4esomaes Ev Es

N D I C E

Presentacin .................................................................................................................... 2

Qu deben saber los alumnos?................................................................................ 3

Prueba inicial I ................................................................................................................ 4

Prueba inicial II .............................................................................................................. 8

Prueba inicial III ............................................................................................................ 12

Cmo son nuestras propuestas de evaluacin? ................................................ 16

Criterios y pruebas de evaluacin de cada unidad ............................................ 18

Soluciones de las propuestas de evaluacin ........................................................ 50

Prueba global I (Nivel bsico).................................................................................... 58

Prueba global II (Nivel medio) .................................................................................. 60

Prueba global III (Nivel avanzado) .......................................................................... 62

EVALUACIN

2ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

Este cuaderno trata de facilitar al profesorado la tarea de evaluacin de las distintas unidades deMatemticas de 4.o de ESO con los siguientes elementos:

Tres pruebas iniciales adaptadas a los criterios de evaluacin de Matemticas de 3.o de ESO, parapoder evaluar el nivel inicial de los alumnos. Tambin se incluyen sus soluciones.

Unas pruebas de evaluacin de cada unidad, adaptadas a los criterios de evaluacin ya descritosen la programacin didctica contenida en el libro del profesor. Dichos criterios estn particu-larizados a distintos niveles, lo que permite al profesor:

Elaborar pruebas de evaluacin conjuntas para todos los alumnos. Estas pruebas permitenrealizar un diagnstico ajustado de los conocimientos que cada alumno del grupo tiene sobrela unidad.

Atender a la diversidad existente en el aula ya previamente conocida por el profesor, mediantepruebas adaptadas a alumnos de distintos niveles de conocimiento.

Unas pruebas de evaluacin globales de toda la materia graduadas en tres niveles: bsico,medio y avanzado. Estas pruebas tambin estn adaptadas a los criterios de evaluacin de lasdistintas unidades y permiten atender a la diversidad del aula.

Mediante los criterios de evaluacin de cada unidad adaptados a diversos niveles, se facilita latarea del profesor a la hora de realizar adaptaciones curriculares, atender a la diversidad, atender aalumnos de diversificacin, etc.

Esta forma de abordar la evaluacin, adaptndola de una forma ms precisa a las necesidades delos alumnos, permitir al profesor ser ms eficaz en su tarea educativa.

P R E S E N T A C I N

Evaluacin

3 ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

Al comenzar 4. de ESO los alumnos debern ser capaces de:

1. Utilizar nmeros racionales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e inter-cambiar informacin y resolver problemas relacionados con la vida diaria.

2. Expresar mediante el lenguaje algebraico una propiedad o relacin dada mediante un enunciadoy observar regularidades en secuencias numricas obtenidas de situaciones reales mediante laobtencin de la ley de formacin y la frmula correspondiente, en casos sencillos.

3. Resolver problemas de la vida cotidiana en los que se precise el planteamiento y resolucin deecuaciones de primer y segundo grado o de sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitas.

4. Reconocer las transformaciones que llevan de una figura geomtrica a otra mediante los movi-mientos en el plano y utilizar dichos movimientos para crear sus propias composiciones y anali-zar, desde un punto de vista geomtrico, diseos cotidianos, obras de arte y configuracionespresentes en la naturaleza.

5. Utilizar modelos lineales para estudiar diferentes situaciones reales expresadas mediante un enun-ciado, una tabla, una grfica o una expresin algebraica.

6. Elaborar e interpretar informaciones estadsticas teniendo en cuenta la adecuacin de las tablasy grficas empleadas, y analizar si los parmetros son ms o menos significativos.

7. Hacer predicciones sobre la posibilidad de que un suceso ocurra a partir de informacin previa-mente obtenida de forma emprica o como resultado del recuento de posibilidades, en casos sen-cillos.

8. Planificar y utilizar estrategias y tcnicas de resolucin de problemas tales como el recuento ex-haustivo, la induccin o la bsqueda de problemas afines y comprobar el ajuste de la solucin ala situacin planteada y expresar verbalmente con precisin, razonamientos, relaciones cuantita-tivas, e informaciones que incorporen elementos matemticos, valorando la utilidad y simplici-dad del lenguaje matemtico para ello.

Los anteriores criterios se han tomado del REAL DECRETO 1631/2006, de 29 de diciembre, por el quese establecen las enseanzas mnimas correspondientes a la Educacin Secundaria Obligatoria.

Q U D E B E N S A B E R L O S A L U M N O S ?

Evaluacin

4P R U E B A I N I C I A L I(Nmeros y lgebra)

ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A Evaluacin

1 Realiza las siguientes operaciones.

a) 351

b) 76 74 c) (35)4

33 92 d)

23 2524

2 Escribe como fraccin los siguientes nmeros.

a) 1,25 b) 2,666 c) 4,3222 d) 13,0565656

3 Calcula las siguientes expresiones.

a) Los 35 de 210 b) Los 4

7 de

58 c) La cuarta parte del triple de 36

4 Calcula y expresa el resultado de las siguientes operaciones en notacin cientfica.

a) (3,23 1012) (4,2 107) b) (5,14 106 1,03 102)

5 Realiza las siguientes operaciones.

a) 2 322 b)

33

59 c) 32 218 d) 43 227

6 Dos grifos que vierten la misma cantidad de agua tardan 4 horas en llenar un depsito.

a) Cunto tardarn 8 grifos en llenar dicho depsito? Y 18 grifos?

b) Cuntos grifos seran necesarios para llenar el depsito en 3 horas?

7 Calcula los siguientes binomios al cuadrado.

a) (a 2 b)2 b) (x 5y 2)2 c) (3x 2 2y )2

8 Factoriza el polinomio P (x) x 4 x 3 7x 2 x 6.

9 Realiza y simplifica las siguientes operaciones con fracciones algebraicas.

a) x x1 x

21 b) 1x

xx12 x

3x2

10 Resuelve la siguiente ecuacin.

2(x

3 3) 5(x 4) x

23

11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

12 La diferencia entre dos nmeros es 115, y la suma del quntuplo del primero y el triple del segundo es 3. Averigua di-

chos nmeros.

4x 3y 2x 2y 4

5 ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin AEvaluacin

P R U E B A I N I C I A L I(Geometr a , funciones y estadst ica)

1 Calcula el rea total y el volumen de un cilindro cuya altura mide 20 centmetros, y el radio de la base, 12 cent-metros.

2 Calcula el volumen de la esfera terrestre sabiendo que el ecuador mide aproximadamente 40000 kilmetros.

3 Halla el homlogo del punto A(5, 3) respecto a un giro de centro el origen de coordenadas y de ngulo cada uno delos siguientes valores.

a) 90 b) 180 c) 90

4 En una traslacin, el vector gua es v (3, 1). Halla los vrtices del tringulo homlogo a ABC, donde A(4, 0);B (1, 1), y C (5, 3).

5 Observa la siguiente grfica.

a) Cul es la pendiente de la recta?

b) Cul es la ordenada en el origen?

c) Escribe su ecuacin.

6 Por reparar una avera, un fontanero cobra 9 euros por el desplazamiento y 12 euros por hora trabajada.

a) Calcula cunto cobrar por reparar una avera en la que ha invertido 3 horas de trabajo.

b) Cunto tiempo le llev reparar una avera por la que cobr 63 euros?

c) Escribe la funcin que determina el precio a cobrar dependiendo de las horas trabajadas.

7 Se lanza una pelota al aire. La grfica representa la altura alcanza-da por la pelota en funcin del tiempo. Contesta a las siguientes pre-guntas.

a) Cunto tiempo estuvo en el aire?

b) Cul es la mxima altura que alcanz?

c) Durante cuntos segundos subi y baj la pelota?

8 Las puntuaciones obtenidas en una prueba de Matemticas por 20 alumnos de ESO son las siguientes.

3 5 7 6 6 5 8 2 4 5 6 8 7 9 2 10 3 7 6 6

a) Construye la tabla de distribucin de frecuencias absolutas, relativas, absolutas acumuladas y relativas acumuladas.

b) Halla la media, la mediana y la moda de la distribucin.

c) Representa los datos mediante un diagrama de barras.

9 Se ha pasado una encuesta a un grupo de consumidores acerca de una marca de quesos: el 10% manifest que nole gustaba nada; el 20%, poco; el 40%, regular, y el 30%, mucho. Haz un diagrama de sectores de los resultados dela encuesta.

10 En una bolsa hay 5 bolas blancas, 3 negras y 4 rojas. Se saca una bola al azar. Calcula la probabilidad de que:

a) Sea roja. b) Sea blanca o negra. c) No sea negra.

O X1

1

Y

O

Y

X5

1

6P R U E B A I N I C I A L I


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN I C I A L I (Nme r o s y l g e b r a )

1 a) 53 c) 313

b) 72 d) 34

2 a) 54 c) 3

9809

b) 83 d) 6

449653

3 a) 126 b) 154 c) 27

4 a) 1,3566 104

b) 5,29419 104

5 a) 262 b) 15 13 c) 92 d) 23

6 a) 8 grifos tardan 6 horas, y 18 grifos, 2 horas y 40 minutos.

b) 16 grifos

7 a) a 4 2a 2b b 2

b) x 2 10xy 2 25y 4

c) 9x 4 12x 2y 4y 2

8 P (x) (x 1)(x 1)(x 3)(x 2)

9 a) x2

x2

x 12

b)

10 x 9299

11 x 85, y

154

12 x 25, y 13x y 115

5x 3y 3

2x 3 10x 2 2x 4

x 3 4x


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN IC IAL I (Geomet r a , func iones y e s tad s t i ca )

1 AT AL 2 AB 240 72 312 980,18 cm2

V 720 2261,95 cm3

2 r 6366 km

V 1,08 1012 km3

3 a) (3, 5) b) (5, 3) c) (3, 5)

4 A(7, 1); B(2, 0); C(8, 4)

5 a) m 1 b) 3 c) y x 3

6 a) 45 euros b) 4 horas y 30 minutos c) f (x) 9 12x

7 a) 8 segundos

b) 35 metros

c) Subi entre los 0 y 4 segundos, y baj entre los 4 y 8 segundos.

