4.-MOA-MOF [Modo de Compatibilidad]

09/07/2012 6:33Segundo L. Gallardo Zamora

DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS

o0

A

F

Fok

0 = 0Sin amortiguamiento

2 pequeoA2

A11 grande

1 2

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO Y FORZADO

MOVIMIENTO OSCILATORIO AMORTIGUADO (MOA)

El MAS estudiado tiene oscilaciones de amplitud constante e n eltiempo. Pero los sistemas reales siempre experimentan pequ e-as fuerzas de rozamiento que al transcurrir el tiempo vanamortiguando (disminuyendo) la amplitud de las oscilacioneshasta eliminarlas. Este tipo de movimiento, cuya amplitud s ereduce con el tiempo, se denomina Movimiento OscilatorioAmortiguado (MOA).

Una aplicacin til del MOA lo tenemos en los vehculos, quemediante amortiguadores logran eliminar las oscilaciones en elmenor tiempo posible. De no existir amortiguadores, un simp lebache producira oscilaciones de larga duracin, que incom o-daran al conductor y pasajeros, adems de destruir la carro cera

09/07/2012 6:332 Segundo L. Gallardo Zamora

Para oscilaciones con velocidad menor que la velocidad del sonido (para no producir turbulencia) la fuerza amor tiguadora es opuesta y directamente proporcional a la velocidad.

MOVIMIENTO OSCILATORIO

Fa = v (1)

donde es una constante de proporcionalidad entre la fuerzay la velocidad. Se denomina factor de amortiguamiento , lacual depende de la viscosidad del medio y la forma del cuerpooscilante. Las unidades de son [N.s/m] = [kg/s].

Como modelo fsico del MOA usaremos el oscilador armnicode la Fig.1, con su masa oscilando dentro de un lquidoamortiguador.


El signo negativo en la Ec.(1) indica que la fuerzaamortiguadora siempre es opuesta a la velocidad.

Para una elongacin x del resorte y velocidad v de la masa, las fuerzas que actan sobre ella son la fuerza recuperad ora F del resorte y la fuerza amortiguadora del lquido Fa.


Aplicando al sistema la segunda ley de Newton se tiene

F = F + Fa = m d2x

dt2

+ + x = 0d2x

dt2dx dt

m

k m

que puede escribirse en la forma

Usando las definiciones de las fuerzas

v k x = m d2x

dt2(2)


Figura 1

Lquido

m

k

Fav

x

F

donde definimos las constantes


(3)= 2

mk m

= (o)2y


Por lo tanto, la ecuacin diferencial que rige el M OA se puede escribir en la forma

(4)d2x dt2

dx dt

+ 2 + (o)2 x = 0

La constante se denomina frecuencia de amortiguamiento y oes la frecuencia angular del MAS, ambas , se miden en [rad/s] .

Esta es la ecuacin diferencial difiere de la ecuacin del MA S enel trmino ( dx/dt ). La solucin es una funcin que se calculapor mtodos matemticos avanzados.

Sin embargo, para el caso de pequeo amortiguamient o ( < o ), la solucin de esta ecuacin diferencial puede dedu cirse empri-camente a partir del grfico que deja un oscilador armnico amor-tiguado con marcador sobre una hoja de papel desli zante, como se muestra en la Fig.2.



o

X

t

Papel mvil

Figura 2.

m

k

Uniendo los puntos de mximodesplazamiento de las oscilacionesamortiguadas, a uno y otro lado deleje central (t), obtenemos una curvaenvolvente de tipo exponencial querepresenta la amplitud del MOA.

La funcin que define este tipo de curva es:

Ao e- t (5)Curva envolvente A(t)

+Ao

-Ao



Donde Ao es la amplitud inicial del MOA en t = 0 y es la cons-tante de amortiguamiento definida en la Ec.(3).

Como la curva de la amplitud y la curva oscilante del MOA sedan fsicamente en forma simultnea, la funcin matemtica quedescriba este movimiento debe expresar la misma interrelac incombinada.

