REPÀS DE POLINOMIS Regla de Ruffini

1. Demostra, mitjançant el mètode de Ruffini, que el polinomi 3 2( ) 3 12 12 48p x x x x= − − + . Indica el quocient i el residu de cada divisió.

a) És divisible per ( ) 4q x x= − b) És divisible per ( ) 2r x x= + c) No és divisible per ( ) 4u x x= +

Teorema del residu El valor numèric d’un polinomi per a x a= coincideix amb la resta de la divisió d’aquest polinomi entre x a− . 1. Donat 2( ) 2 1p x x x= − + , calcula ( )p a per als valors de 1a = , 1a = − i 2a = . Fes-ho de dues maneres:

a) substituint el valor d’a. b) dividint per x a− aplicant el mètode de Ruffini.

Solucions: (1) 2, ( 1) 4, (2) 7p p p= − = =

2. Donat el polinomi 3 2( ) 2 3 6 2p x x x x= + − − comprova substituint, que ( 4) 58p − = − . És segur que la divisió de ( ) : ( 4)p x x + dóna –58 de resta? El polinomi x+4 és divisor de p(x)? Efectua la divisió i fes la prova de la divisió.

3. Calcula a per a que el polinomi 3 2( ) 1p x x x ax= + − + , dividit entre el polinomi

( ) 1q x x= + , doni residu 0. Solució: a=-1

Teorema del residu (II). 1. Divideix pel mètode de Ruffini:

a) ( ) ( )3 22 11 3 41 : 5x x x x+ − − +

b) ( ) ( )6 5 4 3 26 14 9 2 24 24 35 : 2x x x x x x x− + − − + − −

c) ( )3 2 13 5 2 :3

x x x x⎛ ⎞− + − −⎜ ⎟⎝ ⎠

Solucions: a) Residu: -1 b) Residu: -19 c) Residu: –17/27

2. Mitjançat el teorema del residu, comprova si és veritat o no que 3x = és solució de l’equació

5 4 3 26 19 4 8 17 6 0x x x x x− + − + − =

3. Mitjançat el teorema del residu, comprova si és veritat o no que 4x = − és solució de

l’equació

6 5 4 3 22 12 11 25 19 2 23 0x x x x x x+ + − − − − = Divisibilitat de polinomis (I). Direm que el polinomi p(x) és divisible pel polinomi q(x) quan la divisió entera ( ) ( )p x q x doni residu 0. Equivalentment, direm que el polinomi p(x) és un múltiple del polinomi q(x). Equivalentment, direm que el polinomi q(x) és un divisor del polinomi q(x).

1. Demostra que el polinomi 3 2( ) 11 35 25p x x x x= − + − a) És un múltiple del polinomi ( ) 5q x x= − . b) És un múltiple del polinomi 2( ) 6 5r x x x= − +

2. Demostra, mitjançant el mètode de Ruffini, que el polinomi

3 2( ) 3 12 12 48p x x x x= − − + d) És divisible per ( ) 4q x x= − e) És divisible per ( ) 2r x x= + f) És divisible per ( ) 2s x x= − g) No és divisible per ( ) 1t x x= − h) No és divisible per ( ) 4u x x= +

Identitats notables

( )( )

))((2

2

22

222

222

bababaabbaba

abbaba

−+=−

−+=−

++=+

1. Desenvolupa les següents expressions:

( )( )( )( )3434)

53)

32)2

2

+−

−

+

xxcxb

xa

Solucions:

916)30259)1294) 222 −−+++ xcxxbxxa

2. Expressa com un quadrat d’una suma o d’una diferència aquestes expressions: a) 2 6 9x x+ + b) 24 12 9a a+ + c) 24 4 1x x− + d) 4 22 1x x− + e) 2 10 25x x− + f) 4 26 9b b+ + g) 2552 ++ xx

Solucions:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )possibleésNog

bfxexdxcabxa)

