Tratamiento de Señales ITema 1. Señales y sistemas

“A los hombres les encanta maravillarse. Esto es la semilla de la ciencia”.

Ralph Waldo Emerson (1803-1882)Poeta y pensador estadounidense

Referencias bibliográficas

Stremler, Ferrel G (2006). Introducción a los sistemas de comunicación, edición especial.

Imagen tomada de: http://www.amazon.com/Introduction-Communication-Systems-Electrical-Engineering/dp/0201072440/ref=sr_1_1?ie=UTF8&qid=1399913960&sr=8-1&keywords=stremler+ferrel

Tomasi, Wayne (2003). Sistemas de comunicaciones. Editorial Prentice Hall . Imagen tomada de:http://books.google.com.co/books?id=_2HCio8aZiQC&printsec=frontcover&dq=isbn:9702603161&hl=es&sa=X&ei=f-JoU-uuAdTLsAS204GgCw&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

Referencias bibliográficas

Referencias de software

Communications System Toolbox (2012). Getting Started Guide. The MathWorks Inc.

Sistema básico de comunicaciónSimbólico - Matemático

Simbólico - Esquemático

Artefacto

FuncionalSimulación

e(t) A(1m * c o s (Wm * t) )*c o s (Wc * t)

Sistema de comunicación

Tomado y adaptado de Sink

Referencias de software

Referencias de software

Sistemas y señales

El enfoque sistémicoSistema eléctrico

Señal y sistemaPotencia EnergíaPotencia media disipada

Señal periódica y aperiódicaSeñal aleatoria y determinista

f (t) Ac o s (t q )

p e(t)2

/R w a t t s,

p i(t)2

*R w a t t s.

E f (t)2d t j o u l e s.

t1

t2

P1

t2 t1f (t)

2d t

t1

t2

.

f (t T) f (t) p a r a t o d a t

f (t) s e n t s e n 2t.

Sistema lineal y no lineal

invariable o no en el tiempo

Realizable – No realizable

No lineal, invariable en el tiempo

Lineal, variable en el tiempo

g(t) Á{ f (t) }

g(t) Á2{Á1[ f (t) ] } Á{ f (t) }

g1(t) Á{ f1(t) } , y g2 (t) Á{ f2 (t) } ,

Á{a1 f1(t)a2 f2 (t) } a1g1(t)a2g2 (t)

g(t t0 ) Á{ f (t t0}

Sistemas y señales

Representación vectorial

• Una función puede ser representada en funciones independientes

• Condición de espacio vectorial ortogonal: producto punto

• Representación de un vector en el espacio vectorial

• Condición de ortonormalidad

¥<2

1

2)(

t

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1

3132121111 AAAA

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tnn todapara1)(

2

1

2

Teorema de Parceval

• Si la función del tiempo puedeser expresada en términos defunciones ortonormales, elcálculo de su energía equivalea la sumatoria de suscoeficientes del espacio

• Los coeficientes pueden serexpresados en términos de lafunción y los vectores delespacio

• Aplica para la potencia

)()( n1n

tftf nå¥

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n

nn

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n

n

T

TFdttf

TP

Ejemplo de funciones base

Funciones ortonormalesortogonales elegidas:

f (t) fnn1

¥

å s e n n t

fn f (t)

0

2

s e n n t d t

s e n2 n t0

2

d t f (t)

0

2

s e n n t d t

fn 0

1

s e n n t d t 1

2

s e n n t d t 4 /n p a r a n i m p a r

0 p a r a n p a r

ìí

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...7sen

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15sen

5

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3

1sen

4)( tttttf

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mn

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f (t) 1, 0 < t <1

1, 1< t < 2

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å

N

nn

Nn

dtt

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22

0

2 42)(

Ejemplo de funciones base

Series de Fourier como funciones base

• Serie exponencial de Fourier

• Cumple condición de conjunto base

• Una función en el tiempo puede ser expresada en términos de la serie exponencial de Fourier

tjnn et 0)(

îíì

mn

mndttt m

t

tn

0

constante)()( *2

1

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)()( 210 ttteFtf

n

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¥

dtetftt

Ft

t

tjnn

2

1

0)()(

1

12

Representación compleja e identidad de Euler

Ejemplo anterior en términos de la serie de Fourier

c o s 0t 1

2(ej0t e j0t )

s e n 0t 1

2 j(ej0t e j0t )

...

3

1...

3

1

2

1)( )4/3()4/()4/3()4/( tjtjtjtj eeeetf

tjtjtj eee

j

53

5

1

3

12

Series de Fourier trigonométrica

Forma compactaf (t) a0 ann1

¥

å c o sn0t bn n1

¥

å s e nn0t

Para f(t) real en (t1, t2)

an f (t)

t1

t2

c o sn0t d t

c o s2 n0t d tt1

t2

2

(t2 t1)f (t)

t1

t2

c o sn0t d t,

bn f (t)

t1

t2

s e nn0t d t

s e n2n0t d tt1

t2

2

(t2 t1)f (t)

t1

t2

s e nn0t d t,

a0 f (t)

t1

t2

d t

d tt1

t2

1

(t2 t1)f (t)

t1

t2

d t.

f (t) cnn0

¥

å c o s (n0t jn)

)/(tan

,

1

22

nnn

nnn

ab

bac

Ejemplo de serie de Fourier

Determinar la serie de Fourier trigonométrica para la función:

2)( ttf

Intervalo (0, 2)

a0 1

2t2

0

2

d t 4

3,

an 2

2t2

0

2

c o sn t d t 4 / (n )2,

bn 2

2t2

0

2

sen n t d t 4 / (n ) .

.sen14

cos14

3

4)(

1122 åå

¥

¥

nn

tnn

tnn

ttf

Serie de Fourier de pulsos rectangulares

îíì

<<

<<

2 1

0 1)(

t

ttg

an = 0

tdtnT

tnT

bn 0

2

0

0

sen 2

sen 2

0

21

T

bnt

n

nt

nn

2

2

2

20

2

cos cos

1

11

1n

nn

n

cos cos

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í

ì

par a.......par.................... 0

impar para ......................... 4

n

nnbn

g(t) bn s e n n0t 4

s e n t

4

3s e n 3t

4

5s e n 5t

n1

¥

å

Resultado analítico

g(t) bn s e n n0t 4

s e n t

4

3s e n 3t

4

5s e n 5t

n1

¥

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