3_Teoría_de_colas

Investigación Operativa 2

Capítulo 3: Teoría de colas

Profesor: Eduardo Carbajal

2

ÍNDICE

1. Terminología para las líneas de espera.2. Modelado de procesos de llegada y servicio.3. Procesos de nacimiento y muerte.4. Modelo de colas con población infinita.5. Análisis económico de los modelos de cola6. Modelo de colas con capacidad limitada.7. Modelo de colas con servidores infinitos.8. Modelo de colas con población finita.9. Redes de colas10. Modelos de colas con distribución no exponencial11. Modelos de colas con disciplina de prioridades

3

1.1 Centro emisor1.2 Servicio1.3 Proceso de espera1.4 Leyes de llegada y servicio

1. Terminología para las líneas de espera (1)

4

Las líneas de espera, filas de espera o colas de espera, son realidades cotidianas:

• Personas esperando para realizar sus transacciones ante una caja en un banco,

• Estudiantes esperando por obtener copias en la fotocopiadora,

• Vehículos esperando pagar en una estación de peaje o continuar su camino, en un semáforo en rojo,

• Máquinas dañadas a la espera de ser rehabilitadas.


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Los Modelos de Líneas de Espera son de gran utilidad tanto en las áreas de Manufactura como en las de Servicio.

Los Análisis de Colas relacionan:• la longitud de la línea de espera.• el tiempo promedio de espera.

y otros factores como:• la conducta de los usuarios a la llegada y en la cola.

Los Análisis de Colas ayudan a entender el comportamiento de estos sistemas de servicio (la atención de los cajeros de un banco, actividades de mantenimiento y reparación de maquinaria, el control de las operaciones en planta, etc.).


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Desde la perspectiva de la Investigación de Operaciones, los pacientes que esperan ser atendidos por el odontólogo o las prensas dañadas esperando reparación, tienen mucho en común.

Ambos (gente y máquinas) requieren de recursos humanos y recursos materiales como equipos para que se los cure o se los haga funcionar nuevamente.


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Situación Clientes Servidores Servicio

Espera de clientes en un supermercado

Clientes que esperan para pagar

Cajas registradoras

Cobro de la compra

Automóviles en un taller

Automóviles averiados

Mecánicos o equipos de mecánicos

Reparación del automóvil

Servicio de mantenimiento

Máquinas averiadas o en mantenimiento

Unidades o equipos de mantenimiento

Reparación de la máquina

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Centro Emisor(finito/infinito)

Ley de llegada

Ley de servicioSistema

Fila(finita/infinita)

Servicio(varios servidores)


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Todas estas situaciones pueden ser analizadas como un modelo de líneas de espera. Dicho sistema abarca:

• Los clientes que están recibiendo servicio en ese momento.

• Los clientes que están esperando recibir servicio en la fila.

• Los servidores que suministran el servicio.


10

Un sistema de líneas de espera se tipifica por:• El centro emisor de los clientes a servir.• Las características del servicio.• Las condiciones en las que se desarrolla el proceso

de espera en la fila.• Las leyes de llegada y de servicio que gobiernan el

sistema de colas.


11

El centro emisor tiene tres atributos:• Patrón de llegada o de arribo.• Tamaño de la población.• Comportamiento de las llegadas.

Centro emisor

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Estático Dinámico

CitaPrecioAceptar/Rechazar RenunciaAbandona

Llegadas aleatorias con tasa constante

Llegadas aleatorias con tasa variable

Control ejercido por el

establecimiento

Control ejercido por

el cliente

Patrón dellegada

Centro emisor: patrón de llegada o de arribo (1)

13

Los clientes arriban para ser atendidos de una manera programada o de una manera aleatoria.

Se consideran que los arribos son aleatorios cuando éstos son independientes de otros y su ocurrencia no puede ser predecida exactamente.

Frecuentemente el número de arribos por unidad de tiempo puede ser estimado por medio de la Distribución de Poisson.


14

La tasa de llegadas aleatoria sigue una ley de probabilidad, denominada ley de llegada. En ocasiones, puede ser más conveniente definir la ley de llegada por los tiempos entre llegadas.

En un caso general, la tasa media de llegadas al sistema puede ser función de los n clientes que se encuentran en el interior del sistema y se representa por n.


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Población

Sub-poblaciones

Grupos homogéneos

Finita Infinita Finita Infinita

Centro emisor: tamaño de la población (1)

16

Población infinita o ilimitada.- cuando el número de clientes o arribos en un momento dado es una pequeña parte de los arribos potenciales. Ejemplos.- vehículos que pasan por una caseta de peaje; clientes de un supermercado.


17

Población finita o limitada.- cuando se tienen muy pocos servidores y el servicio es restringido. Ejemplos.- pacientes hospitalizados en un pabellón de una clínica; máquinas fotocopiadoras que esperan recibir mantenimiento en una empresa.


18

La mayoría de los modelos de colas asume que los clientes son personas pacientes, o sea que esperan en la cola hasta ser servidos. En la práctica, la gente se aburre. Aquellas personas que se impacientan por la espera, se retiran de la cola sin iniciar su transacción.

Esta situación sirve para acentuar la necesidad de estudiar los sistemas de colas y el análisis de las líneas de espera, ya que un cliente no servido es un cliente perdido y hace mala propaganda de ese negocio.

Centro emisor: comportamiento de las llegadas

19

En el servicio son importantes:• La configuración del sistema de servicio.• El patrón del tiempo de servicio.

Servicio

20

Los sistemas de servicio se clasifican en función de:

• El número de canales (servidores).• El número de fases (número de paradas que

deben hacerse durante el servicio).

