5-relacion equivalencia

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Estructuras

Discretas I

Relación

Equivalencia

Universidad Nacional San Agustín

Dra. Norka Bedregal

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RE

LAC

ION

EQ

UIV

ALE

NC

IA

Dra. Norka Bedregal2

Relación de equivalencia

Sea R una relación en un conjunto A. R es de equivalencia si, y sólo si es:

• reflexiva,

• simétrica,

• transitiva

En esta sección se estudian las relaciones de equivalencia, las cuales

permiten agrupar en conjuntos disjuntos los elementos que tienen

características o propiedades en común.

RE

LAC

ION

EQ

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ALE

NC

IA

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Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

RE

LAC

ION

EQ

UIV

ALE

NC

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Permite marcar características similares entre los elementos de un conjunto

mediante su clasificación, determinando una partición del mismo en clases

de equivalencia.

Se llama partición de un

conjunto A, a todo

conjunto de subconjuntos

no vacíos, disjuntos dos a

dos, de modo que la unión

de dichos conjuntos

formen el conjunto A.

RE

LAC

ION

EQ

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ALE

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Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.

R= {(x, y) / x,y ∈∈∈∈ H ^ "x es compatriota de y"}

� R es reflexiva puesto que toda persona es compatriota de si mismo.

� R es simétrica, puesto que "si x es compatriota de y, y es compatriota de x".

� R es transitiva, por que "si x es compatriota de y e y es compatriota de z, entonces x es compatriota de z".

RE

LAC

ION

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Definición (Módulo)

Sea a un entero y n un entero positivo, “a mod n” representa el residuo de a

divido por n.

La forma de definir el residuo de “a mod n” es un entero r tal que

a = q n + r con 0≤ r <n.

Ejemplos:

� 17 mod 5 = 2 porque 17 = 3*5 + 2

� -133 mod 9 = 2 porque -133 = -15*9 + 2

Ejemplo

Considere la siguiente relación en :

R es una relación de equivalenciaRE

LAC

ION

EQ

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R es reflexivaSea .

Puesto que , concluimos que

R es simétrica

De esta forma . Por lo tanto

Supongamos que

Entonces es decir,

Por lo tanto

Como se tiene que .

Luego podemos concluir que

Así . Por lo tanto es simétrica RE

LAC

ION

EQ

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ALE

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R es transitiva

Supongamos que .

Entonces y

.

Es decir

Por lo tanto

Sumando miembro a miembro las igualdades anteriores tenemos que

Es decir,

Como , se tiene que .RE

LAC

ION

EQ

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ALE

NC

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Luego se puede concluir que

Así , y por lo tanto

La relación de equivalencia se llama congruencia

módulo n.

Clase de equivalencia.

Sean A un conjunto y R una relación de equivalencia en A. Para cada ,

la clase de equivalencia de x con respecto a R es el conjunto definido

como sigue:

Conjunto Cociente

Es el conjunto de clases de equivalencia. Se denota A/R

RE

LAC

ION

EQ

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ALE

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Sea H el conjunto formado por todos los seres humanos.

R= {(x, y) / x,y ∈∈∈∈ H ^ "x es compatriota de y"}

� Dado un elemento a de H, su clase de equivalencia estará formada

por sus compatriotas.

� El conjunto cociente de H por R, H/R, es el conjunto formado por

todas las clases de equivalencias.

� H/R es una partición de H.

RE

LAC

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Ejemplo:

Considérense las siguientes relaciones de equivalencia en

Dado , se tiene que:

RE

LAC

ION

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Ejemplo:

Considere la relación de equivalencia congruencia módulo 5.

Dado , se tiene que:

Es decir, la clase de equivalencia del entero a es el conjunto de números y

para los cuales la diferencia es un múltiplo de 5. Así, por ejemplo,

RE

LAC

ION

EQ

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Como se observa en este ejemplo,

conjunto de números con residuo 0 cuando se dividen por 5.

conjunto de números con residuo 1cuando se dividen por 5.




RE

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Además, se tiene que

En general para todo para algún .

Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos cinco

conjuntos.

Es decir cada entero pertenece a exactamente uno de estos n

conjuntos.

Por lo tanto la colección de las clases de equivalencia de la relación

congruencia módulo n es una partición de con n elementos

RE

LAC

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Teorema

Sea R una relación de equivalencia en un conjunto

Entonces

Ejemplo:

Para la relación de equivalencia congruencia módulo n:

Se tiene que,

Donde

Esto quiere decir, que la relación de congruencia módulo n particiona en n

subconjuntos o bloques.

RE

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Teorema

Sea una partición en A. La relación

es de equivalencia en A.

Ejemplo:

Considere una partición de .

Sea R la relación de equivalencia inducida por entonces

De esta forma,

Puesto que para ,se tiene que

RE

LAC

ION

EQ

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Los últimos dos teoremas muestran como:

•Si es una partición del conjunto A, la relación de equivalencia

inducida por define como “equivalentes” dos elementos x, y, si y

solamente si ellos están en el mismo bloque de la partición.

•Si R es una relación de equivalencia en un conjunto A, la partición

inducida por R “coloca” dos elementos x, y en el mismo bloque si y

solamente si ellos son equivalentes

Teorema

Sea una partición de un conjunto A y R una relación de

equivalencia en A. Entonces es la partición inducida por R si y

solamente si R es la relación de equivalencia inducida por

RE

LAC

ION

EQ

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Ejercicio 1.-

¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?

� R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre},

� donde S = {a / a es cualquier persona}

� S es el conjunto de números enteros y R es la relación “x es

congruente con y módulo 2”, es decir, que x e y tienen el mismo

resto al ser divididos por 2.

RE

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Ejercicio 2.-¿ Cuál de las siguientes relaciones en S son de equivalencia?

R = {(a, b)/ a R b sí y sólo sí a y b viven en Medellín}, donde S = {a / a vive en Medellín}.

R = {(a, b)/ a y b tienen la misma madre}, donde S = {a / a es cualquier persona}.

R = {(a, b)/ a y b tienen un pariente común}, donde S = {a / a es cualquier persona }.

RE

LAC

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Ejercicio 3.-Defina la relación "@ " en Z como m @ n sí y sólo sí m2 = n2. Muestre que @ es una relación de equivalencia en Z . Describa las clases de equivalencia. ¿Cuantas hay?.

Ejercicio 4.-Considere la relación en Z definida como m R n sí y sólo sí m3 - n3 es congruente a 0 (mod 5) ¿ Es una relación de equivalencia?.

Ejercicio 5.-

Sea S un conjunto. ¿ Es la igualdad "=" una relación de equivalencia en S?.

RE

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Ejercicio 6.-

Escriba las clases de equivalencia para la relación de congruencia módulo 4.

¿Cuál es el conjunto cociente?.

RE

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