Probabilidad

UNIVERSIDAD NACIONAL SANTIAGO ANTUNEZ DE MAYOLOESTADSTICA GENERAL

PROBABILIDAD CONDICIONAL

LIC. EDGAR RUGEL BARRETO

HUARAZ, 2014PROBABILIDAD CONDICIONALSean A y B dos eventos asociados a un experimento aleatorio, se indica P(A/B) la probabilidad condicional de la ocurrencia del evento A dado que ya ocurri el evento B; se expresa de la siguiente manera:

P(A/B) satisface los axiomas de probabilidad:

1. 0 P(A/B) 12. P(/B) = 13. P(A1UA2/B) = P(A1/B) + P(A2/B), si P(A1A2) = EJEMPLOSDe los pacientes de un hospital, el 40% son varones y el 5% son varones que tienen enfermedad leve. Si se elige un paciente al azar. Cul es la probabilidad de que tenga enfermedad leve dado que es varn?Solucin:

Sean los eventos:

A: El paciente sea varn, B: El paciente tenga enfermedad grave(AB): El paciente sea varn y tenga enfermedad leveB/A: El paciente tenga enfermedad leve dado que es varn

Del enunciado del problema tenemos:

P(A) = 0.40P(AB) = 0.05

Nos piden calcular P(B/A)

2. De los pacientes de un cierto hospital, el 60% son mujeres y el 6% padecen de asma desde la infancia. Si se elige un paciente al azar. Cul es la probabilidad de que padezca asma dado que es mujer?3. La probabilidad de que al ingerir un medicamento acelere el colesterol en un paciente es de 0.38, que altere el sistema nervioso de 0.55 y de que produzca ambos efectos es de 0.28. Cul es la probabilidad de que al ingerir dichos medicamentos produzca en el paciente:

a) Aceleramiento del colesterol o alteracin del sistema nervioso.b) Aceleramiento del colesterol dado que ya se produjo alteracin en el sistema nervioso.c) Alteracin en el sistema nervioso, dado que ya se produjo aceleramiento en el colesterol.Solucin:

Sean los eventos:

A: El medicamento acelere el colesterol de un paciente.B: El medicamento altere el sistema nervioso de un paciente.(AB): El medicamento acelere el colesterol y altere el sistema nervioso de un paciente.Del enunciado del problema tenemos:

P(A) = 0.38P(B) = 0.55P(AB) = 0.28

Nos piden calcular P(AUB)

Sea el evento:

A/B: Acelere el colesterol dado que ya se produjo alteracin en el sistema nervioso.Debemos calcular P(A/B)

c) Sea el evento:

B/A: Se altere el sistema nervioso dado que ya se produjo aceleramiento en el colesterol.

Debemos calcular P(B/A)

4. En la escuela de Psicologa, el 25% de los estudiantes desaprobaron matemticas, el 15% desaprobaron estadstica y el 10% desaprobaron las dos asignaturas. Se selecciona un estudiante al azar:

Si desaprob estadstica cul es la probabilidad de que desaprobara estadstica?Si desaprob matemticas cul es la probabilidad de que desaprobara estadstica?Cul es la probabilidad que desaprobara matemticas o estadstica?

5. La probabilidad de que una persona elegida al azar de entre una poblacin presente los sntomas caractersticos de una enfermedad es de 0.2 y la probabilidad de que una persona elegida aleatoriamente presente esa enfermedad es de 0.23. La probabilidad de elegir a una persona que tenga los sntomas y tambin la enfermedad es de 0.18. Si una persona elegida al azar de entre esa poblacin no presenta los sntomas. Cul es la probabilidad de que tenga la enfermedad?

6. En el siguiente cuadro se clasifica a 900 adultos que han culminado sus estudios superiores segn sexo y ocupacin:

Si se elige un adulto al azar cul es la probabilidad de que:a) Est desempleadob) Est desempleado dado que es hombrec) Est desempleado dado que es mujerSEXOOCUPACINTOTALEMPLEADOSDESEMPLEADOSHOMBRES46040500MUJERES160260400TOTAL600300900Solucin:

Sea el eventoA: El adulto elegido est desempleado

b) Sean los eventos:B: El adulto elegido sea hombre.(AB): El adulto elegido est desempleado y sea hombre.A/B: El adulto elegido est desempleado dado que es hombre.Debemos calcular P(A/B)

Tenemos que calcular:

Entonces:

c) Sean los eventos:C: El adulto elegido sea mujer(AC): El adulto elegido est desempleado y sea mujer.A/C: el adulto elegido est desempleado dado que es mujer.

