3º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS

4.1Determinar una expresión general cuadrática para

definir el enésimo término en sucesiones numéricas y

figurativas utilizando el método de diferencias.

Recordando un poco.

En primero y segundo grados, se estudió las series de números que tenían entre ellos alguna similitud, siendo ésta, la guía para originar una expresión matemática.

Acordémonos:

Si consideramos los valores: ........................ - 1 1 3 5 7

y a cada uno le asignamos una posición: ...... 1 2 3 4 5

entonces, teniendo en cuenta la posición, es posible realizarle operaciones que nos proporcionen el valor propuesto.

Veamos: Si la posición 1 la multiplicamos por 3, nos da un valor de 3 y no de - 1;Si la posición 1 la multiplicamos por 3 y le restamos 4, nos da un valor de - 1.

¿será la expresión matemática correcta al cumplirse el valor?

Tomemos la posición 2, y hagámosle la misma operación. (3)(2) - 4 = 6 - 4 = 2. No nos proporcionó el valor de 1. Entonces, no es la expresión matemática correcta.

Cambiemos las operaciones.

Multipliquemos la posición 2, por 2 y restémosle 3. (2)(2) - 3 = 4 - 3 = 1

y con la posición 1. (2)(1) - 3 = 2 - 3 = -1

¡ES LA EXPRESIÓN CORRECTA! puesto que se cumplió en dos de los valores y en dos de las posiciones.

Si a las posiciones les llamamos "x" y a los valores, "y"; la expresión matemática quedaría:

y = 2x - 3

Grafiquemos la ecuación utilizando las posiciones y los valores.

PATRONES Y FÓRMULAS

x y

1 - 1

2 1

3 3

4 5

5 7 0 1 2 3 4 5

-10

12

34

56

7 y = 2x - 3

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Significado y uso de las literales.

Cualquier evento que se presente en la realidad, puede ser tratado de tal forma, que proporcione

una expresión matemática graficable.

BLO

QU

E 4

124


Veamos otra forma de cómo obtener la ecuación del mismo evento anterior, haciendo uso de Diferencias entre dos valores dados (un valor menos el anterior).

Cuando las diferencias son iguales, indican el grado que la ecuación del evento debe tener. En este caso, la primera diferencia fue toda igual y, por lo tanto, la ecuación del evento es de primer grado, "y = ax + b"Teniendo como guía la ecuación general, se sustituyen los valores y las posiciones en el lugar de las "equis" y de las "yes", respectivamente.

Por ejemplo: 3 = a(3) + b 7 = a(5) + b - 1 = ______________

5 = _____________ 9 = _____________ 1 = ______________

Si tomamos cualquier par de ecuaciones y, las procesamos como lo hacíamos en segundo grado:

3a + b = 3; b = 3 - 3a5a + b = 7; b = 7 - 5a entonces: 3 - 3a = 7 - 5a

5a - 3a = 7 - 3 2a = 4 a = 2 b = 7 - 5(2) = - 3

ECUACIÓN: y = 2x - 3

Para reafirmar lo aprendido, tomen otros pares de ecuaciones y apliquen el proceso anterior para confirmar que surge la misma ecuación antes lograda.

PRIMER PAR:

SEGUNDO PAR:

TERCER PAR:

Valor - 1 1 3 5 7Dif1 1- (- 1) = 2 2 2 2

125B

LOQ

UE 4

Habiendo obtenido la ecuación para la recta, se puede saber cuál es el valor del término que se desee.

Si se desea saber el valor del término que se encuentra en la décima posición, sólo se sustituye el valor en la ecuación, despejándose lo desconocido.

Así pues, Y = 2(10) - 3; Y = 20 - 3 = 17; por tanto, Y = 17 es el valor del décimo término.

Encuentren el valor del término que se solicita:

Décimo segundo término: ____________________ ____________________ _________

Décimo octavo término: ____________________ ____________________ _________

Vigésimo término: ____________________ ____________________ _________

Vigésimo tercer término: ____________________ ____________________ _________

Vigésimo noveno término: ____________________ ____________________ _________

Trigésimo cuarto término: ____________________ ____________________ _________

Cuadragésimo término: ____________________ ____________________ _________

Comprendido el ejemplo de una expresión de primer grado, vamos viendo otra serie de números, donde la igualdad de diferencias se presenta en el segundo proceso, lo cual debemos interpretarlo como indicador de una función de segundo grado "y = ax² + bx + c".

Posición 0 1 2 3 4 5

Valor 8 5 0 - 7 - 16 - 27

Dif1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 11

Dif2 - 2 - 2 - 2 - 2


Hagamos tres sustituciones de la posición y valor, como en el ejemplo de la hoja anterior. Se sugiere considerar aquellos más pequeños:

* 8 = a(0)² + b(0) + c 8 = c

* 5 = a(1)² + b(1) + 8 5 = a + b + 8 - 3 = a + b

* 0 = a(2)² + b(2) + 8 0 = 4a + 2b + 8 - 8 = 4a + 2b - 4 = 2a + b - 4 - 2a = b

Sustituyendo en el segundo renglón, el valor de "b":

- 3 = a + (- 4 - 2a) - 3 = a - 4 - 2a

2a - a = - 4 + 3

a = - 1 - 4 - 2(- 1) = b

- 4 + 2 = b

- 2 = b

ECUACIÓN

y = - x² - 2x + 8

126B

LOQ

UE

4

Si graficamos la ecuación y = 8 - 2x - x²

0 1 2 3 4 5

-30

-25

-20

-15

-10

-50

510

y

x

y = 8 - 2(0) - (0)² = 8 - 0 - 0 = 8

y = 8 - 2(1) - (1)² = 8 - 2 - 1 = 5

y = 8 - 2( ) - ( )² = 8 - _____ - _____ = 0

y = 8 - 2( ) - ( )² = 8 - _____ - _____ = ____

y = 8 - 2( ) - ( )² = 8 - _____ - _____ = ____

y = 8 - 2( ) - ( )² = 8 - _____ - _____ = ____

Como ves, la gráfica se compone por una cantidad de puntos que tienen un lugar según una posición y un valor dados. Por tanto, es posible encontrar el lugar donde se ubica un punto cuando se sustituye su valor y posición en los ejes de coordenadas.

Si las posiciones son - 3, - 2 ó - 1, ¿cuáles serán los valores asignados?

Posición - 3 _____________________ _____________________ ____________

Posición - 2 _____________________ _____________________ ____________

Posición - 1 _____________________ _____________________ ____________

¿Cuál será el lugar del punto cuya posición es 8? ................................ ____________

¿Cuál será el lugar del punto cuya posición es - 9? ................................ ____________

¿Cuál será el lugar del punto cuya posición es 23? ................................ ____________

¿Cuál será el lugar del punto cuya posición es - 11? .............................. ____________

ESPACIO PARA OPERACIONES:

Sentido numérico y pensamiento algebraico. Significado y uso de las literales.127

x y

0 8

1 5

2 0

3

4

5

BLO

QU

E 4

Existen expresiones matemáticas mucho más complicadas que dan origen a una gran variedad de estructuras, apoyos y eventos que benefician al ser humano.

Por ejemplo: una montaña rusa, es una diversión que se ofrece a poblaciones en muchas ciudades de nuestro planeta. Para construírla, es necesario tener una precisión matemática tal, que no dé el menor riesgo a quienes la usen, puesto que, son vidas humanas las que se verían afectadas.

Hagamos un ejemplo, donde las posiciones y valores sean tales, que nos proporcionen una curva que pudiera ser una parte de una montaña rusa. Obtén el valor de las diferencias de valores graficando los que se te proporcionan y realiza las operaciones necesarias para definir el grado de la ecuación que represente el evento matemático. De ser posible, hagan el ejercicio en el aula de medios, usando el programa Excel.

NOTA: CONDICIONES MODELOSi las diferencias 1 son iguales, la ecuación es de primer grado: y = ax + b

Si las diferencias 2 son iguales, la ecuación es de segundo grado: y = ax² + bx + c

Si las diferencias 3 son iguales, la ecuación es de tercer grado: y = ax³ + bx² + cx + d

Si las diferencias 4 son iguales, la ecuación es de cuarto grado: y = ______________

Si las diferencias 5 son iguales, la ecuación es de quinto grado: y = ______________


FORMATO DE LA ECUACIÓN:______________________

OPERACIONES

128

POSICIÓN VALOR Dif1 Dif2 Dif3 Dif4-

- 3 - 45 :::::: :::::: :::::: ::::::-

- 2.5 - 17 :::::: :::::: ::::::-

- 2 0 :::::: ::::::-

- 1.5 8 ::::::-

- 1 9-

- 0.5 6-

0 8-

0.5 - 6-

1 - 9-

1.5 - 8-

2 0-

2.5 17-

3 45

BLO

QU

E 4


GRÁFICA 50

- 10

- 20

40

30

20

10

0

- 50

- 40

- 30

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

129

BUSCANDO LA ECUACIÓN: y = ax³ + bx² + cx + d (tercera diferencia)

* Sustituyamos la posición = 0 y el valor = 0 0 = a(_____)³ + b(_____)² + c(_____) + d

0 = (_____) + (_____) + (_____) + d

0 = _____ obtenida primera literal.

