4 Radiación

7/24/2019 4 Radiacin

1/31

4. RADIACIN

4.1 Fenomenologa

La radiacin se refiere a la propagacin de una onda electro-magntica (EM) originada por cargas

elctricas oscilantes. Segn las leyes de Maxwell1, el movimiento de las cargas hace que su campo

elctrico sea funcin del tiempo, lo que genera un campo magntico que es funcin del tiempo,

que a su vez genera un campo elctrico funcin del tiempo y as sucesivamente. La frecuencia de

la radiacin EM es igual, evidentemente, a la frecuencia de oscilacin de las cargas elctricas.

Por ejemplo, un micrfono transforma la presin del sonido

incidente en la oscilacin de electrones en el hilo conductor

cuya frecuencia es la misma de las ondas de presin. Esta

corriente elctrica alterna es amplificada y enviada a laantena emisora, de donde sale una onda EM que se propaga

en lnea recta, pero en todas direcciones. Cuando esta onda

llega a la antena de un receptor, ejerce fuerzas sobre los

electrones del metal de esta segunda antena, los cuales

oscilan con la misma frecuencia del campo EM incidente. Esta

corriente es amplificada y enviada al alto parlante donde se

revierte a ondas de sonido idnticas a las originales.

Los generadores de microondas producen ondas EM cuya frecuencia

(mayor que las ondas de radio) coincide con la frecuencia de

resonancia de las molculas de agua. Si un cuerpo que contiene aguarecibe esta radiacin las molculas de agua la absorben y resuenan

como en un columpio, provocando un aumento de temperatura.

Si dentro de un horno de microondas hay un metal, los electrones de este oscilarn con la mismafrecuencia incidente, generndose una corriente elctrica de amplitud creciente por la constanterecepcin de energa, la cual eventualmente produce chispas y cortocircuitos.

Por lo tanto la frecuencia de la radiacin EM no es nica. Abarca desde valores muy bajos

(correspondientes a las ondas de radio) hasta valores muy altos (correspondientes a la radiacin

nuclear), pasando por el infrarrojo y (en una banda muy estrecha), el rango visible.En transferencia de calor nos interesa la llamada radiacin trmica. Esta se produce por el

movimiento de las cargas existentes en las partculas de la materia por efecto de su temperatura.

1James Clerk Maxwell (18311879) fsico escocs. Entre muchascontribuciones, la ms importante fue la formulacin de la teora clsicadel electromagnetismo.
http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=wc7aMOwCiDR-yM&tbnid=zoXL6WhSGLt0hM:&ved=0CAUQjRw&url=http://okinawa.nict.go.jp/EN/VM/02/index001-3.html&ei=h7f6UOT5BsXP2QXK6IHwBQ&bvm=bv.41248874,d.b2I&psig=AFQjCNFNe4KcR8w6MUpmDeXoHCzTI2CVcw&ust=1358694663501922


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4.2 RADIACIN

Elementos de Transferencia de Calor Ignacio Lira

A temperaturas no muy altas el espectro de frecuencias est contenido

totalmente en el infra rojo. Cuando la temperatura es muy elevada parte

de esta radiacin se emite en el rango visible, e incluso en el ultravioleta.

Por ejemplo, el sol est a tan alta temperatura que su radiacin contiene

frecuencias que incluyen desde el IR al UV, estando la mayor parte en el

visible.

Todos los cuerpos estn constantemente emitiendo

radiacin trmica por efecto de su temperatura. Solo

al cero absoluto no hay movimiento de las cargas y

por lo tanto no hay emisin de radiacin. Las ondas

emitidas son absorbidas por las cargas de las

partculas circundantes. La radiacin emitida por las

partculas cerca de la superficie se va en parte hacia

el interior del cuerpo, donde es reabsorbida, y el

resto escapa hacia los cuerpos que lo rodean, donde

es absorbida por las partculas que estn cerca de la

superficie de ellos.

Ciertos cuerpos se denominan transparentes si la radiacin que los atraviesa no es absorbida. Porejemplo, el aire es casi transparente a todo tipo de radiacin, debido a que contiene

relativamente pocas partculas por unidad de volumen. El vidrio es mayoritariamente

transparente a la radiacin en el espectro visible, pero absorbe en el IR. Por esto, si entre dos

cuerpos se interpone un vidrio, el intercambio radiativo entre ellos disminuye.

As funcionan los invernaderos: la radiacin de alta frecuencia del

sol atraviesa con facilidad la cubierta transparente. La radiacin

producida por el calentamiento interior, de menor frecuencia, tiene

dificultades para reatravesar la cubierta (adems la cubierta

dificulta la conveccin hacia el exterior). Por el mismo motivo la

temperatura al interior de un vehculo expuesto al sol con las

ventanas cerradas es mucho ms alta que la exterior.

Los cuerpos que se ven entre ellos estn constantemente emitiendo y absorbiendo radiacin

simultneamente, al igual que dos antenas de radio. Si entre dos cuerpos hay vaco, la radiacin

que emite uno llega al otro sin haber sido afectada. La nica forma de liberar calor cuando un

cuerpo est en el vaco (por ejemplo, los satlites) es por radiacin. Cuando dos superficies que se
http://www.google.cl/url?sa=i&source=images&cd=&cad=rja&docid=XtNw2c3usAlS7M&tbnid=Kuf2WqWahN78-M:&ved=0CAgQjRwwAA&url=http://www.universetoday.com/18043/distance-to-the-sun/&ei=DLoXUdeLLIjO9QT1n4HABA&psig=AFQjCNFUhbpTsByiEf1lt4DnKHYnJFcHuQ&ust=1360595852747865http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=BW8EfmjxlKr8SM&tbnid=NUNJiqdLgP9afM:&ved=0CAUQjRw&url=http://iamdaarji.blogspot.com/2011/12/rudolph-red-nosed-reindeerevery-childs.html&ei=ALf6UK-HDsqp2gWamoGgAQ&bvm=bv.41248874,d.b2I&psig=AFQjCNERUJdXpc2i62QcOvqhgwNfZY4JKg&ust=1358694528693003


3/31

RADIACION 4.3

Ignacio Lira Elementos de Transferencia de Calor

ven estn a igual temperatura hay equilibrio radiativo: lo que emite una es igual a lo que absorbe

de la otra. En cambio si no hay equilibrio radiativo se produce un flujo neto de energa desde la

superficie caliente a la fra: hay transferencia de calor por radiacin. En este captulo veremos

cmo cuantificar ese flujo neto de energa.

