5. Circulación, vorticidad y divergencia

Introducción a la Dinámica de la Atmósfera 2020 1

5. Circulación, vorticidad y divergencia

Como hemos visto, la atmósfera está caracterizada por la presencia de torbellinos de todaslas escalas espaciales y temporales. En latitudes medias el torbellino más importante es elciclón de escalas sinópticas, caracterizado por centros de presión con escalas horizontalesde 500-1000 km y vientos que giran alrededor. En este capitulo estudiaremos doscantidades físicas que ayudan a cuantificar la rotación: circulación y vorticidad.Derivaremos una ecuación para la vorticidad de un fluido y veremos que cambios en lavorticidad están directamente asociados a cambios en la divergencia que, por continuidad,implican movimientos verticales. Por último, dado que la atmósfera en latitudes medias estáen balance de viento térmico aproximado, consideraremos aproximaciones de lasecuaciones de vorticidad y termodinámica apropiadas para flujos con Ro<<1, lo cual darálugar al sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones que son fundamentales para lacomprensión de la dinámica de los ciclones extratropicales.

5.1 Circulación

Se define la circulación C en una región simplemente conexa como

C=∮ V⃗ . d⃗l=∮|V|cosαdl

donde dl representa el vector desplazamiento a lo largo del borde de un elemento de fluidocomo se ilustra en la figura 5.1.

Figura 5.1 – Cálculo de la circulación usando un circuito de fluido.

Notas: Prof. Marcelo Barreiro


Por convención, la integral anterior se realiza en sentido antihorario, por lo que C>0 (C<0)corresponde a una rotación anticiclónica (ciclónica) en el hemisferio sur. Reescribiendo laecuación en coordenadas cartesianas en la dirección horizontal

donde U y V representan las componente de la velocidad tangencial alrededor de unelemento de fluido en las direcciones x e y, respectivamente.

La circulación es una medida macroscópica de la rotación de una área finita del fluido. Parademostrarlo podemos considerar un disco de fluido de masa unidad de radio R con rotaciónsólida a una velocidad angular Ω (es decir, el fluido se mueve como si fuera un cuerporígido y no existen esfuerzos de corte que deformen las parcelas). En este caso, U=ΩxRdonde R es la distancia del eje de rotación al borde del disco. Entonces, la circulaciónalrededor del disco está dada por (dl=Rdλ)

C=∮U . dl=∫0

2πΩR2 d λ=2Ωπ R2

En este caso la circulación es 2π veces el momento angular ( L⃗= r⃗∧ p⃗=R⃗∧(Ω⃗∧R⃗) ) deldisco de fluido alrededor de su eje de rotación. A su vez, C/πR2=2Ω de tal forma que lacirculación dividida por el área del disco es dos veces la velocidad angular de rotación deldisco. A diferencia del momento angular, la circulación puede ser calculada sin referenciade un eje de rotación.

En general estamos interesados en estudiar cambios en la circulación pues estos semanifiestan como intensificaciones de los sistemas de alta y baja presión. Por lo tanto,estudiaremos la derivada temporal de C a lo largo del movimiento del fluido. Considerandoel caso tridimensional d⃗l=(dx , dy , dz )



Por la regla de la cadena

Sustituyendo

El segundo término de la derecha puede escribirse como

pues es la integral cerrada alrededor de un elemento de fluido.

Ahora, si usamos la aceleración absoluta podemos escribir

y como solamente la fuerza gradiente de presión y la gravitacional (despreciando fricción)influencian la aceleración absoluta

donde



en una superficie de altura constante. Puesto que la componente vertical del vectordesplazamiento, dl, es simplemente dl.k=dz, entonces

y

pues dΦ es un diferencial perfecto y por lo tanto no se realiza trabajo contra la gravedad sila parcela de fluido termina su recorrido en el mismo lugar que empezó,independientemente de su recorrido (la integral en un camino cerrado de una fuerzaconservativa es nula). Por lo tanto

El término de la izquierda describe la razón de cambio lagrangiano de la rotación del fluido,por lo que la ecuación anterior representa el análogo de la aceleración angular en cuerpossólidos pero para un fluido. El término de la derecha es el equivalente del torque para unfluido y se conoce como término solenoidal.

El término solenoidal puede interpretarse de la siguiente manera. El teorema de Stokesestablece que la circulación de un campo vectorial F alrededor de una trayectoria cerrada Les igual a la integral de superficie del rotor de F sobre la superficie abierta A circunscritapor L. Entonces,

∮α∇ p. d⃗l=∫A∇∧(α∇ p). d A⃗

donde d A⃗=n̂ dA siendo n perpendicular a la superficie. La expresión anterior se puedeexpandir en

∫A∇∧(α∇ p) .d A⃗=∫A

α(∇∧∇ p) .d A⃗+∫A(∇ α∧∇ p) . d A⃗



Como el primer término de la derecha es idénticamente nulo, se obtiene

d Ca

dt=−∫A

(∇ α∧∇ p). d A⃗

Para interpretar el resultado consideremos el caso donde el camino de integración dado pordl se encuentra en un plano y la superficie A es chata. En este caso

−∫A(∇ α∧∇ p). d A⃗=−∫A

|∇α||∇ p|sinβdA

donde β es el ángulo entre los gradientes de α y p. En este caso dCa/dt<0 y se generará unacirculación horaria (figura 5.2).

∇α

β

∇ p

Figura 5.2 - Líneas punteadas indican isolíneas de presión; líneas contínuas isolíneas devolumen específico.

Nota que para un fluido barotrópico ρ=ρ(p) y la ley de gas ideal implica que

por lo que



el término solenoidal es nulo y la circulación absoluta se conserva siguiendo el movimientode las parcelas, lo cual se conoce como el teorema de circulación de Kelvin.