* Veamos la posición = - 1 y el valor = 9 9 = a(_____)³ + b(_____)² + c(_____) + 0

9 = - a + b - ______ + 0

9 = - a + b - c

Despejando una literal a = b - c - 9* Ahora trabajemos la posición = 1 y valor = - 9 - 9 = a(_____)³ + b(_____)² + c(_____)

Sustituyendo el despeje de "a" - 9 = (b - c - 9)(_____) + (_____) + (_____)

Haciendo las multiplicaciones - 9 = b - c - 9 + b + c

Asociando literales y números - 9 + _____ = _____ b + _____ c

Realizando operaciones _____ = _____

Obteniendo la segunda literal de la ecuación b = _____

Como ya hemos sacado el valor de b = 0; entonces: a = 0 - c - 9 = - c - 9

* Por último, tomemos la posición = 2 y valor = 0 _____ = (- c - 9)(_____)³ + ( 0 )(_____)² + c(_____)

Operaciones con los exponentes y paréntesis _____ = - _____ c - _____ + _____ + _____ c

Asociando los términos semejantes 0 = - 6c - 72

Despejando la literal "c" c = = - 12

Como conocemos b = 0, c = - 12 y d = 0; entonces: a = - ( - 12 ) - 9 = 12 - 9 = 3

Luego la ECUACIÓN de la curva es: y = 3x³ + 0bx² - 12x + 0 = 3x³ - 12x

- 726

BLO

QU

E 4


Con lo aprendido hasta aquí, encuentren la ecuación y gráfica de cada uno de los eventos que a continuación se les presentan, utilizando el MÉTODO DE DIFERENCIAS. Consideren la posición = x y el valor = y para cada uno de los casos. Inviten a su Maestr@ para realizar los ejercicios en el aula de medios o en la enciclomedia instaladas en su escuela, usando el programa Excel.

PRIMER EVENTO:GRÁFICA

BUSCANDO LA ECUACIÓN MODELO GUíA: _____________________

Primera sustitución Segunda sustitución

Posición = ______ Valor = ______ Posición = ______ Valor = ______

Tercera sustitución

Posición = ______ Valor = ______

Valor de los coeficientes: a = ______, b = ______, c = ______

ECUACIÓN ENCONTRADA

50

- 10

40

30

20

10

0- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

X Y Dif1 Dif2-

- 3 30 ::::: :::::-

- 2 20 :::::-

- 1 12-

0 6-

1 2-

2 0-

3 0

130B

LOQ

UE

4









SEGUNDO EVENTO: GRÁFICA

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

50

- 10

40

30

20

10

0

X Y Dif1 Dif2

- 5 - 7 ::::: :::::

- 4 - 12 :::::

- 3 - 15

- 2 - 16

- 1 - 15

0 - 12

1 - 7

2 0

3 9

4 20

5 33

131B

LOQ

UE 4









TERCER EVENTO: GRÁFICA

- 10

20

10

0- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5

- 20

X Y Dif1 Dif2

- 5 - 8 ::::: :::::

- 4 0 :::::

- 3 6

- 2 10

- 1 12

0 12

1 10

2 6

3 0

4 - 8

5 - 18

132B

LOQ

UE

4









CUARTO EVENTO: GRÁFICA

0

- 50

- 10

- 20

- 30

- 40

- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 60

10

- 70

X Y Dif1 Dif2-

- 3 - 63 ::::: :::::-

- 2 - 28 :::::-

- 1 - 5-

0 6-

1 5-

2 - 8-

3 - 33

133B

LOQ

UE 4





Tercera sustitución Cuarta sustitución


Valor de los coeficientes: a = ______, b = ______, c = ______, d = ______


¡Para reafirmar! Usa calculadora programada a 2 decimales.QUINTO EVENTO: GRÁFICA

80

- 20

60

40

20

0- 3 - 2 - 1 0 1 2 3

- 40

100

- 60

134

X Y Dif1 Dif2 Dif3-

- 3 105 :::::: :::::: ::::::-

- 2.5 70.88 :::::: ::::::-

- 2 48 ::::::-

- 1.5 34.13-

- 1 27-

- 0.5 24.38-

0 24-

0.5 23.63-

1 21-

1.5 13.88-

2 0-

2.5 - 22.88-

3 - 57

BLO

QU

E 4

4.2Aplicar el teorema de

Pitágoras en la resolución de problemas.

Pensémos un rato.

En los tres cuadrados de los esquemas I y II, peguen las figuras de la parte inferior de la página, según corresponda, ubicándolas de tal manera, que no se repitan, colores o números , en ninguno de los tres cuadrados dibujados sobre los lados del triángulo rectángulo, en cada caso.

Recorten las figuras y péguenlas dentro de la superficie de cada cuadrado, cumpliendo la condición especificada, observando, detenidamente, lo que suceda en ámbas figuras.

Pitágoras de SamosΠιταγορασ

582 a. C. - 507 a. C.

I

TANGRAMAS

II

Forma, espacio y medida. Medida.

I

II

3

1

5

7

6

8

2

43

1

2

4

5

7

6

8

135

ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR

BLO

QU

E 4

Piezas de los rompecabezas

Con la ayuda de tu Maestr@, construyan una CONCLUSIÓN y, compárenla con una investigación realizada, respecto al TEOREMA DE PITÁGORAS.

Conclusión: ________________________________________________________________

________________________________________________________________

Investigación: ________________________________________________________________

________________________________________________________________

Como ya se vió en otros cursos, "la superficie del cuadrado construído sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo, es igual a la suma de las dos superficies de los cuadrados constuídos sobre los catetos del mismo triángulo rectángulo"; por lo tanto:

Hipotenusa ² = Cateto ² + Cateto ² Hip ² = Cat ² + Cat ²

Comprobemos esta afirmación, en algunos casos de la vida real, midiendo con nuestra regla la base, la altura y la longitud que une sus extremos, en cada uno de los triángulos rectángulos señalados. En cada fotografía, toma como punto de partida la medida de la línea derecha superior y, en proporción, encuentra la medida de los tres lados de cada triángulo.


Distancia entre el escalón inferior y el superior = ________

AB

CAB = 120 cm AC² = AB² + BC²

BC = 90 cm 150² = 90² + 120²

AC = 150 cm 22500 = 8100 + 14400

22500 = 22500

30 cm

1

136B

LOQ

UE

4

L

M

N


Pirámide "La quemada"

ChicomostocZacatecas, México.

D

E F

C

D E

MN = _____ LM² = MN² + NL²

NL = _____ = _____ + 3.25²

LM = _____ =

=

DE = _____ DF² = DE² + EF²

EF = _____ = _____ + 7.5²

DF = _____ =

=

F

GH

R

S T

TR = _____ TR² = ST² + RS²

RS = _____ = _____ + _____

ST = _____ =

=

FG = _____ FH² = GH² + FG²

GH = _____ = _____ + _____

FH = _____ =

=

VT = _____ UV² = VT² + TU²

UV = _____ = _____ + _____

TU = _____ =

=

DE = _____ CE² = DE² + CD²

CE = _____ = _____ + _____

CD = _____ =

=

U

V T

3 m

2 3

3.25 cm

14 m

4

6 m

5

2.5 m

6

5 m

7

137B

LOQ

UE 4


TR = _____ =

RS = _____ =

ST = _____ =

=

IJ = _____ =

JH = _____ =

HI = _____ =

=

X

Y W U

V

R

P Q L

J K

K

L

M

N

O

8 m

8

2 m

9

2.5 m

10

20 cm

11

138

I

J H

T

R S

BLO

QU

E 4

P

U

W

Q

R

S

T

X

V


A

B C

DK

L JIH

G

E

F

5.1 m

12

4 m

13

? cm

14

139B

LOQ

UE 4

ESTIMAR, MEDIR Y CALCULAR


4.3Reconocer y determinar las razones

trigonométricas en familias de triángulos semejantes, como cocientes entre las

medidas de los lados. Calcular medidas de los lados y de ángulos de triángulos rectángulos a partir de los valores de

razones trigonométricas.Resolver problemas sencillos, en

diversos ámbitos, utilizando las razones trigonométricas.

Recuerda que en un triángulo rectángulo se identifican sus lados con los siguientes nombres:

Para el estudio de la trigonometría es necesario dar nombres diferentes a cada uno de los catetos, en relación al ángulo de que se trate, así tendremos que:

La Trigonometría es una parte de la Matemática que se basa en la resolución de problemas, fundamentándose en el conocimiento

que se tiene de los triángulos con sus lados y ángulos.

HIPOTENUSA

CATETOCATETO

A

B

C

HIPOTENUSA

CATETO

CAT

ETO

A

CB

ADYASCENTE.- Porque está al lado del ángulo referido.

b ) Con relación al ángulo C: AB Es el Cateto Opuesto BC Es el Cateto Adyacente

A

CB

OPUESTO.- Porque está enfrente del ángulo referido.

a ) Con relación al ángulo A: BC Es el Cateto Opuesto AB Es el Cateto Adyacente

A

CB

140B

LOQ

UE

4


Recuerda que una FUNCIÓN es la relación que existe entre objetos o números, así tenemos, que una FUNCIÓN TRIGONOMÉTRICA es la relación que existe al comparar por COCIENTE (división) dos lados de un triángulo rectángulo.

EJEMPLO:

En el siguiente triángulo rectángulo las funciones trigonométricas más usuales serán :

a) Cateto Opuesto b) Hipotenusa Hipotenusa Cateto opuesto

c) _________________ d) _________________

e) _________________ f) _________________

Dado el triángulo ABO y el ángulo B, podemos escribir las distintas formas en que se pueden comparar por cociente sus lados:

Completa:

hipotenusa

Cateto Adyacente

Cateto

Opuesto

A

B O

Las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS son sólo para los triángulos rectángulos.

