5. Energía Magnetica

8/19/2019 5. Energía Magnetica

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Energía Magnética

EE-521 Propagación y

Radiación Electromagnética I

Miguel Delgado León

MSc Ing Miguel Delgado León


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Introducción


(1)V iR

Establecer un campo magnético requiere un gasto de energía. Si una fuente de

tensión se aplica a un circuito, entonces la corriente puede expresarse como:

es la tensión inducida y la resistencia del circuito de

corriente. El trabajo realizado por para mover el

incremento de carga a través del circuito es:

se obtuvo con la ley de Faraday. representa

la conversión irreversible de la energía eléctrica en calor.

V

RV

dq i dt

2 2(2)V dq V idt idt i Rdt i d i Rdt

2i Rdt

es el trabajo efectuado contra la tensión inducida en el circuito. Es laparte del trabajo realizado por la fuente para alterar el campo magnético.

Despreciando el término (implica considerar el circuito conductor

perfecto). Escribimos:

i d

2i Rdt

(3)b

d W i d

i d

Donde el subíndice indica que es el trabajo realizado por la fuente de

energía externa (baterías)

b


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Cambio de la energía magnética y energía

magnética de circuitos acoplados


Para un circuito rígido estacionario que no tenga otras pérdidas por efecto Joule

(es decir, no hay histéresis) , el término es igual al cambio de la energíamagnética del circuito.

Si hay n circuitos, entonces, según (3), el trabajo eléctrico

hecho en contra de la tensión inducida está dado por:

1 (4)

n

b k k k

d W i d

bdW

El flujo en el circuito k es debido a él y los otros circuitos:

1 2

1

(5)n

k k k k k n k j k

j

Diferenciando (5) llegamos a:

1 1

(6)n n

j k

k j j k j

j j j

d d d i M d i

d i

Reemplazando (6) en (4):

1 1

(7)n n

b j k k j

k j

d W M i d i

Las corrientes e son instantáneas. La relación con las corrientes máximas

e alcanzadas es: (donde ) que

reemplazado en (7) e integrando obtenemos:

k i

ji

k k j j j ji f I i f I d i I df k I j I 0 1 f


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Energía magnética de circuitos acoplados


11

M L

La energía magnética para dos circuitos (n=2) es:

1

1 1 1 1 1 10

1

2

n n n n n n

b j k k j b j k k j j k k jk j k j k j

d W M I I f df W M I I f df M I I

Por lo tanto la energía magnética de n circuitos acoplados es:

1 1

1(8)

2

n n

m j k k j

k j

W M I I

Para n=1 ( k=j=1, ). La energía magnética será:21 (9)

2m

W L I

Es decir, puede obtenerse la inductancia de un circuito a partir

de la energía magnética.

2

2(10)m

W L

I

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1(11)

2 2m

W L I M I I L I

De aquí:

El flujo sobre el circuito k es:1 1

n n j k

j k j j k

j j j

M I I I

Reemplazando en (8) resulta:

1

1

(12)2

n

m k k k W I


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Energía magnética en función de los campos

magnéticos

El flujo magnético sobre el circuito k es conocido como que

reemplazando en (12) obtenemos (ten en cuenta que: ):

( )

k

k k

C

A r d r

1

1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) (13)

2 2 2k

n

m k k k k

k C todo el todo el espacio espacio

W A r d r I A r d r I A r J r dV

k k I dr J dV

Teniendo en cuenta que entonces (13) cambia a: H J 1 1

( ) ( ) ( ) ( ) (14)2 2mtodoel todoel espacio espacio

W A r J r dV A r H r dV

Aplicando la identidad conocida (considerando ) B A

A H H A A H H B A H A partir de está identidad (14) se transforma en:

0

1 1 1 1ˆ( )

2 2 2 2m

todoel todoel todoel Superficietodoespacio espacio espacio el espacio S

W H B dV A H dV H B dV A H n dS

La integral de superficie es cero, entonces: 1 (14)2

m

todoel espacio

W H B dV


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Ejemplos


Ejemplo 1

Dos circuitos superconductoresaislados conducen ciertas

corrientes cuando se colocan de tal

manera que sus inductancias

mutuas sean cero. Posteriormente

se mueven hasta que su

inductancia mutua es M. Si loscircuitos son idénticos con auto

inductancia L y tienen las

corrientes iniciales Io encuentre las

corrientes finales I

Ejemplo 02

Encontrar la energía, la inductanciainterna y externa de una línea de

transmisión coaxial formada por dos

conductores. El conductor interno tiene

un radio a y el conductor externo es una

cascara de radio b (b>a).


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Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos

magnéticosLa fuerza magnética puede calcularse mediante la ley de fuerzas de Ampere.

Está fuerza puede también calcular mediante energía magnética.Supongamos que “permitimos” (desplazamiento virtual) que la

fuerza magnética desarrolle un trabajo mecánico:

. (15)mec md W F d r

Este trabajo tiene dos contribuciones: . (16)mec b md W d W d W

Es decir la diferencia de la variación de la energía de la fuenteexterna (batería) y la variación de la energía magnética.