(6)X = Ao e- t sen ( t + )

Con esto queremos decir que la funcin que define el MOA, encualquier instante, debe ser de la forma

Por otro lado, la curva oscilante es del tiposen (t + )

con elegida como la frecuencia angular del MOA y la corres-pondiente fase inicial.

En el ANEXO 01, del presente texto, se demuestra qu e esta Ec.(6) satisface la ecuacin diferencial del MOA (Ec.4)


En la demostracin antes indicada se concluye que l a frecuencia angular del MOA debe expresarse en la forma:

= (o) 2 2 (7)


y usando la Ec.(3) esta expresin toma la forma

= k m

24 m2

(8)

y el perodo del MOA es

(9)T = =(o)2 2

2 2

k m

24 m2


El logaritmo de la relacin entre dos amplitudes sucesivasdel MOA se denomina decremento logartmico de la amplitud yesta expresado como

(10)

= Ln [ ] = Ln e TAo e- t

Ao e - (t + T)

= T

Donde T es el perodo de las oscilaciones amortiguadas


En las oscilaciones amortiguadas, la energa que pi erde la masa oscilante es absorbida por el medio amortiguador qu e lo rodea.

Si el amortiguamiento es pequeo, (


Pero si el amortiguamiento es grande, la oscilacin esrpidamente eliminada con apenas media oscilacin, comosucede con el movimiento oscilatorio crticamente amortiguado(Fig.3), o no logra completar una oscilacin como sucede en e lmovimiento oscilatorio sobre amortiguado (Fig.4).

X

t0 o

Figura 3. Oscilaciones crticamente amortiguadas

Figura 4. Oscilacionessobre amortiguadas

X

t0

>>>> o



Ejemplo 1 . Una masa de 0,200 [kg] se mueve en el extremo deun resorte con k = 400 [N/m]. Su desplazamiento inicial es de0,300 [m]. Una fuerza amortiguadora F = v, donde F est en[N] y v en [m/s], acta sobre la masa y la amplitud delmovimiento disminuye a 0,100 [m] en 5,00 [s]. Calcule laconstante de amortiguamiento .

Datos : m = 0,200 [kg], k = 400 [N/m], A o = 0,300 [m], A = 0,100 [m], t = 5,00 [s]

Solucin:

Ahora usando: A = A o e- t y tomando logaritmos se tiene:A Ao

= Ln ( )1 t

2 =mDe la frecuencia de amortiguamiento, , se tiene

= 2 m



0,300 0,100

= Ln ( )1

5,00 = 0,22 [rad/s]

Por lo tanto:

= 2 (0,22)(0,200) = 0,088 [N.s/m]Ejemplo 2. Un oscilador armnico de masa 200 [g] y resorte deconstante elstica 400 [N/m] oscila en un medio viscoso cuyafuerza retardatriz es F a = 5 v [N/m]. Las oscilaciones tienenuna amplitud inicial de 0.14 [m] y fase inicial /3 radianes.Calcular, a) el perodo, b) el decremento logartmico, y en t =0.15 [s], c) amplitud d) la posicin, e) la velocidad, f) la en ergapotencial y g) la energa cintica de las oscilaciones.

Datos: m= 0.200 [kg], k = 400 [N/m], = 5 [N.s/m], A o = 0.14 [m]y = /3.



Solucin:

b) El decremento logartmico se obtiene con: = T

Luego: = (12.5)(0.15) = 1.88donde: = /2m = 5/[(2)(0.200)] = 12.5 [rad/s]

c) La amplitud del MOA se obtiene con: A = A o e- tEn t = 0.15 [s]

A = 0.14 e-(12.5)(0.15) A = 0.021 [m] = 2.1 [cm]

T = =2

k m

24 m2

2

400 0.200

52

4 (0.200)2

a) El perodo se obtiene con:

= 0.15 [s]



d) La posicin se obtiene con: x = A o e- t sen( t + )

x = 0.018 [m] = 1.8 [cm]

