Departamento de Matemáticas

2º de bachillerato

Matemáticas II aplicadas a

las Ciencias Sociales

Tema 3: Programación

lineal.

1º Dibuja las regiones factibles definidas por los siguientes sistemas:

≤+−

≤−+

≥−

≤+

0116

073)

2,11,02,0

9,04,03,0)

xy

xyb

yx

yxa

2º Dibuja el conjunto de puntos del plano que satisfacen las siguientes desigualdades:

20230610025306 ≥+≥+≤+≤≤ yxyxyxy

3º Dibuja el recinto definido por las inecuaciones

≥+

≤−

≤≤

≥

10

102

50

0

yx

yx

y

x

y calcula los vértices

de dicho recinto.

4º Maximiza la función yxz 33 += , sujeta a las restricciones

≥−

≥+

≥≥

0

0

0,0

yx

yx

yx

5º Calcula el valor máximo y el valor mínimo de la función ( ) yxyxF 2, += sujeta a

las siguientes restricciones 0334 ≥−≤−≤≤ yxyxxy

6º Maximiza la función yxz 23 += en el dominio definido por las restricciones

siguientes: 201302 ≤≤≤−≥+ xxyxy

7º Dado el sistema de desigualdades lineales

≤+

≤+

≤+

≥≥

142

102

164

0,0

yx

yx

yx

yx

a) Represéntalo gráficamente.

b) Maximiza la función lineal ( ) yxyxF 53, +=

c) Estudia cual será el resultado si le añadimos la inecuación lineal 5≤x 8º Una empresa constructora de barcos fabrica en sus dos astilleros tres tipos de barcos: A, B y C. Se compromete a entregar anualmente a cierta compañía marítima 18 barcos del tipo A, 10 del tipo B y 6 del tipo C. El primer astillero construye mensualmente 3 barcos de tipo A, 2 del tipo B y 1 del tipo C, siendo su costo mensual de funcionamiento de 5 millones de euros, y el segundo astillero construye mensualmente 2 barcos del tipo A, 1 del tipo B y 2 del tipo C, siendo el costo mensual de funcionamiento de 3 millones de euros. ¿Cuántos meses al año deberá trabajar cada astillero para que la empresa cumpla

su compromiso adquirido y consiga reducir al mínimo el costo de funcionamiento? 9º Un fabricante de coches lanza una oferta especial en sus dos modelos, ofreciendo el modelo A aun precio de 15.000 € y el modelo B en 20.000 € La oferta está limitada por las existencias, que son 20 coches del modelo A y 10 del modelo B, queriendo vender al menos tantas unidades del modelo A como del modelo B. Por otra parte, par cubrir los gastos de esta campaña, los ingresos obtenidos con ella deben ser al menos de 6 0.000 €

a) ¿Cuántas unidades de cada modelo puede vender?. Plantea el problema y representa su conjunto de soluciones.

b) ¿Cuántos coches deberá vender de cada modelo para maximizar sus ingresos?. ¿Cuál es el importe de dichos ingresos?

10º En cierta región se dispone de un área máxima de 600 ha para cultivo de trigo y algodón. Las disponibilidades de agua en la zona son, sin embargo, limitadas, calculándose que el consuno global dedicado a estos cultivos no puede exceder en el presente año los 3.000.000 de metros cúbicos. Razones de regulación de los precios obligan a un asignación mínima de 200 ha de trigo y 100 ha de algodón, y se estima que cada ha cultivada de trigo precisa de 6.000 metros cúbicos de agua por año siendo de 4.000 metros cúbicos los precisadas por la de algodón. Las ganancias que se espera obtener por ha cultivada de trigo son de 25.000 €, mientras que la de algodón producirá 20.000 €. ¿Cuántas hectáreas deberán dedicarse a cada cultivo para obtener una ganancia máxima? 11º La capacidad de producción de una factoría permite elaborar diariamente 120 artículos del tipo A y 360 del tipo B. Las reglamentaciones existentes obligan a que al menos el 80% de la producción total se destines a exportación, pero la capacidad de inspección aduanera es de sólo 200 artículos diarios. El precio de los artículos del tipo A es cuatro veces el de los del tipo B. Planifica la producción diaria para maximizar los beneficios. 12º La compañía de viajeros MARYTIERRA utiliza dos autobuses, A y B, para realizar excursiones turísticas. La compañía planifica la temporada estimando que realizará, entre los dos autobuses, al menos 60 viajes, aunque no puede ocuparse de más de 200 excursiones. El programa de revisiones de autobuses impone que el autobús A no puede hacer más de 120 viajes, aunque debe realizar al menos los mismos viajes que el autobús B. Si cada trayecto del autobús A consume 300 litros de combustible y del B consume 200 litros, ¿cuántos viajes debe hacer cada autobús para que el consumo sea mínimo? 13º Una empresa fabrica diariamente dos tipos de aparatos: A y B. Como máximo puede fabricar 3 aparatos de cada tipo y obligatoriamente, al menos, un aparato del tipo B. Indica todas las posibilidades de fabricación si se quieren realizar ventas por importe superior a 60 €, teniendo en cuenta que los precios de los artículos A y B son, respectivamente, 30 € y 10 €.

