t p t

q

3

r ----

bull Periodo Seudoestable - Flujo Estable

IComo ya se dijo el flujo estable solo se presenta en el periodo seudoestable pues se requiere que en el limite exterior del yacimiento se tenga un suministro 0 fuente que reponga los fluidos que salen del yacimiento por tanto en este caso la tasa de flujo en eilimite exterior no puede ser cera

5 P 5qLa caracteristica de este tipo de flujo es que = - = 0 en cualquier punto del yacimiento

51 51

5qademasmiddot = 0 y el comportamiento de la presion y la tasa de flujo con la distancia (r) y el tiempo

5r se muestra en los siguientes graficos

p t q

r ---- r ----

bull Periodo Seudoestable - Flujo Seudoestable EI flujo seudoestable se presenta cuando tanto la presion como la tasa de flujo varian a traves del yacimiento La tasa de flujo se mantiene constante en el pozo con el tiempo pera a traves del yacimiento varia desde un valor q en el pozo hasta cera en el limite exterior del yacimiento La Presion varia con el radio y con el tiempo pero presenta las dos siguientes caracteristicas

(5PEn el limite exterior como la tasa de flujo es cera el gradiente de presion es cera y como la

6r tasa de flujo es constante en un punto dado entonces el gradiente de presion es constante con el

101

tiempo y por 10 tanto el camblo de preSion con el tlempo 0 sea [~J Cons tan Ie para cualquler

r y las curvas de P vs r para diferentes tiempos son paralelas

En este caso los graficos de comportamiento de q y Peon tiempo y distancia muestran la siguientes

formas Ii [~~) t~ i ~

q p

r - r -

bull Periodo Seudoestable - Flujo Inestable

EI periodo seudoestable puede ser inestable si mantenemos constante la presion en el fondo del pozo y por tanto la tasa de flujo variara EI comportamiento de la presion y la tasa de flujo con el tiempo y la distancia en este caso es el siguiente

t h

p

t q

r

102

( dP) = r et) t

dt r

P ~

t -

i d )l-9 = ge t) dr r

q

22- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal

La ecuaci6n de difusividad es una ecuaci6n de movimiento que nos permite analizar el comportamiento de la presi6n con la posici6n y el tiempo en un medio poroso

Para deducir la ecuaci6n de difusividad se requieren tres ecuaciones

- Ecuaci6n de Continuidad (Conservaci6n de Masa) - Ecuaci6n de Flujo - Ecuaci6n de Estado del Fluido

Para la ecuaci6n de continuidad supongamos el siguiente elemento de un medio poroso en el que se presenta flujo de fluido en las direcciones x y z

lt +

uyP ___(

)

~ Up i

103

vOl

I f [ Zf ri]Z f [ rff riJ rff [ Xf ri] Xf ( cent d)f = d d f gtf f + d d f Agtf g + d d f X (

f ri - ---=11 J P gtf

Xf

(d n)f

auaq as OJa) e uapualllV Azv AV xV opuen) A

auaq as IVZVAVXV Jod opualplp A sauolsaJdxa sop sel opuelen51 a

(d ltP zv AV XV)-+(d bull ltP (ZV AV XV))

l7 bull [(ZV AV) bull dXnv + (ZV xV) bull d~nv + (AV XV) bull dZnv] -=

lV (AV XV) [(dZn )v + dZn]shy

-lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (zV AV) [(dXn )V + dXn]-lV (AV ZV) bull dXn

[ales anb esew]-[eJlua anb eseVl] =[epelnwn)f eseVl]

lV (xV Av)[(dZn )V + dZn]

sa owawala OWSIW lap ales anb esew el A

4 1 lV (XV AV) bull d Zn + lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (ZV AV) bull dXn

sa lV odwaq ap 0lefJaWI un ua 0luawala Ie opueJlua ~lsa anb esew e1

La ecuacion (24) es la base para obtener las diferentes formas de la ecuacion de difusividad dependiendo del fluido que fluye a traVElS del medio poroso cuando se tiene flujo lineal

221 Ecuacion de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible

bull Si las Propiedades Petrofisicas no Dependen de la Presion

Cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion se puede plantear la sigu iente relacion

8(7) = 8( ~) =8( 2-) = 8(pcent) = 0 ( ~ I I

8x 8y 8 z 8 1

y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuacion (24) Y teniendo en cuenta la expresion anterior se tiene

y suponiendo finalmente que k r =ky =k=se tiene

l ~ 8 ~ P 8P 81

kJ S +~+ gt 2 = 0 - uX uy uZl

bull Si las propiedades Petrofisicas Dependen de la Presion

I Partiendo de la ecuacion (24) se tiene

y desarroliando las derivadas de la expresion anterior

Recordando ahora que

~(~)=~(~-) 8 P ~(~)=~(~) 8 P ~(~)=~ ( k = ) 8 P ox f1 O P J1 8x 8y J1 8[gt J1 8y 8z J1 8 P J1 8 z

8rp = 8rp 8 P 8 1 8 P 8 1

la expresion anterior queda aSI

105

(2 5)

(2 6)

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

tiempo y por 10 tanto el camblo de preSion con el tlempo 0 sea [~J Cons tan Ie para cualquler

r y las curvas de P vs r para diferentes tiempos son paralelas

En este caso los graficos de comportamiento de q y Peon tiempo y distancia muestran la siguientes

formas Ii [~~) t~ i ~

q p

r - r -

bull Periodo Seudoestable - Flujo Inestable

EI periodo seudoestable puede ser inestable si mantenemos constante la presion en el fondo del pozo y por tanto la tasa de flujo variara EI comportamiento de la presion y la tasa de flujo con el tiempo y la distancia en este caso es el siguiente

t h

p

t q

r

102

( dP) = r et) t

dt r

P ~

t -

i d )l-9 = ge t) dr r

q

22- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal

La ecuaci6n de difusividad es una ecuaci6n de movimiento que nos permite analizar el comportamiento de la presi6n con la posici6n y el tiempo en un medio poroso

Para deducir la ecuaci6n de difusividad se requieren tres ecuaciones

- Ecuaci6n de Continuidad (Conservaci6n de Masa) - Ecuaci6n de Flujo - Ecuaci6n de Estado del Fluido

Para la ecuaci6n de continuidad supongamos el siguiente elemento de un medio poroso en el que se presenta flujo de fluido en las direcciones x y z

lt +

uyP ___(

)

