4to Seminario Geometria Pre Zulema

CICLO PREUNIVERSITARIO ADMISIÓN 2007-I SEMINARIO Nº 04

GEOMETRÍA

01. Se da un triángulo ABC, BC=4, AC=9, AB=9. Calcule el área de la región triángular que se forma con los bisectrices interior y exterior del ángulo “C” y el lado prolongado.

A) B) C)

D) E)

02. En un cuadrilátero ABCD se cumple: AB=3m,

BC=4m y CD=5m. Entonces, el área (en u2) de la región triangular BCD es:A) 6 B) 8 C) 12,5D) 10 E) 7

03. En un triángulo ABC, se traza la mediana y se ubica el punto F en

, tal que: AF=AC/3; . Encuentre que fracción de área de la región triangular ABC, es el área de la región triangular AQF.

A) B) C)

D) E)

04. Dado un triángulo ABC, los radios de las circunferencias ex–inscritas a dicho triángulo miden: 2u, 3u, 6u respectivamente. Halle el área de la región triangular ABC (en u2)A) 4 B) 6 C) 11D) 16 E) 36

05. Se tiene un terreno construido por cuatro zonas: tres de ellas cuadradas, cuyas áreas son respectivamente, 26, 18 y 20Ha (según la figura). Calcule el área de la cuarta zona.

A) 13 B) C) D) 9 E) 12

06. ABCD es un cuadrado cuyo lado mide 6u, , el área de la región trapezoidal AECD es el doble de área de la región triangular ABE. Entonces, la longitud de es (en u):

A) B)2 C) D) 3 E)

07. En una región rectangular ABCD, AB=12cm y BC=9cm, T y P son puntos medios de Si

y

, entonces el área de la región PSRQ (en cm2) es:

A) 45 B) C)

D) E)

08. Halle la relación del área del cuadrado inscrito en un semicírculo y el área del cuadrado inscrito en el circulo entero.

A) B) C)

D) E) 2

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18 20


09. Se tiene un cuadrado ABCD y el cuadrante CBD con centro en C y radio ; calcule el lado del cuadrado inscrito en el triángulo mixtilíneo BAD, si BC= r.

A) B)

C) D)

E)

10. La perpendicular trazada desde un vértice de un rectángulo a la diagonal opuesta mide 4m y la perpendicular trazada desde el vértice opuesto a la prolongación de la perpendicular anterior mide 6m. Entonces el área de la región rectangular (en m2) es:A) 20 B)25 C) 30D) 40 E) 45

11. En un paralelogramo ABCD, AD=18dm y su altura BH mide 12dm. Si M y N son los puntos medios de los lados BC y CD respectivamente, entonces el área de la región cuadrangular AMCN (en dm2) es:A) 84 B)92 C) 96D) 108 E) 120

12. ABCD es un trapecio . Si

2BC=AD=8 entonces el área (ABCD) es:A) B) C) D) E) C y D

13. ABCD es una región cuadrada, se ubica el punto E en , se traza perpendicular a

y pasa por el

centro de ABCD. Si intercepta a en el punto M y OM=2MF=2

entonces el área de la región FBGE es:A) 18 B)19 C) 20D)24 E) 26

14. En la figura mostrada ABCD es una región cuadrada. Los triángulos APD, ABN, CDQ y BCM son equiláteros. Si AB= , entonces el área de la región sombreada es:

A) B) C) D)

E)

15. En la figura mostrada, BC=b y AD=d. ABCD es el cuadrilátero ex–inscrito. Si el radio de la circunferencia ex–inscrita es r entonces el área de la región cuadrangular ABCD es.


MP

Q

D C

A B

N

B

DA

rC


A) (b–d)r B) (2b–d)r C) (d–b)rD) (2d–b)r E) (d–2b)r

16. MNPQ es un cuadrado, en se ubica el punto K y en la región exterior relativa a se ubican los puntos L y H de modo que NKLH es un cuadrado. Si MH=a y la distancia de Q a la diagonal es b, entonces el área de la región cuadrangular MNLP es.

