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2da PRÁCTICA CALIFICADA

GRUPO Nº 6

22/07/2013

EJERCICIOS DESARROLLADOS. LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR SHAMES IRVING 4ta Edición.

DINÁMICA

DINÁMICA (IC – 244) 2da Práctica Calificada

1

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGA

__________________________________

FACULTAD DE INGENIERÍA DE MINAS,

GEOLOGÍA Y CIVIL

““EEssccuueellaa ddee FFoorrmmaacciióónn PPrrooffeessiioonnaall ddee IInnggeenniieerrííaa CCiivviill””

PRÁCTICA CALIFICADA Nº 02

“DESARROLLO DE EJERCICIOS DE CINÉTICA”

LIBRO MECÁNICA VECTORIAL DE DINÁMICA POR

SHAMES IRVING 4ta Edición

CURSO : DINÁMICA

SIGLA : IC- 244

CICLO ACADÉMICO : 2012-II

GRUPO : N° 06 (SHAMES 4ta Edición)

DOCENTE : Ing. CASTRO PEREZ, Cristian.

INTEGRANTES :- AGUILAR HUICHO, Edgar. - GARCIA RAMOS, Wilson Luis. - ORÉ MENDOZA, John. - I - - SULCA SANTIAGO, Emerson.

FECHA : Ayacucho, Julio del 2013

Ayacucho – Perú 2013


2


3

INDICE

Cinética de Leyes de Newton de una Partícula. …..…………………4 Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula. ..………..................8 Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula. ..…………….........16 Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido. …..………..….......20 Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido. ..……..……..........24 Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido. .....……………......28


4

Cinética de Leyes de Newton de una Partícula 12.120. Un esquiador esta bajando por una colina a una velocidad de 14m/s mientras

está en la posición que se muestra. Si el esquiador pesa 800N ¿Qué fuerza total ejercen sus esquis sobre la superfcie de la nieve? Suponer que el coeficiente de rozamiento es de 0.1. La colina se puede considerar como una superficie parabólica.

Solución

Datos:

Ecuación: 2Kxy

2156 K 75

2K

2

75

2xy

Hallando: Radio de Curvatura:

kgm

NW

smV

55.81

800

14


5

y

y 23

2 ])(1[

75

4

75

41

23

2

x

Para x = 15

m38.39

Para las fuerzas normales a la superficie:

2vac

2

2

977.438.39

14

smac

)977.4)(55.81(N

cN

F

maF

87.405NF N

Además para saber el ángulo:

xdx

dytg

75

4

Para x = 15

º66.3875

154Arctg

87.405coswFN

56.1030 N

Además Fr:

rN maF

cteV :


6

056.10386.4

55.81))º66.38((800)56.1030(1.0

uFa

asenWsenF

rr

rr

6.103522

rFF N

12.139. Una masa de 3kg se está moviendo a lo largo de una varilla vertical parabólica cuya ecuación es y = 3.4x2 un muelle lineal con K = 550N/m está conectado a la masa y no presneta deformación cuando la masa está en su posicin mas baja teniendo en ese momento una longitud t0 = 1. Cuando la directriz del muelle está a 30º de la vertical, como se muestra en el diagrama, la masa se esta moviendo a 2.8m/s. En ese instante. ¿Cuál es la componente de la fuerza sobre la varilla en la dirección perpendicular a la misma?

Solución

Datos:

smV

kgM

mNK

8.2

3

550

En la ecuación:

2)º30(4.3º30cos1 senLL ff


7

mL f 689.0 mx 3111.0689.01

Hallando radio de Curvatura:

y

y 23

2])(1[

4.32

])4.32(1[ 23

2x

Para x = 0.3445

m43.2

Fuerza Normal:

2

43.2

8.23N

cN

F

maF

679.9NF N

Además para saber el ángulo θ:

xdx

dytg 8.6

Para x = 0.3445

º88.66

)3445.08.6(Arctg

679.9)º30º88.66cos(cos RN FmgF N

Donde:

105.1715503111.0KxFR

Reemplazando:

679.9)º88.36cos(105.171)º88.66cos(81.93

63.115 N


8

Cinética de Trabajo y Energía de una Partícula

13.48. Un cojinete A de 15kg de masa desliza sin rozamiento por un tubo. El cojinete

está conectado a un muelle lineal cuya constante K vale 1N/mm. Si el cojinete, inicialmente en reposo, se suelta en la posición que se muestra. ¿Cuál será su velocidad cuando el muelle este en la posición EF? En la posición inicial del cojinete el muelle esta alargado 75mm.

Solución

Datos:

kgm

mmNK

15

1

mN

m

mm

mm

NK 1000

1

1000.

