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apiroflexia y Matemticas

Cualquier persona interesada en la educacin matemtica enlos niveles obligatorios, reconoce que para aprender Matem-ticas hay que hacer Matemticas. En estas etapas es muyimportante el aspecto manipulativo de esta materia. Por ellono es raro encontrar multitud de materiales y recursos comotangram, geoplanos, puzzles, varillas, troqueles, etc. quepotencian ese aspecto de hacer Matemticas. Queremos

mostrar uno de los recursos ms usuales a nuestro alrededor,pero no por ello menos atractivo: el papel.

Se considera la papiroflexia (tambin llamada origami por suascendencia japonesa) como el arte de realizar figurasdoblando papel, sin cortar ni pegar. Todos nos hemos sentidoatrados en algn momento por ese arte. Aunque alguienpiense que no es propio de personas adultas hacer figuritas depapel, seguro que en otras pocas todos hemos realizado, converdadero deleite, aviones, pajaritas, barcos o figuras ms ela-boradas. El trabajar con papel, y conseguir elementos recono-cibles despus de realizar algunos pliegues, es una actividadaltamente gratificante.

Por todo ello, quien est preocupado por la didctica de lamatemtica no puede dejar de lado este recurso que motiva-r tanto a nuestros alumnos. En clase el plegado de papel sepuede utilizar en muchos aspectos del currculo: desde algu-nos fciles, como demostrar que los tres ngulos de un trin-gulo suman 180, hasta otros ms complicados, como conse-guir las cnicas a partir de su envolvente o una espiral loga-rtmica a partir de un hexgono. Podemos tambin pasar delplano al espacio, resultando especialmente atractivo conse-guir poliedros y otras figuras de tres dimensiones, bien direc-tamente por plegado o bien uniendo mdulos previamentedoblados.

Adems es posible afrontar el trabajo en clase con distintosniveles de dificultad: desde la mera construccin, por ejem-plo, de un tringulo equiltero, hasta el estudio matemticode por qu lo que obtenemos es, en realidad, equiltero.

El profesor del IES n. 1 de Requena (Valencia), AntonioLedesma Lpez, que es miembro de la Asociacin Espaola

Grupo Alquerque de Sevilla

Constituido por:

Juan Antonio Hans Martn

Jos Muoz Santonja

Antonio Fernndez-Aliseda Redondo

juegos.suma@fespm.org

Polgonos con una tira de papel

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Junio 2004, pp. 95-98

de Papiroflexia, lleva ms de quince aos trabajando con susalumnos en talleres utilizando la papiroflexia. En el nmeroextraordinario de 1996 del Boletn de la A.E.P., dedicado nte-gramente a las Matemticas, inclua el siguiente declogodirigido a los profesores de Matemticas, en donde se recogenlas ventajas de utilizar este recurso.

Con las actividades de papiroflexia:

1. Se valora la interrelacin entre la actividad manual y laintelectual.

2. Se consigue la apreciacin de las componentes estticasde los objetos y las formas.

3. Se facilita la comprensin de los conceptos geomtricos.4. Se mejora la percepcin espacial.5. Se fomenta la capacidad para hacer preguntas.6. Se interpreta una nueva simbologa.7. Se propicia la precisin en el trabajo manual.8. Se ve la utilidad del trabajo en equipo.9. Se aprecia la belleza ligada a regularidades y cadencias.10. Se desarrolla la fantasa, la creatividad y, lo que es tambin

muy importante, no se pierde en ningn momento elcarcter ldico.

La tira de papel como recurso matemtico

No es extrao utilizar en clase una tira de papel para presen-tar la Cinta de Mbius, que sorprende por sus propiedades, ypor lo inesperado de los resultados que se obtienen al cortar-

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la convenientemente. Pero tambin podemos utilizar una tirade papel para conseguir algunos de los polgonos regulares,algo que la primera vez resulta tan asombroso e inesperadopara los alumnos como la propia Cinta de Mbius. A esteejemplo sencillo de papiroflexia vamos a dedicar hoy la pre-sente seccin.