4.2

Definiciones y ley de Kirchhoff

Definimos

- : emisin radiante total en todas las direcciones, por unidad de superficie (W/m2)

-

: irradiacin total recibida desde todas las direcciones, por unidad de superficie (W/m2)El adjetivo totalen las definiciones de y significa que ambos elementos son integrales sobretodas las frecuencias. Esta consideracin elimina gran parte de la riqueza del estudio de la

radiacin (por ejemplo, no da cuenta del efecto invernadero), pero permite un tratamiento

simplificado que, no obstante, aplica al anlisis de problemas prcticos.

Definimos tambin:

-

(absortividad) : fraccin de la irradiacin absorbida por un cuerpo

-

(reflectividad) : fraccin de la irradiacin que se refleja en la superficie del cuerpo- (transmisividad) : fraccin de la irradiacin que atraviesa el cuerpo

De lo anterior se deduce inmediatamente

+ + 1Evidentemente, la transmisividad depende del espesor del material. Para simplificar nuestro

estudio consideraremos solamente superficies opacas, para las cuales 0, o cuerposcompletamente transparentes, para los cuales 1. Los segundos desaparecenradiativamente, mientras que en las primeras se cumple

+ 1Definimos adems la radiosidad:

-

+ (W/m2)

+


4/31

4.4 RADIACIN


Si la superficie est en equilibrio radiante, la potencia recibida debe ser igual a la potencia

reflejada ms la potencia emitida. Luego

+ 1 y para superficies opacas

Consideremos ahora dos superficies planas infinitas enfrentadas.

Estn o no en equilibrio radiativo, la irradiancia que recibe unade ellas es igual a la radiosidadque sale de la otra, o sea y .Pero si las superficies estn en equilibrio, y .

Por lo tanto, en esta situacin, en equilibrio, . Pero como en equilibriose cumple tambin , entonces

Entonces, en equilibrio, si > , la superficie 1 debe estar emitiendo ms radiacin que lasuperficie 2, o sea, > .La absortividad est entre 0 y 1. Por lo tanto, si una de las superficies tiene el mximo valor 1, entonces su emisin es tambin mxima. Segn la ley de Stefan-Boltzmann2esta emisindepende solamente de la temperatura de la superficie, de acuerdo a

donde 5,67040010W/(m2K4). (Ojo! en esta expresin para mx,la temperatura debe estar expresada en kelvin.)

La emisin mxse obtiene cuando 1. Pero esto implica 0, o sea, lasuperficie no refleja nada y por lo tanto, descontando la emisin infrarroja,

alguien que la mire la ve negra. Por esto, en vez de mxescribiremos :

El concepto de superficie negraes ideal. Las superficies reales emiten menos que

a la temperatura de la superficie. Definimos entonces la emisividad como

-

: cociente entre la emisin real y la emisin de la superficie negra

2Josef Stefan (18351893): fsico, matemtico y poeta esloveno-austraco.

Ludwig Boltzmann (1844 1906): fsico austriaco, creador de la mecnicaestadstica.

en equilibrio

mx

1

2
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/ad/Boltzmann2.jpg


5/31

RADIACION 4.5


Por lo tanto, si la superficie real est en equilibrio con una superficie negra

1 de lo cual se deduce la ley de Kirchhoff3:

Se deduce, adems, que para superficies en equilibrio radiativo, . Por otra parte,anteriormente dijimos que si dos superficies se enfrentan formando una cavidad cerrada, y estn

en equilibrio, se cumple . Por lo tanto, el que dos superficies estn en equilibriosignifica que su temperatura es la misma.

La ley de Kirchhoff se dedujo considerando dos superficies planas infinitas enfrentadas en

equilibrio radiativo, una de las cuales es negra. No obstante, esta ley se refiere no a la

absortividad de una superficie y a la emisividad de la otra, sino a los valores de y de la mismasuperficie. Como estas sonpropiedadesde la superficie, su valor no depende de si esa superficie

es o no y de si est o no en equilibrio con las superficies circundantes. Por lo tanto, la ley deKirchhoff es vlida en general.

Podra uno preguntarse entonces porqu se definen dos

propiedades, siendo que estas tienen el mismo valor. Pues,

porque representan cosas completamente diferentes: la

absortividad es la respuesta de la superficie a la radiacin

incidente, mientras que la emisividad caracteriza la emisin

de radiacin.

4.3

Resistencia superficial

Para comprender el concepto de resistencia superficial, que

desarrollaremos a continuacin, es til introducir la nocin de

hemisferio, que denotaremos como H. Esta es una superficiesemiesfrica imaginaria que se coloca sobre una unidad de rea de

otra superficie S, que es la de nuestro inters.El tamao del hemisferio es irrelevante, la nica restriccin es que sea capaz de cubrir

completamente la superficie

S.

