Permeabilidad Relativa - Crotti
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Movimiento de fluidos Introducción al concepto de Permeabilidad Relativa por Marcelo A. Crotti (Última modificación - 18 de junio de 2001). En esta página se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR), a través de un modelo geométrico simple. Este modelo, fácil de entender, proporciona una visión de las curvas de KR libre de prejuicios y teorías especiales, pero su empleo apunta principalmente a obtener una visión directa de muchos de los principales factores que influyen sobre estas curvas (caudal, gravedad, mojabilidad, heterogeneidad, etc). El desarrollo se hace mediante el empleo de un modelo geométrico, la ley de Darcy y algunas simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan el desarrollo y el manejo numérico. El modelo geométrico puede visualizarse como un bloque de sección cuadrada con agujeros cilíndricos longitudinales de extremo a extremo. Estos orificios no se entrecruzan y representan un modelo simplificado de red poral. En los gráficos presentados sólo se muestra una sección cuadrada correspondiente a un corte cualquiera, perpendicular al eje longitudinal del bloque. Para desarrollar la sección numérica (indispensable para obtener valores de permeabilidad relativa) es conveniente recordar que: El área empleada en la fórmula de Darcy corresponde al área global ("bulk") del sistema en estudio. El volumen de los capilares cilíndricos (conductos), crece con el cuadrado del radio, puesto que la longitud es constante y el área depende del cuadrado del radio. VP = r 2 L (Volumen del Capilar) La capacidad de conducir fluidos de los capilares cilíndricos (conductos), crece con la cuarta potencia del radio. Q = r 4 P / (8 μ L) (Ley de Poiseuille) De este modo si en un bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos, este orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad al bloque. Si se agrega un segundo orificio idéntico al primero, tanto la porosidad como la permeabilidad se duplican (Para una misma área del bloque, se tiene el doble de área correspondiente al VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos pues la misma diferencia de presión genera el doble de caudal). Pero si en el bloque se reemplaza el orificio original por uno con el doble de diámetro, la porosidad crece 4 veces (2 2 ) pero la permeabilidad crece 16 veces (2 4 ). Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geométrico en el que se emplean tres tipos de orificios, con radios 1, 2 y 3 (no importan las unidades, sino la relación de radios).
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Movimiento de fluidos
Introduccioacuten al concepto de Permeabilidad Relativa
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 18 de junio de 2001)
En esta paacutegina se introduce el concepto de curvas de permeabilidad relativa (KR) a
traveacutes de un modelo geomeacutetrico simple Este modelo faacutecil de entender
proporciona una visioacuten de las curvas de KR libre de prejuicios y teoriacuteas especiales
pero su empleo apunta principalmente a obtener una visioacuten directa de muchos de
los principales factores que influyen sobre estas curvas (caudal gravedad mojabilidad heterogeneidad etc)
El desarrollo se hace mediante el empleo de un modelo geomeacutetrico la ley de Darcy
y algunas simplificaciones que no afectan la parte conceptual pero agilizan el desarrollo y el manejo numeacuterico
El modelo geomeacutetrico puede visualizarse como un bloque de seccioacuten cuadrada con
agujeros ciliacutendricos longitudinales de extremo a extremo Estos orificios no se
entrecruzan y representan un modelo simplificado de red poral En los graacuteficos
presentados soacutelo se muestra una seccioacuten cuadrada correspondiente a un corte cualquiera perpendicular al eje longitudinal del bloque
Para desarrollar la seccioacuten numeacuterica (indispensable para obtener valores de
permeabilidad relativa) es conveniente recordar que
El aacuterea empleada en la foacutermula de Darcy corresponde al aacuterea global (bulk)
del sistema en estudio
El volumen de los capilares ciliacutendricos (conductos) crece con el cuadrado del
radio puesto que la longitud es constante y el aacuterea depende del cuadrado
del radio
VP = r2 L (Volumen del Capilar)
La capacidad de conducir fluidos de los capilares ciliacutendricos (conductos)
crece con la cuarta potencia del radio
Q = r4 P (8 micro L) (Ley de Poiseuille)
De este modo si en un bloque existe un solo orificio capaz de conducir fluidos este
orificio otorga una cierta porosidad y una cierta permeabilidad al bloque Si se
agrega un segundo orificio ideacutentico al primero tanto la porosidad como la
permeabilidad se duplican (Para una misma aacuterea del bloque se tiene el doble de
aacuterea correspondiente al VP del sistema y el doble de capacidad de conducir fluidos
pues la misma diferencia de presioacuten genera el doble de caudal)
Pero si en el bloque se reemplaza el orificio original por uno con el doble de
diaacutemetro la porosidad crece 4 veces (22) pero la permeabilidad crece 16 veces (24)
Con estos conceptos primarios se puede construir el modelo geomeacutetrico en el que
se emplean tres tipos de orificios con radios 1 2 y 3 (no importan las unidades
sino la relacioacuten de radios)
La tabla siguiente muestra el resultado de tener un bloque con soacutelo un orificio de
los mencionados por vez
Sistema Caracteriacutesticas
Figura 1 1 orificio de radio 1
Porosidad = 01
Permeabilidad = 01 mD
Nota Los valores de porosidad son arbitrarios Se supone
que las medidas del sistema se eligen para generar estos
valores
Figura 2 1 orificio de radio 2
Porosidad = 04
Permeabilidad = 16 mD
Nota Se observa que la permeabilidad crece maacutes
raacutepidamente que la porosidad
Figura 3 1 orificio de radio 3
Porosidad = 09
Permeabilidad = 81 mD
Nota Como en el caso anterior de acuerdo con la ley de la
cuarta potencia del radio el bloque gana mucha maacutes
permeabilidad que porosidad
Y a continuacioacuten vamos a considerar un medio poroso maacutes complejo y maacutes cercano
a la estructura de los medios porosos naturales (Figura 4)
Figura 4 100 orificios de radio 1
20 de radio 2 y 10 de radio 3
En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos
ideacutenticos no comunicados) las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un caacutelculo simple (Tabla 1)
Tabla 1- Propiedades del Modelo
Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad
1 100 10 (10001) 10 mD (10001 mD)
2 20 8 (2004) 32 mD (2016 mD)
3 10 9 (1009) 81 mD (1081 mD)
Todos 130 27 (10+8+9) 123 mD (10+32+81)
Este modelo simple presenta algunas caracteriacutesticas comunes con los medios
reales
Tiene cantidades importantes de capilares pequentildeos medianos y grandes
Si bien los voluacutemenes porales correspondientes a las tres familias de
capilares son similares la capacidad de conduccioacuten estaacute dominada por los capilares maacutes grandes de la red poral
En base a lo desarrollado si este modelo de medio poroso (con un 27 de
porosidad) se llena con petroacuteleo conduce esta fase con una permeabilidad de 123
mD Si a continuacioacuten se comienza a desplazar el petroacuteleo con agua asumiendo
que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes) el
sistema conduciraacute ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas
Primer Caso Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua
En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares maacutes pequentildeos
En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasioacuten progresiva con
agua
Figura 5 Soacutelo 10 capilares pequentildeos invadidos con agua
En la Fig 5 los valores calculados para el modelo son
Sw = 37 VP (10 01 27)
So = 963 VP (100 - 37)
Kw = 10 mD (10 01 mD)
Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)
Krw = 00081 (10 mD 123 mD) Kro = 09919 (122 mD 123 mD)
Figura 6 Todos los capilares pequentildeos invadidos con agua
Los mismos caacutelculos en la Fig 6 permiten obtener
Sw = 37 VP
So = 63 VP
Kw = 10 mD
Ko = 112 mD
Krw = 0081 Kro = 0919
A esta altura la tercera parte del sistema estaacute invadida con agua pero para el petroacuteleo se conserva maacutes del 90 de la capacidad de conduccioacuten original
Figura 7 Los capilares pequentildeos y medianos invadidos con agua
En tanto que en la Fig 7 resulta
Sw = 667 VP
So = 333 VP
Kw = 42 mD
Ko = 81 mD
Krw = 0341 Kro = 0659
Y representando graacuteficamente estos caacutelculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8 faacutecilmente interpretable en base al desarrollo del modelo
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
La tabla siguiente muestra el resultado de tener un bloque con soacutelo un orificio de
los mencionados por vez
Sistema Caracteriacutesticas
Figura 1 1 orificio de radio 1
Porosidad = 01
Permeabilidad = 01 mD
Nota Los valores de porosidad son arbitrarios Se supone
que las medidas del sistema se eligen para generar estos
valores
Figura 2 1 orificio de radio 2
Porosidad = 04
Permeabilidad = 16 mD
Nota Se observa que la permeabilidad crece maacutes
raacutepidamente que la porosidad
Figura 3 1 orificio de radio 3
Porosidad = 09
Permeabilidad = 81 mD
Nota Como en el caso anterior de acuerdo con la ley de la
cuarta potencia del radio el bloque gana mucha maacutes
permeabilidad que porosidad
Y a continuacioacuten vamos a considerar un medio poroso maacutes complejo y maacutes cercano
a la estructura de los medios porosos naturales (Figura 4)
Figura 4 100 orificios de radio 1
20 de radio 2 y 10 de radio 3
En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos
ideacutenticos no comunicados) las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un caacutelculo simple (Tabla 1)
Tabla 1- Propiedades del Modelo
Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad
1 100 10 (10001) 10 mD (10001 mD)
2 20 8 (2004) 32 mD (2016 mD)
3 10 9 (1009) 81 mD (1081 mD)
Todos 130 27 (10+8+9) 123 mD (10+32+81)
Este modelo simple presenta algunas caracteriacutesticas comunes con los medios
reales
Tiene cantidades importantes de capilares pequentildeos medianos y grandes
Si bien los voluacutemenes porales correspondientes a las tres familias de
capilares son similares la capacidad de conduccioacuten estaacute dominada por los capilares maacutes grandes de la red poral
En base a lo desarrollado si este modelo de medio poroso (con un 27 de
porosidad) se llena con petroacuteleo conduce esta fase con una permeabilidad de 123
mD Si a continuacioacuten se comienza a desplazar el petroacuteleo con agua asumiendo
que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes) el
sistema conduciraacute ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas
Primer Caso Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua
En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares maacutes pequentildeos
En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasioacuten progresiva con
agua
Figura 5 Soacutelo 10 capilares pequentildeos invadidos con agua
En la Fig 5 los valores calculados para el modelo son
Sw = 37 VP (10 01 27)
So = 963 VP (100 - 37)
Kw = 10 mD (10 01 mD)
Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)
Krw = 00081 (10 mD 123 mD) Kro = 09919 (122 mD 123 mD)
Figura 6 Todos los capilares pequentildeos invadidos con agua
Los mismos caacutelculos en la Fig 6 permiten obtener
Sw = 37 VP
So = 63 VP
Kw = 10 mD
Ko = 112 mD
Krw = 0081 Kro = 0919
A esta altura la tercera parte del sistema estaacute invadida con agua pero para el petroacuteleo se conserva maacutes del 90 de la capacidad de conduccioacuten original
Figura 7 Los capilares pequentildeos y medianos invadidos con agua
En tanto que en la Fig 7 resulta
Sw = 667 VP
So = 333 VP
Kw = 42 mD
Ko = 81 mD
Krw = 0341 Kro = 0659
Y representando graacuteficamente estos caacutelculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8 faacutecilmente interpretable en base al desarrollo del modelo
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
En base a la aditividad de las propiedades de los diferentes capilares (conductos
ideacutenticos no comunicados) las propiedades del bloque pueden obtenerse mediante un caacutelculo simple (Tabla 1)
Tabla 1- Propiedades del Modelo
Orificio Cantidad Porosidad Permeabilidad
1 100 10 (10001) 10 mD (10001 mD)
2 20 8 (2004) 32 mD (2016 mD)
3 10 9 (1009) 81 mD (1081 mD)
Todos 130 27 (10+8+9) 123 mD (10+32+81)
Este modelo simple presenta algunas caracteriacutesticas comunes con los medios
reales
Tiene cantidades importantes de capilares pequentildeos medianos y grandes
Si bien los voluacutemenes porales correspondientes a las tres familias de
capilares son similares la capacidad de conduccioacuten estaacute dominada por los capilares maacutes grandes de la red poral
En base a lo desarrollado si este modelo de medio poroso (con un 27 de
porosidad) se llena con petroacuteleo conduce esta fase con una permeabilidad de 123
mD Si a continuacioacuten se comienza a desplazar el petroacuteleo con agua asumiendo
que no existen fases residuales (conforme al modelo de capilares uniformes) el
sistema conduciraacute ambas fases de acuerdo con los capilares ocupados por cada una de ellas
Primer Caso Desplazamiento a bajo caudal con mojabilidad al agua
En este caso la mojabilidad al agua garantiza que el agua invade en primera instancia los capilares maacutes pequentildeos
En las siguientes figuras se muestra el resultado de la invasioacuten progresiva con
agua
Figura 5 Soacutelo 10 capilares pequentildeos invadidos con agua
En la Fig 5 los valores calculados para el modelo son
Sw = 37 VP (10 01 27)
So = 963 VP (100 - 37)
Kw = 10 mD (10 01 mD)
Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)
Krw = 00081 (10 mD 123 mD) Kro = 09919 (122 mD 123 mD)
Figura 6 Todos los capilares pequentildeos invadidos con agua
Los mismos caacutelculos en la Fig 6 permiten obtener
Sw = 37 VP
So = 63 VP
Kw = 10 mD
Ko = 112 mD
Krw = 0081 Kro = 0919
A esta altura la tercera parte del sistema estaacute invadida con agua pero para el petroacuteleo se conserva maacutes del 90 de la capacidad de conduccioacuten original
Figura 7 Los capilares pequentildeos y medianos invadidos con agua
En tanto que en la Fig 7 resulta
Sw = 667 VP
So = 333 VP
Kw = 42 mD
Ko = 81 mD
Krw = 0341 Kro = 0659
Y representando graacuteficamente estos caacutelculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8 faacutecilmente interpretable en base al desarrollo del modelo
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Figura 5 Soacutelo 10 capilares pequentildeos invadidos con agua
En la Fig 5 los valores calculados para el modelo son
Sw = 37 VP (10 01 27)
So = 963 VP (100 - 37)
Kw = 10 mD (10 01 mD)
Ko = 122 mD (123 mD - 1 mD)
