ESCUELA SUPERIOR DE ADMINISTRACIÓN PÚBLICATerritorial Caldas

Manizales, Febrero 20 de 2010Profesor Francisco J. Valencia Q.

LA LÓGICA DEDUCTIVA

El estudio de la lógica deductiva puede demarcarse en dos periodos: el tradicional y el moderno. El primero evoluciona desde Aristóteles hasta La época medieval, el segundo se caracteriza por su estrecho vínculo de la lógica con la matemática, de tal manera que el desarrollo actual de la ciencia de la lógica suele considerarse como parte del progreso del saber formal de las matemáticas. Ni una ni otra se excluyen, sino que los incorpora en un sistema más amplio, coherente y completo.

Por lo tanto nos ocuparemos, en esta oportunidad, de la lógica silogística tradicional, la cual consta básicamente de dos temas: las inferencias inmediatas y las inferencias silogísticas.

Las inferencias lógicas estudiadas por Aristóteles y sus discípulos partían del análisis del tipo más sencillo y común de proposiciones: las llamadas proposiciones categóricas ( A-E-I-O). Estas se componen de un Sujeto y un Predicado y de otros términos como el cuantificador ( todos, ninguno, alguno) y la cópula (generalmente una variedad del verbo ser).

CUALIDAD

Afirmativa Negativa

Universal Todos S es P (A) Ningún S es P (E)

CANTTIDAD

Particular Algún S es P (I) Algún S no es P (O)

A Universal AfirmativaE Universal NegativaI Particular afirmativaO Particular Negativa.

LA INFERENCIA INMEDIATAInferir deductivamente significa derivar, con necesidad lógica, de uno o varios juicios conocidos, otros nuevos, por ejemplo:

Todos los griegos son mortales (P)Todos los atenienses son griegos (P)

/. Todos los atenienses son mortales

Ahora bien, las inferencias inmediatas son las que se derivan de un juicio o proposición; las mediatas, como los silogismos, se forman con una serie de juicios. Por ejemplo:

Todos los residentes son votantes. Algunos metales son conductoresNingún residente es no-votante. Algunos metales no son no conductores.

Las dos condiciones básicas para aceptar la conclusión obtenida con una inferencia deductiva, mediata o inmediata, son:

1. La verdad material de la premisa

2. La corrección formal del mismo proceso lógico, que se da en el siguiente proceso:

CONTRADICTORIAS : A-O ; E-ICONTRARIAS : A-ESUBCONTRARIAS : I-OSUBALTERNAS : A-I ; E-O

EJERCICIO.Complete el siguiente cuadro donde debe aplicar las leyes estudiadas para determinar la verdad, falsedad o indeterminación.

A E I O Si A es verdadera vSi A es falsa fSi E es verdadera vSi E es falsa fSi I es verdadera vSi I es falsa fSi O es verdadera vSi O es falsa f

EJERCICIOS DE CLASE

Si “algunos colombianos tienen ahorros”, es verdadera, ¿qué valor de verdad asigna a las siguientes afirmaciones?

a. El 70% de los colombianos tienen ahorros.b. Algunos pereiranos tienen ahorros.c. Algunos colombianos no tienen ahorros.d. Todo colombiano tiene ahorros.e. Si es pereirano y vive en Colombia, entonces no tiene ahorros

Si “los estudiantes del pre-U en Calenda son inteligentísimos” es una proposición verdadera, ¿qué valor de verdad asigna a las siguientes afirmaciones?

a. el 30% de los estudiantes del pre-U en Calenda son inteligentes.b. Si estudia en calenda y está haciendo el pre-U , entonces no es inteligente.c. Ningún estudiante del pre-U en Calenda es no inteligente.d. Algunos estudiantes del pre-U en Calenda no son inteligentes.e. Si es un estudiante, entonces es inteligente.

Si “Ningún animal con cuernos es carnívoro” es una proposición falsa, ¿qué valor de verdad asigna a las siguientes afirmaciones?

a. Algunos animales con cuernos son carnívoros.b. Algunos animales con cuernos no son carnívoros.c. Todos los animales con cuernos son carnívoros.d. Si es un animal y tiene cuernos, entonces no puede ser carnívoro.e. Los animales con cuernos son carnívoros.