Luego: x = 0.14 e -(12.5)(0.15) sen [41.89(0.15) + /3]

donde = 2 / T = 2 / 0.15 = 41.89 [rad/s]

e) La velocidad se obtiene con: v = dx/dtv = Ao e- t sen( t + ) + Ao e- t cos( t + )

v = (12.5)(0.14) e-(12.5)(0.15) sen [(41.89)(0.15) + /3] +

(41.89)(0.14) e-(12.5)(0.15) cos [(41.89)(0.15) + /3]

v = 0.22 [m/s]

f) La energa potencial se obtiene con se obtiene c on:

Ep = k x 2 = (400)(0.018)2 Ep = 0.065 [J]



g) La energa cintica se obtiene con se obtiene co n:

Ek = m v 2 = (0.200)(0.22)2 Ek = 0.005 [J]

MOVIMIENTO OSCILATORIO FORZADO (MOF)

El amortiguamiento de las oscilaciones de un sistema puedereducirse o evitarse mediante una fuerza externa de naturale zaoscilante y regulada, que haga trabajo y reemplace la energ aperdida por el sistema en cada oscilacin.

Por ejemplo, un nio en un columpio puede mantenerseoscilando con amplitud constante aplicndole un empujonci toen cada ciclo. El nio mismo tambin puede generar esta fuerzaimpulsndose mediante el cambio de su centro de gravedad,inclinndose hacia delante o hacia atrs en cada oscilacin .



Para lograr esto, la fuerza externa aplicada sobre el sistemadebe ser peridica, igual al movimiento sobre el cual acta.Esto significa que la frecuencia con la cual oscilar el sist emaes impuesta por la fuerza externa.

Para analizar las oscilaciones forzadas con-sideremos un oscilador armnico amortigua-do, como el de la Fig.5, que se mueve bajo laaccin de una fuerza impulsora externaarmnica del tipo:

Figura 5.

m

k

vx

F

Fa


donde Fo es la amplitud o valor mximo dela fuerza y F es la frecuencia angular de lafuerza .

(11)F = Fo cos F t

F

Aplicando la segunda Ley de Newton al sistema se t iene:


m = k x v + Fo cos F td2x dt2


Dividiendo entre la masa y reordenando trminos se tiene

+ + x = cos F td2x dt2

m

dx dt

k m

Fom

(12)+ 2 + (o)2 x = h cos F td2x dt2

dx dt


donde 2 = , (o)2 = y h = , son constantes propias del sistema.

m

k m

Fom

Dividiendo entre la masa y reordenando trminos se tiene


+ + x = cos F td2x dt2

m

dx dt

k m

Fom

(13)+ 2 + (o)2 x = h cos F td2x dt2

dx dt


Esta ecuacin diferencial rige el MOF y los trmino s 2 = ,(o)2 = y h = , son constantes propias del sistema.

mk

mFom

Este sistema inicialmente vibra en un estado transitorio en elcual se combinan oscilaciones libres y oscilaciones forzada s.


Pero luego de un cierto tiempo la fuerza externa impondr supropia frecuencia de oscilacin F y el sistema oscilar en formaestable o estacionaria con cierta amplitud constante.

En un estado estacionario la energa entregada por la fuerza en cada ciclo, es igual a la energa perdida por el sistema en tal ciclo.


x = A sen ( F t ) (14)

donde: A es la amplitud de las oscilaciones forzadas para undeterminada frecuencia angular F de la fuerza impulsora y es el desfasaje inicial entre la fuerza impulsora y lasoscilaciones estacionarias. El signo negativo de la fase in icial espara indicar que en el MOF primero es la fuerza impulsora yluego despus aparecen las oscilaciones estacionarias.