Krw = 00081 (10 mD 123 mD) Kro = 09919 (122 mD 123 mD)
Figura 6 Todos los capilares pequentildeos invadidos con agua
Los mismos caacutelculos en la Fig 6 permiten obtener
Sw = 37 VP
So = 63 VP
Kw = 10 mD
Ko = 112 mD
Krw = 0081 Kro = 0919
A esta altura la tercera parte del sistema estaacute invadida con agua pero para el petroacuteleo se conserva maacutes del 90 de la capacidad de conduccioacuten original
Figura 7 Los capilares pequentildeos y medianos invadidos con agua
En tanto que en la Fig 7 resulta
Sw = 667 VP
So = 333 VP
Kw = 42 mD
Ko = 81 mD
Krw = 0341 Kro = 0659
Y representando graacuteficamente estos caacutelculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8 faacutecilmente interpretable en base al desarrollo del modelo
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Kw = 10 mD
Ko = 112 mD
Krw = 0081 Kro = 0919
A esta altura la tercera parte del sistema estaacute invadida con agua pero para el petroacuteleo se conserva maacutes del 90 de la capacidad de conduccioacuten original
Figura 7 Los capilares pequentildeos y medianos invadidos con agua
En tanto que en la Fig 7 resulta
Sw = 667 VP
So = 333 VP
Kw = 42 mD
Ko = 81 mD
Krw = 0341 Kro = 0659
Y representando graacuteficamente estos caacutelculos se obtiene la curva de Permeabilidad relativa de la Figura 8 faacutecilmente interpretable en base al desarrollo del modelo
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Figura 8 Curva de KR con caudales bajos y mojabilidad al agua
Como se observa en el graacutefico durante el llenado de los capilares maacutes finos crece
la saturacioacuten de agua sin incrementar apreciablemente la capacidad de conducir
este fluido Recieacuten cuando comienzan a llenarse los capilares de mayor diaacutemetro el
agregado de agua comienza a afectar notablemente la capacidad de conducir
petroacuteleo
Segundo Caso Mojabilidad al Petroacuteleo
En este caso (Fig 9) la situacioacuten es la inversa de la del caso analizado pues los primeros capilares en ser invadidos por agua son los de mayor diaacutemetro
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Figura 9 Sistema mojable al petroacuteleo
Tercer Caso Llenado Gravitacional
En este caso el llenado con agua se produce siguiendo el ordenamiento vertical de las capas Las primeras capas en inundarse son las inferiores La forma de la curva (Figura 10) refleja el ordenamiento de las capas
Figura 10 Llenado con predominio de las Fuerzas Gravitacionales
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Cuarto Caso Llenado Gravitacional con distribucioacuten al azar de las capas
En este caso el modelo del medio poroso tiene los poros distribuidos al azar De
esta forma al subir el nivel de agua (llenado bajo dominio de las fuerzas
gravitatorias) la permeabilidad al agua crece en forma uniforme pues en cada etapa
se inundan poros pequentildeos medianos y grandes en la misma proporcioacuten que se
encuentran en el modelo Cuando se ha invadido el 25 de los poros la fase
acuosa alcanzoacute el 25 de su conductividad maacutexima y el petroacuteleo perdioacute el mismo 25 (Figura 11)
Figura 11 Predominio gravitatorio con capilares distribuidos al azar
Aclaraciones
El modelo supone que no existen fases residuales (Sor = Swirr = 0) pero es
perfectamente vaacutelido adoptando valores no nulos para estas variables
Debido al reemplazo total de petroacuteleo con agua el sistema mantiene
permanentemente la capacidad total de conducir fluidos (130 mD) Con cada
reemplazo de petroacuteleo por la fase acuosa la capacidad de conducir petroacuteleo
se traslada a la capacidad de conducir agua (sin embargo como es natural
los caudales dependen tambieacuten de la viscosidad de cada fase conforme a la
ley de Darcy)
Un sistema water-wet con capilares de diferente diaacutemetro sometido a
altos caudales de desplazamiento puede comportarse como oil-wet pues
las fuerzas viscosas favorecen la invasioacuten de los capilares de mayor
conductividad (mayor diaacutemetro) con independencia de la mojabilidad Por lo
tanto la figura 9 tambieacuten corresponde a un sistema water-wet a elevados caudales de inyeccioacuten
Consecuencias Principales
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Si bien eacuteste es un desarrollo introductorio al concepto de Permeabilidad Relativa el
modelo presentado permite sacar algunas conclusiones vaacutelidas para los sistemas reales
1 Si bien la porosidad y la permeabilidad son propiedades del medio poroso la permeabilidad relativa no lo es
2 Auacuten especificando el medio poroso y el juego de fluidos las curvas de KR dependen fuertemente de los mecanismos de produccioacuten
3 Como resultado de los puntos anteriores es impropio hablar de las curvas de KR de un medio poroso sin especificar las demaacutes variables (particularmente el mecanismo de desplazamiento)
4 Los valores de saturacioacuten y permeabilidad en los puntos extremos de las curvas KR son independientes del mecanismo de desplazamiento (En los sistemas reales eacutesta es soacutelo una aproximacioacuten al comportamiento fiacutesico)
Nota Para aquellos que hayan leiacutedo en este foro el comentario sobre
saturaciones medias y puntuales es conveniente destacar las razones por las que
no hago referencia a ninguna de las dos en este modelo simple Naturalmente el
modelo aquiacute desarrollado emplea las saturaciones puntuales pues todo el desarrollo
se hace sobre un corte bidimensional y no se establece la saturacioacuten total del
bloque Pero a esta altura creo que no es conveniente hacer maacutes complejo el
desarrollo La diferencia entre ambos tipos de representacioacuten de las curvas KR se trata extensamente en otros desarrollos de este foro
Intoduccioacuten a los conceptos y supuestos que permiten definir y emplear las curvas de permaeabilidad relativa
por M Crotti E Cabello y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 10 de octubre de 2000)
Teniendo en cuenta que en las paacuteginas de divulgacioacuten se han introducido los
conceptos primordiales sobre el significado fiacutesico de las curvas de permeabilidad
relativa vamos a empezar este desarrollo planteando algunas preguntas
aparentemente triviales cuya respuesta puede ser sorprendente La idea de este
planteo es la de mostrar que existen ciertos conocimientos y conceptos
fundamentales dentro de la ingenieriacutea de reservorios que merecen ser analizados
en detalle antes de aceptarlos como verdades auto-evidentes
Como en todo conocimiento o aplicacioacuten cientiacutefica la estructura loacutegica que permite
el uso de las curvas de Permeabilidad Relativa descansa sobre ciertos axiomas (afirmaciones sin demostracioacuten) que se consideran razonables
Vamos a intentar enumerar estos axiomas sabiendo que en algunos casos como
se veraacute en otros desarrollos en esta lista hay algunas inconsistencias Maacutes adelante
intentaremos construir una lista de axiomas maacutes adecuada
1 La ley de Darcy es vaacutelida en flujos multifaacutesicos Praacutecticamente (en sistemas
lineales) este punto se traduce en que una vez fijadas todas las condiciones
de flujo un aumento de la presioacuten se traduce en un aumento proporcional
de caudal para cada fase
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
2 Las curvas de permeabilidad relativa son una medida de la capacidad de
flujo del sistema roca-fluidos en funcioacuten de la saturacioacuten de fluidos (gas
petroacuteleo y agua)
3 Una vez especificada la roca y los fluidos involucrados el juego de curvas de
Permeabilidad Relativa es uacutenico
4 Los puntos extremos de saturacioacuten son uacutenicos para un conjunto de fluidos y
roca reservorio Este axioma estariacutea incluido en el anterior pero reviste
mucha importancia en si mismo derivada de la praacutectica usual
5 Las mediciones de laboratorio son escalables al reservorio Quizaacutes en cada
caso particular se desconoce la funcioacuten exacta de escalamiento pero eacutesta
existe
6 Las curvas de Permeabilidad Relativa estaacuten definidas en todo el rango de
saturaciones entre los puntos extremos
Clarificando las limitaciones y condiciones de aplicabilidad de los enunciados
previos se facilita el empleo adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Por
lo tanto todos estos puntos van a ser analizados en detalle (y todos admiten
llamados de atencioacuten importantes)
A modo de ejemplo en esta paacutegina vamos a empezar por el uacuteltimo enunciado
tratando de resolver un planteo que se escucha frecuentemente
El planteo suele hacerse en forma de paradoja de la siguiente forma Si la
Permeabilidad Relativa al agua es ldquo0rdquo (cero) en condiciones de agua
Irreductible (Swirr) coacutemo es posible inyectar este fluido en un medio
poroso que se encuentre en Swirr Cabe destacar que en el uso regular de las ecuaciones de flujo un valor de Permeabilidad Relativa=0 implica Caudal=0
Al presentar el problema de esta forma en realidad se plantean las cosas de atraacutes
hacia adelante Primero se asigna realidad fiacutesica a un solo juego de curvas de
Permeabilidad Relativa definidas en todo el rango de saturaciones y luego se
cuestionan las consecuencias fiacutesicas de esta asignacioacuten
De modo que evitando preconceptos podemos partir de experiencias simples y analizar el planteo desde el un punto de vista praacutectico
La experiencia indica que si un medio poroso esta seco (sin ninguna fase liacutequida en
la red poral) esta situacioacuten estaacute lejos de ser un impedimento para que ingrese una
fase liquida en dicho medio Fases acuosas petroacuteleo (y el mercurio a la presioacuten
adecuada) invaden perfectamente un medio poroso que inicialmente soacutelo contiene
aire o vaciacuteo en su red poral Pero esta realidad experimental es aparentemente
contradictoria con la interpretacioacuten habitual de la curvas de Permeabilidad Relativa
Esta interpretacioacuten habitual indica que si la saturacioacuten de una fase es 0 (cero) la
Permeabilidad Relativa a esa fase es tambieacuten cero pues con independencia de la
diferencia de presioacuten entre los extremos de la muestra el caudal de una fase
inexistente es 0 (y Caudal=0 de acuerdo con la ley de Darcy implica
Permeabilidad=0)
Esta aparente paradoja admite una primera solucioacuten sencilla Hay
saturaciones que no existen (no estaacuten definidas) en el sistema
poroso (Maacutes adelante veremos que en el planteo de esta paradoja tambieacuten
subyace un empleo inadecuado de valores medios y valores puntuales
pero por ahora alcanza con emplear una solucioacuten parcial basada en el concepto resaltado)
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
De alguna manera de una saturacioacuten de agua nula (Sw=0) se puede saltar a una
saturacioacuten no nula (10 30 oacute 50 o cualquier otro valor) sin pasar por las saturaciones intermedias
Y si el paacuterrafo previo resulta difiacutecil de aceptar quizaacutes un ejemplo permita clarificar el concepto
Un tubo recto puede tomarse como una idealizacioacuten de un medio poroso natural en
el que los conceptos de permeabilidad monofaacutesica o bifaacutesica siguen siendo vaacutelidos
En este caso tambieacuten nos encontramos con que cuando en el tubo no hay agua su
capacidad de conducir agua es cero (Permeabilidad Relativa al Agua=0) Sin
embargo no tenemos problemas en aceptar que un tubo vaciacuteo es capaz de admitir
agua para su conduccioacuten Para ser maacutes especiacuteficos podemos visualizar un caso
simple tomando un tubo vertical vaciacuteo que sumergimos lentamente en una cubeta
con agua Para eliminar los efectos capilares podemos asumir que el diaacutemetro del
tubo es muy grande o que el aacutengulo de contacto es de 90deg En este ejemplo a
medida que el tubo se sumerge en la cubeta la saturacioacuten de agua (Sw) en
cualquier punto del tubo pasa de 0 a 100 sin recorrer los valores intermedios
La saturacioacuten media del tubo efectivamente recorre todos los valores intermedios
pero la saturacioacuten en cualquier punto del tubo (saturacioacuten puntual) salta de un
extremo a otro de la escala
En este caso (medio poroso ideal simplificado) carece de sentido hablar de curvas
de Permeabilidad Relativa puntuales que indiquen la capacidad de flujo cuando Sw
es 1 10 oacute 90 Y peor auacuten la ldquocurvardquo que estariacutea constituida por dos puntos
(en Sw = 0 y Sw = 100 ) duranta la etapa de imbibicioacuten en realidad estaacute
constituida (Conceptualmente) por un punto (correspondiente a Sw=100) pues la capacidad de conducir agua no es cero cuando el tubo estaacute vaciacuteo
Atencioacuten La capacidad de Producir agua siacute es cero en un tubo vaciacuteo pero no es cero la capacidad de Conducir o de Aceptar agua en el mismo tubo
Estos conceptos todaviacutea pueden resultan difiacuteciles de aceptar por la sencilla razoacuten de
que todos los que hemos trabajado en ingenieriacutea de reservorios tenemos muy
arraigado el concepto de que la curva de Permeabilidad Relativa tiene existencia
fiacutesica en todo el rango de saturaciones pese a la contundente demostracioacuten en contrario realizada por Buckley y Leverett
La raiacutez del problema se encuentra en una ineficiente definicioacuten y empleo de los
teacuterminos ingreso conduccioacuten y produccioacuten de fluidos y en la diferenciacioacuten entre saturacioacuten media y saturacioacuten puntual del sistema en estudio
En el ejemplo desarrollado en esta paacutegina basta recordar que mientras la
saturacioacuten puntual soacutelo puede tener los valores de 0 y 100 (sin valores
intermedios) la saturacioacuten media recorre todos los valores entre 0 y 100 Y
simultaacuteneamente el ingreso de agua al sistema no implica la produccioacuten de agua
dado que el teacutermino produccioacuten implica que el fluido atraviesa la cara de salida del sistema poral
Este tema se desarrolla con maacutes detalle en la paacutegina correspondiente a
saturaciones medias y saturaciones puntuales Por ahora esperamos que esta
introduccioacuten sirva como llamado de atencioacuten que nos permita replantear algunas ldquoverdades indiscutiblesrdquo
Y conviene recordar que este tipo de discusiones sobre el flujo multifaacutesico en
medios porosos tienen un objetivo principal Sentar las bases para un uso
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
adecuado de las curvas de Permeabilidad Relativa Y como en toda aplicacioacuten
tecnoloacutegica este objetivo se torna maacutes accesible cuando se entienden los supuestos limitaciones y aplicabilidad del objeto de estudio
Queacute Saturacioacuten Corresponde a las Curvas KR
por M Crotti y S Illiano (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2000)
Este desarrollo contiene un fuerte llamado de atencioacuten con respecto al
traslado de la informacioacuten de laboratorio a la escala de reservorio