A) B) C)

D) E)

17. En la figura mostrada MNPQ es un paralelogramo. Si O es un punto interior, y ANOP=A, APOQ =B, AQOM=C. Entonces el AMON es:

A)2A+C–B B)A+B–C C) A+2C–BD)A+C–B E) B+C–A

18. En un trapecio ABCD ; M es punto medio de . Luego se traza

. Si MQ=a y BC=b, entonces el área de la región limitada por el trapecio es:A)ab B)2ab C) 3ab

D) E)

19. El menor lado de un trapecio rectángulo circunscrito a una circunferencia cuyo radio mide R es

igual a . Entonces el área de la

región limitada por el trapecio es:

A) B)3R2 C)

D)R2 E)

20. En un trapecio cuyas bases miden 3m y 1m, se traza una paralela a las bases para dividirlo en dos figuras equivalentes. ¿Cuál es la longitud de dicha paralela? (en m)A) B)3 C) D) E)

21. Si las bases de un trapecio isósceles ABCD, circunscrito a una circunferencia miden 2au y 2bu respectivamente, entonces el área de la región poligonal ABCD es:

A) B)

C) D)

E)

22. En un rectángulo ABCD, las diagonales se interceptan en el punto O, se ubican M y N puntos medios de

. Los segmentos BM y MN se interceptan a las diagonales en los puntos P y Q. Si el área de la región rectangular ABCD es S, entonces el área de la región cuadrangular OPMQ es:

A) B) C)

D) E)


PN

M Q

O


23. ABCD es una región cuadrada de área S, M , BM=3(AM) y N es punto medio de . La prolongación de intercepta a la prolongación de en E. Entonces el área de la región triangular EAD es:

A) B) C)

D) E)

24. Las diagonales de un trapezoide miden 20 cm. y 34 cm. y el segmento que une los puntos medios de dos lados opuestos miden 21 cm. Entonces el área de la región trapezoidal (en cm2) es:A)168 B) 252 C) 336D)420 E) 672

25. ABCD es un paralelogramo se traza y

que se interceptan en el punto T. si Area(GBFT)=4Area(ETHD)=32u2

y entonces área(ABCD) (en u2) es:A)52 B) 62 C) 70D)72 E)76

26. En un triángulo ABC, AC=12u. Se trazan paralelos a , ( E y P son puntos de , F y Q son puntos de ) que dividen a la región ABC en tres regiones; EBF, PEFQ y APQC, equivalentes siendo PQ>EF. Halle : PQ(en u).A)4 B) 6 C) D)8 E)

27. En un paralelogramo ABCD se verifica que : y . Si área (AOD) es 25u2 y área (BOF) es 4u2, entonces el área de la región cuadrangular OFCD es (en u2) :A)21 B) 29 C) 30D)31 E) 33

28. En la figura mostrada MNPQ es un paralelogramo. Si R,S,T y U son puntos medios, entonces la relación entre las áreas de las regiones sombreadas ARN y ABCD es:

A) B) C)

D) E)

29. En un trapezoide ABCD, M y N son puntos medios de las diagonales

. Las prolongaciones de

se interceptan en el punto P. Demostrar que el área de la región triangular MNP es igual a la cuarta parte del área de la región cuadrangular ABCD.


P

T

QU

S

M

R

N

D C

BA


30. Si los radios de una sucesión de

círculos miden: 1, … . Halle

la suma de las longitudes de las circunferencias con los radios de tales círculos.

A) B) C) 4

D) E)

31. En una circunferencia de radio R se inscribe un cuadrado, se inscribe otra circunferencia en el cuadrado, y así indefinidamente. Calcule el límite de la suma de las áreas de los círculos así determinados.

A) B) C)

D) E)

32. En la figura mostrada es diámetro, y AM=MC. Si el radio r mide 10u, halle el área de la región sombreada (en u2).

A) B) C) D) E)

33. En la siguiente figura AOB es un cuadrante (AO=OB=2cm). Halle el área de la región sombreada (en cm2).

A) B) C)

D) E)

34. En la figura mostrada, O es el centro de la semicircunferencia de diámetro

, el arco BC tiene su centro en el punto A. Si y AD=4u, entonces el área (en u2) de la región sombreada es:

A) B) C)

D) E)


