40 INTERPOLACION alumno

7/21/2019 40 INTERPOLACION alumno

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U N I D A D I V.

INTERPOLACIN


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INTERPOLACIN

Aproximaciones

En el campo de la ingeniera es muy comn encontrar funciones bastantescomplejas por lo que se hace necesario facilitar los clculos a travs de funcionesms simples, continuas conocidas como polinomios. Existe una gran variedad demodelos de aproximaciones siendo las principales las siguientes:

*POLINMIO DE TAYLOR*POLINMIO DE CHEVISHEV*SERIE DE FURIER*POLINOMIOS ORTOGONALES DE HERMITE

Existen muchas ventajas para la aproximar funciones o polinomios pero lasprincipales son:

1.- La aproximacin se realiza a travs de funciones ms simples2.- Al sumar, restar, multiplicar, dividir, derivar e integrar un polinomio siempreobtenemos un polinomio.

INTERPOLACIN POLINOMIAL

En ecuaciones se tiene que calcular los valores intermedios entre los valoresconocidos.

El mtodo ms comn empleado para este propsito es la interpolacin polinomial.

La formula general de un polinomio de n-esimo orden es :

( ) nnn

n xaxaxaxaxaaxf ++++++=

1

1

3

3

2

210 ... Para n+1 puntos existe uno y solo uno polinomios de n-esimo orden o menor quepasa a travs de todos los puntos.

Ejemplo.-a) Hay una sola lnea recta (polinomios de 1 orden) que conecta dos puntos

b)

Hay una parbola que conecta a tres puntos


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El polinomio de interpolacin consiste en determinar el nico polinomio de n-esimo orden que se adjunta a los n+1 puntos dados.

Existe una gran variedad de funciones matemticas mediante los cuales se puede

expresar este polinomio.

MTODO DE INTERPOLACIN DE NEWTON

Este mtodo es la forma ms comn y ms til de expresar un polinomio deinterpolacin.

a)

INTERPOLACIN LINEAL.

La forma mas simple de interpolacin consiste en unir 2 puntos con una lnearecta. Dicha tcnica se llama interpolacin lineal la cual se muestra en lasiguiente figura.

01

01

0

0 )()()()(

xx

xfxf

xx

xfxf

=

Se puede reordenar como:

( )001

010

)()()()( xx

xx

xfxfxfxf

+= ..( 1 )

Agrupando trminos:

)( 00 xfb = ( 2 )

01

011

)()(

xx

xfxfb

= ( 3 )

Sustituyendo la ec. (2) y ( 3 ) en la ecuacin (1) se tiene


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( )0101 )( xxbbxf +=

Esta es la frmula de interpolacin lineal. La notacin )(1 xf indica que se

trata de un polinomio de interpolacin de primer orden. Ntese que adems derepresentar la pendiente de la lnea que conecta los dos puntos, el trmino

)()()( 0101 xxxfxf es una aproximacin de diferencias divididas finitas

a la primera derivada.

En general, entre ms pequeo sea el intervalo entre los puntos, ms exactaser la aproximacin. Esto se debe a que conforme el intervalo disminuye, unafuncin continua estar mejor aproximada por una lnea recta

b)INTERPOLACIN CUADRTICA

Para la interpolacin lineal utilizbamos dos puntos, pues dos puntos

determinan una recta ( polinomios de primer grado ).

Una estrategia para mejorar la estimacin consiste en introducir algunacurvatura a la lnea que une los puntos. Entonces se tienen 3 puntos comodatos estos pueden ajustarse en un polinomio de segundo grado, tambinconocido como polinomio cuadrtico o parbola.

Su forma particular es :

( ) ( )( )1020102 )( xxxxbxxbbxf ++= ( 1 )

Al multiplicar se obtiene :

1020212

2

201102 )( xxbxxbxxbxbxbxbbxf +++=

Agrupando trminosDonde :

1020100 xxbxbba +=

021211 xbxbba =

22 ba =

Razonando como en el caso de interpolacin lineal, la ecuacin general de una

parbola es: cbxaxy ++= 2

y por lo tanto la ecuacin es.

2

2102 )( xaxaaxf ++=

Para determinar los valores de las ecuaciones para encontrar b0 en la ecuacin 1y teniendo x = x0


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)( 00 xfb = ( 2 )

sustituyendo (2) en la ecuacin (1) y teniendo x = x1

01

011

)()(

xx

xfxfb

= ( 3 )

Las ecuacin 2 y 3 con la ecuaciones 1 y teniendo x = x2 se obtiene

02

01

01

12

12

2

)()()()(

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

b

= ( 4 )

La ecuacin nos queda:

( ) ( )( )1002

01

01

12

12

0

01

0102

)()()()(

)()()()( xxxx

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xxxx

xfxfxfxf

+

+=

Ntese que, al igual que en el caso de interpolacin lineal, b1an representa lapendiente de la lnea que une los puntos X0y X1. Por lo tanto, los primeros dostrminos de la ecuacin (4) son equivalentes a la interpolacin de X0a X1, como

se especific anteriormente en la ecuacin (3). El ltimo trmino,( )( )102 xxxxb , introduce la curvatura de segundo orden en la frmula.

c)

FORMA GENERAL DE POLINOMIOS DE INTERPOLACIN DE NEWTON

En el anlisis anterior se puede generalizar en el ajuste de un polinomio de n-esimo orden a los n + 1 puntos este polinomio es :

( ) ( )( ) ( )( ) )...(...)( 110102010 ++++= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ( 1 )

Como se hizo en los incisos se usa los puntos anteriores b0, b1, , bn y se

requiere de n+1 puntos para obtener dicho polinomio y usando estos podemosevaluar coeficiente.