Para esta primera parte hemos tomado informacin del pro-fesor Miguel de Guzmn, en concreto de su artculoLa tira de

geometra en la tira de papelque puede consultarse enInternet (verPara saber ms).

Cuadrado

Lo ms fcil es obtener un cuadrado. Partimos de una tira depapel cuyo extremo sea recto y perpendicular al lado. Si nofuese as, en cualquier lugar de la tira doblaramos haciendocoincidir un trozo de un lado sobre s mismo y resultara undoblez de las caractersticas pedidas.

Para obtener un cuadrado basta doblar la cinta por un extre-mo, de forma que partiendo desde un vrtice se lleva el otrovrtice sobre el lado opuesto. En el lugar donde descansa elvrtice que se desplaza, se realiza un pliegue perpendicular allado y ya tenemos un cuadrado.

Se debe sealar a los alumnos la atencin respecto a que lonico que hemos hecho ha sido aplicar las propiedades delcuadrado, que es un polgono con los ngulos de 90 y los cua-tro lados iguales.

Tringulo equiltero

Para conseguir un tringulo equiltero torcemos un extremode la tira por encima del lado, como si hiciramos un cucuru-cho de papel, y aplanamos ese cono de modo que uno de loslados del tringulo coincida con el filo de la tira de papel.

Dado que los lados coinciden, el vrtice superior est divi-diendo el ngulo de 180 (correspondiente al lado que se hagirado) en tres partes iguales, por lo que obtenemos un ngu-lo de 60. Se puede comprobar fcilmente que los restantesngulos tambin lo son, luego el tringulo es equiltero.

Hexgono

El hexgono se obtiene fcilmente del tringulo anterior. Paraello es suficiente dividir la tira de papel en dos partes median-te un pliegue longitudinal. En la tira se apreciarn los doble-ces correspondientes al tringulo (unos estarn por un lado yel resto por el otro).

Si remarcamos todos esos pliegues, al desdoblar la tira podre-mos observar fcilmente las lneas que definen el hexgono.

Pentgono

Suponemos que lo ms conocido para nuestros lectores (pueses posible encontrarlo en mltiple y diversa bibliografa) sercmo conseguir un pentgono regular; sin embargo, curiosa-mente es el ms difcil de imaginar por los alumnos, y por esoel ms sorprendente.

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Lo que debemos hacer es un nudo con el papel, de forma quesi tiramos con cuidado de las puntas del lazo, haciendo quecoincidan los pliegues, podemos facilmente observar el pen-tgono regular.

La primera vez que se hace cuesta conseguir que los plieguesformen exactamente los lados del polgono, pues es fcil quela tira no coincida con alguna de las vueltas. Lo mismo ocurreal principio con el tringulo, pero con un poco de prctica saleperfecto.

A diferencia de los casos anteriores, en el pentgono en nece-sario tener en cuenta la longitud de la cinta, pues si es cortano puede realizarse bien el nudo. Nuestro consejo es que la

longitud sea unas ocho veces (como mnimo unas siete) laanchura de la cinta, para que as se pueda manipular bien.

Este pentgono tiene una doble utilidad, ya que si los extre-mos de la tira que sobran de la figura tienen aproximadamen-te la misma longitud que un lado (en su parte mayor), condoce piezas iguales, se puede construir un dodecaedro comovemos en la imagen.

Para conseguirlo hay que tener mucha paciencia y cuidado. Elprincipal problema es que una vez terminado, no queda rgi-do, por lo que se deshace al primer golpe que se le d, es untpico mrame y no me toques. Pero es interesante, como diji-

mos, pasar del plano al espacio.

Otros dobleces con una tira de papel

En su taller de polgonos con papel, el profesor mejicano VctorLarios Osorio nos muestra cmo conseguir polgonos regula-res de distinta cantidad de lados y de distinta presentacin.

Su forma de trabajo consiste en realizar una serie de doblecesen una larga tira de papel, y posteriormente doblar la cinta

sobre esos pliegues, obteniendo los lados de los polgonos, ydejando un hueco dentro de ellos.