1

mmL f 41.335150300 22

mmi 75

mmL 41.2607541.335 longitud( sin )elongación

mm

mmL

E

E

6.3941.260300

300

Planteando Ecuación de Energía:


9

EEE

EGCOEOGOC EEEEEE 111

222 ))((

2

10

2

1)(

2

1)15.0(0 EKmViKmg

222 )0396.0)(1000(2

115

2

1)075.0(1000

2

1)15.0(81.915 V

smV 79.1

13.50. Un cojinete A con una de 5kg puede deslizar por un tubo sin rozamiento. Si se suelta, partiendo del reposo, en la posición que se muestra, en la que el muelle no presenta deformación, ¿Qué velocidad tendrá el cojinete después de haber recorrido 50mm? La constante del muelle es de 2N/m.

Solución

Datos:

kgm

mN

mmNK

5

20002


10

Por Ley de Cosenos:

mmx 13.2920013.299

Planteando Ecuación de Energía:

AA EE

GECGEC EEEEEE

0))((2

1

2

10 22 xKmVmgh

22 )02913.0)(2000(2

1)5(

2

1)025.0(81.95 V

smV 39.0

13.70. Se dispara un proyectil de peso W1N contra un bloque de madera que pesa

W2N. El proyectil se aloja en la madera y ambos cuerpos se mueven hasta la posición indicada en el diagrama mediante línea discontinua antes de volver a caer. Calcular la cantidad de trabajo interno realizado durante esta acción. Discutir los efectos de este trabajo. El proyectil tiene una velocidad V0 antes de impactar contra el bloque. Desestimar la masa de la barra de soporte y el rozamiento de A.


11

Solución

W1: Proyectil. W2: Bloque.

708.1

º45.64cos33

P.C.C.M:

)(. 2101 WWVVW

21

10

WW

WVVi

Planteando por Conservación de Energía:

2211 PCPC EEEE

)708.1)((.)(

.2

121

221 WWVg

WWi

8.5

)708.1(2

i

i

V

gV

2

01212

1)(8.5 VWWWW

13.78. Un péndulo tiene un peso con un disco uniforme comparativamente grande de

0.6m de diámetro y una masa M de 1.5kg. En el instante que se muestra, el sistema

tiene una velocidad angular ω de 0.3rad/s. Si despreciamos la masa de la barra. ¿Cuál

es la energía cinética del péndulo en ese instante? ¿Cuál es el error en el que

incurrimos si consideramos el peso como una partícula, tal como hemos hecho

anteriormente con otros péndulos? Utilizar el resultado del problema 13.76.


12

Solución

Datos:

kgM

mr

5.1

3.0

2

2

1IEc

2

2

1mRI

a)

222 )3.0()5.1)(5.1()3.0)(5.1(2

1

2

1CE

JEC 1549.0

b) Error:

22 )5.13.0)(5.1(2

1

2

1mVE

rticularotacionpaC

JE

PRC 1519.0.

Error 1519.01549.0E

%3.0E


13

13.99. Partiendo del reposo, un cuerpo A se suelta cobre una superficie circular sin

rozamiento. A continuación el cuerpo se mueve sobe una superficie horizontal CD

cuyo coeficiente de rozamiento dinámico con el cuerpo es de 0.2. Un muelle cuya

constante K = 900N/m esta colocado en C como se muestra en el diagrama. ¿Cuánto

se comprimirá el muelle? El cuerpo tiene una masa de 5kg.

Solución

Datos:

kgm

mNK

5

900

Hallando velocidad de la masa en el punto D.

smghVD 72.117)81.9(22

Conservación de energía en el tramo CD.

frCD wEE

)10()()(2

10

2

1 22xfrxKmVD

Donde:

)(2.0 mguNFr

)10())((2.0)(2

1

2

1 22xgmxKmVD


14

)10()81.9)(5(2.0)(9002

1)72.11)(5(

2

1 22 xx

Resolviendo:

mx 727.0

13.120. Un collar desliza sin rozamiento por un tubo como se muestra. El muelle no

presenta deformación cuando esta en posición horizontal y tiene una constante de

180N/m. ¿Cuál es la masa mínima que debe tener A para justo alcanzar A´ si se suelta

partiendo del reposo y en la posición que se muestra en el diagrama? ¿Cual será la

fuerza sobre el tubo cuando A ha recorrido la mitad de la distancia hasta A´?

Solución

Datos:

?