La funcin que satisface la ecuacin diferencial del MOF ydescribe las oscilaciones forzadas estacionarias de amplit udconstante es del tipo es:

La verificacin que esta funcin satisface la ecuac in diferencial del MOF se explica en el ANEXO 02, donde se demuest ra que:


La fase inicial del MOF es:

y la amplitud de las oscilaciones estacionarias del MOF es:

Segn estas ecuaciones, la fase inicial y la amplitud del MOFno son constantes arbitrarias, sino cantidades fijas que pu edenvariar segn como vare la frecuencia F de la fuerza aplicada.

tan = (F)2 (o)2

2 F = tan-1 [ ]

(F)2 (o)2

2 F(15)

A = Fo/m

[ (F)2 (o)2 ]2 + 4 2 (F)2(16)


Usando clculo se demuestra que la amplitud MOF, de finida por la Ec.(16), tiene un mximo pronunciado cuando el d enominador tiene un valor mnimo. Esto significa derivar la amplitud A con respecto a la frecuencia angular F y luego aplicar el mtodo de mximos y mnimos.


R = (o)2 2 2 (17)

R = k m

22 m2 (18)

Como resultado de este proceso matemtico, obtenemos lallamada frecuencia de resonancia

Ahora, cuando la frecuencia F de la fuerza aplicada es igualla frecuencia de resonancia R , se obtiene lo que se denominaresonancia en la amplitud .


Para obtener la resonancia en la amplitud sustituim os el valor de R en la Ec.(16)


AR = Fo/m

[ (o)2 2 2 (o)2 ]2 + 4 2 [(o)2 2 2]

(19)AR = Fo/m

2 (o)2 2

Segn esta ecuacin, cuanto menor sea el amortiguamiento, ( ),ms pronunciada ser la amplitud de resonancia, de forma talque cuando = 0, la amplitud de resonancia ser infinita. Al hacereste remplazo en la Ec.(17) se obtiene :

de donde la amplitud de resonancia es entonces:

R = o = k/m (20)


Si graficamos la amplitud vs la frecuencia F , para un determina-do valor de , obtenemos la curva mostrada en la Fig.6.


A

0A F

Fok

Figura 6

El valor de la amplitud paracuando F = 0 se obtiene en:

Ao = Fo/m

[ (0)2 (o)2 ]2 + 4 2 (0)2

Ao = =Fo/m

[ (o)2 ]2

Fo

m (o)2

A continuacin, en la Fig.7, se presentan diversas amplitud esy frecuencias de resonancia para diversos valores de .

Ao = Fo

k(21)De donde



En la Fig.7 vemos que, la am-plitud de resonancia se hacecada vez mayor cuanto mscercana est la frecuencia 1,2 a la frecuencia natural odel sistema

En fsica hay muchos ejemplos de resonancia. Por ejemplo, lavibracin de las ruedas no balanceadas de un vehculo que semueve a gran velocidad. Las vibraciones se incrementan en lamedida que se incrementa la velocidad del vehculo.

0

Figura 7

A

F

Fok

0 = 0Sin amortiguamiento


2 pequeoA2

Esta tendencia del sistema for-zado a tener amplitudes cadavez mayores se denominaresonancia.

o2

A11 grande

1

Otro ejemplo es la sintonizacin de una estacin de radio o tele-visin gracias a la resonancia de los circuitos del receptor con la frecuencia de las ondas sintonizadas.


La resonancia en sistemas mecnicos como puentes oplataformas puede destruirlos, por accin de fuerzas cuyasfrecuencias se aproximan a la frecuencia natural.

Ejemplo 3. Un oscilador armnico de masa m = 0,65 [kg] yconstante elstica K = 180 [N/m] oscila en un medio donde lafuerza amortiguadora es F = 5 (dx/dt). Calcular: a) la frecue nciaangular de las oscilaciones amortiguadas y b) la amplitud deresonancia de este sistema si es sometido a una fuerza deamplitud 8 [N]

Datos: m = 0,65 [kg], K = 180 [N/m], = 5 [N.s/m], F o = 8 [N]


Solucin:


= k m

24 m2

La frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadasse obtiene usando:

a)

Reemplazando los valores obtenemos

= 180 0,65

5 2

4 (0,65)2

= 16,2 [rad/s]b) La amplitud de resonancia se obtiene usando:

Am = Fo/m

2 (o)2 2


Donde:


= = 2m

5 2(0,65)

= 3.8 [rad/s]y

k m

(o)2 = = 180 0,65

o = 16,6 [rad/s]

Am = 8/0,65m

2 (3,8) (276,9 14,44)

Luego

Am = 0,1 [m]


Ejemplo 4. Se tiene un oscilador armnico simple sin amorti-guamiento de masa 2 [Kg] y constante elstica k = 160 [N/m], al cual se le aplica la fuerza F = 560 cos 70 t [N]. a) Escribir la ecuacin dinmica del oscilador, b) la funcin solu cin de la ecuacin y c) discutir la resonancia en este caso.


