5 Guia 04 Semestre 1 Raices

Profesor: Erwin Coronado C. Sector: Matemtica

Puerto Montt Curso: III y IV Medio

1

Gua de ejercicios N4, Primer Semestre

Tema: Races.

Debes saber que:

La primera raz cuadrada se present en el problema de la determinacin de hipotenusas, y la

primera raz cbica, parece que fue en el problema de la duplicacin del cubo (determinacin de

la arista de un cubo de volumen doble al de uno dado), que tuvo en jaque a casi todos los

matemticos de la antigedad. Las potencias y races de grado superior aparecieron ms tarde con Diofanto (siglos III y IV) y

los rabes del siglo XII. Las potencias de las incgnitas de los problemas se llamaron durante la Edad Media con los ms

variados nombres (res o cosa, censo, quadrato, cubo, censo de censo, primo relato, censo de

cubo...). No haba mucha uniformidad en estas denominaciones. Menos la hubo en las notaciones.

Prevaleci durante mucho tiempo la notacin por medio de iniciales combinadas y ms o menos

deformadas de aquellas palabras. Esta desdichada notacin impidi ver claras las leyes del

clculo con potencias, hasta que ciertos matemticos del siglo XVI introdujeron poco a poco la

nocin de exponente. En particular esta palabra se debe a Stifel, quien dio ya la regla de suma y

resta de exponentes. En el siglo XVII, Descartes usaba ya los signos actuales. El procedimiento de clculo de la raz

es de origen tambin hind. La homonimia de la raz aritmtica con la del rgano de los vegetales se ha empleado desde

tiempo inmemorial, lo mismo en la India que en el mundo latino, sin que se haya explicado

satisfactoriamente la razn.

B. Races

Cuando en la expresin na c se desconoce el valor de a , entonces la expresin se puede escribir

como nx c y en este caso se tiene nx c y x se llama la raz n -sima de c . Se distingue en una

raz

n c

De acuerdo a esta expresin, y teniendo en cuenta el concepto de potencia, se debe tener en cuenta

los siguientes condiciones para los valores c y n para una definicin consistente.

Cantidad

subradical ndice

radical



2

Definicin:

Dados el real 0c y n , se define la raz n-sima de c como un nmero real 0b tal que la n-sima potencia de b es c , es decir

, 0nn c b b c b En el caso de tener c y n , impar, entonces se define la raz n-sima de c como un nmero real b tal que la n-sima potencia de b es c , es decir

, nn c b b c b

Observacin:

Lo anterior se expresa como sigue:

1. El valor de una raz en el conjunto de los nmeros reales depende del signo de la cantidad subradical y del ndice de la raz.

2. Siempre existe la raz de un nmero real positivo, cualquiera sea su ndice (par o impar). 3. La raz de un nmero real negativo, existe si y solo si su ndice es impar. 4. La raz de ndice par de un nmero real negativo no es un nmero real, es un nmero llamado

imaginario.

Observacin:

Algunos nombres que reciben las races, dependen del valor del ndice, siendo por ejemplo:

a. 2 : Raz cuadrada de c c (En este caso el valor del ndice se omite y solo se escribe c )

b. 3 : Raz cbica de c c

c. 4 : Raz cuarta de c c

d. 5 : Raz quinta de c c

Observacin:

De la definicin, el caso de la raz cuadrada de un real 0c nos dice que es un real 0b , es decir

c b si y solo si 2

0

0

c

b

b c

En otras palabras, se puede escribir 2b b , es decir 2

si 0

0 si 0

si 0

b b

b b

b b



3

Ejemplo

23 3 ya que 3 0

2

3 3 3

Otra forma de expresar una raz es a travs de una potencia de exponente racional. En este caso se

escribe m

n m nc c , con 0n

Ejemplo

3

5 3 56 6

Esta forma de expresar una raz y con el apoyo de la amplificacin y simplificacin de fracciones una

raz se puede reescribir.