Servicio: configuración del sistema de servicio (1)

21

Según el número de canales• Sistema de cola de un solo canal• Sistema de cola multicanal

Según el número de fases• Sistema de cola de una sola fase• Sistema de colas multifase

Servicio: configuración del sistema de servicio (2)

22

LlegadasUnidadesservidas

Dispositivo de servicio

Cola

Sistema de servicio

Bahía

Línea de espera delos barcos

Barcos en el mar

Sistema de descarga de barcos Barcos vacíos

Sistema de un canal, una fase

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Coches y comida

LlegadasUnidades servidas


Cola

Sistema de servicio

Coches en colaCoches en el área

Ventanilla de servicio a automóviles de McDonald´s

Pago


Sistema de un canal, varias fases

Recojo

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Llegadas

Unidadesservidas

Dispositivode servicioCola

Sistema de servicio

Dispositivode servicio

Ejemplo: los clientes del banco esperan en una única cola para ser atendidos en alguna de las diferentes ventanillas.

Sistema de varios canales, una fase

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Llegadas

Unidades servidas

Dispositivo de servicioCola

Sistema de servicio


Ejemplo: en una lavandería, los clientes utilizan una de las diferentes lavadoras y después, una de las diferentes secadoras.

Dispositivode servicio

Sistema de varios canales, varias fases

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Los patrones de tiempos de servicio son similares a los patrones de tiempo de llegada. Pueden ser constantes o aleatorios.

Si el tiempo de servicio es constante, toma la misma cantidad de tiempo atender a cada cliente. Es común con servicios dados por medio de máquinas. Ejemplo.- lavadora automática de carros.

Servicio: patrón del tiempo de servicio

27

Filas múltiples Fila única

Con ticket Entrada

3 4

8

2

6 10

1211

5

79

Proceso de espera (1)

28

Los procesos de espera son controlados a través de una atención con una cola o con colas múltiples.

También, es común incorporar el uso de ticket. Esta práctica es común, si se desea evitar que el cliente haga cola parado (zona de espera con asientos), o si se desea diferenciar a los clientes, para atenderlos más rápido.


29

Las características de las filas de espera son:

• Longitud de la cola.• Disciplina de la cola.


30

Cola limitada es aquella que por consideraciones físicas no puede incrementarse a tamaños mayores. Ejemplo.- una peluquería que tiene pocos peluqueros y sillas para atender.

Cola ilimitada es aquella que tiene un tamaño no restringido. Ejemplo.- una caseta de peaje que atiende a los vehículos que transitan por una carretera.

Proceso de espera: longitud de la cola (1)

31

Mediante modelos de cola limitada podemos representar:

• El comportamiento de los clientes que al observar una larga cola abandonan las instalaciones. Ejemplo.- cines.

• Negocios con capacidad limitada. Ejemplo.- un taller de reparación de automóviles.

Proceso de espera: longitud de la cola (2)

32

Disciplinade lacola

Estática(PEPS)

Dinámica

Selección basadaen el estado de la

cola

Selección basadaen atributos del

cliente

Número de clientes

esperando

Turno rotatorioPrioridad Preferente Tiempo de pro-

ceso más corto

Proceso de espera: disciplina de la cola (1)

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La mayoría de los sistemas usan la regla PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir). Ejemplo.- las cajas rápidas en los supermercados.

No siempre se emplea la regla PEPS. Ejemplo.- área de emergencia de un hospital, donde la atención depende de la gravedad de las lesiones de la persona que arribó por auxilio médico.


34

En muchos sistemas de colas se establece un sistema de prioridades. Ejemplo.- en un aeropuerto internacional, las autorización para el despegue o aterrizaje dependen de la torre de control.


35

Para definir un sistema de prioridades es necesario:

• Definir varios grupos de clientes a servir. • Cada cliente que llegue al sistema debe

asignarse a uno de los grupos establecidos.• Establecer prioridades.

Existen dos tipos de prioridades:• Sin interrupción.• Con interrupción.


36

Prioridad sin interrupción o no adquiridaEn primer lugar, se atenderán los clientes del primer grupo que tiene la prioridad más alta. Sólo cuando no haya ningún cliente de ese grupo por atender, se pasará a atender a los clientes del segundo grupo, y así sucesivamente.


37

Prioridad con interrupción o adquiridaSi se están atendiendo clientes de grupos de determinadas prioridades y llega un cliente de un grupo de prioridad más alta, se interrumpe el servicio del cliente de baja prioridad para atender a la de alta. Una vez atendida ésta, se sigue sirviendo al cliente de baja prioridad, si no llegan más clientes de prioridad más alta.


38

Se aplica a las leyes de probabilidad que cumplen la propiedad markoviana.

Dicha propiedad consiste en que la probabilidad de que ocurra un evento (llegada de un evento o finalización de un servicio) es sólo función del momento presente, esto es del estado actual del sistema.

Leyes de llegada y servicio (1)

39

Cuando esto sucede, tenemos que:• La tasa de eventos por unidad de tiempo seguirá

una ley de Poisson de media .• El tiempo transcurrido entre dos eventos seguirá

una ley exponencial de media 1/.


40

Para las llegadas, tendremos que = y para los servicios tendremos = (para un servidor). La mayoría de los modelos de colas asumen una ley de llegadas de tipo Poisson.

Cuando las leyes de probabilidad de las tasas de llegada y de servicio son Poisson, entonces el sistema puede ser representado mediante un proceso de nacimiento y muerte.