8 a)

b) x 5,75; Me 6; Mo 6

c)

9

10 a) 142

13 b)

182

23 c)

192

34

xi fi hi Fi Hi xi fi2 2 0,10 2 0,10 43 2 0,10 4 0,20 64 1 0,05 5 0,25 45 3 0,15 8 0,40 156 5 0,25 3 0,65 207 3 0,15 16 0,80 218 2 0,10 18 0,90 169 1 0,05 19 0,95 910 1 0,05 20 1 10

20 1 115

2 3 4 5 6 7 8 9 10Notas

012345

Frec

uenc

ia

Nada

PocoRegular

Mucho

8P R U E B A I N I C I A L I I(Nmeros y lgebra)


1 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado.

a) 3 12 23 45

b) 272 34

2

2 Calcula las siguientes expresiones.

a) 23 (2)2 20 (23)2

b) 2 32 3

3 Ordena de menor a mayor los siguientes nmeros reales.

2 75 1,45 |2| 1

2 1,4v 7

35

4 Desarrolla el binomio (3x 2)2.

5 Simplifica la fraccin algebraicaxx2

2

5xx

26

.

6 Resuelve la ecuacin 145x

5x6 1 2

4(x3 3) .

7 Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado.

a) 2x 2 x 1 0

b) x 2 9 0

8 Cuatro kilogramos de manzanas y un kilogramo de peras cuestan 4,40 euros. Calcula cunto vale el kilogramo de cadafruta si sabemos que 2 kilogramos de peras cuestan lo mismo que 3 kilogramos de manzanas.

9 Si eres capaz de escribir 80 letras por minuto en un ordenador, cunto tiempo necesitas para escribir un milln deletras? Expresa el resultado en horas y minutos.

10 Se sabe que el caf pierde un 20% de su peso al tostarlo. Si disponemos de 120 gramos de caf tostado, cuntopesaba en crudo?

11 Una madre reparte cierta cantidad de dinero entre sus tres hijos, de 12, 15 y 18 aos, proporcionalmente a sus edades.Si al menor le da 180 euros, calcula cunto le corresponde a cada uno y cul es la cantidad que reparte.


P R U E B A I N I C I A L I I(Geometr a , funciones y estadst ica)

1 La altura de un prisma recto de base cuadrada mide 13 centmetros, y el lado de la base, 7.

a) Calcula su rea total.

b) Halla su volumen.

2 Halla las coordenadas de los siguientes puntos.

a) El homlogo del punto A(3, 4) en un giro de centro el origen y de ngulo 90.

b) El simtrico del punto B(1, 5) respecto del origen de coordenadas.

3 A la vista de la grfica de la funcin f (x) x 4 4x 2:

a) Indica el dominio de la funcin.

b) En qu intervalos crece y decrece?

c) Cules son sus mximos y sus mnimos relativos?

d) Indica los puntos en que corta los ejes coordenados.

e) Seala si es simtrica.

f) Seala si es peridica.

g) Indica en qu puntos no es continua.

4 El recibo mensual de la luz se compone de una cantidad fija (potencia contratada) y de una variable (consumo porkilovatio-hora). Una empresa elctrica cobra 5 euros por la potencia contratada y 0,20 por cada kilovatio-horaconsumido.

a) Cunto pagar una familia que ha consumido en un mes 300 kilovatios-hora?

b) Escribe la funcin que da el importe del recibo mensual de la luz dependiendo del consumo realizado.

c) Representa grficamente la funcin obtenida.

5 Considera la funcin de proporcionalidad inversa y 2x y represntala grficamente completando antes la tabla.

6 Se ha preguntado a 16 familias sobre el nmero de hijos que tienen y se han obtenido los siguientes resultados.

3 2 0 2 1 4 5 4 0 1 0 2 1 2 3 4

Construye la tabla de frecuencias absolutas correspondiente y dibuja el diagrama de barras asociado.

7 Calcula la media y la desviacin tpica de los siguientes datos.

0 3 1 1 3 0 3 5 3 0

8 Calcula la probabilidad de que al extraer una carta al azar de una baraja espaola sea un rey o un basto.

O X1

1

Y

x 2 1 12

12 1 2

y

10

P R U E B A I N I C I A L I I


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN I C I A L I I ( Nme r o s y l g e b r a )

1 a) 131 b) 1

69

2 a) 59 b) 1

3 1 70 75 2 1,4v 1,45 2

35 |2|

4 9x 2 12x 4

5 xx26

6 x 2169

7 a) x1 1, x2 12

b) x 3

8 El kilo de manzanas cuesta 0,80 euros, y el de peras, 1,20.

9 12500 minutos 208 horas y 20 minutos.

10 Pesaba 150 gramos.

11 Al mediano, 225 euros, y al mayor, 270.

En total reparte 675 euros.


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN IC IAL I I (Geomet r a , func iones y e s tad s t i ca )

1 a) AB 98 cm2

AL 364 cm2

AT 98 364 462 cm2

b) V 637 cm3

2 a) A(4, 3) b) B(1, 5)

3 a) D (f) (, )b) Crece en 2, 0 y en 2, .

Decrece en , 2 y en 0, 2.c) Mximo relativo en (0, 0)

Mnimos relativos en 2, 4 y en 2, 4.d) (2, 0); (0, 0); (2, 0)e) Es simtrica par.f) No es peridica.g) Siempre es continua.

4 a) 65 euros c)b) f (x) 5 0,20x

5

6

7

x 1,9 s 1,64

8 P (rey o basto) 1430

O

Y

X1

1

x 2 1 12

12 1 2

y 1 2 4 4 2 1O X1

1

Y

0 1 2 3 4 5N. de hijos

0

1

3

4

Frec

uenc

ia

2

xi fi fi xi (xi x ) (xi x)2 fi (xi x )2

0 3 0 1,90 3,61 10,83

1 2 2 0,90 0,81 1,62

3 4 12 1,10 1,21 4,84

5 1 5 3,10 9,61 9,61

10 19 26,90

Nmero de hijos 0 1 2 3 4 5

Frecuencia absoluta 3 3 4 2 3 1

12

P R U E B A I N I C I A L I I I(Nmeros y lgebra)


1 Calcula y simplifica, cuando sea posible, el resultado obtenido.

a) 23 14 23 75b) 5

2

2

58

2

12 342

542

2 Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.

72 ,

56 ,

1151 ,

47 ,

230 ,

12

3 Redondea hasta las centsimas los nmeros 2,32713 y 0,71246, y calcula los errores absolutos y relativos de cadaaproximacin. Cul es ms fiable?

4 Simplifica las siguientes expresiones.

a) 12 354 20

316

b) 36 18 300

5 Expresa en notacin cientfica los siguientes nmeros y calcula:

a) 0,001247 201000

b) 1650000 25000

6 Desarrolla las siguientes expresiones.

a) (2x 3y)2

b) (x 2 xy)2

c) (3z x 3) (3z x 3)

7 Dados los polinomios A(x) 3x 2 7x 9, B (x) x 7 y C (x) x 3 x 2 3x 2, calcula:

a) [A(x) C (x)] B (x)

b) A(x) B (x)

c) A(x) B (x)

8 Resuelve las siguientes ecuaciones.

a) x 35

2 (x9 1)

2x

b) x 22

2x6 3

9 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones.

10 El producto de dos nmeros naturales pares consecutivos es 624. Calcula ambos nmeros.

3x 2y 74x 7y 9


P R U E B A I N I C I A L I I I(Geometr a , funciones y estadst ica)

1 Se sabe que la hipotenusa de un tringulo rectngulo issceles vale 8 centmetros. Cunto valen ambos catetos? Yla altura? Calcula su rea.

2 Calcula el rea lateral y el volumen de un prisma hexagonal de 6 centmetros de altura y cuyo lado de la base mide4 centmetros.

3 En una reparacin de una avera, un electricista cobra 15 euros por el desplazamiento y 18 euros por hora trabajada.

a) Cul es la variable independiente? Y la dependiente?

b) Escribe la funcin que relaciona el tiempo empleado por el electricista en reparar la avera y el precio que cobrarpor dicha reparacin.

c) Representa grficamente la funcin.

4 Dada la siguiente grfica:

a) Cul es el dominio? Y el recorrido?

b) Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento.

c) Estudia la existencia de extremos relativos y absolutos.

5 Representa grficamente la siguiente funcin.

f (x) 6 El nmero de hermanos de un grupo de 20 chicos es 0, 2, 2, 1, 3, 5, 0, 1, 3, 2, 2, 4, 3, 1, 2, 3, 4, 5, 1 y 2.

a) Clasifica estos datos y construye la tabla de frecuencias absolutas, relativas y porcentuales.

b) Construye un diagrama de barras que represente estos datos.

c) Calcula la media, la mediana, la moda y el rango de la distribucin.

7 Se considera el experimento consistente en lanzar un dado y observar el nmero de la cara superior.

a) Describe el suceso A salir un nmero par.

b) Calcular P (A) y P (A).

8 Se ha hecho un estudio acerca de los resultados obtenidos por un grupo de alumnos de ESO en Matemticas, Lenguae Ingls, siendo los siguientes: el 30% de los alumnos suspendi en Matemticas, el 65% aprob en Lengua y el 20%no consigui superar la lengua inglesa. Si elegimos un alumno al azar, calcula:

a) La probabilidad de que haya suspendido en Matemticas.

b) La probabilidad de que haya suspendido en Lengua.

c) La probabilidad de que haya aprobado en Ingls.

si x 1si x 1

2x 31

O X

Y

1

1

14

P R U E B A I N I C I A L I I I


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN I C I A L I I I ( Nme r o s y l g e b r a )

1 a) 109 b) 0

2 12

72

230

47

1151

56

3 Aproximacin: 2,33 Aproximacin: 0,71

Ea 0,00287 Ea 0,00246

Er 0,001233 Er 0,003452

Es ms fiable la primera aproximacin.

