Tratado de Equivalencia-contenidos
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Página 2 1.- EQUIVALENCIA. En dibujo técnico se dice que dos figuras son equivalentes cuando tiene distinta forma pero igual superficie. Este estudio tratará, exclusivamente, de obtener el cuadrado equivalente a una figura geométrica plana cualquiera, ya que este problema se plantea con bastante frecuencia en los exámenes de Dibujo Técnico en la PAU de la UMU. Las figuras geométricas que nos plantearán serán complejas, en el sentido de que estarán formadas por combinaciones de formas geométricas parciales, con huecos también geométricos parciales. A continuación se dan ejemplos de formas propuestas las últimas convocatorias. figura 1 figura 2 figura 3 2.- PROCEDIMIENTOS. SUMA Y DIFERENCIA DE CUADRADOS. El procedimiento a seguir será el de obtener los cuadrados equivalentes, por separado, a las superficies propuestas, para posteriormente sumar y/o restar dichos cuadrados, hasta conseguir el cuadrado de superficie equivalente a la propuesta. 2.1.- Suma y/o diferencia de cuadrados. Para obtener gráficamente el cuadrado de igual superficie que la suma/diferencia de otros dos/tres/… etc. se utilizará el Teorema de Pitágoras, tal y como se describe en la figura 4.
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1.- EQUIVALENCIA.
En dibujo técnico se dice que dos figuras son equivalentes cuando tiene distinta
forma pero igual superficie.
Este estudio tratará, exclusivamente, de obtener el cuadrado equivalente a una
figura geométrica plana cualquiera, ya que este problema se plantea con bastante
frecuencia en los exámenes de Dibujo Técnico en la PAU de la UMU.
Las figuras geométricas que nos plantearán serán complejas, en el sentido de
que estarán formadas por combinaciones de formas geométricas parciales, con huecos
también geométricos parciales. A continuación se dan ejemplos de formas propuestas
las últimas convocatorias.
figura 1 figura 2 figura 3
2.- PROCEDIMIENTOS. SUMA Y DIFERENCIA DE CUADRADOS.
El procedimiento a seguir será el de obtener los cuadrados equivalentes,
por separado, a las superficies propuestas, para posteriormente sumar y/o
restar dichos cuadrados, hasta conseguir el cuadrado de superficie equivalente
a la propuesta.
2.1.- Suma y/o diferencia de cuadrados.
Para obtener gráficamente el cuadrado de igual superficie que la
suma/diferencia de otros dos/tres/… etc. se utilizará el Teorema de Pitágoras, tal y
como se describe en la figura 4.
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Según Pitágoras: (□ Lc) ≡ (□ La) + (□ Lb)
También: (□ Lc) – (□ La) ≡ (□ Lb)
Si hubiera más cuadrados se repetiría la
construcción del ∆ rectángulo, las veces necesarias.
Ejercicio 1: Obtener el □ equivalente a las superficies rayadas:
figura 4
figura 5
figura 6
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3. TEOREMAS DE LA ALTURA Y DEL CATETO.
3.1. Teorema de la ALTURA:
En todo triángulo rectángulo, la altura es media proporcional entre las partes a las que divide a la hipotenusa.
figura 7
H/a = b/H o lo que es lo mismo:
H*H = a*b
3.2. Teorema del CATETO:
En todo triángulo rectángulo, un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
figura 8
C1/p1 = hipotenusa/C1, o lo que es lo mismo:
C1*C1 = p1*hipotenusa , también:
C2*C2 = p2* hipotenusa
Estos teoremas se pueden aplicar, entre otras, para obtener la equivalencia entre cuadrado y
rectángulo.
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3.3. Cuadrado equivalente a un rectángulo.
figura 9
Dado el rectángulo ABCD, se abate el
lado L (BC) sobre la prolongación del otro lado, hasta conseguir el punto C1.