Recordando:

potencia emitida por Shacia todaslas direcciones, por unidad de superficie potencia incidente sobre Sdesde todaslas direcciones, por unidad de superficie3Gustav Kirchhoff (18241887): fsico alemn. No confundir esta ley con otradesarrollada tambin por Kirchhoff pero aplicable a circuitos elctricos.


6/31

4.6 RADIACIN


Sa

Sa

t

1

S

1

1

t

t

Entonces

Recordemos adems que, por definicin

+

/

Pero, para cuerpos opacos

+ 1 1 1 (por la ley de Kirchhoff)Luego

/ 1 )Por lo tanto, si el rea de la superficie es:

t t [1 1 ]

1 1

o bien

t donde, por analoga elctrica,

se llama resistencia superficial.

Ejemplo 4.1: En este ejemplo evaluaremos el intercambio radiante entre

dos superficies planas enfrentadas, de reas muy grandes.

A cada superficie adosamos su correspondiente circuito superficial:

Como no hay otras superficies (es decir, s las hay, pero si Sy Sson muy grandes, 1 solo ve a 2,y viceversa) entonces cada superficie es el hemisferio de la otra: S H.Equivalentemente, ambas superficies forman una cavidad cerrada. En ese caso, como vimos

anteriormente, . Entonces t t

t

1


7/31

RADIACION 4.7


t (W/m2)

1

1

1

1

Dibujamos entonces el circuito por unidad de rea multiplicando las resistencias superficiales por

y uniendocona travs de una resistencia unitaria

Como es un circuito en serie,

t 1 / + 1 + 1 / 1/ +1/ 1

En el caso particular en que t

2

Por lo tanto t es mximo cuando 1, esdecir cuando ambas superficies son negras, y es

cero cuando 0, o sea cuando 1.Recordemos ahora que Ses tambin el hemisferiode 1. Por lo tanto, para disminuir t , Sdebe ser lo ms reflectantes posible.

Por ello, cuando se desea aislar un ducto, este se

recubre con lana mineral u otro aislante para

disminuir la conduccin, pero adems forrando el

exterior de la aislacin con algn material

altamente reflectante para disminuir la radiacin.

4.4 Intercambio radiativo entre superficies

El ejemplo 4.1 puede generalizarse para varias superficies. Por ejemplo, si en un determinado

problema intervienen solamente tres superficies que se ven entre ellas, dos de las superficies

forman el hemisferio de la tercera. El circuito equivalente ser entonces


8/31

4.8 RADIACIN


Las ecuaciones para este circuito son

+

+

+

donde es el flujo totalnetode calor radiante quesalede la superficie (o que llega a la superficie , encaso de que sea negativo).

Una situacin a la cual podra aplicarse este circuito es una persona (superficie 1) expuesta al flujo

de una estufa radiante (superficie 2) y rodeada de muchas otras superficies 3, todas a la misma

(menor) temperatura y de emisividades similares.

Supongamos que se conocen las tres temperaturas , y , de modo que las emisiones desuperficie negra son tambin conocidas. Mediante las ecuaciones del circuito calculamos lasradiosidades, lo cual permite calcular los flujos de calor totales y cmo se distribuyen, o sea, que

proporcin del calor que sale o llega a una superficie sale o llega a cualquiera de las otras.

En trminos del circuito elctrico, los flujos netos de calor entre las superficies estn dados por las

corrientes entre las radiosidades. Se necesita entonces calcular las resistencias intermedias.Como veremos a continuacin, estas resistencias dependen nicamente de la configuracin

geomtrica, es decir, de cmo estn dispuestas las superficies, unas respecto a las dems.

4.5

Intensidad radiante y ngulo slido

Consideremos dos microelementos de las superficies 1 y 2.

Definimos

-

: separacin entre los elementos- : vectores normales a los elementos-

: ngulos entre las normales y la recta que une a loselementos

-

: intensidad radiante que proviene de la superficie 1

por unidad de rea normal a la direccin de propagacin

por unidad de ngulo slido

1

2

3

d

d


9/31

RADIACION 4.9


El ngulo slido es el equivalente en tres dimensiones del ngulo plano comn. Un ngulo plano

es el cociente entre el arco de circunferencia entre dos rectas que se interceptan y el radio de la

circunferencia. Un ngulo slido es el cociente entre el segmento de esfera subtendido por un

cono con centro en la esfera y el radio de la esfera al cuadrado.

Entonces, de acuerdo a la definicin de ,

bt d cosd

donde

d d cos Luego

bt cos cos dd

4.6 Relacin entre intensidad radiante y radiosidad para superficies difusas

Consideremos el caso especial en que des unmicroelemento del hemisferio de d. Elijamos elmicroelemento conformado por dos paralelos y dos

meridianos. Entonces 0y es el ngulo planoentre el radio que conecta el centro de los dos

elementos y la normal a d. Los lados de dson d sen

en el sentido de los paralelos y d

en el sentido de los meridianos. Luego

d send dy por lo tanto, como aqu cos 1,

bt cos sen d ddAhora integramos sobre todo el hemisferio

d

d

rd

d

/

/

d

d

d

d cosDireccin de

propagacin

d cos


10/31

4.10 RADIACIN


bt d cos sendd=/

==

=

En principio solo podemos llegar hasta aqu, pues en general depende de y de . Unasimplificacin adicional en nuestro tratamiento de la radiacin (adems de las varias que hemos

ya hecho) es que la intensidad proveniente de la superficie es isotrpica, es decir, no depende dela direccin de propagacin. Superficies en este sentido ideales se denominan difusas. En tal caso

bt d cos sendd=/

==

=

La doble integral puede ahora evaluarse fcilmente. El resultado es

cos sendd=/

==

=

Por lo tanto, para superficies difusas

bt dPero, de acuerdo a la definicin de radiosidad, para cualquier superficie

bt dEn consecuencia, para superficies difusas

4.7

Factor de visin y resistencias geomtricas

Volvamos ahora al caso general en que dy destn orientados demanera arbitraria. En ese caso llegamos a