~ Up i

103

vOl

I f [ Zf ri]Z f [ rff riJ rff [ Xf ri] Xf ( cent d)f = d d f gtf f + d d f Agtf g + d d f X (

f ri - ---=11 J P gtf

Xf

(d n)f

auaq as OJa) e uapualllV Azv AV xV opuen) A

auaq as IVZVAVXV Jod opualplp A sauolsaJdxa sop sel opuelen51 a

(d ltP zv AV XV)-+(d bull ltP (ZV AV XV))

l7 bull [(ZV AV) bull dXnv + (ZV xV) bull d~nv + (AV XV) bull dZnv] -=

lV (AV XV) [(dZn )v + dZn]shy

-lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (zV AV) [(dXn )V + dXn]-lV (AV ZV) bull dXn

[ales anb esew]-[eJlua anb eseVl] =[epelnwn)f eseVl]

lV (xV Av)[(dZn )V + dZn]

sa owawala OWSIW lap ales anb esew el A

4 1 lV (XV AV) bull d Zn + lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (ZV AV) bull dXn

sa lV odwaq ap 0lefJaWI un ua 0luawala Ie opueJlua ~lsa anb esew e1

La ecuacion (24) es la base para obtener las diferentes formas de la ecuacion de difusividad dependiendo del fluido que fluye a traVElS del medio poroso cuando se tiene flujo lineal

221 Ecuacion de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible

bull Si las Propiedades Petrofisicas no Dependen de la Presion

Cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion se puede plantear la sigu iente relacion

8(7) = 8( ~) =8( 2-) = 8(pcent) = 0 ( ~ I I

8x 8y 8 z 8 1

y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuacion (24) Y teniendo en cuenta la expresion anterior se tiene

y suponiendo finalmente que k r =ky =k=se tiene

l ~ 8 ~ P 8P 81

kJ S +~+ gt 2 = 0 - uX uy uZl

bull Si las propiedades Petrofisicas Dependen de la Presion

I Partiendo de la ecuacion (24) se tiene

y desarroliando las derivadas de la expresion anterior

Recordando ahora que

~(~)=~(~-) 8 P ~(~)=~(~) 8 P ~(~)=~ ( k = ) 8 P ox f1 O P J1 8x 8y J1 8[gt J1 8y 8z J1 8 P J1 8 z

8rp = 8rp 8 P 8 1 8 P 8 1

la expresion anterior queda aSI

105

(2 5)

(2 6)

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

( dP) = r et) t

dt r

P ~

t -

i d )l-9 = ge t) dr r

q

22- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal

La ecuaci6n de difusividad es una ecuaci6n de movimiento que nos permite analizar el comportamiento de la presi6n con la posici6n y el tiempo en un medio poroso

Para deducir la ecuaci6n de difusividad se requieren tres ecuaciones

- Ecuaci6n de Continuidad (Conservaci6n de Masa) - Ecuaci6n de Flujo - Ecuaci6n de Estado del Fluido

Para la ecuaci6n de continuidad supongamos el siguiente elemento de un medio poroso en el que se presenta flujo de fluido en las direcciones x y z

lt +

uyP ___(

)

~ Up i

103

vOl

I f [ Zf ri]Z f [ rff riJ rff [ Xf ri] Xf ( cent d)f = d d f gtf f + d d f Agtf g + d d f X (

f ri - ---=11 J P gtf

Xf

(d n)f

auaq as OJa) e uapualllV Azv AV xV opuen) A

auaq as IVZVAVXV Jod opualplp A sauolsaJdxa sop sel opuelen51 a

(d ltP zv AV XV)-+(d bull ltP (ZV AV XV))

l7 bull [(ZV AV) bull dXnv + (ZV xV) bull d~nv + (AV XV) bull dZnv] -=

lV (AV XV) [(dZn )v + dZn]shy

-lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (zV AV) [(dXn )V + dXn]-lV (AV ZV) bull dXn

[ales anb esew]-[eJlua anb eseVl] =[epelnwn)f eseVl]

lV (xV Av)[(dZn )V + dZn]

sa owawala OWSIW lap ales anb esew el A

4 1 lV (XV AV) bull d Zn + lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (ZV AV) bull dXn

sa lV odwaq ap 0lefJaWI un ua 0luawala Ie opueJlua ~lsa anb esew e1

La ecuacion (24) es la base para obtener las diferentes formas de la ecuacion de difusividad dependiendo del fluido que fluye a traVElS del medio poroso cuando se tiene flujo lineal

221 Ecuacion de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible

bull Si las Propiedades Petrofisicas no Dependen de la Presion

Cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion se puede plantear la sigu iente relacion

8(7) = 8( ~) =8( 2-) = 8(pcent) = 0 ( ~ I I

8x 8y 8 z 8 1

y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuacion (24) Y teniendo en cuenta la expresion anterior se tiene

y suponiendo finalmente que k r =ky =k=se tiene

l ~ 8 ~ P 8P 81

kJ S +~+ gt 2 = 0 - uX uy uZl

bull Si las propiedades Petrofisicas Dependen de la Presion

I Partiendo de la ecuacion (24) se tiene

y desarroliando las derivadas de la expresion anterior

Recordando ahora que

~(~)=~(~-) 8 P ~(~)=~(~) 8 P ~(~)=~ ( k = ) 8 P ox f1 O P J1 8x 8y J1 8[gt J1 8y 8z J1 8 P J1 8 z

8rp = 8rp 8 P 8 1 8 P 8 1

la expresion anterior queda aSI

105

(2 5)

(2 6)

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

vOl

I f [ Zf ri]Z f [ rff riJ rff [ Xf ri] Xf ( cent d)f = d d f gtf f + d d f Agtf g + d d f X (

f ri - ---=11 J P gtf

Xf

(d n)f

auaq as OJa) e uapualllV Azv AV xV opuen) A

auaq as IVZVAVXV Jod opualplp A sauolsaJdxa sop sel opuelen51 a

(d ltP zv AV XV)-+(d bull ltP (ZV AV XV))

l7 bull [(ZV AV) bull dXnv + (ZV xV) bull d~nv + (AV XV) bull dZnv] -=

lV (AV XV) [(dZn )v + dZn]shy

-lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (zV AV) [(dXn )V + dXn]-lV (AV ZV) bull dXn

[ales anb esew]-[eJlua anb eseVl] =[epelnwn)f eseVl]

lV (xV Av)[(dZn )V + dZn]

sa owawala OWSIW lap ales anb esew el A

4 1 lV (XV AV) bull d Zn + lV bull (ZV XV) bull d~n + lV bull (ZV AV) bull dXn

sa lV odwaq ap 0lefJaWI un ua 0luawala Ie opueJlua ~lsa anb esew e1

La ecuacion (24) es la base para obtener las diferentes formas de la ecuacion de difusividad dependiendo del fluido que fluye a traVElS del medio poroso cuando se tiene flujo lineal