Obteniendo el punto M, punto medio de A-C1, trazando la semicircunferencia de
radio M-A y prolongando B-C,
obtenemos en H el vértice de 90º del ∆ rectángulo A-H-C1. Por lo tanto,
podemos decir que:
(B-H)*(B-H) = (A-B)*(B-C1)
B-H es el lado del cuadrado (B-H1-H2-H) de superficie equivalente al rectángulo dado
Ejercicio 2: Obtener el cuadrado equivalente a esta figura:
figura 10
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4. CUADRADO EQUIVALENTE A UN TRIÁNGULO.
figura 11
Área del ∆: (B-C)*(A-T)/2 = (B-C)*h/2 Para aplicar el teorema de la altura,
ponemos h/2 a continuación de la base B-C, trazamos la semicircunferencia de
Ø B-S, que tiene de centro M. El punto D es el vértice de 90º del ∆ rectángulo B-S-D, por lo tanto D-C es
media proporcional entre B-C y C-S:
(D-C)*(D-C) = (B-C)*(C-S)
Ejercicio 3: Obtener el cuadrado equivalente a la figura dada:
figura 12
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5.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN POLÍGONO.
Esta equivalencia la estudiaremos en dos partes: polígonos regulares e irregulares.
5.1. Cuadrado equivalente a un polígono regular.
Cualquier polígono regular se puede descomponer en tantos triángulos isósceles
como lados tenga el polígono; cada triángulo, tiene de base el lado y de altura la
apotema del polígono; una vez obtenido el □ equivalente a un ∆, se construye el
rectángulo formado por el mismo número de □ que lados tiene el polígono y se
obtiene el □ equivalente a este rectángulo.
A continuación se representa el cuadrado equivalente a un pentágono regular.
figura 13
Ejercicio 4.- Obtener el cuadrado equivalente al exágono de lado 26 mm.
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5.2. Cuadrado equivalente a un polígono irregular.
El procedimiento a realizar será el siguiente: transformaremos el polígono
irregular dado, en un triángulo equivalente y a partir de este ∆, obtendremos el □
equivalente solución.
Para transformar un polígono irregular en un ∆, iremos construyendo polígonos
irregulares equivalentes al dado con un lado menos, hasta conseguir un ∆.
5.2.1. Polígono irregular equivalente a otro dado (ABCDE) con un lado menos.
El procedimiento a seguir es el siguiente: quitaremos al dado un triángulo y lo
sustituiremos por otro equivalente (igual área: b*h/2) que tenga un lado a
continuación de un lado del polígono.
figura 14-a figura 14-b figura 14-c
Dado el ABCDE, irregular de cinco lados, uniremos A con D y trazaremos la
paralela a este segmento por E hasta que corte a la prolongación de CD en el punto F
(figura 14-b). Nótese que el ∆ AED (suprimido) y el ∆ AFD (añadido) son iguales
porque tienen la misma base: AD y la misma altura h: EG = FT.
Así, sucesivamente iremos suprimiendo un lado cada vez, hasta convertirlo en
un ∆ ≡ al polígono y posteriormente en un □ ≡ ∆.
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6.- CUADRADO EQUIVALENTE A UN CÍRCULO.
Este ha sido uno de los grandes problemas de los geómetras desde la
antigüedad, no tiene solución exacta (por culpa de ∏), pero trabajando con precisión,
podemos obtener resultados bastante aceptables.
6.1. Cuadrado equivalente al círculo completo:
Hay varios procedimientos, usaremos el del siguiente razonamiento: como el
área de un círculo es ∏*r² = 3,1415*r*r = (3 + 1/7) * r * r = (3*r + 1/7*r) * r y
como debe ser = L * L (área del cuadrado); le damos forma de proporción y queda:
Desarrollo gráfico:
figura 15
6.2. Cuadrado ≡ a un sector circular de 60º (1/6 Ø y nos basamos en el anterior).
figura 16
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6.3. Obtener el cuadrado equivalente a la figura dada. (PAU-Murcia. Junio de 2009)
figura 17
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6.4. Obtener el □ equivalente a la figura dada (PAU-Murcia. Septiembre de 2009).
figura 18
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7.- CUADRADO EQUIVALENTE AL ÁREA DE UNA ELIPSE.
Teniendo en cuenta que el área de una elipse es S = ∏ * AB * CD, y lo
estudiado anteriormente, razonar el procedimiento y dibujar el □ ≡ a esta elipse.
figura 19
Razonamiento de la equivalencia:
Trazado de la equivalencia:
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1. EJERCICIOS.
9.1. Obtener el □ equivalente a la figura rayada (PAU-Murcia. Junio de 2006).
figura 20
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1.2. Obtener el □ equivalente a la figura rayada (PAU-Murcia. Junio de 2005).
figura 21
