumen de la regin, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro D # C# " y situada entre los planos B C " B C $

En el plano BC se observa

BC " B " C" $C "C $C "C

BC $ B $C

Z ( (! "

(

"C# ! "C#

.D .B .C

Z ( (!

D!

.B .C

116

VIRGINIO GOMEZW

( ( .Z donde .Z se

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas" $C

Z ( (! " "C

Z ( " C# B! "

$C

.C"C

Z ( " C# a$ C " Cb .C!

Z #( " C# .C!

"

C =/8) .C -9=) .) C! ) ! Z #(1 #

C" )

1 #

" =/8# ) -9=) .)

!1 #

Z #( -9=# ) .)!1 #

Z #(

!

" -9=#) .) #1

=/8#) # Z ) # ! Z 1 u. de v. #

Si se considera .Z .D .C .B la integral sera" "

Z ( (!

(

"C#

"B !

.D .C .B ( ( (" !

#

"

"C#

!

.D .C .B ( (# !

$

$B

"C# !

(

VIRGINIO GOMEZ.D .C .B

" C# .B .C

117


2) Determinar el volumen de la esfera B# C# D # +#

En el plano BC

118

VIRGINIO GOMEZ


Por simetra+ +# B# ! +# ! B# +# B# C#

Z )( (! +

(

.D .C .B+# B# C#

!

Z )( (!

D+# B#

.C .B

!

+

Z )( (!

+# B# C # .C .B C# + # B# C + # B# #

!

# b# # # a+# B C a+ B b "

# b# # # a+# B C a+ B b "

C =/8) C +# B# =/8) .C +# B# -9=) .) + # B# C! ) !+# B#

C + # B# ) #

Z )( (!

+ !

a+ # B # b " =

= +#

B

C .C .B #

# Z )( ( +# B# " =/8# ) +# B# -9=) .) .B

+

1

!

!

# # # Z )( ( + B -9= ) .) .B ! ! +1 #

+

1 #

( Z )! +

#

#

(!

+ B

" -9=#) # .) .B =/8#) # #1

( Z %!

#

#

)

+ B

.B!

+ 1 Z %( +# B# .B # ! #

Z #1+ B

B$ $ !

+

% Z + $1 [u. de v.]

VIRGINIO GOMEZ1 #

$

119


En el plano BC

&

#&B#

)BC

Z ( (&

& #&B# #&B#

(

.D .C .B! )BC

Z ( (&

#&B#

D

.C .B!

120

VIRGINIO GOMEZ

3) Determinar el volumen, sobre el plano BC del slido formado por el cilindro B# C# #& y el plano B C D )

Instituto Profesional Dr. Virginio GmezDepartamento de Ciencias Bsicas& #&B# #&B#

&

& C # #&B# Z ( )C BC .B # #&B# &

Z ( "'#& B# #B#& B# .B&

&

( "' #& B# .B B B # # #& B# #&" #& #& B #&" &

&

B =/8) B &=/8) .B & -9=) .) & 1 B & ) # ( "' #& B# .B& & &

B" ) B # #&" .B & &1 #

"'(

%!!(

1 #1

-9=# ) .)#

%!!(

1 #

" -9=#) #

.)1

#!!) #!!1 #( B#& B# .B& &

=/8#) # # 1 #

.? ? #& B# .? #B .B B .B # ? &?!# # ( B#& B .B & &

?&?! .? #( ? #! !

! Luego, Z #!!1 ! Z #!!1 [u. de v.]

121

VIRGINIO GOMEZ1 #

Z ( (

a) B Cb .C .B


Ejercicios

Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del slido limitado por

+ El cilindro B# C # "' los planos C D % C # D ! B ! , El cilindro B# %C # % los planos D ! D B # - El cono %B# *C # $'D # ! y el plano D " . El plano D ' #C

con ! B % ! C #

/ Los planos D ' B C C B C #

Solucin

%

"'C# !

% C

+ Z ( (#

(

!

.D .B .C

'% 1 [u. de v.] $

, Z ( (# !

#

= %B# #

B#

#

%B#

(

.D .C .B %1 [u. de v.]

$

- Z %( (!

# * B # $

"

!

( %B#*C# .D .C .B #1 [u. de v.]'

% ! !

# !

'#C

. Z ( ( (

.D .C .B $# [u. de v.]

# !

# B !

'BC

/ Z ( ( (

.D .C .B ) [u. de v.]