3)5)1)12)32)3) 22222222 +−−−++

3. Expressa com a suma per diferència les expressions següents:

a) 24 25x − b) 4 29 16a b− c) 216 25x− Solucions: ( )( ) ( )( ) ( )( )xxcbababxxa 5454)4343)5252) 22 +−+−+−

Potència d’un binomi

1. Desenvolupa: ( )

( ) 1510105:1)

1632248:)2()16128:12)

23455

2344

233

−+−+−−

+++++

−+−−

xxxxxSolucióxc

xxxxSolucióxbxxxSolucióxa

Arrels d’un polinomi-Divisibilitat per x-a (I). Un nombre a s’anomena arrel del polinomi p(x) si ( ) 0p a =

Corol·lari al teorema del residu:

a és una arrel de p(x) si i només si p(x) és divisible per x a−

1. Troba les arrels enteres d’aquests polinomis: a) 3 27x − b) 4 1x − c) 4 1x + d) 35 35 30x x− +

2. Quines arrels té el polinomi 1( ) 5 ( 2)3

p x x x x⎛ ⎞= + −⎜ ⎟⎝ ⎠

?

Solució: x=0, x=-2, x=1/3

Factorització de polinomis 1. Indica les arrels dels següents polinomis i factoritza’ls.

a) 2 2x x+ − b) 3 23 6 8x x x+ − − c) 2 4 4x x− + d) 4 3 27 5 31 30x x x x+ + − −

Solucions:

a) Arrels: x=1, x=-2 p(x)= ( 1)( 2)x x− + b) Arrels: x=-1, x=2 I x=-4 p(x)= ( 1)( 2)( 4)x x x+ − + c) Arrels: x=2 doble P(x)=(x-2)2

d) Arrels: x=-3, x=-1, x=-5 i x= 2 p(x)= ( 3)( 1)( 5)( 2)x x x x+ + + −

2. Indica les arrels dels següents polinomis i posa’ls com a producte de factors de primer grau :

a) 4 225x x− b) 3 212 36x x x+ + c) 4 3 28 4x x x x− + − d) x4+x2-20 Solucions:

a) Arrels x=0 doble, x=5 i x=-5 p(x)=x2(x-5)(x+5) b) Arrels x=0 I x=-6 doble P(x)=x·(x-6)2 c) Arrel x=0 p(x)= x(x3-x2+8x-4) d) Arrels: x=2 I x=-2 p(x)=(x-2)(x+2)(x2+5)

Simplificació de fraccions algebraiques . 1. Simplifica les següents fraccions algebraiques:

a) 3 2

3 2

2 23 3

x x xx x x− − +

+ − − Solució: 2

3xx−

+

b) 2

2

2 7 36

x xx x− +

− − Solució: 2 1

2xx−

+

c) xx

x525

2

2

−

− Solució:xx 5+

d) 16882

2

23

++

−−

xxxxx Solució: ( )

42

−

+

xxx

2. Simplifica les següents fraccions algebraiques:

a) 2 11

xx+

−

b) 3 2

2

3 31

x x xx

− + −

−

c) 23 6 92 6x xx− −

−

d) 2

3 2

2 2 122 16 24x x

x x x− −

+ − −

e) 5 3

7 4

x xx x−

+

Suma i resta de fraccions algebraiques .

1.Realitza la següent suma:

2 2

2 6 53 4 3

x xx x x x

+ +− =

− − + Solució: 2

( 1)xx x+

−

3. Efectua i simplifica:

a) 2

1 21 1

xx x+

− =− −

Solució:( )( ) ( )( ) 1

111)1(

111

−

−=

−+

+−=

−+

−−

xxxx

xxx

b) 2

1 1 22 1x

x x x x−

+ − =+ +

Solució:( )( )21

32 2

++

+−−

xxxxx

Multiplicació i divisió de fraccions algebraiques . 4. Calcula el següent producte:

2

3 2

13 3 2x xx x x

−⋅ =

+ + Solució: 1

3 ( 2)xx x−

+

5. Calcula el següent quocient:

22 :1 5x x x

x x+

=+ +

Solució: 2

2( 5)( 1)xx+

+