Para no alargar este artculo vamos a presentar el pliegue mssimple para obtener un hexgono, a partir de tringulos equi-lteros.Comenzamos por un extremo de la tira doblando hacia arribay conseguimos un pliegue. Se desdobla ese pliegue, y ahora sedobla ese mismo extremo hacia abajo, siguiendo la lnea defi-nida por el doblez anterior. Se contina este proceso alter-nando el doblar hacia arriba y hacia abajo, y vamos obtenien-do en la tira una serie de tringulos como puede apreciarse enla foto.

Si desechamos los primeros tringulos de la tira que no seanequilteros, con los restantes podemos construir un hexgo-no, sin ms que doblar como se ve en la foto anterior.

Si nos fijamos en la tira, cada dos tringulos forman unrombo. Si en cada rombo realizamos un doblez que corres-ponda a la diagonal mayor, y doblamos sobre ese pliegue, seunen dos lados de uno de los tringulos, y si despus dobla-mos por el pliegue donde coincidan los lados anteriores (dellado donde se cierra el doblez anterior podemos obtener elhexgono de la izquierda de la siguiente fotografa. Si esedoblez extra lo alternamos hacindolo en un rombo s y enotro no, obtenemos el hexgono de la derecha.

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No es extrao utilizar

en clase una tira depapel para presentarla Cinta de Mbius,que sorprende por suspropiedades, y por loinesperado de losresultados que seobtienen al cortarlaconvenientemente.

Para aprenderMatemticas hay que

hacer Matemticas.

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Para terminar, si el procedimiento de doblar arriba y abajo serealiza con dos dobleces sobre pliegues anteriores hacia arri-ba y luego dos dobleces hacia abajo, podemos obtener unaserie de dobleces cortos y largos. Si doblamos por esos plie-gues (bien por los cortos o por alguno de los largos) puedenobtenerse los pentgonos que aparecen en la siguiente foto.

En la pgina de donde est sacado este procedimiento puedeencontrarse cmo conseguir heptgonos, decgonos y ene-

gonos as como un estudio sobre qu polgonos regulares pue-den obtenerse con este proceso.

Para acabar

Hemos querido presentar en este artculo una serie de activi-dades con papel que despierten la curiosidad y el deseo deprofundizar en este apasionante mundo de la papiroflexia.Existen otras muchas actividades para potenciar los aspectosmanipulativos y favorecer los aspectos visuales y de percep-cin espacial, que adems estn relacionados con las Matem-ticas de nuestro currculo: trabajar distintos tipos de ngulosmediante dobleces, trazar paralelas y perpendiculares, estu-diar los puntos y rectas notables de un tringulo hasta laconstruccin de poliedros regulares y semirregulares, estu-diando previamente los polgonos que limitan su volumen o ladivisin de un poliedro en trozos iguales. Pero todo eso seren otra ocasin.

Para saber ms

Existen dos pginas web de las que estn tomadas casi todaslas ideas anteriores que son:

http://usuarios.bitmailer.com/edeguzman/GeometLab/lati-ra.htm

http://www.uaq.mx/matemticas/origami/taller2.html

Adems en Internet hay una inmensidad de pginas relacio-nadas con papiroflexia en general, pero muchas de ellas tienen

contenidos matemticos. Existen un par de pginas conmuchos enlaces a este tipo de pginas donde cualquier intere-sado puede perderse durante muchas horas.

http://members.fortunecity.es/jtbm/otras_paginas.html

http://www.sectormatematica.cl/origami/enlaori.htm

Aparte de lo anterior se pueden consultar las siguientes refe-rencias, que disponen de amplia bibliografa sobre el tema:

LEDESMA LPEZ, A. (1996): Matemticas con papel en laEnseanza Secundaria Obligatoria, Actas de VIII Jornadas

Andaluzas de Educacin Matemtica Thales, pp. 347-358,Crdoba.

LEDESMA LPEZ, A. (1996): Papiroflexia y Matemticas, Boletn de la Asociacin Espaola de Papiroflexia, Boletn

extraordinario, Zamora.

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Se considera lapapiroflexia (tambin

llamada origami porsu ascendencia

japonesa) como el artede realizar figuras

doblando papel, sincortar ni pegar.