221 Ecuacion de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible

bull Si las Propiedades Petrofisicas no Dependen de la Presion

Cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion se puede plantear la sigu iente relacion

8(7) = 8( ~) =8( 2-) = 8(pcent) = 0 ( ~ I I

8x 8y 8 z 8 1

y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuacion (24) Y teniendo en cuenta la expresion anterior se tiene

y suponiendo finalmente que k r =ky =k=se tiene

l ~ 8 ~ P 8P 81

kJ S +~+ gt 2 = 0 - uX uy uZl

bull Si las propiedades Petrofisicas Dependen de la Presion

I Partiendo de la ecuacion (24) se tiene

y desarroliando las derivadas de la expresion anterior

Recordando ahora que

~(~)=~(~-) 8 P ~(~)=~(~) 8 P ~(~)=~ ( k = ) 8 P ox f1 O P J1 8x 8y J1 8[gt J1 8y 8z J1 8 P J1 8 z

8rp = 8rp 8 P 8 1 8 P 8 1

la expresion anterior queda aSI

105

(2 5)

(2 6)

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

La ecuacion (24) es la base para obtener las diferentes formas de la ecuacion de difusividad dependiendo del fluido que fluye a traVElS del medio poroso cuando se tiene flujo lineal

221 Ecuacion de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Incompresible

bull Si las Propiedades Petrofisicas no Dependen de la Presion

Cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion se puede plantear la sigu iente relacion

8(7) = 8( ~) =8( 2-) = 8(pcent) = 0 ( ~ I I

8x 8y 8 z 8 1

y por tanto realizando los operadores indicados en la ecuacion (24) Y teniendo en cuenta la expresion anterior se tiene

y suponiendo finalmente que k r =ky =k=se tiene

l ~ 8 ~ P 8P 81

kJ S +~+ gt 2 = 0 - uX uy uZl

bull Si las propiedades Petrofisicas Dependen de la Presion

I Partiendo de la ecuacion (24) se tiene

y desarroliando las derivadas de la expresion anterior

Recordando ahora que

~(~)=~(~-) 8 P ~(~)=~(~) 8 P ~(~)=~ ( k = ) 8 P ox f1 O P J1 8x 8y J1 8[gt J1 8y 8z J1 8 P J1 8 z

8rp = 8rp 8 P 8 1 8 P 8 1

la expresion anterior queda aSI

105

(2 5)

(2 6)

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

~(~)(5 P) 2+ ~~~~(5 P )2 + ~ 5 2P+~ k (5 P )2 +~ 5

2

P = O(cent) 6 P 5 P I 5x I 5x 2 OP I 5y I 5y2 O P I 5z I 5z 2 O fgt 51

Si se considera que

(2 7) (~~r =(J ~(~r =o y que de acuerdo con la definici6n de compresibilidad se puede escribir

5cent =Ccent (2 8) li fgt

donde Cp es la compresibilidad de poros de la formaci6n y si se supone Kx = Ky = Kz se tiene final mente bull

li 2 P 5 2 P 52 P centIC li P --+--+--= - -- (2 9) (5x 2 0 5z 2 k 5 1

222 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Ligeramente Compresible

Para fluido ligeramente compresible a partir de la ecuaci6n (24) se pueden tener las siguientes expresiones para la ecuaci6n de difusividad bull

Recordando la ecuaci6n (22) se puede escribir

O P _ 1 OPop _ 1 oP ox - CfJ 0 x 0 y - Cp 0 Y

(210) o P _ 1 0P 0 P _ 1 Op - - - - 1-- - shy

o Z Cpmiddoto z 0 I Cp 0 I

Realizando las derivadas indicadas en la ecuaci6n (24) Y recordando las expresiones de (2 10) se tiene

2

o P 0 (k] ( k ( 1 0 P kx 0 P ( 0 P o P 0 ( k Jp-- - + p - -- + - - - p - + p - - - + ox 0 x I P 0 x- I 0 x 0 x 0 y 0 Y Jl

k 0 P C 0 P k 0] P o P 0 [ k 1 ( k =J0 P Co PP- + P- - -7 +p - - - Ii- - -- p-I 0 Y 0 Y I 0 y - 0 z 0 Z jl ) I 0 Z 0 Z

k_J 0 2 P _ 0 ( A) _ A~ cS P 0 cent+ - p - - - Pr - rf - + P - (2 11 )

( I OZ 2 0 1 cSl 0 1

106

Suponiendo ahora que kz =ky =kx =k q =Constante C =Constante y ademas aplicando la relacion (2 7) entonces la ecuacion anterior quedarfa asf

k 0 2P k 0 2P k 0 2P 0 PP - - -2 + P---2 + P--- = prpc shy

j1 o x j1 0 y j1 0z 2 o t

0 2p 02 p 02 p centJ1 CO P - - + - - +-- =--- shyOX oy2 OZ2 k o t

(2 12)

K EI termino se conoce como coeficiente de difusividad y se representa por TJ

centj1 C

Cuando se tiene flujo lineal en una sola dimension la ecuacion serfa

0 2 P centj1 Co P - - = ---- (213) o L2 k 0 t

La ecuacion (2 12) (0 (2 13)) supone ademas que C =Constante 10 cual se ha encontrado que es valido siempre y cuando C sea un valor muy pequeno tal que C P laquo 1

Cuando las propiedades petroffsicas no se pueden considerar constantes se tiene

Retomando la ecuacion (2 11)

2

oP 0 ( k J (k J 0 P kx 0 P Co P degP 0 (k Jp-- - +p - - -+ - - p - + p - - - + ox 0 x j1 j1 0 x 2 j1 ox 0 x 0 y 0 y j1

k o p middotc o P k 02 p o P 0 ( kJ ( k JO P C o P p - +p- -- + p - - - + - -- p shyj1 0 y 0 y j1 0 y2 0 Z 0 Z j1 j1 0 z 0 z

kJ 02 p _O (A) _ AnfIgtP o cent + - P -- - - p f -fP- - +P- (2 14)( j1 O Z 2 o t 8t o t

En este caso las derivadas de las propiedades petroffsicas con respecto a la presion no se pueden tomar como cero sino que se deben aplicar las relaciones (26)- (2 8) Y suponiendo el medio isotropico se tiene finalmente la siguiente expresion

(2 15)

223 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible (Gases)

107

Para el caso de flujo de gas se tiene a partir de la ecuacion (24) los siguientes casos de ecuacion de difusividad bull