4 a) 23 25 32

b) 6 32 103

5 a) 2,5 102

b) 1,67 106

6 a) 4x 2 9y 2 12xy

b) x 4 x 2y 2 2x 3y

c) 9z 2 x 3

7 a) 4x 4 27x 3 3x 2 35x 49

b) C (x) 3x 3 21x 154, R (x) 1069

c) 3x 3 6x 2

8 a) 276 b) 9

9 x 219, y 6

279

10 24 y 26


SOLUC IONES DE LA PRUEBA IN IC IAL I I I (Geomet r a , func iones y e s tad s t i ca )

1 Catetos 5,66 cmAltura 4 cm

rea 16 cm2

2 rea lateral 144 cm2

Volumen 249,12 cm3

3 a) Variable independiente tiempoVariable dependiente precio

b) f (x) 18x 15c)

4 a) D (f ) [1, 5]; R (f ) [2, 5] c) Mnimos relativos: (2, 1) y (4, 2)b) Es creciente en [2, 3]; [4, 5] Mnimo absoluto: (4, 2)

Es decreciente en [1, 2]; [3, 4] Mximos relativo y absoluto: (3, 5)

5

6 a)

b)

c) x 2,3; Mo 2; M 2; y Rango 5

7 a) A {2, 4, 6} b) P (A) 12 , P (A) 1

2

8 a) 0,30 b) 0,35 c) 0,80

1O X

Y

y = 18x +1510

2

0 1 2 3 4 5

4

6

fi

xi

y = 2x 3 si x1

OX

Y

22

xi fi hi pi0 2 0,10 10%1 4 0,20 20%2 6 0,30 30%3 4 0,20 20%4 2 0,10 10%5 2 0,10 10%

18

1 Nmeros racionalesCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o

Interpretar el conceptode fraccin y obtenerfracciones equivalentespara ordenar fracciones.

B Interpretar el concepto de fraccin. 1

M Ordenar fracciones reducindolas previamente a comn deno-minador. 2

3A Definir el concepto de nmero racional y buscar nmeros ra-cionales comprendidos entre otros dos.


Operar con fraccionesutilizando la jerarquade las operaciones.

MRealizar operaciones combinadas con fracciones en las queaparezcan parntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas yrestas.

4

ARealizar operaciones con fracciones en las que intervengancorchetes, parntesis, potencias de exponente entero, multi-plicaciones, divisiones, sumas y restas.

5

Expresar un nmerofraccionario en formadecimal, clasificndoloen decimal exacto,peridico puro o peridicomixto, y viceversa.

B Clasificar los nmeros fraccionarios en decimales exactos, pe-ridicos puros o mixtos, sin realizar la divisin. 7

M Reconocer los nmeros decimales que se pueden expresar enforma de fraccin y calcular su expresin fraccionaria. 8

Plantear y resolverproblemas utilizandolos nmeros racionales.

M Plantear y resolver problemas utilizando los nmeros raciona-les sencillos. 9

A Plantear y resolver problemas utilizando los nmeros racio-nales. 10

Representar grficamentelos nmeros racionalessobre la recta numrica.

M Expresar una fraccin como la suma de un nmero entero msuna fraccin propia y representarlas sobre la recta real. 6

B : B s i c o M : M e d i o A : A v a n z a d o

16ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A Evaluacin

Niveles de clasificacin de loscriterios de evaluacin: bsico,

medio y avanzado.

Adaptacin delcriterio deevaluacin acada uno de losniveles desde losque es posibleevaluarlo.

Criterios de evaluacinestablecidos en la

programacin didctica.

Las propuestas de evaluacin de cada unidad didctica estn organizadas en dos pginas.

En la pgina de la izquierda se presenta una tabla con los criterios de evaluacin (que se han establecido en la pro-gramacin didctica), clasificados y adaptados a tres posibles niveles: bsico (B), medio (M) y avanzado (A). Adems,se indican las actividades de la prueba de evaluacin donde se evala cada uno de los criterios adaptados.

C M O S O N N U E S T R A S P R O P U E S T A SD E E V A L U A C I N ?


En la pgina de la derecha se propone una prueba de evaluacin fotocopiable que contiene actividades adaptadas alos criterios que se han formulado; el profesor, de acuerdo con las circunstancias de sus alumnos, puede optar porvarias posibilidades:

a) Utilizar la prueba completa y realizar un diagnstico para evaluar la situacin de los alumnos del grupo.

b) Seleccionar actividades para realizar evaluaciones adaptadas a la diversidad del grupo.

Los resultados en uno u otro caso le permitirn atender, de forma particular, a las necesidades educativas de cadaagrupacin de alumnos: desde las competencias bsicas hasta la ampliacin de conocimientos.

En el cuaderno de Atencin a la diversidad se ofrecen distintas posibilidades de atencin a cada tipo de alumno.

19

1 Un libro tiene 250 pginas. Ana ha ledo 125; Roberto, dos quintos del total, y Luis, el 30% del libro. Qu fraccindel libro lleva leda Ana? Cuntas pginas ha ledo Roberto? Y Luis?


}212

3} }

79} }

218

5} }

34} }

1356} }

68} }

212

9} }

22145}

3 Entre dos nmeros racionales, existe siempre un nmero racional? En caso afirmativo, halla un nmero racional

comprendido entre }1323} y }

1333}.

4 Opera, simplificando al mximo los resultados.

a) }241} 1 }

83} ? 12}52}2 2 1}1120} 1 }49}2 ; }75}

b) }23} ? 1}225} 1 }1125}2 1 }65} ; 12}32}2

5 Opera y simplifica.

a) 1}23} 2 1223

1 1}23}222

; 1}34} 2 }16}2 2 1}12}222

; 31}221}223

1 12 2 }23}22

4b) 1}234}2

23

1 31}34}22

; 1}43}222

2 }12}4

3

1 1}23}222

; 2

6 Representa grficamente las siguientes fracciones.

a) }232} b) }7

2} c) }2

58}

7 Sin efectuar la divisin, clasifica los siguientes nmeros racionales en decimales exactos, peridicos puros o peridi-cos mixtos.

a) }1184} b) }

7251} c) }1

320} d) }1

158} e) }2

41} f) }2

684}

8 Halla la fraccin irreducible correspondiente a los siguientes nmeros decimales.

a) 1,12 b) 3,7652v c) 0,15v

9 Mara ha comprado una televisin y va a pagarla en tres plazos. En el primero abona un tercio del total, en el se-gundo paga un cuarto y en el ltimo plazo paga 500 euros. Cunto cuesta la televisin? Cunto pagar en cadaplazo?

10 Las dos quintas partes de la superficie de un campo estn plantadas de melocotoneros, y tres cuartos del resto loestn de manzaneros. Si quedan sin plantar 1200 metros cuadrados, qu superficie tiene el campo? Cuntos me-tros cuadrados estn plantados de melocotoneros? Y de manzaneros? Qu fraccin del campo est sin plantar?

A C T I V I D A D E S

1EVALUACIN Nmeros racionales

Evaluacin ESFERA Matemticas 4.o ESO - Opcin A

18

1 Nmeros racionalesCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o

Interpretar el conceptode fraccin y obtenerfracciones equivalentespara ordenar fracciones.

B Interpretar el concepto de fraccin. 1

M Ordenar fracciones reducindolas previamente a comn deno-minador. 2

3A Definir el concepto de nmero racional y buscar nmeros ra-cionales comprendidos entre otros dos.


Operar con fraccionesutilizando la jerarquade las operaciones.

MRealizar operaciones combinadas con fracciones en las queaparezcan parntesis, multiplicaciones, divisiones, sumas yrestas.

4

ARealizar operaciones con fracciones en las que intervengancorchetes, parntesis, potencias de exponente entero, multi-plicaciones, divisiones, sumas y restas.

5

Expresar un nmerofraccionario en formadecimal, clasificndoloen decimal exacto,peridico puro o peridicomixto, y viceversa.

B Clasificar los nmeros fraccionarios en decimales exactos, pe-ridicos puros o mixtos, sin realizar la divisin. 7

M Reconocer los nmeros decimales que se pueden expresar enforma de fraccin y calcular su expresin fraccionaria. 8

Plantear y resolverproblemas utilizandolos nmeros racionales.

M Plantear y resolver problemas utilizando los nmeros raciona-les sencillos. 9

A Plantear y resolver problemas utilizando los nmeros racio-nales. 10

Representar grficamentelos nmeros racionalessobre la recta numrica.

M Expresar una fraccin como la suma de un nmero entero msuna fraccin propia y representarlas sobre la recta real. 6


46848_Evaluacion i_V7:46848_Evaluacion i 20/4/10 10:41 Pgina 18

19

1 Un libro tiene 250 pginas. Ana ha ledo 125; Roberto, dos quintos del total, y Luis, el 30% del libro. Qu fraccindel libro lleva leda Ana? Cuntas pginas ha ledo Roberto? Y Luis?


12

3

79

18

5

34

1356

68

12

9

2145

3 Entre dos nmeros racionales, existe siempre un nmero racional? En caso afirmativo, halla un nmero racional

comprendido entre 1323 y

1333.

4 Opera, simplificando al mximo los resultados.

a) 241

83

52 1120 49 75

b) 23

225 1125 65 32

5 Opera y simplifica.

a) 23 13

232

34 16 122

213

2 232

b) 34

3

342

432

12

3

232

2

6 Representa grficamente las siguientes fracciones.

a) 32 b) 7

2 c)

58

7 Sin efectuar la divisin, clasifica los siguientes nmeros racionales en decimales exactos, peridicos puros o peridi-cos mixtos.

a) 1184 b)

7251 c) 1

320 d) 1

158 e) 2

41 f) 2

684

8 Halla la fraccin irreducible correspondiente a los siguientes nmeros decimales.

a) 1,12 b) 3,7652v c) 0,15v

9 Mara ha comprado una televisin y va a pagarla en tres plazos. En el primero abona un tercio del total, en el se-gundo paga un cuarto y en el ltimo plazo paga 500 euros. Cunto cuesta la televisin? Cunto pagar en cadaplazo?

10 Las dos quintas partes de la superficie de un campo estn plantadas de melocotoneros, y tres cuartos del resto loestn de manzaneros. Si quedan sin plantar 1200 metros cuadrados, qu superficie tiene el campo? Cuntos me-tros cuadrados estn plantados de melocotoneros? Y de manzaneros? Qu fraccin del campo est sin plantar?


1EVALUACIN Nmeros racionales



20

2 Nmeros reales


CRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o

Reconocer y representarlos nmeros reales.

B Reconocer los distintos tipos de nmeros y decidir los con-juntos a los que pertenecen. 1

M Representar grfica y analticamente nmeros reales, as comointervalos y entornos. 2

Expresar un nmeroirracional mediante unasucesin de intervalosencajados.

MAproximar un nmero irracional, por exceso y por defecto, has-ta un orden determinado y expresar la sucesin de intervalosencajados que se obtienen.

3

Expresar nmerosen notacin cientficay operar con ellos, dandoel resultado en notacincientfica.

M Expresar nmeros en notacin cientfica y viceversa, y operarcon ellos expresando el resultado en notacin cientfica. 7

Obtener el error cometidoal aproximar un nmeroirracional y al operarcon nmeros reales.

B Redondear un nmero irracional hasta un orden dado. 4

MDeterminar la mejor aproximacin de un nmero irracional,comparando los errores relativos cometidos al efectuar lasaproximaciones.

