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Ejer. 11-16: Encuentre los valores exactos de x y y.

11 12

;

13 14

; ;

15 16

;

Ejer. 17-22: Encuentre los valores exactos de las funcionestrigonométricas para el ángulo agudo u.

17 18, , , , , , , , , ,

19 20, , , , , , , , , ,

21 22

, , , , , , , , , , 4

23 Altura de un árbol Un guardabosque, situado a 200 pies dela base de una sequoia roja, observa que el ángulo entre elsuelo y la cima del árbol es de 60°. Estime la altura delárbol.

ft

24 Distancia al Monte Fuji El pico del Monte Fuji de Japónmide aproximadamente 12,400 pies de altura. Un estudiantede trigonometría, situado a varias millas del monte, observaque el ángulo entre el nivel del suelo y el pico es de 30�.

� 346.4

4

215215

1

215

215

414

6

21165

5

211

211

556

211

6

csc � � 4sec � �65

2524

257

724

247

725

2425

135

1312

125

512

1213

513

cot � �724tan � �

512

1715

178

815

158

817

1517

53

54

43

34

45

35

cos � �817sen � �

35

y � 4x � 423

y

4

45�

x

y

8

60�

x

y � 523x � 5y � 7x � 722

y

x

30�

10

y

x

45�

7

y � 23x � 223

y

x

60�

3y

x

30�

4

Estime la distancia del estudiante al punto a nivel del sueloque está directamente abajo del pico.21,477.4 ft

25 Bloques de Stonehenge Stonehenge en los llanos de Salis-bury, Inglaterra, fue construido usando bloques de piedramaciza de más de 99,000 libras cada uno. Levantar un solobloque requería de 550 personas que lo subían por unarampa inclinada a un ángulo de 9°. Calcule la distancia queun bloque era movido para levantarlo a una altura de 30pies. 192 ft

26 Altura de un anuncio espectacular Colocado en 1990 y re-movido en 1997, el anuncio más alto del mundo era unagran letra I situada en lo alto del edificio de 73 pisos FirstInterstate World Center en Los Ángeles. A una distancia de 200 pies del punto directamente abajo del anuncio, el ángulo entre el suelo y la cima del anuncio era de 78.87°.Calcule la altura de la cima del anuncio. 1017 ft

27 Resolución de telescopio Dos estrellas que están muy cer-canas entre sí pueden aparecer como una sola. La capacidaddel telescopio para separar sus imágenes se llama resolu-ción. Cuanto menor es la resolución, mejor es la capacidaddel telescopio para separar imágenes en el cielo. En un te-lescopio de refracción, la resolución (vea la figura) sepuede mejorar al usar un lente con diámetro D más grande.La relación entre en grados y D en metros está dada por

, donde es la longitud de onda de la luzen metros. El telescopio de refracción más grande delmundo está en la Universidad de Chicago. A una longi-tud de onda de metros, su resolución es 0.000 037 69°. Calcule el diámetro del lente. 1.02 m

Ejercicio 27

28 Fases de la Luna Las fases de la Luna se pueden describirusando el ángulo de fase , determinado por el Sol, la Lunay la Tierra, como se muestra en la figura. Debido a que laLuna gira alrededor de la Tierra, el ángulo cambia duranteel curso de un mes. El área de la región A de la Luna, que

�

�

u

� � 550 � 10�9

�1.22��Dsen � ��

�

426 C A P Í T U L O 6 L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

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Ejer. 1-8: Dadas las partes indicadas del triángulo ABC cong � 90°, encuentre los valores exactos de las partes restan-tes.

1 , 2 ,, , , ,

3 , 4 ,, , ,

5 , 6 ,, , ,

7 , 8 ,, , , ,

Ejer. 9-16: Dadas las partes indicadas del triángulo ABCcon g � 90°, calcule las partes restantes.

9 , 10 ,, , , ,

11 , 12 ,, , , ,

13 , 14 ,, , , ,

15 , 16 ,, , , ,

Ejer. 17-24: Dadas las partes indicadas del triángulo ABCcon g � 90°, exprese la tercera parte en términos de las pri-meras dos.