BO

A

DCOA

B

r18°

M

C

A BO


35. En la figura mostrada, ABCD es un cuadrado. Si el radio de la circunferencia de centro O2 mide r, entonces el área (en u2) de la región cuadrada ABCD es:

A) 32r2 B) 40r2 C) 64r2

D) 81r2 E) 128r2

36. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 4u con centros en los vértices A y D y radio congruente al lado del cuadrado, se trazan los arcos BD y AC que se interceptan en el punto M entonces el área (en u2) de la región limitada por el segmento BC y los arcos BM y CM. es:

A) B)

C) D)

E)

37. Halle el área de la región sombreada de la figura, sabiendo que las cuerdas son lados del hexágono regular y triángulo equilátero inscritos respectivamente en la circunferencia de radio r.

A) B) C)

D) E)

38. En la figura mostrada: MNPQ es un

cuadrado de lado Si

A, B y C son puntos de tangencia, entonces el área de la región sombreada es (en m2):

A)

B)

C)

D)

E)

39. ABCD es en cuadrado cuyo lado mide a. Halle el área (en u2) de la región limitada por las circunferencias inscrita y circunstancia al cuadrado.

A) B) C)

D) E)


B

M

A

P

Q

N

C

r

CB

A D

+O1

O2


40. ABC es un triángulo inscrito en una semicircunferencia, se trazan las flechas relativas a los catetos. Si estos miden 1m y 2 m, determine el área del semicírculo en m2.

A) B) C)

D) E)

41. En ABCD es un cuadrado, con centro en D se traza el cuadrante y en

se ubica E y con diámetro se traza una semicircunferencia tangente a el lado y el arco . Si AD=4m, determine el área del semicírculo en m2.

A) B) C)

D) E)

42. En una circunferencia de radio R, se traza el diámetro , se traza una circunferencia tangente al diámetro en el punto C y a la circunferencia mayor. Si 3BC=AC entonces el área del círculo menor es :

A) B) C)

D) E)

43. Si en la figura mostrada MNPQ y PQSR son dos cuadrados congruentes de lado , entonces el área de la región sombreada es:

A) B) C)

D) E)

44. Si en la figura mostrada, las circunferencias son congruentes. Además M,N,A,B,C, y D son las áreas de las regiones sombreadas. Entonces,

es:

A) B) C) 1

D) E) 2

45. En la figura mostrada es el diámetro de la semicircunferencia. es mediana del triángulo ABC. Si

y halle el área de la región sombreada.


SQM

RPN

NB

M

DCA

C

A

O

B

N

Q


A) B)

C) D)

E)

46. En la figura mostrada ABCD es una región cuadrada. Los arcos tienen su centro en el punto D. Demuestre que el área de la región sombreada es igual a la mitad del área de la región cuadrada.

47. Si en la figura, el radio de las dos circunferencias mide R, entonces el área de la región sombreada es:

A) B)

C) D)

E)

48. En la figura, se muestran dos circunferencias concentricas de radios R y 2R. Calcule el área de la región sombreada.

A) B) C)

D) E)

49. Halle el área del circulo sombreado. Si , y es diámetro del

semicírculo de centro O.


EC

B

D

A

O O2

C

BM

O

N

A

C

YROX

r

A


A) B)

C) D)

E)

50. Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones:I) Si una recta L es paralela a P

entonces sólo en el exterior de P existen infinitas paralelas a la recta L

II) P1 y P2 son planos paralelos y L1 . Si L es perpendicular a L1, entonces L intercepta a P2.

A)FV B) VF C) VVD)FF

51. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I) Tres puntos cualesquiera,

siempre pertenecen a un planoII) Una recta y un punto

determinan un plano III) Dos rectas determina un

planoA)VVV B) VVF C) VFFD)FFF E) FFV

52. Indique el valor de verdad:I. Dos rectas que no se

interceptan, siempre son paralelas

II. Si una recta L es perpendicular a otra L1 contenidas en el plano P entonces L es perpendicular al plano P.

III. Por dos rectas secantes pasan infinitos planos

A)VFV B) VFF C) VVVD)FFF E) FVF

53. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones :I. Si una recta L es paralela a un

plano P, entonces la recta L es paralela a infinitas rectas del plano P

II. Si una recta L es paralela a un plano P, entonces la recta L no es paralela a infinitas rectas del plano P

III. Si una recta L es perpendicular a una recta L contenida en el plano P, entonces la recta L es perpendicular a infinitas rectas del plano P