Determine el valor de verdad de las anteriores afirmaciones dándole un valor de verdad diferente a los inicialmente propuestos.

Existen otras relaciones lógicas entre las proposiciones categóricas, en las cuales se realizan modificaciones sintácticas. Veamos

CONVERSIÓNConsiste en reemplazar el término Sujeto por el término Predicado. Es válida en proposiciones E o I. Es válida también en A si además cambiamos la cantidad, de universal a particular. Validez significa que la proposición resultante tiene el mismo valor de verdad que la proposición original. Por ejemplo:

Ningún deudor duerme tranquilo E

Ninguno que duerma tranquilo es deudor C

Ningún hombre es ángel ENingún ángel es hombre C

Algunos escritores son mujeres IAlgunas mujeres son escritoras C

NOTA: En la proposición A no puede deducirse validamente su conversa:

Todos los perros son animales (V)Todos los animales son perros (F)

Pero si cambiamos la cantidad, se hace válida la inferencia inmediata, veamos:

Todos los perros son animalesAlgunos animales son perros

En la proposición O no hay conversión.

Algunos animales no son perros (V)Algunos perros no son animales (F)

No es una forma válida de Conversión

CONVERTIENTE CONVERSA

A Todo S es P I Algunos S son PE Ningún S es P E Ningún P es SI Algunos S son P I Algunos P son SO Algunos S no son P O No hay conversa.

OBVERSIÓNSe obtiene cambiando la cualidad ( de afirmativa o negativa y viceversa ) y reemplazando el Predicado con su negación, o su complemento. Es válida en las cuatro formas proposicionales. Por ejemplo:

Todos los caballeros son honestos ANingún caballero es deshonesto E

Todos los residentes son votantes ANingún residente es no votante E

Se infieren válidamente una de otra.

Ningún árbitro es parcial ETodos los árbitros son no parciales A

Algunos metales son conductores IAlgunos metales no son no conductores O

Algunas naciones no fueron beligerantes OAlgunas naciones fueron no beligerantes I

OBVERSIONES VALIDAS

A Todo S es P E Ningún S es no PE Ningún S es P A Todo S es no PI Algunos S son P O Algunos S no son no P

O Algunos S no son P I Algunos S son no P

LOS MODOS DE LAS PROPOSICIONESEn nuestra lengua empleamos algunos conceptos que afectan el modo o la fuerza como el Predicado se refiere al Sujeto. Son los siguientes:

NECESARIO Indica universalidad afirmativa ( Lo que es y no puede no ser )IMPOSIBLE Indica universalidad negativa ( Lo que no puede ser )POSIBLE Indica particularidad afirmativa ( Lo que no es, pero puede ser )CONTINGENTE Indica particularidad negativa ( Es, pero es posible que no sea ).

Estas palabras imprimen distinto énfasis a las frases, como se observa en las siguientes:

Es necesario que todos los ciudadanos votenEs imposible que todos los ciudadanos votenEs posible que todos los ciudadanos votenEs posible que no que todos los ciudadanos voten

Ahora bien, necesario e imposible son contrarios: no pueden ser ambos verdaderos, pero sí ambos falsos. Necesario y contingente, al igual que posible e imposible, son conceptos contradictorios: si uno es verdadero el otro tiene que ser falso y viceversa. Posible y contingente son subcontrarios: no pueden ser ambos falsos, como se ve en el siguiente cuadro:

CONTRARIAS

A- Necesario E- Imposible

CONTRADICTORIAS

I- Posible que sí O- Posible que no (Contingente)

SUBCONTRARIAS

Por lo tanto la expresión A, es necesario que suceda, equivale a es imposible que no suceda y no es posible que no suceda.

La expresión E, es imposible que suceda, significa que es necesario que no suceda y no es posible que suceda.

La expresión I, es posible que suceda equivale a nos es posible que suceda y no es necesario que no suceda.

La expresión O, es posible que no suceda equivale a no es necesario que suceda y no es imposible que no suceda.