bt cos cos ddPor lo tanto, en superficies difusas

bt cos cos

ddDe modo que

bt cos cos dd Pero si es uniforme,tambin lo es. Queda entonces

d

d


11/31

RADIACION 4.11


bt cos cos dd La doble integral es un factor puramente geomtrico. Con mayor o menor dificultad podr

evaluarse en forma analtica o numrica. Definimos

donde se llamafactor de visin(o factor de forma). Entonces bt

y por simetra

bt Entonces

t bt bt Donde hemos aprovechado la relacin de reciprocidad

De aqu se obtiene la expresin para las resistencias intermedias. En efecto, supongamos que la

superficie 1 ve a las superficies 2, 3, ,. La figura ilustra parte del circuito elctrico equivalente,del cual se deduce

+

+ +

Esta ecuacin representa el hecho de que el calor que sale de 1 se va en parte a 2, otra parte a 3,

etc., hasta . Por lo tanto t

Pero anteriormente tenamos

t Luego

cos cos dd

1


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4.12 RADIACIN


4.8

Evaluacin de factores de visin y ejemplos de clculo de circuitos

La obtencin de los factores de visin directamente a partir de la frmula

1 cos cos dd es en general muy complicada. Esto se he hecho en forma analtica para varias configuraciones; los

resultados pueden verse en el siguiente catlogo:http://www.thermalradiation.net/indexCat.html

Sin embargo, a veces el clculo se facilita considerando que, como bt ,entonces

de donde se deduce que es la fraccin de la potencia radiante que sale de 1 y llega a 2.Por ejemplo, para dos superficies planas infinitas enfrentadas (ejemplo 4.1) 1, puestoda la energa que sale de 1 llega a 2, y viceversa.De manera ms general, si la superficie 1 se ve a s misma (de modo que 0), y adems ve alas superficies 2 a , entonces

Relaciones similares pueden escribirse para cada una de las superficies involucradas en un

determinado problema.

Ejemplo 4.2: La superficie 1 es convexa y estcompletamente rodeada por la superficie 2 de

forma arbitraria. Cules son los factores de visin?

La solucin se obtiene fcilmente considerando que + 1, pero como 0,entonces 1. Adems , luego /. Por ltimo, de + 1se obtiene 1 /.

Ejemplo 4.3: La esfera 1 est completamente rodeada por loscasquetes esfricos 2 y 3. Suponiendo que las tres superficies emiten

en forma difusa, la radiacin proveniente de 1 se distribuye

uniformemente a su alrededor. Luego / + , confrmula similar para .

bt

+ + + 1

12

1

2

3
http://www.thermalradiation.net/indexCat.htmlhttp://www.thermalradiation.net/indexCat.htmlhttp://www.thermalradiation.net/indexCat.htmlhttp://www.thermalradiation.net/indexCat.html


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RADIACION 4.13


Otra importante relacin que podemos

ocupar es la de descomposicin.

Consideremos las superficies 1 y 2 de formas

arbitrarias y descompongamos la segunda en

las superficies 3, 4 y 5 tambin arbitrarias,

como se indica en la figura.

Entonces, por conservacin de energa

Multiplicando pory ocupando reciprocidad queda

Evidentemente, ambas relaciones pueden generalizarse si la superficie 2 se descompone en ms

de tres superficies. Ellas pueden ocuparse para extender los casos del catlogo, como ilustra elsiguiente ejemplo.

Ejemplo 4.4: el tem C-14 del catlogo da el factor de visin para dos rectngulos perpendiculares

unidos en un vrtice. Esto permite obtener analticamente los factores , , y. Ocupando la regla de descomposicin obtenemos entonces las siguientes tresecuaciones, donde las incgnitas son , y .

+ +

+

Ejemplo 4.5: Una papa caliente se enfra por conveccin con el

aire, pero adems lo hace por intercambio radiativo con todas la

otras superficies en contacto visual con la papa. Estas otras

superficies estn a distintas temperaturas y tienen diversas

emisividades, pero el problema se simplifica considerablemente si

es posible suponer que todas ellas estn a la misma temperatura

del ambiente , y que adems tienen la misma emisividad ,comportndose entonces como una sola superficie.

Considerando solamente la radiacin, aplica aqu un circuito

similar al del ejemplo 4.1

1

2

34

5

+ +

123

4

+ +
https://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&frm=1&source=images&cd=&cad=rja&docid=ych0YvT4peztvM&tbnid=OyY97lK2OIht9M:&ved=0CAUQjRw&url=https://itunes.apple.com/us/app/hot-potato/id455597821?mt=8&ei=OUD_UO3uCaPZ0wHZr4HICw&bvm=bv.41248874,d.dmQ&psig=AFQjCNFPNKiV1yz2PGdOjYF9g6BIufKoqA&ust=1358991801543495


14/31

4.14 RADIACIN


Por lo tanto, el flujo (neto) de calor radiante entre la superficie de la papa (1) y todo lo que la

rodea es

+ + donde

Como la superficie de la papa es convexa, toda la radiacin que sale de ella llega a , por lo tanto 1.La resistencia se puede suponer igual a cero si 1. Esto equivale a suponer que lassuperficies que rodean a la papa son negras, lo cual es aproximadamente vlido para muchos

materiales como telas, maderas, papeles, materiales de construccin, etc. Con esta simplificacin

no es necesario especificar el reay el flujo neto de calor radiante desde la papa hacia suentorno queda

R donde es la temperatura de la superficie de la papa en un determinado instante de tiempo.Este flujo de calor debe sumarse a aquel debido a la conveccin

C para dar el flujo de calor total el cual, naturalmente, hace que vaya disminuyendo con eltiempo. Ntese que 0implica .