VIRGINIO GOMEZ

122


Transformacin de Integrales Triples Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algn sistema de coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas Coordenadas Cilndricas

Las coordenadas cilndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada D como en el sistema cartesiano. Las frmulas de transformacin de coordenadas cartesianas a cilndricas son: B < -9=) C < =/8) DD

En el plano BC

))#

1B /BC =/8D 5 D Q C/BC -9=D =/- # B 68aCDb R B/BC -9=D T /BC =/8D >1 B C >1B D

3 ` aJ b `B BC C/ -9=D =/- # B 68aCDb

>1 B B/BC -9=D C =/- # B

4 ` `C

>1B /BC =/8D D 5 ` `D

=/- # B BC C/BC =/8D C/ =/8D D D -# B =/- # B BC = 5 /BC -9=D BC/BC -9=D BC / -9=D BC/ -9=D C C 3a B/BC =/8D B/BC =/8Db 4 aJ b ! ! ! por lo tanto, J J f0 aB C Db 0B aB C Db C/BC -9=D =/- # B 68aCDb ( .B es conservativo.

BC # ( 0B aB C Db .B ( C/ -9=D =/- B 68aCDb.B

0 aB C Db

C/BC -9=D >1B 68aCDb G aC Db C

0 aB C Db /BC -9=D >1B 68aCDb G aC Db 0 aB C Db /BC -9=D >1B 68C >1B 68D G aC Db >1 B 0C aB C Db B/BC -9=D CBC ( 0C aB C Db .C ( B/ -9=D

a"b

( .C >1 B .C C

VIRGINIO GOMEZ

$ J aB C Db

aC/BC -9=D =/- # B 68aCDbb3 B/BC -9=D

>1 B 4 C

143


0 aB C Db

0 aB C Db /BC -9=D >1B 68 C G aB Db >1B 0D aB C Db /BC =/8D DBC ( 0D aB C Db .D ( / =/8D

a#b

( .D >1B .D D a$b

0 aB C Db /BC -9=D >1B 68D G aB Cb De a"b , a#b y a$b 0 aB C Db /BC -9=D >1B 68D >1B 68C G G aC Db G

donde G aB Cb >1B 68C G aB D b >1B 68D

Ejercicios I Encontrar el rotacional en el punto indicado " J B C D BCD 3 C 4 D 5 # J B C D B# D 3 #BD 4 CD 5 $ J B C D /B =/8 C 3 /B -9=C 4 5 % J B C D /BCD 3 4 5 II Encuentre J K donde " J B C D 3 #B 4 $C 5 # J B C D B 3 D 5 " # "

# " $ ! ! $ $ # !

KB C D B 3 C 4 # 5 KB C D B# 3 C 4 D # 5

III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la funcin potencial. " J B C D C/D 3 B/D 4 /D 5 # J B C D $B# C # D 3 #B$ CD 4 B$ C # 5 " B $ J B C D 3 4 #D " 5 # C C B C % J B C D # 3 # 45 B C# B C#

144

VIRGINIO GOMEZ

B/BC -9=D >1B 68 C G aB Db B


Solucin I " J a" # "b #4 5 # J a# " $b (3 %4 '5 $ J a! ! $b #5 % J a$ # !b '3 '4 II " aJ Kb 3 %B 4 $C 5 # aJ Kb aB B# #BDb3 a #BD D # D b5 III " No es conservativo # 0 aB C Db B$ C # D G G aB Cb G aB Db G aC Db G B # D DG C# D G aB Db G aC Db D

$ 0 aB C Db G aB Cb B C

" % 0 aB C Db 68B# C # D G # " G aB Cb 68B# C# G aB Db G aC Db D #

145

VIRGINIO GOMEZ


Plano tangente y recta normal a una superficie Conceptos

1) Si D 0 aB Cb es la ecuacin de una superficie, entonces la ecuacin del plano tangente est dada por: f ( a , b ) ( x a , y b ) (c z ) = 0 donde c = f (a, b)

2) Si 0 aB C Db ! es la ecuacin de una superficie, entonces la ecuacin del plano tangente est dada por:

f ( a , b, c ) ( x a , y b, c z ) = 0 El vector f0 a+ , -b es el vector normal a la superficie 0 aB C Db !

3) La recta normal a una superficie de la forma D 0 aB Cb en el punto a+ , -b de ella es z c y = b = 1 f ( a , b ) f x ( a, b) y x a donde c = f ( a, b)

4) La recta normal a un

54977454 Complemento de Calculo

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