2231 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible (Gases Ideales)

Si se trata de gas ideal la ecuacion de estado se puede presentar como

p =PMRT

y retornando la ecuacion (24) se tiene al introducir en ella la expresion anterior

~[PM OP ~]+~[PM ~ op J +~[PM~ o P ]=~ ( PM cent)ox RT 0 x Jl 0 y RT Jl 0 Y 0 z RT Ji 0 Z 0 I RT

0 [ p o P 5zJ+ 0 [poP~] +~[p O P l k~]= ~(pcent) (2 16) [ ox oX Jl ) 0 y 0 y Jl 0 2 0 Z Jl 0 I

Cuando K Y ~ se pueden considerar independiente5 de la presion se tiene

~( p o P ]+ ~[p o P ] + 0 [ p oP] =centJl OP (2 16a) o x ox cy 0 y 0 Z 0 Z k 0 I

y diferenciando se tiene

2 p (i P +((j p ]2 +p(i2p +[ liP ]2 +p5 P +((ip]2 =centJl (i P

ix 2 5x (iy2 (iy (i z 2 (iz k (i l

y suponiendo que el gradiente de presion es muy pequeno y por tanto el gradiente de presion al cuadrado tiende acero y recordando que la compresibilidad de un gas ideal es igual a 1P la ecuacion anterior se convierte en

(i P (i 2p (i 2p centJlC(iP -- + - - + - - =---- (2 17) (jx 2 (iy 2 (i z 2 k (i l

La ecuacion (2 16a) tambiem se puede escribir

~(o P2 ] + ~(0 P 2 ]+~(0 P] = centJl2P 0 P ox ox 01 oy OZ 02 k P 0 1

y derivando y recordando que para un gas idealC=1P I---- ooi

0 2 p 2 0 2 p 2 0 2p 2 centJlC (i p 2 - - +--+--=- --- (217a) ox 0 y 0 Z 2 k (i

108

- -rU DB BIBUO

Si K Y ltIgt no se pueden considerar constantes con la presion despues de aplicar las relaciones de la ecuacion (2 6) a la ecuacion (216) se tiene

~~[p 5 P) + 2~[p 0 P) + ko ~[ p 0 P) Jl bx bx Jl oy oy Jl oz OZ

Ysi se supone un medio isotr6pico

Ysi luego se aplican las relaciones (2 7) Y (28) Y se supone el gradiente de presi6n pequeno queda finalmente

(218)

La ecuaci6n (2 16b) tambien se puede escribir como

~ JAGG )0 )+ z[o) + p[b p)2 ~[~) + p[b p)2 ~(~) + p[ b P) ~[ k = )=2cent 0 P + P ocent

bx oP Jl by oP Jl by oP Jl 01 01 Y siguiendo un procedimiento similar al seguido para obtener la ecuacion (218) se Ilega a

109

iJ2 PJ2 + 02 PJ2 + 02~2 =2Pcentu (~+CI)O P =centu (~+CI)O P 2 (2 18a) ox oy oz k P o t k P o t

Es especialmente importante analizar las ecuaciones (2 17) y (2 18) las cuales son similares a las ecuaciones de difusividad para fluidos ligeramente compresibles las ecuaciones (2 17) y (2 17a)

suponen que con stante pero la (2 17) supone que el gradiente de presion es muy(cent) es

pequeno y la (2 17a) no

2232 - Ecuaci6n de Difusividad para Flujo lineal - Fluido Compresible (Gases Reales)

Cuando el gas es real la ecuacion para la densidad es p = PMZRT Y reemplazando la densidad por esta expresion en la ecuacion (24) se tiene

o ( PM k 0 P ] 0 (PM k ) iJ PJ 0 ( PM k ~ 0 P] ox ZRT - 0 x + 0 y ZRT - 0 y + 0 z ZRT - 0 z

- 0 (PM cent]iJ 1 ZRT

o ( Pkr O P ] 0 ( Pk y oPj 0 (Pk o P ] _ IJ (Pcent) (2 19) ox u Z 0 x + 0 y uZ 0 Y ) + 0 Z uZ 0 z - at ---

Considerando K Y ~ constantes con presion y el medio isotropico se tiene ) ~ )

middot l

iJ ( P o P J 0 ( pOP] 0 ( P o P J cent 0 (p ) (2 19a) o x uZ 0 x + 0 y uZ 0 Y + 0 Z uZ 0 Z = kat Z

y derivando y aplicando las relaciones (2 6) se tiene

~[8 2 ~ + ~2 ~ + 82p] + o(J[( c5 p ]2 + ( 7LJ ~( PJ2 ur Sx - 6y- OZ 2 SP c5x lSy ()z

- t(~_~ SZ]c5 P k Z Z 2 c5P c51

y finalmente suponiendo que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando que para un

1 1 c5 Z gas real la compresibilidad es C g = - - -- se tiene

P Zc5P

110

(220)) La ecuacion (219a) tambiem se puede escribir como

y haciendo las derivaciones se tiene

_1_ [02 P 2 +02p 2 +02P2]+OP2 0(lIflZ)+OP2 0(lIflZ)+OP2 o(l flZ) 2Ii Z 0 x 0 y2 0 Z2 0 X 0 X 0 Y 0 Y 0 Z 0 Z

=2t ~[~ - _1 0 Z J0 P k Z P Z oP 0

y suponiendo ~Z constante y recordando la definicion de compresibilidad para un gas real se tiene

(220a)

Si las propi~dades petrofisicas dependen de la presion la ecuacion (219) se puede manipular de la siguiente forma

ok (~ ~p)+~(~ oP) k + oky (~ oP )+ ~(~ OP) k + ox flZ ox ox flZ ox x oy fl Z oy oy fl Z oy I

Ok (~ OP)+pound(~OP)k=rjJ[~oP P ozoPJ+~orjJ oP (219b) oz JiZ 6z 6z liZ OZ - Z 0 Z 2 0 P 0 Z 0 P 0

y recordando las expresiones (2 6) - (2 8) se tiene

~ ~oP k J-~OP k S( 7 ) s(Zs) vuX flL oX uy fl uy

[O P ]2[O kx] o P (jP pox 0 P

(5 P (~_ ~ (5 Z + C 1+ - (- - )k +shyZ 0 P Z oP

6z fl OZ fl ZZ

+[0 PJ 2(~1 +[~J2[0k~ I= rjJ ~

oy oy oz oz )

y suponiendo gradiente de presion pequeno

I II

I

c5 P5P 0 PoP 0 PoP POP ( IIc52 ]- (--- )k+- (--)k l bull + - (- - )k tt=cent-- ----+C1