41

2.1 Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial.

2.2 Distribución Erlang.2.3 Modelado del proceso de servicio.2.4 Notación Kendall-Lee.

2. Modelado de procesos de llegada y servicio

42

Si los tiempos entre llegadas son exponenciales, la distribución de probabilidad de la cantidad de llegadas que suceden en cualquier intervalo de duración t está por el importante teorema siguiente.

Relación entre la distribución Poisson y la distribución exponencial (1)

43

Teorema 1: Los tiempos entre llegadas son exponenciales, con parámetro λ si y sólo si la cantidad de llegadas en un intervalo de duración t sigue una distribución Poisson con parámetro λt.


44

Una variable discreta aleatoria N tiene una distribución de Poisson con parámetro λ si, para n=0,1,2,…

¿Qué suposiciones se requieren para que los tiempos entre llegadas sean exponenciales?

0,1,2,...)(nn!

λen)P(N

nλ


45

Considere las dos siguientes suposiciones:• Las llegadas definidas en intervalos de tiempos que

no se traslapan son independientes.• Para Δt pequeñas, la probabilidad de que se presente

una llegada entre los tiempos t y t +Δt es λΔt+o(Δt), donde o(Δt) se refiere a cualquier cantidad que satisfaga

0tt)o(

lim0Δt


46

Teorema 2: Si las suposiciones 1 y 2 se sostienen, entonces Nt sigue una distribución Poisson con parámetro λt, y los tiempos entre llegadas son exponenciales con parámetro λ; es decir, a(t) = λe-λt.


47

Intervalo de

1 2 0 1 una hora

Llegada Llegada Llegada Llegada

62 min.40 min.

123 min.

Distribución exponencial de tiempo entre llegadas en minutos (vista de abajo)

Distribución de Poisson para número de llegadas/hora (vista de arriba)


48

Si los tiempos entre llegadas no parecen ser exponenciales, entonces se modelan, con frecuencia, con la distribución Erlang.Una distribución Erlang es una variable aleatoria continua (llámela T) cuya función de densidad f(t) se especifica mediante dos parámetros: un parámetro de proporcionalidad R y un parámetro de forma k (k debe ser un entero positivo).Dados los valores de R y k, la distribución Erlang tiene la función de densidad de probabilidad siguiente:

0)(t1)!(k

eR(Rt)f(t)

Rt1k

Distribución Erlang (1)

49

Si se aplica la integración por partes, podemos demostrar que si T es una distribución Erlang con parámetro de proporcionalidad R y parámetro de forma k, entonces:

2Rk

var(T)yRk

E(T)

Distribución Erlang (2)

50

Supongamos que los tiempos de servicio de clientes distintos son variables aleatorias independientes, y que cada tiempo de servicio para cada uno de los clientes está regido por una variable aleatoria S cuya función de densidad es s(t).

Sea 1/µ el tiempo de servicio medio de un cliente.

La variable 1/µ tiene unidades de horas por cliente, de modo que µ tiene unidades de clientes por hora. Por esta razón, a µ se le llama tasa de servicio.

Modelado del proceso de servicio (1)

51

Kendall (1951) propuso una notación para sistemas de colas que ha sido adoptado universalmente.

Esta notación está basada en el formato siguiente:

(1/2/3:4/5/6)

Notación Kendall-Lee (1)

52

La primera característica especifica la ley de llegada y el valor medio de la tasa de llegadas cuando hay n clientes en el sistema n.

Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución exponencial (M), determinística (D), Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).


53

La segunda característica especifica la ley de servicio y el valor medio de la tasa de servicios cuando hay n clientes en el sistema n.

Los tiempos entre llegadas son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas y regidos por una Distribución exponencial (M), determinística (D), Erlang con parámetro de forma K (Ek) o general (G).


54

La tercera característica especifica el número de servidores en paralelo (s).


55

La cuarta característica describe la disciplina de la cola (PEPS, UEPS, SOA, DG).

PEPS (Primero en Entrar Primero en Salir)UEPS (Último en Entrar Primero en Salir)SOA (Servicio en Orden Aleatorio)DG (Disciplina General)


56

La quinta característica especifica el tamaño máximo permitido del sistema de colas (c).

El tamaño máximo del sistema de colas es infinito (∞) si el modelo es de cola infinita.


57

La sexta característica es el tamaño del centro emisor (k).

El tamaño del centro emisor es infinito (∞) si el modelo es de población infinita.


58

Ejemplo.- (M/M/1 : DG//) significa un único servidor, capacidad de cola ilimitada y llegadas de una población infinita. Los tiempos entre llegadas y los tiempos de servicio son distribuidos exponencialmente. La disciplina de la cola es General.


59

3. Procesos de nacimiento y muerte (1)

3.1 Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte

60

Definimos el número de clientes presentes en un sistema de líneas de espera como el estado del sistema de líneas de espera en el tiempo t.

Denominaremos a Pj como estado estable o probabilidad de equilibrio, del estado j.

El comportamiento de Pij(t) antes de alcanzar en forma aproximada el estado estable se llama comportamiento transitorio del sistema de líneas de espera.

3. Procesos de nacimiento y muerte (2)

61

0 1 2 j-1 j j+1... ...

Modelo de nacimiento-muerteCaso General

λ0 λ1 λ2 λj-1 λjλj-2

µ1 µ2 µ3 µj+1µjµj-1

Leyes de movimiento para los procesos de nacimiento-muerte

62

Relación de la distribución exponencial con los procesos de nacimiento-muerte

La mayor parte de los sistemas de líneas de espera con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios exponenciales se podrían modelar como si fueran procesos de nacimiento-muerte.