Ejemplo 4.6: Regresemos a las dos superficies planas infinitas

enfrentadas, pero esta vez separadas por una rejilla delgada.

Numeramos las superficies, distinguiendo los dos lados de la rejilla

pues son superficies diferentes.

Para dibujar el circuito notamos en primer lugar que, como la rejilla es delgada, y por lotanto . (Sin embargo, la rejilla debe ser lo suficientemente gruesa como para que sutransmisividad sea cero.) Enseguida, a cada adosamos la respectiva resistencia superficial ,aadiendo la radiosidad

en el otro extremo. Finalmente unimos las radiosidades

y

con las

resistencias intermedias en el caso que haya contacto visual entre las respectivas superficies.De este modo llegamos a

1

2

3

4

1 1 1


15/31

RADIACION 4.15


Ahora necesitamos evaluar todos los factores de visin. La radiacin que sale de 1 solo puede

llegar a 2 o a 4, luego + 1.Por otra parte, toda la energa radiante que sale de 2 llega a 1, luego 1. (Del mismo modo,es tambin igual a 1.) Por lo tanto, por reciprocidad,

En consecuencia

1 1 Ahora procedemos a escribir las ecuaciones del circuito. Estas son

+ + + +

donde, como estamos expresando el flujo de calor por unidad de rea de 1, las resistencias son

Si se desea evaluar la temperatura de la rejilla debemos aadir la ecuacin

+ +

Como ilustracin numrica vase el ejemplo 4.13.

Ejemplo 4.7: Modelemos una olla (vaca) como un tubo delgado de

dimetro y altura cerrado por abajo y abierto en su partesuperior. La base de la olla recibe un flujo de calor por unidad derea , supuesto uniforme, y puede suponerse que latemperatura de la base es tambin uniforme. Estrictamente, por

conduccin, las paredes de la olla no pueden estar a temperatura

uniforme. Sin embargo, si la conductividad del material es alta, tal

suposicin no estar muy lejos de la realidad. Si el ambiente est a

, cules son las temperaturas de la base y del manto delcilindro?

Numeramos las superficies: 1 es el interior de la base, 2 es el

interior del manto, 3 es el exterior del manto y el smbolo denota al conjunto de todas las superficies que rodean a la

olla, supuestas todas a la misma temperatura y con igual

emisividad. Segn lo explicado en el ejemplo 4.5, en lo

sucesivo supondremos 1, lo que implica 0y porlo tanto .

(1 )

3

1 (interior)

2
http://www.google.cl/url?sa=i&rct=j&q=images+of+pot&source=images&cd=&cad=rja&docid=FeDaiu05q6mI-M&tbnid=V_ZhFU7VXuUn0M:&ved=0CAUQjRw&url=http://www.examiner.com/review/tech-review-power-pot-v-the-usb-power-generating-cook-pot&ei=7UYBUZihJKm70QH51IBA&bvm=bv.41248874,d.dmQ&psig=AFQjCNEuonOohikGtfPeNM5UMhBNtLXXkA&ust=1359124590276862


16/31

4.16 RADIACIN


En este ejemplo 1 ve a 2 y a , 2 ve tambin a y 3 ve solamente a , por lo tanto el circuitoqueda

Los factores de visin se evalan fcilmente. En efecto, notamos en primer lugar que 1.Por otra parte

+ 1

donde del catlogo, item C-40,

12 4 , siendo 2 + 1

y

2 Por ltimo, por simetra , donde / 1 /.Las ecuaciones del circuito son

+

+ + + donde, como las ecuaciones estn escritas en trminos de (y no de ),

siendo /4y .El sistema consta entonces de 3 ecuaciones, siendo las incgnitas y las radiosidadesy. Para encontrar escribimos

+

Como ilustracin numrica, tomemos 2 5cm, 5 0cm, 1kW , 25oC y 0,8. La solucin del sistema de ecuaciones es 1839W/m2, 1589W/m2, 597W/m2y 572W/m2. De aqu, 151oC y 43,8oC.

1 1


17/31

RADIACION 4.17


Ejemplo 4.8: Repitamos el ejemplo 4.7, pero suponiendo ahora que el manto de la olla est

aislado, de modo que no existe corriente en la rama que va dea . Esto puede deberse aque las reflectividades de 2 o 3 son muy altas (lo que implica que o tienden a infinito), perotambin a que la superficie 3 est recubierta por un material cuya conductividad trmica es muy

baja, de modo que el flujo de calor por conduccin es despreciable.

En cualquier caso, el circuito relevante queda como se indica, para el cual

+ donde es la resistencia equivalente para el circuito enparalelo, que se calcula mediante

1

1 + +

1

De esta ecuacin se obtiene , con lo cual puede calcularse .Por otra parte, como no hay corriente entrey , dichos potenciales deben ser iguales.Entonces obtenemos primeramenteresolviendo

y despus calculamos como la solucin de

Con los mismos datos del ejemplo anterior ( 2 5cm, 5 0cm, 1kW , 25oC y 0,8) obtenemos as 189

o

C y 123o

C.

4.9 Conduccin + conveccin + radiacin

En la prctica ser a veces necesario considerar los tres mecanismos de transferencia de calor

simultneamente. En el ejemplo 4.5 apareci ya la combinacin de conveccin y radiacin. Ambos

modos coexisten siempre y cuando la superficie en cuestin est en contacto con aire u otro

fluido. Si hay vaco, habr solo radiacin, y si el fluido adyacente a la superficie es absorbente,

como el agua, habr principalmente conveccin.