Ox j12 Ox by j120y middot oz j120z 2 01 P 2 OP

realizando las derivadas indicadas y suponiendo medio isotropico

~[5~ +0 2~ +5 2 ~]+5(Pj12) [(~J2 + (5 Pj 2 + (~j2l = j1 2 5 x - 5 y 5 z 5 P 5 x I 5 y 5 z

~OP(~_~ 52 +c J cent k 2 5 t P 2 c5 P I

Nuevamente recordando que el gradiente de presion es pequeno y que

( -1152- --= C se tiene finalmente P Z o P ~

202 P + () P +5 P]=centj1COP (221 )

[ ox oy OZ2 k ot

donde C=Cg +Cp

La ecuacion (2 19b) tambiEm se puede escribir como

5 k (_ 1_ 0 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 0 K (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 5x Jl2 Ox Ox j12 ox 5y p2 5 y c5 y j12 0 y

8k o (_1_ oP )+~ (_1_ 5P 2 ) k=cent(~ 5P~ 0 2 OP]+~ 5cent 5 P c5z JlZ 5z oz j12 5z 2 5t 2 2 5 P 51 2 () P 51

Aplicando las expresiones (2 6) - (28)

_ 1_ 5k 5 P ( 5 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + 5 k l 5 P (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ () p 2 ) k + j120P 5x 5x 5x j12 5x c5P 5x pZ 5y c5y j12 5y I

5 k 0 5 P (_ 1 5 P2 ) + ~ _ () P 2 ) k =cent ~(~ 1_ (_ 1 _ 5 Z + C ] 5 P 5P 5 z j12 oz 5z j12 oz 2 P Z 5 P 1 51

y suponiendo gradiente de presion pequeno

~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P2 ) K =cent ~ ( 1 1 J Z + C Yp 5 X Ji Z ox 5y j1Z 0 Y 0 Z Ji 2 0 z 2 P LoP 1 ()II

Realizando ahora las derivadas indicadas

112

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

- -rU DB BIBUO

Si K Y ltIgt no se pueden considerar constantes con la presion despues de aplicar las relaciones de la ecuacion (2 6) a la ecuacion (216) se tiene

~~[p 5 P) + 2~[p 0 P) + ko ~[ p 0 P) Jl bx bx Jl oy oy Jl oz OZ

Ysi se supone un medio isotr6pico

Ysi luego se aplican las relaciones (2 7) Y (28) Y se supone el gradiente de presi6n pequeno queda finalmente

(218)

La ecuaci6n (2 16b) tambien se puede escribir como

~ JAGG )0 )+ z[o) + p[b p)2 ~[~) + p[b p)2 ~(~) + p[ b P) ~[ k = )=2cent 0 P + P ocent

bx oP Jl by oP Jl by oP Jl 01 01 Y siguiendo un procedimiento similar al seguido para obtener la ecuacion (218) se Ilega a

109

iJ2 PJ2 + 02 PJ2 + 02~2 =2Pcentu (~+CI)O P =centu (~+CI)O P 2 (2 18a) ox oy oz k P o t k P o t

Es especialmente importante analizar las ecuaciones (2 17) y (2 18) las cuales son similares a las ecuaciones de difusividad para fluidos ligeramente compresibles las ecuaciones (2 17) y (2 17a)

suponen que con stante pero la (2 17) supone que el gradiente de presion es muy(cent) es

pequeno y la (2 17a) no

2232 - Ecuaci6n de Difusividad para Flujo lineal - Fluido Compresible (Gases Reales)

Cuando el gas es real la ecuacion para la densidad es p = PMZRT Y reemplazando la densidad por esta expresion en la ecuacion (24) se tiene

o ( PM k 0 P ] 0 (PM k ) iJ PJ 0 ( PM k ~ 0 P] ox ZRT - 0 x + 0 y ZRT - 0 y + 0 z ZRT - 0 z

- 0 (PM cent]iJ 1 ZRT

o ( Pkr O P ] 0 ( Pk y oPj 0 (Pk o P ] _ IJ (Pcent) (2 19) ox u Z 0 x + 0 y uZ 0 Y ) + 0 Z uZ 0 z - at ---

Considerando K Y ~ constantes con presion y el medio isotropico se tiene ) ~ )

middot l

iJ ( P o P J 0 ( pOP] 0 ( P o P J cent 0 (p ) (2 19a) o x uZ 0 x + 0 y uZ 0 Y + 0 Z uZ 0 Z = kat Z

y derivando y aplicando las relaciones (2 6) se tiene

~[8 2 ~ + ~2 ~ + 82p] + o(J[( c5 p ]2 + ( 7LJ ~( PJ2 ur Sx - 6y- OZ 2 SP c5x lSy ()z

- t(~_~ SZ]c5 P k Z Z 2 c5P c51

y finalmente suponiendo que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando que para un

1 1 c5 Z gas real la compresibilidad es C g = - - -- se tiene

P Zc5P

110

(220)) La ecuacion (219a) tambiem se puede escribir como

y haciendo las derivaciones se tiene

_1_ [02 P 2 +02p 2 +02P2]+OP2 0(lIflZ)+OP2 0(lIflZ)+OP2 o(l flZ) 2Ii Z 0 x 0 y2 0 Z2 0 X 0 X 0 Y 0 Y 0 Z 0 Z

=2t ~[~ - _1 0 Z J0 P k Z P Z oP 0

y suponiendo ~Z constante y recordando la definicion de compresibilidad para un gas real se tiene

(220a)

Si las propi~dades petrofisicas dependen de la presion la ecuacion (219) se puede manipular de la siguiente forma

ok (~ ~p)+~(~ oP) k + oky (~ oP )+ ~(~ OP) k + ox flZ ox ox flZ ox x oy fl Z oy oy fl Z oy I

Ok (~ OP)+pound(~OP)k=rjJ[~oP P ozoPJ+~orjJ oP (219b) oz JiZ 6z 6z liZ OZ - Z 0 Z 2 0 P 0 Z 0 P 0

y recordando las expresiones (2 6) - (2 8) se tiene

~ ~oP k J-~OP k S( 7 ) s(Zs) vuX flL oX uy fl uy

[O P ]2[O kx] o P (jP pox 0 P

(5 P (~_ ~ (5 Z + C 1+ - (- - )k +shyZ 0 P Z oP

6z fl OZ fl ZZ

+[0 PJ 2(~1 +[~J2[0k~ I= rjJ ~

oy oy oz oz )

y suponiendo gradiente de presion pequeno

I II

I

c5 P5P 0 PoP 0 PoP POP ( IIc52 ]- (--- )k+- (--)k l bull + - (- - )k tt=cent-- ----+C1