14º Maximizar yxz 22 −= , sujeta a las restricciones

≤

−+≤

+≤

4

12330

822

x

yx

xy

15º En un problema de programación lineal se desea minimizar la función lineal

( ) ( )yxyx −⋅+−⋅++ 18310243 con las siguientes restricciones

( ) ( ) 151810;13;018;010;0;0 ≤−+−≤+≥−≥−≥≥ yxyxyxyx

16º Un camión puede transportar 9 toneladas como máximo por viaje. En un determinado viajes debe transportar, al menos, 4 toneladas de una mercancía A y un peso de mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que se cobra a 3 céntimos de euro por kilogramo el transporte de A, y 2 céntimos de euro el kilogramo por el de B, ¿cómo se debe cargar el camión para que la ganancia sea máxima? 17º Dibuja el polígono de vértices (10,0), (11,0), (6,6), y averigua en qué punto de la

región limitada por dicho polígono alcanza el máximo la función ( ) yxyxf 47, +=

18º Un ganadero debe suministrar un mínimo de 4 mg de vitamina A y 6 de vitamina B por cada kilogramo de pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso, P1 y P2, Cuyos contenidos vitamínicos por kilogramo son los que aparecen en la tabla adjunta.

A B

P1 2 6

P2 4 3

Si el kilo de pienso P1 vale cuarenta céntimos de euro y el kilo de pienso P2 vale sesenta. ¿Cómo debe mezclar los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un mínimo coste? 19º En un almacén hay 100 cajas del tipo A y 100 del tipo B. La tabla nos informa del peso, volumen y valor de cada una de las cajas:

Tipo Peso (kg) Volumen

(dm³)

Valor (€)

A 100 30 750

B 200 40 1.250

Una camioneta puede cargar 10.000 Kg. y un volumen máximo de 2.400 dm³. 20º Averigua como han de cargarla para que el valor de las cajas que lleve sea el más alto posible. Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina

B y 23 de vitamina C cada día. Existen en el mercado dos productos, 1P y 2P , que

en cada bote contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:

A B C

1P 4 1 6

2P 1 6 10

21º Si el precio de un bote del producto 1P es de 100 euros y el de un bote del

producto 2P es de 160 euros, averiguar:

a) ¿Cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio?

b) ¿Qué cantidad tomará de cada vitamina si decide gastar lo menos posible? 22º Un taller de bisutería produce sortijas sencillas a 4,5 euros y sortijas adornadas a 6 euros. Las máquinas condicionan la producción de modo que no pueden salir al día más de 400 sortijas sencillas, ni más de 300 adornadas, ni más de 500 en total.

a) ¿Cuántas unidades de cada modelo se pueden vender? Plantear el problema y representar gráficamente su conjunto de soluciones.

b) Suponiendo que se vende toda la producción ¿cuántas unidades de cada clase interesará fabricar para obtener los máximos ingresos?

23º Una fábrica de bombones tiene almacenados 500 kg. de chocolate, 100kg. de almendras y 85 kg. de frutas. Produce dos tipos de cajas de bombones: tipo A y tipo B. Cada caja de tipo A contiene 3 kg. de chocolate, 1kg. de almendras y 1kg. de frutas, mientras que cada caja de tipo B contiene 2 kg. de chocolate, 1.5kg. de almendras y 1kg. de frutas. Los precios de las cajas de tipo A y B son 130 euros y 135 euros respectivamente.

a) ¿Cuántas cajas debe fabricar de cada tipo para maximizar su ganancia? b) ¿Cuál es el beneficio máximo obtenido?

