Unitat 3: Polinomis1. Introducció

2. Monomis

a) Nomenclatura

b) Grau d'un monomi

c) Monomis semblants

3. Polinomis

a) Nomenclatura

b) Grau d'un polinomi

4. Valor numèric d'un polinomi

5. Operacions amb monomis

6. Suma i resta de polinomis

7. Producte de polinomis

8. Identitats notables

1. IntroduccióParts de les matemàtiques que coneixeu:

-Treball amb nombres, operacions,jerarquia, etc.

-Treball amb figures planes i cossos,al pla o a l'espai.

-Treball amb relacions de dependènciaentre nombres: funcions.

-Treball amb dades: recopilació,representació i interpretació.

-Treball amb nombres desconeguts,que substituïm per lletres: x, y, z, a, b,...

Àlgebra

Estadística i probabilitat

Anàlisi

Geometria

Aritmètica

2. Monomis

Un monomi és una expressió algèbrica formada pel

producte entre un nombre racional conegut (el coeficient) i

una o més lletres elevades a un exponent natural (la part

literal).x2 y7Són monomis o no?

9xt

4xy2 23a

3

x2

3x2+ 4x 5 √ x

7x1x

-Les lletres o incògnites no poden trobar-se al denominador, ni estar

elevades a un nombre que no sigui natural.

-No poden aparèixer ni sumes ni restes.Exercici 9 pàg.65

2. Monomis

El grau és la suma de tots els exponents de la part literal.

a) Nomenclatura Monomi de grau 4(3+1=4)1

2b3 · h

Coeficient(el número)

Part literal(les lletres)

b) Grau d'un monomi

Si dos o més monomis tenen la mateixa part literal, direm que

són monomis semblants.

c) Monomis semblants

3x2−4x2 x2

3−53x2

Exercici 10, 1

1 i 13 pàg.65

3. Polinomis

El grau d'un polinomi és el grau més alt dels termes que el

formen.

a) Nomenclatura Polinomi de grau 4

11x3 y−7xy2+ 5x−13

Terme

b) Grau d'un polinomi

Exercici 14, 15, 16 pàg.66

Un polinomi és la suma indicada de diversos monomis no

semblants. ("poli"="molts", "mono"="un de sol")

Terme Terme TermeGrau 4 Grau 3 Grau 1 Grau 0

4. Valor numèric d'un polinomi

Exercici 5 i 6 pàg.64

El valor numèric d'un polinomi és el nombre o resultat que

s'obté en substituir les lletres per nombres determinats i

realitzar les operacions indicades.

Exemple: Trobar el valor numèric del següent polinomi per a x = 5.

3x2+ x+ 10

3 ·52+ 5+ 10=3 · 25+ 5+ 10=75+ 5+ 10=90

3 ·52+ 5+ 10

si x = 5

5. Operacions amb monomis

El producte o quocient d'un o més monomis és un monomi que té

com a coeficient el producte/quocient dels coeficients, i com a part

literal el producte/quocient de les parts literals.

a) Suma i resta:

b) Producte i quocient:

3x2+ 4x2

−9x2=−2x2

3a ·5b=(3 ·5)·(a ·b)=15ab

Dos monomis només es poden sumar si són semblants. En aquest

cas, sumarem o restarem els coeficients i deixarem la mateixa part

literal.

2a+ b−4a+ 2b=−2a+ 3bExercici 1 full monomis

5x2 ·2x3=(5 ·2)·( x2 · x3

)=10x5

Exercicis 2 i 3 full monomis

5. Operacions amb monomisc) La propietat distributiva:

3x ·(5x3−2x)

Si tenim un factor multiplicant un parèntesi, podem aplicar la

propietat distributiva "distribuint" aquest factor a cada un dels termes

de l'interior del parèntesi.

Exercici 5 full monomis

3x ·(5x3−2x)=3x ·5x3

−3x ·2x

3x ·5x3−3x ·2x=15x4−6x2

5. Operacions amb monomisd) Extracció de factor comú:

15x4−6x2

Extreure factor comú d'una expressió algebraica és aplicar la

propietat distributiva a la inversa: mirarem quins factors comuns

ténen cada un dels termes, i els "extraurem" a fora d'un parèntesi.

Exercici 4 full monomis

3 ·5· x · x · x · x−3 ·2 · x · x

3 · x · x ·(5 · x · x−2)

3x2 ·(5x2−2)

6. Suma i resta de polinomisa) Suma:

P ( x)=5x3−1

Per sumar o restar polinomis, només ens caldrà sumar o restar els

termes semblants. Els disposarem en columnes, de grau major a menor.

Exemple: Q( x)=7x3−5x2

+ 3

P (x)+ Q( x)5x3

7x3−5x2

+ 3+

−1

12x3−5x2

+ 2

6. Suma i resta de polinomisb) Resta:

P ( x)=5x3−1

Cal recordar que restar és el mateix que sumar l'oposat. Així,

procedirem de la mateixa manera però sumant l'oposat del polinomi que

actua de subtrahend.

Exercici 21 pàg 67

Exemple: Q( x)=7x3−5x2

+ 3

P ( x)−Q ( x)5x3

−7x3+ 5x2

−3+

−1

−2x3+ 5x2

−4

7. Producte de polinomis

P ( x)=3x2−2x+ 7

Per multiplicar polinomis els disposarem també en columnes

ordenades, multiplicant cada terme del primer polinomi per cada terme del

segon polinomi, i reduint finalment els termes semblants.

Exercicis 26 i 27 pàg.68

Exemple: Q( x)=3x−5

P ( x) ·Q( x)

x

−15x2+ 10x−35

3x2−2x+ 7

3x−5

9x3−6x2

+ 21x

9x3−21x2

+ 31x−35

8. Les identitats notables

(a+ b)2=a2

+ b2+ 2ab

Demostració:

a) Quadrat de la suma

(a+ b)2=(a+ b)·(a+ b)=a ·a+ a ·b+ b· a+ b·b

a ·a+ 1a · b+ 1a · b+ b·b=a2+ b2

+ 2ab

Exemple:

(2x+ 3y)2=(2x)

2+ (3y)

2+ 2 ·2x ·3y=4x2

+ 9y2+ 12xy

8. Les identitats notables

(a−b)2=a2

+ b2−2ab

Demostració:

b) Quadrat de la diferència

(a−b)2=(a−b)·(a−b)=a ·a+ a ·(−b)−b ·a−b·(−b)

a ·a−a ·b−a ·b+ b ·b=a2+ b2

−2ab

Exemple:

(2x3−6x)

2=(2x3

)2+ (6x)

2−2 ·2x3 ·6x=4x6

+ 36x2−24x4

8. Les identitats notables

(a+ b)·(a−b)=a2−b2

Exercicis 30 pàg.69

Demostració:

c) Suma per diferència

(a+ b)·(a−b)=a · a+ a ·(−b)+ b ·a+ b ·(−b)

a ·a−1a · b+ 1a · b−b·b=a2−b2

Exemple:

(x+ 2y )·( x−2y)=( x)2−(2y)

2=x2

−4y2