Ejemplo

2 4

3 62 43 63 625 5 5 5 5 625

6 3

310 10 53 2 6 310 510 51064 4 2 2 2 2 2 8

Propiedades de las races

1. Para 0, y n

n nn a a a a n

2. 0 0n Para todo n

3. 1 1n Para todo n

4. n n na b ab

5. n nna b a b

6. n n n na

a b a bb

(con 0b )

7. Para 0, y m

n mn a a a n

8. m n m na a

9. mn m nn ma b a b



4

Races semejantes. Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo ndice y cantidad subradical. Por ejemplo los

radicales 3 y 35 son semejantes. Tienen el mismo ndice, 2, y la misma cantidad subradical, 3.

Ejemplo

Determine el valor de 27 243 3 3 5 2 427 243 3 3 3 3 3 3 3 3 3

=3 3 9 3 3

= 5 3

Racionalizacin

Cuando en una fraccin, se presentan races en el denominador, estas se pueden escribir como

fracciones equivalentes, pero sin que figuren races en el denominador. El proceso para realizar lo

anterior se llama racionalizacin.

En general, se presentan tres situaciones en la racionalizacin.

1. Cuando en el denominador se presenta una raz cuadrada. En este caso, tenemos

a a b a b

bb b b Con 0b

2. Cuando en el denominador se presenta una raz de ndice distinto a 2, se debe amplificar por una raz de igual ndice donde el nuevo exponente sumado con el exponente inicial sumen el

ndice de la raz. n nn m n m

n n nm m n m

a a b a b

bb b b

con 0n , 0m , 0b

3. Cuando en el denominador se presenta un binomio con races cuadradas se debe amplificar por el conjugado del binomio.

a. a a ba a a b

a ba b a b a b

con 0a , 0b

b. a a ba a a b

a ba b a b a b

con 0a , 0b



5

Ecuaciones con races Una ecuacin con radicales es una igualdad en la que intervienen races cuyas incgnitas forman parte

de una o ms cantidades subradicales.

Observacin:

En una ecuacin con radicales, las soluciones encontradas algebraicamente deben ser siempre comprobadas,

de modo que la ecuacin original est definida para valores reales.

Ejemplo

1. Determine el valor de x en la ecuacin 5 2 6x x

Solucin

5 2 6

5 6 2

x x

x x

2

5 36 12 2 2

12 2 33

4 2=11

x x x

x

x

2

16 2 121

121 2

16

121 2

16

89

16

x

x

x

x

Luego, al reemplazar el valor encontrado en la ecuacin se tiene que 89 89

5 2 616 16

, es

decir el valor encontrado, es solucin de la ecuacin.



6

2. Determine el valor de x en la ecuacin 2 2 2x x

Solucin.

Las restricciones para los valores de x estn dadas solo por 2 2 0x , pero como todo cuadrado de un nmero es positivo, no existen restricciones en este caso. Ahora, resolviendo, tenemos

2 2 2 x x 2

2 2 2 4 4

4 2

1

2

x x x

x

x

Luego, al reemplazar el valor encontrado se obtiene 9 3

4 2 , ya que por definicin de raz

cuadrada el valor de la raz nunca puede ser negativo.

Ejercicios

1. 3 8 4

A. 5 4 B. 6 4 C. 0 D. -4 E. 4

2. 6 7 7

A. 6 7 B. 6 49 C. 6 47 D. 12 7 E. 12 49

3. 0,09

A. 0,003 B. 0,018 C. 0,03 D. 0,18 E. 0,3

4. El valor de 15 5

5

corresponde a:

A. 3 1 B. 5 1 C. 3 D. 2 E. 75 5

5. 2

12 3

A. 78 B. 63 C. 21 D. 9 E. 3



7

6. 28 63 252 7

A. 2 3 7 B. 1 C. 23 D. 1 E. N.A.

7. El valor de 2 18 3 50

A. 6 2 B. 15 2 C. 21 2 D. 42 E. N. A.

8. La suma de 1

0 27 16 es igual a:

A. 1

25 B. 5 C. 11 D. 15 E. 17

9. El resultado de 6

3 3 32 16 54 es

A. 256 B. 324 C. 64 D. 125 E. 216

10. Si 2a , 3b y 5c , entonces cul(es) de las expresiones siguientes es(son)

equivalente(s) a 60 .

