4 - Mecánica Relativa 2013

7/18/2019 4 - Mecánica Relativa 2013

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Unidad Nº 4 – Física I – año 20131/11

Dpto de Física y Química – Escuela de Formación Básica

FÍSICA I

UNIDAD Nº 4: MECÁNICA RELATIVA

Nota: Recordar que es conveniente realizar un esquema claro de la situación a resolver. Debe indicarse

además, el sistema de referencia utilizado para los cálculos y expresar los resultados según el mismo. Si elsistema de referencia está indicado en el enunciado deberá utilizarse ese, caso contrario deberá optar por elque considere más adecuado. Una vez obtenido el resultado, realizar el análisis dimensional del mismo,observando su lógica y sentido físico.

1) Cuando Pierre Nodoyuna maneja su Ferrari junto asu perro Patán debajo de la lluvia, en un tramorecto de la pista, a una velocidad constante demódulo 90 km/h, observa que las gotas forman unángulo de 60º con la vertical. En cambio, cuandodetiene su automóvil, las mismas caen

verticalmente. Con estos datos, determinar lavelocidad de la lluvia con respecto a Pierre cuandodetiene la marcha.

2) Los problemas 11) a 14) de la práctica de la unidad nº 3, describían la siguiente situación: “Un vagón,mediante un mecanismo montado en él, lanza una esfera hacia arriba en dirección perpendicular a la víacon una velocidad de módulo 8 m/s” . Al momento de lanzar la esfera, en el problema 12) el vagónavanza en línea recta con velocidad constante de módulo 5 m/s , en el 13) posee una velocidad demódulo 5 m/s y una aceleración de 1 m/s 2 , y en el 14) está circulando por una curva horizontal de 250m de radio, con velocidad de módulo constante de 5 m/s . Determinar en cada una de estas situaciones

y para un sistema de referencia fijo al tren:

a) la altura máxima alcanzada por la esfera,b) la posición de la misma cuando vuelve al nivel desde el que partió,c) la velocidad de la esfera en el punto calculado en el ítem b).

3) El problema 9) de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Cuando un ascensor comienza su movimientoacelera brevemente y continúa luego con velocidad constante hasta que se aproxima al piso deseado,tanto en su movimiento hacia arriba como hacia abajo. Considerando que dentro de él se encuentra unhombre de masa m sobre una balanza ubicada en el piso, hallar el peso efectivo de este hombre si elascensor:a) acelera hacia arriba a 0,2 g,b) acelera hacia abajo a 0,2 g,c) sube o baja con velocidad constante.Si la masa del ascensor (incluido su ocupante) es de 1000 kg ¿cuál es la fuerza en el cable que produceel movimiento, de acuerdo a cada una de las situaciones consideradas en los ítems anteriores?Supongamos que disponemos de un cable que puede aguantar una fuerza máxima de 12000 N ¿cuál esla máxima aceleración posible hacia arriba del ascensor?”.

Resolver desde un sistema solidario al ascensor. Comparar el valor obtenido de la fuerza en el cable eneste caso con el encontrado al resolver la práctica de la unidad n° 3.

4) Un hilo inextensible y de masa despreciable, de longitud L, cuelga del techo sosteniendo una masapuntual m que describe un círculo horizontal de radio R. Encontrar la velocidad angular con la que gira

el péndulo según los siguientes sistemas de referencia.




a) el origen coincide con el centro del círculodescrito y su eje x’ pasa por la masa

b) el origen coincide con la masa y el eje x’ pasapor el centro del círculo descrito

c) el origen está situado en R/3 y su eje x’ pasapor la masa y por el centro del círculo descrito

d) el origen coincide con la masa y sus ejes x’ e y’se mantienen siempre paralelos