Aunque pueda parecer sorprendente la curva de KR tal como se obtiene
regularmente en los laboratorios no es apta para ser empleada directamente en un
balance de materiales Y al decir no es apta no estamos haciendo referencia a
falta de representatividad sino a que conceptualmente no es correcto emplear la
curva de laboratorio para esa finalidad
Siendo maacutes especiacuteficos si imaginamos un reservorios absolutamente homogeacuteneo
del cual se extraen diez coronas que resultan ideacutenticas y cada corona se enviacutea a un
laboratorio diferente y todos los resultados dan la misma curva de KR (no importa
si hablamos de sistemas agua-petroacuteleo o gas-petroacuteleo) esa curva no es apta para
ser usada directamente ni en un balance de materiales ni en una celda cualquiera (o todas) de un simulador numeacuterico
El desarrollo (y demostracioacuten) de las afirmaciones previas requiere algunas paacuteginas
y en el camino resultaraacute necesario hacer un poco de historia Esperamos que la
explicacioacuten resulte entretenida pues intentamos llamar la atencioacuten sobre algunos
supuestos impliacutecitos y expliacutecitos que se han ido encadenando para que en alguna
medida el concepto de KR se haya desvirtuado a pertir de su concepcioacuten original
Como suele ocurrir el problema radica en la falta de interaccioacuten entre las partes
que participan en la medicioacuten y empleo de las curvas de KR
A modo de introduccioacuten al desarrollo completo podemos decir que
La curva de permeabilidad relativa de laboratorio expresa la dependencia
funcional entre saturacioacuten puntual de agua (yo gas) y la capacidad de la
roca para conducir cada fase cuando el desplazamiento es gobernado solamente por las fuerzas viscosas
La curva de permeabilidad relativa que acompantildea un Balance de Materiales
(en el reservorio global o en una celda de un simulador numeacuterico) expresa
la dependencia funcional entre la saturacioacuten media de agua (yo gas) y la
capacidad de la roca para producir cada fase cuando el desplazamiento responde al equilibrio de fuerzas capilares gravitatorias y viscosas
Como veremos la diferencia entre ambas curvas puede ser muy grande Sin
embargo el mensaje completo de esta exposicioacuten lejos de ser desalentador
pretende ayudar a que los datos de laboratorio se empleen de forma tal que sean de mayor utilidad para la caracterizacioacuten de los reservorios
Un Poco de Historia
Para entender el desarrollo de muchos conceptos relacionados con la generacioacuten y
empleo de las curvas de Permeabilidad Relativa es necesario describir someramente la secuencia histoacuterica del desarrollo tecnoloacutegico asociado
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Tan pronto como quedoacute en evidencia que el mejor meacutetodo de optimizar la
produccioacuten de los reservorios era el de ahondar en el conocimiento de los mismos
se vio que que era necesario encontrar una relacioacuten funcional entre la saturacioacuten de fluidos en la roca y su capacidad de produccioacuten para las diferentes fases
El primer meacutetodo de medicioacuten a escala de laboratorio fue el meacutetodo estacionario (ME) En este caso la secuencia de medicioacuten puede resumirse de la siguiente forma
1 Se empaqueta la muestra en una celda adecuada
2 Se inyectan las dos fases a estudiar empleando una determinada relacioacuten de
caudales
3 Se prosigue la inyeccioacuten de ambas fases hasta que la relacioacuten de produccioacuten
es ideacutentica a la relacioacuten de inyeccioacuten En este punto se calcula la
permeabilidad a ambas fases mediante la ley de Darcy
4 Se mide la saturacioacuten de ambas fases en el medio poroso (por resistividad
Rayos X o alguacuten otro meacutetodo calibrado)
5 Se cambia la relacioacuten de inyeccioacuten (aumentando la proporcioacuten de la fase con
saturaciones creciente en el reservorio) y se repite la secuencia desde el punto -3-
El meacutetodo es conceptualmente simple pero operativamente largo y medianamente complejo El caacutelculo es muy simple (Ley de Darcy)
Sin embargo por su importancia en la explicacioacuten siguiente cabe hacer notar que
1 En la medicioacuten se eliminan los efectos capilares (geneacutericamente agrupados
como efectos de borde) La metodologiacutea maacutes frecuente recurre a prolongar
el medio poroso para que los efectos capilares se produzcan fuera de la zona
de medicioacuten
2 Las fuerzas gravitatorias quedan eliminadas automaacuteticamente por el
pequentildeo tamantildeo de las muestras de laboratorio
3 Cuando se alcanza el estado estacionario la saturacioacuten de fases en cualquier
punto de la muestra (saturacioacuten puntual) es la misma que la saturacioacuten
media del medio poroso (saturacioacuten media) En este meacutetodo no hay
diferencia entre la saturacioacuten puntual y la saturacioacuten media del
sistema
4 El empleo de la ley de Darcy para resolver el caacutelculo se basa en una
suposicioacuten deacutebil Cuando se hacen las cuentas se acepta que la relacioacuten
entre diferencia de presioacuten y caudal es lineal sin verificarlo Y existen
numerosas excepciones a esta regla en flujos multifaacutesicos Este punto se
desarrollaraacute oportunamente
5 Los puntos extremos de saturacioacuten se obtienen inyectando una sola fase hasta que deja de producirse la otra fase
Maacutes adelante gracias al desarrollo teoacuterico de Buckley y Leverett1 completado por
Welge2 y ampliado por Johnson Bossler y Naumann3 se pudieron realizar
mediciones con el denominado meacutetodo no-estacionario (MNE)
La metodologiacutea experimental frecuente para el MNE puede resumirse en la
siguiente secuencia
1 Extraccioacuten de una muestra (plug) horizontal de 25 oacute 38 mm de diaacutemetro
y entre 6 y 7 cm de longitud en la corona seleccionada para estudio
2 Lavado para eliminacioacuten de agua petroacuteleo y sales del medio poroso
3 Medicioacuten de la porosidad y permeabilidad al gas de la muestra
4 Saturacioacuten con agua de formacioacuten o equivalente
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
5 Medicioacuten de la permeabilidad absoluta al agua
6 Barrido con petroacuteleo hasta obtener Swirr
7 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de agua
irreductible [Ko(Swirr)]
8 Ensayo de desplazamiento por inyeccioacuten de agua registrando presiones y
caudales de las fases producidas Esta inyeccioacuten continuacutea hasta obtener la
Sor
9 Medicioacuten de la Permeabilidad efectiva al agua en condiciones de petroacuteleo
residual [Kw(Sor)]
10 Lavado de las muestras para cierre de balance volumeacutetrico 11 Caacutelculo
Esta secuencia sufre alteraciones cuando se trabaja sobre muestras en Estado Nativo eliminando los puntos -2- -4- y -5- y dejando para el final el punto -3-
En este caso el caacutelculo es complejo (en el caacutelculo expliacutecito intervienen ajustes
numeacutericos y derivadas primeras y segundas de los datos experimentales) la
metodologiacutea experimental es simple y el desarrollo teoacuterico requiere que el medio sea totalmente homogeacuteneo
Conviene detenerse un poco en los datos experimentales que se obtienen en la medicioacuten con el MNE
Si la inyeccioacuten se produce a presioacuten constante (casi obligatorio en las
mediciones gas-petroacuteleo) se registra el volumen producido de ambas fases
a lo largo del tiempo
Si la inyeccioacuten se produce a caudal constante se registra el volumen
producido de ambas fases y la diferencia de presioacuten entre ambas caras del
medio poroso a lo largo del tiempo
Con el juego de valores recogido puede derivarse faacutecilmente
El caudal medio de produccioacuten de cada fase entre dos mediciones de
tiempo Un ajuste numeacuterico simple permite derivar el caudal a partir del
graacutefico Volumen-Tiempo para cada fase
La saturacioacuten media del sistema Como se inyecta una sola fase
restando (al volumen inicial) el volumen producido de la fase desplazada el
balance volumeacutetrico permite averiguar la saturacioacuten promedio de cada fase en el medio poroso
A esta altura puede parecer que se dispone de toda la informacioacuten necesaria para
aplicar la ley de Darcy (diferencia de presioacuten medidas geomeacutetricas del medio
poroso caudal y viscosidad de cada fase) para derivar la permeabilidad efectiva a
cada fase Ademaacutes se dispone de la saturacioacuten media del sistema Donde estaacute
entonces la complejidad del caacutelculo La respuesta analiacutetica se obtiene con el
desarrollo de los autores mencionados pero conceptualmente puede hacerse notar que
Los caudales de produccioacuten son los que corresponden a los caudales que
circulan soacutelo en la cara de salida En cualquier otro punto los caudales son
diferentes pues la muestra va cambiando su saturacioacuten continuamente A
modo de ejemplo en la cara de entrada soacutelo circula la fase inyectada
Salvo un conjunto muy afortunado de coincidencias el gradiente de
presiones en la muestra es variable
La saturacioacuten del sistema (entre sus extremos geomeacutetricos) es variable En
cada instante en la cara de entrada se tiene la maacutexima saturacioacuten de fase
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
desplazante y en la cara de salida la miacutenima De este modo la saturacioacuten
media no se corresponde con la saturacioacuten de la cara de salida que es la asociada con los caudales de produccioacuten
Conceptualmente los desarrollos teoacutericos mencionados permiten resolver el
sistema de modo que se puede calcular el gradiente de presioacuten y la saturacioacuten en la
cara de salida Y como disponemos del caudal de produccioacuten la aplicacioacuten de la ley
de Darcy conduce a la obtencioacuten de las curvas de permeabilidad relativa en funcioacuten de la saturacioacuten puntual del sistema (saturacioacuten en la cara de salida)
Pero ya mencionamos que la saturacioacuten media en el MNE difiere de la saturacioacuten
puntual En principio este detalle no reviste importancia pues la saturacioacuten media
soacutelo sirve para obtener la saturacioacuten puntual
Hasta aquiacute todo parece ser consistente pues debe agregarse que las curvas
obtenidas por el MNE y por el ME coinciden en los medios homogeacuteneos De hecho esta fue la forma experimental de validar la medicioacuten por el MNE
Y iquestdoacutende estaacute el problema
Simplemente en que
En el reservorio (o en una celda de un simulador numeacuterico) soacutelo se dispone
de la saturacioacuten media del sistema
Y en la enorme mayoriacutea de los desplazamientos reales la saturacioacuten variacutea
mucho entre las distintas partes de la estructura involucradas en el
desplazamiento De hecho soacutelo en los desplazamientos en estructuras
horizontales y dominadas por la segregacioacuten gravitacional la saturacioacuten es
uniforme en todo el reservorio (pero justamente en este caso la curva de
laboratorio no es representativa pues la gravedad se elimina en la medicioacuten)
En realidad la pregunta debe reformularse para tomar una forma como la siguiente
Por queacute en el laboratorio no se genera una curva que sea trasladable directamente al reservorio
Y la respuesta es compleja y es en alguna medida el objetivo principal de este
desarrollo Y esta respuesta involucra entre otros temas la manera correcta de
generar las pseudo funciones (en funcioacuten de la saturacioacuten media y NO de la
saturacioacuten puntual) la dependencia de los puntos extremos de saturacioacuten con los mecanismos de drenaje etc
Pese a que el tema se desarrolla ampliamente en otro apartado en este punto es
conveniente aclarar un concepto que no parece estar suficientemente desarrollado en los libros especializados
A una misma saturacioacuten de agua (media o puntual) en el mismo medio
poroso y con el mismo juego de fluidos pueden corresponderle permeabilidades relativas totalmente diferentes
Y no estamos haciendo referencia soacutelo a las pseudo funciones para medios
heterogeacuteneos Si tenemos una capa water-wet totalmente homogeacutenea horizontal
formada por un medio poroso que tiene capilares grandes medios y pequentildeos en
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
cantidades significativas se pueden dar tres situaciones principales de flujo (y
todas las variantes intermedias)
Primer caso Flujo dominado por las fuerzas capilares En este caso el
agua invade primero los capilares maacutes pequentildeos En consecuencia un
importante crecimiento en la Sw se acompantildea de un pequentildeo incremento en
la Kw
Segundo caso Flujo dominado por las fuerzas gravitatorias En este
caso el agua invade primero los niveles inferiores ocupando por igual todos
los diaacutemetros capilares En consecuencia la Kw crece linealmente con la Sw
(cuando el agua ocupa un 30 de la capa la Kw es un 30 del valor
correspondiente a la maacutexima Sw (en condiciones de Sor)
Tercer caso Flujo a altas velocidades En este caso el agua invade
primero los capilares maacutes grandes (con menos resistencia al flujo) En
consecuencia un pequentildeo crecimiento en la Sw se acompantildea de un notable incremento en la Kw
Y si a esta altura la pregunta es Pero entonces existen innumerables curvas
de KR para un juego dado de medio poroso y fluidos La respuesta es decididamente SI
Sin duda los conceptos expuestos hasta este punto resultan llamativos De modo
que antes de introducir nuevos conceptos vamos a hacer un pequentildeo resumen para condensar el desarrollo hasta este punto
En los caacutelculos habituales de reservorio se emplean saturaciones medias de
las fases
Las saturaciones medias y las puntuales son notablemente diferentes
En el reservorio actuacutean las fuerzas capilares gravitatorias y viscosas En
diferentes partes de una misma capa homogeacutenea estas fuerzas se equilibran
en forma diferente En las cercaniacuteas del pozo (altos caudales) tienden a
predominar las fuerzas viscosas y lejos del pozo pueden predominar los
equilibrios capilar-gravitatorios
Los laboratorios informan curvas de KR en funcioacuten de saturaciones
puntuales eliminando la contribucioacuten de fuerzas capilares y gravitatorias
La ley de Darcy (proporcionalidad entre diferencia de presioacuten y caudal) suele
no cumplirse en flujos multifaacutesicos La explicacioacuten es simple Cada fase
actuacutea bloqueando poros para la otra fase pero al tratarse de fluidos son
deformables con los cambios de velocidad de flujo Por lo tanto la geometriacutea de los canales que llevan el flujo puede cambiar con el caudal
Cabe aclarar que si el mensaje parece desalentador en realidad puede resultar maacutes
complejo intentar usar conceptos no del todo claros Y como suele ocurrir es
necesario entender a fondo el problema para que sea posible resolverlo
adecuadamente