180

m

mNK

523.1

6.04.1 22

c

c

a) Planteando Ecuación de Energía:


15

AO EE

2)(2

1xKmgh

2)8.0523.1)(180(2

1)6.0)(81.9(m

kgm 99.7 mínima masa

b) cuando recorre una distancia AA´/2:

Por ley de senos

Energía:

22

2

1)(

2

1)º456.0( mVxKsenmg

22 )99.7(2

1)8.0064.1(180

2

1)º456.0)(81.9)(99.7( Vsen

smV 6.2

Luego

6.0

)6.2(99.7

2

N

CN

F

maF

02.90NF N

02.90NF

02.90)º45()5.21( senmgsenFr

84.161 N


16

Cinética de Cantidad de Movimiento de una Partícula

14.56. Los cilindros A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El cilindro A,

inicialmente en reposo y de forma que el muelle K1 al que está conectado está

inicialmente no deformado, se suelta. El impacto con el cilindro B tiene un coeficiente

de restitución e igual a 0.8. Antes del impacto el cilindro B esta en reposo y esta

soportado en la posición que se muestra por el muelle K2. Suponer que los muelles no

tienen masa.

a) ¿Cuánto se comprimirá el muelle inferior?

b) ¿Cuánto descenderá el cilindro B después del impacto antes de alcanzar su

posición mas baja?

Solución

Datos:

8.0

1100

1000

800

500

2

1

e

mNK

mNK

NW

NW

B

A


17

a)

º45senWxK B

2

2.

1100

800x

mx 051.0

Se comprime 51mm inicialmente b) Cuando A apenas impacta a “B”

AOA EE 1

mghmVxKmgh 22

2

1)(

2

1

2

1

2 .81.9

)500(

2

1)8.0(1000

2

1º45cos)8.0(500 iV

smVAi 313.3)(

Para ecuaciones de choque: P.C.C.M

BfBAfABiBAiA VmVmVmVm .... ;

0BiV

BfAf VV 800500)313.3(500

).........(..........85565.16 IVV BfAf

Además.

8.0AiBi

AfBf

VV

VVe

)........(..........6504.2 IIVV AfBf

)(357.0

smVA

)(293.2s

mVB

Luego aplicando Ecuación de Energía:


18

BB EE EEEEEE GCGC

2

2

2

2

2 )2051.0(2

100)051.0(

2

1)(

2

1KKmgVm BfB

222 )2051.0)(1100(2

1)051.0(1100

2

1)(800)293.2(

81.9

)800(

2

1

m14.0

)(desciende

m198.02

)(compresión

14.57. La masa A y B deslizan sin rozamiento a lo largo de una barra. El muelle, que

en su configuración libre tiene 0.8m de longitud, esta comprimido hasta la posición que se muestra. El sistema, que inicialmente esta en reposo, se suelta A y B realizando un impacto plástico. El muelle no tiene masa. a) ¿Cuál será la velocidad de las masas después de que B recorra 0.2m? b) ¿Cuál será la perdida de energía mecánica del sistema?

Solución

Datos:

mNK

kgM

kgM

B

A

1000

1

2

mLi 8.0


19

mxi 5.03.08.0

Impacto Plástico o Inelástico (e = 0) Hallando la velocidad para A (inicial)

22

2

1000)(

2

10 mVxK

22 2)5.0(1000 V

smVAi 18.11

Como el impacto es plástico:

BfAf VV Ambos llevan la misma velocidad

P.C.C.M:

BBfAAfBBiAAi mVmVmVmV

)12()2(18.11 fV

a) smV f 45.7

b) Pérdida de Energía

if EEE

22

2

1

2

1AAVmMVE

22 )18.11)(2(2

1)45.7)(12(

2

1E

99.12425.83E

Pérdida de Energía J74.41


20

Cinética de Leyes de Newton de un Cuerpo Rígido 16.80. Una barra AB, inicialmente en reposo, de 3m de longitud y un peso de 445N se

muestra inmediatamente después de haberse soltado. Calcular la fuerza de tracción en los cables EA y DB en ese instante.

Solución

Torque en el CIR:

I

)12

1()

4

33(445 22 mbml


21

Donde:

4.5)33(15 22b

)4.512

3(445)

4

33(445 2

2

2426.0s

rad

Torque en A:

AAI

)426.0(3)81.9

445(

3

1)3()

4

33(445 2

2T

01.2462T N

Torque en B:

BBI

)426.0(3)81.9

445(

3

1)

2

º30cos3(445)º30cos3( 2

1T

81.2011T N

16.81. La barrara AB se suelta en la configuración que se muestra. ¿Cuáles serán las

fuerzas de soporte en ese instante si despreciamos el rozamiento? La barra pesa 900N y tiene 6m de longitud.


22

Solución

Mediante ley de senos:

Luego, haciendo torque en C.I.R

I

)12

1()º45cos3923.4º15cos3(900 22 mdml

Reemplazando valores:

NW 900


23

)8879.312

6(

81.9

900)208.0(900 2

2113.0

srad

Torque respecto a B:

BBI

26)81.9

900(

3

1)º30cos6()º15cos3(900 AF

038.209AF N

Torque respecto a A:

AAI

26)81.9

900(

3

1)º15cos3(900)º45(cos6 BF

2.874BF N


24

Cinética de Trabajo y Energía de un Cuerpo Rígido 17.5. Considerar que la biela AB es una barra delgada de 1kg de masa, y calcular la

energía cinética para los datos que se dan.