5) El juego que se muestrase llama SAMBA. Constade una plataforma circularque tiene libertad derotar alrededor de unpunto y de inclinarse undeterminado ángulo α.Todos sus movimientosvan acompañados pormúsica. Los participantespueden quedarse sentadoso tratar de mantenerseparados en equilibrio.Según el sistema de referencia S’ que se muestra en la figura (correspondiente a un participantesentado en el borde de esta plataforma circular) y que rota con su eje x’ siempre en dirección alcentro de rotación O:a) realizar el diagrama de cuerpo libre del segundo participante, que se mantiene parado y en

equilibrio, marcando pares de acción – reacción.b) determinar el coeficiente de roce estático entre la plataforma y este participante, de tal manera

que se encuentre en equilibrio.Datos: R = 5 m; a = 2,5 m; ω = 1,27 s-1; θ = 20º

6) Una plataforma horizonal de radio R que posee una muesca coincidente con su radio, puede girar conrespecto a un eje fijo que pasa por su centro. Cuando está rotando con velocidad angular de móduloconstante ω, un pequeño cuerpo de masa m se desplaza sobre la muesca en la dirección coincidentecon el eje x’, con velocidad de módulo constante v’. Para el instante enque m se encuentra en la mitad del radio y desde el sistema dereferencia S’ solidario a la plataforma:a) realizar el diagrama de cuerpo libre,b) determinar el módulo, dirección y sentido de las fuerzas que

actúan sobre el cuerpoDatos: m = 1 kg: R = 8 m; ω = 5 s-1; v’ = 50 cm/s

o’

o

y’

x’

a

ω

α

ω

y ’ x’

z’

m

v’




PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

1) Un camión transporta una caja sobre el piso de su parte posterior. El mismo circula por una calle conpendiente longitudinal nula, en línea recta, mientras aumenta su velocidad en forma proporcional altiempo. Para un sistema S’ solidario al camión: a) aislar dicha caja y marcar pares de acción y reacción,b) calcular la máxima aceleración, con la que puede

circular por dicha calle, para que la caja no deslice conrespecto al piso del camión.

Datos: m = 10 kg; μe = 0,4

2) El problema 7) de complementarios de la práctica de la unidad nº 3 decía: “ Parte de un jugueteconsiste en un cono, como se observa en la figura,sobre cuya superficie gira un pequeño objeto de500 g de masa, describiendo una circunferencia enun plano horizontal cada 3 segundos. Por medio deun hilo de 40 cm de longitud, el objeto se sujeta a

una varilla vertical fija al vértice del cono.Despreciando el rozamiento entre ambassuperficies, determinar la tensión en el hilo” .

Resolver ahora este problema desde un sistema S’ cuyo origen está fijo al objeto, y el eje x’ pasa porel centro de la circunferencia que describe.

3) El problema 2) de integración de la práctica de la unidad nº 3decía: “Un niño que está de pie sobre un bloque de madera

pretende avanzar con el mismo tirando de una cuerda atada a unacolumna (figura a). Como resultado de su acción avanza unadistancia L, pero a la vez se desliza sobre el bloque (figura b):

a)

realizar el diagrama de cuerpo libre del niño y del bloque,marcando pares de acción y reacción,

b) calcular el tiempo que tardan en alcanzar la posición que semuestra en la figura b,

c) calcular la distancia que recorre el bloque.Datos: m bloque = 40 kg; m niño = 28 kg; F = 150 N; L = 2,5 m; μ NB = 0,2;μ BP = 0,05Resolver ahora este problema desde un sistema S’ cuyo origen estáfijo en el trozo de madera.

4) En ciertos medios de transporte de pasajeros, por ejemplo, los subterráneos de Buenos Aires, seutilizan agarraderas que cuelgan del techo para que los pasajeros que viajan parados tengan donde

asirse. Cuando el subterráneo circula por una curva de radio R convelocidad angular constante, se observa que las agarraderas forman unángulo de inclinación θ con la vertical. Calcular dicha velocidad, a partir delsistema S´ pegado al techo, que se observa en la figura. Modelizar la

situación considerando a la agarradera comouna partícula de masa m y a la cuerda que lasostiene de masa despreciable, inextensible

y de longitud L.Datos: m = 700 g; R = 20 m; d = 0,5 m;

L = 0,5 m; θ= 15°

μ

m

θ L

z’

x’

oR

m

20º

ω y’

x’




ω

y’

θ

μ

mL

x’