5

6A Operar con nmeros reales y obtener el error mximo come-tido.

Interpretar y operar conpotencias de exponentefraccionario y con radicales.

B Transformar radicales en potencias de exponente fraccionarioy viceversa. 8

M Operar con radicales. 9

10A Racionalizar expresiones fraccionarias con radicales.



21

1 Clasifica los nmeros 2; 21; 2,43v; 5,6; 8; 3,6; , y 2,35v en naturales, negativos, enteros, decimales exactos, de-cimales peridicos, racionales, irracionales o reales.

2 Representa en la recta real los siguientes nmeros o conjuntos numricos.

a) [3, 3) b) x 5 2 c) 4 x 1 d) 5

3 Halla las aproximaciones por exceso y por defecto del nmero e 2,71828182... hasta las milsimas, y tambin lasucesin de intervalos encajados.

4 Redondea hasta el orden de las centsimas el nmero irracional 19 4,35889894

5 Una sustancia cuya masa es de 15,35896 gramos se pesa en dos balanzas. La primera marca 15,3589 gramos, y lasegunda, 15,359. Para realizar un experimento, se elegir la balanza que menor error relativo cometa. Cul de lasdos balanzas elegiras?

6 Opera aproximando hasta las diezmilsimas y halla el error mximo cometido.

a) 210 319b) 5 17

7 Calcula:

a) (Expresa el resultado en notacin cientfica.)

b) La distancia de la Tierra al Sol es de 150 millones de kilmetros. A esta cifra se la conoce como unidad astro-nmica (UA), y se toma como referencia para medir las grandes distancias que nos separan de otros cuerpos ce-lestes. La estrella ms prxima a nosotros, situada fuera del sistema solar, Alfa Centauro, est a 271760 UA. Ex-presa ambas distancias en notacin cientfica. Cuntos kilmetros separan la Tierra de la estrella Alfa Centau-ro? Opera y expresa el resultado en notacin cientfica.

8 Expresa como un nico radical y transforma en potencia de exponente fraccionario.

a) 3

5 5 b) 6 (24)4 c) (8 )5 d) (32)5

9 Opera:

a) 43

108 3

32 3

625 c) 6

x 5 9

(x 2)4 x 3b)

38 6

66 d) 2108 53 453

10 Racionaliza:

a) b) c)256

23 3523 35

7 523 6

[2 108 4 109] (2 105)

3 104 109


2EVALUACIN Nmeros reales



22

3 PolinomiosCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o


Identificar los conceptosrelacionados con lasexpresiones algebraicas,y utilizar las tcnicasy procedimientos bsicosde clculo algebraico paraoperar con polinomios.

B Calcular el valor numrico de una expresin algebraica, y de-terminar el grado y los coeficientes de un polinomio. 1

M Aplicar los algoritmos propios de la suma, diferencia, multi-plicacin, divisin y potenciacin de polinomios. 2

Aplicar las identidadesnotables para desarrollarexpresiones algebraicasy para simplificarlas.

B Usar las identidades notables para desarrollar expresiones al-gebraicas. 3

M Reconocer las identidades notables en expresiones algebraicasy utilizarlas para simplificarlas. 4

Obtener las races enterasde un polinomioy factorizarlo.

M Obtener las races enteras de un polinomio a partir de los di-visores del trmino independiente. 8

A Factorizar polinomios de coeficientes enteros. 9

Utilizar el teorema del restoy del factor en diversoscontextos.

BUtilizar el teorema del resto para calcular el resto de la divi-sin de un polinomio entre un binomio de la forma x a sinnecesidad de efectuar la divisin.

6

M Aplicar el teorema del factor para averiguar si un polinomioes divisible entre otro polinomio de la forma x a. 7

Usar la regla de Ruffini paradividir un polinomio entreotro polinomio de la formax a.

M Usar la regla de Ruffini para dividir un polinomio entre un bi-nomio de la forma x a. 5



23

1 Completa la siguiente tabla.

2 Dados los polinomios P (x ) x 5 5x 4 20x 2 16, Q (x ) x 2 2x 8 y R (x ) 3x 2, efecta estas ope-raciones.

a) R (x ) [P (x ) Q (x )] b) P (x ) [Q (x ) R (x )2] c) P (x ) Q (x )

3 Desarrolla las siguientes expresiones.

a) (2x y) (2x y) y (3x y)

b) (2x 3)2 (2x 3)2

c) (2x 2 1)2 (3x 2)2

4 Completa las siguientes expresiones.

a) ( )2 4x 2 9

b) (3x )2 12x

c) (5 )2 30x

5 Utiliza la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto de la divisin (5x 4 2x 2 3x 3) (x 2).

6 Calcula el valor de a para que el resto de la divisin (3x 4 2x 2 ax 5) (x 2) sea 1 sin efectuar la divisin.

Enuncia el teorema que has utilizado.

7 Averigua si es divisible el polinomio P (x ) x 4 2x 2 7 entre x 2. Razona tu respuesta con los teoremas ne-cesarios.

8 Halla el nmero mximo de races reales que puede tener el polinomio P (x ) x 3 x 2 x 2.

Escribe el conjunto de las races enteras del polinomio P (x ).

9 Factoriza los siguientes polinomios.

a) P (x ) 3x 4 6x 3 3x 2 6x b) Q (x ) 2x 4 2x


3EVALUACIN Polinomios


Polinomio Ordenado Grado Valor numrico Valor numricoy reducido para x 1 para x 1

P (x ) 2x 3 3x 2 4x 3 3x 2x 2 5

Q (x) 6x 5 2x 2 3x 7 8x 5

R (x) 2x 2 3x 5 7x 3


24

4




Diferenciar las identidades,las ecuaciones, lasdesigualdades y lasinecuaciones, y expresardistintas situaciones atravs de ellas.

B Utilizar el lenguaje algebraico para expresar diferentes situa-ciones matemticas como ecuaciones e inecuaciones. 1

M Distinguir entre identidad y ecuacin, y entre desigualdad einecuacin. 2

Resolver inecuaciones deprimer grado, expresandosu solucin en forma deintervalos y semirrectas.

BResolver inecuaciones de primer grado, en las que pueden apa-recer parntesis y denominadores, expresando la solucin enforma de intervalo o semirrecta.

8

Resolver problemas de lavida cotidiana, aplicandolos mtodos de resolucinde cualquiera de los tiposde ecuaciones con unaincgnita o de inecuacionesde primer grado.

MPlantear y resolver ecuaciones de primero o segundo gradopara resolver problemas en contextos matemticos o coti-dianos.

9

A Plantear y resolver inecuaciones de primer grado para resol-ver problemas de la vida real o en un contexto matemtico. 10

Resolver ecuacionespolinmicas de gradosuperior a dos,factorizndolas previamenteo como aplicacinde la resolucin de lasde segundo grado en casode las bicuadradas, y resolvercorrectamente ecuacionesradicales, verificandola validez de los resultados.

MResolver ecuaciones polinmicas de grado mayor que dos me-diante su factorizacin o reducindolas a una ecuacin de gra-do dos tras un cambio de variable.

6

A Resolver ecuaciones con uno o dos radicales, comprobandoposteriormente la validez de los resultados. 7

Resolver ecuaciones deprimer grado, en las quepueden aparecer parntesisy denominadores, yecuaciones de segundogrado, completas eincompletas, eligiendopreviamente el mtodo msadecuado.

B Resolver ecuaciones de primer grado con parntesis y deno-minadores. 3

B Resolver ecuaciones de segundo grado, completas e incom-pletas, sin denominadores ni parntesis. 4

5M Resolver ecuaciones de segundo grado con denominadores yparntesis.

Ecuaciones e inecuaciones


25

1 Escribe una ecuacin o una inecuacin que describa las siguientes expresiones.

a) La suma de tres nmeros consecutivos es 24.

b) Dos nmeros pares consecutivos suman ms de 15.

c) El cuadrado de un nmero menos su raz cuadrada no supera a su mitad.

2 Clasifica las siguientes expresiones en identidades, ecuaciones, desigualdades e inecuaciones.

a) 3x 2 3 3(x 1)(x 1) c) a 2 5a 3 a (a 1)

b) x 2

3 x d) 1 2 3 1 2 3


a) 12

(3x 1) 2x10

3 1

35x

2(x4 1) b) 4(x

8 1)

3(x4 1)

38

x

24


a) x 2 2x 3 0 c) 3x 2 4x 0

b) 2x 2 8 0 d) 2x 2 x 1 0


a) x (x2 3)

x (x4 2)

x (3x8 1) b) 1 x (x 3) 3(x 1)

6 Resuelve las siguientes ecuaciones de grado mayor que dos.

a) 2x4 40x2 128 0 b) x 4 x 3 6x 2 0

7 Resuelve la siguiente ecuacin con radicales.

2x 8 x 2

8 Resuelve algebraicamente las inecuaciones siguientes, expresando el resultado en forma de intervalo o semirrecta.

a) 2(x5 3) x

2x

x (3x

10 2) b) 3x 2(x

3 5)

x 6

3 3(x 5)

9 La altura de un tringulo issceles mide 2 centmetros ms que la base, y el permetro es de 36 centmetros. Cal-cula cunto miden los lados iguales del tringulo.

10 El gimnasio que est debajo de mi casa cobra 30 euros por la matrcula y 24 euros al mes. Otro gimnasio cobra24 euros por la matrcula y 26 euros por la mensualidad.

A partir de qu mes es ms barato el primer gimnasio que el segundo?


4EVALUACIN Ecuaciones e inecuaciones



26

5




Resolver sistemas deecuaciones lineales por elmtodo grfico, dando unainterpretacin geomtricaa los mismos, y aplicarlosa problemas de enunciado

M

Utilizar el mtodo grfico para resolver sistemas de ecuacio-nes lineales con dos incgnitas, interpretando la posicin re-lativa de las rectas que representan y aplicndolo a proble-mas de la vida cotidiana.

6

Encontrar pares de nmerosque sean solucin de unaecuacin de primer gradocon dos incgnitas para,posteriormente, identificaraquellos que son solucinde un sistema dado, ascomo el tipo de sistemade que se trata segnsu nmero de soluciones.

B Realizar tablas con las soluciones de una ecuacin lineal condos incgnitas. 1

MDiscutir un sistema de ecuaciones en funcin del nmero desoluciones que tenga, identificando si un par de nmeros da-dos es solucin del sistema.