63

Mostraremos como las Pj se podrían determinar para un proceso arbitrario de nacimiento-muerte.

La clave es relacionar (para Δt pequeñas) Pij(t+Δt) con Pij(t).

Las ecuaciones de arriba son llamadas ecuaciones de balance de flujo, o ecuaciones de conservación del flujo, para un proceso nacimiento-muerte.

,...)2,1()(1111 jPPP jjjjjjj

0011

Derivación de las probabilidades de estado estable (1)

64

Obtenemos las ecuaciones de balance de flujo para un proceso de nacimiento-muerte:

1111

3311222

2200111

1100

)()ecuación (

)()2(

)()1(

)0(

jjjjjjj PPPésimaj

PPPj

PPPj

PPj


65

Sea:

Entonces:

,...)2,1(...

...

321

1210 jCj

jj

,...)2,1(0 jCPP jj


66

Si es finita, podemos resolver para P0:

Se puede demostrar que si es infinita, entonces, no existe distribución de estado estable.

La razón más común para que no exista el estado estable es que la tasa de llegadas es por lo menos igual a la tasa máxima a la cual los clientes pueden ser atendidos.

j

j jC1

j

jjC

P

1

0

1

1

j

j jC1

Solución de las ecuaciones de balance de flujo (1)

67

Una vez obtenidas las probabilidades de los diferentes estados, podemos calcular:

El número promedio de clientes en el sistema: L = n=0, n Pn

La longitud promedio de cola: Lq = n=s, (n-s) Pn

El número de servidores s representa el número de clientes que pueden estar en servicio y no en la cola al mismo tiempo.


68

Además, usando las fórmulas de Little obtenemos:

El tiempo promedio que cada cliente permanece en el sistema: W = L / p

El tiempo promedio que cada cliente permanece en la cola:Wq = Lq / p


69

Otras fórmulas son:

El tiempo promedio de permanencia en el servicio:Ws = Ls / p

La relación entre los tiempos es: W = Wq + Ws (L = Lq + Ls )

El factor de utilización: = p/s


70

El promedio de las tasas de llegada para todos los estados, ponderada por la probabilidad de cada estado:

p = j=0, j Pj

Cuando j = para todos los estados posibles del sistema, tendremos: p =


71

4. Modelo de colas con población infinita

4.1 Modelo de colas con población infinita y un servidor

4.2 Modelo de colas con población infinita y varios servidores

72

0 1 2 n-1 n n+1... ...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/1:DG/∞/∞)

λ λ λ λλλ

µ µ µµµµ

Los parámetros del modelo son:

Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... ,

Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ... ,

Modelo de colas con población infinita y un servidor - M/M/1:DG// (1)

73

El factor de utilización del servidor: = /

Si > 1 entonces se forma una cola infinita.

Si < 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable.

Cn = i=1,n (i-1/i) = (/)n = npara n = 1, 2, 3, ... ,


74

La probabilidad de hallar el sistema vacío, es:

P0 = [1 + n=1, Cn]-1 = [1 + n=1, n]-1 = [n=0, n]-1 = 1 –

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:

Pn = Cn P0 = (1 – )n para n = 1, 2, 3, ... , La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es:

P(n 1) = 1 – P0 = La probabilidad de hallar k o más clientes en el sistema, es:P(n k) = k para k = 1, 2, 3, ... ,


75

El número promedio de clientes en el sistema, es:L = / ( – ) El número promedio de clientes en la cola, es:Lq = 2 / [ ( – )] El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = 1 / ( – ) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = / [ ( – )]


76

Problema 3.1La cola rápida del Supermercado Don Lucho atiende sólo clientes con 10 artículos o menos, y como resultado, es mucho más veloz para estos clientes que las colas normales. El gerente ha estudiado esta cola y ha determinado que los clientes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 30 por hora y que, el tiempo necesario para que un cliente sea atendido tiene una distribución Exponencial con media de 1 minuto.

a) Hallar los valores de μ y λ.b) En promedio, ¿a cuántos clientes se está atendiendo o están

esperando?c) En promedio, ¿cuánto debe esperar un cliente antes de poder

retirarse?


77

Problema 3.2En el mostrador de libros de la biblioteca de la Universidad de Huaura, los estudiantes que se retiran deben abrir sus mochilas, maletines, bolsas, portafolios, etc., para que el vigilante verifique si no hay robos de libros, revistas o documentos. El tiempo que se requiere para hacer esta verificación tiene una distribución Exponencial con media de 1 minuto. Se ha determinado que los estudiantes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 20 por hora.

a) Hallar los valores de y .b) ¿Qué tiempo le llevará a un estudiante pasar por la revisión?c) ¿En promedio, cuántos estudiantes se encuentran esperando en la

cola en cualquier momento?d) ¿Durante qué fracción de tiempo estará libre el vigilante que revisa

las bolsas para poder dedicarse a estudiar?


78

Los parámetros del modelo son:Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... , Servicio Exponencial n = n para n = 1, 2, 3, ... , s-1

n = s para n = s, s+1, s+2 , ... ,

0 1 2 n-1 n n+1... ...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/s:DG/∞/∞)

s-1 s ...s+1

λ λ λλλλ

µ 2µ sµ sµ sµ sµ

λ

3µ

λ

(s-1)µ

λ

sµ

Modelo de colas con población infinita y varios servidores - M/M/s:DG// (1)

79

El factor de utilización del servidor: = /s

Si > 1 entonces se forma una cola infinita.

Si < 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable.