5) Un cuerpo de masa m se encuentra girando sobre una superficie cónica lisa,alrededor del eje z’ con una velocidad angular constante de módulo ω. Para elsistema S’ indicado cuyo eje x’ gira solidario a la masa m: a) calcular las fuerzas que actúan sobre la masa m,b) determinar la velocidad angular necesaria para reducir a cero la reacción

del plano sobre m.Datos: m = 1,5 kg; θ = 20º; l = 4,57 m; ω = 10 RPM

6) El problema 20) de la práctica de la unidad nº 3 decía: “Las curvas de una pista de bicicletas tienen unángulo de peralte de 30º, y un radio de curvatura de 50 metros.Un ciclista recorre dicha pista a una velocidad de móduloconstante de 40 km/h ”. Desde un sistema de referencia cuyo origen está fijo al rodado

y el eje x’ pasa por el centro de la circunferencia que describe:a) realizar el diagrama de cuerpo libre del sistema ciclista-

bicicleta, marcando pares de acción y reacción.b) determinar, para ese sistema, todas las fuerzas que actúan

cuando transita la curva.Datos: la masa del conjunto es de 65 kg.

7) El camión del problema nº 1 de los complementarios de esta práctica circula ahora por una curvahorizontal de 20 metros de radio. Para el sistema de referencia indicado, realizar el diagrama decuerpo libre de la caja y calcular la máxima velocidad que puede desarrollar el camión para que la cajano deslice con respecto a él, en los siguientes casos: a) la curva no está peraltada, b) la curva posee un peralte de 20º. Si la caja deslizara con velocidad

constante de módulo v´ respecto delinterior del camión,c) ¿cómo se modificaría el diagrama de

cuerpo libre de la caja? Justifiquesu respuesta.

8) Un juguete consiste en una pequeña cuña que puede girar alrededor de una barra unida a ella en unextremo, como muestra la figura. Un muñeco de masa m se encuentra sobre la cuña, y entre sus

superficies existe rozamiento. Desde el sistema x’y’ indicado,solidario a la cuña, calcular la velocidad angular con la que debegirar este juguete para que el muñeco:

a) comience a deslizar hacia abajo,b) comience a deslizar hacia arriba,c) no deslice sobre la cuña.

En todos los casos suponer ω constante.Datos: θ = 30º; μe = 0,20; μd = 0,15; L = 40 cm

PROBLEMAS DE INTEGRACIÓN

1) Considerar en el problema 3a) de esta práctica, que el sistema está dentro de un ascensor queasciende con aceleración constante de módulo A. Realizar el diagrama de cuerpo libre de la masa m,indicando todas las fuerzas (módulo, dirección y sentido) que actúan sobre ella.

o’

x’ ω

R

z’

x’

l

z’

y’ m

ω

θ

o’




r

dA

B

2) Una plataforma horizontal de radio R, rota con velocidad angular constante de módulo ω, mientrasdesciende con aceleración de módulo A. Un pequeño cuerpo de masa mse desplaza sobre ella en la dirección del eje x’, con velocidad de módulov’ constante. Para el instante en que m se encuentra en la mitad delradio y desde el sistema S’ indicado:a) realizar el diagrama de cuerpo libre, indicando pares de acción y

reacción,b) determinar todas las fuerzas que actúan sobre m.Datos: m = 1 kg; R = 8 m; ω = 5 s-1; v’ = 50 cm/s

3) En el instante que se tomó la imagen, las trayectoriasde los autos A y B son perpendiculares. El auto Acircula por una curva de 20 metros de radio a unavelocidad de módulo 10 m/s, mientras B se mueve auna velocidad de módulo 15 m/s, disminuyendo lamisma a razón de 0,7 m/s2. Determinar la velocidad y

la aceleración con que el auto B observa circular al A.4) El problema 1) de integración de la práctica de la unidad nº 2 decía: “Un juego de un parque de

diversiones consiste en varias tazas alineadas en forma de circunferencia sobre una plataformacircular, en un plano horizontal. Cada taza puede girar con respecto a un eje que pasa por su centro,mientras la plataforma también gira con respecto a un eje central. Si ambas rotan en sentidoantihorario, la plataforma a 4 RPM y la taza a 20 RPM ” . Para el instante en que dos personas seencuentran en las posiciones indicadas como A y B (extremosde un diámetro de la taza), y desde unsistema S’ cuyo origen coincide con elcentro de dicha taza y el eje x’ pasa

siempre por el centro de laplataforma, determinar:a) la velocidad y la aceleración de