2

Resolver sistemasde ecuaciones no lineales,formados por ecuacionesde hasta segundo grado,de manera algebraica,comprobando la validezde las solucionesy aplicndolos a laresolucin de problemas.

M

Resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales de hastasegundo grado, utilizando el mtodo de sustitucin o re-duccin, y comprobar la validez de los resultados obte-nidos.

7

APlantear y resolver sistemas de dos ecuaciones no lineales dehasta segundo grado para la resolucin de problemas de lavida cotidiana o en un contexto matemtico.

8

Resolver sistemasde ecuaciones linealespor sustitucin, igualacino reduccin, y aplicarlosa problemas de enunciado.

BResolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitassin denominadores y sin parntesis, por sustitucin, igualacino reduccin.

3

MResolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incgnitasque puedan tener denominadores y/o parntesis, por sustitu-cin, igualacin o reduccin.

4

5APlantear y resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos in-cgnitas para la resolucin de problemas de la vida cotidianao en un contexto matemtico.

Sistemas de ecuaciones


27

1 En un examen tipo test, por cada pregunta acertada te dan 1 punto, por cada fallo te restan 0,5 puntos y, si dejasen blanco la respuesta, no punta. Haz una tabla indicando el nmero de aciertos y fallos posibles para sacar un 6,sabiendo que, como mucho, he contestado a 20 preguntas.

2 Di de qu tipo son los siguientes sistemas en funcin del nmero de soluciones que tengan, sin resolverlos, y com-prueba si x 2, y 3 es solucin de alguno de ellos.

a) b)

3 Resuelve el siguiente sistema por sustitucin, igualacin o reduccin.

4 Resuelve el siguiente sistema utilizando un mtodo algebraico distinto del empleado en el ejercicio anterior.

5 La suma de las dos cifras de un nmero es 10, y la cifra de las decenas es el cudruplo de la cifra de las unidades.

Halla dicho nmero.

6 El precio de un emparedado es de 1,5 euros, y el de un refresco es de 1 euro. Plantea un sistema para averiguarcuntos emparedados y refrescos puedo adquirir con 7 euros sabiendo que he comprado 5 artculos, y resulvelo uti-lizando el mtodo grfico.

7 Resuelve algebraicamente el siguiente sistema de ecuaciones.

8 Averigua la medida de los tres lados de un tringulo issceles de 36 centmetros de permetro, sabiendo que la al-tura mide 1 centmetro menos que los lados iguales.

4y

x

2y

14

x

66

5(y

82x )

254

x 2 2y 2 32x y 1

x 6y 122x 3y 15

2x 6y 223x y 9

6x 4y 429x 6y 36


5EVALUACIN Sistemas de ecuaciones



28

6



Resolver problemasrelacionados con la vidadiaria aplicandolas magnitudes directae inversamenteproporcionales, como,por ejemplo, reglas de tresy repartos directose inversos.

B Resolver problemas de proporcionalidad simple directa e in-versa. 3

M Realizar repartos proporcionales directos o inversos. 4

5A Resolver problemas de proporcionalidad compuesta directa, in-versa o mixta.


Resolver problemasde la vida real en losque aparezcan aumentosy disminucionesporcentuales y porcentajessucesivos.

BCalcular aumentos y disminuciones porcentuales sucesivos, ascomo hallar la cantidad inicial de un aumento o descuento,dados la cantidad final y el porcentaje.

6

MObtener el porcentaje equivalente a una sucesin de aumen-tos y disminuciones porcentuales, y utilizarlo para simplificarclculos.

7

Resolver problemasfinancieros de interssimple y compuesto,valorando la oportunidad deutilizar la hoja de clculo yla calculadora cientfica enfuncin de la cantidad ycomplejidad de losnmeros.

BCalcular el capital final obtenido al realizar una inversin ainters simple o compuesto, dados el capital inicial, el rditoanual y el tiempo.

8

M

Hallar el capital inicial, el rdito, el tiempo o el capital finalen un problema de inters simple, o el capital inicial o finalen un problema de inters compuesto, pudiendo ser anual,mensual o diario.

9

Utilizar las propiedadesde las magnitudes directae inversamenteproporcionales para calculartrminos desconocidosen una proporcin.

BCalcular trminos desconocidos en tablas de magnitudes di-recta e inversamente proporcionales, y hallar la constante deproporcionalidad correspondiente.

1

M Reconocer relaciones de proporcionalidad entre magnitudesdadas y completar tablas de valores de dichas magnitudes. 2

Proporcionalidad directa e inversa


29

1 Completa las siguientes tablas sabiendo que A y B son directamente proporcionales y que X e Y son inversamenteproporcionales. Calcula tambin las respectivas constantes de proporcionalidad.

2 Completa la siguiente tabla indicando si la relacin de proporcionalidad es directa o inversa.

3 Un centro escolar decide pintar 4 de sus aulas, para lo que compra 30 kilogramos de pintura. Antes de que acaben,deciden pintar 3 aulas ms exactamente iguales a las anteriores. Cuntos kilogramos ms debern comprar?

4 Reparte 15210 euros en tres partes:

a) Directamente proporcionales a 3, 4 y 6.

b) Inversamente proporcionales a 3, 4 y 6.

5 Una imprenta, funcionando 24 horas al da durante 3 das, imprime 18000 carteles que le haban encargado. Si fun-cionara solo 10 horas al da, cuntos das seran necesarios para imprimir los 5000 carteles iguales del siguienteencargo?

6 Un producto cuyo IVA es del 16% est rebajado un 12%.

a) Si el producto sin rebajar y sin IVA vale 45 euros, cul es su precio final?

b) Si otro producto con ese mismo IVA vale 29,87 euros, cunto cuesta sin IVA?

7 En diciembre, los precios subieron un 2% y en enero bajaron un 3%.

a) Indica si en total se ha producido un aumento o un descuento y de qu porcentaje.

b) Si un producto cuesta antes de la subida 28 euros, utiliza el resultado obtenido en el apartado anterior para cal-cular cunto cuesta despus de enero.

8 Calcula cunto dinero tendremos si realizamos una inversin de 1200 euros al 7% durante 5 aos si el inters es:

a) Simple.

b) Compuesto.

9 Halla el tiempo que debemos mantener una inversin de 8 500 euros al 2% de inters simple para que el capital fi-nal sea de 9520 euros.


6EVALUACIN Proporcionalidad directa e inversa


A 20 10 8 100

B 5 6

X 6 54

Y 9 2 3 27

Horas/semana trabajadas 40 35 37

Sueldo (euros) 1140 1050 960


30

7




Detectar y construir figurassemejantes utilizandola razn de semejanza,y aplicar diestramente losconceptos y procedimientospropios de la semejanzapara determinar distintoselementos de tringulosy otras figuras.

B Hallar la razn de semejanza de dos figuras semejantes y uti-lizarla para calcular medidas desconocidas de una de ellas. 1

M Utilizar los criterios de semejanza de tringulos para deter-minar si dos tringulos dados son semejantes o no. 2

Utilizar el teorema de Talesen la divisin de segmentosy en la resolucin detringulos, as como elteorema de la altura y delcateto para resolversituaciones geomtricas oproblemas reales.

B Aplicar el teorema de Tales para calcular medidas de seg-mentos. 3

MReconocer las situaciones en las que se pueden aplicar el te-orema del cateto y el de la altura, y utilizarlos para la reso-lucin de problemas.

4

Utilizar las razonestrigonomtricas parael clculo de longitudesy ngulos, dados tanto enel sistema sexagesimalcomo en el internacional,y pasar de un sistemaa otro con destreza. Utilizarla calculadora en losclculos relativos a latrigonometra cuandose considere necesario.

B Expresar en radianes un ngulo dado en grados y viceversa. 5

MHallar las razones trigonomtricas de un ngulo agudo de untringulo rectngulo y conocer las relaciones que ligan dichasrazones.

6

7A Obtener un ngulo a partir de alguna de sus razones trigono-mtricas, utilizando la calculadora cientfica y viceversa.

Resolver tringulosrectngulos y problemasrelacionados en los que seaplique la trigonometracomo herramienta deresolucin.

M Resolver tringulos rectngulos dados dos de sus lados o unlado y un ngulo. 8

A Resolver problemas de clculo de longitudes o ngulos apli-cando la trigonometra. 9

Semejanzay trigonometra


31

1 Las figuras del dibujo son semejantes. Halla la razn desemejanza y los lados desconocidos.

2 Determina cules de las siguientes parejas de tringulos estn formadas por tringulos semejantes.

a) b 4 cm, c 6 cm, A 60 y b 6 cm, c 9 cm, A 60

b) Los lados del primero miden 3, 5 y 7 metros, y los del segundo, 7,5; 10,5, y 4,5 metros.

c) Dos ngulos del primero son de 52 y 48, y dos ngulos del segundo son de 80 y 48.

3 Calcula x e y en el siguiente dibujo.

4 En un tringulo rectngulo, sean a la hipotenusa, b y c los catetos, h la altura sobre la hipotenusa, y m y n las pro-yecciones de b y c sobre la hipotenusa, respectivamente.

a) Halla el rea del tringulo sabiendo que m 9 centmetros y n 16 centmetros.

b) Halla b y c sabiendo que m 3,6 metros y n 6,4 metros.

5 Expresa el resultado de 30 3

radianes en grados sexagesimales y en radianes.

6 Sea un ngulo de un tringulo rectngulo, de modo que el cateto opuesto a a mide 6 centmetros, y la hipote-nusa, 7,5 centmetros. Sin calcular el otro cateto, halla el seno, el coseno y la tangente de .

7 Halla los ngulos de un tringulo rectngulo cuyos catetos miden 6 y 7 centmetros.

8 Resuelve el tringulo de la figura.

9 Calcula la altura del hueco de la ventana del dibujo.


7EVALUACIN Semejanzay trigonometra


4 cm

2 cm

6 cm

3 cm

2 cm

A

x

y CB

B C

4,5 cm

2 cm3 cm

7 cm

x

y

9,2 cm

36o

10 m40o 44

o

A

xB

C


32

8



Conocer los elementosbsicos de las figurasplanas (base, altura,diagonales, apotema, radioy ngulos) y suspropiedades fundamentales.

B Nombrar y reconocer los elementos bsicos de una figura pla-na dada, as como sus propiedades mtricas bsicas. 1

Conocer el desarrollo planode los cuerpos geomtricos,as como sus elementos(altura, apotema, radioy generatriz) y suspropiedades bsicas.