Cn = (/)n / n! para n = 1, 2, 3, ... , s-1

Cn = (/)n / (s! sn-s) para n = s, s+1, s+2, ... ,


80


P0 = { [n=0, s-1 (/))n / n!] + [((/))s / (s! (1 – ))] }-1


Pn = [(/)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1

Pn = [(/)n / (s! sn-s)] P0 para n = s, s+1, s+2, ..., La probabilidad de hallar el sistema ocupado, es:

P(n s) = (/)s P0 / [s!(1 – )]


81

El número promedio de clientes en la cola, es:Lq = { (s)s / [(1 – )2 s!] } P0

El número promedio de clientes en el sistema, es:L = Lq + s El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = L /


82

Problema 3.3El autocinema Miramar tiene tres taquillas, cada una de las cuales atiende una cola de clientes. Los automóviles llegan al autocinema de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 90 por hora y cada taquilla tiene un tiempo de atención de acuerdo a una distribución Exponencial con media de 1.5 minutos.

a) ¿Qué tipo de modelo de colas es éste?b) ¿Cuál es la probabilidad de que, si consideramos una sola de las taquillas, se

encuentre desocupada? ¿Cuál es la probabilidad de que se esté atendiendo a tres automóviles?

c) ¿Cuál es el número promedio de automóviles en cada una de las taquillas?d) ¿Cuál es el tiempo promedio que un automóvil espera antes de llegar a la taquilla?e) Si el autocinema decide utilizar una sola cola para la venta de todos los boletos en

las tres taquillas, ¿qué característica de operación esperaría usted que cambiara más?


83

Problema 3.4Un laboratorio de la ciudad está planeando ofrecer un servicio al público en general. Este servicio consistirá en dar información médica sobre diversos temas a las personas que marquen el número de información. Las llamadas telefónicas se realizan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 40 por hora. Una operadora de la central telefónica contestará a las personas que llamen e intentará responder sus preguntas. El tiempo de atención de la operadora se ajusta a una distribución Exponencial con media de 6 minutos. El laboratorio desea que la probabilidad de que las personas que llamen encuentren ocupada la línea telefónica, sea a lo más 0.1%. Para ello se ha decidido aumentar el número de las líneas de la central telefónica. Se supone que habrá una operadora por línea telefónica.

Calcule el número de líneas telefónicas necesarias para alcanzar el nivel de atención deseado.


84

Debe existir un equilibrio entre el COSTO DE proporcionar un buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

Lo deseable es que las colas sean lo suficientemente cortas con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.

Sin embargo, se debe evaluar la longitud en la fila de espera, para obtener ahorros significativos en el COSTO DEL SERVICIO.

5. Análisis económico de los modelos de cola (1)

85

Equilibrio entre Costos de espera y Costos de servicio

Nivel Óptimo de Servicio Nivel de Servicio

Costo por TIEMPO DE ESPERA

Costo por proporcionar el

SERVICIO

Costo

Costo Total Mínimo

COSTO TOTAL ESPERADO


86

Los costos de servicios se incrementan si se mejora el nivel de servicio. Un centro de servicio puede variar su capacidad teniendo personal o máquinas adicionales que son asignadas para incrementar la atención cuando crecen excesivamente los clientes.

• En supermercados se habilitan cajas adicionales cuando es necesario.

• En bancos y puntos de chequeo de aeropuertos, se contrata personal adicional para atender en ciertas épocas del día o del año.


87

Cuando el servicio mejora, disminuye el costo de tiempo perdido en las filas de espera.

Este costo puede reflejar pérdida de productividad de los empleados que están esperando que compongan sus equipos o puede ser simplemente un estimado de los clientes perdidos a causa de mal servicio y colas muy largas.

En ciertos servicios el costo de la espera puede ser intolerablemente alto.


88

Costo de servicio = E(CS)Costo horario de un servidor = cs

Número de servidores = s

E(CS) = (cs)(s)


89

Costos de espera = E(CE)Costo horario de un cliente espera en la cola = ce

Tamaño esperado de la cola = Lq

E(CE) = (ce)(Lq)


90

Problema 3.5

La compañía arrendadora de automóviles LimaCar opera su propia instalación de lavado y limpieza de automóviles para prepararlos para su renta. Los automóviles llegan a la instalación de limpieza de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por día. La compañía ha determinado que los automóviles pueden limpiarse a un ritmo de 2n por día, en donde n es el número de personas que trabajan en un automóvil. Este procedimiento de lavado se ajusta a la distribución Exponencial. La compañía les paga a sus trabajadores I/.30.00 por día y ha determinado que el costo por un automóvil que no esté disponible para rentarlo es de I/.25.00 por día.

a) ¿Calcule el número de empleados que deben contratarse en la instalación de lavado, para que produzca el menor costo?

b) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el número de empleados que

eligió.


91

Problema 3.5 (continuación)

Ahora, LimaCar está considerando añadir un taller de lavado para incrementar su negocio. La nueva tasa media de llegadas es de 8 automóviles por día, en tanto que la tasa de lavado para cada taller será la misma. La compañía ha determinado que el costo adicional de las nuevas instalaciones es I/.50.00 por día.

c) Bajo estas nuevas condiciones, determine si la compañía LimaCar debe añadir la instalación adicional o no.

d) Calcule los valores de P0, Pn, L, Lq, W y Wq para el plan que tenga el menor costo.