Y naturalmente se puede resolver
El anaacutelisis detallado de la solucioacuten se presenta en el paper SPE 693945
seleccionado para ser expuesto en el VII LACPEC (Latin American and Caribbean Petroleum Engineering Conference Buenos Aires Argentina 25-28 Marzo 2001)
NOTAS
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Para aquellos que luego de leer este desarrollo se sientan tentados a descartar el
MNE en favor del ME pues en el ME las dos saturaciones (media y puntual) son
iguales cabe aclarar que en realidad la solucioacuten al problema pasa por descartar las
mediciones del ME tal coacutemo se concluye en el desarrollo sobre Metodologiacuteas de
Medicioacuten de las curvas de KR
iquestSe Puede Producir Petroacuteleo Seco con SwgtSwirr
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 11 de noviembre de 2001)
Para evaluar la saturacioacuten de agua a diferentes niveles con respecto al Nivel de
Agua Libre (FWL) existen numerosas fuentes de datos que en algunos reservorios
resultan aparentemente incompatibles entre siacute En esta paacutegina se analiza una
aparente inconsistencia entre datos de produccioacuten y resultados obtenidos por otras viacuteas
El desarrollo se hace para un caso geneacuterico en que a nivel de reservorio se
encuentra que donde la informacioacuten de perfiles yo de laboratorio indica Sw superiores a la Swirr se produce petroacuteleo seco
Para explicar o justificar este resultado pueden emplearse dos viacuteas
1 Asumir que la zona de transicioacuten capilar que indican los perfiles yo los
ensayos de laboratorio es erroacutenea Por esta viacutea se asume el criterio de que a
partir del nivel en que se produce petroacuteleo seco la roca se encuentra en
condiciones de Swirr De este modo se ampliacutea el caacutelculo de OOIP pues se
disminuye la Sw promedio del sistema
2 Tener en cuenta las heterogeneidades del medio poroso para justificar la no produccioacuten de agua pese a que la saturacioacuten de agua supere la Swirr
Como veremos el segundo punto suele ser maacutes adecuado para modelar el
reservorio pues tiene en cuenta la frecuente heterogeneidad de los medios porosos
naturales y permite realizar un caacutelculo maacutes adecuado del volumen de hidrocarburos
retenido en la trampa
En la Fig 1 se esquematiza la relacioacuten entre saturacioacuten de agua y altura con
respecto al nivel de agua libre (FWL) para un medio poroso homogeacuteneo (A) de alta
permeabilidad Dado que no se emplean escalas numeacutericas la condicioacuten de alta
permeabilidad es soacutelo una afirmacioacuten necesaria para comparar esta curva con la correspondiente a otros medios porosos
Fig 1 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de alta permeabilidad
Fig 2 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema homogeacuteneo de baja permeabilidad
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
En el nivel Z2 de la Fig 1 la roca se encuentra en condiciones de agua irreductible
(Swirr) Esta condicioacuten implica que la fase acuosa es discontinua y por lo tanto inmoacutevil frente a diferencias de presioacuten en reacutegimen de flujo laminar
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 se produciriacutea petroacuteleo seco pues como quedoacute establecido la fase acuosa no es moacutevil en este nivel
Desde el punto de vista praacutectico suele elegirse un nivel esquematizado como Z1
donde se asume que termina la zona de transicioacuten capilar De este modo todos los
niveles superiores a Z1 estaacuten en condiciones de Swirr
Comparativamente en la Fig2 se muestra la curva correspondiente a un segundo
medio poroso menos permeable (B) graficada en la misma escala empleada para el
sistema A En este caso puede observarse que tanto en Z1 como en Z2 existen saturaciones de agua superiores a la Swirr del medio poroso B
Si se realizara un punzado en el nivel Z2 de la Fig 2 se produciriacutea petroacuteleo con un
cierto porcentaje de agua Esta relacioacuten de produccioacuten depende de la relacioacuten de movilidades de ambas fases a la saturacioacuten encontrada en dicho nivel
Fig 3 ndash Saturacioacuten de agua a partir del FWL en
un sistema heterogeacuteneo con capas alternadas de
alta y baja permeabilidad
Fig 4 ndash Curva correspondiente a un medio
homogeacuteneo con propiedades promedio entre las
del Medio A y las del Medio B
En la Fig3 se esquematiza un sistema heterogeacuteneo formado por capas alternadas
de los medios porosos A y B Como se observa en la figura una vez alcanzado el
equilibrio estaacutetico cada medio poroso mantiene su propia curva de distribucioacuten de
fluidos
De este modo en el nivel Z2 de la Fig 3 coexisten un medio poroso (A) en
condiciones de Swirr y otro medio poroso (B) con saturacioacuten de agua mayor que la irreductible
Pregunta Un punzado en el nivel Z2 de la Fig 3 produce petroacuteleo seco o con una cierta proporcioacuten de agua
Respuesta En general estos sistemas producen al menos inicialmente petroacuteleo
seco
La explicacioacuten es visualizable en el esquema de la Fig 3 y obedece a dos razones fundamentales
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
El caudal principal corresponde a las capas maacutes permeables
El mayor caudal de petroacuteleo hacia el pozo circula por las capas de mayor
permeabilidad Y estas capas estaacuten en condiciones de Swirr
Conforme a la ecuacioacuten de Poiseuille para una misma diferencia de presioacuten el
caudal de tubos capilares es proporcional a la cuarta potencia del radio de los
mismos De este modo si los capilares del medio A tuvieran un radio de 10
micrones y los del medio B fueran de 3 micrones (relacioacuten 31) por el medio A
circulariacutea un caudal alrededor de 100 veces mayor que el correspondiente al medio B
La presioacuten capilar dificulta el movimiento de agua
Dado que el aporte mayoritario hacia el pozo soacutelo se produce por capas que se
encuentran en Swirr la uacutenica posibilidad de producir agua junto con el petroacuteleo es que las capas de menor permeabilidad aporten agua a las capas maacutes permeables
Sin embargo para que el agua pase de las capas menos permeables a las maacutes
permeables es necesario vencer las fuerzas capilares del contacto entre ambas
capas (efecto de borde) En unidades praacutecticas esto se traduce en que el petroacuteleo
(la fase continua en el medio poral) debe estar a una diferencia de presioacuten (entre
una capa y otra) superior a la diferencia de presioacuten entre fases que hay entre el
punto Z1 y el punto Z2
En otras palabras
Una vez alcanzado el Nivel Z1 a partir del cual la fase acuosa se hace
discontinua en el medio poroso A la presioacuten capilar ya no aumenta pues el
agua no puede ejercer presioacuten hidrostaacutetica a traveacutes de una columna
discontinua De este modo en Z2 la presioacuten capilar del medio A es la misma
que se registraba en el nivel Z1
En el medio poroso B las dos fases (petroacuteleo y agua) son continuas en el
trayecto Z1-Z2 de modo que la presioacuten capilar en Z2 es mayor que en Z1
La suma de los dos puntos anteriores hace que para poder pasar agua del
sistema B al sistema A sea necesario ejercer una diferencia de presioacuten igual
a la diferencia de presioacuten capilar entre Z1 y Z2 Esta diferencia de presioacuten
debe aplicarse sobre el agua moacutevil del sistema B
Por lo tanto en el nivel Z2 de la Fig 3 el agua puede pasar de B hacia A
soacutelo si el petroacuteleo de la capa B estaacute sobre-presurizado con respecto al de la
capa A en una magnitud equivalente a la diferencia de presioacuten capilar entre
Z1 y Z2 Y esta diferencia de presioacuten soacutelo puede alcanzarse a medida que
progresa la explotacioacuten y las capas maacutes permeables sufren una mayor depletacioacuten que las menos permeables
En resumen Si en un determinado nivel los punzados alcanzan capas que se
encuentren en condiciones de Swirr es muy probable que en las etapas iniciales de
produccioacuten se produzca petroacuteleo seco aunque en el mismo nivel coexistan capas con agua moacutevil
NOTA Si en lugar de emplear un esquema como el de la Fig 3 siguieacuteramos la
praacutectica habitual de reemplazar el medio heterogeacuteneo por un medio homogeacuteneo
descripto mediante una curva de Presioacuten Capilar ldquopromediordquo nos encontrariacuteamos
(conceptualmente) con una situacioacuten similar a la de la Fig 4 y estariacuteamos
obligados a concluir que desde las etapas iniciales debe producirse una cierta proporcioacuten de agua en Z2
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
La Fig 4 es un ejemplo de las limitaciones que presentan los modelos simplificados
para describir el comportamiento de los medios heterogeacuteneos Algunas
propiedades como la saturacioacuten de agua son perfectamente promediables pero
otras propiedades como los efectos de borde o el flujo multifaacutesico no admiten este
tipo de simplificacioacuten
Un comentario sobre los datos de laboratorio
Como ya se mencionoacute en estos sistemas laminados y de alta permeabilidad es
frecuente que las heterogeneidades alcancen la escala de las muestras de
laboratorio De esta forma tanto en las curvas de distribucioacuten de diaacutemetros porales
como en los ensayos de barrido suelen manifestarse aparentes anomaliacuteas que
ayudan a interpretar el desarrollo presentado en esta paacutegina
En resumen durante las mediciones de laboratorio suele encontrarse
1 Laminaciones inevitables en muestras de pocos cm de diaacutemetro
2 Distribuciones de diaacutemetros porales extendidas
3 Permeabilidades Relativas con formas anoacutemalas propias de medios
heterogeacuteneos
4 Swirr marcadamente diferentes entre las mediciones de Presioacuten Capilar y de
desplazamientos viscosos Este tema se trata en detalle en el texto La Swirr Obtenida por Barrido y por Mediciones de Presioacuten Capilar
De este modo resulta que para interpretar adecuadamente los procesos de
reservorio y escalar las mediciones realizadas por diferentes viacuteas se requiere un
importante trabajo de integracioacuten entre ensayos de pozo perfiles historia de produccioacuten y mediciones de laboratorio
Comparacioacuten entre las Metodologiacuteas Experimentales para medir las Curvas KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 1 de abril de 2000)
La teoriacutea la simulacioacuten y la experiencia demuestran que en muestras homogeacuteneas se obtienen resultados comparables entre los Meacutetodos Estacionarios (ME) y Meacutetodos no Estacionarios (MNE)
Con muestras heterogeacuteneas (laminadas) los resultados son diferentes para ambas metodologiacuteas En
ambos casos se analiza a continuacioacuten el resultado obtenido para muestras extraiacutedas con el eje paralelo a los planos de estratificacioacuten
Meacutetodo estacionario (muestras laminadas)
La curva obtenida es una especie de promedio aritmeacutetico de las curvas de cada capa En
estado estacionario los gradientes de presioacuten dentro de cada capa son los mismos por lo
que no se produce flujo entrecruzado (ldquocross-flowrdquo) Con este meacutetodo es corriente obtener
curvas monoacutetonas propias de los medios homogeacuteneos
Meacutetodo no-estacionario (muestras laminadas)
El sistema se aparta de la homogeneidad requerida por la teoriacutea del avance frontal La
intensidad del cross-flow depende de la relacioacuten de movilidades La curva obtenida es una
especie de promedio dinaacutemico de las curvas de cada capa La forma de estas curvas puede
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
presentar una o maacutes inflexiones como es propio de las ldquopseudo--funcionesrdquo empleadas para representar flujos en sistemas heterogeacuteneos
De lo anterior se deduce que si las heterogeneidades de la muestra son representativas de las de
la capa en estudio para representar la produccioacuten debida a las fuerzas viscosas (teoriacutea del
desplazamiento frontal) debe seleccionarse el meacutetodo no estacionario empleando la relacioacuten de viscosidades propia del reservorio
Adicionalmente dado que praacutecticamente no existen los medios porosos absolutamente homogeacuteneos el
meacutetodo estacionario no parece en general apropiado teniendo en cuenta que si el medio es
homogeacuteneo el resultado coincide con el del meacutetodo no-estacionario Por otro lado si se supone que las
fuerzas predominantes en el reservorio no son las viscosas sino las gravitatorias resultan soacutelo de intereacutes
los puntos extremos de la curva para los que el meacutetodo dinaacutemico (con todas sus limitaciones ya
documentadas) resulta maacutes adecuado
En este caso se considera como praacutectica recomendable la solicitud a los laboratorios del empleo del
meacutetodo dinaacutemico respetando la relacioacuten de viscosidades del reservorio Se sugiere indicar a los
laboratorios que aunque la relacioacuten de movilidades resulte muy favorable y ello conduzca a la obtencioacuten
de soacutelo una pequentildea parte de la curva de permeabilidades relativas esa es la uacutenica informacioacuten que es
uacutetil al reservorista Se insiste en que si predominan las fuerzas viscosas la parte de la curva medida en
el laboratorio es la uacutenica que se desarrolla en el reservorio y si predominan las gravitatorias (flujo segregado) soacutelo son de intereacutes los puntos extremos de las curvas
Introduccioacuten a los problemas y limitaciones en el Upscaling de las curvas de KR
por Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 8 de abril de 2000)
En este desarrollo intentareacute realizar un resumen de los que considero como problemas principales en el
escalamiento de las mediciones de KR de laboratorio al reservorio Muchos de los puntos aquiacute
mencionados se desarrollan en exposiciones independientes El objetivo de este resumen es el de
plantear la complejidad del panorama para luego poder profundizar en cada detalle y finalmente delinear la solucioacuten del problema
En la literatura especializada aparecen continuamente publicaciones tendientes a resolver el problema del
escalamiento de las curvas de KR Sin embargo tengo la sensacioacuten de que cada investigador se centra en
un punto del problema y pierde la imagen del conjunto Como ejemplo simple de lo dicho se puede
mencionar que hay muchas publicaciones que intentan mostrar el camino adecuado para obtener la curva
completa de KR en tanto que otros se esfuerzan en definir soacutelo los puntos extremos del sistema pues son los uacutenicos valores que emplean para el caacutelculo de las pseudo-funciones
Intentareacute por lo tanto hacer un desarrollo ordenado partiendo de la medicioacuten de laboratorio y tratando
de llegar a la implementacioacuten de un meacutetodo adecuado de describir el reservorio