A corriente constante: El circuito está conectado a la fuente. La variación de la

energía magnética según (12) es: 1 1(17)

2 2m m

W I d W d I

La variación de la energía de la fuente externa es según (3): (18)bd W i d Es decir es el doble que reemplazando en (16) y luego en (15):2

b md W d W

(19)m m m m I d W F d r F W El subíndice indica a corriente constante

Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (20)mm

I

W F x

x


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Fuerzas y momentos de rotación sobre circuitos

magnéticosSi el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse, tenemos el momento de rotación

ˆ (21)m

I

W n

A flujo constante: El circuito está aislado de la la fuente. La

variación de la energía magnética según (12) es:

1 1 (22)2 2

m mW I d W d I

0 (23)b

d W i d De la ecuación (3) se obtiene:

Reemplazando (23) en (16) y luego en (15) obtenemos:

(24)

m m m m

d W F d r F W

El subíndice indica a flujo constante

Si el circuito se desplaza en una dirección ejemplo x ˆ (25)mm

W F x

x

Si el circuito gira (rota) en lugar de desplazarse,

tenemos el momento de rotación ˆ (26)m

W n


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Energía propia y de interacción

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1(27)

2 2mW L I M I I L I

Como ya sabemos, la energía magnética de dos

circuitos es

El primer término es la energía propia del circuito 1, el

tercer término es la energía propia del circuito 2 y el

segundo término es la energía de interacción.

Suponiendo que las corrientes son constantes y en el caso de un desplazamientovirtual la única cantidad que varia es M. Entonces la fuerza magnética sobre el

circuito 2 será: 1 2 (28)m m I I F W I I M

Está fórmula puede modificarse. Recurriendo a la definición de la inductancia

mutua: que reemplazado en (28) tenemos:1 21 2 1

1

M M I I

1 2 2 1 2 1 2 2 (29)m externo I I F I I M I I M I I


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Ejemplos


Ejemplo 1

Una corriente recta de longitudinfinita lleva una corriente I1. Otra

espira circular de radio a conduce

una corriente I2 como se muestra

en la figura. Si los dos circuitos

están en el mismo plano. Determine

al fuerza magnética sobre la espira.

Ejemplo 2

Un conductor circular en forma dealambre de diámetro d, resistividad r y

densidad de masa rm cae desde una

gran altura en medio de un campo

magnético Bz=Bo(1+kz) donde. El

diámetro D siempre es paralelo al plano

XY. Determine la velocidad final.


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Interacción de un cuerpo magnético con un campo

externo (cambio de energía)Cuando se introduce un material magnético en un campo inicial, el

campo cambia como se observa en la figura. El cambio de energía

es:

0 0 0

1 1

2 2m m m

todoel todoel espacio espacio

W W W B H dv B H dv

No es difícil demostrar que este cambio de energía es igual a:

0 0

1

2c

m m m

v

W W W M B dv

es la variación del volumen del cuerpo. La fuerza magnética

sobre el cuerpo en una situación a flujo constante será:cv

0

1

2c

m m

mv

W W

F M B dv y y y


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Ejemplos


Ejemplo 1

El campo de inducción magnética

entre los polos de un electroimán esrelativamente uniforme y se mantiene

en un valor constante Bo. Una placa

paramagnética delgada que solo

puede moverse verticalmente se

coloca en el campo como se muestra

en la figura . La susceptibilidad de la

placa es cm y su area de sección

transversal es A

a) Calcule la fuerza sobre la placa

b) Obtenga el valor numérico si

Bo=0.25 T y A=1 cm2


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Pérdidas por corrientes de Foucault y pérdidas por

histéresis

Los núcleos de material ferro magnético son construidos con laminas para disminuir

las perdidas por corrientes parasitas

Cuya solución es

ˆ ˆ ˆ

0

00 0

x

y

B x y z z

x y z

E

y x E B

z t

( ) x y B

E z z k t

( ) x y

B E z z t

2

F y

V

P E dv Potencia disipada

en la placa por

efecto de JouleV, es el volumen de la placa V= lx ly e


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2 / 2

2

0 0 / 2

lylx e

x F

e

B

P z dz dx dyt

2 2

2

12 12

x x F

B B P lx ly e e v

t t

Suponiendo que Bx varíe senoidalmente cos x m B B t

2 2 2 2

12 F m

P B sen te v

Calculando el valor medio de potencia, teniendo en cuenta que para el cálculo

de perdidas interesa en particular el valor instantáneo.El valor medio de

2 sen t Es 1/2

F F

P p

V

La potencia por unidad e volumen es

2 2 21

24 F m p e B


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•De la expresión anterior se puede concluir que pf depende del cuadrado de la

espesura de la lamina.

• pf depende de ω2 (frecuencia)

• Los materiales que presentan baja conductividad presentan pequeñas pérdidas

Por lo general una frecuencia es impuesta por condiciones de funcionamiento del

Dispositivo.

Se debe de adaptar una espesura de la lamina a la pulsación del campo.

Cuanto mayor sea la frecuencia mas delgada debe ser la lamina.


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Pérdidas por Histéresis


Otra pérdida en forma de calor son lasasociadas con el mantenimiento de la curva de

histéresis

Llamando Ph a la potencia asociada al ciclo de

histéresis.

Wh la energía consumida en un ciclo.

h hW P T

1h hW P

f

h h P W f

0

B

hw HdB Densidad volumétricade energía magnética

h hW w vDonde v es el volumen


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h P A v f

hW A v

Se demuestra que la energía por unidad de volumen es el área encerrada

por la curva de histéresis, es decir

0

B

hw HdB A

Entonces la energía consumida en un ciclo es:

La pérdida en todo el núcleo debido a la histéresis será

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