I. 2bc II. 2 2 2a b c III.

2a bc

A. Slo I B. Slo II C. Slo III D. I y II E. I y III

11. Al reducir 3 4 53 3 3 3 se obtiene

A. 120 43 B. 60 433 C. 11 3 D. 3 3 E. N. A.

12. El producto de x y

x yx y es:

A. x y

xy xy

B. x y

xy xy

C. xy

xy D. xy E. N. A.

13. 5

5

a

a

A. 5

5

a

a

B.

5

5

a

a

C.

2 25

5

a

a

D.

2

5

a

a E. 5a



8

14. Si 3a , 3 4b y 4 5c , el orden correcto entre ellos es:

A. c b a

B. b c a

C. a b c

D. c a b

E. a c b

15. 25 9

8 2

A. 7

8 B.

2

4

C.

6

3 D. 2 E.

2

4

16. La solucin de la ecuacin 2 2x x es:

A. 6

4

B. 9

4

C. No tiene solucin real

D. No se puede calcular

E. N. A.

17. Si 3a y 4 12x , entonces el valor de 2 1ax es igual a

A. 7 B. 36 C. 37 D. 4 36 1 E. 12 3 1

18. Por cul(es) de las siguientes expresiones se puede amplificar la fraccin 3

5

9 para

racionalizarla?

I. 3 9 II. 3 81 III. 3 3

A. Slo I B. I y II C.I y III D. II y III E. I, II y III

19. Qu valor de a satisface la igualdad 336

272

ax x ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. -1 E. -2



9

20. Cul(es) de las siguientes expresiones es(son) equivalentes(s) con 1

2ax ?

I. 3

ax

x II. a x III.

3ax

x

A. Slo I B. Slo II C. I y II D. II y III E. I, II y III

21. Qu expresin resulta al reducir 8

50 322

?

A. 8 B. 8 2 C. 10 2 D. 9 4 E. N. A.

22. Qu expresin se obtiene al racionalizar 2 5

10?

A. 2 B. 5 C. 2 50 D. 5 50 E. 50

10

23. Cul de las siguientes expresiones es equivalente con 6 1264

1b

b

?

A. b B. 2b C. 2b b D. 1b b E. b b b

24. El valor de

21 3 53 4

1512 3 16

32

corresponde a:

A. 7

2 B.

7

2 C.

9

2 D.

9

2 E. N.A.

25. 1

0,3 0,93

A. 1 B. 0,3 C. 0,09 D. 0,09 E. 0,01

26. El valor de 1 1

41 3 1 3

es igual a:

A. 2 3 B. 2 3 C. 4 D. 4 3 E. 4 3

27. La expresin 33 2 es equivalente a:

A. 3 6 B. 6 C. 6 5 D. 6 6 E. 6 108



10

28. 2 8 18

A. 2 B. 8 C. 12 D. 28 E. 72

29. Si 0a , entonces 8 8 11 8x xa a

a

es igual a:

A. 2a B. a C. a D. 3 a E. N. A.

30. Cul(es) de los siguientes nmeros es(son) equivalente con 2

3 ?

I. 9 II. 3 III. -3

A. Slo I B. Slo II C. Slo III D. I y II E. II y III

31. AL racionalizar la expresin 8 2

1

2 se debe amplificar por

A. 8 22 B. 8 32 C. 8 42 D. 8 52 E. 8 62

32. Cul(es) de las siguientes igualdades es (son) verdadera(s)?

I. 44 45 3 5 3 II. 2 5 10 III. 3 33 2 54

A. Slo I

B. Slo III

C. Slo I y II

D. Slo I y III

E. Ninguna de ellas.

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