EJERCICIOS1. Indicar las Conversas de las siguientes proposiciones:

A. Todos los perros son animales. _____________________B. Ningún marxista es demócrata _____________________C. Algunos dadaístas son ateos. _____________________D. Algunos estudiantes son holgazanes. _____________________E. Todos los profesores de filosofía son fuente de saber. _____________________

Construya 5 ejemplos originales

2. Indicar las obversas de las siguientes proposiciones:

A. Ningún mercenario fue combatiente.B. Algunas bebidas no son tóxicasC. Todos los ácidos son corrosivos.D. Algunos educadores no son maestros.E. Algunos perros son callejeros.

Construya 5 ejemplos originales.

CONTRAPOSICIÓNLa tercera variedad de inferencia inmediata que examinaremos no introduce nuevos principios, ya que, en cierto sentido, puede reducirse a las dos primeras. Para formar la contrapositiva de una proposición dada, reemplazamos el Sujeto por el Complemento del Predicado y reemplazamos el Predicado por el Complemento del Sujeto. Así, la contrapositiva de la proposición A:

Todos los miembros son votantes

Es la proposición A:

Todos los no votantes son no-miembros.

Si reflexionamos un poco, veremos que estas dos proposiciones son lógicamente equivalentes; de esto resulta claramente que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata cuando se la aplica a la proposición del tipo A.

La contraposición no introduce nada nuevo, pues de una proposición A podemos obtener su contrapositiva aplicándole la obversión, luego la conversión, y por último, nuevamente la obversión. Así, comenzando con:

Todo S es P. La obvertimos y obtenemos:Ningún S es no-P. Que mediante la Conversión da:Ningún no-P es S. Y cuya obversa es, finalmente:

Todo no-P es no-S.

Por consiguiente, la contrapositiva de una proposición A es la Obversa de la Conversa de la Obversa de esta proposición.La Contraposición es más útil en lo relativo a las proposiciones de A, pero es también una forma válida de inferencia inmediata cuando se le aplica a las proposiciones O. Así, la contrapositiva de la proposición:

Algunos estudiantes no son idealistas, es la proposición O, un poco engorrosa:Algunos no-idealistas no son no-estudiantes. Que es lógicamente equivalente a la primera.

Puede demostrarse esta equivalencia lógica derivando la contrapositiva paso a paso, mediante la Obversión, la Conversión y, luego, nuevamente, la Obversión , según la derivación esquemática siguiente:

Algún S no es P…..Da por Obversión Algún S es no-P; de ésta, por Conversión, obtenemos:Algún no-P es S, y obvirtiendo ésta, llegamos a:Algún no-P no es no-S ( La Contrapositiva ).

La Contraposición no es válida en las proposiciones del tipo I. Podemos ver esto observando que la proposición I, verdadera:

Algunos ciudadanos son no-diputados. Tiene como contrapositiva la proposición falsa:Algunos diputados son no-ciudadanos.

Comprenderemos por qué la contraposición no es válida cuando se la aplica a proposiciones I, si tratamos de derivar la contrapositiva de una proposición I aplicando sucesivamente la obversión, la conversión y la obvsersión. La obversa de la proposición I Algún S es P, es la proposición O Algún S no es no-P, que no tiene Conversa, con lo cual queremos significar que la conversión de una proposición O no es válida.

La Contrapositiva de la proposición E Ningún S es P es Ningún no-P es no-S. Ahora bien, esta última no puede deducirse válidamente de la original, como puede verse observando la proposición E:Ningún luchador es escuálido, que es verdadera, tiene como Contrapositiva la proposición falsa:Ningún no-escuálido es no-luchador.

Veamos por qué:

La obversa de la proposición E Ningún S es P es la proposición A Todo S es no-P, y para ésta no hay conversión válida, excepto por limitación. Si la convertimos por limitación para obtener Algún no P es S, esta puede ser obvertida y obtendremos Algún no-P no es no-S, a la que podemos llamar la contrapositiva por limitación.

Vemos pues que la Contraposición es una forma válida de inferencia inmediata solamente cuando la aplicamos a proposiciones AO. La Contraposición no es en absoluto válida para las proposiciones I y sólo lo es por limitación para las proposiciones E.