5.1.1 Brisa marina La atmósfera real no es barotrópica, o sea que las superficies de presión y densidadconstante se intersectan. Como ejemplo, consideremos el caso de la brisa marina, donde lacolumna de aire es más baja sobre el océano por ser mas fría que sobre el continente. Eneste caso, aun si la presión es muy parecida en superficie, las isobaras se inclinan hacia elmar mientras que las isopicnals se inclinan hacia la tierra (más cálida). La intersecciónentre isobaras e isopicnals forma una serie de paralelogramos llamados solenoides, dedonde proviene el nombre del término (Figura 5.3)

Figura 5.3 – Cálculo de la circulación en la frontera mar-tierra.



Para el caso de la brisa marina mostrado la ecuación que rige el movimiento es

d Ca

dt=−∮

dpρ

y es posible calcular el cambio lagrangiano de la circulación absoluta evaluando -dp/ρalrededor del camino indicado. El movimiento en AB es a lo largo de una isóbara y por lotanto no contribuye a la integral. En BC, dp<0 por lo que el término es positivo. En CD elmovimiento es nuevamente isobárico y no hay contribución a la integral. En DA el términoes negativo. Como la densidad promedio en BC es menor que en DA la contribuciónpositiva de BC es mayor que la contribución negativa de DA resultando en un aumento dela circulación absoluta alrededor del camino. Por lo tanto, en este ejemplo aparecerá unacirculación en la cual el fluido menos denso sube y el más denso baja.

Para calcular la aceleración que resulta de la intersección del término solenoidal aplicamosel teorema de circulación previa sustitución de la ley de gases ideales:

d Ca

dt=−∮RT d ln p

Como vimos más arriba solo contribuyen a la integral de línea los segmentos verticales delcircuito. Si DA tiene una temperatura media T1 y BC una temperatura media T2 el aumentoen la circulación está dado por

d Ca

dt=R ln (

pp−δ p

)(T 2−T 1)>0

Si V es la velocidad media en todo el circuito, h la altura promedio y L el largo promedio sepuede escribir Ca=2V(h+L) y

d Vdt=

R ln(p

p−δ p)

2(h+L)(T 2−T 1)

Asumiendo p=1000 hPa, δp=100 hPa, T2-T1=10 C, L=20 km, h= 1 km, la ecuación anteriorda una aceleración de 7x10-3 m/s2. En ausencia de fricción esto produce una velocidad de 25



m/s en 1 hora.

El resultado del movimiento será inclinar las isopicnals de tal forma que se vuelvan másparalelas a las isobaras, o sea, tiende a una situación barotrópica en la cual el cambio en lacirculación sería nula. Tal circulación también baja el centro de masa del fluido y reduce laenergía potencial del sistema. Esta reducción de la energía potencial es, en realidad, unaconversión a energía cinética del movimiento, conservando la energía total.

En la realidad, a medida que el viento aumenta la fricción reduce la aceleración y laadvección de temperatura reduce el contraste de temperatura mar-tierra. De esta forma sellega a un balance entre la generación de energía cinética por el término solenoidal(asociado al calentamiento diferencial tierra-mar) y la disipación de energía.

Notar que para un gas ideal el término solenoidal puede escribirse en término de losgradientes de temperatura y presión por lo que la ecuación para la circulación absolutaqueda de la forma

d Ca

dt=−R∫A

(∇ T∧∇( ln p)).d A⃗

Así, en el caso de la brisa marina la figura 5.4 muestra los términos de la ecuación anteriory la flecha negra indica el sentido de la circulación resultante.

Figura 5.4 – Cálculo del término solenoidal para la brisa marina.

Durante la nochecita el gradiente de temperatura mar-tierra se invierte por lo que la


Grad T

Grad P


circulación que se desarrolla tiene sentido contrario (brisa de tierra).

5.1.2 Teorema de Circulación de Bjerknes

Hasta ahora consideramos la circulación absoluta. Para calcular la circulación relativa, larelevante para nuestro estudio, debemos calcular la circulación que resulta de la rotación dela Tierra y luego restarla. Para ello consideremos la velocidad alrededor de un círculo delatitud

V⃗=Ω⃗∧R⃗

donde R=acosϕ . Por lo tanto, el movimiento zonal hacia el este resultante por elmovimiento de la Tierra es U=Ωa cos ϕ . Ahora calculamos la circulación alrededor delcircuito latitud-longitud mostrado en la figura 5.5.

Figura 5.5 – Caja latitud-longitud para calcular la circulación asociada a la rotaciónterrestre.

En coordenadas esféricas la longitud de un elemento en la dirección zonal esdx=acosϕδ λ . Como la rotación de la Tierra no contribuye a movimientos en la



dirección meridional la circulación resultante Ce es

Usando las identidades trigonométricas

podemos escribir

El área de la caja es

y considerando los límites

podemos expresar el área como

Combinando las ecuaciones se ve que la circulación que resulta de la rotación terrestre es



y se puede escribir como

C e=2Ω Ae

donde Ae es la proyección de A en el plano ecuatorial (figura 5.6).

Figura 5.6 – Esquema representando el área A centrada en la latitud Φ y su proyección enel plano ecuatorial.

Entoncesd C e

dt=2Ω

d A e

dt

Combinando las ecuaciones llegamos a una expresión para la razón de cambio lagrangianode la circulación relativa

d C rel

dt=

d Ca

dt−

d Ce

dt=−∮

dpρ −2Ω

d Ae

dt



la cual se conoce como el teorema de circulación de Bjerknes. Este teorema establece quela circulación relativa puede cambiar debido (1) al término solenoidal y (2) a la razón decambio del área encerrada por el fluido proyectada en el plano ecuatorial.