Ox j12 Ox by j120y middot oz j120z 2 01 P 2 OP

realizando las derivadas indicadas y suponiendo medio isotropico

~[5~ +0 2~ +5 2 ~]+5(Pj12) [(~J2 + (5 Pj 2 + (~j2l = j1 2 5 x - 5 y 5 z 5 P 5 x I 5 y 5 z

~OP(~_~ 52 +c J cent k 2 5 t P 2 c5 P I

Nuevamente recordando que el gradiente de presion es pequeno y que

( -1152- --= C se tiene finalmente P Z o P ~

202 P + () P +5 P]=centj1COP (221 )

[ ox oy OZ2 k ot

donde C=Cg +Cp

La ecuacion (2 19b) tambiEm se puede escribir como

5 k (_ 1_ 0 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 0 K (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 5x Jl2 Ox Ox j12 ox 5y p2 5 y c5 y j12 0 y

8k o (_1_ oP )+~ (_1_ 5P 2 ) k=cent(~ 5P~ 0 2 OP]+~ 5cent 5 P c5z JlZ 5z oz j12 5z 2 5t 2 2 5 P 51 2 () P 51

Aplicando las expresiones (2 6) - (28)

_ 1_ 5k 5 P ( 5 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + 5 k l 5 P (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ () p 2 ) k + j120P 5x 5x 5x j12 5x c5P 5x pZ 5y c5y j12 5y I

5 k 0 5 P (_ 1 5 P2 ) + ~ _ () P 2 ) k =cent ~(~ 1_ (_ 1 _ 5 Z + C ] 5 P 5P 5 z j12 oz 5z j12 oz 2 P Z 5 P 1 51

y suponiendo gradiente de presion pequeno

~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P2 ) K =cent ~ ( 1 1 J Z + C Yp 5 X Ji Z ox 5y j1Z 0 Y 0 Z Ji 2 0 z 2 P LoP 1 ()II

Realizando ahora las derivadas indicadas

112

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

iJ2 PJ2 + 02 PJ2 + 02~2 =2Pcentu (~+CI)O P =centu (~+CI)O P 2 (2 18a) ox oy oz k P o t k P o t

Es especialmente importante analizar las ecuaciones (2 17) y (2 18) las cuales son similares a las ecuaciones de difusividad para fluidos ligeramente compresibles las ecuaciones (2 17) y (2 17a)

suponen que con stante pero la (2 17) supone que el gradiente de presion es muy(cent) es

pequeno y la (2 17a) no

2232 - Ecuaci6n de Difusividad para Flujo lineal - Fluido Compresible (Gases Reales)

Cuando el gas es real la ecuacion para la densidad es p = PMZRT Y reemplazando la densidad por esta expresion en la ecuacion (24) se tiene

o ( PM k 0 P ] 0 (PM k ) iJ PJ 0 ( PM k ~ 0 P] ox ZRT - 0 x + 0 y ZRT - 0 y + 0 z ZRT - 0 z

- 0 (PM cent]iJ 1 ZRT

o ( Pkr O P ] 0 ( Pk y oPj 0 (Pk o P ] _ IJ (Pcent) (2 19) ox u Z 0 x + 0 y uZ 0 Y ) + 0 Z uZ 0 z - at ---

Considerando K Y ~ constantes con presion y el medio isotropico se tiene ) ~ )

middot l

iJ ( P o P J 0 ( pOP] 0 ( P o P J cent 0 (p ) (2 19a) o x uZ 0 x + 0 y uZ 0 Y + 0 Z uZ 0 Z = kat Z

y derivando y aplicando las relaciones (2 6) se tiene

~[8 2 ~ + ~2 ~ + 82p] + o(J[( c5 p ]2 + ( 7LJ ~( PJ2 ur Sx - 6y- OZ 2 SP c5x lSy ()z

- t(~_~ SZ]c5 P k Z Z 2 c5P c51

y finalmente suponiendo que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando que para un

1 1 c5 Z gas real la compresibilidad es C g = - - -- se tiene

P Zc5P

110

(220)) La ecuacion (219a) tambiem se puede escribir como

y haciendo las derivaciones se tiene

_1_ [02 P 2 +02p 2 +02P2]+OP2 0(lIflZ)+OP2 0(lIflZ)+OP2 o(l flZ) 2Ii Z 0 x 0 y2 0 Z2 0 X 0 X 0 Y 0 Y 0 Z 0 Z

=2t ~[~ - _1 0 Z J0 P k Z P Z oP 0

y suponiendo ~Z constante y recordando la definicion de compresibilidad para un gas real se tiene

(220a)

Si las propi~dades petrofisicas dependen de la presion la ecuacion (219) se puede manipular de la siguiente forma

ok (~ ~p)+~(~ oP) k + oky (~ oP )+ ~(~ OP) k + ox flZ ox ox flZ ox x oy fl Z oy oy fl Z oy I

Ok (~ OP)+pound(~OP)k=rjJ[~oP P ozoPJ+~orjJ oP (219b) oz JiZ 6z 6z liZ OZ - Z 0 Z 2 0 P 0 Z 0 P 0

y recordando las expresiones (2 6) - (2 8) se tiene

~ ~oP k J-~OP k S( 7 ) s(Zs) vuX flL oX uy fl uy

[O P ]2[O kx] o P (jP pox 0 P

(5 P (~_ ~ (5 Z + C 1+ - (- - )k +shyZ 0 P Z oP

6z fl OZ fl ZZ

+[0 PJ 2(~1 +[~J2[0k~ I= rjJ ~

oy oy oz oz )

y suponiendo gradiente de presion pequeno

I II

I

c5 P5P 0 PoP 0 PoP POP ( IIc52 ]- (--- )k+- (--)k l bull + - (- - )k tt=cent-- ----+C1

Ox j12 Ox by j120y middot oz j120z 2 01 P 2 OP

realizando las derivadas indicadas y suponiendo medio isotropico

~[5~ +0 2~ +5 2 ~]+5(Pj12) [(~J2 + (5 Pj 2 + (~j2l = j1 2 5 x - 5 y 5 z 5 P 5 x I 5 y 5 z

~OP(~_~ 52 +c J cent k 2 5 t P 2 c5 P I

Nuevamente recordando que el gradiente de presion es pequeno y que

( -1152- --= C se tiene finalmente P Z o P ~

202 P + () P +5 P]=centj1COP (221 )

[ ox oy OZ2 k ot

donde C=Cg +Cp

La ecuacion (2 19b) tambiEm se puede escribir como

5 k (_ 1_ 0 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 0 K (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 5x Jl2 Ox Ox j12 ox 5y p2 5 y c5 y j12 0 y