El meacutetodo de medicioacuten
Maacutes del 95 de las mediciones de laboratorio se realizan por el meacutetodo no-estacionario cuyas
caracteriacutesticas principales estaacuten detalladas en otras partes de esta paacutegina Los uacutenicos puntos relevantes
para este desarrollo (en mediciones agua-petroacuteleo) son
Las mediciones rutinarias implican el empleo de muestras de unos 10 a 15 cm3 de VP donde unos
3 a 5 cm corresponden a agua irreductible y un volumen similar a petroacuteleo residual Por lo tanto la
medicioacuten normal implica el desplazamiento de soacutelo 3 a 6 cm3 de petroacuteleo moacutevil Pero alrededor
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
de un 30 de este volumen se consume para llegar al breaktrhough (arribo del frente de agua
al extremo de medicioacuten) Por lo tanto el caacutelculo debe realizarse con los datos de produccioacuten que
involucran entre 2 y 4 cm de petroacuteleo donde la mitad se produce antes de los 15 minutos de
ensayo y el resto en un periacuteodo de varias horas Debe notarse que los voluacutemenes muertos de las
celdas de medicioacuten muy difiacutecilmente pueden llevarse a valores inferiores a 02 oacute 03 cm3 (y estos
pequentildeos voluacutemenes generan incertezas cercanas al 10 de los voluacutemenes que gobiernan el
caacutelculo de las KR)
Como la produccioacuten de petroacuteleo tiende asintoacuteticamente a cero el volumen total desplazable soacutelo
puede obtenerse por extrapolacioacuten a infinitos VP de agua inyectados La decisioacuten praacutectica de
terminar el desplazamiento cuando cesa la produccioacuten de petroacuteleo es inadecuada pues cuando
se produce a un ritmo de 05 cm3 por diacutea pueden pasar horas sin que se registren cambios en el
volumen de petroacuteleo producido Y en este caso el operador puede detener el ensayo (luego de tres
lecturas ideacutenticas separadas por un periacuteodo de 1h) cuando falta producir entre 5 y 15 unidades
porcentuales de VP
El caacutelculo expliacutecito (resolucioacuten de las ecuaciones del desplazamiento frontal) implica el caacutelculo de
derivadas y derivadas segundas de los voluacutemenes producidos en funcioacuten del tiempo Y en este
caso pequentildeos errores experimentales se traducen en fuertes desviaciones en el caacutelculo de las KR La teoriacutea que acompantildea el caacutelculo expliacutecito estaacute desarrollada soacutelo para sistemas homogeacuteneos
La mencioacuten de estos problemas (quizaacutes tediosa para los no especialista de laboratorio) se hace necesaria
para indicar el origen de muchos de los esfuerzos realizados para obtener la curva verdadera de KR Y aquiacute es donde empieza a notarse que los Aacuterboles tapan la visioacuten adecuada del Bosque
Soluciones aparentes
Para solucionar resultados erraacuteticos en los caacutelculos se suele recomendar el meacutetodo impliacutecito de caacutelculo
En este caso como se postulan soacutelo familias de curvas suaves y monoacutetonas se busca la curva bonita
que mejor reproduce los datos experimentales (NO la curva que ajusta bien los datos experimentales
sino la que los ajusta mejor de entre todas las postuladas como posibles) Y esta solucioacuten impliacutecita presenta algunas contrariedades expliacutecitas
1 Ya no es necesaria una depurada teacutecnica experimental Para cualquier set de datos siempre se
encuentra una curva que los describe mejor que otras (aunque todas realicen un ajuste peacutesimo)
Esto puede observarse hasta en el trabajo pionero de Mc Millan1
2 Los Puntos Extremos deben fijarse de antemano y en realidad pueden emplearse como un
paraacutemetro de ajuste y no como un resultado experimental Ver el mismo trabajo
3 La simulacioacuten numeacuterica empleada ignora la formacioacuten de un frente de saturaciones (teoriacutea del
desplazamiento) y genera curvas puntuales conceptualmente falsas al otorgar existencia fiacutesica a
todas las saturaciones dentro del rango comprendido entre Swirr y Sro
De hecho puede afirmarse que las dos bondades principales del meacutetodo impliacutecito de caacutelculo (curvas
suaves y monoacutetonas y permeabilidades relativas definidas en todo el rango de saturaciones) son en
realidad desventajas severas de la metodologiacutea Las curvas suaves pueden ser no representativas de la
realidad del comportamiento de la muestra y curvas definidas en todo el rango de saturaciones violan los
principios fiacutesicos del desplazamiento inmiscible
Otra solucioacuten proclamada como muy efectiva para sistemas heterogeacuteneos es la de emplear el meacutetodo
estacionario de medicioacuten En este caso las muestras obtienen una saturacioacuten homogeacutenea en toda su
longitud y la ley de Darcy permite obtener curvas que resultan un promedio aritmeacutetico de las curvas
propias de cada subsistema homogeacuteneo de los que determinan la heterogeneidad De esta forma se obtiene una curva equivalente a un sistema homogeacuteneo que promedia las curvas de cada subsistema
En este caso la falacia del razonamiento radica en que si las muestras son heterogeacuteneas inevitablemente
el reservorio tambieacuten lo es Y entonces las curvas de sistemas homogeacuteneos carecen de validez para
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
describir el reservorio
La obtencioacuten asintoacutetica de la Sro se realiza rutinariamente extrapolando los voluacutemenes producidos hasta
infinitos VP inyectados Pero en este caso la objecioacuten (planteada claramente por L Dake) radica en que
una Sro correspondiente a infinitos VP inyectados carece de realidad fiacutesica para caacutelculos de reservorio
Otros comentarios
A lo mencionado deben sumarse los esfuerzos para tener en cuenta la mojabilidad del reservorio
(muestras frescas empleo de fluidos de reservorio y trabajo a presioacuten y temperatura de reservorio)
donde cada experimentador proclama estar haciendo el esfuerzo en la direccioacuten correcta
Pero muchas veces un intento de mejora de algunas variables origina nuevas incertezas A modo de
ejemplo el empleo de fluidos vivos agrega voluacutemenes muertos al sistema para permitir el trabajo a
presioacuten Y entonces se incrementa el VP del sistema empleando trenes de tres muestras Y aparecen sistemas en serie con propiedades diferentes y dudosos contactos capilares etc etc
Y puedo seguir enumerando soluciones y objeciones hasta aburrir al maacutes paciente de los lectores Pero
hay un punto favorable que debo destacar antes de continuar (algo asiacute como un tiro para el lado de la justicia)
Los puntos extremos en primera instancia estaacuten menos sujetos a las veleidades de las muestras los
operadores y las metodologiacuteas de caacutelculo y medicioacuten Y muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos
extremos de las curvas de KR para sus caacutelculos Esta caracteriacutestica de los puntos extremos obedece a
que
En las metodologiacuteas estacionarias y no estacionarias se inyecta un solo fluido para medir el punto
extremo de saturacioacuten de la fase desplazada Olvidemos por ahora que soacutelo en el meacutetodo no-
estacionario se realiza una extrapolacioacuten hasta infinitos VP inyectados
En sistemas heterogeacuteneos todos los subsistemas porales llegan al estado de fase residual (o
irreductible) por lo que las propiedades del punto extremo de saturacioacuten son un promedio de las propiedades de cada subsistema
Primer resumen
Despueacutes de todo lo expuesto parece razonable hacer un resumen de la situacioacuten planteada
1 La forma de las curvas de KR sobre muestras de laboratorio depende de muchos factores
incluyendo (ademaacutes de las heterogeneidades relacioacuten de viscosidades mojabilidad y otros
factores clasicos) la metodologiacutea de medicioacuten metodologiacutea de caacutelculo y criterio del operador
2 Los puntos extremos parecen ser los puntos maacutes confiables de las curvas de KR por su menor
dependencia con los factores mencionados
3 Muchos reservoristas emplean soacutelo los puntos extremos de las curvas de KR
Por lo tanto parece necesario concluir que soacutelo deben medirse y usarse los puntos extremos
Cierto
FALSO Porque una buena determinacioacuten de puntos extremos soacutelo es posible extrapolando las
mediciones de desplazamiento O sea midiendo las curvas
Sin las curvas de KR no es posible elegir un criterio de corte para determinar la validez del punto extremo
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
L Dake sugiere emplear un criterio donde la relacioacuten de movilidades supere un valor determinado Y esto soacutelo es posible disponiendo de las curvas Pero Queacute curvas de todas las posibles
Con el material expuesto hasta este punto la respuesta maacutes razonable a la pregunta planteada es La
curva obtenida por la medicioacuten no-estacionaria con el meacutetodo de caacutelculo expliacutecito
O sea que las curvas deben medirse con el solo objetivo de obtener buenos puntos extremos
SI
Pero nos estamos olvidando algunas cosas
1 Las curvas de laboratorio soacutelo tienen en cuenta las fuerzas viscosas en tanto que en el reservorio
se alcanza un equilibrio entre fuerzas viscosas capilares y gravitatorias 2 Los barridos de laboratorio se realizan casi uacutenicamente sobre muestras horizontales
Y los puntos extremos de saturacioacuten variacutean con el mecanismo de produccioacuten La Swirr y la Sro variacutean cuando se emplean barridos horizontales barridos verticales y equilibrios capilar-gravitatorios
Y en el reservorio muchas veces los desplazamientos son verticales (casquetes de gas acuiacuteferos basales
o flujos entre capas) Y muchas veces la gravedad es la fuerza dominante (al menos en las zonas del
reservorio maacutes alejadas de los pozos)
Cuaacutel es entonces la solucioacuten al problema de determinar la curva de KR que representa a un
bloque del reservorio
Desde mi punto de vista la solucioacuten es posible pero no responde a un manual operativo La forma de
llegar a una solucioacuten razonable es la de resolver un aacuterbol de decisiones (con ramas bastante entrecruzadas)
Se debe hacer un esfuerzo por determinar los puntos extremos de saturacioacuten y permeabilidad por
todas las viacuteas posibles (desplazamientos horizontales y verticales imbibicioacuten y equilibrios capilar
gravitatorios (curvas de Presioacuten Capilar)
Se deben estimar los mecanismos de desplazamiento preponderantes en cada bloque en que se
discretiza el reservorio Esta operacioacuten permite seleccionar los puntos extremos representativos
de cada bloque
Se debe emplear el reservorio como laboratorio de excelencia para corroborar o modificar las
decisiones tomadas en los puntos anteriores En caso de realizar pozos en zonas donde ya se
produjo el avance de agua o de gas se debe hacer un esfuerzo por medir la saturacioacuten residual de
petroacuteleo Para este objetivo puede emplearse coronas o cuttings convenientemente extraiacutedas y
preservadas
En la generacioacuten de pseudo funciones de KR se debe tener ven cuenta que los bloques se analizan
en base a la saturacioacuten media y no a la saturacioacuten puntual de la cara de producccioacuten
Se deben emplear los simuladores numeacutericos como herramienta de anaacutelisis de bloques sencillos para entender el comportamiento del reservorio
Observaciones
En medios heterogeacuteneos la KR de las capas maacutes permeables suele ser de poco intereacutes Estas capas en
general se limitan a conducir el aporte que reciben de las otras capas del sistema
Las capas menos permeables suelen aportar a capas maacutes permeables y no al pozo Por lo tanto en estas
capas los desplazamientos de intereacutes corresponden a flujos verticales
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy
por M Crottilt(Uacuteltima modificacioacuten - 26 de noviembre de 2001)
La ley que lleva su nombre fue obtenida por Darcy en forma experimental
trabajando con medios homogeacuteneos y con un solo fluido Sin embargo la
formulacioacuten maacutes simple de dicha ley (para sistemas lineales) puede considerarse
casi intuitiva El caudal de un fluido que circula por un medio poroso lineal depende de
1 Las propiedades geomeacutetricas del sistema Aacuterea (A) y Longitud (L)
2 Las caracteriacutesticas del fluido Principalmente su Viscosidad (micro)
3 Las condiciones de flujo Diferencia de Presioacuten (DP) entre los extremos del
sistema
De este modo resulta casi evidente que a igualdad de las otras variables del
sistema el caudal (Q) que circula por el medio poroso crece en forma directa con la
diferencia de presioacuten aplicada y con el aacuterea de flujo disponible y decrece cuando aumenta la longitud y la viscosidad del fluido
En forma analiacutetica esta dependencia se expresa en la siguiente foacutermula
Q = K A DP (micro L) [1]
Donde la constante que vincula ambos teacuterminos de la ecuacioacuten se conoce como
Permeabilidad del medio poroso y constituye una propiedad de dicho medio
Expresado en otras palabras Cualquier cambio en las variables que se encuentran
en el lado derecho de la expresioacuten produce un re-acomodamiento en las otras variables o en el caudal pero la Permeabilidad permanece inalterada
Una vez aceptado que la Permeabilidad es una propiedad del medio poroso (no
depende del fluido ni de la geometriacutea del sistema ni de las condiciones de flujo) cabe definir dicha propiedad de la siguiente forma
La Permeabilidad es una medida de la capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
En la praacutectica dicha capacidad de conducir fluidos se mide por medio de un registro del caudal entrante o saliente del sistema
En el modelo empleado para la medicioacuten y caacutelculo de la permeabilidad de
un medio poroso se asume que la capacidad de conducir fluidos es la misma que la capacidad de inyectar y que la capacidad de producir fluidos
Dicho modelo (Conduccioacuten = Inyeccioacuten = Produccioacuten) es absolutamente vaacutelido en
las condiciones planteadas por Darcy (flujo de un fluido incompresible lineal y monofaacutesico)
Sin embargo en los Reservorios reales casi nunca se estaacute en condiciones de flujo
monofaacutesico Por el contrario es frecuente el flujo bifaacutesico oacute trifaacutesico En estos casos
se continuacutea respetando la ecuacioacuten de Darcy a la que se agrega un factor de
correccioacuten Este factor de correccioacuten toma la forma de una curva cuyo valor
depende de la saturacioacuten de fluidos en el sistema En estos casos tomando como
ejemplo el flujo simultaacuteneo de agua y petroacuteleo la ecuacioacuten [1] adquiere la forma
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Qw = K Krw A DPw (microw L) [2]
Qo = K Kro A DPo (microo L) [3]
Donde los subiacutendices w y o hacen referencia al agua y al petroacuteleo