92

6.1 Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor

6.2 Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores

6. Modelo de colas con capacidad limitada

93


Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... , c-1

Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ... , c

0 1 2 c-2 c-1 c...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/1:DG/c/∞)

λ λ λ λλλ

µ µ µ µ µµ

Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y un servidor - M/M/1:DG/c/ (1)

94

El factor de utilización del servidor: p/

Si = p/ 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable.

Cn = (/)n = n para n = 1, 2, 3, ... , c

Cn = 0 para n = k+1, k+2, ... ,


95


P0 = (1 – ) / (1 – c+1)


Pn = [(1 – ) / (1 – c+1)] n para n = 1, 2, 3, ..., c

La tasa media de llegadas al sistema, es:

p = (1 – Pc)


96

El número promedio de clientes en el sistema, es:L = [ / (1 – )] – [ (c+1) c+1 / (1 – c+1)] El número promedio de clientes en la cola, es:Lq = L – (1 – P0) El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [ (1 – Pc)] El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = L / [ (1 – Pc)]


97

Para = 1:


Pn = 1 / (c + 1) para n = 0, 1, 2, 3, ..., c

El número promedio de clientes en el sistema, es:

L = c/2

Las demás fórmulas siguen siendo válidas.


98


Llegadas Poisson n = para n = 0, 1, 2, ... , c-1

Servicio Exponencial n = c para n = 1, 2, 3, ... , s-1

n = s para n = s, s+1, s+2, ..., c

0 1 2 c-1 c...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/s:DG/c/∞)

s-1 s ...s+1

λ λ λλλ

µ 2µ sµ sµ sµ

λ

3µ

λ

(s-1)µ

λ

sµ

Modelo de colas con capacidad limitada, población infinita y varios servidores - M/M/s:DG/c/ (1)

99

El factor de utilización del servidor: p/s

Si = p/s 1 entonces el sistema de colas alcanzará la condición de estado estable.

Cn = (/)n / n! para n = 1, 2, 3, ... , s-1

Cn = (/)n / [s! sn-s ] para n = s, s+1, s+2, ... , c

Cn = 0 para n = c+1, c+2, ... ,


100

La probabilidad de hallar el sistema vacío, es:P0 = { 1 + [n=1, s-1 (/))n / n!] + [(/))s / s!] n=s, c )n-s }-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = [(/)n / n!] P0 para n = 1, 2, 3, ..., s-1Pn = [(/)n / (s! sn-s)] P0 para n = s, s+1, s+2, ..., c

La tasa media de llegadas al sistema, es:p = (1 – Pc)


101

El número promedio de clientes en la cola, es:Lq = [P0(/)s / [s! (1 – )2]] [1 – c-s – (c – s) c-s (1 – )] El número promedio de clientes en el sistema, es:L = n=0,s-1 n Pn + Lq + s(1 – n=0,s-1 Pn) El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:W = L / [ (1 – Pc)] El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [ (1 – Pc)]


102

Los parámetros del modelo son:Llegadas Poisson n = λ para n = 0, 1, 2, ..., Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ...,

0 1 2 ...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/∞:DG/∞/∞)

n-1 n ...n+1

λ λ λλ

µ 2µ sµ (s+1)µ

λ

3µ

λ

(s-1)µ

λ

(s+2)µ

7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/∞:DG/∞/∞ (1)

103


Pn = (λ/µ)n e-λ/µ / n! para n = 0, 1, 2, 3, ... ,


L = /El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:

W = 1/

7. Modelo de colas con servidores infinitos - M/M/∞:DG/∞/∞ (2)

104

8. Modelo de colas con población finita

8.1 Modelo de colas con población finita y un servidor

8.2 Modelo de colas con población finita y varios servidores

105

Los parámetros del modelo son:Llegadas Poisson n = (k – n) λ para n = 0, 1, 2, ..., k-1Servicio Exponencial n = para n = 1, 2, 3, ..., k

0 1 2 k-2 k-1 k...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/1:DG/k/k)

kλ (k-1)λ (k-2)λ λ2λ3λ

µ µ µ µ µµ

Modelo de colas con población finita y un servidor - M/M/1:DG/k/k (1)

106

Cn = k! (λ/)n / (k – n)! para n = 1, 2, 3, ..., k La probabilidad de hallar el sistema vacío, es:P0 = [n=0,k k! (λ/)n / (k – n)! ]-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = k! (λ/)n P0 / (k – n)! para n = 1, 2, 3, ..., k

La tasa media de llegadas al sistema, es:p = λ(k – L)


107

El número promedio de clientes en el sistema, es:L = k – (1 – P0) / λ El número promedio de clientes en la cola, es:Lq = k – (λ + ) (1 – P0) / λ El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es:W = L / [λ(k – L)] El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es:Wq = Lq / [λ(k – L)]


108


Llegadas Poisson n = (k – n)λ para n = 0, 1, 2, ..., k-1

Servicio Exponencial n = n para n = 1, 2, 3, ..., s-1

n = s para n = s, s+1, s+2, ..., k

0 1 2 k-1 k...

Modelo de nacimiento y muerte(M/M/s:DG/k/k)

s-1 s ...s+1

kλ (k-1)λ λ(k-s)λ(k-s+1)λ

µ 2µ sµ sµ sµ

(k-2)λ

3µ

(k-s+2)λ

(s-1)µ

2λ

sµ

(k-s-1)λ

Modelo de colas con población finita y varios servidores - M/M/s:DG/k/k (1)

109

Cn = k! (λ/)n / (k – n)! n! para n = 1, 2, 3, ..., s-1Cn = k! (λ/)n / (k – n)! s! sn-s para n = s, s+1, s+2, ..., k La probabilidad de hallar el sistema vacío, es:P0 = { n=0,s-1 (λ/)n k! / [(k – n)! n!]