8k o (_1_ oP )+~ (_1_ 5P 2 ) k=cent(~ 5P~ 0 2 OP]+~ 5cent 5 P c5z JlZ 5z oz j12 5z 2 5t 2 2 5 P 51 2 () P 51

Aplicando las expresiones (2 6) - (28)

_ 1_ 5k 5 P ( 5 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + 5 k l 5 P (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ () p 2 ) k + j120P 5x 5x 5x j12 5x c5P 5x pZ 5y c5y j12 5y I

5 k 0 5 P (_ 1 5 P2 ) + ~ _ () P 2 ) k =cent ~(~ 1_ (_ 1 _ 5 Z + C ] 5 P 5P 5 z j12 oz 5z j12 oz 2 P Z 5 P 1 51

y suponiendo gradiente de presion pequeno

~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P2 ) K =cent ~ ( 1 1 J Z + C Yp 5 X Ji Z ox 5y j1Z 0 Y 0 Z Ji 2 0 z 2 P LoP 1 ()II

Realizando ahora las derivadas indicadas

112

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

(220)) La ecuacion (219a) tambiem se puede escribir como

y haciendo las derivaciones se tiene

_1_ [02 P 2 +02p 2 +02P2]+OP2 0(lIflZ)+OP2 0(lIflZ)+OP2 o(l flZ) 2Ii Z 0 x 0 y2 0 Z2 0 X 0 X 0 Y 0 Y 0 Z 0 Z

=2t ~[~ - _1 0 Z J0 P k Z P Z oP 0

y suponiendo ~Z constante y recordando la definicion de compresibilidad para un gas real se tiene

(220a)

Si las propi~dades petrofisicas dependen de la presion la ecuacion (219) se puede manipular de la siguiente forma

ok (~ ~p)+~(~ oP) k + oky (~ oP )+ ~(~ OP) k + ox flZ ox ox flZ ox x oy fl Z oy oy fl Z oy I

Ok (~ OP)+pound(~OP)k=rjJ[~oP P ozoPJ+~orjJ oP (219b) oz JiZ 6z 6z liZ OZ - Z 0 Z 2 0 P 0 Z 0 P 0

y recordando las expresiones (2 6) - (2 8) se tiene

~ ~oP k J-~OP k S( 7 ) s(Zs) vuX flL oX uy fl uy

[O P ]2[O kx] o P (jP pox 0 P

(5 P (~_ ~ (5 Z + C 1+ - (- - )k +shyZ 0 P Z oP

6z fl OZ fl ZZ

+[0 PJ 2(~1 +[~J2[0k~ I= rjJ ~

oy oy oz oz )

y suponiendo gradiente de presion pequeno

I II

I

c5 P5P 0 PoP 0 PoP POP ( IIc52 ]- (--- )k+- (--)k l bull + - (- - )k tt=cent-- ----+C1

Ox j12 Ox by j120y middot oz j120z 2 01 P 2 OP

realizando las derivadas indicadas y suponiendo medio isotropico

~[5~ +0 2~ +5 2 ~]+5(Pj12) [(~J2 + (5 Pj 2 + (~j2l = j1 2 5 x - 5 y 5 z 5 P 5 x I 5 y 5 z

~OP(~_~ 52 +c J cent k 2 5 t P 2 c5 P I

Nuevamente recordando que el gradiente de presion es pequeno y que

( -1152- --= C se tiene finalmente P Z o P ~

202 P + () P +5 P]=centj1COP (221 )

[ ox oy OZ2 k ot

donde C=Cg +Cp

La ecuacion (2 19b) tambiEm se puede escribir como

5 k (_ 1_ 0 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 0 K (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 5x Jl2 Ox Ox j12 ox 5y p2 5 y c5 y j12 0 y

8k o (_1_ oP )+~ (_1_ 5P 2 ) k=cent(~ 5P~ 0 2 OP]+~ 5cent 5 P c5z JlZ 5z oz j12 5z 2 5t 2 2 5 P 51 2 () P 51

Aplicando las expresiones (2 6) - (28)

_ 1_ 5k 5 P ( 5 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + 5 k l 5 P (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ () p 2 ) k + j120P 5x 5x 5x j12 5x c5P 5x pZ 5y c5y j12 5y I

5 k 0 5 P (_ 1 5 P2 ) + ~ _ () P 2 ) k =cent ~(~ 1_ (_ 1 _ 5 Z + C ] 5 P 5P 5 z j12 oz 5z j12 oz 2 P Z 5 P 1 51

y suponiendo gradiente de presion pequeno

~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P2 ) K =cent ~ ( 1 1 J Z + C Yp 5 X Ji Z ox 5y j1Z 0 Y 0 Z Ji 2 0 z 2 P LoP 1 ()II

Realizando ahora las derivadas indicadas

112

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

c5 P5P 0 PoP 0 PoP POP ( IIc52 ]- (--- )k+- (--)k l bull + - (- - )k tt=cent-- ----+C1

Ox j12 Ox by j120y middot oz j120z 2 01 P 2 OP

realizando las derivadas indicadas y suponiendo medio isotropico

~[5~ +0 2~ +5 2 ~]+5(Pj12) [(~J2 + (5 Pj 2 + (~j2l = j1 2 5 x - 5 y 5 z 5 P 5 x I 5 y 5 z

~OP(~_~ 52 +c J cent k 2 5 t P 2 c5 P I

Nuevamente recordando que el gradiente de presion es pequeno y que

( -1152- --= C se tiene finalmente P Z o P ~

202 P + () P +5 P]=centj1COP (221 )

[ ox oy OZ2 k ot

donde C=Cg +Cp

La ecuacion (2 19b) tambiEm se puede escribir como

5 k (_ 1_ 0 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 0 K (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ 0 P ) k + 5x Jl2 Ox Ox j12 ox 5y p2 5 y c5 y j12 0 y

8k o (_1_ oP )+~ (_1_ 5P 2 ) k=cent(~ 5P~ 0 2 OP]+~ 5cent 5 P c5z JlZ 5z oz j12 5z 2 5t 2 2 5 P 51 2 () P 51

Aplicando las expresiones (2 6) - (28)

_ 1_ 5k 5 P ( 5 P 2 )+ ~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + 5 k l 5 P (_ 1_ 5 P )+ ~ (_ 1_ () p 2 ) k + j120P 5x 5x 5x j12 5x c5P 5x pZ 5y c5y j12 5y I