Cosecante =

Secante =

Cotangente = Cateto Adyascente Cateto Opuesto

Hipotenusa Cateto Opuesto

Hipotenusa Cateto Adyascente

Cateto OpuestoHipotenusa

Cateto AdyascenteHipotenusa

Cateto Opuesto Cateto Adyacente

Seno =

Coseno =

Tangente =

a b c b a c

Sen A =

Cos A =

Tan A =

c b a b c a

Sen C =

Cos C =

Tan C =

c

a

b

A

B C

141B

LOQ

UE 4


2) Calcula la función que se indica en cada triángulo, utilizando para ello las FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS anteriores y, en la división que hagas utiliza sólo 4 cifras decimales.

Sen T = _________ Cos E = __________ Tg Y = _________

Sen S = _________ Cos M = __________ Tg A = _________

1) En los siguientes triángulos rectángulos escriban el nombre del cateto opuesto, cateto adyacente y de la hipotenusa, si consideramos como referencia a los ángulos A, COB y α respectivamente.

AO

C B

Y

5

4

324 40

32 ET

40

x

10

2052

48UT

S

R

52

48

20

P

M

G28

5345

A

D

DespegueAterrizaje

En cada evento, asignen literales a los ángulos y encuentren las tres funciones

trigonométricas.

142B

LOQ

UE

4


En los siguientes ángulos que miden 45° y 60° puedes observar que conforme aumenta el tamaño del ángulo, aumenta la medida del cateto opuesto y por consecuencia, aumenta el valor del seno del ángulo.

En un plano cartesiano vamos haciendo lo siguiente:

- Trazamos un círculo cuyo centro esté en el origen.- Al radio del círculo le damos valor UNO.- Trazamos un ángulo central de 30° que corte al círculo en el punto P.- Trazamos la ordenada de P y formamos el lado PQ- Con el trazo formamos un TRIÁNGULO RECTÁNGULO.

FUNCIÓN SENO

OP = 1 PQ = 0.5 = de un radio.

POQ es un triángulo rectángulo.

O = 30°

1 2x

RADIORADI

O

P

Q ?

y

RADIO

O

r = 1

30°Coseno

Seno

Si observas el triángulo rectángulo inscrito en el círculo unitario concluirás que:

La hipotenusa del triángulo mide .......... _____________________

El cateto opuesto del ángulo "O" mide .... _____________________

El Sen 30° = 0.5 = 1 2

Cateto Opuesto HipotenusaSen 30° = = 1

2

45°

Q

O P 60°45°

Q

O P

Sen 60° = 0.8660Sen 45° = 0.7071 ¿Cómo lograr estos valores?

143B

LOQ

UE 4


Encuentra, en la tabla anexa enseguida, el valor de los senos naturales que se piden.

Las tablas de matemáticas nos sirven para encontrar los valores de las funciones trigonométricas de una manera exacta; sin embargo, actualmente en varios de nuestros hogares ya existen calculadoras que nos proporcionan mayor exactitud; si la tienes, ¡ÚSALA! y comprueba tus resultados.

EJEMPLOS:

1 ) Hallar el valor del Seno del ángulo de 39° 30'

Manejo de Tablas de MatemáticasFunción SENO

Sen 39° 30' = 0.6361

Partes ProporcionalesN

39°

0 ' 10 ' 20 ' 30 ' 40 ' 50 ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' 8 ' 9 '

0.6361

2 ) Hallar el Sen 42° 37'

15se suma

Partes Proporcionales

0 ' 10 ' 20 ' 30 ' 40 ' 50 ' 1 ' 2 ' 3 ' 4 ' 5 ' 6 ' 7 ' 8 ' 9 '

0.6756

N

42°

LAS PARTES PROPORCIONALES SE SUMAN

Sen 42° 30' = 0.6756 + partes proporcionales 7' = + 15

Sen 42° 37' = 0.6771

Sen 29º 27' = _______________

Sen 69º 26' = _______________

Sen 90º = _______________

Sen 53º 40' = _______________

Sen 27º 59' = _______________

Sen 47º 60' = _______________

Sen 79º 11' = _______________

Sen 8º 59' = _______________

Sen 36º = ________________

Sen 46º 50' = ________________

Sen 18º 45' = ________________

Sen 65º 30' = ________________

Sen 72º = ________________

Sen 25º 14' = ________________

Sen 10º 39' = ________________

Sen 82º 18' = ________________

144

- Primero localizamos en la tabla, en la columna N el número 39, - Enseguida, por el mismo renglón del 39 se sigue hasta la columna que coincide con 30' minutos.- El seno de 39° 30' lo encontramos en la parte donde se juntan las dos columnas.

BLO

QU

E 4

Encuentra en la tabla el ángulo que le corresponde a los siguientes valores.

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN SENO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

EJEMPLO: 1) Un poste está sostenido por un cable que mide 7.3 m de largo y forma con el suelo un ángulo de

76° 35' ¿A qué altura del suelo se encuentra el punto de sostén del cable?


3) Hallar el ángulo que le corresponde a una función trigonométrica que tiene un valor de 0.9546

Sen __________ = 0.9546

Localizamos en la tabla el número 0.9546 ó el que más se aproxime. Lo hacemos coincidir en línea recta hacia la izquierda con los grados y hacia arriba con los minutos.

?

4) Hallar el ángulo al que corresponda la fracción propia . Haga un dibujo donde se encuentre la fracción dada y el ángulo buscado.

34

x

76º 35'

7.3

m

145

Sen 72° 40' = 0.9546

Partes Proporcionales

0' 10' 20' 30' 40' 50' 1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'

0.9546

N

72°

Sen ____________ = 0.9001

Sen ____________ = 0.6316

Sen ____________ = 0.8403

Sen ____________ = 0.1994

Sen ____________ = 0.9811

Sen ___________ = 0.4540

Sen ___________ = 0.8829

Sen ___________ = 0.4358

Sen ___________ = 0.9969

Sen ___________ = 0.3827

Cateto Opuesto Hipotenusa x 7.3

x 7.3 x = (0.9727) (7.3)

x = 7.10 m

Sen A =

Sen 76° 35' =

0.9727 =

sustituyendo valores.encontrando el valor del seno del ángulo.

despejando x.

BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'0º 0.0000 0.0029 0.0058 0.0087 0.0116 0.0145 3 6 9 12 15 17 20 23 261º 0.0175 0.0204 0.0233 0.0262 0.0291 0.0320 3 6 9 12 15 17 20 23 262º 0.0349 0.0378 0.0407 0.0436 0.0465 0.0494 3 6 9 12 15 17 20 23 263º 0.0523 0.0552 0.0581 0.0610 0.0640 0.0669 3 6 9 12 15 17 20 23 264º 0.0698 0.0727 0.0756 0.0785 0.0814 0.0843 3 6 9 12 14 17 20 23 265º 0.0872 0.0901 0.0929 0.0958 0.0987 0.1016 3 6 9 12 14 17 20 23 266º 0.1045 0.1074 0.1103 0.1132 0.1161 0.1190 3 6 9 12 14 17 20 23 267º 0.1219 0.1248 0.1276 0.1305 0.1334 0.1363 3 6 9 12 14 17 20 23 268º 0.1392 0.1421 0.1449 0.1478 0.1507 0.1536 3 6 9 12 14 17 20 23 269º 0.1564 0.1593 0.1622 0.1650 0.1679 0.1708 3 6 9 12 14 17 20 23 26

10º 0.1736 0.1765 0.1794 0.1822 0.1851 0.1880 3 6 9 11 14 17 20 23 2611º 0.1908 0.1937 0.1965 0.1994 0.2022 0.2051 3 6 9 11 14 17 20 23 2612º 0.2079 0.2108 0.2136 0.2164 0.2193 0.2221 3 6 9 11 14 17 20 23 2613º 0.2250 0.2278 0.2306 0.2334 0.2363 0.2391 3 6 8 11 14 17 20 23 2514º 0.2419 0.2447 0.2476 0.2504 0.2532 0.2560 3 6 8 11 14 17 20 23 2515º 0.2588 0.2616 0.2644 0.2672 0.2700 0.2728 3 6 8 11 14 17 20 22 2516º 0.2756 0.2784 0.2812 0.2840 0.2868 0.2896 3 6 8 11 14 17 20 22 2517º 0.2924 0.2952 0.2979 0.3007 0.3035 0.3062 3 6 8 11 14 17 19 22 2518º 0.3090 0.3118 0.3145 0.3173 0.3201 0.3228 3 6 8 11 14 17 19 22 2519º 0.3256 0.3283 0.3311 0.3338 0.3365 0.3393 3 5 8 11 14 16 19 22 2520º 0.3420 0.3448 0.3475 0.3502 0.3529 0.3557 3 5 8 11 14 16 19 22 2521º 0.3584 0.3611 0.3638 0.3665 0.3692 0.3719 3 5 8 11 14 16 19 22 2422º 0.3746 0.3773 0.3800 0.3827 0.3854 0.3881 3 5 8 11 13 16 19 21 2423º 0.3907 0.3934 0.3961 0.3987 0.4014 0.4041 3 5 8 11 13 16 19 21 2424º 0.4067 0.4094 0.4120 0.4147 0.4173 0.4200 3 5 8 11 13 16 19 21 2425º 0.4226 0.4253 0.4279 0.4305 0.4331 0.4358 3 5 8 11 13 16 18 21 2426º 0.4384 0.4410 0.4436 0.4462 0.4488 0.4514 3 5 8 10 13 16 18 21 2327º 0.4540 0.4566 0.4592 0.4617 0.4643 0.4669 3 5 8 10 13 15 18 20 2328º 0.4695 0.4720 0.4746 0.4772 0.4797 0.4823 3 5 8 10 13 15 18 20 2329º 0.4848 0.4874 0.4899 0.4924 0.4950 0.4975 3 5 8 10 13 15 18 20 2330º 0.5000 0.5025 0.5050 0.5075 0.5100 0.5125 3 5 8 10 13 15 18 20 2331º 0.5150 0.5175 0.5200 0.5225 0.5250 0.5275 2 5 7 10 12 15 17 20 2232º 0.5299 0.5324 0.5348 0.5373 0.5398 0.5422 2 5 7 10 12 15 17 20 2233º 0.5446 0.5471 0.5495 0.5519 0.5544 0.5568 2 5 7 10 12 15 17 19 2234º 0.5592 0.5616 0.5640 0.5664 0.5688 0.5712 2 5 7 10 12 14 17 19 2235º 0.5736 0.5760 0.5783 0.5807 0.5831 0.5854 2 5 7 9 12 14 17 19 2136º 0.5878 0.5901 0.5925 0.5948 0.5972 0.5995 2 5 7 9 12 14 16 19 2137º 0.6018 0.6041 0.6065 0.6088 0.6111 0.6134 2 5 7 9 12 14 16 19 2138º 0.6157 0.6180 0.6202 0.6225 0.6248 0.6271 2 5 7 9 11 14 16 18 2039º 0.6293 0.6316 0.6338 0.6361 0.6383 0.6406 2 4 7 9 11 13 16 18 2040º 0.6428 0.6450 0.6472 0.6494 0.6517 0.6539 2 4 7 9 11 13 15 18 2041º 0.6561 0.6583 0.6604 0.6626 0.6648 0.6670 2 4 7 9 11 13 15 18 2042º 0.6691 0.6713 0.6734 0.6756 0.6777 0.6799 2 4 6 9 11 13 15 17 1943º 0.6820 0.6841 0.6862 0.6884 0.6905 0.6926 2 4 6 8 11 13 15 17 1944º 0.6947 0.6967 0.6988 0.7009 0.7030 0.7050 2 4 6 8 10 12 15 17 1945º 0.7071 0.7092 0.7112 0.7133 0.7153 0.7173 2 4 6 8 10 12 14 16 19