las personas,b) las fuerzas que actúan sobre ellas.Datos: r = 5 m; d = 2 m

5) El problema 2) de integración de la práctica de la unidad nº 2 decía: “ Los helicópteros tienen, entreotras posibilidades de movimiento, la capacidad de rotar sobre sí mismos sin trasladarse. El modelo en

miniatura de la figura usado para hacer experimentos aescala en condiciones de laboratorio, está girando sobre símismo (sin trasladarse) a razón de 1 s -1 . El eje de giro esel indicado en la figura, y el sentido de giro es el señalado

por la flecha ubicada sobre el rotor grande. A su vez elrotor pequeño gira alrededor de su propio eje a 20 s -1 . Si L= 50 cm, y el radio del rotor pequeño es de 5 cm ”,determinar ahora la velocidad y la aceleración del punto Acon respecto al sistema S’ indicado, cuyo eje x’ gira con elhelicóptero.

y’

x’

y’

x’

z’

m

v’

ω

A




PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 1: En una calesita de un parque infantil, una niña está sentada sobre un caballito ascendiendo ydescendiendo con el mismo. La calesita gira a 3 RPM en sentido antihorario (visto desde arriba). Elcaballito en un instante está subiendo con velocidad de módulo constante de 0.15 m/s y a una distancia de7 m del eje de giro. Para esas condiciones, calcular la velocidad y aceleración de la niña y realizar eldiagrama de cuerpo libre desde los siguientes sistemas de referencia:

a) un sistema S) solidario a la Tierra,b) un sistema S1’) solidario a la calesita, cuyo eje z’ coincide con el eje de la misma y el eje x’ gira con

la niña,c) un sistema S2’) solidario al piso de la calesita, cuyo eje z’ coincide con la niña y el eje x’ gira y pasa

siempre por el eje de la calesita,d) un sistema S3’) solidario al piso de la calesita, cuyo origen se encuentra en el borde exter ior de la

misma a 50 cm de la niña y el eje x’ gira y pasa siempre por el eje de la calesita.

Solución

La idea en este ejercicio es comparar el mismo movimiento (elde la niña sobre un caballito en el momento que sube en unacalesita que gira) visto desde distintos sistemas de referencia.El objeto es comprender y justificar el movimiento que percibecada observador.

Comencemos por realizar un esquema de la situación. Para elloelegimos la imagen de la Figura 1.1, en donde se indica lacalesita, su velocidad angular, la posición de la niña sentadasobre el caballito y la velocidad del mismo en el instantesolicitado.

Ahora comencemos a analizar el movimiento, determinando lavelocidad, la aceleración y las fuerzas que actúan sobre la niña,observadas en las distintas situaciones solicitadas.

a) En un sistema de referencia S) solidario a la Tierra(sistema de referencia inercial), el observador estáen reposo y fuera de la calesita. El mismo observaque la niña está describiendo un movimiento circularsegún un plano horizontal, a la vez que sube y bajasegún un eje vertical sentada sobre el caballito (enel instante solicitado y para la posición que indica el

dibujo la niña está subiendo). Por lo tanto el vectorvelocidad de la niña tendrá dos componentes: una corresponde al plano horizontal y tiene

dirección tangente a la trayectoria. Su valor,según lo aprendido al analizar el movimientocircular de una partícula con velocidad angularconstante (Capítulo 2), se calcula como elmódulo de Rω . Su sentido lo da la regla de lamano derecha.

la otra componente se encuentra en un plano vertical, su sentido es hacia arriba y su módulo esigual al módulo de la velocidad del caballito.

ω

v

Figura 1.1

Figura 1.2

z

y

x0




A su vez posee una aceleración radial de módulo ω 2R dirigida hacia el centro de la circunferencia quedescribe. Esta aceleración es la responsable del cambio de dirección de la velocidad tangencial, comose ha estudiado en el Capítulo 2.