24º Una persona tiene 500000 euros para invertir en dos tipos de acciones A y B. Las acciones de tipo A tienen bastante riesgo con un interés anual del 10% y las acciones del tipo B son bastante seguras con un interés anual del 7%. Decide invertir como máximo 300000 euros en las de tipo A y como mínimo 100000 euros en las de tipo B e invertir en las de tipo A por lo menos tanto como en las de tipo B. ¿Cómo debería invertir sus 500000 euros para maximizar sus intereses anuales? 25º Un grupo de alumnos formado por veinte chicas y diez chicos organizan un viaje. Para que el viaje les salga más económico deciden pedir trabajo por las tardes en una compañía que se dedica a realizar encuestas y que contrata a equipos de jóvenes de dos tipos: Tipo A: Parejas (una chica y un chico). Tipo B: Equipos de cuatro (tres chicas y un chico). La compañía paga 30 euros por la tarde de la pareja y 50 euros por la tarde del equipo de cuatro. ¿Cómo les conviene distribuirse para sacar la mayor cantidad posible de dinero? ¿Y si les pagara 30 euros por la tarde de la pareja y 30 euros por la tarde del equipo de cuatro? 26º Unos grandes almacenes encargan a un fabricante pantalones y chaquetas

deportivas. El fabricante dispone para la confección de 750 m de tejido de algodón y 1000 m de tejido de poliéster. Cada pantalón precisa 1 m de algodón y 2 m de poliéster. Para cada chaqueta se necesitan 1.5 m de algodón y 1 m de poliéster. El precio del pantalón se fija en 50 € y el de la chaqueta en 40 €. ¿Qué número de pantalones y chaquetas debe suministrar el fabricante a los almacenes para que éstos consigan una venta máxima? 27º Una compañía fabrica y venden dos modelos de lámpara L1 y L2. Para su fabricación se necesita un trabajo manual de 20 minutos para el modelo L1 y de 30 minutos para el L2; y un trabajo de máquina para L1 de 15 y de 10 minutos para L2. Se dispone para el trabajo manual de 100 horas al mes y para la máquina 80 horas al mes. Sabiendo que el beneficio por unidad es de 15 y 10 euros para L1 y L2, respectivamente, planificar la producción para obtener el máximo beneficio. 28º Una empresa de transportes tiene dos tipos de camiones, los del tipo A con un espacio refrigerado de 20 m3 y un espacio no refrigerado de 40 m3. Los del tipo B, con igual cubicaje total, al 50% de refrigerado y no refrigerado. La contratan para el transporte de 3.000 m3 de producto que necesita refrigeración y 4.000 m3 de otro que no la necesita. El coste por kilómetro de un camión del tipo A es de 30 € y el B de 40 €. ¿Cuántos camiones de cada tipo ha de utilizar para que el coste total sea mínimo? 29º En una granja de pollos se da una dieta, para engordar, con una composición mínima de 15 unidades de una sustancia A y otras 15 de una sustancia B. En el mercado sólo se encuentra dos clases de compuestos: el tipo X con una composición de una unidad de A y 5 de B, y el otro tipo, Y, con una composición de cinco unidades de A y una de B. El precio del tipo X es de 10 euros y del tipo Y es de 30 €. ¿Qué cantidades se han de comprar de cada tipo para cubrir las necesidades con un coste mínimo? 30º Con el comienzo del curso se va a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas; en el primer bloque pondrá 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos; en el segundo, pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6.5 y 7 €, respectivamente. ¿Cuántos paquetes le conviene poner de cada tipo para obtener el máximo beneficio? 31º Unos grandes almacenes desean liquidar 200 camisas y 100 pantalones de la temporada anterior. Para ello lanzan, dos ofertas, A y B. La oferta A consiste en un lote de una camisa y un pantalón, que se venden a 30 €; la oferta B consiste en un lote de tres camisas y un pantalón, que se vende a 50 €. No se desea ofrecer menos de 20 lotes de la oferta A ni menos de 10 de la B. ¿Cuántos lotes ha de vender de cada tipo para maximizar la ganancia? 34º Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autobuses de 40 plazas y 10 de 50 plazas, pero sólo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 800 € y el de uno pequeño 600

€. Calcular cuántos autobuses de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo más económica posible para la escuela.