Para un fluido barotrópico, es posible integrar el teorema de Bjerkness siguiendo elmovimiento desde un estado inicial (señalado por 1) hasta un estado final (2)

lo cual indica que para un fluido barotrópico la circulación relativa para un circuito cerradocambiará si cambia el área horizontal encerrada o cambia la latitud.

Para ejemplificar consideremos que una región circular de aire de radio 100 km en repososituada originalmente en el ecuador es movida hacia el polo sur a lo largo de una superficieisobárica preservando su área. Entonces, el cambio en la circulación de la región de aire ensu circunferencia será

C( polo)−C (ecuador )=−2Ωπ r2(sin(−90)−sin(0))

C ( polo)=2 πΩr2=2πV r

V=C( polo)

2π r=Ωr

con V la velocidad tangencial en el perímetro. Para r=100 km, V~7 m/s y el signo positivoindica que la circulación es positiva por lo que el aire en el polo sur adquirió circulaciónrelativa anticiclónica.



5.2 Vorticidad

En el primer capítulo consideramos la vorticidad como una propiedad cinemática delfluido. Además, la vorticidad es una medida microscópica de la rotación de un fluido y esmás fácil de tratar que la circulación. La vorticidad es una cantidad vectorial que se definecomo el rotor del campo de velocidades. Como para caracterizar la atmósfera trabajamos enun sistema de coordenadas que gira es necesario definir la vorticidad relativa y la vorticidadplanetaria, cuya suma es la vorticidad absoluta.

La vorticidad relativa del fluido es

w⃗=∇∧ u⃗=(∂w∂ y−∂ v∂ z

,∂ u∂ z−∂w∂ x

,∂ v∂ x−∂u∂ y)

mientras que la vorticidad planetaria se define como 2Ω, y la vorticidad absoluta es w⃗a=∇∧ u⃗+2Ω .

En general para estudiar los movimientos atmosféricos consideraremos únicamente lacomponente vertical (local) de la vorticidad. En el caso de la vorticidad relativa se expresacomo

ζ= k̂ . w⃗=k̂ .(∇∧u⃗)=∂ v∂ x−∂u∂ y

El signo de la vorticidad es el mismo que el de la circulación. Regiones con vorticidadrelativa positiva en el H.N. están asociadas a ciclones; en el H.S. los ciclones estánasociado a regiones con vorticidad relativa negativa. Por lo tanto, la distribución devorticidad relativa es muy útil para el diagnóstico de sistemas de latitudes medias.

Para determinar la relación física entre vorticidad y circulación consideremos en el planohorizontal el elemento de fluido mostrado en la figura 5.7. La velocidad en el lado A estádada por u mientras que en el lado D está dada por v. Expandiendo u y v según Taylor esposible obtener expresiones para las velocidades en los lados C y B. Entonces, lacirculación es



Como el área del elemento de fluido es δxδy encontramos que en el límite del áreatendiendo a cero la vorticidad relativa es simplemente la circulación relativa dividida elárea del elemento.

Figura 5.7 - Circuito para vincular circulación con vorticidad

Recordando el cálculo de la circulación terrestre Ce=fA y la figura 5.5, la componentevertical de la vorticidad planetaria es el parámetro de Coriolis f, y es igual a dos veces larazón de rotación local de la Tierra (ver figura 5.8)

Vort planetaria=Ce

A=f=2Ωsin ϕ .



Figura 5.8 – Vorticidad planetaria (no absoluta!)

Por lo tanto, la componente vertical de la vorticidad absoluta es

η=ζ+f=(∂ v∂ x−∂u∂ y)+ f

En forma más general, la relación entre vorticidad y circulación está dada por el teorema deStokes aplicado al vector velocidad

donde A es el área encerrada por el contorno y n es un versor normal al elemento de áreadA (positivo de acuerdo a la regla de la mano derecha). Por lo tanto, el teorema de Stokesestablece que la circulación alrededor de cualquier contorno cerrado es igual a la integral dela componente normal de la vorticidad sobre el área encerrada por el contorno. Así, para unárea finita la circulación dividida entre el área da el promedio de la componente normal dela vorticidad en la región considerada.



5.3 Vorticidad en coordenadas naturales

La interpretación de la vorticidad es más simple considerando coordenadas naturales.Consideremos la componente vertical de la vorticidad. Si calculamos la circulación en elcontorno infinitesimal mostrado en la figura 5.9 obtenemos

Figura 5.9 – Cálculo de la circulación en un circuito infinitesimal en coordenadasnaturales.

Se tiene que

donde δβ es el cambio angular en la dirección del viento en la distancia δ s . Entonces

y, como la vorticidad es circulación por unidad de área, cuando el área tiende a cero se



obtiene (notar que la figura 5.9 es una foto y por lo tanto muestra las líneas de corriente)

donde Rs es el radio de curvatura de las líneas de corriente. La expresión anterior sugiereque la componente vertical de la vorticidad tiene dos contribuciones: (1) la variación de lavelocidad del flujo en la dirección normal, llamada vorticidad de corte, y (2) la variaciónde la dirección del flujo a lo largo de una línea de corriente, llamada vorticidad porcurvatura.

Por lo tanto, aún movimientos rectilíneos pueden tener vorticidad si la velocidad cambia enla dirección normal al eje del flujo. En el ejemplo mostrado en la figura 5.10 una parcela defluido situada al norte del máximo de velocidades tenderá a girar en sentido antihorario,mientras que una parcela de fluido al sur del máximo tenderá a girar en sentido horario.

El caso de un flujo constante en una región con curvatura se muestra en la figura 5.11. Amedida que las parcelas se mueven a través de la vaguada la parte superior de una ruedacon paletas imaginaria debe recorrer una distancia mayor que la parte inferior, generandoun giro horario, consistente con una vorticidad por curvatura negativa.