N

SENO NATURALPARTES PROPORCIONALES

(Se suman)0' 10' 20' 30' 40' 50'

Forma, espacio y medida. Medida.146

BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'46º 0.7193 0.7214 0.7234 0.7254 0.7274 0.7294 2 4 6 8 10 12 14 16 1847º 0.7314 0.7333 0.7353 0.7373 0.7392 0.7412 2 4 6 8 10 12 14 16 1848º 0.7431 0.7451 0.7470 0.7490 0.7509 0.7528 2 4 6 8 10 12 13 15 1749º 0.7547 0.7566 0.7585 0.7604 0.7623 0.7642 2 4 6 8 9 11 13 15 1750º 0.7680 0.7679 0.7698 0.7716 0.7735 0.7753 2 4 6 7 9 11 13 15 1751º 0.7771 0.7790 0.7808 0.7826 0.7844 0.7862 2 4 5 7 9 11 13 14 1652º 0.7880 0.7898 0.7916 0.7934 0.7951 0.7969 2 4 5 7 9 11 12 14 1653º 0.7986 0.8004 0.8021 0.8039 0.8056 0.8073 2 3 5 7 9 10 12 14 1654º 0.8090 0.8107 0.8124 0.8141 0.8158 0.8175 2 3 5 7 8 10 12 14 1555º 0.8192 0.8208 0.8225 0.8241 0.8258 0.8274 2 3 5 7 8 10 12 13 1556º 0.8290 0.8307 0.8323 0.8339 0.8355 0.8371 2 3 5 6 8 10 11 13 1457º 0.8387 0.8403 0.8418 0.8434 0.8450 0.8475 2 3 5 6 8 9 11 13 1458º 0.8480 0.8496 0.8511 0.8526 0.8542 0.8557 2 3 5 6 8 9 11 12 1459º 0.8572 0.8587 0.8601 0.8616 0.8631 0.8646 1 3 4 6 7 9 10 12 1360º 0.8660 0.8675 0.8689 0.8704 0.8718 0.8732 1 3 4 6 7 9 10 11 1361º 0.8746 0.8760 0.8774 0.8788 0.8802 0.8816 1 3 4 6 7 8 10 11 1262º 0.8829 0.8843 0.8857 0.8870 0.8884 0.8897 1 3 4 5 7 8 9 11 1263º 0.8910 0.8923 0.8936 0.8949 0.8962 0.8975 1 3 4 5 6 8 9 10 1264º 0.8988 0.9001 0.9013 0.9026 0.9038 0.9051 1 3 4 5 6 8 9 10 1165º 0.9063 0.9075 0.9088 0.9100 0.9112 0.9124 1 2 4 5 6 7 8 10 1166º 0.9135 0.9147 0.9159 0.9171 0.9182 0.9194 1 2 3 5 6 7 8 9 1067º 0.9205 0.9216 0.9228 0.9239 0.9250 0.9261 1 2 3 4 6 7 8 9 1068º 0.9272 0.9283 0.9293 0.9304 0.9315 0.9325 1 2 3 4 5 6 7 9 1069º 0.9336 0.9346 0.9356 0.9367 0.9377 0.9387 1 2 3 4 5 6 7 8 970º 0.9397 0.9407 0.9417 0.9426 0.9436 0.9446 1 2 3 4 5 6 7 8 971º 0.9455 0.9465 0.9474 0.9483 0.9492 0.9502 1 2 3 4 5 6 6 7 872º 0.9511 0.9520 0.9528 0.9537 0.9546 0.9555 1 2 3 3 4 5 6 7 873º 0.9563 0.9572 0.9580 0.9588 0.9596 0.9605 1 2 2 3 4 5 6 7 774º 0.9613 0.9621 0.9626 0.9636 0.9644 0.9652 1 2 2 3 4 5 5 6 775º 0.9659 0.9667 0.9674 0.9681 0.9689 0.9696 1 1 2 3 4 4 5 6 776º 0.9703 0.9710 0.9717 0.9724 0.9730 0.9737 1 1 2 3 3 4 5 5 677º 0.9744 0.9750 0.9757 0.9763 0.9769 0.9775 1 1 2 3 3 4 4 5 678º 0.9781 0.9787 0.9793 0.9799 0.9805 0.9811 1 1 2 2 3 3 4 5 579º 0.9816 0.9822 0.9827 0.9833 0.9838 0.9843 1 1 2 2 3 3 4 4 580º 0.9848 0.9853 0.9858 0.9863 0.9868 0.9872 0 1 1 2 2 3 3 4 481º 0.9877 0.9881 0.9886 0.9890 0.9894 0.9899 0 1 1 2 2 3 3 3 482º 0.9903 0.9907 0.9911 0.9914 0.9918 0.9922 0 1 1 2 2 2 3 3 383º 0.9925 0.9929 0.9932 0.9936 0.9939 0.9942 0 1 1 1 2 2 2 3 384º 0.9945 0.9948 0.9951 0.9954 0.9957 0.9959 0 1 1 1 2 2 2 2 385º 0.9962 0.9964 0.9967 0.9969 0.9971 0.9974 0 0 1 1 1 1 2 2 286º 0.9976 0.9978 0.9980 0.9981 0.9983 0.9985 0 0 1 1 1 1 1 1 187º 0.9986 0.9988 0.9989 0.9990 0.9992 0.9993 0 0 0 1 1 1 1 1 188º 0.9994 0.9995 0.9996 0.9997 0.9997 0.9998 0 0 0 0 0 1 1 1 189º 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 1.0000 1.0000 0 0 0 0 0 0 0 0 090º 1.0000

SENO NATURAL

N 0' 10' 20' 30' 40' 50'PARTES PROPORCIONALES

(Se suman)


BLO

QU

E 4

3.5

m

42° 5

0'

h

Resuelvan los siguientes problemas.

1) Calcular el valor de la ALTURA de la ESCALERA.

c = _____________

2) ¿Cuánto mide la altura de una pared en la que se ha recargado un escalera de 3.5 m de largo y que apoyada en el piso forma un ángulo de 42° 50'?

h = _____________

3) ¿Cuál es la altura máxima de una antena, si sabemos que a su punto más alto existe un cable de 25 m con ángulo de inclinación de 67° 30'?

Altura = _____________

4) ¿Cuál será la longitud de una rampa de un sotano que tiene una pendiente de 50° 28' y la altura de la rampa es de 3.5 m?

Largo = _____________

5) La soga que sostiene una piñata tiene una longitud de 8 m entre los dos puntos extremos de sostén. Si la piñata tiene una caída de 1 m, encontrar el ángulo que se forma en cada uno de los puntos de sostenimiento. Busca varias soluciones.

Ángulo = _____________


1.79 m

32° 25'

c

67° 30'

25 m

50° 28'

3.5

m

148B

LOQ

UE

4

Aumenta el ángulo, aumenta el cateto

opuesto.

0.86600.7071

0.5000

Vamos a trazar en el plano cartesiano un CIRCULO UNITARIO con centro en el origen y radio unidad, con el fin de identificar ahora la función COSENO (cos).

Cos 30° = 0.8660

Para trabajar el coseno natural en las tablas, sólo debemos tomar en cuenta cuando necesitemos usar las partes proporcionales, éstas las debemos RESTAR.

Con la calculadora ahorramos más tiempo y podemos ser más exactos.


FUNCIÓN COSENO

Para encontrar la medida del cateto adyascente hacemos lo siguiente:

Comparamos por cociente, el cateto adyascente entre la hipotenusa.

Cateto Adyacente Hipotenusa

Cos A =

Disminuye el cateto adyacente

Conforme aumenta el valor del ángulo, disminuye el valor del cateto adyascente y, por consiguiente, el valor de la función COSENO.

cos 30° = 0.8660

cos 45° = 0.7071

cos 60° = 0.5000

LOCALIZACIÓN DE LA FUNCIÓN COSENOEN LA TABLA DE MATEMÁTICAS O EN LA

CALCULADORA.