Solución

srad

s

rad50

60

min1.

min3000

Hallando VB: smVB 75.3075.050


25

)4308.0(BV )4308.0(75.3

srad705.8

rVA

smVA 81.3438.0705.8

Luego por cinética:

ACGBCG VVV

)ˆº30075.0ˆº30cos075.0(ˆ50 jsenikVCG

)ˆ)º22.73(ˆ)º22.73cos()(2

225.0(ˆ705.8 jsenik

jiVCGˆ53.3ˆ937.0

smVCG 65.3

EC (Energía Cinética de la barra)

22

2

1

2

1ImVE

ABC

222 )705.8).(225.0)(1(12

1(

2

1)65.3)(1(

2

1ABCE

JEABC 82.6


26

17.6. Dos bielas idénticas CB y AB están articulada entre si en el punto B. La biela B

esta articulada con el bloque D que pesa 225N. Cada biela tiene 600mm de longitud y pesa 45N. La biela BA gira en sentido opuesto al de las agujas del reloj con una velocidad angular constante w de 3rad/s. Calcular la energía cinética del sistema cando BA este orientada (a) formando un anulo de 60º con la vertical y (b) formando un ángulo de 90º con la vertical (esta ultima posición se muestra en el diagrama con línea discontinua).

Solución

Datos:

srad

ucNW

W

Barras

D

3

)(45

225

smV

ABCG 9.0)3.0(0.3

srad

BC 3

)ˆcos6.0ˆ6.0(ˆ3 jisenkVBCCG

)ˆcos3.0ˆ3.0(ˆ3 jisenk

jseniVBCCG

ˆ6.0ˆcos7.2

)ˆcos6.0(ˆ3)ˆcos6.0(ˆ3 jkjkVC


27

iVCˆcos6.3

a) Para θ =60º

smV

ABCG 9.0

smV

BCCG 56.1

smVC 8.1

22222

2

1

2

1

2

1

2

1CBCABBCABC MVIImVmVE

22222 )8.1(81.9

225

2

1)3()6.0(

81.9

45

12

1)56.1(

81.9

45

2

1)9.0(

81.9

45

2

1º60CE

JEC 83.45º60

b) Para θ =90º

smV

ABCG 9.0

smV

BCCG 9.0

0CV

222 )3()6.0(81.9

45

12

1)9.0(

81.9

45

2

12º90CE

JEC 95.4º90


28

Cinética de Cantidad de Movimiento de un Cuerpo Rígido

17.83. Un cilindro escalonado tiene 50kg de masa y un radio de giro de 1.2. Un boque

A de 25kg esta soldado al cilindro. Si en la configuración que se muestra el muelle no presenta deformación y si constante K es de 0.1N/mm. ¿Cuál será la velocidad angular del cilindro después de girar 90º? Suponer que el cilindro rueda sin deslizar.

Solución Datos:

mNK

m

kgm

kgm

C

A

100

2.1

50

25

IC

)2

1()3.05.1)((25)()45.0( 22 dmImgxF AACR


29

))8.1()2.16.0)(25(12

1)2.1)(50(

2

1()8.1)(81.9(25)5.1

2(100 2222

Am

278.2s

rad

dt.

).........(.......... Ict

Si t = 0 ; ω =0

t

2

2

1attVd O

2)5.1(2

1)5.1(

2t

78.2t

st 063.1

srad96.2

)063.1)(78.2(

17.83. Un cilindro A de 150N de peso y un radio de giro de 100mm se coloca sobre una cinta transportadora que se esta moviendo con una velocidad constante VB = 10m/s. Hallar la velocidad deleje del cilindro para el instante t = 5s. El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y la cinta es de 0.5.


30

Solución

Datos:

st

smV

mT

NW

5

10

1.0

150

smVO 10

ff

t

mVmVdtF0

En dirección x:

º30cos5.0 WFr Conservación de Energía:

FO EE Pérdida

xFmVhmgImV rAFFOO

2222

2

1

2

1)(

2

2

2

1

2

1

)º30)(150(225.0

210)1.0(

81.9

150

8

1)10(

81.9

1502

22 xsen

xV

V )2

3)(150(

2

1

25.0

2)1.0(

81.9

150

2

1

81.9

1502

22

Resolviendo:

).....(..........18.2035.2018048.85 2 IVx


31

Para t = 5s

tVV

x O .2

52

5 Vx

Reemplazando en (I)

smV 7.18

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