Notar que en el H.S. el máximo de vorticidad relativa tiende a ocurrir en una cuña al nortede la región del máximo de vientos pues los dos términos V/Rs y (-dV/dn) son positivos,mientras que el mínimo de vorticidad ocurre en una vaguada al sur del máximo de vientosya que los términos V/Rs y (-dV/dn) son negativos.

----- Resolver Ejercicios 1 al 6 de Práctico 4 -----



Figura 5.10 – Ejemplo de vorticidad de corte.

Figura 5.11 – Ejemplo de vorticidad por curvatura.



5.4 Vorticidad potencial

Como vimos en la sección 3.5.1, tomando el diferencial logaritmo de la temperaturapotencial y usando la 1a ley de la termodinámica es posible mostrar que

c pd ln θ

dt=

Q̇T=δS

donde S es la entropía. Esta ecuación establece que en movimientos adiabáticos se conservala temperatura potencial. Los flujos en latitudes medias, lejos de áreas de precipitación,conservan θ y por lo tanto es útil usar superficies isentrópicas como coordenada verticalpara describir estos movimientos. O sea, el flujo no es a los largo de superficies isobáricas,sino sobre superficies isentrópicas.

Recordemos que las superficies isentrópicas se inclinan cuesta abajo hacia regiones cálidasy cuesta arriba hacia regiones frías (figura 5.12). Además, en una región de gran estabilidadvertical (“vs” en figura 5.12) las superficies isentrópicas están muy juntas, mientras que enregiones menos estables (“ls”) están más separadas.

Figura 5.12 – Sección vertical mostrando la variación de la temperatura potencial enregiones de aire cálido y frío.

Considerando la ley de gases ideales, la definición de la temperatura potencial θ puedeexpresarse como una relación entre la presión y la densidad para una superficie de θ



constante (o isentrópica)

o

Como cp=R+cv, vale

lo cual muestra que para un flujo en superficies isentrópicas la densidad es una funciónsolamente de la presión, o sea que el flujo se comporta como barotrópico. Por lo tanto, eltérmino solenoidal es nulo

∮dpρ ∝∮dp(1−cv/ cp )=0

y el teorema de Bjerknes puede escribirse como (Crel=C)

d Cdt=−2Ω

d Ae

dt

donde C es evaluado en una superficie isentrópica. Como ζ=C/A, para una parcelainfinitesimal de aire vale

o sea que el producto (ζθ+f )A es constante en un flujo adiabático (y sin fricción) en



superficies isentrópicas. ζθ es la componente vertical de la vorticidad relativa evaluada enuna superficie isentrópica.

Asumamos ahora que la parcela se mueve entre dos superficies de temperatura potencialconstante θ0 y θ0+δθ que están separadas por un -δp como muestra la figura 5.13. La masade la parcela, δM=(-δp/g)δA se debe conservar siguiendo el movimiento. Por lo tanto

ya que δM y δθ son constantes. Sustituyendo en la ecuación

y tomando el límite δp->0 se obtiene

La cantidad P [K/kg m2/s] es la forma en coordenadas isentrópicas de la vorticidadpotencial de Ertel (1942). Se define con el signo negativo para que sea (en general)positivo en el H.N. Por lo tanto la vorticidad potencial se conserva siguiendo el movimientoen un flujo adiabático y sin fricción. La vorticidad potencial se expresa en unidades devorticidad potencial (PVU) donde 1 PVU = 10-6 K/kg m2/s.

Si consideramos la parcela como una columna (figura 5.13), la vorticidad potencial sepuede ver como el cociente entre la vorticidad absoluta y la altura efectiva de la columna.En la expresión de arriba la altura está dada por la distancia entre dos superficies detemperatura potencial constante medidas en coordenadas de presión: cuanto mayor es−∂θ∂ p , mayor es la estabilidad estática y menor es la altura de la columna.

El nombre de “vorticidad potencial” proviene del hecho de que existe “potencial” paragenerar vorticidad relativa en una columna si cambia la latitud (f) o la estabilidad estática



vertical. Por ejemplo, si se mantiene la latitud fija, una separación de las superficies de θconstante (

−∂θ∂ p decrece y la estabilidad estática también) implica que la columna se

estira y como consecuencia la vorticidad relativa aumenta causando que la columna giremás rápido.

Figura 5.13 – Columna cilíndrica de aire moviéndose adiabáticamente, conserva P.

Por otro lado, si la estabilidad estática vertical se mantiene constante, columnas de aire enel HS moviéndose hacia el norte (sur) aumentarán (disminuirán) su vorticidad relativa.

La vorticidad potencial es generalmente baja en la tropósfera (cerca de 1 PVU) peroaumenta rápidamente en la estratósfera (mayor 3 PVU) debido al aumento en la estabilidadestática (figura 5.14). Generalmente se usan las líneas de 1.5 ó 2 PVU para indicar latropopausa dinámica, como frontera entre la estratósfera de rápido crecimiento de la P y latropósfera con P relativamente uniforme.



Figura 5.14 - Distribución de la vorticidad potencial P con la latitud y altura. La línea rojaindica 1.5 PVU y en este ejemplo indicaría la tropopausa dinámica.

En un fluido homogéneo incompresible la expresión de conservación de la vorticidadpotencial es más simple. Como la densidad es constante, y la masa se debe conservar, elárea horizontal debe ser inversamente proporcional a la altura h de la parcela

Sustituyendo para eliminar δA obtenemos



ζ+ fh=constante

donde ζ se evalúa en superficies de altura constante. Esta expresión es la ley deconservación de la vorticidad potencial de Rossby (1940).

