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MODELO ATMICODE NIELS BOHRMODELO ATMICODE NIELS BOHR

M. C. Q. Alfredo Velsquez Mrquez

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En 1814 el ptico alemn y constructor de instrumentos Joseph von Fraunhofer, uni un telescopio a un prisma y examin los colores espectrales de la luz solar con mayor cuidado que cualquier otro predecesor y observ que la perfecta continuidad cromtica que haba visto Newton, donde un color se fusionaba imperceptiblemente con el otro, estaba en realidad quebrada por lneas oscuras. As como Galileo haba visto manchas oscuras en la brillante superficie del Sol, Fraunhofer descubri manchas oscuras en el glorioso fenmeno del espectro.

FRAUNHOFER

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En 1859, dos profesores alemanes, Gustav Robert Kirchhoff y Robert Wilhelm Bunsen, sumando los logros alcanzados por Fraunhofer, desarrollaron el espectroscopio, un aparato que permite observar los espectros de absorcin y de emisin de los diversos elementos, y sentaron las bases de la espectroscopia moderna, determinaron que cada elemento tiene un espectro de absorcin nico, en el cual se observan franjas oscuras en idntica posicin que las observadas en su respectivo espectro de emisin.

KIRCHHOFF / BUNSEN

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La pregunta que quedaba por responder era:POR QU LOS TOMOS DE LOS DIFERENTES ELEMENTOS SOLO ABSORBEN O EMITEN ONDAS ELECTROMAGNTICAS DE DETERMINADAS LONGITUDES DE ONDA?

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En 1913, el fsico dans Niels Bohr, propuso una nueva teora atmica basada en la teora cuntica de Planck, el efecto fotoelctrico, los espectros electromagnticos y sus propios resultados experimentales. Dicha teora fue enunciada en forma de postulados que permiten visualizar al tomo como un sistema planetario en el cual los electrones giran alrededor del ncleo atmico en rbitas o estados estacionarios, tal como los planetas lo hacen alrededor del sol.

Niels Henrik David Bohr

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1.- Los electrones se mueven alrededor del ncleo en rbitas circulares estables.

Postulados del Modelo de Bohr

De acuerdo a la fsica clsica, si los electrones se movieran en rbitas circulares, se aceleraran irradiando constantemente energa (perderan energa), describiendo una espiral hasta colapsar finalmente con el ncleo.

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2.- Slo son permitidas aquellas rbitas en las cuales el momento angular del electrn est cuantizado, siendo un mltiplo entero de

Postulados del Modelo de Bohr

Momentoangular

E1

Esto implica que un electrn en una rbita o estado estacionario n, posee un momento angular constante; y por lo tanto, su energa en dicha rbita se mantiene constante.

E2E1 < E2

h2

h2mvr = n

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3.- Cuando un electrn pasa de una rbita a otra, dicha transicin va acompaada de la absorcin o emisin de una cantidad definida de energa.

Postulados del Modelo de Bohr

E1

E2

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3.- Cuando un electrn pasa de una rbita a otra, dicha transicin va acompaada de la absorcin o emisin de una cantidad definida de energa.

Postulados del Modelo de Bohr

E1

E2

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3.- Cuando un electrn pasa de una rbita a otra, dicha transicin va acompaada de la absorcin o emisin de una cantidad definida de energa.

Postulados del Modelo de Bohr

E1

E2

El fotn absorbido y el fotn emitido tienen la misma longitud de onda y por lo tanto la misma energa.

Ef = hc

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3.- Cuando un electrn pasa de una rbita a otra, dicha transicin va acompaada de la absorcin o emisin de una cantidad definida de energa.

Postulados del Modelo de Bohr

E1

E2

La energa del fotn emitido o absorbido es igual a la diferencia de energa entre las dos rbitas.