BNombrar y reconocer los elementos bsicos de un cuerpo geo-mtrico y su desarrollo plano, as como sus propiedades m-tricas bsicas.

4


Calcular reas (lateral, de labase y total), volmenes ylongitudes de cuerposgeomtricos, dominando lasdiferentes unidades demedida correspondientes.

BObtener las longitudes, reas y volmenes de los cuerpos geo-mtricos simples, expresando el resultado en las unidades demedida necesarias.

5

MObtener longitudes, reas y volmenes de cuerpos geomtri-cos compuestos, por adicin o sustraccin, expresando el re-sultado en las unidades necesarias.

6

Resolver problemas en los que intervenganfiguras planas o cuerposgeomtricos en contextosde la vida real o de cualquier rea de conocimiento.

M Resolver problemas de clculo de longitudes, reas o volme-nes de objetos simples de la vida real. 7

A Resolver problemas de clculo de longitudes, reas o vol-menes de objetos compuestos de la vida real. 8

Calcular reas y permetrosde figuras planas,dominando las diferentesunidades de medidacorrespondientes.

B Obtener las reas y permetros de las figuras planas simples,expresando el resultado en las unidades de medida necesarias. 2

MObtener reas y permetros de figuras planas compuestas, poradicin o sustraccin, expresando el resultado en las unida-des necesarias.

3

Problemas mtricos


33

1 En un polgono regular de n lados, cmo se llama la distancia entre el centro y un vrtice? Qu es la apotema?Cmo estn relacionados estos conceptos?

2 Calcula el permetro (en centmetros) y el rea (en centmetros cuadrados) de las siguientes figuras planas.a) Un trapecio issceles de 55 y 35 milmetros de base y 24 milmetros de altura.b) Un sector circular de 5 decmetros de radio y 60 de ngulo.

3 Calcula el rea de la parte sombreada de cada una de las siguientes figuras planas.a) b)

4 Dibuja el desarrollo de una pirmide cuadrangular de 6 centmetros de lado de la base y de 5 centmetros de apo-tema lateral. Cunto mide la altura de esta pirmide?

5 Calcula el rea total y el volumen de los siguientes cuerpos geomtricos.a) Un cono de 50 decmetros de radio y 12 metros de altura.b) Un cilindro que tenga la misma base y altura que el cono anterior.

6 Obtn el rea y el volumen del siguiente cuerpo geomtrico.

7 Una seal de direccin prohibida mide 60 centmetros de dimetro, y el rectngulo blanco interior mide 15 por 45centmetros. Calcula el rea de la parte coloreada de rojo.

8 Calcula el rea que se debe pintar del obelisco de la figura.


8EVALUACIN Problemas mtricos


12 cm

2 cm

6 cm

6 cm

5 cm

20 cm

1,5 m

10 m

3 m

1 m

45o

7 cm

5 cm


34

9




Calcular razonadamentela distancia entredos puntos, mduloy argumento de un vector,y obtener las coordenadasdel punto medio deun segmento.

B Conocer la relacin entre las coordenadas de dos puntos y lasdel punto medio del segmento que definen. 3

MCalcular el mdulo de un vector a partir de sus coordenadas,utilizando este clculo para hallar la distancia que separa dospuntos, y obtener el argumento de dicho vector.

4

Conocer los elementos quedefinen un vector,identificar vectoresequipolentes, calcular lascoordenadas de un vectorlibre y operar con vectores(suma y producto porescalares) tanto grficacomo analticamente.

B

Identificar el mdulo, la direccin y el sentido de un vector,as como su punto de origen y extremo del mismo, y utilizar-los para calcular las coordenadas del vector libre correspon-diente.

1

M Obtener la suma de dos vectores y el producto de un vectorpor un nmero real, tanto grfica como analticamente. 2

Obtener en sus distintasformas la ecuacin de unarecta en el plano, partiendode los elementos quela definen (y viceversa) o de otra ecuacin.

BObtener las ecuaciones vectorial, paramtricas, continua, ge-neral y explcita de una recta, dados uno de sus puntos y unvector director o dos puntos de la recta.

5

MHallar puntos y vectores directores de una recta, dada algunade las ecuaciones que la describen, y utilizarlos para obtenerlas ecuaciones restantes.

6

Averiguar las posicionesrelativas de dos rectas en elplano a partir del anlisisde sus ecuaciones, y deducirecuaciones de rectasutilizando las condicionesde paralelismo e incidencia.

M

Obtener las posiciones relativas de dos rectas a partir de susecuaciones, utilizando la pendiente u observando si los coefi-cientes de la ecuacin general son proporcionales, y calcularel punto de interseccin en el caso de rectas secantes.

7

A Deducir ecuaciones de rectas utilizando las condiciones deparalelismo e incidencia. 8

Plantear y resolverproblemas diversos a travsdel uso de tcnicasgeomtricas.

MUtilizar los vectores y rectas en el plano y sus coordenadas yecuaciones como mtodo de resolucin de problemas geom-tricos.

9

AUtilizar los vectores y rectas en el plano y sus coordenadas yecuaciones como mtodo de resolucin de problemas de lavida cotidiana.

10

Vectores y rectas en el plano


35

1 Indica si los vectores AB y CD tienen el mismo mdulo, direccin y sentido, donde las coordenadas de cada puntoson A (1, 1); B (2, 1); C (5, 3), y D (4, 1). Son equipolentes?

Obtn las coordenadas de cada uno de ellos.

2 Dibuja en un plano coordenado los vectores u (5, 3) y v (1, 2). Obtn u v y 2v tanto grfica como ana-lticamente.

3 Halla las coordenadas del punto medio de cada uno de los lados del tringulo ABC, siendo A (1, 3); B (1, 1), yC (3, 1).

4 Halla la distancia que separa los puntos A (4, 2) y B (1, 10). Indica tambin el argumento del vector AB.

5 Obtn la ecuacin vectorial, las ecuaciones paramtricas, la continua, general y explcita de la recta que pasa por(1, 1) y es paralela al vector (2, 1).

6 Halla un punto y un vector director de la recta 2x y 1 0. Utiliza el punto y el vector obtenidos para hallarla ecuacin vectorial, las ecuaciones paramtricas y la continua de dicha recta.

7 Indica la posicin relativa de las rectas x y 2 0 y 2x y 2 0. En el caso de ser secantes, halla elpunto de corte.

8 Halla la ecuacin general de una recta que pase por el punto P (2, 3) y sea paralela a la recta 2x y 3 0.

9 Averigua si los puntos R (5, 6), S (3, 2) y T (2, 0) estn alineados, es decir, si estn los tres sobre una mismarecta. En caso afirmativo, calcula dicha recta, y en caso negativo, calcula la longitud de los lados del tringulo quese forma.

10 Al representar sobre un plano coordenado una de las orillas de un ro, resulta la recta r y 2x 2. Unabarca parte de un punto A de dicha orilla y finaliza su recorrido en el punto B de la otra orilla, siendo el vectorAB (1, 1).

a) Determina la ecuacin explcita de la recta s que representa a la otra orilla del ro.

b) Utiliza la recta y 2x

perpendicular al ro para hallar la anchura del mismo.


9EVALUACIN Vectores y rectas en el plano



36

10 FuncionesCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o


Distinguir una funcinde variable real, la variabledependiente y la variableindependiente; obtener unagrfica a partir de su tablay viceversa, y reconocer susprincipales caractersticas:dominio, recorrido, simetra,periodicidad, mximosy mnimos relativosy absolutos, signos y puntosde corte.

BDistinguir una funcin de variable real, la variable dependien-te, la variable independiente y obtener una grfica a partir desu tabla, y viceversa.

1

MReconocer el dominio de definicin, el recorrido, la simetra,la periocidad, los mximos y los mnimos, y la grfica de fun-ciones sencillas de variable real.

2

3A Hallar los signos y los puntos de corte con los ejes de unafuncin de variable real.

Calcular la imagen de un punto del dominiode una funcin definidaa trozos y representarlagrficamente.

B Calcular la imagen de un punto del dominio de una funcindefinida a trozos. 4

MRepresentar funciones definidas a trozos y escribir la expre-sin algebraica que corresponde a una funcin definida a tro-zos sencilla (funciones lineales).

5

Definir y calcular la tasade variacin y la tasade variacin media de unafuncin de variable realen un intervalo.

M Definir y calcular la tasa de variacin y la tasa de variacinmedia de una funcin de variable real en un intervalo. 6

Establecer lascaractersticas bsicasde una funcin a la vistade su grfica, e interpretargrficas o tablas querepresentan situacionessobre la vida cotidiana.

MInterpretar y extraer informacin a partir de grficas o tablasque representan situaciones sobre la vida cotidiana y emitirjuicios sobre ellas.

9

A Establecer las caractersticas bsicas de una funcin de varia-ble real sencilla. 10

Calcular los conceptosde tasa de variacin mediay de tasa de variacininstantnea y aplicarlospara determinar lacontinuidad yel crecimiento odecrecimiento de funcionesde variable real sencillas.

M Establecer los intervalos de crecimiento y decrecimiento deuna funcin utilizando la tasa de variacin media. 7

ADeterminar la continuidad o discontinuidad de una funcin enun punto x, estudiando la tendencia de la tasa de variacinen el intervalo [x, x h].

8



37

1 Una compaa telefnica lanza la siguiente oferta: Cuota fija de 6,50 euros al mes ms 3 cntimos por minuto.

a) Se trata de una funcin de variable real? Razona tu respuesta.b) Escribe la funcin que expresa el importe de la factura mensual en funcin de los minutos consumidos.c) Cunto he de pagar si hablo 2 horas al mes? Y si no utilizo el telfono?d) Crea una tabla de valores y representa grficamente la funcin.

2 Observa las siguientes grficas.

a) b) c)

Para cada una de las funciones anteriores, calcula su dominio, su recorrido, sus mximos y mnimos relativos y ab-solutos, su simetra y su periodicidad.

3 Estudia el signo y los puntos de corte con los ejes de la funcin y 4x 2 4x 3.

4 Dada la siguiente funcin definida a trozos:

f (x)

Cul es su dominio de definicin? Calcula f (0), f123, f (7) y f (8).

5 En un aparcamiento de un aeropuerto existe la siguiente tarifa: Por la primera hora o fraccin, 2 euros. A partir dela segunda hora o fraccin 1,5 euros por hora de estancia, con un mximo de 17 euros diarios. Escribe la funcinque describe esta situacin y represntala grficamente.