A)VVV B) VVF C) FFFD)VFV E) FFV

54. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:I. Para dos rectas paralelas, como

para dos rectas cruzadas, su intersección siempre es un conjunto vacío

II. La intersección de tres planos, siempre es una recta

III. Si una recta es paralela a un plano, entonces ésta recta es paralela a infinitas rectas contenidas en el plano

A)FFF B) VVV C) FFVD)VFV E) VFF

55. ABC es un triángulo (recto en B), por A se traza la perpendicular al plano ABC, M punto medio de . Si AD=6, AB=4, y CB=2, entonces el área de la región triangular MDB es:A)5 B) 6 C) 7D)8 E) 9

56. Se tiene un segmento de recta de 12m contenida en un plano ¿A qué distancia P de este plano debe trazarse otro plano paralelo para que

y A)6 B) C)

D) E)

57. Dos planos rectangulares unidos por barras de 26 cm. de longitud, penden de sus vértices, tal como se indica en a figura. Las placas son rectángulos



congruentes donde uno de sus diagonales mide 10 cm. ¿En cuanto disminuirá la distancia entre éstas si se hace girar 180° una de ellas, sabiendo que las barras son perpendiculares a las placas

A)2cm B) 3cm C) 4cm

D) E)

58. En un plano P, se traza un triángulo equilátero ABC cuyo lado mide a. Por el vértice A, se traza perpendicular al plano P. Si AF=a, entonces la distancia entre las rectas AB y FC es:

A) B) C)

D) E)

59. En un hexaedro regular ABCD–EFGH, K pertenece al plano ABFE y L pertenece al plano EFGH, KL=10u. Si la medida del ángulo entre KL y el plano ABFE es igual a 37°, la medida del ángulo entre KL y el plano EFGH es igual a 60°, entonces la distancia entre es:

A) B) C)

D) E)

60. En un hexaedro regular KLMN–PQRS, si LS=d, entonces la distancia entre

A) B) C)

D) E)

61. Del siguiente gráfico, si MNPQ–RSTU, es un paralelepípedo rectangular ¿Cuáles son verdaderas?I. es la mínima distancia entre

II. MN y RU son rectas ortogonalesIII. es el ángulo entre dos rectas

IV. Entre solo existe un segmento perpendicular a ambas rectas

A) Sólo I B) Sólo II C) Sólo IIID) I, II y III E) I, II, III y IV

62. La proyección del segmento AB sobre el plano P es el segmento AH. El rayo AC está en el plano P. Si

entonces la es:

A) 20 B) 30 C) 36D) 45 E) 60


C

D

BA

P

T

M

N K

Q

U

R

S


63. ABCD es un cuadrado, M punto medio de , se interceptan en el punto N, por N se traza el segmento

perpendicular al plano del cuadrado. Si PN=CM y AB=8 entonces

mide:

A) B) C)

D) E)

64. En un plano P, se dibuja el triángulo equilátero ABC cuyo lado mide . Por el vértice A se traza la perpendicular

al plano P. Si AF= , entonces la medida del ángulo entre las rectas AB y FC es:

A) B

C) D)

E)

65. En un plano P, se dibuja el triángulo rectángulo ABC (recto en B). Por el vértice B se traza la perpendicular al plano P. Si BA=a; BC=2a y BF=3a, entonces el área de la región triangular FAC.

A)5a2 B) 6a2C)

D) 8a2 E) 9a2

66. Sea AOB un triángulo rectángulo isósceles tal que OA=OB=a, en O se eleva la perpendicular al plano OAB

sobre la cual se toma: . Se

junta el punto M a los vértices A y B. Determine el valor del ángulo diedro de arista AB.