17 , c; b 18 , c; b

19 , b; a 20 , b; a

21 , a; c 22 , a; c

23 a, c; b 24 a, b; c

25 Altura de una cometa Una persona que hace volar una co-meta sostiene la cuerda 4 pies arriba del nivel del suelo. Lacuerda de la cometa está tensa y forma un ángulo de 60° conla horizontal (vea la figura). Calcule la altura de la cometaarriba del nivel del suelo si se dan 500 pies de cuerda.

ft25023 � 4 � 437

c � 2a2 � b2b � 2c2 � a2

c � a sec ��c � a csc ��

a � b tan ��a � b cot ��

b � c sin ��b � c cos ��

b � 0.53� � 52�� � 38�a � 5.4� � 21�� � 69�c � 0.68a � 0.42b � 2.1c � 5.8

c � 32� � 16�� � 74�c � 51� � 61�� � 29�b � 9.0a � 31b � 45a � 25

c � 985b � 843� � 58�50�c � 252.6a � 78.7� � 18�9�a � 510� � 31�10�b � 240.0� � 71�51�

c � 46.4b � 41.8� � 25�40�c � 30a � 18� � 53�a � 20.1� � 64�20�b � 24� � 37�

a � 722� � 45�� � 45�a � 15� � 30�� � 60�c � 14b � 722c � 1023b � 523

b � 4� � 30�� � 60�c � 522� � � � 45�c � 8a � 423b � 5a � 5

b � 3a � 323� � 30�a � b � 1522� � 45�c � 6� � 60�c � 30� � 45�

c � 3522a � 35� � 45�c �403 23a �

203 23� � 60�

b � 35� � 45�b � 20� � 30�

Ejercicio 25

26 Topografía Desde un punto a 15 metros sobre el nivel delsuelo, un topógrafo mide el ángulo de depresión de un ob-jeto en el suelo a 68°. Calcule la distancia desde el objeto alpunto en el suelo directamente abajo del topógrafo.

27 Aterrizaje de un avión Un piloto, que vuela a una altitud de5000 pies, desea aproximarse a los números de una pista aun ángulo de 10°. Calcule, a los 100 pies más cercanos, ladistancia desde el avión a los números al principio del des-censo.

28 Antena de radio Un cable está unido a la cima de una an-tena de radio y a un punto en el suelo horizontal que está a40.0 metros de la base de la antena. Si el cable forma un án-gulo de con el suelo, calcule la longitud del cable.

29 Topografía Para hallar la distancia d entre dos puntos P y Qen las orillas opuestas de un lago, un topógrafo localiza unpunto R que está a 50.0 metros de P tal que RP es perpen-dicular a PQ, como se ve en la figura. A continuación,usando un teodolito, el topógrafo mide el ángulo PRQ comode . Encuentre d.

Ejercicio 29

RP

Q

d50.0 m

72�40�

58�20�

4�

60�

486 C A P Í T U L O 6 L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

6.7 E j e r c i c i o s

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30 Cálculos meteorológicos Para medir la altura h de una ca-pa de nubes, un estudiante de meteorología dirige un pro-yector de luz directamente hacia arriba desde el suelo. Deun punto P en el nivel del suelo que está a d metros del pro-yector de luz, el ángulo de elevación u de la imagen de laluz en las nubes se mide entonces (vea la figura).

(a) Exprese h en términos de d y u.

(b) Calcule h si d � 1000 m y u � 59°.

Ejercicio 30

31 Altitud de un cohete Un cohete es disparado al nivel delmar y asciende a un ángulo constante de 75° toda una dis-tancia de 10,000 pies. Calcule su altitud al pie más cercano.

32 Despegue de un avión Un avión despega a un ángulo de 10°y vuela a razón de 250 pies/s. ¿Aproximadamente cuántotarda el avión en alcanzar una altitud de 15,000 pies?

33 Diseño de un puente levadizo Un puente levadizo mide 150pies de largo cuando se tiende de un lado a otro de un río.Como se ve en la figura, las dos secciones del puente sepueden girar hacia arriba un ángulo de 35°.

(a) Si el nivel del agua está 15 pies abajo del puente ce-rrado, encuentre la distancia d entre el extremo de unasección y el nivel del agua cuando el puente estáabierto por completo.

(b) ¿Cuál es la separación aproximada de los extremos delas dos secciones cuando el puente está abierto porcompleto, como se ve en la figura?

d

P

h

u

Ejercicio 33

34 Diseño de un tobogán acuático En la figura se muestraparte de un diseño para un tobogán acuático. Encuentre lalongitud total del tobogán al pie más cercano.