Posibles Contraposiciones:

PREMISA CONTRAPOSITIVAA Todo S es P A Todo no-P es no-SE Ningún S es P O Algún no-P no es no-S ( Por Limitación )I Algún S es P No es VálidaO Algún S no es P O Algún no-P no es no-S

LAS REGLAS DE IMPLICACIÓN

Para entender las leyes de carácter inmanente, propias del mundo natural, es necesario aplicar la herramienta del pensamiento que heredamos de Aristóteles: La Lógica. Herramienta que nos impide perdernos en el laberinto de las discusiones espúreas del sentido común, que evalúa sin ton ni son los disparos intuitivos que nos envía el mundo natural, sin someter a criterios revisionistas cada una de las afirmaciones que hacemos de la realidad. Nuestra cultura occidental basa sus conocimientos en procesos lógicos extractados del legado aristotélico, para quien la única forma de capturar los elementos inmutables del mundo natural, en la consecución de las teorías que nos permitan conocer el funcionamiento del mundo, es la necesidad de aplicar una herramienta con estructuración lógica, coherente y consistente del discurso lingüístico con el cual referimos el mundo. En honor a ello, desde Aristóteles conocemos, para nuestra fortuna, las nueve reglas de implicación lógica heredadas del pensamiento antiguo.

Aguzar el entendimiento y cuestionar, con bases de carácter lógico, cada uno de los caprichos de la humanidad, se convierten en tarea de fundamental importancia para evaluar con la fuerza de los argumentos cada una de las apreciaciones que a la ligera hacemos del mundo que habitamos.

La lógica entonces servirá de navegador, de servidor, de astrolabio y de brújula en la consecución del conocimiento de la realidad. Por ello este capítulo estará dedicado a las nueve reglas de implicación, sin perder de vista los principios lógicos trabajados anteriormente1, pues serán de gran ayuda a la hora de evaluar con los mejores argumentos ese análisis de la realidad que a todos nos interesa. Su correcta aplicación nos hará más consistentes, más coherentes, más lógicos y menos contradictorios a la hora de referir nuestras apreciaciones en torno a la realidad de la cual hacemos parte. Utilicemos, pues, esa herramienta que se constituye en el legado más protuberante de aquella cultura que todavía hoy nos apasiona.

La Lógica, afirmábamos en uno de nuestros pasajes de clase, “no pretende ser una acumulación de verdaderas sobre el mundo, ya que el concepto de verdad encierra de por sí un problema insoluble, sino que

1 Principios de Identidad, de no contradicción y tercero excluído.

se ocupa de la relación de implicación que existe entre enunciados, por ello no le concierne su verdad o falsedad, sino su consistencia formal”.2 El hombre con una formación lógica suficiente será el encargado de darle sentido a esas formas de razonar y será él quien también dote de contenido aquellas estructuras que pone ante sí el discurso verbal y escrito de quienes habitamos la cultura o hacemos parte de ella.

Si fuera verdad que todos los marihuaneros viven en la ondaY que todos los ángeles son marihuaneros, entonces uno podría concluir sin temor a errar en la validez del argumento que todos los ángeles viven en la onda. Sin más, pasemos a nuestro oficio:

1. Modus Ponens (MP). Dada una implicación y su antecedente, se sigue su consecuente.P ⊃QP/.Q

2. Modus Tollens (MT). Dada una relación de implicación y la negación del consecuente, se sigue la negación del consecuente.P ⊃Q~ Q/. ~ P

3. Silogismo Disyuntivo (SD). Dada una disyunción y la negación de uno de sus disyuntos, se sigue la afirmación del otro disyunt.o.P v Q P v Q~ P ~ Q/. Q /. P

4. Simplificación (S).Dada una conjunción, puedo afirmar a cualquiera de sus componentes.P . Q P . Q/. P

/. Q5. Conjunción. (C). Dadas dos proposiciones, puedo unirlas mediante una conjunción.