6 Dada la funcin y 2x 2 2, calcula la tasa de variacin media en los intervalos [2, 1] y [1, 2].

7 Estudia el crecimiento o decrecimiento de la funcin f (x ) 4x 2 8x en el intervalo [5, 7].

8 Estudia la continuidad de la funcin y x 2 2x 5 en x 1 definida en [1, 2].

9 La presin atmosfrica disminuye a medida que nos alejamos de la superficie terrestre. Al aumentar la distancia unkilmetro, la presin atmosfrica es, aproximadamente, 0,9 veces la anterior. La presin atmosfrica, al nivel del mar,es de 1 atmsfera.

a) Qu variable consideras como independiente? Y como dependiente?b) Qu presin hay a un kilmetro de distancia? Y a dos? Y a tres? Escribe la expresin que permite calcular la

presin en funcin de la altura. Comprueba que al nivel del mar, la presin atmosfrica es 1. Construye una ta-bla de valores y representa la funcin.

c) Se alcanzar en algn momento una atmsfera negativa?d) Qu presin hay a 10 kilmetros de distancia?

10 Dada la funcin y x 2, estudia el dominio, el recorrido, los puntos de corte con los ejes y signos, el crecimiento yel decrecimiento en el intervalo [5, 5], la periodicidad, la simetra, los mximos y los mnimos relativos y absolu-tos, y la continuidad en x 1.

2 x 55 x 7

x 7

sisisi

32x 1x 2 1


10EVALUACIN Funciones


10

5 XO

Y

5

5 XO

Y

2

2 XO

Y


38

11CRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o


Reconocer grficay analticamentelas funciones potenciales,y representarlasgrficamente.

B Representar una funcin potencial a partir de una tabla devalores y estudiar sus caractersticas. 3

A Representar funciones potenciales por traslacin de otras fun-ciones potenciales. 4

Identificar las parbolascomo la representacingrfica de funcionescuadrticas y representarlasgrficamente.

MDeterminar el vrtice y los puntos de corte con los ejes de unafuncin cuadrtica y, con estos datos, representarla grfica-mente.

1

A Obtener la expresin algebraica de una funcin cuadrtica apartir de ciertas caractersticas de las mismas. 2

Distinguir las hiprbolascomo la representacingrfica de funcionesde proporcionalidad inversay representarlasgrficamente.

M Obtener la expresin algebraica de una funcin de proporcio-nalidad inversa y representarla grficamente. 5

Reconocer y representargrficamente las funcionesracionales.

M Identificar funciones racionales y representarlas grficamente. 6

ARepresentar grficamente funciones racionales por traslacin

de la funcin y 1x

.7

Plantear y resolverproblemas utilizandolas funciones polinmicasy racionales.

B Plantear y resolver problemas sencillos utilizando funcionespolinmicas o racionales. 8

M Plantear y resolver problemas de la vida cotidiana utilizandofunciones polinmicas y racionales. 9

10A Plantear y resolver problemas de optimizacin.


Funciones polinmicas y racionales


39

1 Dada la funcin y 2x 2 4x 1, contesta a las siguientes cuestiones.

a) De qu tipo de funcin se trata?b) Halla el dominio, los mximos y mnimos, y los puntos de corte con los ejes.c) Con los datos anteriores, representa grficamente la funcin.

2 Halla la expresin algebraica de una funcin cuadrtica que verifica las siguientes condiciones.

Tiene el vrtice en el punto V (0, 4). Corta el eje OX en el punto P (2, 0).

Representa grficamente la funcin.

3 Representa grficamente la funcin y x 3. A la vista de la grfica, estudia el dominio, el recorrido, la simetra, lacontinuidad, el crecimiento y el decrecimiento.

4 Representa la grfica y x 3 3 por traslacin de la grfica y x 3 que has dibujado en el ejercicio anterior. A lavista de la grfica, obtn el dominio, el recorrido, los puntos de corte con los ejes, la continuidad, los intervalos decrecimiento y decrecimiento, y los mximos y mnimos.

5 Obtn la expresin de la funcin de proporcionalidad inversa que pasa por el punto P (1, 2). Razona cmo ser sugrfica y despus represntala grficamente.

6 De las siguientes funciones, di cul o cules son racionales.

a) y 3x 2 2x b) y x2

2

c) y 3xx

411

De la funcin o funciones racionales, obtn su dominio y los puntos de corte con los ejes.

7 Halla el dominio de definicin de la funcin y 3xx

57

. Represntala a partir de la traslacin de la funcin y 1x

.

8 Una lata de refresco tiene 11 centmetros de altura. Escribe la expresin que permite calcular el volumen en funcindel radio de la base. Existe algn valor del radio para el cual el volumen es mximo? Justifica tu respuesta.

9 Las ventanas de un edificio de oficinas han de tener forma rectangular y una superficie de 3 metros cuadrados.

a) Haz una tabla de valores que relacione la altura de la ventana con la base. Qu tipo de relacin existe entreambas variables? Escribe la expresin algebraica que permite obtener la altura en funcin de la base.

b) Representa grficamente la funcin obtenida en el apartado anterior.

10 Con 100 metros de valla, queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared de 70 metros de longi-tud. Cules deben ser las dimensiones del recinto para que el rea sea mxima? Cul es esa rea?


11EVALUACIN Funciones polinmicas y racionales



40



Distinguir y describirlas propiedades de las funcionesexponenciales y axcon a 1, tanto grficacomo analticamente.

B Reconocer las funciones exponenciales tanto grfica como ana-lticamente, y clasificarlas en crecientes o decrecientes. 1

M Estudiar las caractersticas de una funcin exponencial dadaen forma de grfica o en forma analtica. 2

3A Obtener la expresin algebraica de una funcin exponencial,ya sea a partir de sus propiedades o a partir de su grfica.

Representar grficamentefunciones exponenciales y ax con a 1.

MDibujar la grfica de una funcin exponencial a partir de suexpresin algebraica, indicando las propiedades que la carac-terizan.

4

A Representar funciones exponenciales a partir de las grficasde otra funcin exponencial mediante traslaciones. 5

Resolver situaciones realesrelacionadas con elcrecimiento exponencial.

M Resolver problemas de la vida cotidiana relativos al crecimientoo decrecimiento de poblaciones. 8

AComparar el crecimiento exponencial de dos o ms funcio-nes elaborando una tabla de valores y representando su gr-fica.

9

Resolver situaciones realesrelacionadas con el clculode intereses compuestosbancarios.

M Conocer y aplicar la ley de inters compuesto. 6

A Interpretar grficas sobre inters compuesto. 7


Funciones exponenciales


41

1 Indica cules de las siguientes funciones son exponenciales y, en los casos afirmativos, cules son crecientes y cu-les son decrecientes.

a) y 3,7x b) y x 4 c) y 2 2x d) y 12x 1

e) y x 4 x 2 f) y 3x

2 Dadas las siguientes funciones exponenciales, estudia su dominio, su crecimiento, su continuidad, sus puntos de cor-te con los ejes, y los valores de y cuando x tiende a y a .a) b) y ex

3 Obtn la expresin algebraica de la funcin exponencial que verifica que es estrictamente decreciente, corta el eje OY

en el punto (0, 1), no corta el eje OX y pasa por el punto 1, 13. 4 Representa grficamente la funcin exponencial y 2e(x 2). Estudia su dominio, los puntos de corte con los ejes

y las tendencias.

5 En cada caso, escribe la expresin algebraica que resulta al trasladar la funcin f (x ) 14x

:

a) g (x ) dos unidades hacia abajo c) i (x ) cinco unidades hacia arribab) h (x ) tres unidades hacia arriba y d) j (x ) cuatro unidades a la derecha

dos a la derecha y dos hacia abajo

Representa grficamente la funcin y 14x

y, a partir de ella, el resto de funciones.

6 Colocamos 2000 euros al 2% de inters compuesto anual durante un ao. Los intereses se pueden abonar anual-mente, trimestralmente o mensualmente. En qu tipo de inversin nos darn ms intereses? Justifica tu respuesta.

7 La siguiente grfica muestra le evolucin de un capital invertido a inters compuesto anualmente. Calcula cul es elcapital invertido y el rdito. Cul ser el capital dentro de 10 aos?

8 La frmula que describe el primer mes de crecimiento de cultivos como maz o algodn es P P0 ekt , donde P esel peso final en miligramos, P0 es el peso el da del brote, t es el tiempo en das y k es una constante positiva. Cal-cula el peso de un brote de maz al cabo de 10 das si se sabe que k 0,15 y que el peso del da del brote es de75 miligramos. Cul fue el peso del da del otro brote de maz si al cabo de 15 das pesa 750 miligramos?

9 Representa grficamente las funciones y 2 5x, y 52x e y 5x, elaborando previamente una tabla de valores.En cul de ellas es ms rpido el crecimiento?


12EVALUACIN Funciones exponenciales


1000

1100

Tiempo (aos)

Cf ()

12001300

1 2 3 4

1070

1O X

Y

1


42

13 EstadsticaunidimensionalCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o

Clasificar los caracteresque intervienen enun estudio estadstico.

B Clasificar los caracteres estadsticos en cualitativos, cuantita-tivos continuos o cuantitativos discretos. 1


Determinar la poblaciny la muestra de un estudioestadstico, valorandocualitativamentela representatividadde la muestra.

M Obtener la poblacin y la muestra de un estudio estadstico,y analizar la representatividad de la muestra elegida. 2

Organizar y clasificar datosestadsticos mediantetablas de frecuenciasy representarlosgrficamente utilizandoel grfico adecuado.

B Interpretar los grficos estadsticos. 3

M Construir tablas de frecuencias a partir de datos simples y re-presentarlos grficamente de manera adecuada. 4

5A Agrupar datos cuantitativos en intervalos, y construir la tablade frecuencias y el grfico asociado a la distribucin.

Calcular e interpretarlos parmetros dedispersin y centralizacin.

B Obtener los parmetros de centralizacin y dispersin de unestudio estadstico. 6

M Comparar dos variables estadsticas utilizando el coeficientede variacin. 7

Eliminar datos atpicos deuna variable, y utilizarconjuntamente la mediay la desviacin tpica parael estudio de distribuciones.

MEstudiar la existencia de datos atpicos en una distribuciny, si los hubiera, eliminarlos para calcular la media trun-cada.