Ejemplo 4.9: Consideremos nuevamente el ejemplo 4.6, con dos

superficies planas infinitas enfrentadas y separadas por una rejilla, pero

esta vez el espesor de la rejilla es tal que la conduccin en el interior deella (con conductividad ) no puede despreciarse, de modo que .

1

2

3

4


18/31

4.18 RADIACIN


En este caso los factores de visin quedan exactamente iguales (pero siempre que sea posible

despreciar el efecto de los bordes de la rejilla, de lo contrario habra que introducir una superficie

adicional). En el circuito agregamos el hecho que . Se debe separar el circuitoconductivo del radiativo, pues los potenciales son diferentes: en el de conduccin los potenciales

son temperaturas, mientras que en el de radiacin los potenciales son potencia radiante por

unidad de superficie. As, las ecuaciones son ahora

+ +

+ k

+

Como ilustracin numrica vase el ejemplo 4.13.

Ejemplo 4.10: Repitamos el ejemplo 4.9 suponiendo que, adems de

conduccin entre 2 y 3, desde las cuatro superficies hay conveccin al

aire a .

El circuito es igual al anterior, solo cambian las ecuaciones. Pero conviene facilitar el escribirlasindicando, en el circuito, los lugares donde hay conveccin.

Las ecuaciones son entonces

+

1

2

3

4

k

k ( )


19/31

RADIACION 4.19


+ +

+

k +

k + + + +

+

donde las resistencias radiativas y la resistencia conductiva son como antes. Las resistencias

convectivas son

Datos posibles son y cualquier par de entre las cuatro temperaturas de superficie, adems dela conductividad , el espesor el cociente/, los cuatro coeficientes de conveccin y lascuatro emisividades. Las incgnitas seran entonces , , las dos temperaturas restantes y lasradiosidades en 1 y en 4. Las radiosidades generalmente no interesan, pero se obtienen por

aadidura al resolver el sistema. Ntese que las radiosidades en 2 y 3 son tambin desconocidas,

pero no intervienen en el sistema. Como ilustracin numrica vase el ejemplo 4.13.

Nota: para facilitar el escribir las ecuaciones (con o sin conduccin y conveccin) puede ser

conveniente dibujar primeramente un esquema del circuito como el siguiente

y hacer A B + C, C D + E, D F + G, etc., donde A , B /, C

/, etc.

A

B

C

D

E

F

I

H

G

J L

K


20/31

4.20 RADIACIN


Ejemplo 4.11: Incluyendo conduccin y conveccin en la olla del ejemplo 4.7, el circuito queda

con ecuaciones

+

+

+

+

k +

k

+ +

+ +

donde

siendo i/4, iy e. Los factores de visin quedan igual queantes, solo que se calcula con el dimetro interior. Nuevamente, para clculos numricos veael ejemplo 4.13.

1 1

k ln e/i2

1

k


21/31

RADIACION 4.21


Claramente, problemas de radiacin incluyendo uno o ambos, conduccin y conveccin, son ms

difciles de resolver numricamente, pues el sistema de ecuaciones es no lineal, y para cada

temperatura desconocida habr dos races imaginarias y dos races reales, habiendo que

seleccionar las races reales positivas. (Recordar siempre trabajar en kelvin, incluyendo .)En cambio, en problemas de radiacin sin conduccin ni conduccin, el sistema de ecuaciones es

siempre lineal ya que involucra solamente los y las. De los primeros se obtienen lastemperaturas dividiendo por y extrayendo races cuarta.


22/31

4.22 RADIACIN


=

4.10

Ejemplos adicionales

Ejemplo 4.12: En un cilindro largo, macizo, de dimetro ,conductividad

y emisividad

se genera energa

por unidad

de volumen. El cilindro se recubre con un manto tambin cilndrico

de dimetro y espesor despreciable con emisividades interna yexterna y , respectivamente. El calor se disipa nicamente porradiacin al aire a . Calculemos la temperatura en el centro y enla superficie del cilindro y la temperatura del manto si 10W/m3, 1cm, 2cm, 1W/(m K), 0,1, 0,5, 0,9, 27oC.

Solucin:

Considerando el entorno a como una superficie negra el circuito es

con ecuaciones

4 + +

+ donde

De estas ecuaciones se obtienen fcilmente y . Las temperaturas se calculan enkelvin usando / /. Los resultados son 566oC, 152oC.Para calcular la temperatura del centro usamos el mtodo de los cinco pasos (vase el

ejemplo 1.10 como gua), obteniendo

4 + donde la constante se obtiene haciendo

16 +

El resultado es 572oC.

Ejemplo 4.13: Entre dos placas se coloca una malla consistente en lminas metlicas de ancho ,espesor despreciable y separacin entre centros. Considerando nicamente radiacin,calculemos la temperatura de la malla para los siguientes datos: 100oC, 50oC, /

1 1

1

d


23/31

RADIACION 4.23


0,1, 0,5, 0,8. Cmo cambia la respuesta si el espesor de la malla es 3cm y su conductividad es 1W/(m K)? Y si adems se considera conveccin a 20oC con 1 0W/(m2K) en las cuatro superficies?

Solucin:

La solucin de este problema cuando solo hay radiacin se dio en el ejemplo 4.6. Las

ecuaciones son + + + +

+ +

Aqu y 2 . Luego / 2// 0,19

1 0,81

1 / 1 1 / 1, 32 1/ 5,26 1/ 1,23 / / 1 / 5,26De las primeras dos ecuaciones, con 1099W/m2y 618W/m2se obtiene fcilmente 945W/m2y 772W/m2. La temperatura de la malla seobtiene entonces resolviendo la tercera ecuacin, la cual da 859W/m2, luego

//

351K

77,7oC. (Recordemos que K = oC + 273,15 .) Ntese que, como

las placas y la malla se han supuesto infinitas, las distancias entre ellas son irrelevantes.