respectivamente La validez de esta generalizacioacuten queda demostrada si el caudal
de cada fase es proporcional a la diferencia de presioacuten aplicada a cada una de ellas para una determinada saturacioacuten de fases
Nota En ausencia de Presioacuten Capilar ambas diferencias de presioacuten resultan
coincidentes
Los teacuterminos K Krw y K Kro se reemplazan regularmente por Kw (permeabilidad efectiva al agua) y Ko (permeabilidad efectiva al petroacuteleo)
Sin embargo al realizar esta generalizacioacuten de la ley de Darcy suele olvidarse (de
hecho no se menciona en los libros de texto y publicaciones a los que he tenido
acceso) que se rompe la equivalencia entre los tres verbos mencionados (Conducir
Inyectar y Producir) Como veremos esta observacioacuten esta muy lejos de ser trivial
Las consecuencias de esta diferencia afectan todo el andamiaje en que se soporta el empleo regular de las curvas de Permeabilidad Relativa
En base a lo expuesto en flujos multifaacutesicos se extiende la ley de Darcy definiendo la Permeabilidad Efectiva a una fase como
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten de fluidos
Sin embargo en general dicha capacidad de conduccioacuten no puede evaluarse midiendo la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten
Y cabe recordar que en los casos reales (caracterizacioacuten de reservorios) los datos de mayor intereacutes son
La Saturacioacuten Media de cada bloque estudiado (todo el reservorio en un
Balance de Materiales o una celda en un simulador numeacuterico)
La capacidad de inyectar en un punto especiacutefico del bloque (pozo inyector o
contacto con celdas cercanas)
La capacidad de producir en un punto especiacutefico (pozo productor o contacto con celdas cercanas)
De este modo aplicando el punto de vista petrolero la capacidad de conducir un
determinado fluido se transforma en un ente algo abstracto dado que el intereacutes se centra en la capacidad de inyectar o de producir dicho fluido
En teacuterminos simples cuando un sistema atraviesa un estado transitorio (tal como
ocurre en todos los reservorios reales durante la explotacioacuten) se puede inyectar una cosa conducir otra y producir otra totalmente diferente
La forma en que esta caracteriacutestica afecta la medicioacuten y traslado de la informacioacuten
de laboratorio al reservorio se discute en detalle en un trabajo reciente1
Este anaacutelisis continua en el texto La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
La ley de Darcy en Flujos Multifaacutesicos
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Marcelo A Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
Ya fue analizada (en la paacutegina Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy) la
modificacioacuten hecha a la ley de Darcy para contemplar el flujo multifaacutesico en medios porosos
En dicho desarrollo quedoacute establecido que las curvas de permeabilidad relativa son
soacutelo un factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy Aunque parezca trivial
mencionarlo una consecuencia directa de esta definicioacuten es que las curvas de
permeabilidad relativa pierden significado fiacutesico si por alguna razoacuten la ley de Darcy no resulta aplicable
En la literatura se mencionan numerosos casos en que la ley de Darcy no es
aplicable como consecuencia principalmente de la peacuterdida de linealidad entre el
gradiente de presioacuten y el caudal que fluye por el sistema Si bien esta situacioacuten
representa un caso obvio de peacuterdida de significado de las curvas de permeabilidad
relativa en el presente desarrollo voy a analizar una situacioacuten no documentada en
la literatura especializada y que afecta de manera mucho maacutes profunda el uso
habitual de las curvas de KR
La Tesis que se analiza en los paacuterrafos que siguen puede resumirse de la siguiente forma
Muchas veces la ley de Darcy no es aplicable simplemente porque las variables de la ecuacioacuten no estaacuten definidas
Y en este punto es importante destacar que con la expresioacuten no estaacuten
definidas no hago referencia a un problema de medicioacuten o de metodologiacutea Lo que
quiere decir esta frase es que es imposible darle un valor a las variables
mencionadas y que si se les da un valor (cosa que se hace frecuentemente) dejan
de ser vaacutelidos los resultados derivados a partir de la aplicacioacuten de la ecuacioacuten de
Darcy Como este punto es conceptualmente muy delicado primero voy a hacer
algunas analogiacuteas que ayuden a entender el enfoque de esta paacutegina
Si intentamos describir las propiedades de un objeto respondiendo una serie de
preguntas en un formulario que tiene casilleros especiacuteficos con coacutedigos pre-establecidos podemos encontrar algunas dificultades como la que se describe
A la pregunta Peso del objeto seguramente podremos responder sin ambiguumledad
llenando los tres o cuatro espacios que nos brinda el formulario para indicar los Kg
del objeto
Lo mismo ocurre con muchas propiedades del objeto (Lugar de origen lugar de destino longitud ancho etc)
Pero supongamos que se nos pide el color del objeto y se nos permite elegir entre
20 colores pre-establecidos Y supongamos que nuestro objeto es una pelota de Basquetball con una mitad amarilla y otra azul
Un poco sorprendidos (y molestos) revisamos la lista de colores y encontramos tres
alternativas
Amarillo
Azul Verde
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Amarillo o Azul son malas descripciones del objeto pero Verde (resultado de
mezclar 50 de Amarillo con 50 de azul) parece peor auacuten A modo de ejemplo si
a alguien se le pide que nos alcance el objeto Verde que estaacute en una habitacioacuten difiacutecilmente identifique una pelota azul y amarilla con el objeto de nuestro pedido
Bien como veremos a continuacioacuten este ejemplo risuentildeo no estaacute tan lejos de la
realidad con que nos encontramos al tratar de trasladar ecuaciones de flujo
monofaacutesico (un solo color) al aacutembito de los flujos multifaacutesicos (varios colores) Si
los colores estaacuten uniformemente distribuidos podremos decir Verde para describir
el objeto pero si los colores (fluidos) no estaacuten uniformemente distribuidos
tropezaremos con una seria dificultad para describir el objeto de estudio con formularios simples
Volviendo al empleo de las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten
de Darcy para aplicar dicha ecuacioacuten al flujo multifaacutesico se encontraron dos
soluciones que evitaban la ambiguumledad originada entre la definicioacuten y la
posibilidad de medicioacuten
La definicioacuten de permeabilidad (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) implica la
determinacioacuten de la capacidad de conduccioacuten de un determinado fluido
Lo uacutenico que puede medirse en un caso real es la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten de un determinado fluido
La primera solucioacuten respetando el orden histoacuterico fue la de re-crear las
condiciones originales en que es aplicable la ley de Darcy Inyeccioacuten = Conduccioacuten
= Produccioacuten De este modo se puede medir una de estas propiedades y se obtiene el valor de la que nos interesa
(NOTA No hay dudas que la permeabilidad es una medida de la capacidad de
conducir fluidos Nadie piensa que la permeabilidad de un sistema depende de su
capacidad de admitir o expulsar fluidos)
Esta primera solucioacuten se logroacute mediante el sistema estacionario de medicioacuten
(Penn-State o sus variantes posteriores) donde se inyecta una cierta proporcioacuten de
ambas fases hasta que la produccioacuten se hace ideacutentica a la inyeccioacuten (se alcanza el
estado estacionario) En ese momento todas las variables de la ecuacioacuten de Darcy
estaacuten perfectamente definidas (la pelota es Verde puesto que en todas partes se encuentra la misma proporcioacuten de pigmento azul y de pigmento Amarillo)
La segunda solucioacuten consiste en crear un objeto de estudio donde los tres verbos
(inyectar conducir y producir) son ideacutenticos por definicioacuten Esta situacioacuten se
presenta tomando una seccioacuten de longitud cero (una laacutemina bidimensional) en el
medio poroso En una laacutemina de espesor nulo todo lo que se inyecta
inevitablemente se conduce y se produce Esta condicioacuten no puede lograrse en
ninguna medicioacuten real puesto que todos los objetos reales tienen un espesor no
nulo de modo que se obtiene a traveacutes de un caacutelculo medianamente complejo En
resumen esto es lo que se hace mediante el caacutelculo de KR con el meacutetodo no-
estacionario (Welge12 JBN3 Jones-Roszele4) Se miden las variables medias del
sistema y se calculan lo que ocurre en una laacutemina de espesor nulo Esta laacutemina es
por conveniencia el extremo de produccioacuten pues es el uacutenico lugar en que se puede
evaluar fiacutesicamente el valor que toma una de las tres acciones (verbos) mencionadas La Produccioacuten del sistema
En medios homogeacuteneos ambas soluciones brindan el mismo resultado y esa
solucioacuten es la que ha estado usando nuestra industria para obtener las curvas de KR como factor de correccioacuten de la ecuacioacuten de Darcy
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
A modo de analogiacutea tanto en Fiacutesica como en Matemaacuteticas es frecuente que los
problemas complejos admitan ciertas soluciones particulares donde la resolucioacuten de
las ecuaciones es particularmente simple Y a primera vista parece que esa es la
viacutea elegida para medir los valores de permeabilidad relativa en desplazamientos
multifaacutesicos Sin embargo es conveniente sentildealar dos puntos en este enfoque
Las soluciones particulares no sirven para describir los casos generales
En el caso de la ecuacioacuten de Darcy no se recurre a casos particulares para
simplificar ecuaciones complejas sino porque es la uacutenica forma de obtener un valor uacutenico para algunas variables del caacutelculo
En otras palabras lo que no parece haberse tenido en cuenta en el desarrollo
histoacuterico es que en la caracterizacioacuten de reservorios muy raras veces el reservorio
es Verde Habitualmente encontramos tonos diferentes (diferentes saturaciones de fluidos) en cada parte del sistema
Quizaacutes un ejemplo simple permita focalizar la magnitud el problema
Supongamos que disponemos de un tubo horizontal delgado de 1 metro de largo (la
delgadez es uacutetil para evitar que la gravedad se encargue de segregar los fluidos en
su interior) Si el tubo estaacute vaciacuteo parece evidente que su capacidad de conducir
agua es nula (Kw = 0) Por muy grande que sea la diferencia de presioacuten que
apliquemos entre sus extremos difiacutecilmente el tubo sea capaz de conducir agua
hasta que tenga agua en su interior En teacuterminos de la ecuacioacuten de Darcy diriacuteamos
que la permeabilidad efectiva al agua es cero cuando la saturacioacuten de agua es cero
Sin embargo nadie pensariacutea que la capacidad de inyectar agua en ese tubo es cero
Lo que siacute es seguro es que la capacidad de producir agua es cero hasta que el agua
alcanza el extremo de salida Dicho de otra forma podemos estar inyectando agua
sin producir agua
Si este ejemplo parece lo bastante contundente para diferenciar las tres acciones
(inyectar conducir y producir) en un sistema no estacionario tratemos de analizar queacute ocurre cuando el tubo se ha llenado con agua hasta el 50 de su longitud
Cuaacutel es la capacidad de conducir agua cuando la saturacioacuten de agua es soacutelo del 50
Antes de responder apresuradamente observemos que estamos en el caso de la
pelota azul y amarilla En la pelota teniacuteamos dos colores y nos pediacutean que la
describieacuteramos con uno solo Ahora tenemos dos capacidades de conduccioacuten bien
definidas (El valor X que resulte de las ecuaciones de flujo en la zona con agua y CERO en la zona sin agua) Queacute valor ponemos en la ecuacioacuten de Darcy
X (Azul)
0 (Amarillo ) X2 (Verde)
Al dar la respuesta (que no parece faacutecil) debemos tener en cuenta que la ecuacioacuten
de Darcy nos pide la capacidad de conduccioacuten del sistema y para ello nos da un
casillero uacutenico en el que podemos poner un soacutelo valor La ecuacioacuten de Darcy se
transformoacute en el formulario del risuentildeo ejemplo de la pelota de Basquetball
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Y ademaacutes recordando que trabajamos en la industria del petroacuteleo en cualquier
sistema real soacutelo nos interesa la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten La
capacidad de conduccioacuten es un ente algo abstracto que permite inyectar o producir
Cuando se habla de la admisioacuten o de la produccioacuten de un determinado pozo damos
por sentado que de alguna manera el fluido se transmite (conduce) desde o hacia el pozo pero las variables realmente medibles son las del pozo
En este punto y a los efectos de no perder de vista el objetivo de este desarrollo conviene hacer un pequentildeo resumen de la situacioacuten a la que hemos llegado
1 La ecuacioacuten de Darcy es muy simple y adecuada para caracterizar flujos
monofaacutesicos en medios porosos
2 Para describir flujos multifaacutesicos se adoptoacute un modelo basado en la ecuacioacuten
de flujo monofaacutesico corregida por un factor que adopta la forma de una
Curva de Permeabilidad Relativa
3 Este factor una vez determinado (experimental o analiacuteticamente) depende
soacutelo de la saturacioacuten de las diferentes fases en el medio poroso
4 Sin embargo como se mostroacute en este desarrollo la capacidad de
conduccioacuten de fluidos (corazoacuten de la ecuacioacuten de Darcy) no puede definirse
en sistemas con saturacioacuten no homogeacutenea En estos sistemas soacutelo existe
una capacidad perfectamente definida de inyeccioacuten y de produccioacuten
La respuesta al problema planteado (coacutemo describir el flujo multifaacutesico en sistemas
reales) no es la que nuestra industria ha estado usando histoacutericamente Nuestra industria ha respondido desde sus oriacutegenes con
Verde
Y claro esto ha originado algunos problemas Recordemos por ejemplo que en
una celda de un simulador numeacuterico se resuelve la ecuacioacuten de Darcy con el color
Verde Esto da lugar entre otras cosas al conocido fenoacutemeno de dispersioacuten numeacuterica5
Y en base a lo expuesto parece evidente que todo lo que hay que hacer para
resolver adecuadamente el problema es usar un formulario que permita poner varios colores para describir los objetos
La solucioacuten para diferentes situaciones se analiza en las siguientes paacuteginas
Solucioacuten Conceptual
Solucioacuten de un Sistema Simple
Flujos dominados por las Fuerzas Gravitatorias