5.4.1. Aplicación: restricción si h es constante.

Si la altura h de la columna es constante la ecuación anterior establece que la vorticidadabsoluta se conserva siguiendo el movimiento, lo cual impone una fuerte restricción alflujo. Supongamos que en un cierto punto (x0,y0) del H.N. el flujo es en la dirección zonal yla vorticidad relativa es nula, o sea que la vorticidad absoluta es f0. Por lo tanto, elmovimiento a lo largo de cualquier trayectoria que pase por (x0,y0) debe satisfacer ζ+f=f0.Como f aumenta hacia el norte las trayectorias que se curvan hacia el norte deben cumplirζ=f0-f<0 y las que se curvan hacia el sur deben cumplir ζ=f0-f>0. No obstante, comomuestra la figura 5.15 si el flujo es del oeste una curvatura hacia el norte aguas abajoimplica ζ>0 y una curvatura hacia el sur aguas abajo implica ζ<0. Por lo tanto vientos deloeste deben permanecer puramente zonal para conservar la vorticidad absoluta. El vientodel este, al contrario, puede curvarse hacia el norte o hacia el sur y conservar la vorticidadabsoluta.

Figura 5.14 – Conservación de vorticidad absoluta para trayectorias curvilíneas.

5.4.2. Aplicación: Flujo sobre cadenas montañosas

Cuando cambia la altura h de la columna se conserva la vorticidad potencial, no lavorticidad absoluta. La conservación de vorticidad potencial explica por qué la interacción



del viento de los oestes con cadenas montañosas como los Andes puede inducir ondascorriente abajo (figura 5.16). A medida que el aire fluye sobre la montaña, la temperaturapotencial se conserva por lo que la superficie isentrópica de θ K se eleva sobre la montaña.A mayor altura la superficie θ+Δθ K se eleva pero en menor medida pues la anomalía sedistribuye en una distancia mayor. Esto causa un aumento del espesor entre capas antes dela montaña que es muy pequeño y despreciaremos, y principalmente ocurre que el espesorentre las dos superficies isentrópicas sobre la montaña disminuye. Debido a esto último,para mantener la vorticidad potencial constante, la vorticidad absoluta también debedisminuir.

Figura 5.16

Veámoslo con más detalle. Si consideramos que el flujo al oeste de la montaña tienevorticidad relativa nula, como f<0 es aproximadamente constante, al subir la montaña el



flujo debe cumplir la siguiente relación (1 indica al oeste de la montaña, 2 indica sobre lamontaña)

−|f|g|∂θ∂ p|1

=(−|f|+ζ2)g|∂θ∂ p|2

ζ2=−|f|(|∂θ∂ p|1

|∂θ∂ p|2

−1)

Como la estabilidad vertical arriba de la montaña es mayor, ζ2>0 y el flujo debe asumirvorticidad positiva, o sea, debe girar en sentido antihorario en el H.S. Cuando la columnade aire pasó por encima de la montaña estará a latitudes menores por lo que f<0 tendrámenor magnitud. No obstante, como la magnitud de f es siempre mucho mayor que ζ paraescalas sinópticas, se tiene que (−|f|+ζ)<0 . Por lo tanto para mantener la vorticidadpotencial constante el flujo debe adquirir vorticidad negativa (giro horario).

Cuando la parcela vuelva a su latitud de origen todavía tendrá una componente meridionalde velocidad y continuará moviéndose hacia el polo sur adquiriendo ahora una vorticidadpositiva (giro antihorario) para conservar la vorticidad potencial. Cuando vuelvanuevamente a su latitud original tendrá una componente meridional que hará disminuir lamagnitud de f por lo que la columna deberá adquirir vorticidad negativa y asísucesivamente. La parcela seguirá entonces moviéndose aguas abajo describiendo unmovimiento ondulatorio, necesario para mantener la vorticidad potencial constante. Engeneral se observa una cuña sobre la montaña y una vaguada aguas abajo (figura 5.17).



Figura 5.16

----- Resolver Ejercicio 7 del Práctico 4 -----



5.5 Ecuación de vorticidad

La ecuación para la vorticidad absoluta puede derivarse a partir de las ecuaciones demomento. Aquí nos restringiremos a derivar la ecuación para la componente vertical de lavorticidad en un fluido sin fricción

Del capitulo anterior teníamos

d udt−fv=

−1ρ∂ p∂ x

d vdt+ fu=

−1ρ∂ p∂ y

ddt= ∂∂ t+u ∂∂ x+v ∂∂ y+w ∂∂ z

Aplicando ∂∂ y a la primer ecuación,

∂∂ x a la segunda ecuación y restando se eliminan

los términos de presión y se obtiene

Como d fdt=v

dfdy



la cual es la ecuación de vorticidad en coordenadas de altura. La ecuación establece que larazón de cambio de la vorticidad absoluta está dada por la suma de tres términos: (1) eltérmino de divergencia, (2) el término de inclinación, (3) el término solenoidal.

Analicemos cada término por separado. Si la ecuación de vorticidad está dominada por ladivergencia horizontal actuando en el fluido se tiene

Si se considera el caso de un fluido con vorticidad ciclónica inicial (H.N.) y la divergenciaes positiva, la ecuación anterior indica que la vorticidad absoluta tenderá a ser cada vez másanticiclónica (figura 5.17). Esto es, pues la circulación debe conservarse: como lavorticidad es circulación por unidad de área, si el área encerrada por una cadena de parcelasde fluido aumenta debido a la divergencia, entonces la vorticidad debe decrecer. Vale loopuesto para el caso de convergencia.