PQ/. P . Q

6. Silogismo Hipotético (SH). Dadas dos implicaciones, en las cuales el consecuente de la primera es el mismo antecedente de la segunda, se sigue que el antecedente de la primera implica el consecuente de la segunda.P ⊃ QQ ⊃ R/. P ⊃ R

7. Adición (AD). Dada una proposición verdadera, puedo adicionarle cualquier otra mediante la disyunción.P/. P v Q

8. Dilema Constructivo (DC). Dadas dos implicaciones y la disyunción de sus antecedentes, se sigue la disyunción de sus consecuentes.P ⊃ QR ⊃ SP v R/. Q v S

2 En la medida en que cuando preguntamos por la validez de los argumentos, la verdad o falsedad de las proposiciones no es lo importante. Un argumento válido debe usar las premisas con el mismo sentido. La palabra “gato” tiene dos significados: el siguiente no es un argumento válido: 1. Él levanté el carro con el gato. 2. El gato es un animal. 3. Por lo tanto, él levantó el carro con un animal.

9. Absorción (AB). Dada una implicación, si se da el antecedente, se sigue la conjunción de los componentes de la implicación.P ⊃ QP ⊃ ( P . Q).

EJERCICIO: Derivación por las reglas de implicación. /. ~En los siguientes teoremas señale qué reglas se aplicaron y sobre qué líneas, para obtener cada uno de los pasos que siguen a las premisas. Analice detenidamente el siguiente ejemplo:

1. A ⊃ B (P)2. A (P)3. B MP 1,24. B v D AD 35. ( B v D ) . A C. 4,2

1. (A ⊃ B) ⊃ ( C . D ) (P)2. (A ⊃ B) (P)3. C . D4. D5. D v F

1. ( A ⊃ B) ⊃ C (P)2. C ⊃ [ A ⊃ (D≡ E) ] (P)3. ( A ⊃ B) ⊃ [ A ⊃ (D≡ E) ]4. ~ A ⊃ (D≡ E)5. ~ A ⊃ B6. ~ A ⊃ B v F7. A ⊃ B

Construir una prueba formal de validez para el siguiente razonamiento, utilizando las abreviaciones sugeridas.

a. Si gana Guillermo o Hernán, entonces pierden Juan y Pedro. Guillermo gana. Por lo tanto Juan pierde. (G: Guillermo gana: H: Hernán gana; J: Juan pierde; P: Pedro pierde).

b. Si Álvarez ingresa, entonces el prestigio social del club aumentará; si Benítez ingresa, entonces la posición financiera del club será más firme. O ingresa Álvarez o ingresa Benítez: si el prestigio social del club aumenta, entonces Benítez ingresará a él; y si la posición financiera del club se hace más firme, entonces ingresará Ibáñez. Por lo tanto, o Benítez o Ibáñez ingresará al club. ( A: Álvarez ingresa; S: el prestigio social del club aumentará; B: Benítez ingresa; F: la posición financiera del club es más firme; I: Ibáñez ingresa).

c. Si Ana está presente, entonces Betty está presente. Si Ana y Betty están ambas presentes, entonces será elegida Carolina o Dora. Si es elegida Carolina o Dora, entonces Elisa realmente no domina el club. Si la presencia de Ana implica que Elisa no domina realmente el club, entonces Florencia será la nueva presidenta. Luego, Florencia será la nueva presidenta. (A: Ana está presente; B: Betty está presente; C:Carolina será elegida; D: Dora será elegida; E: Elisa realmente domina el club; F: Florencia será la nueva presidenta).

ACTIVIDAD DE CIERRE PARA PENSAR CON LÓGICA¿A QUÉ JUEGAN?

Salvador, Alex y Marina juegan al golf, al ajedrez y al fútbol, aunque no necesariamente en este orden. Utilizando las siguientes proposiciones ¿puede decir qué juego corresponde a cada uno de ellos?

a. Salvador le dio al jugador de fútbol un paseo en automóvil por la Católica.b. El jugador de ajedrez dijo que salvador conduce muy deprisa.

c. Marina fue al baile de graduación con el hermano del jugador de ajedrez.

c. Marina fue al baile de graduación con el hermano del jugador de ajedrez.