Flujos dominados por las Fuerzas Viscosas Flujos dominados por las Fuerzas Capilares
Solucioacuten General para la Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy y La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos se dan las razones por las cuales el empleo de las curvas de
permeabilidad relativa en su forma habitual no describe adecuadamente el flujo
multifaacutesico en medios porosos
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
En esas paacuteginas se mostroacute la gran diferencia existente entre el empleo de la
ecuacioacuten de Darcy ampliada para flujos multifaacutesicos (con ayuda del concepto habitual de permeabilidad relativa) y las necesidades del reservorista
La ecuacioacuten de Darcy se emplea para describir la capacidad de conduccioacuten
de fluidos en un medio poroso
El reservorista necesita una herramienta que en base a las condiciones
existentes en un bloque determinado (saturacioacuten de fluidos diferencia de
presioacuten etc) le permita estimar la capacidad de inyeccioacuten o de produccioacuten en alguacuten extremo de ese bloque
Y tal como se discutioacute ampliamente las tres capacidades no soacutelo son diferentes
sino que en la mayoriacutea de los casos reales la capacidad de conduccioacuten es una
propiedad indefinida puesto que regularmente toma una enorme diversidad de valores en forma simultaacutenea en un mismo sistema
En la praacutectica una vez entendido el problema la solucioacuten es alcanzable puesto que
la capacidad de inyeccioacuten yo produccioacuten estaacuten siempre perfectamente definidas y
son las propiedades que interesan en la vida de un reservorio
En base a lo expuesto debe desecharse lo antes posible el concepto de
permeabilidad relativa en su sentido tradicional pues esa caracteriacutestica condujo a los numerosos errores conceptuales documentados en este desarrollo
Sin embargo resulta conveniente mantener una ecuacioacuten simple y un factor de correccioacuten re-definiendo los teacuterminos baacutesicos del flujo multifaacutesico
De este modo como se veraacute en diversas aplicaciones para los caacutelculos de
Ingenieriacutea de Reservorios resulta conveniente reemplazar las curvas tradicionales
de Permeabilidad Relativa por curvas de Admisioacuten Relativa (AR) y de Produccioacuten
Relativa (PR)
Las formulaciones para estos teacuterminos aplicadas a la fase agua en un sistema
lineal son las siguientes
QAw = K Arw A DPw (microw L) [4] QPw = K Prw A DPw (microw L) [5]
Donde se emplean los siguientes nuevos teacuterminos
QAw = Caudal de Admisioacuten de Agua
Arw = Admisioacuten Relativa de Agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de Agua
Prw = Produccioacuten Relativa de Agua
K Arw = Admisioacuten Efectiva de Agua K Prw = Produccioacuten Efectiva de Agua
Las similitudes con la formulacioacuten de Darcy para flujos multifaacutesicos son auto-
evidentes Sin embargo las diferencias praacutecticas y conceptuales son considerables
Las definiciones de estos nuevos teacuterminos pueden compararse con la definicioacuten claacutesica de Permeabilidad efectiva
Permeabilidad efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de conducir dicha fase a una determinada saturacioacuten puntual de fluidos
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Admisioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de
admitir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten efectiva a una fase es la capacidad de un medio poroso de producir dicha fase a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Por definicioacuten la Admisioacuten Absoluta y la Produccioacuten Absoluta de un sistema son
ideacutenticas a la Permeabilidad Absoluta de dicho sistema Cuando fluye una sola fase
incompresible (en las condiciones en que fue derivada la ley Darcy) la Admisioacuten
la Conduccioacuten y la Produccioacuten de fluidos (todas medidas en funcioacuten del caudal de
fluido) son ideacutenticas De este modo en las foacutermulas [4] y [5] se emplea la
Permeabilidad Absoluta del sistema para evitar la introduccioacuten de nuevos teacuterminos
donde resulta innecesario
En base a las definiciones indicadas la Permeabilidad Efectiva pasa a ser soacutelo un
caso particular de los otros dos teacuterminos Cuando las saturaciones medias y
puntuales son ideacutenticas los tres teacuterminos son equivalentes Sin embargo cuando
las saturaciones medias difieren de las puntuales los uacutenicos teacuterminos con
significado fiacutesico son los de Admisioacuten y Produccioacuten Efectivas Como se detalloacute con el
ejemplo de la pelota de dos colores no existe (no estaacute fiacutesicamente definida) la permeabilidad de un sistema con saturacioacuten no homogeacutenea
A modo de resumen es conveniente sentildealar las diferencias praacutecticas y conceptuales entre las curvas de KR y las curvas de AR y PR
1 Los valores de AR y PR estaacuten definidos en todo el rango de saturaciones
medias Las curvas de KR soacutelo estaacuten definidas en el rango de saturaciones
puntuales comprendidos entre la saturacioacuten del frente (teoriacutea del
desplazamiento) y la saturacioacuten maacutexima de la fase inyectada Las pseudo-
funcionesfa se estudian en una paacutegina independiente
2 Para una determinada saturacioacuten media existen en general valores
diferentes de AR y de PR Ademaacutes cada valor se aplica a un extremo
diferente del medio poroso Las curvas de KR se usan como propiedad global
de un medio poroso
3 En caso de cambio de flujo en un sistema (Ej un productor que pasa a
inyector) las caras (extremos) del medio poroso suelen intercambiar sus
roles Cuando un extremo pasa de Inyector a Productor cambia la curva que
describe su comportamiento ( la curva de AR se reemplaza por la de PR) Este concepto es radicalmente diferente al de histeacuteresis de las curvas de KR
Cabe preguntarse entonces de queacute forma estos nuevos teacuterminos afectan los caacutelculos propios de la Ingenieriacutea de Reservorios
Para responder esta pregunta que es el objetivo de este estudio empecemos por
analizar el uacutenico caso en que la realidad fiacutesica es adecuadamente representada por
el empleo habitual de las curvas de permeabilidad relativa En otras paacuteginas se
analizan diferentes casos en que para reproducir el comportamiento de los
sistemas reales debe recurrirse inevitablemente a otros juegos de curvas (Admisioacuten Relativa y Produccioacuten Relativa)
Las curvas de Permeabilidad Relativa son soacutelo aptas para describir sistemas en
estado estacionario que cumplan con la ley de Darcy Y este aacutembito de validez
queda restringido (en los reservorios reales) a los flujos de una sola fase donde se
cumpla la proporcionalidad entre gradiente de presioacuten y caudal En otras palabras
soacutelo los puntos extremos de un sistema multifaacutesico son adecuadamente descriptos
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
por las curvas de Permeabilidad Relativa Y esto soacutelo si se conserva la relacioacuten
entre el caudal y el gradiente de Presioacuten
Sin embargo debe notarse que los puntos extremos de saturacioacuten son sensibles a los mecanismos de desplazamiento
Solucioacuten de Flujos Multifaacutesicos en un Sistema Simple
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 27 de noviembre de 2001)
En esta paacutegina vamos a emplear un ejemplo muy simple para visualizar en un
ejemplo concreto las diferencias entre las curvas tradicionales de KR y el juego de
curvas de AR y PR Como se veraacute incluso en los sistemas maacutes simples soacutelo el uacuteltimo juego de curvas es apto para describir el flujo multifaacutesico
Imaginemos que disponemos de un tubo delgado (por ej una manguera plaacutestica
muy fina) por donde fluye agua debido a una diferencia de presioacuten entre sus
extremos Imaginemos ademaacutes que experimentalmente hemos encontrado la
siguiente relacioacuten para describir el flujo de agua por este tubo cuando estaacute totalmente lleno de agua
Qw = 10 DP L [1acute]
Donde
Qw = Caudal de agua expresado en [litroshora]
DP = Diferencia de presioacuten entre los extremos de entrada y salida de agua
medida en [Kgcm2]
L = Longitud del tubo medida en [m]
El valor 10 contempla la diferencia de unidades entre ambos lados de la
ecuacioacuten y permite describir el comportamiento del sistema cuando se
emplean las unidades especificadas
De este modo si el tubo estaacute lleno de agua tiene un metro de longitud y se aplica una diferencia de presioacuten de 1 Kgcm2 el caudal de agua obtenido es de
Qw = 10 1 1 = 10 litroshora
Debido a que el agua puede considerarse incompresible los 10 litroshora
representan tanto el caudal de inyeccioacuten como el de produccioacuten Por la misma
razoacuten tambieacuten aceptamos que 10 litroshora representa la conduccioacuten de agua
por el tubo en las condiciones fijadas
En teacuterminos de la Ley de Darcy diriacuteamos que la capacidad de conducir agua en el
tubo en cuestioacuten tiene el valor 10 cuando se emplean las unidades indicadas
Para hacer dicha analogiacutea recordemos que una permeabilidad de 1 Darcy puede
definirse como la capacidad de conduccioacuten de un medio poroso de 1 cm2 de aacuterea y
1 cm de longitud que al estar saturado al 100 con un fluido de viscosidad igual a
1 cp conduce el fluido a razoacuten de 1 cm3seg si es sometido a una diferencia de presioacuten de 1 atm
La ecuacioacuten [1acute] es una variante simplificada de la ecuacioacuten de Darcy donde el
valor de viscosidad del fluido y el aacuterea del medio poroso son fijos por lo que se los incluye en la constante de proporcionalidad entre ambos teacuterminos de la ecuacioacuten
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Bien una vez especificadas las caracteriacutesticas de nuestro sistema podemos
resolver algunos casos sencillos cuando la saturacioacuten de agua no es del 100
Imaginemos ahora que el tubo estaacute vaciacuteo y comienza a llenarse con agua debido a
que por el extremo de inyeccioacuten se lo conecta a un tanque con agua a 1 Kgcm2 de presioacuten por encima de la presioacuten (de aire) en el extremo de salida
Debido a la delgadez del tubo el agua avanza en forma de pistoacuten por lo que en todo
momento (hasta el llenado completo) existe una zona del tubo con 100 de agua y
otra sin agua
Haciendo algunas simplificaciones tales como que la viscosidad del aire es
despreciable comparada con la del agua y que no se manifiestan ni flujos
turbulentos ni fenoacutemenos inerciales podemos calcular la capacidad de admitir y de
producir agua en este sistema a medida que se va llenando con este fluido En
otras palabras haremos una razonable estimacioacuten de la capacidad de admitir y de
producir agua a medida que la Saturacioacuten media de agua (Swm) crece desde 0 al 100
A modo de ejemplo cuando la Swm es 10 pese a que la longitud del tubo sigue
siendo de 1 m la longitud con agua es 01 m y en base a las simplificaciones
realizadas la caiacuteda de presioacuten de 1 Kgcm2 se produce en esos 01 m de modo que el caudal inyectado es en ese instante
Qw = 10 1 01 = 100 litroshora
Este resultado no es maacutes que lo que cabe esperar Con la misma diferencia de
presioacuten el caudal de agua es 10 veces maacutes grande cuando la uacutenica resistencia al
flujo disminuye a la deacutecima parte de su valor original (el rozamiento debido a la viscosidad del agua se manifiesta soacutelo en la deacutecima parte de la longitud del tubo)
Siguiendo el mismo esquema de caacutelculo la Tabla I resume los resultados obtenidos
al aplicar la ecuacioacuten [1acute] a medida que el tubo se va llenando con agua Como se
muestra en dicha Tabla la capacidad de produccioacuten de agua es cero (0) hasta que
la Swm alcanza el 100
TABLA I
Saturacioacuten Media de
Agua
Caudal de Inyeccioacuten de
Agua
Caudal de Produccioacuten de
Agua
100 10000 litroshora 000 litroshora
150 6667 litroshora 000 litroshora
200 5000 litroshora 000 litroshora
300 3333 litroshora 000 litroshora
400 2500 litroshora 000 litroshora
500 2000 litroshora 000 litroshora
600 1667 litroshora 000 litroshora
700 1429 litroshora 000 litroshora
800 1250 litroshora 000 litroshora
900 1111 litroshora 000 litroshora
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
950 1053 litroshora 000 litroshora
999 1001 litroshora 000 litroshora
1000 1000 litroshora 1000 litroshora
Es importante verificar la validez de los caacutelculos realizados en la Tabla II antes de
continuar con el anaacutelisis de este ejemplo
Si ahora queremos responder a la pregunta
Cuaacutel es el caudal de agua que circula por el tubo (caudal de Conduccioacuten de
agua) cuando la Swm es 50
Antes de responder apresuradamente es conveniente notar que en las condiciones especificadas existen dos caudales de agua netamente diferenciados en el tubo
En la mitad asociada al extremo de inyeccioacuten estaacute circulando agua a razoacuten
de 20 litroshora
En la mitad asociada al extremo de produccioacuten no estaacute circulando agua (Qw
=0)
Cuaacutel es entonces el caudal de agua que circula por el tubo tomado en su totalidad
En este punto no es difiacutecil encontrar la analogiacutea entre el problema aquiacute planteado y
el que se nos presentaba al tratar de describir la pelota azul y amarilla con un solo
color En el caso presente la muy simple ecuacioacuten [1acute] se transformoacute en el risuentildeo
formulario que nos ofrece un solo casillero para poner informacioacuten muacuteltiple
A continuacioacuten estaacuten especificadas algunas de las diferentes respuestas posibles para el caudal de agua que circula por el tubo cuando Swm = 50
1 Qw circulando por el tubo = 20 litroshora (La pelota es Azul)
2 Qw circulando por el tubo = 0 litroshora (La pelota es Amarilla)
3 Qw circulando por el tubo = (20 + 0) 2 = 10 litroshora (La pelota es
Verde)
4 Qw circulando por el tubo = NA (Ninguacuten color simple describe adecuadamente la pelota azul y amarilla)
Parece ineludible concluir que no existe un caudal uacutenico de circulacioacuten (conduccioacuten)
de agua por el tubo cuando la saturacioacuten de agua no es uniforme Sin embargo
como ya se establecioacute siempre es posible calcular un caudal de admisioacuten y un caudal de produccioacuten de agua
A continuacioacuten analizaremos con maacutes detalle el modelo simple aquiacute presentado y
trataremos de sacar algunas conclusiones uacutetiles con respecto a la modelizacioacuten del
flujo multifaacutesico en sistemas no-estacionarios
Para obtener los valores de la Tabla I se realizaron los caacutelculos de caudal de
inyeccioacuten con la foacutermula [1acute] empleando la longitud del tubo que contiene agua a
cada valor de saturacioacuten media Esto es natural puesto que en base a los