Por lo tanto, el término de divergencia puede pensarse como el análogo para un fluido delcambio en la velocidad angular que resulta de un cambio en el momento de inercia de unrígido cuando se conserva el momento angular. Este resultado tiene una gran importanciapara los sistemas de latitudes medias: sistemas de baja presión en superficie estáncaracterizados por convergencia y por lo tanto son lugares de producción de vorticidadciclónica en niveles bajos (y lo opuesto para los anticiclones).

Figura 5.17 – Efecto de la divergencia en la vorticidad.



Consideremos ahora el término de inclinación. En este caso se tiene

y para mayor simplificación consideremos una situación donde sólo uno de los términos dela derecha es importante. Consideremos la situación en la cual se tiene un cortante verticalde la velocidad zonal y un gradiente meridional en la velocidad vertical positivo (figura5.18). La ecuación correspondiente es

d f dt

=∂w∂ y

∂ u∂ z

Figura 5.18 – Efecto del cortante vertical en la vorticidad horizontal y generación devorticidad vertical.

Como ilustra la figura 5.18, un cortante vertical en u induce a una paleta imaginaria en ladirección meridional a girar en sentido horario de tal forma que se puede pensar que untubo de aire alineado en la dirección y posee vorticidad positiva en esa dirección. Si además



existe un gradiente de movimiento vertical en la dirección y∂w∂ y>0 entonces el extremo

norte del tubo ascenderá relativo al extremo sur. Por lo tanto aparecerá una componente derotación anti horaria (positiva) en la dirección z, que dará lugar a un incremento en lavorticidad absoluta.

Por último, consideremos el término solenoidal. Se puede mostrar que este término es elequivalente microscópico del término solenoidal en el teorema de circulación. Para elloaplicamos el teorema de Stokes al término solenoidal en la ecuación de la circulación

Como

cuya componente vertical es

(∇α×∇ p). k⃗=−1

ρ2(∂ρ

∂ x∂ p∂ y−∂ρ

∂ y∂ p∂ x)

lo cual demuestra que el término solenoidal en la ecuación de vorticidad es el términosolenoidal en la ecuación de circulación dividido entre el área del elemento de fluido.

Como vimos anteriormente, el término solenoidal tiende a reordenar la masa del fluido detal forma de llegar al estado con menor energía potencial. En el proceso de reordenamiento,en general, se produce vorticidad. Consideremos como ejemplo la configuración de p y ρque caracteriza advección de aire frío por el viento zonal geostrófico en el H.N. (figura5.19). Si no existe divergencia ni inclinación, la ecuación es



Puesto que en este ejemplo

∂

∂ x0

∂ p∂ y0

el término solenoidal generará vorticidad ciclónica (positiva). La vorticidad generadatenderá a rotar las líneas de igual densidad hasta que estén paralelas a las isóbaras en unaconfiguración en la cual alta presión corresponda a alta densidad, y viceversa (o sea elestado de menor gradiente de temperatura).

Figura 5.19 – Configuración de isóbaras y líneas de igual densidad caracterizandoadvección de aire frío por el viento geostrófico en el H.N. Las flechas indican el viento

geostrófico y el círculo la circulación solenoidal inducida.

5.5.1. Ecuación de vorticidad en coordenadas de presión

Para evitar la referencia a la densidad en las ecuaciones y hacer desaparecer al término



solenoidal (pues dp=0) derivaremos la ecuación de vorticidad en coordenadas de presión.Las ecuaciones de momento en coordenadas isobáricas en ausencia de fricción son

De nuevo, tomando las derivadas cruzadas y haciendo cuentas se obtiene

la cual describe que cambios locales en la vorticidad absoluta se deben a (1) advecciónhorizontal, (2) advección vertical, (3) el término de divergencia, (4) el término deinclinación. (Notar que el gradiente ∇ en la ecuación anterior se realiza sólo en ladirección horizontal.)

5.5.2. Análisis de escala

A continuación realizamos un análisis de escala a la ecuación de vorticidad para hallar lostérminos más importantes en la descripción de los movimientos sinópticos. Las escalastípicas son



donde de nuevo hemos elegido una escala de tiempo advectiva pues los patrones devorticidad, como aquellos de presión, se mueven a velocidades comparables con lavelocidad horizontal del viento.

Usando estas escalas obtenemos

por lo tanto

o sea que para sistemas sinópticos en latitudes medias la vorticidad relativa es menor que lavorticidad planetaria y por lo tanto podemos escribir el término de divergencia de la forma

Entonces los términos de la ecuación de vorticidad escalan de la forma



En los últimos tres términos se usó una desigualdad para notar que en cada caso es posibleque los términos individuales tiendan a cancelarse de tal forma que la magnitud del términototal es menor a la indicada. De hecho, esto debe ser el caso para el término de divergencia.

Como se ve del análisis de escala los términos mayores son la advección de vorticidadhorizontal, la tendencia local de vorticidad y la divergencia. Para que la divergencia seabalanceada por los demás términos debe valer que



Por lo tanto, para movimiento sinópticos en latitudes medias la ecuación de vorticidadpuede ser aproximada por

dh(ζ+ f )dt

=−f (∂u∂ x+∂v∂ y)

dh

dt= ∂∂ t+u ∂∂ x+v ∂∂ y

la cual establece que el cambio en la vorticidad absoluta siguiendo el movimientohorizontal en escalas sinópticas está dado, aproximadamente, por la concentración odilución de vorticidad planetaria causada por la convergencia o divergencia del flujohorizontal, respectivamente.

Esta aproximación no es válida en el centro de ciclones muy intensos y en esos casos sedebe retener la vorticidad relativa en el término de divergencia:

dh(ζ+ f )dt

=−(ζ+ f )(∂u∂ x+∂ v∂ y)

y es la concentración o dilución de vorticidad absoluta la cual da lugar a cambios siguiendoel movimiento.