5 k 0 5 P (_ 1 5 P2 ) + ~ _ () P 2 ) k =cent ~(~ 1_ (_ 1 _ 5 Z + C ] 5 P 5P 5 z j12 oz 5z j12 oz 2 P Z 5 P 1 51

y suponiendo gradiente de presion pequeno

~ (_ 1_ 0 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P 2 ) k + ~ (_ 1_ 5 P2 ) K =cent ~ ( 1 1 J Z + C Yp 5 X Ji Z ox 5y j1Z 0 Y 0 Z Ji 2 0 z 2 P LoP 1 ()II

Realizando ahora las derivadas indicadas

112

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

_ 1_ [ 8 2 P 2 + 8 2 P2 + 8 2P21+ 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P2 8 (11 u Z) + 8 P 2 8 (1 u z) uZ 8x 2 8y 2 8z 2 c5x 5x 8y 8y 8 z 8z

=cent P (~_1 8Z+ C)8P Z P Z 8 P 81

y finalmente suponiendo I-lZ constante 0 que el gradiente de presion es muy pequeno y recordando la definicion de la compresibilidad de un gas real

(221a)

donde al igual que en la ecuacion (2 21) C=cg+cp

si~ 2233- Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Lineal - Fluido Compresible en Funci6n de la Funci6n Seudopresi6n m(P) ~

La ecuacion (2 21) para flujo de gas es compleja y dificil de manejar por esta razon y tratando de conseguir una ecuacion mas facil de manejar se introduce el concepto de la funcion seudopresion

La funcion seudopresion esta definida por

m(P)= r 2P dP (2 22)tu z

donde m(P) se conoce como la funcion seudopresion y Pb es una presion de referencia 0 base puede ser la presion correspondiente a la presion normal 0 estandar

De acuerdo con la ecuaci6n (222) se pueden tener las siguientes relaciones

dm(P)= 2P dP dP =u Z d(m) ~ J __ Je J u Z di 2P di Jt I r-

- Lol f J (I donde i puede ser cualquier variable que afecte la presion bull -- Jr

Ahora lIevando la expresion anterior y la expresion de densidad para un gas real a la ecuacion (24) se tiene

~( PM ~uZ8m(p) J +~[PM ~ uZ8m(p) J +~( PM k o u Z lgtm(p) J ox ZRT u 2 P ix oy ZRT u 2P c5y oz ZRT It 2P 8 z

PM iJ cent PMuZ tim(P) 8cent v =---- =-shy

ZRT 0 ZRT 2P 8 I t5 P

y despues de las simplificaciones del caso y recordando que 8 cent =cent c 8P

113

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

114

pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

115

o (krOm(p) ] +~(~Om(p)I+~( k= Om(p)]=j1 Om(P)centC OX OX oy oy ) OZ OZ 01

Finalmente si se supone la permeabilidad constante y el medio isotropico se tiene

~( o m(p) ] + ~(o m(p) ] + ~(o m(p) ] =cent j1C 0 m(P) ( 223)OX ox oy oy oz OZ k 01

La ecuaci6n (223) es similar a la obtenida para fluidos ligeramente incompresibles cuando las propiedades petroflsicas no dependen de la presion y el medio es isotr6pico simplemente que en lugar de P se tiene m(P)

Cuando se trabaja con m(P) se debe tener forma de convertir presion a m(P) 0 10 contrario m(P) a presion para ello se debe tener un grafico de m(P) vs presion el cual se puede obtener siguiendo el siguiente procedimiento

bull Se toma un intervalo amplio de presion dep~ndiendo de la presion a la que se encuentre el yacimiento que se esta analizando normal mente puede ser desde 147 Lpc hasta la presion del yacimiento Pi Este intervalo se divide en intervalos de unas 50 Lpc

A la presion inicial y final de cada uno de los intervalos en que se dividio el intervalo de

presion en el numeral anterior se calcula (2P j1Z)y luego se grafica (2P j1Z)vs P

bull EI valor de m(P) ala presi6n final Pn del intervalo n es el area bajo la curva de (2P j1Z)vs

P entre 147 Lpc Y Pn Y se puede obtener aplicando el metodo trapezoidal cuya formula general para obtener m(P) es

m(P)= - - +2LII -I ( 2P ] - - 1I1P[ ( 2P ] + ( 2P ] (2 24) 2 j1Z I =1 j1Z j1Z I

donde

(2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)evaluado a 147 Lpc y (2P j1Z) es el valor de (2P j1Z)

evaluado a la presion final de cada uno de los n intervalos de amplitud tP comprendidos en el intervalo 147 - P

bull Se repite el procedimiento anterior hasta que se haga el recorrido de todos los intervalos en que se dividio el intervalo 147 - Pi Y luego se puede hacer un grafico de m(P) vs P

bull Con el grafico obtenido en el paso anterior se puede el valor de m(P) correspondiente a una presion dada 0 la presion correspondiente a un m(P) dado

23 Ecuaci6n de Difusividad para Flujo Radial

Se supondra que el medio es completamente homogeneo en la direccion radial angular y vertical y por tanto 10 que pasa en la direccion de un radio dado es identico a 10 que pasa en la direccion de cualquier otro radio y 10 que pasa con la presion en un plano horizontal dado es identico a 10 que

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pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

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pasa en cualquier otro plano horizontal del media poroso De acuerdo can 10 anterior para el caso de flujo radialia situacion es la siguiente

Supongamos el siguiente elemento de un media poroso donde existe flujo radial

~ M M

i-UrP + L1(Urp)UrP

~

I

Irr

II Pozo

~

r

La masa que esta entrando al elemento en el tiempo ~t es

[urP + ~(urP)) (2rc(r + M)h) ~t

y la masa que sale del mismo es

[urp] 2rcrh~t

par tanto la masa que se acumula es

[urP + ~(urP)] (2rc(r + M) ~t ) - [urp 2rcrh ~t ]

=2rch [urP + ~(urP)] (r + M) ~t - Urp ~t

=2rch [urP M ~t + ~(urP) r ~t + ~(urP) Mmiddot UrP]

y suponiendo que ~(urP) Y M son pequenos tambien 10 sera ~(urP) M y par tanto la acumulacion de masa en el elemento queda como

2rch ~t [urP M + ~(urp)r]

para el mismo elemento la acumulacion de masa al tiempo ~t es

(2rcrh M q p) - (rcrhM Qgt p)- 1+ 11 I

e igualando las dos expresiones para acumulacion de masa en el elemento se tiene

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