Solucin.

a) Como NO existe amortiguamiento, la ecuacin dinmica deloscilador es

m = (0) v k x + F o cos F t d2x

dt2

+ x = cos F td2x

dt2K m

Fom

Datos: = 0, m = 2 [kg], k = 160 [N/m], F o = 560 [N] y F = 70[rad/s]


Usando valores se tiene:


+ 80 x = 280 cos 70 td2x

dt2

= tan-1 [ ] Donde: (70)2 (80)2

2 (0)(70)

= /2 [rad ]

+ x = cos 70 td2x

dt2160

2

560

2

A = 280

[ (70)2 (80)2 ]2 + 4(0)2 (70)2

y

b) La solucin de esta ecuacin diferencial es la funcin: x = A sen (70 t )


A = 0.19 [m]


Luego:x = 0,19 sen (70 t /2 ) [m]

x = 0,19 cos (70 t ) [m]

b) La frecuencia de resonancia en este caso es:

A = (o)2 2 2

A = (80)2 2 (0)2

A = 80 [rad/s] = o



Trabajo de grupo en aula N04


1. En la Fig.8 se muestra un bloque de 2 [kg] sumergido enun lquido cuya fuerza de amortiguamiento es F = -25 V,donde F se expresa en [N] y V en [m/s]. El bloque esdesplazado hacia abajo una distancia de 90 [mm] y luegoes dejado libre para que oscile. Hallar: a) la ecuacin demovimiento de la masa y b ) la amplitud del movimientodespus de 3 oscilaciones. La constante del resorte es K= 300 [N/m].

K

m

Figura 8

2. Una masa de 0,200 [kg] se mueve en el extremo de un resorte co n K =400 [N/m]. Su desplazamiento inicial es de 0,300 [m]. Una fue rzaamortiguadora F = - V, donde F est en [N] y V en [m/s], acta sobrela masa y la amplitud del movimiento disminuye a 0,100 [m] en 5 ,00 [s].Calcule la constante de amortiguamiento . Si al sistema se le aplicala fuerza F = 380 cos 65 t [N]. a) Escribir la funcin que descri ba elmovimiento resultante y b) analizar la resonancia en este ca so.


Trabajo para casa N04


FIN

1. Un oscilador armnico amortiguado oscila con una frecuen cia de 200[cic/s]. La constante de tiempo del sistema es 2,0 [s]. En t = 0 , la am-plitud de la oscilacin es 5,0 [cm] y la energa del sistema os cilantees 60 [J]. a) Cules son las amplitudes de oscilacin en t = 2, 0 [s] y t= 4,0 [s]? b) Cunta energa se disipa en el primer intervalo de 2 [s]y en el segundo intervalo de 2 [s]? (Recuerde que la energa to tal deun sistema oscilante es E = KA 2, donde A = A o e- t y la constantede tiempo = m / es el tiempo necesario para que la energa dis-minuya en un factor e = 2,718281828..)

2. Un peso de 40 [N] se suspende de un resorte de co nstante K = 200 [N/m]. El sistema no es amortiguado y es impulsado mediante una fuerza armnica de frecuencia 10 [Hz], dando lugar a un movimiento resultante armnico de amplitud 2 [cm]. Determinar el valor mximo de la fuerza aplicada.

