3.POLINOMIS

3.1. Expressions algebraiques• Una expressió algebraica és un

conjunt de nombres i lletres lligats per operacions aritmètiques.

• Exemples:

4

3

3 9

4

x xy

a b

ab

4yx3 + 7x2 – y3 +12

termes coeficients

part literalterme independent o constant

Termes, coeficients, part literal i terme independent d’una expressió algebraica

Valor numèric d’una expressió algebraica

• El valor numèric d’una expressió algebraica és el valor que s’obté en substituir les lletres per nombres donats.

• Exemple: Valor numèric de 2a2- 6a + 10 quan a =

2

2a2- 6 a+10

substituïm la a per 2

·2·22

calculem

= 6

El valor numèric de 2a 2- 6a + 10 quan a = 2 és 6

i si a és igual a 0?i si a és igual a 1? I a -1?

3.2 Polinomis• Monomi expressió algebraica formada per

un únic terme (amb exponents naturals)

2a xy2zEl grau d’un monomi és la suma dels graus de la part literal

2b4grau 6 grau 4

• Monomis semblants són aquells que tenen la part literal igual

3x5y2 i -5x5y2 ab3 , 4ab3 i -2b3a

No són monomis

x -2y a2 z-3xb

Grau d’un polinomi

• El grau d’un polinomi és el grau més gran dels graus dels seus monomis.

yx4 – + x4 + 58xy2z3 grau 6

- 8x6 + x5 + 4x - 7-x8 grau 8

Un polinomi és la suma o resta de monomis

3x2y + y7 – 4xy bc – a2 + 45

polinomis

d’una variable de varies variables

x3+5x

-8y7+y4-5y+40

a3b+ 4a8- b2a2

zx4y+8xy-xy2

3.3 Operacions amb polinomis

•Suma i resta : sumem o restem els monomis semblants

( - 5x3 + x -123x4 ) + (x4 - 2+ 2x+ 3x3 ) =

4x4 - 2x3+ 3x-14

( - 5x2 +x -123x4 ) - (x4 - 2+ 2x+3x3 ) =

2x4 - 5x2- x-10 -3x3

= 2x4 – 3x3 – 5x2 – x -10

ordenem

= =

• Producte de monomis: multipliquem els coeficients per una banda i per l’altre la part literal.

4xy3 •10 x2y2= 40x3y5

4 · 10xy3 · x2y2

recorda que per multiplicar potències de la mateixa base sumem els exponents

•Producte de polinomis: hem de multiplicar tots els monomis d’un per tots els monomis de l’altre, tot aplicant la propietat distributiva.

(3x2 + 2x + 4) (x2 – 6x + 3) =

3x4 -18x3 +9x2 +2x3 -12x2 +6x +4x2 -24x +12

3x4

sumem monomis equivalents i ordenem

= -16 x3 +x2 -18x +12

• Una altre manera de fer el mateix

3x2 + 2x + 4x2 – 6x + 3

3x4 -18x3

9x2

2x3-12x2

6x

4x2 -24x

12

3x4 -16x3 + x2 -18x+12

• Quocient de monomis: Dividim els coeficients per una banda i per l’altre la part literal.

4x4 y3 : 2 x2y2=2 x2y

4:2x4 y3 : x2y2

10x y3

xy2= 10y

• Divisió d’un polinomi per un monomi: dividim tots els termes del polinomi entre el monomi.

(2x3+4x2 – 6x) : 2x= x2+2x-3

2x3:2x4x2:2x-6x:2x

x4 y2 z

4x2y

+ 4 x2 y+ 8 x2 y2

= x2yz+1+4y14