A partir del dato de la frecuencia con la que gira la calesita, podemos determinar la velocidad angularde la niña (que es igual a la de la calesita), siendo:

ω = 2 π 3/60 s -1 = 0,314 s -1

Para expresar la velocidad y aceleración de la niña en forma vectorial, es necesario adoptar un sistemacoordenado xyz. El mismo está representado en la Figura 1.2. Según el mismo:

Sobre la niña actúan fuerzas de interacción según lo visto en el Capítulo 3. Lasmismas y sus reacciones se representan en el diagrama de cuerpo libre indicado en laFigura 1.3. Aplicando la Segunda Ley de Newton y expresando sus componentes segúnel sistema de coordenadas adoptado tendremos:

0PN0amF

0amF

amFamF

amF

zz

y y

rxx

De este modo el observador deduce que la aceleración radial que tiene la niña es debida ala fuerzaF que el caballito ejerce sobre ella.

Antes de comenzar a estudiar la misma situación desde distintos sistemas de referencia

que se mueven con la calesita (sistemas no inerciales), repasemos cuáles son las posiblesfuerzas ficticias que requiere introducir un observar O’ fijo a dichos sistemas noinerciales para explicar las situaciones abordadas. Estas fuerzas, denominadas fuerzas inerciales, noverifican la Tercera Ley de Newton:

Fuerza de arrastre

AmFA

donde A es la aceleración del sistema acelerado S’ (no inercial) conrespecto al fijo S (inercial). Esta aceleración se manifiesta observandola aceleración del origen del sistema S’ (0’) con respecto al origen de S(0).

Fuerza centrífuga

)r'ω(ωmFC

donde ω es la velocidad angular del sistema S’ con respecto a S y r'esel vector posición del objeto en estudio con respecto a S’. La velocidad

se manifiesta observando la rotación de los ejes del sistema S’ (x’y’z’)con respecto a los ejes de S (xyz).

Fuerza de Coriolis

)v'ωm2FCor donde ω es la velocidad angular de S’ con respecto a S y 'v es lavelocidad del objeto observada desde S’.

¡Ahora sí! Comencemos a estudiar el movimiento y las fuerzas tanto de interacción como las ficticias queactúan desde cada sistema no inercial propuesto en los ítems b), c) y d).

b) El movimiento se analiza desde un sistema de referencia S1’) solidario a la calesita. El observador estáubicado en el origen del sistema coordenado adoptado, sobre el piso de la calesita y girando con ella demanera que siempre mira a la niña (Figura 1.4)

m/s0,15);2,20;(0v 2m/s)0;0;0,69(a

P

P’

N

N’

F

F’

Figura 1.3

z

y x




Él percibe que la niña sólo sube y baja sobre el caballito. Esteobservador no ve a la niña girar. Para el instante estudiado en quela niña sube con velocidad constante, la velocidad y aceleracióndesde este sistema son:

Al analizar las fuerzas que actúan sobre la niña, el observadorreconoce inicialmente las deinteracción. Pero al pensar en eldiagrama de cuerpo libre (Figura 1.5)observa que no es consistente con lacondición de aceleración nula. Siquisiera aplicar la 2º Ley de Newtontendría:

0a0amF no corresponde a lo observado. Es entonces

donde concluye que algo en su razonamiento y/o planteo está mal.

Recuerda que él está moviéndose junto a la calesita, y comienza a repasarcada una de las fuerzas inerciales (o ficticias) que estudió, aquellas que no verifican la Tercera Ley deNewton (acción y reacción). Ellas son las responsables de hacerlo suponer que la niña tiene aceleraciónnula. Entonces:

Fuerza de arrastre: al estar 0’ siempre en la misma posición con respecta a 0, A es nula.Concluye que 0FA .

Fuerza centrífuga: el sistema desde el cual observa el movimiento estárotando (en este caso los ejes x’y’ rotan con respecto axy ) 0ω 0r' paralelossonnor' yω

Fuerza de Coriolis: 0ω 0v' 'v//ω

Para calcular la fuerza centrífuga comenzamos por determinar su módulo, para luego obtener sudirección y sentido por la regla de la mano derecha:

Rωαsenr'ωr'ω siendo:

'kωω y i 'Rr' con R = 7m y α el ángulo entre i ' yk' = 90º. Su dirección y sentido coincide con eleje y1’. Luego:

Rωαsenr'ωω)r'ω(ω2 siendo α = 90º y su dirección y sentido coincide con el eje x1’

negativo. Y por último:

0FC

0FCor

iRωm)r'ω(ωmF2

C

m/s)0,15;0;0(v'

2m/s)0;0;0(a'

N

PF

Figura 1.5

ω

Figura 1.4

y1’

x1’

z1’

0

01’




El DCL desde el sistema S1’ se representa en la Figura 1.6. Notar quela fuerza centrífuga no posee reacción por ser una fuerza ficticia.