+ n=s,k (λ/))n k! / [(k – n)! s! s(n-s)]}-1

La probabilidad de hallar n clientes en el sistema, es:Pn = k! (λ/)n P0 / [(k – n)! n!] para n = 1, 2, 3, ..., s-1Pn = k! (λ/)n P0 / [(k – n)! s! sn-s] para n = s, s+1, s+2, ..., kLa tasa media de llegadas al sistema, es:p = λ(k – L)


110


L = n=0,s-1 n Pn + n=s,k (n – s) Pn + s (1 – n=0,s-1 Pn)

El número promedio de clientes en la cola, es:

Lq = n=s,k (n – s) Pn

El tiempo promedio que pasa un cliente en el sistema, es:W = L / [λ(k – L)]

El tiempo promedio que pasa un cliente en la cola, es:

Wq = Lq / [λ(k – L)]


111

9. Redes de colas

9.1 Modelo de colas en serie

9.2 Redes abiertas

9.3 Redes cerradas

112

En los modelos de líneas de espera tratados hasta este momento, un tiempo de servicio completo al cliente transcurre en un solo servidor.

En muchas situaciones el servicio no se completa hasta que el cliente ha sido atendido por más de un servidor.

Un sistema como este se denomina modelo de colas de k etapas en serie.

Modelo de colas en serie (1)

113

Teorema.- Si (1) los tiempos de espera entre llegadas para un sistema de líneas de espera en serie son exponenciales con tasa λ, (2) los tiempos de servicio por cada servidor de la etapa i son exponenciales, y (3) cada etapa tiene una sala de espera de capacidad infinita, entonces los tiempos entre llegadas para las llegadas a cada etapa del sistema de líneas de espera son exponenciales con tasa λ.

Modelo de colas en serie (2)

114

Las redes abiertas de líneas de espera son una generalización de las líneas de espera en serie. Suponga que la estación j consiste de sj servidores exponenciales, cada operando a una tasa μj.

Se supone que los clientes llegan a la estación j desde afuera del sistema de colas a una tasa rj.

También se supone que estos tiempos entre llegadas se apegan a una distribución exponencial.

Redes abiertas (1)

115

Una vez que se completa el servicio de la estación i, un cliente se forma en la cola de la estación j con probabilidad pij y termina el servicio con probabilidad

kj

jijp

1

1

Redes abiertas (2)

116

Definamos λj, la tasa a la cual los clientes llegan a la estación j.

λ1, λ2,… λk se pueden determinar al resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

Esto se infiere porque una fracción pij de las llegadas λi a la estación i llegarán luego a la estación j.

Suponga que siµj > λj se cumple para todas las estaciones.

),...,2,1(1

kjprki

iiijjj

Redes abiertas (3)

117

Entonces, se puede demostrar que la distribución de probabilidad del número de clientes presentes en la estación j y el número de clientes esperados en la estación j se puede determinar si se trata a la estación j como un sistema (M/M/sj:DG/∞/∞) con tasa de llegadas λj y tasa de servicio µj.

Si para alguna j, sj µj≤ λj, entonces no existe distribución de estado estable de los clientes.

Redes abiertas (4)

118

Observar que la cantidad de clientes presentes en cada estación es una variable aleatoria independiente.

Es decir, conocer la cantidad de personas en todas las estaciones que no son la estación j no nos dice nada respecto a la distribución del número de personas en la estación j.

Este resultado no se cumple en el caso de que no sean exponenciales los tiempos entre llegadas o los tiempos de servicio.

Redes abiertas (5)

119

Para determinar L, el número esperado de clientes en el sistema de colas, sume el número esperado de clientes presentes en cada estación.

Para determinar W, el tiempo promedio que un cliente pasa en el sistema, aplique la fórmula L = λW a todo el sistema.

Aquí λ = r1 + r2 + … + rk porque representa la cantidad promedio de clientes por unidad de tiempo que llega al sistema.

Redes abiertas (6)

120

μ1 = 40s1 = 1

r1 = 10

μ2 = 50s2 = 1

r2 = 15

μ3 = 30s3 = 1

r3 = 3

p12 λ1 = 0.5λ1

p23 λ2 = 0.2λ2

p32 λ3 = 0.5λ3

(1 - p12 - p13) λ1 = 0.2λ1

(1 – p21 – p23) λ2 = 0.5λ2

p21 λ2 = 0.3λ2

(1 – p31 – p32) λ3 = 0.1λ3p31 λ3 = 0.4λ3

p13 λ1 = 0.3λ1

121

Sistema de ecuaciones:

λ1 = r1 + p21 λ2 + p31 λ3 = 10 + 0.3 λ2 + 0.4 λ3

λ2 = r2 + p12 λ1 + p32 λ3 = 15 + 0.5 λ1 + 0.5 λ3

λ3 = r3 + p13 λ1 + p23 λ2 = 3 + 0.3 λ1 + 0.2 λ2

Solución:

λ1 = 30 clientes / hora



L1 = 3 clientes

L2 = 4 clientes

L3 = 2 clientes

W = (L1 + L2 + L3) / (r1 + r2 + r3)

W = (9 / 28)*60 = 19 minutos

122

Para una red de computadoras ocupada, sería conveniente suponer que tan pronto como un trabajo deja el sistema, otro trabajo llega a reemplazarlo.

Sistemas donde hay una cantidad de trabajos presente, se podría modelar como redes cerradas de líneas de espera.