supuestos iniciales toda la caiacuteda de presioacuten se produce en la zona con agua Sin
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
embargo esta forma de hacer las cuentas implica el conocimiento previo de la
ubicacioacuten del frente de agua en el sistema Y eacutesta no es la condicioacuten habitual en los estudios de reservorios de hidrocarburos
Podemos entonces realizar caacutelculos de admisioacuten y de produccioacuten en forma maacutes cercana a como se realiza en los casos reales
Empleando una analogiacutea directa con la ecuacioacuten de Darcy podemos llamar
Capacidad Absoluta de Conduccioacuten de agua CAw al valor 10 que caracteriza al
tubo en estudio cuando estaacute totalmente lleno de agua Al igual que la permeabilidad
absoluta en la ecuacioacuten de Darcy este valor (CAw) permite cuantificar la inter-
relacioacuten entre las variables del sistema (flujo de agua diferencia de presioacuten y
longitud del tubo)
Continuando con la analogiacutea diriacuteamos que la CAw para este tubo toma el valor 10
con las unidades empleadas
Ya fue ampliamente documentado que la capacidad de conduccioacuten de admisioacuten
y de produccioacuten soacutelo son ideacutenticas cuando se trata de flujos estacionarios Esta
caracteriacutestica queda evidenciada en la Tabla I donde se observa que todos los
caudales son ideacutenticos cuando la Swm es del 100
En base a lo expuesto resulta conveniente no usar del concepto de Capacidad de
Conduccioacuten (concepto monocromaacutetico) en sistemas no estacionarios (pelotas
multicolores) Para caracterizar el flujo multyifaacutesico emplearemos dos conceptos
nuevos Admisioacuten Efectiva de agua (AEw) y Produccioacuten Efectiva de agua (PEw) en
el tubo mencionado
Admisioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para admitir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Produccioacuten Efectiva es la capacidad del tubo para producir agua a una determinada saturacioacuten media de fluidos
Y como ya fue establecido cuando la Swm es 100 la Admisioacuten Absoluta (AAw) y
la Produccioacuten Absoluta (PAw) coinciden con la Conduccioacuten Absoluta (CAw) del tubo
Todas toman el valor 10 en el sistema en estudio
AAw = CAw = PAw
Con estos nuevos teacuterminos podemos re-escribir la ecuacioacuten [1acute] de la siguiente
forma
CAw = QCw L DP [2acute]
Donde
QCw = Caudal de Conduccioacuten de agua con Swm = 100
Esta ecuacioacuten tiene validez soacutelo con flujo monofaacutesico estacionario Con flujos no
estacionarios la variable QCw pierde todo significado fiacutesico (al igual que resulta imposible describir la pelota bicolor con un solo color)
Sin embargo para flujos no estacionario mantienen su valor perfectamente definido los caudales de Admisioacuten y de Produccioacuten de agua
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
QAw = Caudal de Admisioacuten de agua
QPw = Caudal de Produccioacuten de agua
Por lo que resulta posible emplear dos nuevas ecuaciones con significado fiacutesico y aplicabilidad praacutectica
AEw = QAw L DP [3acute] PEw = QPw L DP [4acute]
Estas ecuaciones son calculables para cualquier valor de Swm y ademaacutes representan las variables de intereacutes para caracterizar el sistema
Y para manejar conceptos maacutes generales podemos definir la Admisioacuten Relativa y la
Produccioacuten Relativa en base a las siguientes foacutermulas donde se relacionan los
valores efectivos con la capacidad de conduccioacuten de agua cuando el sistema estaacute 100 saturado con agua
ARw = AEw AAw = AEw CAw [5acute] PRw = PEw PAw = PEw CAw [6acute]
Desde un punto de vista praacutectico tanto en el tubo en estudio como en un
reservorio real las variables de intereacutes son la capacidad de inyectar y de producir
fluidos del sistema La capacidad de conduccioacuten de fluidos (asociada al concepto
claacutesico de permeabilidad) es una propiedad algo abstracta Estos conceptos no son
nuevos en nuestra industria desde el momento que existen pozos inyectores y
pozos productores pero no existen pozos conductores Soacutelo el reservorio conduce fluidos pero eacutesta es una capacidad que variacutea punto a punto y en el tiempo
La Tabla II y los graacuteficos de las Figuras 1 y 2 pueden ayudar a visualizar la importancia de estos nuevos conceptos praacutecticos
TABLA II
Saturacioacuten Media de
Agua
Admisioacuten Relativa de
Agua
Produccioacuten Relativa de
Agua
100 1000 000
150 6667 000
200 5000 000
300 3333 000
400 2500 000
500 2000 000
600 1667 000
700 1429 000
800 1250 000
900 1111 000
950 1053 000
999 1001 000
1000 1000 100
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Fig 1 - Admisioacuten Relativa de agua en el tubo Fig 1 - Produccioacuten Relativa de agua en el tubo
La figura 1 es particularmente ilustrativa pues llama la atencioacuten sobre un punto que
puede resultar conflictivo analizado desde la oacuteptica del concepto tradicional de
permeabilidad relativa No resulta sorprendente que un tubo vaciacuteo tenga mayor
capacidad de admisioacuten de agua que un tubo lleno de agua Sin embargo suele
considerarse imposible que un sistema cualquiera tenga (en alguna condicioacuten de
saturacioacuten) mayor capacidad de conduccioacuten de un fluido que la capacidad absoluta
de conduccioacuten
En las Tablas y graacuteficos presentados se muestra soacutelo la capacidad de admisioacuten y de
produccioacuten de una de las fases (el agua) En los casos reales debe tenerse en
cuenta la capacidad de admisioacuten y de produccioacuten de todas las fases involucradas en
el desplazamiento En el ejemplo aquiacute analizado la capacidad de Admitir aire es
cero para toda Saturacioacuten de agua mayor que cero mientras se inyecte agua Y
(sin considerar efectos de compresibilidad) la capacidad de produccioacuten de aire es
igual a la capacidad de admisioacuten de agua excepto cuando la Sw es 100 (donde
la admisioacuten relativa de agua es 1 y la produccioacuten relativa de gas es cero)
Con las tablas y graacuteficos de esta paacutegina resulta posible describir la capacidad de
admitir y de producir agua en cualquier estado de saturacioacuten del tubo Y el estado de saturacioacuten se puede obtener por medio de un balance de materiales
Sin embargo es muy importante destacar que no existe una curva de Permeabilidad
Relativa al agua de la que sea posible extraer informacioacuten en forma directa sobre la
capacidad de inyectar o admitir agua en el sistema en estudio para cada valor de saturacioacuten media
Por lo tanto resumiendo el desarrollo de esta paacutegina puede decirse que
1 Las tablas y los graacuteficos presentados describen completamente el flujo de
agua en el sistema tanto durante el transitorio (llenado del tubo) como en
el estado estacionario
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
2 No existe un juego equivalente de curvas de permeabilidades relativas
capaces de describir el flujo multifaacutesico aquiacute analizado
Tal como se muestra en las paacuteginas especiacuteficas esta situacioacuten no es excepcional sino que constituye la regla para medios porosos con saturacioacuten no uniforme
Descripcioacuten de Flujos Multifaacutesicos en Sistemas Dominados por las Fuerzas Viscosas
por M Crotti (Uacuteltima modificacioacuten - 15 de mayo de 2001)
En las paacuteginas Un Anaacutelisis Especial de la Ley de Darcy La ley de Darcy en Flujos
Multifaacutesicos y Solucioacuten Conceptual se desarrollaron las bases para describir el flujo
multifaacutesico respetando el comportamiento fiacutesico de los sistemas reales Como
resultado de dichos desarrollos se evidenciaron algunos errores conceptuales
asociados al uso regular de las curvas de KR Tambieacuten se mostroacute la necesidad de
definir y manejar dos nuevos teacuterminos con significado fiacutesico y praacutectico para la
caracterizacioacuten de reservorios
A modo de repaso de todo lo dicho los pasos que conducen a la situacioacuten mencionada pueden resumirse de la siguiente forma
La curva de KR estaacute uniacutevocamente ligada a la ecuacioacuten de Darcy para la
descripcioacuten de flujos multifaacutesicos
La ecuacioacuten de Darcy (y la permeabilidad efectiva asociada) describen la
capacidad de un medio poroso para conducir fluidos
El reservorista necesita una herramienta que le permita estimar la capacidad
de inyectar o de producir fluidos en un medio real
La capacidad de conducir inyectar y producir soacutelo coinciden durante flujos
estacionarios
En los reservorios reales soacutelo se obtiene flujo estacionario en los puntos
extremos de saturacioacuten del sistema (una sola fase fluyendo) En todos los
demaacutes casos las saturaciones y las capacidades de conduccioacuten difieren punto
a punto por lo que no puede definirse una capacidad de conduccioacuten de un
elemento de volumen finito
Los estados estacionarios con flujo de maacutes de una fase soacutelo se consiguen en
laboratorio y su objetivo es el de medir las permeabilidades efectivas en las
condiciones en que las variables de la ecuacioacuten de Darcy pueden definirse
Para satisfacer las necesidades del reservorista se necesita una herramienta
que relacione las condiciones de un sistema con su capacidad de inyeccioacuten
yo de produccioacuten
Se vio entonces que en las aplicaciones de la Ingenieriacutea de Reservorios muchas
veces resulta conveniente reemplazar las curvas de Permeabilidad Relativa por las de Admisioacuten Relativa (AR) y Produccioacuten Relativa (PR)
La tarea siguiente consiste en detallar la metodologiacutea de obtencioacuten y de empleo de
las curvas de AR y PR En esta paacutegina se detalla la metodologiacutea adecuada para
realizar esta tarea en sistemas fiacutesicos reales dominados por fuerzas de desplazamiento viscosas
Este es el caso maacutes simple de describir debido a que existe una larga praacutectica a
nivel de laboratorio donde se realiza este tipo de desplazamiento sobre muestras
(plugs) extraiacutedas de coronas obtenidas en reservorios de hidrocarburos
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
Justamente el meacutetodo maacutes frecuente de medicioacuten de las curvas de KR se basa en el
desplazamiento de una fase por otra garantizando la preponderancia de las fuerzas
viscosas Esta metodologiacutea de medicioacuten se conoce como meacutetodo no-estacionario o meacutetodo de Welge
Las etapas tiacutepicas de un desplazamiento de este tipo para sistemas agua-petroacuteleo pueden enumerarse de la siguiente manera
1 La muestra en estudio se lava con solventes adecuados y se somete a la
medicioacuten de Porosidad y Permeabilidad al gas
2 Se satura la muestra con agua de formacioacuten (o formulacioacuten equivalente que
no dantildee el medio poroso)
3 Se determina la Permeabilidad absoluta al agua
4 Se desplaza el agua moacutevil mediante la inyeccioacuten de la fase orgaacutenica a
emplear Este proceso se continuacutea hasta alcanzar las condiciones de Swirr
5 Se determina la permeabilidad efectiva al petroacuteleo en condiciones de Swirr
(Ko[Swirr])
6 Se inyecta agua a caudal o a presioacuten constante registrando la curva de
produccioacuten de agua y petroacuteleo en funcioacuten del tiempo
7 Una vez obtenida la Saturacioacuten residual de petroacuteleo (Sor) se determina la
Permeabilidad al agua en condiciones de Sor (Kw[Sor])
8 Se realizan los caacutelculos (en forma expliacutecita o impliacutecita) para determinar la curva de KR
Para ejemplificar toda la secuencia de caacutelculo en este desarrollo se emplean los
datos experimentales del ensayo realizado por Jones y Roszele1 durante las
experiencias con que mostraron la viabilidad de su meacutetodo de caacutelculo para obtener
curvas de KR En la Tabla I se incluyen los datos generales del desplazamiento de
petroacuteleo con agua a presioacuten constante En dicha tabla se incluyen los datos
geomeacutetricos de la muestra las caracteriacutesticas de los fluidos (viscosidades) las
condiciones del desplazamiento y las permeabilidades del sistema medidas con anterioridad al desplazamiento
TABLA I Datos Generales
Area 1140 cm2
Long 1271 cm
VP 3114 cm3
Swirr 350
Ko [Swirr] 354 mD
ViscOil 105 cp
ViscWat 097 cp
DeltaP 100 psi
Por otra parte durante el desplazamiento propiamente dicho se registraron los
valores incluidos en la Tabla II En esta tabla el Volumen Total producido
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
corresponde a la suma de Petroacuteleo y Agua producidos al tiempo indicado en la
primera columna Este Volumen Total Producido coincide con el Volumen de
Petroacuteleo Producido hasta el Breakthrogh en que comienza la produccioacuten simultaacutenea de agua y petroacuteleo
TABLA II Valores Medidos durante el
Desplazamiento
Tiempo [seg]
Volumen Petroacuteleo
Producido [cm3]
Volumen Total Producido
[cm3]
0 000 000
180 309 309
372 700 700
540 780 1090
720 833 1528
900 870 1989
1200 901 2790
1560 932 3780
3600 990 9950
6000 1009 17680
9000 1031 27690
Estos valores experimentales luego de ser sometidos a la metodologiacutea de caacutelculo
expliacutecita desarrollada por Jones y Roszele en este mismo trabajo conduce al juego de curvas de Permeabilidad Relativa que se indican en la Tabla III
TABLA III Permeabilidades Relativas
Sw media Kro Krw
3500 0774 0
5110 0285 0065
5340 0200 0076
5800 0087 0095
6170 0030 0106
6460 0010 0124
6640 0003 0136
6760 0002 0145
La segunda fila de valores de la Tabla III se dejoacute en blanco para remarcar un punto
importante de la teoriacutea del desplazamiento234 las saturaciones puntuales de agua
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
comprendidas entre la Swirr y la Saturacioacuten del Frente de Desplazamiento no estaacuten
definidas Los autores mencionan expliacutecitamente la no existencia de este rango de saturaciones y lo indican en los graacuteficos mediante una liacutenea punteada
Con su metodologiacutea de caacutelculo (equivalente a la desarrollada por JBN) obtienen la siguiente curva de KR
Dicha curva describe la capacidad relativa de conducir cada fase en funcioacuten de la
Sw puntual Soacutelo en muestras homogeacuteneas esta curva seriacutea coincidente con la
obtenida mediante el meacutetodo estacionario
Veamos a continuacioacuten como podemos utilizar estos mismos datos experimentales
para determinar las curvas de AR y PR de la muestra durante el mismo ensayo de desplazamiento
Hace falta hacer algunos ajustes numeacutericos para obtener caudales
Paacutegina en construccioacuten
Notas
Existen diferencias muy notables entre las tres curvas y sus aplicaciones
La simulacioacuten numeacuterica con una sola celda debe usar las curvas de AR y PR para
describir el comportamiento real del sistema Si se usan maacutes celdas se analiza en el esquema de SPE 69394
NUNCA es de aplicacioacuten la curva de KR