A)60° B) 45° C) 30°D) 37° E) 53°

67. El diedro DABC mide 60°, halle la distancia entre C y D. Si: , la , y la ,

y

A) B)

C) D)

E)

68. Dado un triángulo rectángulo isósceles AOB, siendo AO=OB= , en el vértice O se eleva una perpendicular al plano AOB y se toma un punto M sobre esta perpendicular, uniendo M con los vértices A y B. Calcule el valor de para que el diedro AB mide 60°A) 2 B) 3 C) 2,5D) 4 E) 1

69. Un triángulo equilátero ABC esta en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE, siendo el lado común de ambos polígonos. El segmento de recta que une el punto medio del lado AC del triángulo con el punto medio del lado BD del cuadrado mide 1 m. ¿Cuál


D

C

B

A


es la longitud del lado del triángulo o del cuadrado?A)1m B) 1.5m C) 2mD) 2.5m E) 0.5m

70. ABCD y ABEF son cuadrados en planos perpendiculares . Determine la medida del ángulo diedro E–FC–A

A) B)

C) D)

E)

71. ABCD y ABEF están en planos perpendiculares, M punto medio de y N punto medio de . Calcule el ángulo determinado por las rectas

A) B)

C) D)

E)

72. Sea un círculo de radio R y centro O, perpendicular al plano del círculo, es diámetro y una cuerda. Si

y entonces la medida del ángulo determinado por

es:

A) B)

C) D)

E)

73. BCD es una región triangular, A es un punto exterior al plano BCD tal que A–BCD es un triedro trirrectángulo, es perpendicular al plano BCD. Demuestre que:

74. Dos caras de un ángulo triedro miden 130 y 160 respectivamente, luego la tercera cara puede medir entre que valores:A) 30°<X<60° B) 40°<X<70°C) 30°<X<80° D)40°<X<90°E) 30°<X<70°

75. O–ABC es un triedro trirrectángulo, son las bisectrices de dos

caras. Si entonces es:A) 30 B) 35 C) 40D) 45 E) 60

76. ABCD–EFGH un hexaedro regular de arista 12. . Si FA=2FE y GM=2MC entonces el área de la sección producida al trazar un plano secante FMD en el hexaedro es:A)170 B) 172 C) D)176 E)

77. ABCDEF es un octaedro regular cuya arista mide 6cm son los baricentros de las caras EAD y EDF respectivamente. Determine la medida del ángulo OBO’.

A) B)

C) D)



E)

78. A–BCD es un tetraedro regular de arista 6u. O centro de la cara ACD, M punto medio de la arista AB. Determine la longitud de la proyección de sobre el plano DMC.A) B) C)

D) E)

79. Sea KLM un triángulo rectángulo isósceles, tal que :LK=LM= . En L se traza una perpendicular al plano del

triángulo y se construye LN= .

Calcule el valor del diedro cuya arista es KM.A)53° B)75° C) 30°D)45° E) 60°

80. En un triedro O–ABC la cara a mide 90°, los diedros B y C miden 135°. Halle la m diedro A. A) 80° B)75° C) 90°D) 100° E) 120°

81. Dos regiones rectángulares MNPQ y MNRS son congruentes y forman un ángulo diedro cuya medida es 120°. Si MQ=2MN, entonces la medida del ángulo que forman las rectas NQ y MR es :

A) B)

C) D)

E)

82. ¿Cuáles son verdaderas? Si KLMN–PQRS es un hexaedro regular, entonces la medida de los ángulos diedros entre los planos:

I. PKS y RMN es 90°II. SKP y LMS es 45°III. Diagonales es 45°IV. QLS y KLN es 90°A) VVFV B)VVVV C) VFVFD) FVFV E) VVFF

83. Demuestre que en todo ángulo triedro, la suma de las caras es menor que 360°

84. Si en un triedro de vértice O se tienen las siguientes caras: a=60°

b=45°c=45°

Entonces el valor del diedro A, es:A) 90° B)120° C) 75°D) 60° E) 45°

85. En un triedro V–KLM, las caras son LVM, KVL y KVM miden 90°, 60° y 60° respectivamente., entonces el ángulo formado por el VN y el plano LVM es:A) 90° B) 75° C) 60°D) 55° E) 45°

86. En el triedro V–DEF, las caras EVF y EVD miden 45°. Si ,

tales que

y VM=2.

Entonces la medida del diedro VE es:A) 135° B) 150° C) 165°D) 105° E) 113°


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