Ejercicio 34

35 Elevación del Sol Calcule el ángulo de elevación a del Solsi una persona que mide 5.0 pies de estatura proyecta una som-bra de 4.0 pies de largo en el suelo (vea la figura).

Ejercicio 35

36 Construcción de una rampa Un constructor desea hacer unarampa de 24 pies de largo que suba a una altura de 5.0 piessobre el nivel del suelo. Calcule el ángulo que la rampa debeformar con la horizontal.

37 Juego de video En la figura se muestra la pantalla de unjuego de video sencillo en el que unos patos se mueven de A

4�

5�

a

15�35�

25�15�

100�

35� 35�d

150 �

6 . 7 P r o b l e m a s a p l i c a d o s 487

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a B a razón de 7 . Balas disparadas desde el punto O semueven a 25 cm/s. Si un jugador dispara tan pronto comoaparece un pato en A, ¿a qué ángulo debe apuntar el armapara acertar en el blanco?

Ejercicio 37

38 Banda transportadora Una banda transportadora de 9 me-tros de largo puede hacerse girar hidráulicamente haciaarriba a un ángulo de 40° para descargar aviones (vea la fi-gura).

(a) Encuentre, al grado más cercano, el ángulo que labanda transportadora debe girar hacia arriba para llegara la puerta que está a 4 metros sobre la plataforma quesoporta la banda.

(b) Calcule la máxima altura sobre la plataforma que labanda pueda alcanzar.

Ejecicio 38

39 Estructura más alta La estructura artificial más alta delmundo es una torre transmisora de televisión situada cercade Mayville, Dakota del Norte. Desde una distancia de 1milla al nivel del suelo, su ángulo de elevación es de

. Determine su altura al pie más cercano.21�20�24�

9 m

A B

O

w

"

cm�s 40 Elongación de Venus La elongación del planeta Venus sedefine como el ángulo u determinado por el Sol, la Tierra yVenus, como se muestra en la figura. La máxima elongaciónde Venus ocurre cuando la Tierra está en su mínima distan-cia Dt del Sol y Venus está en su máxima distancia Dv delSol. Si Dt � 91,500,000 millas y Dv � 68,000,000 millas,calcule la máxima elongación umáx de Venus. Suponga quela órbita de Venus es circular.

Ejercicio 40

41 Área del terreno del Pentágono El Pentágono es el edificiode oficinas más grande del mundo en términos de área de te-rreno. El perímetro del edificio tiene la forma de un pentá-gono regular con cada lado de 921 pies de largo. Encuentreel área encerrada por el perímetro del edificio.

42 Un octágono regular está inscrito en un círculo de radio12.0 centímetros. Calcule el perímetro del octágono.

43 Una caja rectangular tiene dimensiones de 8� � 6� � 4�.Calcule, al décimo de grado más cercano, el ángulo u for-mado por una diagonal de la base y la diagonal de la caja,como se ve en la figura.

Ejercicio 43

44 Volumen de un vaso cónico Un vaso cónico de papel tieneun radio de 2 pulgadas. Calcule, al grado más cercano, elángulo b (vea la figura) para que el cono tenga un volumende 20 pulgadas cúbicas.

u

4�

6�8�

Sol

Venus

Tierra

u

488 C A P Í T U L O 6 L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

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Ejercicio 44

45 Altura de una torre De un punto P al nivel del suelo, el án-gulo de elevación de la cima de la torre es de . De unpunto a 25.0 metros más cercano a la torre y sobre la mismalínea con P y la base de la torre, el ángulo de elevación dela cima es . Calcule la altura de la torre.

46 Cálculos de escaleras Una escalera de 20 pies de largo seinclina contra el costado de un edificio, siendo el ánguloentre la escalera y el edificio de 22°.

(a) Calcule la distancia desde la base de la escalera al edi-ficio.

(b) Si la distancia desde la base de la escalera al edificio seaumenta en 3.0 pies, ¿aproximadamente cuánto bajapor el edificio la parte alta de la escalera?

47 Ascenso de un globo de aire caliente Cuando un globo deaire caliente se eleva verticalmente, su ángulo de elevación,desde un punto P en el nivel del suelo a 110 kilómetros delpunto Q directamente debajo del globo, cambia de a

(vea la figura). ¿Aproximadamente cuánto sube elglobo durante este periodo?

Ejercicio 47

31�50�19�20�

53�30�

26�50�

2�

b

48 Altura de un edificio Desde un punto A que está a 8.20 me-tros sobre el nivel del suelo, el ángulo de elevación de lo altode un edificio es y el ángulo de depresión de la basedel edificio es . Calcule la altura del edificio.