La aproximación anterior no es válida cerca de los frentes pues la escala horizontal de laszonas frontales es de 100 km y la velocidad vertical es del orden de 10 cm/s. En este casoes necesario retener los términos de advección vertical, inclinación y solenoidal ya que soncomparables con el término de divergencia.

5.5.3. Ecuación de vorticidad para un fluído barotrópico

Consideremos que la atmósfera puede suponerse homogénea e incompresible de alturavariable h(x,y,t)=z2-z1, donde z2 y z1 son las alturas de las fronteras superior e inferior,respectivamente.

En este caso la ecuación de continuidad es



y la ecuación de vorticidad queda

dh(ζ+ f )dt

=(ζ+ f )∂w∂ z

Para un fluido barotrópico la velocidad geostrófica es independiente de la altura (vercapítulo 4.2.1). Asumiendo que podemos aproximar el viento y la vorticidad por susaproximaciones geostróficas podemos integrar entre z1 y z2 y obtenemos

hdh(ζg+ f )

dt=(ζg+ f )[w(z2)−w( z1)]

Pero como w=dz/dt, y h=h(x,y,t)

w (z2)−w(z1)=dz2

dt−

dz1

dt=

dh h

dtsustituyendo

1(ζg+ f )

dh(ζg+ f )dt

=1h

dh hdt

dh ln (ζg+ f )dt

=dh ln h

dt

lo cual implica que

dh

dt(ζg+ f

h)=0

que es el teorema de conservación de la vorticidad potencial (geostrófica) para unfluido barotrópico, obtenido por primera vez por C. G. Rossby.



Si el flujo es puramente horizontal (ω=0), como es el caso para un flujo barotrópico deprofundidad constante, el término de divergencia desaparece y obtenemos la ecuación devorticidad barotrópica

dh

dt(ζg+ f )=0

la cual establece que la vorticidad absoluta se conserva siguiendo el movimiento horizontal.

En forma más general, la vorticidad absoluta se conservará en cualquier capa del fluido enla cual la divergencia horizontal sea nula. Para movimientos horizontales no divergentes elflujo puede ser presentado por una función corriente ψ(x,y) tal que

V ψ=(−∂ ψ

∂ y,∂ψ

∂ x)

y la vorticidad se escribe como

ζ=∇2ψ

Por lo tanto la ecuación de conservación de la vorticidad barotrópica puede ser escrita comouna ecuación de pronóstico en la forma

Esta ecuación establece que la tendencia local de la vorticidad relativa está dada por laadvección de vorticidad absoluta. La resolución numérica de esta ecuación predice laevolución de la función corriente y por lo tanto de la vorticidad y los vientos.

La figura 5.20 muestra un perfil típico de velocidad vertical y divergencia horizontal ymuestra que el flujo en la troposfera media es cercano a no-divergente en escalas sinópticas.Por lo tanto, la ecuación anterior es un buen modelo para el pronóstico del flujo en 500 mbel cual determina en buena medida el movimiento de los centros de baja presión ensuperficie.



Figura 5.20 – Perfiles típicos de velocidad vertical y divergencia.

------ Resolver Ejercicios 8 al 11 del Práctico 4 -----

5.6 La aproximación cuasi-geostrófica

En esta sección realizaremos simplificaciones a las ecuaciones de momento, continuidad yenergía para desarrollar un sistema de ecuaciones más simple que nos permitirá entender lanaturaleza de la circulación en los sistemas sinópticos de latitudes medias. Consideraremoscoordenadas isobáricas para que no entre la densidad en las ecuaciones.

Como vimos anteriormente los sistemas sinópticos de latitudes medias están en balancegeostrófico aproximado y en balance hidrostático. La combinación de estos balances dalugar al viento térmico, que como vimos, restringe los movimientos en latitudes medias ynos provee con una relación de diagnóstico. Para dar un paso más debemos considerar laevolución temporal del flujo y así hallar una ecuación de pronóstico. Si despreciamos lafricción las ecuaciones de movimiento horizontal aproximadas son



dVdt=−f k∧V−∇ϕ

la ecuación hidrostática

la ecuación de continuidad

∇ .V+∂ω∂ p=0

y la ecuación de energía termodinámica

∂T∂ t+V .∇T−S pω=

Q̇c p

donde S p=−T∂ ln θ∂ p

. En lo que sigue condensaremos estas 5 ecuaciones en 2 que

satisfacen el análisis de escala apropiado para escalas sinópticas. Para ello consideraremosque el flujo horizontal siempre está cerca del flujo geostrófico y que la velocidad vertical es1000 veces menor que la velocidad horizontal en escalas sinópticas.

Comenzamos considerando la expansión de f en la dirección meridional alrededor de unalatitud ϕ0 (y=0 en esta latitud)

f=2Ωsin ϕ0+2Ωa

cos ϕ0 y=f 0+β y

Para escalas sinópticas

lo cual justifica asignar al parámetro de Coriolis un valor constante f0 excepto cuando esdiferenciado en el término advectivo. Esta aproximación se denomina plano-β pues



físicamente se considera que los movimientos ocurren en un plano hipotético tangente a laTierra en la latitud ϕ0 y restringidos a movimientos meridionales con una extensiónL<<a.

Separamos la velocidad horizontal en los componentes geostrófico y ageostrófico

donde

(notar que f se sustituyó por f0).

Para sistemas sinópticos vale que

o sea que Vg >> Va.