Considerando el espesor de la malla, segn el ejemplo 4.9 las ecuaciones son ahora

+ +

Malla

Placa A Placa B

1

2

3

4


24/31

4.24 RADIACIN


+ k

+ donde (despreciando la radiacin proveniente de los bordes de la malla) se mantienen los

valores de todas las resistencias radiativas y la resistencia conductiva es

k / 0,158(m2

K) / W.

Este es un sistema de 4 ecuaciones para,, y , el cual debe resolversenumricamente y extraer las races reales positivas. La solucin es 352K 78,6oC y 350K 76,7oC. Por lo tanto, como se esperaba, aumenta la temperatura de la carade la malla que enfrenta a la placa que est a mayor temperatura.

Si adems se considera conveccin, segn el ejemplo 4.8 las ecuaciones son ahora

+

+ + +

k +

k +

+ + +

+ Donde las resistencias convectivas son

1 / 0 , 1(m2K) / W /0,526(m2K) / W

y todas la otras resistencias se mantienen. Este es un sistema de 6 ecuaciones para , ,,, y . La solucin es 315K 42,0oC y 313K 40,3oC. Vemos que,debido a la conveccin, la temperatura de la malla desciende fuertemente.

Ejemplo 4.14: Una superficie semiesfrica de dimetro y emisividad expuesta a un ambientea recibe un flujo de calor por el lado convexo. a) Considerando nicamente radiacin,calculemos la temperatura de la superficie para los siguientes datos: 2 0cm, 0,5, 15oC, 100W/m2. b) Repitamos el anlisis si la superficie se cubre con una tapa delgada dereflectividad en ambos lados, con un agujero central de dimetro . Los datos adicionales son 0,9, 1 0cm. Calculemos adems la temperatura de la tapa.


25/31

RADIACION 4.25


Solucin:

Sin la tapa el circuito involucra solamente dos superficies, luego el circuito es

donde, al igual que en el ejemplo 4.7, hemos modelado la parte abierta superior como una

superficie negra ficticia. Para este circuito la ecuacin es

+

con

1 / 1 1/ 2 por qu?La respuesta es entonces 59,1oC.Al agregar la tapa aparecen dos superficies adicionales: 2 para la parte que enfrenta el

hemisferio y 3 el lado opuesto. Ahora el circuito es similar al del ejemplo 4.6.

Para calcular la temperatura debemos resolver

+ + + +

para lo cual es necesario evaluar solamente y pues 1.De obtenemos /y 1 1 / 2 . Con /2y /4las resistencias son 1 / 1 1 / // 1 2 4 1/ 2,67 1/ 8


26/31

4.26 RADIACIN


De aqu obtenemos 108oC. Como se esperaba, la temperatura del hemisferioaumenta por estar tapado.

Conya calculado, la temperatura de la tapa se obtiene resolviendo +

+

de lo cual resulta 64,7oC. Hay, por lo tanto, una diferencia sustancial de temperaturaentre el hemisferio y la tapa. Esto implica que en la zona de la unin habr una complicada

distribucin de temperatura, la cual estamos ignorando.

Ejemplo 4.15: Los elementos calefactores de un

horno son cilindros de dimetro y emisividad, separados por una distancia entre centros.Dichos elementos cuelgan del techo del horno y

estn calentados elctricamente, de modo que

cada uno de ellos disipa una potencia porunidad de longitud. La altura del horno es y suancho es . Estrictamente, por la influencia de lasparedes los cilindros extremos deben estar a una

temperatura diferente de los dems. No obstante,

una simplificacin razonable es que todos ellos

estn a la misma temperatura .Una simplificacin adicional es que las paredes verticales y el piso tienen la misma emisividad yestn a igual temperatura . Por ltimo, el techo puede considerarse aislado a temperatura yemisividad . Si 500 W/m y 100oC, cules son las temperaturas de la superficie delos calefactores y del techo? Para ilustrar los clculos, usemos 3cm, 1m, 1 , 5m, 1cm, 0,9, 0,8 , 0,7.

Solucin:

Supondremos primeramente que el horno es muy largo en el sentido perpendicular a la

figura, de modo que las paredes frontal y trasera no juegan un rol relevante. Supondremos

que los elementos calefactores son tambin muy largos. En consecuencia, haremos todos

los clculos por unidad de profundidad.

Como hemos supuesto que los elementos calefactores estn a igual temperatura y tienen la

misma emisividad, todos ellos conforman una nica superficie de rea 1,57m2/m, donde / 5 0es el nmero de cilindros. El rea de las paredes y el pisoes 2 + 3 , 5m, y el rea del techo es 1 , 5m. Todas esta superficies seven entre ellas, por lo tanto el circuito es

/2


27/31

RADIACION 4.27


donde = 25kW/m. Sin embargo, hemos supuesto que el techo est aislado, demodo que no hay flujo de calor ms all de , y por lo tanto tampoco lo hay entre y. Esto equivale a considerar a como infinita (aun cuando su emisividad no es cero),y por lo tanto .El primer factor de visin a evaluar es

. Del

catlogo, item C-68,

Como es la fraccin de la radiacin que sale de y llega a, el doble de esta factor es lafraccin de radiacin que sale de un cilindro y llega a los dos adyacentes. Por lo tanto

2 (/ 1 + arc sen

)0,107

Por otra parte,

+ + 1, pero si suponemos que los cilindros estn muy cerca

del techo, 1 /20,446.Por ltimo, + + 1, pero 0, luego 1 1 / 0,532.Ntese las varias simplificaciones hechas para evaluar estos factores. En la mayora de los

problemas prcticos de radiacin es necesario hacer este tipo de simplificaciones, pues la

expresin exacta de los factores de visin es muchas veces difcil de obtener.

