44500124 Guia Ejercicios Resueltos Hidrodinamica Caudal y Bernoulli

5/24/2018 44500124 Guia Ejercicios Resueltos Hidrodinamica Caudal y Bernoulli

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Colegio San Mateo

Refuerzo: Fsica General

Esteban A. Rodrguez M.

Gua de Ejercicios Resueltos

Fsica General

Hidrodinmica

Los ejercicios explicados en este documento son base para la prueba, la mayora de ellos son

copiados desde el libro.

Aqu se detalla el procedimiento en detalle para llegar al resultado requerido.

1. El agua al interior de una manguera se comporta aproximadamente como un fluidoideal. Consideremos una manguera de 2 cm de dimetro interno, por la que fluye

agua a 0.5 m/s.

a) Cul es el gasto de agua que sale de la manguera?Datos

v1= 0.5 m/s

d1= 2 cm

Q= x m3/s

El gasto (volumen de agua por segundo) se traduce matemticamente como:

1 1Q A v

Como es el producto del rea por la velocidad, y una manguera tiene una

forma circular en su interior, utilizaremos el rea de una circunferencia, y

nuestra ecuacin quedara as:

2

1 1 Q r v

Como poseemos el dimetro de la manguera que est en centmetros,

debemos calcular su radio y pasarlo a metros de la siguiente manera:

2

2

dr

r

2

cm

1r cm

Efectuando la transformacin:

1 0.01

0.01

cm m

r m


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Y finalmente para calcular el gasto volvemos a nuestra ecuacin:

2

1 1 Q r v

Ahora tan solo reemplazamos los datos

2

34

(0.01 ) 0.5

1,5710

mQ m

s

mQ

s

2. Un recipiente para guardar agua, abierto a la atmsfera por su parte superior, tieneun pequeo orificio en la parte inferior, a 6 m por debajo de la superficie del lquido.

(a) Con qu rapidez sale agua por el orificio? (b) Si el rea del orificio 1.3 cm2, cul

es el gasto de agua que sale por el recipiente?

Datos(a)

Altura del recipiente= X m

Altura debajo del extremo del recipiente = 6 m

Presin = Atmosfrica = 10125 Pa

Esta clase de ejercicios requieren de mayor trabajo algebraico ms que nada, y

como relaciona presiones, y alturas podremos utilizar la Ecuacin de Bernoulli,

que relaciona este tipo de variables, que es la siguiente:

2 2

1 21 1 2 2

2 2

dv dv P dgh P dgh

Antes de realizar cualquier reemplazo es preciso (y as es por lo general), se

trabajan con las letras para llegar a la expresin ms simple posible de manera

que slo trabajaremos con letras inicialmente.

2 2

1 21 1 2 2

/2 2

dv dv P dgh P dgh P

Como el fluido est expuesto a exactamente la misma presin (P1= P2)

podemos eliminar las presiones restando, reduciendo la expresin a lo

siguiente:

2 2

1 21 2

2 2

dv dv dgh dgh

Podemos factorizar por la densidad del fluido (que como se trata del mismo

fluido es la misma tambin), quedando la expresin como:

2 2

1 21 2

( ) ( )2 2

v vd gh d gh

Y esa densidad dividirla en ambos lados para eliminarla definitivamente:


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2 2

1 21 2

2 2

v vgh gh

Amplificamos por 2 para eliminar las fracciones y nuestra expresin quedar

as:2 2

1 1 2 22 2gh v gh v

Ahora tenemos una expresin mucho ms simplificada, pero hay que razonar

ciertos datos, como por ejemplo la velocidad inicial de nuestro fluido. Si el

fluido est dentro de un contenedor, ste estar en reposo, y por lo tanto su

velocidad inicial ser cero, quedando la expresin ms reducida an:

2

1 12gh v

2

2 2

2gh v

2

1 2 22 2gh gh v

Ahora viene el procedimiento clave, que es despejar definitivamente lavelocidad al salir del recipiente, pero tenemos el inconveniente de que no

sabemos la altura inicial, por lo tanto modificaremos un poco la ecuacin bajo

el siguiente razonamiento:

De esta forma podramos decir que la altura efectiva que ese encuentra el orificio

es a (x-6) metros. Por ende nuestra altura inicial sera X y nuestra altura del orificio

es (x-6) metros, donde modificaramos la expresin para que quede de la siguiente

forma:

21 1 2

2 2 ( 6)gh g h v

Multiplicamos las expresiones para llegar a lo siguiente:

2

1 1 22 2 12gh gh g v

Ahora podemos restar nuestra expresin 2gh1en ambos lados para anularla,

hacemos el trabajo algebraico correspondiente y nos quedar que:

X metros

6 metros


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2

1 1 2

1

2 2 ( 6)

2

gh g h v

gh 12gh 2

2

22

2

12 / 12

12 /

12

g v g

g v

g v

Ahora que tenemos esa expresin bastar reemplazar la gravedad por su valor y

obtener el resultado final de la expresin:

2

2

129.8

10.8

v

mv

s

Para calcular lo referente a la pregunta b, ahora que tenemos la velocidad de

salida es mucho ms fcil para ello contamos con lo siguiente:

Datos

v= 10.8 m/s

= 1.3 cm2

Q = x

Lo primero ser transformar el rea a metros, porque se encuentra en

centmetros, de esta forma llegamos a la siguiente equivalencia:

2 2

2 2

1 0.0001

1.3 1.30.0001

cm m

cm m

Y para nuestra definicin de caudal, o gasto que es:

Q A v

Reemplazamos y tenemos que

21.30.0001 10.8

mQ m

s

331.410 m

Qs


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3. El agua fluye con un gasto de 6 m3/min, a travs de una pequea abertura en elfondo de un gran tanque cilndrico, que est abierto a la atmsfera en la parte

superior. El agua del tanque tiene 10 m de profundidad. (a) Con qu rapidez sale el

chorro de agua por la abertura? (b) Cul sera el gasto de agua de la fuga de agua, si

se aplica una presin adicional equivalente a de la presin atmosfrica?

Datos (a)

Q = 6 m3/min

P1 = Atmosfrica

P2= Atmosfrica

h1= x m

v1= 0 m/s

v2= x m/s

h2 =(x-10) m

Analicemos los datos. Segn el enunciado, se dice que el fluido est sometido a la

presin atmosfrica, es decir ni una fuerza externa acta sobre este fluido ni cuando

cae desde el agujero. Por ende la presin en ambos lados es la de la atmsfera (10135

Pa).

Como el fluido est en un estanque, ste se encuentra quieto, por lo tanto su

velocidad inicial es 0 m/s.

Ahora por el tema de las alturas, tenemos un problema similar al del problema

anterior. No sabemos la altura inicial, por ende quedara algo como esto:

Es decir, nuestra altura que no conocemos (h1), y nuestra altura que sabemos que est

bajo la superficie del fluido es decir (h1-h3), a esta altura (10 m), le denominaremos h3,

para que cuando trabajemos algebraicamente no utilicemos nmeros en un principio.

X metros

10 metros


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Para empezar, iremos a la ecuacin general de la hidrodinmica, es decir, la

ecuacin de Bernoulli.

2 21 2

1 1 2 22 2

dv dv P dgh P dgh

Como deducimos anteriormente, la presin es igual y podemos anularla con

una resta:

2 2

1 21 1 2 2

/2 2

dv dv P dgh P dgh P

2 2

1 2

1 22 2

dv dv

dgh dgh

Podemos factorizar las densidades, y dividirlas para eliminarlas

definitivamente:

2 2

1 21 2

( ) ( )/ :2 2

v vd gh d gh d

2 2

1 21 2

2 2

v vgh gh

Como dijimos que nuestra velocidad inicial era 0 m/s, eliminaremos el trmino

v21.

2

21 2

2

vgh gh

Amplificando por dos para eliminar las fracciones:

2

1 2 22 2gh gh v

Ahora dedujimos que nuestra h2estaba definida como (h1-h3). Reemplazando

en la ecuacin quedara as:

2

1 1 3 2

1

2 2 ( )

2

gh g h h v

gh 12gh 2

3 2 1

2

3 2 3

2

3 2

3 2

2 / 2

0 2 / 2

2 /

2

gh v gh

gh v gh

gh v

gh v

Tan solo resta reemplazar:


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2

2

29.810

14

v

mv

s

Para entender lo que dice la pregunta B hay que tener en cuenta lo siguiente:

(b) Cul sera el gasto de agua de la fuga de agua, si se aplica una presin

adicional equivalente a de la presin atmosfrica?

Evidentemente, a un fluido no le podremos aplicar una presin extra al

momento de la salida del recipiente, por ende se le aplica al momento de estar

en el recipiente. Es lgico que el fluido en esta ocasin salga ms rpido, tal

como vemos por ejemplo en una jeringa que cuando oprimimos el mbolo sale

ms agua a mayor velocidad.