Los lados del triángulo rectángulo serán:

Cateto Adyascente

Hipotenusa

A

RADIORADI

O

P

Qx

y

RADIO

O

r = 1

30°Coseno

149B

LOQ

UE 4

Encuentra, con la tabla o con calculadora, los siguientes valores.

Encuentra, con la tabla o con calculadora, el ángulo que le corresponde a los siguientes valores.

Cos 15º = ________

Cos 23º = ________

Cos 34º = ________

Cos 45º = ________

Cos 57º = ________

Cos 60º = ________

Cos 75º = ________

Cos 87º = ________

Cos 95º = ________

Cos 105º = ________

Cos 140º = ________

Cos 45º = ________

Cos 57º = ________

Cos 60º = ________

Cos 75º = ________

Cos 87º = ________

Cos 15º = ________

Cos 23º = ________

Cos 34º = ________

Cos 45º = ________

Cos 57º = ________

Cos 60º = ________

Cos 75º = ________

Cos 87º = ________


Cos ____________ = 0.0029

Cos ____________ = 0.5760

Cos ____________ = 0.9994

Cos ____________ = 0.2164

Cos ____________ = 0.7071

Cos ____________ = 0.7845

Cos ____________ = 0.2918

Cos ____________ = 0.9458

Cos ____________ = - 0.589

Cos ____________ = 0.8290

Cos ____________ = 0.2419

Cos ____________ = 0.8802

Cos ____________ = 0.4147

Cos ____________ = 0.9537

Cos ____________ = 0.2148

Cos ____________ = 0.9752

Cos ____________ = - 0.214

Cos ____________ = - 0.1111

Cos 60° 10' = _______________

Cos 38° 30' = _______________

Cos 51° 15' = _______________

Cos 28° 23' = _______________

Cos 73° 59' = _______________

Cos 82° 37' = _______________

Cos 125° 58' = _______________

Cos 13° = ________________

Cos 90° = ________________

Cos 41º 40' = ________________

Cos 77° 30' = ________________

Cos 5° 20' = ________________

Cos 18° 39' = ________________

Cos 79° 47' = ________________

Encuentra la relación de igualdad existente entre los ángulos que se presentan a continuación, buscando el valor de cada uno y comparando. Puedes usar calculadora, con auxilio de tu Maestra o Maestro. Obtén una conclusión.

BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'0º 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 0.9999 0.9999 0 0 0 0 0 0 0 0 01º 0.9998 0.9998 0.9997 0.9997 0.9996 0.9995 0 0 0 0 0 1 1 1 12º 0.9994 0.9993 0.9992 0.9990 0.9989 0.9988 0 0 0 1 1 1 1 1 13º 0.9986 0.9985 0.9983 0.9981 0.9980 0.9978 0 0 1 1 1 1 1 1 14º 0.9976 0.9974 0.9971 0.9969 0.9967 0.9964 0 0 1 1 1 1 1 1 15º 0.9962 0.9959 0.9957 0.9954 0.9951 0.9948 0 1 1 1 2 2 2 2 36º 0.9945 0.9942 0.9939 0.9936 0.9932 0.9929 0 1 1 1 2 2 2 3 37º 0.9925 0.9922 0.9918 0.9914 0.9911 0.9907 0 1 1 2 2 2 3 3 38º 0.9903 0.9899 0.9894 0.9890 0.9886 0.9881 0 1 1 2 2 3 3 3 49º 0.9877 0.9872 0.9868 0.9863 0.9858 0.9853 0 1 1 2 2 3 3 4 4


COSENO NATURAL


(Se restan)


BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'46º 0.6947 0.6926 0.6905 0.6884 0.6862 0.6841 2 4 6 8 11 13 15 17 1947º 0.6820 0.6799 0.6777 0.6756 0.6734 0.6713 2 4 6 9 11 13 15 17 1948º 0.6691 0.6670 0.6648 0.6626 0.6604 0.6583 2 4 7 9 11 13 15 17 2049º 0.6561 0.6539 0.6517 0.6494 0.6472 0.6450 2 4 7 9 11 13 15 18 2050º 0.6428 0.6406 0.6383 0.6361 0.6338 0.6316 2 4 7 9 11 13 16 18 2051º 0.6293 0.6271 0.6248 0.6225 0.6202 0.6180 2 5 7 9 11 14 16 18 2052º 0.6157 0.6134 0.6111 0.6088 0.6065 0.6041 2 5 7 9 12 14 16 18 2153º 0.6018 0.5995 0.5972 0.5948 0.5925 0.5901 2 5 7 9 12 14 16 19 2154º 0.5878 0.5854 0.5831 0.5807 0.5783 0.5760 2 5 7 9 12 14 17 19 2155º 0.5736 0.5712 0.5688 0.5664 0.5640 0.5616 2 5 7 10 12 14 17 19 2256º 0.5592 0.5568 0.5544 0.5519 0.5495 0.5471 2 5 7 10 12 15 17 19 2257º 0.5446 0.5422 0.5398 0.5373 0.5348 0.5324 2 5 7 10 12 15 17 20 2258º 0.5299 0.5275 0.5250 0.5225 0.5200 0.5175 2 5 7 10 12 15 17 20 2259º 0.5150 0.5125 0.5100 0.5075 0.5050 0.5025 3 5 8 10 13 15 18 20 2360º 0.5000 0.4975 0.4950 0.4924 0.4899 0.4874 3 5 8 10 13 15 18 20 2361º 0.4848 0.4823 0.4797 0.4772 0.4746 0.4720 3 5 8 10 13 15 18 20 2362º 0.4695 0.4669 0.4643 0.4617 0.4592 0.4566 3 5 8 10 13 15 18 21 2363º 0.4540 0.4514 0.4488 0.4462 0.4436 0.4410 3 5 8 10 13 16 18 21 2364º 0.4384 0.4358 0.4331 0.4305 0.4279 0.4253 3 5 8 11 13 16 18 21 2465º 0.4226 0.4200 0.4173 0.4147 0.4120 0.4094 3 5 8 11 13 16 19 21 2466º 0.4067 0.4041 0.4014 0.3987 0.3961 0.3934 3 5 8 11 13 16 19 21 2467º 0.3907 0.3881 0.3854 0.3827 0.3800 0.3773 3 5 8 11 13 16 19 21 2468º 0.3746 0.3719 0.3692 0.3665 0.3638 0.3611 3 5 8 11 14 16 19 22 2469º 0.3584 0.3557 0.3529 0.3502 0.3475 0.3448 3 5 8 11 14 16 19 22 2570º 0.3420 0.3393 0.3365 0.3338 0.3311 0.3283 3 5 8 11 14 16 19 22 2571º 0.3256 0.3228 0.3201 0.3173 0.3145 0.3118 3 6 8 11 14 17 19 22 2572º 0.3090 0.3062 0.3035 0.3007 0.2979 0.2952 3 6 8 11 14 17 19 22 2573º 0.2924 0.2896 0.2868 0.2840 0.2812 0.2784 3 6 8 11 14 17 20 22 2574º 0.2756 0.2728 0.2700 0.2672 0.2644 0.2616 3 6 8 11 14 17 20 22 2575º 0.2588 0.2560 0.2532 0.2504 0.2476 0.2447 3 6 8 11 14 17 20 23 2576º 0.2419 0.2391 0.2363 0.2334 0.2306 0.2278 3 6 8 11 14 17 20 23 2577º 0.2250 0.2221 0.2193 0.2164 0.2136 0.2108 3 6 8 11 14 17 20 23 2678º 0.2079 0.2051 0.2022 0.1994 0.1965 0.1937 3 6 8 11 14 17 20 23 2679º 0.1908 0.1880 0.1851 0.1822 0.1794 0.1765 3 6 8 11 14 17 20 23 2680º 0.1736 0.1708 0.1679 0.1650 0.1622 0.1593 3 6 9 12 14 17 20 23 2681º 0.1564 0.1536 0.1507 0.1478 0.1449 0.1421 3 6 9 12 14 17 20 23 2682º 0.1392 0.1363 0.1334 0.1305 0.1276 0.1248 3 6 9 12 14 17 20 23 2683º 0.1219 0.1190 0.1161 0.1132 0.1103 0.1074 3 6 9 12 14 17 20 23 2684º 0.1045 0.1016 0.0987 0.0958 0.0929 0.0901 3 6 9 12 14 17 20 23 2685º 0.0872 0.0843 0.0814 0.0785 0.0756 0.0727 3 6 9 12 14 17 20 23 2686º 0.0698 0.0669 0.0640 0.0610 0.0581 0.0552 3 6 9 12 15 17 20 23 2687º 0.0523 0.0494 0.0465 0.0436 0.0407 0.0378 3 6 9 12 15 17 20 23 2688º 0.0349 0.0320 0.0291 0.0262 0.0233 0.0204 3 6 9 12 15 17 20 23 2689º 0.0175 0.0145 0.0116 0.0087 0.0058 0.0029 3 6 9 12 15 17 20 23 2690º 0.0000

COSENO NATURAL


(Se restan)


BLO

QU

E 4

1) En el triángulo rectángulo ABC, marcado en la fotografía, C = 34° y a = 8 m. Encontremos lo que vale "b" con el siguiente proceso.

Cos C =

Cos 34° =

0.8290 =

b =

Resuelve los siguientes problemas.

2) En la fotografía derecha, en el tr iángulo rectángulo encuentra lo que vale "k", teniendo en cuenta los valores indicados.

3) Basado en la fotografía del sahuaro, encuentra la distancia "d" que representa el ancho del camino.