Se puede mantener la forma de la Segunda Ley de Newton planteandola sumatoria de fuerzas desde S1’ indicada a continuación:

c) El movimiento se analiza desde un sistema de referencia S2’) solidario a la calesita. El observador estáubicado en el origen del sistema coordenado adoptado, O2’, sobre el piso de la calesita coincidiendo con

la niña y girando con ella. El eje x2’ pasa siempre por elcentro de giro (Figura 1.7). Para este observador:

Si el observador desde O2’ considera sólo las fuerzas deinteracción no puede explicar que la niña no esté acelerada.Como en el caso b), para justificar esta situación debeintroducir alguna fuerza que equilibre la fuerza de

interacción F entre la niña y el caballo. Dado que no existeningún agente del medio que realice tal fuerza, debe recurrira una fuerza inercial o ficticia.

Analizando y calculando cada una de las fuerzas inercialesque pueden actuar sobre la niña, se obtiene:

Fuerza de arrastre: 0’ describe un movimiento circular alrededordel eje de giro de la calesita, por lo cual suaceleración es radial: iR ωa

2

r , donde R =

7m

iRωmAmF 2A Fuerza centrífuga: 0ω

0r'


Se realiza el DCL con todas las fuerzas de interacción y las inerciales(sólo fuerza de arrastre en este caso) según se muestra en la Figura 1.8

y se plantea la sumatoria de fuerzas desde el sistema S2’

0FCor

0PN0a'mF'

0a'mF'

0FF0a'mF'

'amF'

zz

y y

Cxx

0FC

m/s)0,15;0;0(v' 2m/s)0;0;0(a'

ω z2’

y2’

x2’ 02’

Figura 1.7

P

P’

N

N’

F

F’

FC

Figura 1.6

z1’

y1’ x1’

P

P’

N

N’

F

F’

FA

Figura 1.8

z2’

y2’ x2’




d) El movimiento se analiza desde un sistema S3’) solidario a la calesita, con el observador ubicado en elorigen O3’, sobre el piso de la misma y a 50 cm hacia afuera y el eje x2’ pasa siempre por el centro degiro. Para este observador:

Analizando las fuerzas que actúan sobre la niña:

Fuerza de arrastre: 0’ describe un movimiento circular alrededor del eje de giro de la

calesita, por lo cual posee aceleración radial 0FA

Fuerza centrífuga: 0ω 0r' paralelossonnor' yω


Cálculo de la fuerza de arrastre:

iRωa 2r iRωmAmF 2

A donde R = 7,5m(distancia entre 0 y 0’)

Cálculo de la fuerza centrífuga:

r'ωαsenr'ωr'ω siendo i 'm0,5r' y α el

ángulo entre r' yω = 90º. Su dirección y sentidocoincide con el eje y3’ negativo. Luego:

r'ωαsenr'ωω)r'ω(ω

2

siendo α = 90º ysu dirección y sentido coincide con el eje x3’ negativo. Ypor último:

El DCL desde el sistema S3’ se indica en la Figura 1.10.

0FC

0FCor

ir'ωm)r'ω(ωmF 2C

0PN0a'mF'

0a'mF'

0FF0a'mF'

'amF'

zz

y y

Axx

m/s)0,15;0;0(v' 2m/s)0;0;0(a'

Figura 1.9

ω z3’

y3’

x3’ 03’




Se plantea la sumatoria de fuerzas desde S3’, siendo:

Y algo muy importante: verificar que las fuerzas de interacción(P, N y F) sean iguales (igual módulo, dirección y sentido)independientemente del sistema de referencia utilizado para sucálculo.

0PN0a'mF'

0a'mF'

0FFF0a'mF'

'amF'

zz

y y

ACxx

P’

N

N’

F

F’

FA Fc

Figura 1.10

Pz3’

y3’ x3’

4 - Mecánica Relativa 2013

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