Para empezar consignaremos los datos:

Datos

Q = 6 m3/min => 0.1 m3/s

P1= P1+ P1= 7/4 P1

d = 1000 kg/m3

h1= x m

h2= (h1-h3)

g = 9.8 m/s2

Para empezar, utilizaremos la ecuacin general para los fluidos, es decir, una

vez ms recurriremos a la Ecuacin de Bernoulli.

2 2

1 21 1 2 2

2 2

dv dv P dgh P dgh

Esta vez, no podremos eliminar las presiones, la razn es que las presiones son

distintas en cada lugar, por ende no se cancelan.

La consideracin en cuanto a la velocidad inicial, es que al estar en el

recipiente no hay velocidad inicial, quedando la expresin as:

2

11 1

2

dvP dgh

2

2

2 2

2

21 1 2 2

2

2

dvP dgh

dvP dgh P dgh


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Con los datos que obtuvimos en la pregunta anterior (A), llegamos a la

conclusin de que la altura 2, estaba definida por (h1-h3). Reemplazaremos en

nuestra ecuacin.

2

21 1 2 1 3

1 1

( )2

dvP dgh P dg h h

P dgh 2 1

P dgh

2

23 1/ 2

2

dv

dgh gh

Cancelamos nuestras alturas tal como lo hicimos en el problema anterior, y la

expresin queda de la siguiente forma:

2

2

1 2 32

dv

P P dgh

Haremos el trabajo pertinente para llegar a despejar la velocidad final:

2

21 2 3

2

1 2 3 2 2 3

2

1 2 3 2

21 2 32

1 2 3

2

/22

2 2 2 / 2 2

2 2 2 / :

2 2 2/

2 2 2

dvP P dgh

P P dgh dv P dgh

P P dgh dv d

P P dghv

dP P dgh

vd

Ahora reemplazamos nuestros datos en la ecuacin resultante:

3 2

2

3

72 101325 2101325 21000 9.8 10

4

1000

kg mPa Pa m

m s v

kgm

218.65

mv

s

Ahora poseemos la velocidad, pero necesitamos el gasto que esta realiza.

Sabemos que el caudal, gasto o flujo tambin llamado, es el producto del rea

y la velocidad, pero desconocemos el rea.


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Para resolver este problema, habamos obtenido en un principio, que la

velocidad expuesta a presin atmosfrica era de 14 m/s en la pregunta A, y

que el caudal que tena era 0.1 m3/s. Como el rea es la misma pero la

velocidad es distinta primero despejaremos el rea que necesitamos.

/ :Q A v v

QA

v

Reemplazando:

3

3

0.1

14

7.1410

m

s Ams

m A

Ahora que poseemos nuestra rea, estamos en condiciones de calcular el

caudal que hace nuestra velocidad con presin modificada, como dice el

enunciado de nuestro problema.

3 2

3

7.1410 18.65

0.1332

Q A v

mQ m

s

mQ

s

Y ah tenemos nuestro caudal, en el solucionario del libro, este sale expresado

como m3/min, para llegar a esta unidad de medida tan solo amplificamos por

60 segundos quedando la expresin as:

3

3

3 3

600.1332 /

60

0.133260

60

7.99 8

1min min

mQ

s

mQ

s

m mQ


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Consejos tiles

Para realizar los ejercicios de fsica, normalmente se exige de una mayor

comprensin de la lgica del problema para poder emplear la ecuacin

correspondiente, una sola frmula puede derivar en muchas ms, en ese

sentido memorizar una y otra ecuacin carece de sentido.

Los ejercicios en un inicio deben ser trabajados literalmente, de esa forma

cometemos menos errores a la hora de despejar nmeros, y las

expresiones se hacen ms amigables. Este mtodo es realmente til para

simplificar las expresiones y para cuando tenemos ms de una incgnita

en una misma ecuacin, que por lo general se van cancelando mientrastranscurre el trabajo, adems podemos mejorar el trabajo algebraico que

necesita entrenamiento.Al final todo este procedimiento, es habitual

reemplazar todos los datos y operar de manera fcil y segura.

Habitualmente los ejercicios requieren de diagramas y dibujos, esto ayuda

mucho a la hora de razonar lgicamente.

La recomendacin es siempre trabajar con las unidades del Sistema

Internacional de Medida, dado que la mayora de las ecuaciones trabajan

en esta especie de lenguaje para las unidades.

Por sobretodo, saber que la fsica no es tan solo una cuestin que sea

netamente de matemticas. Las matemticas en la fsica son el auxiliar, el

lenguaje en que podemos traducir la lgica, pero todo nace desde las

deducciones e inferencias para empezar el trabajo.

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