4) Si un avión llevando un ángulo de elevación de 68° 43' ha recorrido 2500 m de distancia en su ascenso, ¿a qué distancia horizontal "d" con respecto a su punto de partida, se encuentra?


AdyacenteHipotenusa

8 m b

8 m b

8 0.8290 b = 9.6497 m

APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN COSENO EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

b

AB

C

34°

a =

8 m

j = 14 m

24° 25'

K

L

J

k

l

2500 m

68° 43'

d

153

51° 18'

6.5 m

d

BLO

QU

E 4

Con el mismo procedimiento que utilizamos para identificar las funciones seno y coseno, podemos identificar la función tangente.

Encuentra en la tabla o calculadora, los valores que tiene la tangente en cada ángulo que se pide.


FUNCIÓN TANGENTE

Tg 30° = 0.5774 Radio = 1

TANGENTE30°

La característica de la tangente en el círculo unitario es que se forma en la parte exterior del círculo. La tangente es la línea que sólo toca un punto de la circunferencia.

Para encontrar el valor de la tangente en un ángulo cualquiera, comparamos por cociente el cateto opuesto del ángulo entre el cateto adyascente.

Cateto Opuesto Cateto Adyascente

Cateto Opuesto Cateto Adyascente

En los siguientes círculos unitarios, teniendo en cuenta la cuadrícula, ¿cuánto vale la tangente de un ángulo de 45° y de uno de 60°, aproximadamente?

tg 30° =

tg x =

Tg 45° =_________ Tg 60° =_________

Tangente45° 60°

r = 1

Tangente

¿ ?

154

Tg 83° 26' = _______________

Tg 59° 27' = _______________

Tg 80° 39' = _______________

Tg 0° 50' = _______________

Tg 41° 18' = _______________

Tg 60° = _______________

Tg 36° 2' = _______________

Tg 87° 39' = _______________

Tg 2° 51' = _______________

Tg 42° 35' = _______________

BLO

QU

E 4

Encuentra en la t a b l a o e n l a c a l c u l a d o r a , e l á n g u l o q u e l e corresponde a los siguientes valores.

Resuelvan los siguientes problemas.

EJEMPLO:1) ¿A qué distancia de la base de un faro marítimo, se encuentra un barco que se está divisando

desde una altura del faro de 32.5 metros sobre el nivel del mar, bajo un ángulo de depresión de 30°?

2) ¿Cuál es la altura de una torre de alta tensión eléctrica que se encuentra anclada al suelo, por un cable que forma con el piso un ángulo de 60°, si la longitud del ancla del piso al centro de la base de la torre es de 8.5 m?


APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN TANGENTE EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS.

Tan x =

Tan 30° =

0.5773 =

d =

d =

Opuesto adyascente

32.5 m d

32.5 m d

32.5 m 0.5773

56.2965 m

60°

8.5 m

30°

d

32.5

m

155

Tg ____________ = 3.265

Tg ____________ = 10.08

Tg ____________ = 0.789

Tg ____________ = 1.194

Tg ____________ = 43.56

Tg ____________ = 2.2861

Tg ____________ = 0.6453

Tg ____________ = 0.2860

Tg ____________ = 21.365

Tg ____________ = 0.0458

BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'0º 0.0000 0.0029 0.0058 0.0087 0.0116 0.0145 3 6 9 12 15 17 20 23 261º 0.0175 0.0204 0.0233 0.0262 0.0291 0.0320 3 6 9 12 15 17 20 23 262º 0.0349 0.0378 0.0407 0.0436 0.0466 0.0495 3 6 9 12 15 17 20 23 263º 0.0524 0.0553 0.0582 0.0611 0.0641 0.0670 3 6 9 12 15 18 20 23 264º 0.0699 0.0729 0.0758 0.0787 0.0817 0.0846 3 6 9 12 15 18 20 23 265º 0.0875 0.0905 0.0933 0.0962 0.0992 0.1021 3 6 9 12 15 18 21 23 266º 0.1051 0.1080 0.1110 0.1139 0.1169 0.1199 3 6 9 12 15 18 21 24 277º 0.1228 0.1258 0.1287 0.1316 0.1346 0.1376 3 6 9 12 15 18 21 24 278º 0.1406 0.1435 0.1465 0.1494 0.1524 0.1554 3 6 9 12 15 18 21 24 279º 0.1583 0.1614 0.1644 0.1673 0.1703 0.1733 3 6 9 12 15 18 21 24 27


PARTES PROPORCIONALES (Se suman)

TANGENTE NATURAL

N 0' 10' 20' 30' 40' 50'


BLO

QU

E 4

1' 2' 3' 4' 5' 6' 7' 8' 9'46º 1.0354 1.0416 1.0476 1.0537 1.0600 1.0662 1 1 2 2 3 4 4 5 647º 1.0724 1.0785 1.0850 1.0913 1.0977 1.1041 1 1 2 3 3 4 4 5 648º 1.1106 1.1171 1.1236 1.1304 1.1370 1.1436 1 1 2 3 3 4 5 5 649º 1.1503 1.1571 1.1639 1.1709 1.1778 1.1848 1 1 2 3 3 4 5 6 650º 1.1948 1.1987 1.2060 1.2130 1.2204 1.2275 1 1 2 3 4 4 5 6 651º 1.2349 1.2422 1.2497 1.2572 1.2648 1.2722 1 2 2 3 4 5 5 6 752º 1.2798 1.2876 1.2954 1.3032 1.3110 1.3192 1 2 2 3 4 5 5 6 753º 1.3270 1.3351 1.3431 1.3515 1.3597 1.3681 1 2 2 3 4 5 6 7 754º 1.3763 1.3849 1.3932 1.4019 1.4107 1.4193 1 2 3 3 4 5 6 7 855º 1.4282 1.4370 1.4460 1.4550 1.4642 1.4733 1 2 3 4 5 5 6 7 856º 1.4825 1.4919 1.5013 1.5110 1.5205 1.5301 1 2 3 4 5 6 7 8 957º 1.5400 1.5498 1.5595 1.5697 1.5800 1.5918 1 2 3 4 5 6 7 8 958º 1.6003 1.6106 1.6211 1.6318 1.6427 1.6535 1 2 3 4 5 6 7 9 1059º 1.6645 1.6755 1.6865 1.6977 1.7091 1.7206 1 2 3 5 6 7 8 9 1060º 1.7320 1.7437 1.7554 1.7677 1.7795 1.7915 1 2 4 5 6 7 8 10 1161º 1.8040 1.8163 1.8291 1.8416 1.8546 1.8678 1 3 4 5 6 8 9 10 1262º 1.8805 1.8940 1.9076 1.9212 1.9347 1.9485 1 3 4 5 7 8 10 11 1263º 1.9626 1.9767 1.9911 2.0056 2.0203 2.0351 1 3 4 6 7 9 10 12 1364º 2.0502 2.0654 2.0810 2.0966 2.1122 2.1281 2 3 5 6 8 9 11 13 1465º 2.1446 2.1607 2.1778 2.1944 2.2117 2.2286 2 3 5 7 8 10 12 14 1566º 2.2461 2.2635 2.2818 2.3002 2.3181 2.3371 2 4 5 7 9 11 13 15 1667º 2.3560 2.3746 2.3944 2.4142 2.4342 2.4545 2 4 6 8 10 12 14 16 1868º 2.4752 2.4961 2.5171 2.5386 2.5605 2.5824 2 4 7 9 11 13 15 17 2069º 2.6049 2.6275 2.6512 2.6748 2.6984 2.7224 2 5 7 9 12 14 17 19 2170º 2.7477 2.7725 2.7985 2.8238 2.8499 2.8772 3 5 8 10 13 16 18 21 2471º 2.9039 2.9322 2.9597 2.9887 3.0181 3.0475 3 6 9 12 14 17 20 23 2672º 3.0780 3.1091 3.1394 3.1716 3.2044 3.2368 3 6 10 13 16 19 23 26 2973º 3.2705 3.3052 3.3403 3.3761 3.4125 3.4501 4 7 11 14 18 22 25 29 3274º 3.4880 3.5268 3.5652 3.6063 3.6475 3.6896 4 8 12 16 20 24 29 33 3775º 3.7322 3.7762 3.8207 3.8662 3.9132 3.9624 5 9 14 19 23 28 33 37 4276º 4.0112 4.0611 4.1121 4.1662 4.2194 4.2744 77º 4.3307 4.3899 4.4492 4.5116 4.5735 4.637178º 4.7047 4.7718 4.8432 4.9142 4.9898 5.065079º 5.1447 5.2245 5.3090 5.3968 5.4838 5.576880º 5.6728 5.7687 5.8714 5.9776 6.0838 6.197181º 6.3152 6.4329 6.5601 6.6915 6.8282 6.966282º 7.1142 7.2685 7.4295 7.5969 7.7727 7.950383º 8.1419 8.3437 8.5547 8.7774 9.0109 9.257084º 9.5167 9.7913 10.0821 10.3904 10.7180 11.053385º 11.4243 11.8197 12.2445 12.6994 13.1892 13.719486º 14.2923 14.9148 15.5938 16.3623 17.1824 18.088887º 19.0937 20.2186 21.4817 22.9128 24.5504 26.436588º 28.6361 31.2344 34.3505 38.1565 42.9056 49.009889º 57.1314 68.9586 86.1983 114.9425 172.4138 344.827690º

TANGENTE NATURAL

N

I N F I N I T O

PARTES PROPORCIONALES (Se suman)50'40'30'20'10'0'


BLO

QU

E 4

Manejo de la información Representación de la información158

4.4.Interpretar y comparar las representaciones gráficas de crecimiento aritmético o

lineal y geométrico o exponencial de diversas

situaciones.