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2º de bachillerato

Matemáticas II aplicadas a

las Ciencias Sociales

Tema 3: Programación lineal.

Problema 8º x= número de meses trabajados en el 1º astillero y= número de meses trabajados en el 2º astillero

Astilleros Barcos tipo A Barcos tipo B Barcos tipo C Coste Primer 3 2 1 5000000

Segundo 2 1 2 3000000 Total al año 18 10 6

Función objetivo: Min c(x,y)=5000000x+3000000 Restricciones: ( sujeto a) 1823 ≥+ yx ; 102 ≥+ yx ; 66 ≥+ yx ; 0≥x ; 0≥y

A= (0,10) B= (2,6) C= (6,0) El menor coste es de 28.000.000€ trabajando 2 meses el primer astillero y 6 meses el segundo astillero Problema 9º x=número de coches del tipo A y=número de coches del tipo B Función objetivo (f.o.): Max b(x,y)=15000x+20000y Restricciones sujeto a(s.a.): 200 ≤≤ x ; 100 ≤≤ y ; yx ≥ ; 600002000015000 ≥+ yx

A= (4,0) B= (12/7,12/7) C= (10,10) D= (20,10) E= (20,0) El máximo beneficio es de 500.000€ vendiendo 20 coches tipo A y 10 del tipo B Problema 10º x= nº de ha dedicadas al cultivo de trigo.

y=nº de ha dedicadas al cultivo de algodón. f.o. : Max g(x,y)=25000x+20000y s.a.:

100 ;200

;300000040006000 ;600

≥≥

≤+≤+

yx

yxyx

A=(200,100)

B=(200,400) C=(300,300) D=(1300/3,100)

La máxima ganancia es de 13.500.000€ cultivando 300 ha de trigo y otras 300 ha de algodón.

Problema 11º x=nº de artículos del tipo A. y=nº de artículos del tipo B

f.o.: Max b(x,y)=4x+y s.a.: 3600 ;120 0 ;2008.08.0 ≤≤≤≤≤+ yxyx

A= (0,0) B= (0,250) C= (120,130) D= (120,0)

El máximo beneficio es en 610 con 120 artículos del tipo A y 130 del tipo B. Problema 12º x= nº de viajes del autobús A.

y= nº de viajes del autobús B Mín c(x,y)= 300x+200y s.a.: 0 120;x0 ; ;200 ;60 ≥≤≤≥≤+≥+ yyxyxyx

A=(30,30) B=(100,100) C=(120,80) D=(120,0) E=(60,0)

El mínimo consumo de combustible es de 15000 litros con 30 viajes realizados por el autobús A y otros 30 por el B. Problema 13º x= nº de aparatos del tipo A.

y=nº de aparatos del tipo B 31 3;x0 ;601030 ≤≤≤≤≥+ yyx

Entonces las posibles opciones son (1,3);(2,3);(3,3);(3,2);(3,1);(2,1);(2,2)

Problema 14º La solución son todos los puntos del segmento determinado por A=(4,0) y B=(0,4)

Problema 15º Minimizar x+y+74

A=(0,0); B=(0,18); C=(10,18); D=(10,3); E=(10,0); F=(10,13).

Luego el mínimo valor es 74 y está en (0,0) Problema 16º x=kg de mercancía A.

y=kg de mercancía B f.o.:Máx g(x,y)=3x+2y

s.a.: 0 y;2

x x;4000 ;9000 ≥≤≤≤+ yyx

Los vértices son A(0,0);B(0,9000);C(4000,5000);D(4000,2000)

El máximo se alcanza en C(4000,5000) con una ganancia de 22000 céntimos.

Problema 18º x=kg del pienso P1.

y=kg del pienso P2 f.o.:Min 40x+60y s.a.: 0y0;x6;3y4;6x4y2x ≥≥≥+≥+

Los vértices son D(2,0);C(2/3,2/3);B(0,2).

El mínimo se alcanza en C con un gasto de 66,67 céntimos de euro. Problema 19º Max v(x,y)=750x+1250y, con x=nº de cajas del tipo A e y=nº de cajas del tipo B s.a.: 0y0;x2400;40y10000;30x200y100x ≥≥≤+≤+

Los vértices son A(0,0);B(0,50);C(40,30);D(80,0). El máximo se alcanza cargando 40 cajas de A y 30 de B con un valor de 67500