Por lo tanto, podemos aproximar la velocidad real por la velocidad geostrófica a O(Ro) y larazón de cambio de momento o temperatura siguiendo el movimiento horizontal(total=geostrófico+ageostrófico) puede ser aproximada también a O(Ro) por la razón decambio siguiendo solo el viento geostrófico. Por lo tanto V puede ser sustituido por Vg y laadvección vertical que aparece solamente debido a la existencia del viento ageostróficopuede despreciarse. Así

dVdt≃

d gV g

dtdg

dt≡ ∂∂ t+V g .∇= ∂

∂ t+ug

∂∂ x+v g

∂∂ y

De acuerdo a la ecuación de momento, la aceleración siguiendo el movimiento se puede vercomo la desviación del viento con respecto a su valor geostrófico. Por lo tanto, no esposible sustituir simplemente V por Vg en el término de Coriolis (si lo hiciéramostendríamos siempre aceleración nula). En su lugar, los términos de la derecha de la



ecuación de momento quedan

donde usamos la definición de viento geostrófico y despreciamos el viento ageostrófico enel término proporcional a βy. Entonces la ecuación de momento aproximada queda

dgV g

dt=−f 0 k∧V a−β y k∧V g (1)

y todos los términos son de O(Ro) comparado con la fuerza gradiente de presión y sedespreciaron términos O(Ro2) o menores.

El viento geostrófico definido mas arriba es no divergente por lo que la ecuación decontinuidad queda

(2)

o sea que ω está definida por la componente ageostrófica del viento horizontal.

En la ecuación termodinámica la advección horizontal puede ser aproximada por su valorgeostrófico. Por otro lado, la estabilidad vertical en escalas sinópticas es suficientementegrande como para que el calentamiento y enfriamiento adiabático debido a movimientosverticales sea del mismo orden que la advección horizontal de temperatura. El término decalentamiento y enfriamiento adiabático puede simplificarse considerando el campo detemperatura formado por un estado base T0(p) que sólo dependa de la presión más unadesviación T(x,y,p,t)

Asumiendo



solo la porción debido al estado base se debe considerar al calcular el término deestabilidad. Por lo tanto, usando la ecuación hidrostática, la forma cuasi-geostrófica de laecuación de energía termodinámica se puede expresar como

( ∂∂ t+V g .∇)(

−∂ϕ

∂ p)−σω=κ

Q̇p

(3)

donde

y

(θ0 es la temperatura potencial correspondiente al estado base de temperatura T0) y≈2.5 10−6 m2/Pa2/ s2 en la tropósfera media. Las ecuaciones (1), (2) y (3) junto con la

definición de viento geostrófico forman el sistema cuasi-geostrófico de ecuaciones paralas variables geopotencial, viento geostrófico, viento ageostrófico y omega. No obstanteesta forma de las ecuaciones no es adecuada para el pronóstico y es más conveniente usar laecuación de vorticidad en lugar de la ecuación de momento, pues solamente aparecerá ladivergencia del viento ageostrófico.

El viento geostrófico lo escribimos como

por lo que la componente geostrófica de la vorticidad vertical es

Notar que la ecuación anterior permite calcular la vorticidad geostrófica partiendo delgeopotencial, o vice versa. Esta invertibilidad es una de las razones por las cuales la



vorticidad es tan útil como diagnóstico de predicción. Como el laplaciano de una función esmáximo donde la función es mínima, vorticidad positiva implica valores bajos degeopotencial. La ecuación cuasi-geostrófica para la vorticidad se puede calcular partiendode las ecuaciones

dg ug

dt−f 0 va−β y vg=0

dg vg

dt+ f 0 ua+β y ug=0

y tomando el rotor se obtiene

dgζg

dt=− f 0(

∂ua

∂ x+∂v a

∂ y)−β vg

Notando que dg f

dt=β vg y sustituyendo la divergencia del viento ageostrófico usando la

ecuación de continuidad podemos reescribir la ecuación de la forma

la cual establece que la razón local de cambio de la vorticidad geostrófica está dada por lasuma de dos términos: 1) la advección de la vorticidad absoluta por el viento geostrófico y2) la concentración o dilución de vorticidad por el estiramiento o achatamiento de lascolumnas de fluido (el efecto divergencia).

Resumiendo, en esta sección derivamos 2 ecuaciones simplificadas de vorticidad y energíaque usaremos para el estudio de los sistemas sinópticos de latitudes medias. Si asumimosque el calentamiento dQ/dt=0, podemos reescribir las ecuaciones como

∂∂ t(−∂ϕ

∂ p)=−V g .∇ (

−∂ϕ

∂ p)+σω

∂ζg

∂ t=−V g.∇(ζg+f )+ f 0

∂ω∂ p

Ecs. cuasi-geostróficas



Notar que como la temperatura está directamente relacionada con (−∂ϕ

∂ p) en superficies

isobáricas, la primera ecuación establece que la razón de cambio de la temperatura es ladiferencia entre la tendencia advectiva y el calentamiento o enfriamiento adiabático debidoal movimiento vertical. (La aproximación de dQ/dt=0 es válida para los movimientossinópticos en latitudes medias, pero no para el estudio del desarrollo de ciclones donde elcalor latente juega un papel importante).

Como el viento geostrófico y la vorticidad geostrófica pueden escribirse en función delgeopotencial las dos ecuaciones representan un sistema de dos ecuaciones y dos incógnitas( ϕ ,ω ). En el Tema 6 usaremos estas ecuaciones para calcular la tendencia del

geopotencial (∂ϕ

∂ t) y los movimientos verticales ω dados los campos instantáneos de

geopotencial en varios niveles de la atmósfera. Esto permite diagnosticar y predecir elcomportamiento de la atmósfera de latitudes medias sin medir directamente el campo develocidades. Estas ecuaciones son la base de la meteorología dinámica moderna.

Referencias principales

– Mid-latitude atmospheric dynamics, J. Martin– An introduction to dynamic meteorology, J. Holton


5. Circulación, vorticidad y divergencia

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