GRÁFICAS

Los intereses de un capital, la población, la reproducción de una bacteria, las ventas, la producción de petróleo, la ocupación hotelera, la temperatura, son ejemplos de cantidades que varían; estas variaciones obedecen a una regla determinada.

Una empresa inmobiliaria ofrece a una planta maquiladora dos opciones para rentar a 10 años uno de sus edificios.

a) La renta anual es de $ 500,000.00 quinientos mil pesos. Cada año se incrementa 7.5 % sobre la base de dicha renta.

b) La renta anual es de $ 500,000.00 quinientos mil pesos. Cada año se incrementa 6.5 % sobre la renta del año anterior.

Completa la siguiente tabla y contesta lo que se te pide:

En cuál de las dos opciones le conviene firmar el contrato ............................................. ________

En cuál de las dos opciones paga más de incremento a la renta al finalizar el contrato.. ________

¿Cuál es la diferencia de incremento a la renta entre los dos planes?............................ ________

Traza la gráfica que representa el pago en las dos opciones de renta.

Incremento 7.5 % Incremento 6.5 %

Año Renta Incremento 7.5 % Pago Renta Incremento 6.5 % Pago

1 $ 500,000.00 0 $ 500,000.00 $ 500,000.00 0 $ 500,000.00

2 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 537,500.00 $ 500,000.00 $ 32,500.00 $ 532,500.00 3 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 575,000.00 $ 532,500.00 $ 34,612.50 $ 567,112.50

4 $ 500,000.00 $ 567,112.50 $ 603,974.81

5 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 650,000.00 $ 603,974.81 $ 39,258.36

6 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 687,500.00 $ 41,810.15 $ 685,043.33

7 $ 500,000.00 $ 685,043.33

8 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 762,500.00 $ 729,571.14 $ 47,422.12 $ 776,993.27

9 $ 500,000.00 $ 37,500 $ 800,000.00 $ 827,497.83

10 $ 500,000.00 $ 827,497.83 $ 53,787.35

años

$ 900,000

$ 850,000

$ 800,000

$ 750,000

$ 700,000

$ 650,000

$ 600,000

$ 550,000

$ 500,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10años

$ 900,000

$ 850,000

$ 800,000

$ 750,000

$ 700,000

$ 650,000

$ 600,000

$ 550,000

$ 500,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BLO

QU

E 4


Como puedes observar los incrementos de una y otra opción de renta varían, mientras en la primera los aumentos son constantes y su representación gráfica es una línea ______________, en la segunda, no lo son, y su representación gráfica es una línea ................... ______________.

Cuando la variación es constante y su representación gráfica es una línea recta, decimos que su crecimiento es lineal o aritmético, la progresión puede ser creciente, si la razón es positiva y decreciente si es negativa.

Cuando la variación no es constante y su representación gráfica no es una línea recta decimos que su crecimiento es geométrico o exponencial, la progresión puede ser creciente, si la razón es mayor que 1 y decreciente si es menor que 1.

Días Dinero Incrementoahorrado

Lunes $ 25 $ 25

Martes $ 50

Miércoles $ 25

Jueves

Viernes $ 125

Sábado $ 25

Se pueden construir modelos matemáticos para hacer una estimación del aumento o crecimientoque pueda tener una cantidad. Los crecimientos aritmético o lineal y geométrico o exponencial sonmodelos que señalan dos tipos diferentes de incrementos que pude sufrir una cantidad, aplicables a diversas actividades.

Contesten lo que enseguida se te pide.

Pedro y Luis desean comprar un disco de video que cuesta $ 150.00. Decidieron ahorrar desde el primer día $ 25.00 diarios, hasta reunir esa cantidad.

Anoten los datos que faltan en la siguiente tabla.

a) ¿Qué cantidad habrán reunido el cuarto día?

_____________________________________

b) ¿En cuánto tiempo tendrían reunido todo el

dinero?_____________________________

c) En base a los datos de la tabulación traza la gráfica.

d) ¿Qué tipo de crecimiento representa la

gráfica anterior? _________________

Observa, detalladamente, como la variación aritmética o lineal es constante en todos los casos.

Trata de encontrar el modelo matemático que resuelve cualquier caso de este tipo de variación.

L M M J V S

150

125

100

75

50

25

BLO

QU

E 4


Narra un viejo cuento que un monarca a quien le gustaba mucho jugar ajedrez dijo a Sissa, creador del juego, que en recompensa por haberlo inventado le concedería lo que pidiera. La petición de Sissa fué que le diera un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera y así sucesivamente, hasta la casilla 64. Esto pareció algo modesto y sin embargo, no alcanzó ni siquiera toda la producción de trigo de la región para cumplir tal petición. Así que el monarca no cumplió su palabra.

Observa detalladamente como el crecimiento geométrico o exponencial varía en todos los casos.

Trata de encontrar el modelo matemático que resuelve cualquier caso de este tipo de variación.

En base a los datos de la tabulación traza la gráfica considerando hasta la séptima casilla.

Número de Crecimiento Número de granosla casilla en la casilla

-

1 1-

2 1 x 2 = 2¹ 2-

3 2 + 2 = 4 = 2 ² 4-

4 4 + 4 = 8 = 2 ³-

5 16-

6-

7

1 2 3 4 5 6 7

70

60

50

40

30

20

10

DIAGRAMA 1a

2a

3a

4a

5a

6a

Sumando el total de granos de todas las casillas, serían 1.84467 x 10 granos, que pesarían 75 000 toneladas métricas.

19BLO

QU

E 4


Resuelve lo siguiente:

Una de las universidades públicas, en el año 2005 tenía 15 200 alumnos en sus diferentes facultades. Si conserva su tasa de crecimiento que es de 6 % anual, ¿cuántos alumnos tendrá la universidad en el 2010?

Considera la población inicial = P Tasa de crecimiento = r crecimiento = a0

Fórmula general para un Crecimiento Exponencial: Pt = P0(1 + r) t

Pt = PoblaciónP0 = Población inicialr = % de crecimientot = Período de tiempo

P = P (1 + r)³P = 15 200 (1 + 0.06)³P = 15 200 (1.191016)P = 18103

En el año 2008 son 18 103 alumnos

03

3

3

3

Tercer año (2008)Aplicando la fórmula de Crecimiento Poblacional Compuesto P = P (1+r) para tres años, obtendrás los resultados mas directos.

Con la fórmula de Crecimiento Poblacional Compuesto, calcula aproximadamente, ¿cuántos alumnos tendrá la universidad en el año 2010?

tt 0

PoblaciónP = P + aP = 16 112 + 967P = 17 079

En el 2007 son 17 079 alumnos

1 22

2

2

La población después de un año es la suma de los alumnos del año anterior más el aumento de ese año.P = P + aP = 15 200 + 912P = 16 112

En el 2006 son 16 112 alumnos

1

1

1

0 1

Primer año (2006)El aumento de población durante el primer año es: los estudiantes del año anterior por la tasa anual en decimales.a = P x ra = 15 200 x 0.06a = 912

1

1

1

0

Segundo año (2007)Aumentoa = P x ra = 16 112 x 0.06a = 967

2

2

2

1

BLO

QU

E 4


Con dos de tus compañeros forma un equipo de trabajo y resuelvan el siguiente problema.

Al equipo de fut bol le falta $38 000 para la compra de sus uniformes y material deportivo; investigando encontraron dos casa de deportes que les pueden dar crédito.En la tienda "EL BALON DE ORO" pueden pagar esa cantidad con un interés simple del 33% . En la tienda "EL REY DEL FUT" les ofrecen el mismo crédito con un interés compuesto del 6 % mensual, deben pagar el crédito junto con los intereses al término de 10 meses. Escriban los datos que faltan a la tabla y contesten lo que se te pide. "EL BALON DE ORO" "EL REY DEL FUT"

1.- Los crecimientos que representan el saldo del crédito en las dos tiendas son: ______________

2.- Traza las gráficas que representen los dos crecimientos

Crédito $ 38,00 más $ 12,540 de Interés.

Meses Pago Mensual Pago Saldo Meses Int. Mensual Pago SaldoInt. Simple 33% Mensual Compuesto 6% Mensual

1 $ 1,254 $ 5,054 $ 50,540 1 $ 2,280 $ 6,080 $ 50,540

2 $ 1,254 $ 5,054 2 $ 2,052 $ 5,852 $ 44,460

3 $ 1,254 $ 5,054 $ 40,432 3 $ 5,624 $ 38,608

4 $ 1,254 $ 5,054 $ 35,378 4 $ 1,596 $ 5,396

5 $ 1,254 $ 5,054 5 $ 1,368 $ 5,168 $ 27,588

6 $ 1,254 $ 5,054 6 $ 1,140 $ 22,420

7 $ 1,254 $ 5,054 $ 20,216 7 $ 4,712 $ 17,480

8 $ 1,254 $ 5,054 8 $ 684 $ 4,484 $ 12,768

9 $ 1,254 $ 5,054 $ 10,108 9 $ 456 $ 4,256

10 $ 1,254 $ 5,054 10 $ 228 $ 4,028 $ 4028

55 000

50 000

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5 000

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

55 000

50 000

45 000

40 000

35 000

30 000

25 000

20 000

15 000

10 000

5 000

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

BLO

QU

E 4


Con el apoyo de la computadora vamos a encontrar la solución a problemas de este tipo de la siguiente forma:

PROBLEMA.- Población de una ciudad 4,550,111 al año 2006, tasa de crecimiento 3 % encontrar la población de los años que están en la tabla.