Debemos calcular P(A/C)

Tenemos que calcular:

Entonces:

EVENTOS INDEPENDIENTESDos eventos A y B, son independientes si la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro. Entonces:

P(AB) = P(A) x P(B)

Esto implica que:P(A/B) = P(A)P(B/A) = P(B)

Nota: Si A y B son independientes, no significa que AB =

Teorema: Si los eventos A y B son independientes, entonces:A y B son independientesA y B son independientesA y B don independientes

ProblemasLa probabilidad de que un paciente salga dado de alta es un determinado da es 0.5 y la del otro paciente es de 0.8. Cul es la probabilidad de que ambos salgan de alta ese da?

Solucin:Sean los eventos:A: El paciente X sale dado de altaB: El paciente Y sale dado de altaSolucin:Del enunciado del problema tenemos:

P(A) = 0.50P(B) = 0.80

Nos piden calcular P(AB)

Como los dos eventos son independientes, tenemos que:

La probabilidad de que los dos pacientes salgan dado de alta es del 40%

2. El Ministerio de Salud ha determinado que el 10% de los huaracinos sufren de enfermedades cardiacas. La poblacin de Huaraz cuenta con 48% de varones. Si la susceptibilidad a enfermedades cardacas es independiente de sexo. Cul es ls probabilidad de que un huaracino varn tenga enfermedades del corazn?3. Se estima que entre la poblacin total de un determinado pas, el 55% de obesidad (A), el 20% es hipertensa (B), y el 60% es obeso o hipertenso. Es de hecho, independiente el que una persona sea obesa de que padezca de hipertensin?

Solucin:

Sean los eventos:A: Una persona padezca de obesidad.B: Una persona sea hipertensa.AUB: Una persona sea obesa o hipertensa.Del enunciado del problema tenemos:

P(A) = 0.55P(B) = 0.20P(AUB) = 0.60

Si A y B son independientes, se verifica que:

Calculamos P(AB):

Luego:

Si una persona es hipertensa la probabilidad de que padezca de obesidad es del 75%.

Entonces:

Por lo tanto, el hecho de que una persona sea obesa no es independiente de que padezca de hipertensin.

4. En un estudio de una enfermedad al pulmn se examinan a 10000 personas mayores de 60 aos. Se halla que 4000 personas de este grupo son fumadores. Entre los fumadores 1800 padecen de desordenes pulmonares. Entre los que no fuman 1500 tienen desordenes pulmonares. Son los eventos fumadores y desordenes pulmonares independientes?REGLA DE LA MULTIPLICACIN PARA EVENTOS DEPENDIENTESSean dos eventos A y B, si B depende de A, entonces:

P(AB) = P(A) x P(B/A)

Ciertos estudios indican que el 82% de los profesionales beben, de los que beben, el 18% son grandes bebedores. Cul es la probabilidad de que seleccionando aleatoriamente a un profesional beba y sea un gran bebedor?

Solucin:

Sean los eventos:A: El profesional elegido bebeB: El profesional elegido es gran bebedor

P(A) = 0.82P(B/A) = 0.18

Debemos calcular P(AB)=?

Problemas

TEOREMA DE BAYESEjemplo 1Las probabilidades de que los socios S1 y S2 sean elegidos presidente de su club son respectivamente 0,35 y 0,65. Las probabilidades de que se aumenten las cuotas mensuales de los socios son de 0,9 si sale elegido S1 y de 0,3 si sale elegido S2.Cul es la probabilidad de que haya un aumento en las cuotas mensuales de los socios?Si se aumentan la cuota mensual, como se modifican las probabilidades de que salgan elegidos los socios S1 y S2?DesarrolloEjemplo 2Supongo que encierra cada regin del pas la probabilidad de que un adulto mayor de 40 aos tenga cncer es el 0,05. La probabilidad de que el diagnstico sea correcto es 0,8, y de que sea errado que es 0,20. Si se elige al azar una de estas personas, calcular la probabilidad de queSegn el diagnostique del cncerSi se le diagnostique cncer, tenga realmente la enfermedadEjemplo 3Slo el 60% de la mercadera que reciben un comerciante del fabricante A es de calidad excepcional, mientras que el 90% de la mercadera que recibe del fabricante B es de calidad excepcional. Sin embargo la capacidad de fabricacin del fabricante B es limitada, y por esta razn solo el 30% de la mercadera le es permitido adquirir al fabricante B, el 70% la adquiere de A. Se ha inspeccionado un embarque que acaba de llegar y se encuentran que es de calidad excepcional. Cul es la probabilidad de que provenga del fabricante A?Ejemplo 4El 100% de una poblacin de electores se dividen en tres estratos sociales excluyentes: baja, media y alta; de manera que la clase media o baja son el 90% del total, y de la clase media o alta el 40% del total. De los primeros sondeos realizados para las prximas elecciones, se afirma que el porcentaje de electores que votaran por el candidato D puede ser: 30% de clase baja, 50% de clase media y 70% de clase alta.a) Si se elige un electoral al azar y se encuentra que vota por D, cul es la probabilidad de que pertenezcan a la clase alta?