49 Radio de la Tierra Una nave espacial gira en torno a la Tie-rra a una altitud de 380 millas. Cuando un astronauta ve elhorizonte de la Tierra, el ángulo u mostrado en la figura esde 65.8°. Use esta información para estimar el radio de laTierra.

Ejercicio 49

50 Longitud de una antena Una antena de banda civil está co-locada encima de un garaje que mide 16 pies de altura.Desde un punto al nivel del suelo que está a 100 pies de unpunto directamente debajo de la antena, la antena subtiendeun ángulo de 12°, como se muestra en la figura. Calcule lalongitud de la antena.

Ejercicio 50

51 Rapidez de un avión Un avión que vuela a una altitud de10,000 pies pasa directamente sobre un objeto fijo en elsuelo. Un minuto más tarde, el ángulo de depresión del ob-jeto es 42°. Calcule la rapidez del avión a la milla por horamás cercana.

12�50�31�20�

6 . 7 P r o b l e m a s a p l i c a d o s 489

al centro de laTierra380 mi

u

r

100 �

12�

16�

110 kmP

Q

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52 Altura de una montaña Un automovilista, que viaja a lolargo de una carretera a nivel a una rapidez de 60 di-rectamente hacia una montaña, observa que entre la 1:00 p.m.y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la cima de la mon-taña cambia de 10° a 70°. Calcule la altura de la montaña.

53 Satélite de comunicaciones En la parte izquierda de la fi-gura se muestra un satélite de comunicaciones con una órbitaecuatorial, es decir, una órbita casi circular en el plano deter-minado por el ecuador de la Tierra. Si el satélite describecírculos alrededor de la Tierra a una altitud a � 22,300 mi-llas, su rapidez es la misma que la rapidez rotacional de laTierra; para un observador en el ecuador, el satélite pareceestar estacionario, es decir, su órbita es sincrónica.

(a) Usando R � 4000 millas para el radio de la Tierra, de-termine el porcentaje del ecuador que está dentro delalcance de señal de este satélite.

(b) Como se ve en la parte derecha de la figura, tres satéli-tes están igualmente espaciados en órbitas ecuatorialessincrónicas. Utilice el valor de u obtenido en la parte(a) para explicar por qué todos los puntos en el ecuadorestán dentro del alcance de señal de al menos uno delos tres satélites.

Ejercicio 53

54 Satélite de comunicaciones Consulte el ejercicio 53. En lafigura se ve el área cubierta por un satélite de comunicacionesque se mueve en círculos alrededor de un planeta de radio R auna altitud a. La parte de la superficie del planeta que está den-tro del alcance del satélite es un casquete esférico de profundi-dad d y un área superficial A � 2pRd.

(a) Exprese d en términos de R y u.

(b) Estime el porcentaje de la superficie del planeta queestá dentro del alcance de señal de un solo satélite enórbita ecuatorial sincrónica.

km�hEjercicio 54

55 Altura de una cometa Generalice el ejercicio 25 para elcaso donde el ángulo es a, el número de pies de cuerdadados es d y el extremo de la cuerda está sostenido c piessobre el suelo. Exprese la altura h de la cometa en términosde a, d y c.

56 Topografía Generalice el ejercicio 26 para el caso donde elpunto está d metros sobre el nivel del suelo y el ángulo dedepresión es a. Exprese la distancia x en términos de d y a.

57 Altura de una torre Generalice el ejercicio 45 para el casodonde el primer ángulo es a, el segundo ángulo es b y ladistancia entre los dos puntos es d. Exprese la altura h de la torre en términos de d, a y b.

58 Generalice el ejercicio 42 para el caso de un polígono de nlados inscrito en un círculo de radio r. Exprese el perímetroP en términos de n y r.

59 Ascenso de un globo de aire caliente Generalice el ejercicio47 para el caso donde la distancia de P a Q es d kilómetrosy el ángulo de elevación cambia de a a b.

60 Altura de un edificio Generalice el ejercicio 48 para el casodonde el punto A está d metros sobre el suelo y los ángulosde elevación y depresión son a y b, respectivamente. Ex-prese la altura h del edificio en términos de d, a y b.

490 C A P Í T U L O 6 L A S F U N C I O N E S T R I G O N O M É T R I C A S

a

R

u

a d R

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