Si no lo puedes resolver por medio de una computadora, realiza las operaciones necesarias para

encontrar. ¿Cuál será la población en el año 2011? .................................... __________________

Un automóvil nuevo cuesta $ 267,000 y su precio se devalúa en razón de 17 % cada año.

¿Cuánto costará después de tres años? ....................................................... _________________

¿Cuánto costará después de cinco años? ..................................................... _________________

Para elaborar esta tabla realiza lo siguiente:

En la celda A2 teclea 2009En la celda B2 teclea 267000En la celda C2 teclea =B2* 0.17En la celda A3 teclea =A2 + 1En la celda B3 teclea =B2 - C2

Después de insertar las fórmulas, en las celdas, arrástralas hacia abajo.

Para elaborar esta tabla realiza lo siguiente:

En la celda A2 teclea 2006En la celda B2 teclea 4550111En la celda C2 teclea =B2* 0.03En la celda A3 teclea =A2 + 1En la celda B3 teclea =B2 + C2

Después de insertar las fórmulas en las celdas arrástralas hacia abajo.

BLO

QU

E 4

4.5Analizar la relación entre datos de

distinta naturaleza, pero referidos a un mismo fenómeno o estudio que se presenta en representaciones diferentes, para producir nueva

información.

La educación es la etapa de formación de las personas en las que se desarrollan las habilidades del pensamiento y las competencias básicas para favorecer el aprendizaje sistemático y continuo, el sistema educativo nacional, en lo que corresponde a educación básica, estima que su cobertura para el año 2010, será atendida al 100 %, en los niveles de primaria y secundaria y de un 68 %, en educación media superior.

Por ello, la enseñanza básica es un ámbito de alta prioridad para el gobierno de la república y la sociedad en general.

COBERTURA DE LA EDUCACION BASICA

1995 2000 2005 2010 2015 2020

Primaria 112 % 105 % 100 % 100 % 100 % 100 %-

Secundaria 76 % 83 % 92 % 100 % 100 % 100 %-

Bachillerato 42 % 49 % 57 % 68 % 65 % 67 %

añosnivel

1.- ¿A partir de qué año la cobertura de secundaria queda atendida en su totalidad?

............................... ___________________

2.- ¿Qué nivel tiene cubierta la demanda desde 1995?

............................... ___________________

3.- ¿En qué año y nivel se da un despegue mayor en porcentaje de cobertura?

............................... ___________________

4.- ¿Qué nivel no queda atendido en su totalidad?

............................... ___________________

5.- ¿En qué niveles hay decremento en la cobertura?

............................... ___________________

6.- ¿Qué nivel conserva un crecimiento?

............................... ___________________

7.- ¿En qué año la cobertura ha alcanzado mayor porcentaje en sus tres niveles?

............................... ___________________

1995 2000 2005 2010 2015 2020

120

100

80

60

40

20

PORCENTAJE

AÑOS


Con los datos de la tabla elabora la gráfica lineal correspondiente asignándole colores diferentes a cada nivel.

Lee con atención el siguiente párrafo, trata de investigar algunos aspectos que se relacionen con él, como lo son deserción, aprovechamiento, etc.

GRÁFICAS

BLO

QU

E 4

2Manejo de la información Representación de la información165

La siguiente tabla indica la matrícula estudiantil registrada cada cinco años en los niveles educativos de primaria, secundaria y bachillerato.

Observa los datos y contesta lo que se te pide.

1.- En el nivel de primaria, ¿durante qué año se registró la mayor inscripción? ......................................... ________

2.- En el nivel de secundaria ¿en qué año registró el mayor aumento de inscripciones? ................ ________

3.- ¿En qué año, la matrícula de los tres niveles juntos es mayor? . ________

Con los datos de la tabla elabora la gráfica lineal correspondiente, asignándole colores diferentes a cada nivel.

Organizados en equipo resuelvan el siguiente problema.

En las grutas de Nombre de Dios, en la ciudad de Chihuahua, se han formado estalactitas y estalagmitas a través de los siglos debido al escurrimiento del agua entre las montañas, cuyo crecimiento anual, está registrado en la siguiente tabla.

Estalactita Años Longitug

1 70 cm.

2 72 cm.

3 75 cm.

4 76 cm.

5 78 cm.

1.- Al cuarto año, ¿a qué distancia se encuentran sus puntas? ............................. _____________

2.- ¿Después de cuántos años se unirán la estalactita y la estalagmita?................ _____________

1995 2000 2005 2010 2015 2020

14,000

1,2000

1,0000

8000

6000

4000

2000

MATRICULA

Estalagmita Años Longitug

1 80 cm.

2 83 cm.

3 85 cm.

4 88 cm.

5 90 cm.

MATRÍCULA ESTUDIANTIL-

1995 2000 2005 2010 2015 2020-

Primaria 14,600 13,900 13,000 12,300 11,500 10,800-

Secundaria 4,800 5,300 6,000 6,400 6,000 5,600-

Bachillerato 2,100 2,500 3,000 3,400 3,500 3,300

añosnivel

1.80 m.

80 cm.

70 cm.

AÑOS

BLO

QU

E 4


Contesta las siguientes preguntas:

1.- En Chihuahua, ¿cuál de los géneros presenta la eficiencia terminal mayor?.. ______________

2.- ¿En cuál de los ciclos escolares, la eficiencia terminal de primaria en Chihuahua, es mayor que la media nacional? ......................................................................................... ______________

3.- ¿En cuál de los ciclos escolares, la eficiencia terminal de secundaria en Chihuahua, es menor?........................................................................................................... ______________

4.- ¿En qué niveles y ciclos escolares, el porcentaje de eficiencia terminal en Chihuahua, es mayor que la media nacional?......................................................................... ______________

5.- ¿En los ciclos escolares qué nivel tiene la mayor eficiencia terminal, tanto en Chihuahua como en la media nacional?..................................................................................... ______________

6.- ¿En los ciclos escolares qué nivel tiene la menor eficiencia terminal, tanto en Chihuahua como en la media nacional? ................................................................................... ______________

La eficiencia terminal de un ciclo escolar, en cualquier nivel, es el porcentaje del número de alumnos que lo concluyen, en relación con el número de alumnos que se inscribieron.

2003 - 2004 2004 - 2005 2005 - 2006

Prim Sec. P. técn. Bach. Prim. Sec. P. técn. Bach. Prim. Sec. P. téc. Bach.

Estados Unidos Mex. 88.7 78.9 47.2 60.0 90.0 78.4 46.4 59.6 91.8 78.2 47.6 59.6 Hombres 87.5 74.4 43.8 54.3 88.8 73.9 42.9 54.1 90.8 73.6 45.2 54.1 Mujeres 89.9 83.6 50.9 65.7 91.3 83.1 50.4 65.2 92.7 83.0 50.1 65.2

Chihuahua 85.7 76.2 49.4 52.8 84.9 76.3 47.9 51.9 86.8 77.4 54.1 53.4 Hombres 83.8 71.7 46.8 48.4 83.3 71.4 45.8 46.7 85.4 72.9 51.2 48.2 Mujeres 87.6 80.7 52.6 57.1 86.5 81.2 50.9 57.1 88.2 81.9 57.6 58.6

Porcentaje de eficiencia terminal por genero según nivel educativo, ciclos escolares 2003/2004, 2004/2005 y 2005/2006

Prim. = Primaria Sec. = Secundaria P. técn.= Profesional técnico Bach.= Bachillerato

Media NacionalChihuahua

género

Ciclo

Nivel

100 %

90 %

80 %

70 %

60 %

50 %

40 %

30 %

20 %

10 %

2003 - 2004 2004 - 2005 2005 - 2006

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Distribución de los nacimientos en el Estado de Chihuahua según la escolaridad de la madre

Años Nacimientos Sin Primaria Primaria Secundaria Bachillerato Profesional Registrados Escolaridad Incompleta Completa

2004 75 468 3.0% 5.2% 32.4% 35.7% 14.8% 8.9%-

2005 77 840 3.0% 6.8% 30.5% 36.0% 15.2% 8.6%-

2006 72 731 2.5% 7.1% 27.5% 36.7% 16.8% 9.4%

La información que se presenta en la siguiente tabla muestra los porcentajes de nacimientos considerando la preparación académica de las madres en el Estado de Chihuahua.

Elabora y contesta en equipo cinco preguntas relacionadas a la información presentada en la tabla, coméntalas con el resto del grupo.

1.- ____________________________________________________________________________

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2.- ___________________________________________________________________________

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3.- ___________________________________________________________________________

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4.- ___________________________________________________________________________

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5.- ___________________________________________________________________________

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Lee detenidamente el siguiente texto, investiga fenómenos o eventos relacionados con él, en tu cuaderno elabora una tabla y regístralos en una gráfica.

Ya somos 106.7 millones de mexicanos, dice INEGI

México ocupa el lugar número 11 en el mundo y el tercero de América por el monto de su población, superado por países como Estados Unidos y Brasil, informó el Instituto Nacional de Estadística, Geografía e Informática (INEGI).

Con motivo del Día Mundial de la Población, que se conmemora EL 11 de julio, señaló que de acuerdo con las estimaciones más recientes, la población del país asciende a 106.7 millones de mexicanos, 50.8 por ciento mujeres y 49.2 por ciento hombres.

En un comunicado abundó que entre 1900 y 2008, la población del país se multiplicó 7.8 veces. En los años 70 la tasa de crecimiento promedio anual fue de 3.4 por ciento, y para el periodo 2005-2008, es de 0.87 por ciento.

Indicó que en 2008, ocho entidades concentran poco más de la mitad de la población total, encabezadas por el estado de México con 14.6 millones de habitantes y el Distrito Federal, con 8.8 millones.

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3º BLOQUE 4, GUÍA DE EJERCICIOS

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