)( 00 xfb = ( 2 )

01

01101

)()(],[

xx

xfxfxxfb

== ( 3 )


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02

01

1

12

12

02

10212102

()()()(

],[],[],,[

xx

xx

xfxf

xx

xfxf

xx

xxfxxfxxxfb

=

==

03

21032132103

],,[],,[],,,[

xx

xxxfxxxfxxxxfb

==

04

32104321432104

],,,[],,,[],,,,[

xx

xxxxfxxxxfxxxxxfb

==

M

0

13210432143210

],...,,,,[],...,,,,[],...,,,,,[

xx

xxxxxfxxxxxfxxxxxxfb

n

nnnn

==

Las ecuaciones entre corchetes son diferencias finitas las cuales se sustituyenen la ec. 1

POLINOMIO DE INTERPOLACIN DE LAGRANGE

( ) ( )=

=n

i

in xfxLixf0

)( .( 1 )

Donde :

ji

j

ij

xx

xxn

ixLi

==

0

)( .(2)

En donde:

denota EL producto de

La versin lineal

)()()( 101

00

10

11 xf

xx

xxxf

xx

xxxf

+

=

.(3)

La versin de segundo grado

)())((

))(()(

))((

))(()(

))((

))(()( 2

1202

101

2101

200

2010

212 xf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

xxxx

xxxxxf

+

+

=


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La versin de tercer grado

)())()((

))()(()(

))()((

))()(()(

))()((

))()(()(

))()((

))()(()( 3

231303

210

2

321202

310

1

312101

320

0

302010

321

3 xfxxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

xxxxxx

xxxxxxxf

+

+

+

=

Y as sucesivamente hasta el n-esimo polinomio.

MATRIZ INVERSA DE LAGRANGE

Recordando en interpolacin de Newton y Lagrange consiste en determinar el valorde la funcin )(xf , conociendo el valor de la variable x en la interpolacin

inversa se trata de resolver el problema al contrario desde una funcin )(xf

encontrar el valor de x .

El problema se resuelve mediante la formula de Interpolacin de Lagrangeformando una tabla con los valores de la variable dependiente como valores de X ylos de la independiente como Y.

MINIMOS CUADRADOS

Este mtodo consiste en que dado un conjunto de datos, resultado de nmediciones ( parejas de datos formados por variable independiente x y unavariable dependiente y ) (x1, y1), (x2, y2),, (xn, yn). se quiere emplear una curva

)(xf que se ajuste a los datos lo mejor posible. En lenguaje de anlisis

numricos, consiste en minimizar los errores de aproximacin que resultan al

emplear la curva )(xf , como un ajuste a las mediciones, esto es:En lnea recta: yi=f(xi)+ei yi=a0 + a1xi+ Ei

Recordando ei=yi*f(xi) Ei=yi a0a1 xi

El problema numrico consiste en encontrar un mtodo que minimice dichoserrores. Este mtodo consiste en evaluar al cuadrado sus errores, sumarlos yminimizar la expresin resultante, es decir, minimizar:

==

=n

i

ii

n

i

i xfye1

2

1

2))((

O bien

)1()(1

2

0

1

== ==

n

i

iii

n

i

i xaayESr

donde:a0y a1; son coeficientes que representan la interseccin con el eje de las abscisas

y la pendienteEi; es el error entre el modelo y las observaciones


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Si derivamos la ecuacin (1) con respecto a a0y a1tenemos:

( )[ ]

=

=

iii

ii

xxaaya

Sr

xaaya

Sr

10

1

10

0

2

)(2

Si igualamos a cero las ecuaciones anteriores

=

=

2

10

10

0

0

iiii

ii

xaxayx

xaay

Considerando que a0=na0, tenemos un conjunto de ecuaciones lineales simultaneascon dos incgnitas, esto es.

)3(

)2(

210

10

=+

=+

iiii

ii

yxxaxa

yxana

Resolviendo el sistema anterior, obtenemos:

( )

( ) )5(

)4(

122

2

0

221

=

=

=

xayxxn

yxxyxa

xxn

yxyxna

ii

iiiii

ii

iiii

Donde:

x

yson la media de xiy yirespectivamente

Como el mtodo de mnimos cuadrados es un procedimiento esttico, la solucin queacabamos de hallar tiene un error, el cual puede estimarse usando la expresin de ladesviacin estndar.

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