ANEXO 01. Verificacin de la solucin del MOA

ANEXOS

dx dt = Ao e

- t sen( t + ) + Ao e- t cos( t + )

d2x dt2

= (2 2) Ao e- t sen( t + ) 2 Ao e- t cos( t + )

Obtenemos primero las correspondientes derivadas

Para la ecuacin diferencial del MOA

d2x dt2

dx dt

+ 2 + (o)2 x = 0

Verificamos que la solucin es la funcin

x = Ao e- t sen ( t + )

y sustituimos en la ecuacin diferencial


ANEXOS

(2 2) Ao e- t sen( t + ) 2 Ao e- t cos( t + ) +

(2 )[ Ao e- t sen( t + ) + Ao e- t cos( t + )] + (o)2 [Ao e- t sen( t + )] = 0

Haciendo un poco de lgebra se obtiene

[(o)2 2 2 ] Ao e- t sen( t + ) = 0

Esta relacin se cumple si el coeficiente de la funcintrigonomtrica es igual a cero

[(o)2 2 2 ] = 0

de donde obtenemos la frecuencia angular del MOA

= (o) 2 2


que usando las definiciones de sus trminos, la frecuencia angular toma la forma

ANEXOS

T = =(o)2 2

2 2

k m

24 m2

y el perodo

= k m 2

4 m2


La frecuencia lineal

= k m

24 m2f = (o)

2 2 1 21

2

ANEXO 02. Verificacin de la solucin del MOF

ANEXOS

Obtenemos primero las correspondientes derivadas

En la ecuacin diferencial de un MOF estable

d2x dt2

dx dt+ 2 + (o)

2 x = h cos F t

Verificamos si la solucin es la funcin

x = A sen ( F t )

= F A cos ( F t )dx dt

= (F)2 A sen ( F t )d2x dt2

y


ANEXOS

(F)2 A sen ( F t ) + 2 F A cos ( F t ) + (o)2 A sen ( F t ) = h cos F t

y sustituimos en la ecuacin diferencial.

expandiendo las funciones trigonomtricas

(F)2 A [sen ( F t) cos cos ( F t) sen ] + ( 2 F A) [ cos ( F t) cos ) + sen (F t) sen ] + (o)2 A [ sen ( F t) cos cos ( F t) sen ] = h cos F t


Factorizando las funciones trigonomtricas sen (F t) y cos ( F t) se tiene

[ (F)2 A cos + 2 F A sen + (o)2 A cos ] sen (F t) +

[ (F)2 A sen + 2 F A cos (o)2 A sen h ] cos F t = 0

La igualdad anterior se cumple siempre que los coeficientes de lostrminos sen ( F t) y cos ( F t) sean iguales a cero.

ANEXOS

[ (F)2 A cos + 2 F A sen + (o)2 A cos ] = 0

[ (F)2 A sen + 2 F A cos (o)2 A sen h ] = 0

A [ (F)2 (o)2 ] cos + 2 F A sen = 0 (i)


(ii)A [ (F)2 (o)2 ] sen + 2 F A cos = h

De (i) se tiene2 F A sen = A [ (F)2 (o)2 ] cos

tan = (F)2 (o)2

2 F

Por lo tanto, la fase inicial del MOF es

ANEXOS

= tan-1 [ ] (F)2 (o)2

2 FAhora elevamos al cuadrado (i) y (ii)

A2 [ (F)2 (o)2 ]2 cos 2 4 F A2 [ (F)2 (o)2 ] sen cos + 4 2 (F)2 A2 sen 2 = 0

A2 [ (F)2 (o)2 ]2 sen 2 + 4 F A2 [ (F)2 (o)2 ] sen cos + 4 2 (F)2 A2 sen 2 = h2


que sumando se obtiene

A2 [ (F)2 (o)2 ]2 + 4 2 (F)2 A2 = h2

De donde, la amplitud de las oscilaciones forzadas e stables es

ANEXOS

A = h

[ (F)2 (o)2 ]2 + 4 2 (F)2

La funcin completa o solucin de la ecuacin difer encial del MOF es entonces:

[ ]Fo/m[ (F)2 (o)2 ]2 + 4 2 (F)2

x = sen { F t + }tan-1 [ ] (F)2 (o)2

2 F

A = Fo/m

[ (F)2 (o)2 ]2 + 4 2 (F)2


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