Como la cantidad de trabajos en el sistema siempre es constante, la distribución de trabajos en servidores distintos no puede ser independiente.

Redes cerradas (1)

123

El algoritmo de Buzen puede ser usado para determinar probabilidades de estado estable para redes cerradas de líneas de espera.

Sea λj igual a la tasa de llegadas para el servidor j.

Como no hay llegadas externas, podríamos hacer todas las rj=0 y obtener los valores de λj a partir de la ecuación usada en el caso de las redes abiertas.

Esto es,

si

iijij sjP

1

),...2,1(

Redes cerradas (2)

124

Como los trabajos nunca dejan el sistema, por cada I,

Este hecho causa que la ecuación en la diapositiva anterior no tenga solución única.Por fortuna, podemos usar cualquier solución para obtener las probabilidades de estado estable.Si definimos entonces determinamos, para cualquier estado n su probabilidad de estado estable πN(n) a partir de la siguiente ecuación

11

sj

j ijP

i

iip

)()(

21

21

NG

snn

nn

N

n

Redes cerradas (3)

125

Aquí,

El algoritmo de Buzen proporciona una manera eficaz para determinar (en una hoja de cálculo) G(N).

Una vez que tenemos las probabilidades de estado estable, calculamos con facilidad otros medidas de efectividad .

N

s

Sn

nn

nnNG 21

21)(

Redes cerradas (4)

126

10. Modelos de colas con distribución de servicio no exponencial

10.1Modelo de colas con distribución de servicio general

10.2 Modelo de colas con distribución de servicio determinística

10.3 Modelo de colas con distribución de servicio Erlang

127

Llegadas Poisson con media 1/Servicio con media 1/ y varianza σ2

El factor de utilización del servidor: = / < 1


P0 = 1 –

Modelo de colas con distribución de servicio general - M/G/1:DG// (1)

128


Lq = [2 σ2 + 2] / [2 (1 – )]


L = + Lq

El tiempo promedio que espera un cliente en la cola, es:

Wq = Lq /

El tiempo promedio que espera un cliente en el sistema, es:

W = Wq + 1/


129

Problema 3.6

El jefe de la oficina de admisión de una Escuela de Negocios, maneja solicitudes de ingreso a la Maestría en Administración de Negocios sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende. Estas solicitudes llegan de acuerdo a un proceso Poisson con tasa media de 5 por día. La distribución de probabilidad en los tiempos de servicio es tal que la desviación estándar es 1/10 de día y la media es 1/9 de día. ¿Cuál es el tiempo promedio que una solicitud espera para ser procesada? En promedio, ¿cuántas solicitudes están en espera de ser procesadas en cualquier momento?


130

Llegadas Poisson con media 1 / Servicio con media 1/ y varianza σ2 = 0



P0 = 1 –

Modelo de colas con distribución de servicio determinística - M/D/1:DG// (1)

131


Lq = [2] / [2 (1 – )]


L = + Lq


Wq = Lq /


W = Wq + 1/

Modelo de colas con distribución de servicio determinística - M/D/1:DG// (2)

132

Llegadas Poisson con media 1 / Servicio con media 1/ y varianza σ2 = 1 / (k2)



P0 = 1 –

Modelo de colas con distribución de servicio Erlang - M/Ek/1:DG// (1)

133


Lq = [(1 + k) / 2k] [2] / [ ( – )]


L = + Lq


Wq = Lq /


W = Wq + 1/

Modelo de colas con distribución de servicio Erlang - M/Ek/1:DG// (2)

134

11. Modelos de colas con disciplina de prioridades

11.1Modelo de colas con prioridad adquirida

11.2 Modelo de colas sin prioridad adquirida

135

Modelo de colas con prioridad adquirida (1)

Llegadas Poisson i para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N)

Servicio Exponencial Número de servidores en paralelo s

= n=1, N i

Las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando

= / s < 1

136

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en la cola, es:

Wqk = 1 / (A Bk-1Bk) para k = 1, 2, 3, ..., N

Donde:

A = s! [(sμ - λ)/(sρs] (∑j=0,s-1 (sρ j / j!) + sμ

B0 = 1

Bk = 1 - (∑i=1,k λi) / sμ para k = 1, 2, 3, ..., N


137

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en el sistema, es:

Wk = Wqk + 1 / μ para k = 1, 2, 3, ..., N

El número promedio de clientes de la clase de prioridad k en el sistema, es:

Lk = λk Wk para k = 1, 2, 3, ..., N

El número promedio de clientes de la clase de prioridad k en la cola, es:

Lqk = λk Wqk para k = 1, 2, 3, ..., N


138

Llegadas Poisson i para la prioridad de clase i (i = 1, 2, 3, ..., N)

Servicio Exponencial Número de servidores en paralelo s

= n=1, N i

Las siguientes ecuaciones son válidas sólo cuando

= / s < 1

Modelo de colas sin prioridad adquirida (1)

139

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en el sistema, es:

Wk = 1 / (μ Bk-1Bk) para k = 1, 2, 3, ..., N

Donde:

B0 = 1

Bk = 1 - (∑i=1,k λi) / sμ para k = 1, 2, 3, ..., N


140

El tiempo promedio que pasa un cliente de la clase de prioridad k en la cola, es:

Wqk = Wk - 1 / μ para k = 1, 2, 3, ..., N

El número promedio de clientes de la clase de prioridad k en el sistema, es:

Lk = λk Wk para k = 1, 2, 3, ..., N

El número promedio de clientes de la clase de prioridad k en la cola, es:

Lqk = λk Wqk para k = 1, 2, 3, ..., N


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