Ef = hc

Ef = E1,2

Ef = hc

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Desarrollo Matemtico de Bohr

Cuando un electrn gira alrededor del ncleo describiendo una rbita, se ejerce sobre l una fuerza elctrica (Fe), que por convencin se considera negativa y que de acuerdo a la ley de Coulomb se obtendra con la expresin siguiente:

Fe = Q1Q2k

d2

Si se consideran negativas las fuerzas que jalan al electrn haca el ncleo, Q1 sera la carga del electrn (e), Q2 la carga del ncleo (Ze), k la constante de Coulomb y d la distancia entre las cargas (r); por lo tanto, se obtendra la ecuacin 1 siguiente:

Fe = Ze2k

r2_1

Dado que el electrn describe un movimiento circular, se ejerce sobre l una fuerza centrpeta, la cual sera negativa y cuya ecuacin 2 sera la siguiente:Fc =

mv2r

_2

En este caso, como las fuerzas elctrica y centrpeta tratan de jalar al electrn hacia el ncleo, se puede decir que se trata de la misma fuerza; por lo tanto, las expresiones 1 y 2 se pueden igualar para obtener la ecuacin 3:

Ze2kr

= mv23

Por otro lado, la energa total (ET) que posee un electrn en una rbita, es la suma de las energas potencial (EP) y cintica (EC), como se muestra en la ecuacin 4 siguiente:

4 ET = EP + EC

En este caso, la energa potencial (EP), corresponde al trabajo necesario para llevar al electrn desde la rbita hasta el ncleo.EP = W = FdEl trabajo se define como el producto de la fuerza por la distancia, pero en este caso la fuerza es la fuerza elctrica (Fe) y la distancia es el radio de la rbita (r); de tal forma que, se obtendra la ecuacin 5 siguiente:

EP = Ze2k

r5

Por otro lado, la energa cintica ( EC) que posee el electrn, se obtendra con la ecuacin 6 siguiente:EC = 6

Ze2k2r

Si se sustituyen las expresiones de la energa potencial (5) y de la energa cintica (6) en la expresin de la energa total (4), se obtiene la expresin (7) siguiente:

ET = Ze2k

2r7

De acuerdo al segundo postulado, el momento angular del electrn esta cuantizado como se muestra en la expresin (8) siguiente:

8nh2

mvr =

De la expresin anterior se puede despejar la velocidad (v) y sustituir en la expresin (3). Posteriormente se simplifica y se despeja el radio (r) para obtener la expresin (9) siguiente:

9n2h2

r = 42mZe2k

En la expresin anterior se tienen muchas constantes las cuales se pueden agrupar en un solo termino, obtenindose la expresin (10) siguiente:

10 r = RBn2Z-1

Donde RB es una constante llamada radio de Bohr cuyo valor es 5.2917x10-11 [m] y equivale a:

h2RB = 42me2k

Si se sustituye la ecuacin (9) en la ecuacin (7), se obtendra la expresin (11) siguiente:ET =

22mZ2e4k2

n2h211

En un salto cuntico estn involucradas dos rbitas, una de alta energa y una de baja energa; de tal forma que, las expresiones para determinar dichas energas son las siguientes:

EA =22mZ2e4k2

n h22A

EB =22mZ2e4k2

n h22B

De acuerdo al tercer postulado, la energa del fotn absorbido o emitido es igual a la diferencia de energa entre las dos rbitas.EF = EA,B = EA EB

Sustituyendo las expresiones de EH y EL en sta ultima expresin se obtendra:

22mZ2e4k2

h2 n2B n2A

1 1EF =

De acuerdo a Planck, la energa de un fotn se puede calcular conociendo la longitud de la onda electromagntica.

hc

EF =

Sustituyendo esta ltima expresin en la anterior, se tendra:22mZ2e4k2

h2 n2B n2A

1 1hc =

22mZ2e4k2

h3c n2B n2A

1 11 =

22me4k2

h3cRH=

RHZ2 n2B n2A

1 11 =

12

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Formulario de Bohr

Fe = Q1Q2k

d2

Fe = Ze2k

r2_1

Fc = mv2

r_2

Ze2kr

= mv23

4 ET = EP + EC

EP = W

EP = Ze2k

r5

ET = Ze2k

2r7

8nh2

mvr =

9n2h2

r = 42mZe2k

10 r = RBn2Z-1

h2RB = 42me2k

ET =22mZ2e4k2

n2h211

EA =22mZ2e4k2

n h22A

EB =22mZ2e4k2

n h22B

EF = EA,B = EA EB

22mZ2e4k2

h2 n2B n2A

1 1EF =

hc

EF =

22mZ2e4k2

h2 n2B n2A

1 1hc =

22mZ2e4k2

h3c n2B n2A

1 11 =

22me4k2

h3cRH=

RHZ2 n2B n2A

1 11 =

12

EC = 6Ze2k2r

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