Las resistencias (en 1/m) son entonces

1 /0,0707 1 /0,0714 1/ 1,43 1/1,25

La primera ecuacin es

+

1 ( 1 + arc sen1 ) donde 1 +


28/31

4.28 RADIACIN


donde

( 1 + +1

) +

De aqu, 27 916W/m2y 26 148W/ m2, en consecuencia 564 oC. Paraencontrar

hacemos

+ +

de donde 2885W/ m2. Finalmente, haciendo

obtenemos 13 760W/ m2, de donde 429 oC.

4.11

Problemas propuestos

4.1 En un cilindro largo de dimetro y emisividad segenera energa por unidad de volumen. El cilindro serecubre con un tubo de conductividad , dimetros interiory exterior , y emisividades y . En el espacio interiorhay aire a temperatura

, mientras que en el exterior el aire

est a . Considerando conveccin con coeficientes , y encuentre la proporcin del calor generado que pasaentre las superficies 2 y 3 si 40kW/m3, 0 , 3W/(mK), 4cm, 6cm, 7cm, 0,8, 0,6, 0,4, 20W/(m2K), 150W/(m2K), 40oC, 10oC.Respuesta: 55,0 %


29/31

RADIACION 4.29


4.2 Un extremo de una barra de metlica de longitud , dimetro , conductividad yemisividad se mantiene a temperatura . La barra disipa calor al ambiente a temperatura con coeficiente . a) Con los datos que se dan, compruebe que el flujo de calor en la direccinradial es despreciable frente al flujo axial. b) Ignorando radiacin, calcule la temperatura a una

distancia

del extremo a

. c) A la distancia

se practica una perforacin en sentido radial de

dimetro y profundidad . Suponga que la temperatura calculada en b) no cambia y que esigual en todas las paredes del agujero. Determine entonces el flujo de calor radiante que sale porel agujero. d) La perforacin se contina hasta que atraviesa completamente la barra, pasando por

el centro. Determine el flujo radiante que sale por ambos agujeros.

Datos: 3m, 5cm, 3 0 0W/(m K), 0 , 8, 200oC, 20oC, 1 0W/(m2K), 0 , 5m, 3mm, 2mm.

Respuesta: 4,47 mW, 9,47 mW

4.3 El plato circular de radio recibe desde abajo un flujo de calor uniforme . Sobre elplato, en forma coaxial con el mismo, a una altura , hay un disco de radio , espesor yconductividad

. Todo el conjunto est en un ambiente a temperatura

. El coeficiente de

conveccin en las superficies 1 y 3 es , y en la superficie 2 es /2. Despreciando la conveccin yradiacin por el borde del disco, obtenga las temperaturas , y si 2kW, 1 5cm, 40cm, 20cm, 3cm, 0 , 1W/(m K), 15oC, 0,7, 0,8, 0,9, 1 5W/(m2K). Use el tem C-41 del catlogo.

Respuesta: 111oC, 41,9oC, 18,8oC

,

Plato circular

Disco


30/31

4.30 RADIACIN


4.4 En un cilindro muy largo de dimetro se genera una potencia uniforme por unidad de volumen. El cilindro se rodea con una malla

delgada de dimetro , en la cual el cociente entre el rea de loshuecos y el rea total (rea de los huecos + rea efectiva de la malla) es

. El conjunto est en una pieza grande cuyas paredes se mantienen a

. Considerando solamente radiacin, calcule las temperaturas de lasuperficie del cilindro y de la malla. Los datos son los siguientes: 3MW, 27oC, 2cm, 6cm, 0 , 9, 0,8, 0,08, 0,9.Sugerencia: para los factores de visin use argumentos de simetra, como en el ejemplo 4.3.

Respuesta: 495 oC, 82,8 oC

4.5 Considere dos cilindros concntricos de igual longitud . El cilindrointerior, de dimetro , tiene una emisividad. El cilindro exterior, deconductividad , dimetro interior y espesor de pared , tiene unaemisividaden su superficie externa y en su superficie externa. Latemperatura de la superficie externa del cilindro interior se mantiene en

. El conjunto est en una pieza grande cuyas paredes se mantienen a. Los datos son 2 0cm, 10cm, 18cm, 0,2, 0,9, 0,8, 300oC, 20oC, 0 , 1W/(m K). Considerandosolamente radiacin, calcule la temperatura en la superficie 2 si: a) 0; b) 2cm. Use los tems C-91 y C-92 del catlogo.Respuesta: 79,0 oC, 76,7 oC

4.6 Modele una ampolleta incandescente de potencia como una esfera de radio y emisividad. La ampolleta est a una distancia de un crculo concntrico de radio en el piso, el cual semantiene a debido a que cuenta con un elemento calefactor. En el techo, a distancia de laampolleta, hay otro crculo concntrico de radio que se mantiene a por causa del calor quese conduce desde el piso superior. Considerando el resto de las superficies como negras a ,cunto calor pasa a estas superficies? Use 1 0 0W, 4cm, 1m, 50cm, 2m, 70cm, 40oC, 30oC, 20oC, 0,9, 0,8, 0,7. Para el clculode los factores de visin desde la ampolleta, tmela como un elemento diferencial plano y use el

tem B-12 del catlogo, considerando que la mitad de la radiacin sale hacia arriba y la otra mitadhacia abajo. Para los otros factores ignore la presencia de la ampolleta y use el tem C-41 del

catlogo.

1

2

3

1

2

3


31/31

RADIACION 4.31

Respuesta: 423 W

4 Radiación

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Transcript of 4 Radiación