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Hidrología Aplicada a Obras Hidráulicas*Mercedes Alexandra Villa AchupallasFebrero, 2011B7. ESTADÍSTICA HIDROLÓGICAUsando el método de los momentos, ajustar la distribución normal a laprecipitación máxima anual en 24 horas de la estación Alhama-Alcaicería, de laTabla del ejercicio 1. Graficar las funciones de frecuencia relativa y deprobabilidad incremental, y las funciones de frecuencia acumulada y distribuciónacumulada. Utilizar el test c 2 para determinar si la distribu ión normal se ajustaade
uadamente a los datos.Año hidrológi o0/11/22/33/44/55/66/77/88/99/0
195055.3
47.363.677133.43571.5135.4121.8
1960136.8147.573.6
756860.572.486.814080.7
197095.566.781.5121.5
90.592.58810710793
Se determina la pre ipita ión media:Ʃ=2624.80 mmx=
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n= 29 datos
ån
=
2624.80= 90.51mm29
Cal ulo de la Desvia ión Estándar, en la tabla se presentaAño hidrológi
o0/11/22/33/44/55/66/77/88/99/0
Ʃ
(xi - x )2
= 24695.33
19502239.771867.13724.17182.531839.52
3081.4361.392015.08979.04
19602142.733247.82285.96240.57506.72900.62327.98
13.772449.2396.24
(xi - x )2197044.9566.9381.19960.36
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03.966.3271.91271.916.2
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1
2 12()S=xx-å i n -1 1(24695.33)S= 29 - 1S = 29.70
Primero se divide el intervalo de pre ipita ión (R) en 7 intervalos. El primero es
R£ 40 y el último intervalo es R>140 y los intervalos intermedios son
ada 20, a
ada intervalo asigno un número de datos (ni) en base a la los datos del ejer
i
io:Rango (mm)ni
< 401
40 602
60 80
9
80 1008
100 1202
120 1406
>1601
Así también se determina la fre uen ia relativa para ada intervalo, en base a lasiguiente expresión:
fs ( x i ) =Rango (mm)fs(xi)
< 400.034
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40
600.069
60 800.310
nin80
100 100
120 120
1400.2760.0690.207
>1600.034
Partiendo de estos datos se determina la fre
uen
ia a
umulada:Rango (mm)Fs(xi)
< 400.034
40
600.103
60 800.414
80 100 100 120 120 1400.6900.7590.966
>1601.000
Cál ulo de la variable normal estándar z orresponde al límite superior en adauno de los intervalos estable idos, mediante la siguiente expresión:
zi =Rango (mm)X SupZi
< 4040
1.701
40
6060
1.027
x sup - xs
60 8080
0.354
-
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80
100 100
120 120
1401001201400.3200.9931.666
>1601602.340
-
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Considerando los valores obtenidos en Zi, se determina la Probabilidada
umulada de la distribu
ión normal estándar F(xi), en la tabla que se indi
a a ontinua ión, para los Zi negativos, el valor de F(xi) orresponde a una diferen iaentre la unidad (1) y el valor obtenido en la tabla, para Zi positivos, F(xi)
orresponde a la le
tura realizada en di
ha tabla.
A
ontinua
ión se resumen el
ál
ulo de la Probabilidad a
umulada de ladistribu ión normal estándar F(xi)Rango (mm)ZiLe
t. tablaF(xi)
< 40
1.701
40
60 1.027
60 80
0.354
0.955
0.045
0.8490.152
0.6370.363
80 100 100 120 120 1400.3200.9931.6660.626
0.626
0.8390.839
0.9520.952
>1602.34011
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La fun ión de probabilidad in remental p(xi) se al ula mediante una diferen iaentre F(xi) del intervalo anterior y F(xi) del intervalo que se evalúa, de tal forma que:Rango (mm)F(xi)p (xi)
< 400.0450.045
40
600.1520.107
60
800.3630.212
80
100 100
120 120
1400.6260.8390.9520.262
0.2130.114
>16010.048
Finalmente, se determina, el valor del CHI CUADRADO:
m= número de intervalosIntervalo i Rango (mm)1< 40
240 60360
80480 1005100
1206120 1407>160Ʃ=
ni129826129
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fs (xi)0.030.070.310.280.070.210.031.00
Fs(xi)0.030.100.410.690.760.971.00
zi
1.70 1.03
0.35
0.320.991.672.34
F(xi)0.960.850.640.630.840.951.00
p (xi)0.040.110.210.260.210.110.051.00
X2
0.07
0.391.330.022.832.290.12
7.05
A ontinua ión se grafi a la ªFre uen ia Relativaº de la muestra ªfs
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ajustada ªp (xi)º, y la pre ipita ión máxima anual en 24horas.
(xi)ºy
Fun ión de Fre uen ia Relativa0.35
Fre
uen
ia Relativa
0.30.250.20.15
fs (xi)p (xi)
0.10.050< 40
40 60
60
80
80 100
100 120
120 140
Pre ipita ión Máxima Anual en 24h (mm)
>140
la
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Así también se presentan las distribu iones de probabilidad a umulada de lamuestra ªFs (xi)ºy la ajustada ªF (xi)º.
Fun ión de Fre uen ia A umuladaFre uen ia A umulada
1.210.8F (xi)
0.6
Fs(xi)
0.40.20< 40
40 60
60 80
80
100 100
120 120
140
>140
Pre ipita ión Máxima Anual en 24h (mm)
El valor de
X v2,1-a
p r un prob bilid d cumul d de 1- =0.95 y
v = m - p -1
m= número de intervalosp= número de parámetros utilizados en elajuste
v = 7 - 2 -1v = 4 grados de libertadde tal forma que:
X 2v,1-a = X 24;0.95Y de
cuerdo
l
siguiente t
bl
:
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2De l
t
bl
nterior, se obtiene que 4.0.95= 9.49 es m
yor que 2 = 7.05, por lot nto el juste de l distribución norm l l inform ción de precipit ciónmáxim
nu
l se ACEPTA.
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