8

A Utilizar la media y la desviacin tpica para el estudio de dis-tribuciones unimodales y simtricas. 9



43

1 Indica si los siguientes caracteres son cualitativos, cuantitativos continuos o cuantitativos discretos.a) Pelculas vistas en una semana b) Grupo sanguneo c) Velocidad d) Edad

2 En una ciudad hay 12500 habitantes, de los cuales 6780 son mujeres. De las mujeres, el 10% son inmigrantes. Sequiere realizar un estudio sobre la cantidad de peridicos comprados mensualmente en esa ciudad. Para realizar elestudio, se elige una muestra de 3000 personas. Cul es la poblacin? Y la muestra? Se eligen 250 mujeres inmi-grantes para la muestra. Es representativa esta muestra? Justifica tu respuesta.

3 Se ha realizado un estudio sobre el deporte que ms gusta a los 3600 jvenes de una ciudad.Cuntos jvenes de la muestra prefieren cada deporte?

4 Un dentista observa el nmero de caries deun grupo de 24 nios y obtiene los siguien-tes resultados.

Construye la tabla de frecuencias y el diagrama de barras asociados a esta distribucin. Qu porcentaje de niostienen tres o menos caries?

5 Se ha medido el permetro craneal a 38 nios de dos y tres aos, obtenindose los siguientes resultados.

Se quiere realizar un estudio con estos datos, agrupndolos en intervalos de amplitud 2. Construye la tabla de fre-cuencias y el histograma. Cuntos nios tienen un permetro inferior a 43 centmetros?

6 En una empresa familiar, los salarios mensuales netos en euros de siete trabajadores son los siguientes.900 1000 900 1500 900 950 1100

a) Calcula el salario medio, la moda y la mediana. Interpreta su significado.b) Calcula el rango y la desviacin tpica.

7 Dos modelos de coche han recibido las siguientes puntuaciones en los cinco test.

Qu coche ha obtenido mejor nota media? Compara ladispersin de la nota obtenida utilizando el coeficientede variacin.

8 En una huerta familiar se han recogido 20 melones con los siguientes pesos.

Halla la media. Estudia la existencia de datos atpicos y, si los hubiera, elimnalos y calcula la media truncada. Sea-la una ventaja y un inconveniente de calcular la media de esta forma.

9 El nmero medio de errores ortogrficos cometidos por un grupo de 50 alumnos en un examen ha sido de 4. Sa-biendo que 34 de los alumnos han cometido entre 2 y 6 errores, y que la distribucin de los mismos es simtrica yunimodal, calcula la desviacin tpica de la distribucin y el nmero de alumnos que han cometido menos de 8 erro-res ortogrficos.


13EVALUACIN Estadsticaunidimensional


Atletismo Natacin

VoleibolOtros Ftbol

5%

34%Baloncesto

7% 8%

39%7%

Coche 1 7 8 7 6 8

Coche 2 8 8 8 6 7

Nmero de caries 0 1 2 3 4

Nmero de nios 8 4 6 4 2

Peso (g) 900 1500 1600 1800 2000 2100 2500 2700 4500

Nmero de melones 1 1 1 5 3 3 4 1 1

42,0 40,0 43,5 40,5 37,5 37,0 41,0 38,0 39,0 44,5

38,0 40,0 41,5 44,0 38,0 41,5 37,5 38,5 39,0 40,5

44,0 37,0 38,0 40,0 41,5 42,5 41,5 43,5 44,0 41,0

39,5 44,5 44,0 39,5 38,0 37,5 37,0 39,0 40,0 45,5


44



Comprender las relacionesmatemticas queintervienen en los procesosde agrupamiento con osin repeticin de elementos.

B

Identificar qu tipo de agrupamientos (variaciones, permuta-ciones o combinaciones) se dan en un problema, analizandocuntos elementos intervienen, si importa el orden y si los ele-mentos se pueden repetir.

3

Conocer las propiedadesde los nmeros factoriales,y su relacin con lascombinacionesy las permutaciones.

M Utilizar los nmeros factoriales para calcular combinaciones ypermutaciones. 6

Planificar y utilizar procesosde razonamientoy estrategias diversas, ascomo aplicar conceptosy tcnicas del recuentode casos tales comoel diagrama de rbolo el principio generaldel recuento, para resolverproblemas de la vidacotidiana.

B

Construir diagramas de rbol como mtodo de representacinde casos y utilizar el principio general del recuento para cal-cular el nmero de casos existente en agrupamientos presen-tes en la vida cotidiana.

1

MUtilizar diferentes estrategias y puntos de vista para resol-ver un problema en un contexto cotidiano de recuento dedatos.

2

Utilizar las frmulasmatemticas relativas a lacombinatoria clsica en laresolucin de problemas.

BResolver problemas de combinatoria utilizando las frmulas delas variaciones, las permutaciones y las combinaciones sin re-peticin.

4

M Resolver problemas de combinatoria utilizando las frmulas delas variaciones y las permutaciones con repeticin. 5

Simplificar expresionesen las que aparezcannmeros factoriales.

M Calcular expresiones numricas donde aparezcan nmeros fac-toriales, simplificando al mximo cuando sea posible. 7

A Simplificar expresiones algebraicas donde aparezcan nmerosfactoriales, y utilizarlos para resolver ecuaciones. 8


Combinatoria


45

1 La biblioteca del centro est formada por dos salas: la sala Cervantes y la sala Lope de Vega. En cada una de las sa-las hay tres bloques de estanteras marcadas con las letras A, B y C, y en cada bloque hay 4 estantes numeradosdel 1 al 4.

Representa esta situacin en un diagrama de rbol y calcula el nmero total de estanteras.

2 Indica cuntas parejas de resultados se pueden producir al lanzar al aire un dado y una moneda.

Resuelve el problema, al menos, por tres mtodos diferentes.

3 Observa las tres situaciones siguientes y completa la tabla.

a) Nmeros de 5 cifras que se pueden formar con las cifras del 0 al 9.

b) En un grupo de 30 personas se eligen 5 para realizar un trabajo. Nmero de maneras distintas de agruparlas.

c) Nmero de palabras (con o sin sentido) que se pueden formar con las letras de la palabra RBOL.

4 En un sorteo en el que participan 50 personas, se rifan 4 entradas para el teatro, y cada participante slo puede re-cibir un premio. Calcula el nmero de maneras distintas que existen de repartir los premios si:

a) Las entradas son para cuatro representaciones diferentes.

b) Todas las entradas son para la misma representacin.

5 El cdigo de barras de un producto est formado por 20 barras verticales que pueden ser de 3 grosores diferentes.

a) Indica el nmero de cdigos de barras distintos que se pueden formar.

b) Cuntos de ellos tienen 10 barras gruesas, 7 medias y 3 finas?

6 Calcula C20, 4, P5 y P 63, 2, 1 utilizando los nmeros factoriales.

7 Calcula simplificando previamente.

a) 5!

100

9!5!

b) (22!

3

3!)!

c) 6! 4!

5!

8 Halla el nmero n que verifica 1n2!

7(n360

1)!

n5!.


14EVALUACIN Combinatoria


Estn todos Importa el Se pueden Tipo delos elementos? orden? repetir? agrupamiento

a)

b)

c)


46

15 ProbabilidadCRITERIOS DE EVALUACIN NIVEL ADAPTACIN DE LOS CRITERIOS A LOS DISTINTOS NIVELES ACTIVIDAD N.o

Aplicar las distintaspropiedades del lgebra desucesos.

B Hallar la unin e interseccin de dos o ms sucesos, y calcu-lar el suceso contrario de uno dado. 1


Aplicar la regla de Laplacey las tcnicas de recuentopara calcular probabilidadesde diferentes sucesos.

B Hallar la probabilidad de un suceso correspondiente a un ex-perimento aleatorio cuyos resultados sean equiprobables. 6

MHallar la probabilidad de un suceso correspondiente a un ex-perimento aleatorio cuyos resultados no sean equiprobables,descomponindolos previamente en resultados equiprobables.

7

Describir el espaciomuestral correspondientea un experimento aleatorio,los distintos tiposde sucesos elementalesque conformanuno compuesto, y discernir entresucesos compatiblese incompatibles.

BObtener el espacio muestral correspondiente a un experimen-to aleatorio descrito y reconocer los sucesos principales de di-cho experimento.

2

MDescribir los sucesos elementales que forman un suceso com-puesto y utilizarlo para averiguar si dos o ms sucesos soncompatibles o incompatibles.

3

Aplicar las propiedadesde la probabilidad paracalcular las probabilidadesde diferentes sucesos.

B

Calcular la probabilidad de determinados sucesos utilizandolas propiedades de la probabilidad, as como la probabilidadde la unin de dos sucesos incompatibles y la probabilidad delsuceso contrario a uno dado.

4

M Calcular la probabilidad de la unin o la interseccin de dossucesos compatibles. 5

Resolver problemasde probabilidad que podrnestar relacionadoscon la vida cotidianadonde intervengandiferentes estrategiaspara su resolucin.

M

Resolver problemas en un contexto cotidiano utilizando dia-gramas de Venn u otros recursos para calcular la probabilidadde los sucesos incompatibles en los que se descompone el es-pacio muestral.

8

AResolver problemas de probabilidad presentes en el entorno,donde se organicen los datos en tablas para simplificar elproblema.

9



47

1 Dados los sucesos A {1, 2, 4}, B {2, 3, 4, 5} y C {1, 6} del experimento consistente en lanzar un dado,halla los siguientes sucesos.

a) A B C b) B C c) A B

2 Determina el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios, pon un ejemplo de suceso imposible en cadacaso e indica cul es el suceso contrario de sacar mayor que 3.

a) Girar una ruleta dividida en cinco partes iguales numeradas del 0 al 4.

b) Lanzar un dado tetradrico con las caras numeradas del 1 al 4.

3 En el experimento aleatorio que consiste en hacer girar una ruleta dividida en 10 partes numeradas del 1 al 10, seconsideran los sucesos A salir par, B salir mltiplo de 3 y C salir menos de 6.

Obtn los sucesos elementales que forman cada uno de los sucesos A, B y C, e indica las parejas de sucesos com-patibles y las de incompatibles dos a dos. Los tres sucesos son compatibles entre s?

4 Hallar la probabilidad de que ocurran los siguientes sucesos correspondientes al experimento consistente en sacaruna carta al azar de una baraja espaola.

a) Sacar oros o copas.

b) Sacar una carta que no sea un as.

c) Sacar una carta que no sea ni figura ni el as de oros.

5 Sabemos que en un determinado grupo de personas, la probabilidad de haber ido al cine esta

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